Eichinvarianz, Multipol-Entwicklung des Vektorpotentials

11
Magnetostatik
Solange keine Verwechslungen auftreten, werden wir in diesem und in den folgenden Kapiteln vom
magnetischen Feld B an Stelle der magnetischen Induktion bzw. der magnetischen
Flußdichte sprechen.
Die Gesetze der Magnetostatik sind anwendbar, wenn sowohl das elektrische als auch das
magnetische Feld zeitunabhängig sind, d.h.
∂E
=0
∂t
∂B
=0
∂t
und
⇒ die Magnetostatik wird durch folgende beiden Gesetze beschrieben,
∇ × B = µ0 j
∇·B =0
Ampère’sches Gesetz
Fehlen magnetischer Monopole
Dem entsprechend müssen die
Stromverteilung,
∂ρ
=0
∂t
sein, d.h.
Stromdichte:
j, und die Ladungsverteilung
∂j
und
=0
∂t
stationär
j(r) = ρ(r)v(r)
keinen stationären Strom!
Aus dem Ampère’schen Gesetz folgt sofort, dass sich die Magnetostatik nur mit Stromverteilungen beschäftigt, die (im betrachteten Gebiet) quellenfrei sind:
Beachte: Eine sich gleichförmig bewegende Punktladung erzeugt
∇·j =
1
∇ · (∇ × B) = 0
µ0
Aus dem Fehlen magnetischer Monopole ergibt sich anschaulich, daß die Feldlinien des magnetischen
Feldes stets geschlossen sind, da in jedes endliche Volumen gleich viele Feldlinien eintreten wie aus
ihm austreten.
In stromfreien Gebieten (∇ × B = 0) lässt sich das
magnetischen Skalarpotentials ausdrücken,
magnetische Feld als Gradient eines
B = −∇Ψmag .
In diesem Fall muß Ψmag die Laplace-Gleichung
∆Ψmag = 0
erfüllen, welche mit den aus der Elektrostatik bekannten Methoden gelöst werden kann.
11.1
Ampère’sches Gesetz und einfache Stromverteilungen
Statische Magnetfelder werden durch (stationäre) Ströme erzeugt.
Analog der Berechnung elektrischer Felder aus dem Gauss’schen und dem Faraday’schen Gesetz
kann man magnetostatische Felder direkt aus den Maxwell-Gleichungen berechnen, wenn die
Stromverteilung eine einfache Symmetrie aufweist.
In diesem Fall übernimmt das Ampère’sche Gesetz die Rolle des Gauss’schen Gesetzes in dem Sinne,
dass es die felderzeugenden Inhomogenitäten behandelt.
Beispiel:
Magnetisches Feld einer langen Spule
Aus Symmetriegründen: B(r) = B(r)
I. Radialkomponente von B:
∇ · B = 0 und Gauss’sches Gesetz
Die Beiträge von Bz (r) zum Flußintegral durch Deckel und Boden des
Zylinders heben einander auf
⇒ 2πBr L = 0
⇒ Br = 0 überall
Vo
Vi
Vi/o : innere und äußere Gauss’ box
II. z-Komponente des magnetischen Feldes:
z
I
I
r
S3
S2
infinity
L
Ampère’sches Gesetz und
Stokes’sches Theorem
Stokes’sche Fläche S1 :
I
B · d` = Bz (∞) − Bzout (r) L
S1
S1
= µ0 Ienc = 0
Bz (∞) = 0 ⇒ Bzout = 0
Stoke’sche Fläche S2 :
I
S2
B · d` = Bzout (R) − Bzin (R) L = µ0 NL I
Bzin (R) = −µ0 nI
n = NL /L
Stokes’s area S3 :
Bzin (R) − Bzin (r) L = 0
Bz ist innerhalb der Spule konstant.
Tangentialkomponente von B:
y
I
S1
B · d` = 2πrBϕout (r) = µ0 I
⇒ Bϕout =
x
S2
S1
11.2
I
S1
µ0
I
2πr
B · d` = 2πrBϕin (r) = 0
⇒ Bϕin (r) = 0
Statische Magnetische Felder für allgemeine Stromverteilungen
Ähnlich wie in der Elektrostatik ist in der Magnetostatik Ampères Gesetz nur bedingt nützlich um
das magnetische Feld einer nicht symmetrischen Stromverteilung zu berechnen.
11.2.1
Das Vektorpotential
Das Fehlen magnetischer Monopole garantiert, dass man das magnetische Feld als Wirbel eines
A schreiben kann,
Vektorpotentials
B = ∇ × A.
Denn:
∇×B
Wenn
∇ · A = 0 (Coulomb
= ∇ × (∇ × A)
= ∇(∇ · A) − ∆A = µ0 j
Eichung)
∆A = −µ0 j.
Jede Komponente von A muss eine “eigene” Poisson-Gleichung erfüllen.
Beachte: Ai = Ai (x1 , x2 , x3 ).
Speziell ergibt sich dann die Lösung für A im
A(r) =
µ0
4π
Z
dV 0
freien Raum als
(Helmholtz Theorem)
j(r0 )
.
|r − r 0 |
Wenn sich die Stromverteilungen bis ins Unendliche erstrecken, ist das obige Integral im Allemeinen
nicht wohldefiniert.
In Situationen mit wohldefinierter Symmetrie kann man das Vektorpotential mit Hilfe einfacher Integralsätze berechnen.
Beispiel:
Vektorpotential einer unendlich langen Spule
Beachte:
I
wobei Φ der
Fluss von
∂S
A · d` =
Z
S
(∇ × A) · df =
Z
S
B · df = Φ,
B durch die Fläche S ist.
Magnetisches Feld der Spule: B = Bez
(unter Vernachlässigung kleiner Beiträge Bϕ )
aus Symmetriegründen: A(r) = A(r)
Für eine Schleife senkrecht zur Spulenachse erhält man:
πr2 Bz
r<R
.
2πrAϕ (r) =
πR2 Bz
r≥R
Die Radialkomponente von A verschwindet in der Coulomb-Eichung (∇ · A = 0) und Az = 0 folgt aus
dem Ampère’schen Gesetz für einen Weg in der rz-Ebene.
A(r) = A(r)e ϕ ,
mit
µ0 nI
A(r) =
2
r
R2
r
r<R
r≥R
Beachte: Die Richtung von A folgt der Richtung des Stromflusses.
11.2.2
Magnetisches Feld eines Drahtes
B
Z
j(r 0 )
µ0
= ∇×A=
∇ × dV 0
4π
|r − r0 |
Z
µ0
1
= −
dV 0 j(r 0 ) × (∇
)
4π
|r − r0 |
Z
r − r0
µ0
dV 0 j(r0 ) ×
=
4π
|r − r 0 |3
Beachte: ∇ wirkt auf die Variable r, aber nicht auf r 0 .
Die letzte Formel ist nützlich, um magnetische Felder einer gegebenen Stromverteilung j(r) zu berechnen.
Beispiel:
Feld im Außenraum eines stromdurchflossenen Drahtes
Z
0
jdV =
Z
0
0
jdf d` = I
Z
d`0
ein Teilstück des Drahtes bei r 0 trägt mit
dl
df
dB =
r − r0
µ0 I 0
d` ×
4π
|r − r 0 |3
zum gesamten magnetischen Feld,
Z
B = dB
bei.
Biot-Savart Gesetz
Das Feld im Außenraum des Drahtes sieht so aus als wäre der gesamte Strom auf einen unendlich
dünnen Pfad im Zentrum des Drahtes verdichtet.
Beispiel: Magnetisches Feld auf der Symmetrieachse einer kreisförmigen Leiterschleife (Griffiths S.
218)
Auf der Symmetrieachse (z-Achse) heben sich die Beiträge
gegenüberliegender Drahtsegmente zur Komponente des B-Feld, die
parallel zur Leiterschleife verläuft, gegenseitig auf.
Der Beitrag eines Leitersegments zu Bz beträgt
B
ϑ
z
R
dB
r-r’
ϑ
dB =
µ0
d`0
cos ϑ,
I
4π |r − r 0 |2
da d` und r − r0 senkrecht aufeinander stehen. Dann gibt cos ϑ die
Projektion von dB auf die z-Achse
√ an.
cos ϑ und der Abstand |r − r 0 | = R2 + z 2 sind für alle Punkte auf der
Leiterschleife gleich. Damit ergibt sich das magnetische Feld an einem
Punkt z auf der z-Achse nach Integration über d`0 = Rdφ zu
µ0 I
cos ϑ
R2
µo I
2πR
=
.
B(z) =
4π |r − r 0 |2
2 (R2 + z 2 )3/2
Im letzten Schritt wurde benutzt, daß cos ϑ = R/|r − r 0 | und |r − r 0 | =
√
R2 + z 2 .
In den meisten Fällen ist es einfacher, das Vektorpotential einer gegebenen Stromverteilung zu berechnen und daraus das magnetische Feld abzuleiten, als das Biot-Savart Gesetz direkt zu verwenden.
11.3
Kraft auf stromdurchflossene Leiter
Im Magnetfeld wirkt auf eine Punktladung q, die sich mit der Geschwindigkeit v bewegt, die Lorentzkraft
F L = qv × B.
Erstaunlicherweise verrichtet diese Kraft keine Arbeit, denn die Lorentzkraft steht stets senkrecht
zum durchlaufenen Weg,
s
F L · ds = q( × B) · ds = 0.
dt
Fließt in einem Leiter der Querschnittsfläche F ein Strom I = ρ v F , so wirkt auf ihn im Magnetfeld
pro Längenelement die Kraft
dF = Id` × B.
Entsprechend kann sich der Draht im magnetischen Feld verbiegen. Dieser Vorgang fällt jedoch nicht
mehr in das Anwendungsgebiet der Magnetostatik, da in diesem Fall die Stromverteilung nicht länger
stationär ist. Entsprechend kann auch die Energie, die zum Verbiegen des Drahtes notwendig ist,
nicht mit Mitteln der Elektrostatik beschrieben werden.
Kraft zwischen zwei stromdurchflossenen Leitern
Kraft auf den Leiter “1” aufgrund des Magnetfeldes, das vom Leiter “2” am Ort von r1 (Teil von
“1”) erzeugt wird:
Z
dV1 j 1 (r 1 ) × B 2 (r 1 )
F 12 =
Z
Z
µ0
r 1 − r2
=
dV1 dV2 j 1 (r 1 ) ×
j (r ) ×
4π 2 2
|r1 − r 2 |3
Z
µ0
r1 − r2
= I1 I2 d`1 (r 1 ) ×
d`2 (r 2 ) ×
4π
|r 1 − r2 |3
Dieser Ausdruck ist (trotz unsymmetrischer Ausgangssituation) (anti-) symmetrisch in den Stromverteilungen.