Turbulente Str ¨omungen

Turbulente Strömungen
Reynoldsmittelung : Aufspaltung der turbulenten Geschwindigkeit ~v
~
in einen Mittelwert ~v und einen Schwankungsanteil v‘
~
~v
+
v‘
~v
=
6
6
Gesamtvektor
6
zeitl. Mittel
Schwankung
Beispiel: Rohr
11111111111111111111
00000000000000000000
00000000000000000000
11111111111111111111
00000000000000000000
11111111111111111111
v‘
u
r
voll turbulent
u‘
x
u(r)
11111111111111111111
00000000000000000000
00000000000000000000
11111111111111111111
00000000000000000000
11111111111111111111
1
symmetrische Strömung
Turbulente Strömungen
u(r, φ, x, t) = u(r)+ u‘(r, φ, x, t)
v(r, φ, x, t) =
v‘(r, φ, x, t)
Definition:
1
u=
T
Z
u(x, y, z, t)dt
T
→ u = u(x, y, z) 6= f (t)
1.2
u(t)
u’
u_avg
1
0.8
u
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
0
1
2
3
4
5
6
7
t
2
u‘ = u − u
Rechenregeln
f‘ = 0
f=
1
f +g =
T
Mittelwert der Schwankung
f
Mittelwert des Mittelwertes
|{z}
konst6=f (t)
Z
1
(f + g)dt =
T
T
f g=f g:
Z
1
f dt +
T
T
1
g=
6 g(t) →
T
Z
1
f g dt = g
T
Mittelwert der Ableitung
3
g dt = f + g
T
T
∂f ∂f
=
∂x ∂x
Z
Z
T
f dt = f g
Rechenregeln
Z
Z
1
1
fg =
f g dt =
(f + f ‘)(g + g‘) dt
T
T
T
1
=
T
Z
T
T
(f g + f ‘g + f g‘ + f ‘g‘)dt
Z
Z
1
1
f ‘ dt +f
g‘ dt +f ‘ g‘
= fg + g
T
T
| T {z }
| T {z }
=0
=0
üblicherweise 6= 0, z. B.. f = g → f ‘2 6= 0

r
Turbulenzgrad

1
1 2
(u‘ + v‘2 + w‘2)
Tu =

u∞ 3
Turbulenzintensität
= f g + f ‘ g‘
4
Beispiel
Die 3D, inkompressible, instationäre Impulserhaltungsgleichung enthält
∂(vk vj )
den konvektiven Term ∂x . Unter Verwendung des Reynoldschen
k
Ansatzes (f = f +f ′) soll die zeitliche Mittelung des Terms bestimmt
werden.
R ∂(vk vj )
∂(vk vj )
1
Ges: T
∂x dt = ∂x
k
k
Ansatz: vk = vk + vk′
vj = vj + vj′
xk = xk = (konst)
5
Beispiel
∂ v v
∂xk k j
∂
= ∂x
k
h
′
vk + vk
vj + vj′
i
h
i
∂ v v + v v′ + v v′ + v′ v′
= ∂x
j k
k j
k j
j k
k




∂ v v + v v ′ + v v ′ +v ′ v ′ 
= ∂x

 k j
j
k
j
j
k
k
k
|{z}

|{z}
vk vj′ =0
∂
= ∂x
k
h
vk vj + vj′ vk′
6
i
vj vk′ =0
Bernoulligleichung (Energiegleichung) für Rohrströmungen mit Totaldruckverlust
111111111111111
000000000000000
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
1
000000000000000
111111111111111
g
2
z
um
111111111111111
000000000000000
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
p01 = p02 +
∆ pv
7
∆pv
|{z}
Totaldruckverlust
ρ
ρ
2
p1 + um1 + ρgz1 = p2 + um2 2 + ρgz2 + ∆pv
2
2
X
Li ρ
∆pv =
(ζi + λi ) umi 2
Di 2
∧
ζi = Verlustkoeffizient an bestimmten Stellen,
an denen Verluste entstehen
(Einlass, unstetige Rohrerweiterung, Krümmer . . . )
∧
λi = Rohrreibungsbeiwert
∧
umi = mittlere Geschwindigkeit
8
Beispiele für Druckverlustbeiwerte
Üblicherweise: Ermittlung von ζ aus Experimenten
ζ = ζ(Re, Geometrie)
Ro
Ro
Krümmer
Ri
Ri
Ri
Einlass
9
Ro
A1
um,1
Carnot-Gleichung
A1 2
∆p0
ζE = ρ 2 = (1 − )
A2
2 um1
um,2
A2
∆p
laminare Strömung, Einlass, kreisförmiger Querschnitt
→ 1.12 ≤ ζe ≤ 1.45 experimentell
10
Druckverlustkoeffizient in Rohren (hydraulisch glatt)
uρD
Re =
η
• laminar: (Re ≤ 2.300) λ = C
Re
C = 64 für kreisförmige Querschnitte (Hagen-Poisseuille)
• turbulent: Blasius (2.300 ≤ Re ≤ 105)
0.316
λ= √
4
Re
√
iterative Lösung: Prandtl: √1 = 2 log(Re λ) − 0.8
λ
11
Referenzgeschwindigkeit
viskose Effekte in Rohren
∆p
um
L
Lρ 2
∆p = λ
um
D2
mittlere Rohrgeschwindigkeit
D
λ
um
um
Einlass
ξ
ρ 2
∆pv = ζe um
2
mittlere Rohrgeschwindigkeit
e
12
Referenzgeschwindigkeit
unstetige Rohrerweiterung
A1
um,1
ξ
um,2
E
ρ 2
∆pv = ζE um1
2
ankommende Geschwindigkeit
A2
∆p
13
Beispiel 2
a)
kg
Welche Menge Wasser (ρ = 1000 m
3 ) kann man durch eine hydraulisch glatte Rohrleitung von 2 cm Innendurchmesser pro Sekunde
pumpen, so dass die Strömung gerade noch laminar ist? η(H2O) =
kg
10−3 m·s
b)
kg
−1 kg könnte
)
der
Z
ähigkeit
η
=
10
Welche Menge Öl (ρ = 900 m
3
m·s
man pro Sekunde ebenfalls noch gerade laminar durch die Rohrleitung aus a) pumpen?
c)
Die Leitung aus Teil a) sei 10 km lang. Welche Druckdifferenz in bar
wäre in den Fällen a) und b) nötig?
14
Beispiel 2
d)
Eine waagerecht liegende, gerade und vollkommen rauhe GraugussRohrleitung mit einer äquivalenten Sandrauhigkeit von k = 1, 5mm
und d = 0.3m Innendurchmesser ist l = 1200m lang und soll 10 m3/min
kg
oC (ν = 0, 81·10−6 m ) liefern. Wie groß ist
Wasser (ρ = 1000 m
)
von
30
3
s
der erforderliche Druckunterschied ∆p zwischen Anfang und Ende
der Rohrleitung?
Hinweis:
64
• laminar: λ = Re
• turbulent, hydraulisch glatt: λ = 0, 316
• turbulent, vollkommen rauh: λ = h
15
1
4
/Re
1
i2
2 log kd +1,14
Beispiel 2
a)
gerade noch laminar → Re = 2300
Re = ρuηmD ≤ 2300
m
=
0,
115
→ um ≤ 2300·η
s
ρD
b)
3
m
π
2
−5
→ V̇ = um 4 D ≤ 3, 61 · 10 s
2300·η
Oel = 12, 78 m
um ≤ ρ D
s
Oel
3
π
m
2
−3
→ V̇ = um 4 D ≤ 4 · 10 s
c)
L ρ u2
Druckverlust ∆p = λ D
2 m
64
lam. Rohrströmung: λ = Re
16
Beispiel 2
64 L ρ 2
∆p =
um
Re D 2
für Wasser: ∆p = 0, 92bar
für Öl: ∆p = 1023bar
d)
L ρ u2
∆p = λ D
2 m
um = πV̇D2 = 2, 36 m
s
4
λ = ? Re = ?
umDρ umD
=
= 8, 74 · 105 > |Re{z
Re =
krit
}
η
ν
=2300
→ turbulente Strömung
17
Beispiel 2
λ=h
1
2 log kd + 1, 14
i2
k
k
= rel. Sandrauhigkeit(= )
D/2
R
D
= 200
k
→ λ = 0, 0303
N
5
→ ∆p = 3, 38 · 10 2 = 3, 38bar
m
18
Beispiel für Klausurfragen
• Erläutern Sie den Begriff der scheinbaren Schubspannung.
• Erläutern Sie den Ansatz nach Boussinesq.
• Erläutern Sie den Begriff der viskosen Unterschicht.
• In welchem Bereich ist das logarithmische Wandgesetz gültig?
• ...
19