6.3.2 Gesetz von Amp`ere - Addition von Strömen

V060302
Gesetz von Ampère - Addition von Strömen
6.3.2 Gesetz von Ampère - Addition von Strömen
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1 Motivation
Das Durchflutungsgesetz von Ampère wird mithilfe eines Rogowski-Spule verifiziert, welcher
die berührungslose Messung von Strömen ermöglicht.
2 Experiment
I
B ds = µ0
I2
Iν
ν
C
I1
I2
X
I3
Kurve C
Fläche A
ds
B
Abbildung 1: Durchflutungsgesetz von Ampère
Die Grundlage dieses Versuchs ist das Durchflutungsgesetz von Ampère (siehe Abb. 1):
I
X
B ds = µ0
Iν
(1)
ν
C
Das Linienintegral der magnetischen Induktion B über den Rand einer beliebigen offenen Fläche
ist gleich der Induktionskonstanten µ0 mal die Summe der durch die Fläche hindurchtretenden
Ströme.
Abb. 2 zeigt den Versuchsaufbau. Ein Strom I fliesst durch drei in Reihe geschaltete Metallstäbe
abwechselnd aufwärts und abwärts. Wir wählen die Richtung nach oben positiv; dann sind die
drei Ströme gegeben durch
I1 = +I
I2 = −I
I3 = +I
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Gesetz von Ampère - Addition von Strömen
Rogowski-Spule
I
I
I
Abbildung 2: Versuchsanordnung Gesetz von Ampère - Addition von Strömen“
”
Das Ringintegral der magnetischen Induktion B misst man mit einer Rogowskispule (Schaltung
siehe Abb. 3). Diese besteht aus einer eisenlosen Spule (Länge `, Windungszahl N 1), welche
man um die stromdurchflossenen Leiter herumbiegen kann. Beim Einschalten des Stroms wird eine Spannung U induziert. Der sich dabei ergebende Ladungsstoss Q wird mit einem ballistischen
Galvanometer gemessen.
Beim Einschalten baut sich in jeder Windung i, i = 1, ..., N der Spule ein magnetischer Fluss
Φi (t) auf:
Φi (t) = ai · B i (t) ,
(2)
wobei ai der Flächenvektor der Schleife i und B i die magnetische Induktion an dieser Stelle.
Der Flächenvektor zeigt in Richtung des Tangentialvektors dsi :
ai = a ·
dsi
|dsi |
mit
a = |ai |
(3)
Für den Betrag |dsi | wählen wir den Abstand zwischen zwei Drahtschleifen:
|dsi | =
`
N
⇒
Φi (t) =
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aN
(B i (t) · dsi )
`
(4)
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U12
Abbildung 3: Rogowski-Spule
Damit ergibt sich der gesamte Fluss Φ(t) über alle Drahtschleifen zu
I
N
aN
aN X
B i (t) · dsi −→
B(t) · ds ,
Φ(t) =
`
`
i=1
(5)
C
wobei wir wegen N 1 die Summe durch das Integral ersetzt haben.
Die induzierte Spannung ist
dΦ
aN d
U (t) =
=
dt
` dt
I
B(t) · ds
(6)
C
Z∞
⇒
aN
U (t) dt =
`
Z∞
0
0
I
Z∞
⇒
`
B · ds =
aN
d
{
dt
I
B(t) · ds} dt
C
`R
U (t) dt =
aN
0
C
(7)
Z∞
I(t) dt .
|0
{z
=Q
(8)
}
Dabei bedeuten B das für t → ∞ erreichte Feld, R den Innenwiderstand des Galvanometers und
I(t) den Spulenstrom. Wir erhalten damit schliesslich
µ0
X
Iν =
ν
`R
Q
aN
(9)
Die mit dem ballistischen Galvanometer gemessene Ladung Q ist also proportional der Summe
der von der Rogowski-Spule umschlungenen Ströme.
Man misst mit den vier verschiedenen Anordnungen Wj der Rogowski-Spule gemäss Abb. 4. Die
dabei erzielten Ergebnisse sind in Tabelle 1 wiedergegeben.
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I
I2 = −I
W1
I1 = +I
W2
W3
W4
I3 = +I
I
Abbildung 4: Vier verschiedene Messanordnungen Wj
Tabelle 1: Gemessene Ladung Qj für die vier verschiedenen Messanordnungen Wj
j
1
2
3
4
I
↑
↑↓
↑ ↑
↑↓↑
Q/Q1
1
0
2
1
3 Theorie
3.1 Das Gesetz von Ampère
Das Gesetz beruht auf der vierten Maxwellschen Gleichung, wobei wir den zeitabhängigen Teil
vernachlässigt haben:
∇ × B(r) = µ0 j(r)
Dabei bedeuten j(r) die Stromdichte und µ0 die magnetische Feldkonstante.
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(10)
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B(r)
j
r
I
B · ds = µ0 I
Abbildung 5: Magnetische Induktion B(r) (blaue Pfeile) und Feldlinie (roter Kreis) im Abstand
r von einem unendlich ausgedehnten, stromdurchflossenen Leiter.
1. Beispiel:Magnetfeld eines unendlich langen, stromdurchflossenen Leiters
Ein Strom I (Stromdichte j) oder ein veränderliches elektrisches Feld ∂E/∂t) ist mit einem
magnetischen Wirbelfeld B verbunden:
1 j
∂E
∇×B = 2
+
(11)
c
ε0
∂t
Im stationären Fall gilt:
1 j
= µ0 j
(12)
c2 ε0
Wir betrachten einen unendlich langen, stromdurchflossenen Leiter (siehe Abb. 5). Wegen der
Quellenfreiheit der magnetischen Induktion:
∇×B =
∇B = 0
(13)
gibt es keine Radialkomponente B r , da das Oberflächenintegral des magnetischen Flusses über
einen zum Leiter konzentrischen Zylinder verschwindet.
Dagegen folgt aus Gleichung 12 eine Tangentialkomponente B(r) = B ϕ (r) (siehe Abb. 2). Wir
wenden den Satz von Stokes auf die Kreisfläche A mit Umrandung ∂A und Radius r an:
Z
I
(∇ × B) dA = B ds
(14)
A
∂A
Z
⇒
µ0
j dA = 2πrB(r)
⇒
µ0 I = 2πrB(r)
(15)
A
Damit folgt für die magnetische Induktion:
B(r) =
µ0 I
·
2π r
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(16)
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h
N = Anzahl
Windungen
B
d
L
I
Windungsdichte n = N/L
(Anzahl Windungen durch Länge)
Abbildung 6: Das Magnetfeld eines Solenoids.
2. Beispiel: Das Solenoid
Wir wickeln einen isolierten Draht in dicht nebeneinanderliegenden Windungen auf. Wir erhalten
eine zylindrische Spule, die als Solenoid bezeichnet wird. Die Länge der Spule soll relativ zu ihrem
Durchmesser gross sein.
In Punkten nahe einer einzelnen Windung ist das magnetische Feld fast gleich demjenigen eines
geraden Leiters. Die Feldlinien bilden konzentrische Kreise um diese Windung. Die Felder aller
Windungen der Spule addieren sich vektoriell zu einem Gesamtfeld. Siehe Abb. 6. Mit Hilfe des
Theorems von Stokes finden wir
I
ZZ
ZZ
B · ds =
(∇ × B) · dA =
(µ0 j) · dA = µ0 I
(17)
C=∂A
A
A
Das Ampèresche1 Gesetz sagt daher voraus:
I
B · ds = µ0 I
(18)
C=∂A
d.h., das Linienintegral des Feldes ist zu der von der geschlossenen Kurve C eingeschlossenen
Stromstärke proportional. Es gilt für jede mögliche Anordnung von (stationären) elektrischen
Strömen und für jeden Integrationsweg.
Wie im Fall des Gesetzes von Gauss, kann das Gesetz von Ampère benutzt werden, um das magnetische Feld zu bestimmen, wenn die geometrische Anordnung der Ströme zu einer Symmetrie
des Feldes führt. Man sucht in diesem Fall eine Kurve, für die das Linienintegral sich einfach als
das Produkt des Feldes und der Länge schreiben lässt.
Im Innern der Spule resultiert ein paralleles Feld, welches bei einer sehr eng gewickelten Spule
tatsächlich homogen ist.
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A. Ampère (1775-1836)
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Wir betrachten eine geschlossene Kurve (Siehe Abb. 6) für die Integration des Feldes. Es gilt
I
Nh
B · dr ≈ Bh = µ0 I
⇒ |B| ≈ µ0 In ,
(19)
L
C
wobei n = N/L die Windungsdichte (Anzahl Windungen durch Länge) ist.
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