PN1 Einführung in die Physik für Chemiker 1: Übungsblatt 10

PN1 Einführung in die Physik für Chemiker 1
Prof. J. Lipfert
WS 2013/14
Lösungen zu Übungsblatt 10
Lösungen zu Übungsblatt 10
Aufgabe 1: Isarfloßfahrt
Für eine Fahrt auf der Isar haben Sie ein Holzfloß gemietet. Seine effektive Dichte
beträgt ρf = 0, 6 cmg 3 , es ist 3 m breit, 5 m lang und hat eine Höhe von 60 cm.
a) Das Floß liegt in einer ruhigen Bucht. Wie weit ragt es aus dem Wasser
( Dichte: ρw = 1 cmg 3 ), wenn es nicht beschwert wird?
Archimedisches Prinzip: FA = FG
V · g · ρH2 O = VF · g · ρF → A · hx · g · ρH2 O = A · hF · g · ρF
kürzen von A und g, Umstellen nach hx (die Höhe, die das Floß in das Wasser
eintaucht)
ρF
600 kg
hx =
· hF = 1000mkg3 · 0, 6m = 0, 36m
ρH2 O
m3
Daraus ergibt sich Höhe, die das Floß aus dem Wasser herausragt wie folgt: 0, 6m −
0, 36m = 0, 24m = 24cm
b) Wie viele Personen (mP = 90kg) dürfen auf das Floß steigen, ohne dass es untergeht?
FA = FG → ρH2 O · V · g = (mF + NmP ) · g mit N = Anzahl der Personen
ρH2 O · A · h · g = (ρF · A · hF + N · mP ) · g nach N auflösen
N =
Ah(ρH2 O −ρF )
mP
=
3m·5m·0,6m(1000−600) kg3
m
90kg
= 40
c) Sie fahren zunächst einen breiten Abschnitt ( d0 = 50m ) der Isar entlang, laut
. Plötzlich verschmälert sich der
GPS mit einer Geschwindigkeit von v0 = 2, 8 km
h
Flusslauf und das GPS Gerät zeigt die Geschwindigkeit v0 = 4, 1 km
an. Welche
h
Breite hat der Fluss an dieser Stelle? Die Wassertiefe sei konstant. Nehmen Sie
an, dass das Flussbett einen rechteckigen Querschnitt hat.
Kontinuitätsgleichung:
d0 · v1 = dx · v2
50m·0,78 m
d0 ·v1
s
dx = v2 = 1,14 m = 34, 21m
s
d) Geben Sie die Änderung des Wasserspiegels ∆h an dieser Stelle an.
v2
v2
p
p
Bernoullische Energiegleichung als Höhengleichung: 2g0 + ρg
+ z0 = 2g1 + ρg
+ z1
Mit z0 = geodätische Höhe bei v0 = 2, 8km/h und z1 = geodätische Höhe bei
v1 = 4, 1km/h
Der Druck p an der Wasseroberfläche bleibt konstant (da durch den Luftdruck
gegeben), damit fällt der Ausdruck p/ρg weg.
Umstellen nach z1 − z0 (= ∆h) ergibt:
v2
v2
(0,78m/s)2
(1,14m/s)2
z1 − z0 = 2g0 − 2g1 = 2·9,81m/s
2 − 2·9,81m/s 2 = −0, 01835m = −1, 8cm
Der Wasserspiegel sinkt um 1,8 cm!
1
Aufgabe 2: Jumbojet
Die Tragfläche eines Flugzeugs ist so geformt, dass bei einer Vorwärtsbewegung die
umgebende Luft schneller an der Oberseite der Tragfläche als an der Unterseite vorbeiströmt.
a) Geben Sie den Ausdruck für die Auftriebskraft FA an einer Tragfläche der Fläche
A an, wenn die umgebende Luft an der Oberseite mit der Geschwindigkeit v0 und
an der Unterseite mit der Geschwindigkeit vu entlang strömt.
Bernoulli Druckgleichung, vereinfacht: pu + 12 ρvu2 = p0 + 12 ρvo2
F
∆p = po − pu = 12 ρvu2 + 21 ρvo2 mit p =
A
FA = 12 ρA(vu2 − vo2 )
b) Setzen Sie vo = co · v und vu = cu · v , wobei co und cu Konstanten sind und v
die Geschwindigkeit des Flugzeugs gegen die Umgebungsluft (gemittelt über einen
Raum von etwa der Größe des Flugzeugs) bedeutet. Schreiben Sie die in Teil a)
erhaltene Auftriebskraft FA als Funktion von v mit einer Auftriebsziffer fA als
Vorfaktor auf. Die Auftriebsziffer fA ermittelt sich aus den Konstanten co und cu .
(So machen es auch die Flugzeugingenieure)
FA = 12 ρA[(co v )2 − (cu v )2 ] = 12 ρAv 2 (co2 − cu2 ) mit f = fA = co2 − cu2
FA = 12 ρAv 2 f
c) Die Auftriebsziffer fA hat ungefähr den Wert 1. Welche Startgeschwindigkeit vs
ist demnach beim Start von etwa Meereshöhe für einen Jumbojet der Startmasse
ms = 300.000kg und der Flügelfläche A = 600m 2 erforderlich?
FG = FA → mg = 21 ρAv 2 f
q
sg
= 90, 4m/s mit ρ = 1, 2kg/m 3
vs = 2m
ρAf
2
Aufgabe 3: Unter Strom
Eine ideale Flüssigkeit der Dichte ρ strömt durch eine sich verengende Röhre mit
senkrechten Steigrohren an vier Stellen.
a) Wie schnell strömt Wasser unter Röhre II, wenn es bei Steigröhre I mit v1 fließt?
Kontinuität: A1 v1 = A2 v2 , wobei A1 , A2 der Querschnitt des Rohrs unter den
1
jeweiligen Röhren I und II ist → v2 = A
v
A2 1
b) Zeichnen Sie in die Skizze qualitativ die Höhe der Wasserstandes in den Steigrohren
ein. Die Rohrquerschnitte A1 , A3 und A4 seien gleich.
c) Berechnen Sie quantitativ die Höhenunterschiede ∆hII , ∆hIII und ∆hIV des Wasserstandes zur Referenzlinie als Funktion von v1 , A1 und A2 .
Strömungsgeschwindigkeiten v3 = v4 = v1 (Da Rohrquerschnitt identisch)
Bernoiulli: p + ρgz + 12 ρv 2 = const. (Energieerhaltung in einer strömenden Flüssigkeit) Kein Beitrag der potentiellen Energie, da zi = const.
A1 2
))
→ p1 + 12 ρv12 = p2 + 21 ρv22 → p2 − p1 = 21 ρ(v12 − v22 ) = 12 ρv12 (1 − ( A
2
v2
1 2
Mit p2 − p1 = ∆pII = ρg∆hII → ∆hII = 2g1 (1 − ( A
) )(< 0)
A2
∆hIII = 0, da v1 = v3
In Steigrohr IV wird der Gesamtdruck p4 = p1 + 21 ρv12 gemessen.
→ ∆pIV = p4 − p1 = ρg∆hIV = 21 ρv12 → ∆hIV =
3
v12
2g
Aufgabe 4: Kapillarkräfte
2σcosθ
.
ρgr
Berechnen Sie die Steighöhe der 3 abgebildeten Röhren bei 20◦ C auf Meereshöhe
und zeichnen Sie diese unter berücksichtigung des Kontaktwinkels ein. Die großen
Glasröhren haben einen Durchmesser von 0,5 cm, die kleine ist halb so groß.
Die Steighöhe h einer Flüssigkeitssäule ist gegeben durch h =
Die Oberflächenspannung beträgt
σH2 O = 0, 073 mJ2 bei 20◦ C und
N
σHg = 0, 476 m
bei 293,15 K.
Der Kontaktwinkel sei θH2 O = 20◦
und θHg = 140◦ .
Dichte ρH2 O = 1000 mkg3
ρHg = 13, 55 cmg 3 bei 293, 15K .
hH2 Ogroß = 0, 02429m = 2, 4cm
hH2 Oklein = 0, 04858m = 4, 9cm
hHggroß = −0, 00566m = −0, 6cm
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