Mechanik II Herbst 2011

Aufgabe D1 H11
Nachdem seine Maschinen gestoppt werden, verringert ein Containerschiff seine
anfängliche Geschwindigkeit v0 alleine durch Reibung im Wasser. Für die Beschleunigung a soll angenommen werden, dass diese im Zeitintervall 0 ≤ t ≤ 2τ dem Quadrat
der Geschwindigkeit v des Frachters proportional ist.
Geg.: a = −cw v 2 , cw = const, cw > 0 , v0 , τ
Ges.:
a) Bestimmen Sie die Konstante cw , wenn sich die Geschwindigkeit des Frachters
nach der Zeit τ vom Anfangswert v0 auf dessen Hälfte verringert hat !
Bestimmen Sie für den Zeitpunkt t = 2τ
b) das Geschwindigkeitsverhältnis v2τ /v0 ,
c) den Weg s2τ , den der Frachter nach der Zeit 2τ zurückgelegt hat !
∫
Hinweis:
1
dx = ln |x| + const
x
v, a
Aufgabe D2 H11
Ein Stab bewegt sich aus der senkrechten Ruhelage bei φ = 0 unter dem Einfluss
seines Gewichtes in die horizontale Position. Der Vorgang zerfällt in zwei Abschnitte.
Phase I bis zum Erreichen der Ecke E wird der Stab von der Wand A und der Unterlage B geführt, danach in der Phase II wird er nur von der Unterlage geführt.
Bei Erreichen der horizontalen Lage stößt der Stab ohne Rückfedern gegen die Unterlage (Phase III) und rutscht danach parallel zur Unterlage in eine Endposition (Phase IV).
Annahmen: In den Phasen I und II soll Reibung mit den Wänden bei A und B
vernachlässigt werden. In der Phase IV soll zwischen Stab und Unterlage Reibung mit
Gleitreibungskoeffizient µ auftreten. Der Stab besitze eine homogene Massenverteilung
und seine Dicke sei gegenüber seiner Länge 2h vernachlässigbar.
Geg.:
m, JS , h , µ , ⃗g
A
g
ϕ
2h
E
S
h
m, JS
y
x
B
Ges.:
Bestimmen Sie
a) die Winkelgeschwindigkeit als Funktion des Winkels φ in der Phase I: 0 ≤ φ ≤ φE ,
b) die Winkelgeschwindigkeit als Funktion des Winkels φ in der Phase II: φE ≤ φ ≤ π/2,
c) die Auflagerreaktionen bei A und B als Funktion des Winkels φ für Phase I und II
(Angabe des Gleichungssystems reicht!),
d) den Verlust mechanischer Energie beim Stoß, Phase III,
e) die Strecke xR , die der Stab in Phase IV zurücklegt, bis er wieder zur Ruhe kommt,
f) den Verlust mechanischer Energie in Phase IV und den Verlust an mechanischer Energie
insgesamt!
Aufgabe D3 H11
Ein Quader mit Masse m und Trägheitsmoment JS soll auf einem Fließband bewegt werden.
Nach Betriebsstörungen (Stillstand des Bandes) soll das Fließband wieder möglichst schnell auf
Arbeitsgeschwindigkeit beschleunigen.
Annahmen: Der Quader hat eine homogene Massenverteilung.
Geg.: m , JS , d , α , ⃗g
g
ϕ
S
m, JS
α
a
2d
Ges.:
Für den Fall konstanter Beschleunigung des Fließbandes und
dass der Quader nicht rutscht,
a) die Grenzbeschleunigung ⃗a = ⃗ag des Fleißbandes, so dass der Quader gerade nicht in
Rotation gerät,
b) den bei der Grenzbeschleunigung ⃗a = ⃗ag notwendigen Haftreibungskoeffizienten zwischen Quader und Fließband,
Für den Fall konstanter Beschleunigung |⃗a| > |⃗ag | des Fließbandes und
dass der Quader nicht rutscht,
¨⃗ des Quaders als Funktion des Winkels 0 < φ < π/2 − α,
c) die Winkelbeschleunigung φ
d) die Winkelgeschwindigkeit φ
⃗˙ des Quaders als Funktion des Winkels 0 < φ < π/2 − α!
Musterlösung Mechanik II SS11
Aufgabe D1 H11
dv
= −cw v 2
dt
dv
Trennung der Variablen: 2 = −cw dt
v
a) Definition: a =
Integration: −
Integrationskonstante aus Anfangsbedingungen : t = 0 :
Lösung allgemein: t =
v0
1
( − 1)
v0 cw v
⇒
1
= −cw t + C1
v
⇒
v = v0
C1 = −
Zeit t = τ für v = 1/2 v0 : τ =
1
v0
1
cw v0
1
v
=
v0
3
b) Geschwindigkeit bei t = 2τ : Nach Einsetzen in Lösung aus a) folgt:
dv
dv
=v
= −cw v 2
dt
ds
1
v
1 dv
Integration: s = − ln | |
Trennung der Variablen: ds = −
cw v
cw
C2
c) Aus Definition: a =
Integrationskonstante aus Anfangsbedingungen : s = 0 :
Lösung allgemein: s = −
v
1
ln | |
cw
v0
⇒
⇒
v = v0
Ort s für v = v0 /3: s =
C2 = v0
ln 3
cw
Aufgabe D2 H11
a) Energieerhaltung Phase I
mgh = mgh cos φI +1/2 m vS2 +1/2 JS φ̇2I
2
2
mit vS2 = vSx
+vSy
Euler:
0
vSx = v Ax + h φ̇I cos φI = +h φ̇I cos φI
0
vSy = v By − h φ̇I sin φI = −h φ̇I sin φI
vA
}
vS2
2
=h
ϕ
ϕ
φ̇2I
vSy
vSx
ϕ
√
⇒
φ̇I =
2mgh (1 − cos φI )
,
JS + mh2
vS,A
ϕ
vS,B
0 ≤ φI ≤ φE = arccos 1/2
y
x
b) Energieerhaltung Phase II
2 + v 2 ) + 1/2 J φ̇2
mgh = mgh cos φII + 1/2 m (vSx
S II
Sy
vSx = const = h φ̇E cos φE = h 21
√
⇒
φ̇II =
√
mgh/(JS + mh2 ) ,
2mgh (1 − cos φII ) − m h2 φ̇2E cos2 φE
,
JS + mh2 sin φ2II
vSy = −h φ̇II sin φII
φE = arccos 1/2 ≤ φII ≤ π/2
vB
c)
Gleichungssystem Phase I:
(
)
(1)
JS φ̈I = −NA cos φI + NB sin φI h
(2)
m aSx = NA
(3)
m aSy = NB − mg
NA
aA
ϕ
(4)
(5)
(
)
(
)
aSx = aS,Ax = h +φ̈I cos φI − φ̇2I sin φI
aSy = aS,By = h −φ̈I sin φI − φ̇2I cos φI
Phase I
ϕ, ϕ
aSy
aS,An
aS,At
aSx
aS,Bn
aS,Bt
G
y
Unbekannte:
aB
x
φ̈I , NA , NB , aSx , aSy
NB
Gleichungssystem Phase II:
(1)
JS φ̈II = h NB sin φII
(−)
m aSx = NA = 0
ϕ, ϕ
ϕ
aS,At
aSx = 0 !
aS,An
(2)
m aSy = NB − mg
(3)
aSy = h −φ̈II sin φII − φ̇2II cos φII
(
Unbekannte:
aSy
)
aS,Bn Phase II
aS,Bt
G
y
φ̈II , NB , aSy
aB
x
NB
d) Energieverlust Phase III:
G
aSx
2
∆EVIII = mgh − 1/2 m vSx
(φE )
R
N
e) Gleichmäßig beschleunigte Bewegung:
m aSx = −RB = −µ mg
⇒
2
xR = vSx
(φE )/(2 µ g)
f) Energieverlust Phase IV und Gesamtenergieverlust:
2 (φ ) ,
∆EVIV = 1/2 m vSx
E
EV = mgh
Aufgabe D3 H11
a) Falls keine Rotation in Gang kommt, gilt:
b/2
→
φ̈ = 0 , aSy = 0
aSx = a
aSy
Schwerpunktsatz in x-Richtung:
m aSx = R ,
ϕ
⇒
aSx = a
α
⇒
a
G
R
Schwerpunktsatz in y-Richtung:
m aSy = 0 = N − G
S
h/2
R = ma
aSx
N
N =G
e
Drallsatz um Schwerpunkt:
Js φ̈ = 0 = −N e+R
h
2
⇒
N e = ma
h
2
⇒
a=
Ge
2e
=g
m h/2
h
Maximalwert der Beschleunigung falls e = emax = b/2:
amax = ag = g
b) Haftreibung:
b
= g cot α
h
R ≤ µH N
⇒
µH ≥
ag
R
=
= cot α
N
g
ϕ
c) Falls a > ag :
aS,Bt
Drallsatz um Schwerpunkt:
aS,Bn
Js φ̈ = R sin(φ + α) − N cos(φ + α)
S
aSx
G
ϕ
B
Schwerpunktsatz in x und y-Richtung:
α
a
R
m aSx = R
m aSy
aSy
N
= N −G
Euler:
a
aSx = aBx − aS,Bt sin(φ + α) − aS,Bn cos(φ + α) }
aSy =
0
aBy
+ aS,Bt cos(φ + α) − aS,Bn sin(φ + α)
Einsetzen in Drallsatz:
⇒
mit
aS,Bt = d φ̈ , aS,Bn = d φ̇2
(
)
JS φ̈ = m d sin(φ + α) a − dφ̈ sin(φ + α) − dφ̇2 cos(φ + α) +
(
)
−m d cos(φ + α) g + dφ̈ cos(φ + α) − dφ̇2 sin(φ + α)
(
)
= m d a sin(φ + α) − g cos(φ + α) − m d2 φ̈
⇒
(
)
(
JS + md2 φ̈ = md a sin(φ + α) − g cos(φ + α)
)
oder
φ̈ =
md
(a − ag ) sin(φ + α)
JS + m d2
Die Winkelbeschleunigung wächst mit wachsendem α. Daher beim Einkaufen Glasflaschen besser
aufs Transportband der Kasse legen statt stellen.
d) Zur Berechnung der Winkelgeschwindigkeit kann die vorstehenden Gleichung mit φ̇ erweitert
werden. Dies liefert
φ̈ φ̇ =
md
d
1 d 2
md
(a − ag ) sin(φ + α) φ̇ = −
(a − ag ) cos(φ + α).
φ̇ =
2 dt
JS + m d2
JS + m d2
dt
Die unbestimmte zeitliche Integration ergibt dann
1 2
md
(a − ag ) cos(φ + α) + C0 .
φ̇ = −
2
JS + m d2
Die Konstante wird aus den Anfangsbedingung bestimmt:
φ̇(φ = 0) = 0 :
√
⇒
φ̇ =
C0 =
md
(a − ag ) cos α
JS + m d2
(
)
2md
(a
−
a
)
cos
α
−
cos(φ
+
α)
> 0
g
JS + m d2
für alle
0<φ<
π
−α
2
Solange das Fließband beschleunigt wächst die Geschwindigkeit mit wachsendem Winkel φ.