Teil 2

14.2
Das Vektorpotential
Ähnlich wie in der Elektrostatik ist in der Magnetostatik das Ampère’sche Gesetz nur bedingt nützlich,
will man das Magnetfeld einer nicht symmetrischen Stromverteilung berechnen. Und analog zur
Elektrodynamik führt man zunächst als Hilfsgröße das sogenannte Vektorpotential ein.
Das Fehlen magnetischer Monopole garantiert, dass man das magnetische Feld ein reines Wirbelfeld
ist, das sich als
~ =∇
~ ×A
~
B
darstellen lässt. Denn:
~ · (∇
~ × A)
~ =∇
~ · B,
~
0=∇
~ · (∇
~ × ~v ) ≡ 0.
wobei wir wieder benutzt haben, dass ∇
Dann erhält man aus dem Ampère’schen Gesetz:
~ ×B
~
∇
=
=
~ × (∇
~ × A)
~
∇
~ ∇
~ · A)
~ − ∆A
~ = µ0~j.
∇(
In der letzten Umformung tritt der Laplace-Operator ∆ auf. Wir sind ihm, ohne es explizit
aufzuführen bereits in der Elektrostatik begegnet. Es gilt
~ · (∇f
~ (~r)).
∆f (~r) = ∇
Setzten wir für die skalare Funktion f das elektrostatische Potential ϕ ein, so erhalten wir
~ · (∇ϕ)
~
~ · (−E)
~ = − 1 ρ.
∆ϕ = ∇
=∇
0
Man bezeichnet diese Gleichung als Poisson-Gleichung. Ihre Lösung im freien Raum kennen
wir bereits, es ist das Coulomb-Integral:
1
ϕ(~r) =
4π0
Z
ρ(~r0 )
dV 0 ,
|~r − ~r0 |
vorausgesetzt die Ladungsverteilung fällt im Unendlichen hinreichend schnell ab.
~ 2 bezeichnet. Er hat in kartesischen Koordinaten die
Der Laplace-Operator wird oft auch als ∆ = (∇)
einfache Form
∂2f
∂2f
∂2f
+ 2 + 2.
∆f =
2
∂x
∂y
∂z
Kehren wir nun zum Ampère’schen Gesetz zurück. Zunächst einmal ist in der Gleichung
~ ∇
~ · A)
~ − ∆A
~ = µ0~j
∇(
~ so zu verstehen, dass der Laplace-Operator auf jede von A
~ anzuwenden ist.
der Ausdruck ∆A
Wenn
~ ·A
~ = 0 (Coulomb
∇
Eichung)
nimmt das Ampère’sche Gesetz die Form
~ = −µ0~j
∆A
an.
~ muss also eine “eigene” Poisson-Gleichung erfüllen.
Jede Komponente von A
Beachte: Ai = Ai (x, y, z).
~ im
Speziell ergibt sich dann die Lösung für A
freien Raum als
~ r ) = µ0
A(~
4π
Z
dV 0
~j(r~0 )
.
|~r − ~r0 |
Wenn sich die Stromverteilungen bis ins Unendliche erstrecken, ist das obige Integral im Allgmeinen
nicht wohldefiniert.
In Situationen mit wohldefinierter Symmetrie kann man das Vektorpotential mit Hilfe einfacher Integralsätze berechnen.
Beispiel:
Vektorpotential einer unendlich langen Spule
Beachte:
wobei Φ der
I
Fluss von
~ · d~` =
A
∂S
Z
~ × A)
~ · df~ =
(∇
S
Z
~ · df~ = Φ,
B
S
~ durch die Fläche S ist.
B
~ = B~ez
Magnetisches Feld der Spule: B
(unter Vernachlässigung kleiner Beiträge Bϕ )
~ r ) = A(r)
~
aus Symmetriegründen: A(~
Für eine Schleife senkrecht zur Spulenachse erhält man:
πr2 Bz
r<R
.
2πrAϕ (r) =
πR2 Bz
r≥R
~ verschwindet in der Coulomb-Eichung (∇
~ ·A
~ = 0) und Az = 0 folgt aus
Die Radialkomponente von A
dem Ampère’schen Gesetz für einen Weg in der rz-Ebene.
~ r ) = A(r)~eϕ ,
A(~
mit
µ0 nI
A(r) =
2
r
R2
r
r<R
r≥R
~ folgt der Richtung des Stromflusses.
Beachte: Die Richtung von A
14.2.1
Magnetisches Feld eines Drahtes
~
B
Z
~j(~r0 )
µ0 ~
~
~
= ∇×A=
∇ × dV 0
4π
|~r − r~0 |
Z
µ0
1
~
)
= −
dV 0~j(~r0 ) × (∇
4π
|~r − ~r0 |
Z
µ0
~r − ~r0
=
dV 0~j(r~0 ) ×
4π
|~r − ~r0 |3
~ wirkt auf die Variable r, aber nicht auf r 0 .
Beachte: ∇
Die letzte Formel ist nützlich, um magnetische Felder einer gegebenen Stromverteilung ~j(~r) zu berechnen.
Beispiel:
Feld im Außenraum eines stromdurchflossenen Drahtes
Z
dl
~jdV 0 =
Z
~jdf 0 d`0 = I
Z
d~`0
ein Teilstück des Drahtes bei ~r0 trägt mit
df
~ =
dB
~r − ~r0
µ0 I ~0
d` ×
4π
|~r − ~r0 |3
zum gesamten magnetischen Feld,
Z
~ = dB
~
B
bei.
Wir haben hier also das Biot-Savart-Gesetz als Spezialfall erhalten, bei dem sich die Stromdichte auf einen (dünnen) Draht verteilt. Das Feld im Außenraum des Drahtes sieht so aus als wäre
der gesamte Strom auf einen unendlich dünnen Pfad im Zentrum des Drahtes verdichtet.