MATHEMATIK K1 (1) Löse nach p auf: x +1= 1 + p 1 - p

MATHEMATIK K1
ÜBUNGEN EINSTIEGSARBEIT
(1) Löse nach p auf:
x+1=
1+p
.
1−p
(2) Berechne, Vereinfache, wandle um:
(a) (1 + x) · (1 + 2x) =
(b) (a + 2bc)2 =
(c) x2 (2x + 3) =
1
· 32 =
(d) 17 − 15
(3) Löse die folgenden Gleichungen:
3
2
x+1= x+2
4
3
3x2 − 4x + 1 = 0
1 2 3
x + x=2
2
2
3x3 − 4x2 + x = 0
2x4 − 3x2 + 1 = 0
(4) Bestimme die erste Ableitung der folgenden Funktionen:
f (x)
3x4 − 2x3 + 2
√
√
x− 2
f 0 (x)
2
x
2
3x
+
3
√
2 x
√
(5) Berechne f (4) und f 0 (4) für f (x) = 2 x.
(6) Berechne Nullstellen, Extrema und Wendepunkte von
f (x) = x4 − 2x2 − 3.
(7) Berechne die Extrema von
f (x) = 2x3 − 3x2 + 6.
1
2
ÜBUNGEN EINSTIEGSARBEIT
(8) Berechne den Wendepunkt und die Wendetangente von
f (x) = x3 − 3x2 + 3.
(9) Berechne die Tangente an f (x) = x2 + 1 in x = 2.
(10) Stelle die Gleichung einer Geraden durch die Punkte P (1|2|−1)
und Q(−1| − 2|1) auf.
−→
(11) Berechne den Verbindungsvektor AB der Punkte A(−3|4| − 2)
und B(−4| − 1|2).
1 2
(12) Berechne die Länge des Vektors −2
.
(13) Zeige, dass der Punkt C(0|0|3) auf der Geraden durch A(1|2|1)
und B(2|4| − 1) liegt.
(14) Zeige, dass das Dreieck ABC mit A(1|2|1), B(2|4| − 1) und
C(3|3|3) gleichschenklig, aber nicht gleichseitig ist.
(15) Berechne den Schnittpunkt der beiden Geraden
3 −5 3 2
g : ~x = −4 + s 5
und h : ~x = −5 + t −2 .
2
1
3
−1
(16) Wie erkennt man, ob zwei gegebene Geraden parallel sind?
(17) Ergänze A(2| − 1|1), B(3|1|3) und C(−1|2|2) zum Parallelogramm ABCD.
(18) Eine Urne enthält 5 blaue und 7 grüne Kugeln. Es werden
zufällig zwei Kugeln mit einem Griff gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben beide Kugeln die gleiche Farbe?
(19) Ein Schütze trifft sein Ziel mit der Wahrscheinlichkeit 0,8. Berechne bei 25 Schuss die Wahrscheinlichkeit für
(a) genau 20 Treffer;
(b) mindestens 20 Treffer;
(c) höchstens 18 Treffer;
(d) zwischen einschließlich 19 und 23 Treffer.
MATHEMATIK K1
3
Lösungen
(1) Nenner weg; alles mit p auf eine Seite; ausklammern
3
(2) 2x2 + 3x + 1; a2 + 4abc + 4b2 c2 ; 2x3 + 3x2 ; 70
.
1
(3) x = 12; x1 = 3 , x2 = 1; x1 = −4, x2 = 1; x0 = 0, x1 = 13 ,
√
x2 = 1; x1,2 = ±1, x3,4 = ± 2/2.
(4)
f (x)
f 0 (x)
3x4 − 2x3 + 2 12x3 − 6x2
√
√
x − 2 2√1 x
2
− x22
x
2
+ 2√3 x − 32 x2 − 34 x−3/2
3x
0
(5) f (4) =
√4, f (4) = 0,√5 (Kontrolle: 2nd calc dy/dx, dann x=4)
(6) N1 (− 3√|0), N2 (− 3 |0), T1√
(−1| − 4), T2 (1| − 4), H(0| − 3),
W1 (−1/ 3 | − 32/9), W2 (1/ 3 | − 32/9).
(7) H(0|6), T (1|5).
(8) W (1|1); t : y = −3x + 4. Kontrolle mit draw tangent.
1
1
(9) m = f 0 (2)
=− 2 ; P (2|2);
t : y = − 2 x+ 3.
1
2
(10) g : ~x = −1
+r
−→
−1
(11) AB = −5
−→
−2
−4
2
oder g : ~x =
1
2
−1
+r
1
2
−1
.
4
(12) |AB| = 3
1 1
2
2
(13) Punktprobe: C in g : ~x =
+ t −2
einsetzen gibt t = −1.
1
−→
−→
−→
√
(14) |AB| = 3, |AC| = 3, |BC| = 18.
(15) Berechne den Schnittpunkt der beiden Geraden
3 −5 3 2
−4
g : ~x =
+s 5
und h : ~x = −5 + t −2 .
2
(16)
(17)
(18)
(19)
1
3
−1
Gleichsetzen ergibt s = −1 und t = 2, also S(1| − 9|1).
Geraden sind genau dann parallel, wenn ihre Richtungsvektoren
Vielfache
voneinander
sind.
−→
−→
Aus AB = DC folgt D(−1|0|0).
4
20
7
6
42
62
5
· 11
= 132
, p(gg) = 12
· 11
= 132
, p = 132
= 31
.
p(bb) = 12
66
X = Anzahl der Treffer, n = 25, p = 0, 8, also
p(X = 20) = binompdf(25, 0.8, 20) = 0.196,
p(X ≥ 20) = 1 − binomcdf(25, 0.8, 19) = 0.617,
p(X ≤ 18) = binomcdf(25, 0.8, 18) = 0.22,
p(19 ≤ X ≤ 23) = binomcdf(25, 0.8, 23) − binomcdf(25, 0.8, 18) = 0.753.