TP3 - Quantenmechanik Probeklausur II

TP3 - Quantenmechanik Probeklausur II
Datum 18.01.2011
Name, Vorname: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hilfsmittel : keine
Aufgabe 1 2 3 4 5 6 Summe
erreichbar 6 6 8 12 6 6
44
Punkte
Viel Erfolg!
Formeln
Alle auf dieser Seite angegebenen Formel dürfen ohne Beweis benutzt werden.
• Das in dieser Klausur benutzte Skalarprodukt auf H
hϕ|ψi :=
Z
∞
dx ϕ(x)∗ ψ(x)
(1)
−∞
• Trigonometrische Funktionen
sin(x) =
1 ix
e − e−ix ;
2i
cos(x) =
1 ix
e + e−ix
2
(2)
• Energieeigenwerte des harmonischen Oszillators
1
En = ~ω n +
2
(3)
ρ(~x, t) := ψ ∗ ψ
(4)
Lj := ǫjkl xk pl
(5)
[Li , Lj ] = i ~ǫijk Lk
(6)
• Wahrscheinlichkeitsdichte
• Drehimpulsoperator
L± |jmi = ~
p
j(j + 1) − m(m ± 1)|j, m ± 1i
(7)
• Levi-Civita-ǫ-Tensor
ǫjkl ǫjmn = δkm δln − δkn δlm
(8)
ǫjkl ǫjkn = 2δln
(9)
• Kommutatorrelation beim harm. Oszillator
[b, b† ] = 1
(10)
• Grundzustand des harmonischen Oszillators
1
ψ 0 = π − 4 e−
x2
2
(11)
Aufgabe 1 : Kurzfragen
6 Punkte
a) Wie lauten die Energien des Wasserstoffatoms (gebundene Zustände bzw. Streuzustände)?
b) Wann sind zwei Operatoren A, B gleichzeitig diagonalisierbar?
c) Durch welchen Ausdruck des Wechselwirkungsspotentials sind in Bornscher Näherung die
Streuamplituden gegeben?
d) Sei A ein linearer Operator. Dann lässt sich die zeitliche Ableitung des Erwartungswertes
des Operators über das Ehrenfestsche Theorem bestimmen. Wie lautet dieses?
e) Was versteht man unter dem Schrödinger-Bild und was unter dem Heisenberg-Bild?
Aufgabe 2 : Drehungen im R3
6 Punkte
a) Die Standardbasis = {e1 , e2 , e3 } des R3 werde um den Winkel α um die e3 -Achse gedreht,
d.h. êi = O(e3 )ei , mit O(e3 ) ∈ SO(3). Wie lauten die Komponenten des Ortsvektors ~x
im neuen Basissystem? Gebe die Erzeugende ( infinitesimale Drehung ) G3 dieser Drehung
an. Wie lauten die Erzeugenden für Drehungen um die e1 und die e2 Achse?
b) Aus solchen infinitesimalen Drehungen kann man endliche Drehungen erhalten. Um ein
Beispiel dafür zu sehen, berechne exp αG3 einmal durch Darstellung in Diagonalbasis und
einmal durch ausschreiben der Exponentialreihe ( Benutze dabei, dass die geraden Potenzen die Identität liefern) .
c) Wie kann man mit Hilfe der drei Erzeugenden eine beliebige Drehung darstellen ?
d) Gibt es eine Transformation, die alle drei Erzeugenen simultan diagonalisiert?
Aufgabe 3 : Virialsatz
8 Punkte
Im Umfeld des Virialsatzes sind zwei kleine Sätze zu zeigen.
a) Zeigen Sie, dass der folgende Satz gilt:
Für jede beliebige homogene Funktion f vom Grade s gilt
n
X
i=1
xi
∂f
= sf (x1 , . . . , xi , . . . , xn )
∂xi
(12)
(3 Punkte)
b) Sei H(λ) ein hermitescher Operator und |ψ(λ)i ein normierte Eigenvektor von H(λ) zum
Eigenwert E(λ). Zeigen, Sie dass der folgende Ausdruck gilt:
d
d
E(λ) = hψ(λ)| H(λ)|ψ(λ)i
dλ
dλ
(3 Punkte)
(13)
c) Zeige nun den Virialsatz, der da lautet:
~ >ψ
< p~2 /m >ψ =< ~x∇V
(14)
(2 Punkte)
Aufgabe 4 : Darstellungen
12 Punkte
Betrachtet werden soll die Gruppe der SO(3) Drehungen.
a) Geben Sie die Drehmatrix für eine Drehung gy (ϕ) mit dem Winkel ϕ um die y-Achse an
sowie die infinitesimale Erzeugende Jy für diese Drehung.
b) Zeigen Sie, dass gilt
gy (ϕ) = eJy ϕ
(15)
(2 Punkte)
c) Aus Vorlesung und Übung ist bekannt, dass die Erzeugende für eine Drehung um die
y-Achse in 2 Dimensionen ( l = 1/2 ) gegeben ist durch
i 0 −i
(16)
Sy =
2 i 0
Die zugehörigen endlichen Drehungen erhält man via gy (ϕ) = exp(ϕSy ). Was geschieht
in der dreidimensionalen Darstellung für den Drehwinkel ϕ = 2π (Drehung um y-Achse),
was bei gleichem Drehwinkel in der zweidimensionalen Darstellung mit j = 21 ? (7 Punkte)
d) Nun betrachten wir eine Darstellung von SO(3) auf dem Raum der quadratintegrablen
Funktionen. Sie ist mit Ψ ∈ L2 (R3 ) gegeben durch
D(g)Ψ(~r) = Ψ(g −1~r)
(17)
Zeigen Sie, dass für das Skalarprodukt auf L2 gilt
hD(g)Ψ, D(g)Φi = hΨ, Φi
(18)
(2 Punkte)
Aufgabe 5 : Elektron im Magnetfeld
6 Punkte
~ = B0~ez , dem ein dazu senkrechEin Elektron befinde sich in einem homogenen Magnetfeld B
~
tes (zeitabhängiges) Magnetfeld B⊥ von folgender Art
~ ⊥ = B⊥ (cos(ωt)~ex + sin(ωt)~ey )
B
überlagert ist.
a) Wie lautet die Schrödingergleichung dieses Systems?
b) Suchen Sie Lösungen der Schrödingergleichung der Form:
a1 exp − 21 i ωt
ψ = exp(i λt)
a2 exp 12 i ωt
c) Zur Zeit t = 0 befinde das Teilchen sich im Zustand mit Sz = + 12 ~. Bestimmen Sie die
Wahrscheinlichkeit W−←+ (t; 0), dass eine Messung des Spins des Teilchens zur Zeit t den
Wert − 21 ~ ergibt. Für welche t und ω ist sie maximal?
Aufgabe 6 : Drehimpulsaddition
6 Punkte
Gegeben ist ein System zweier Teilchen mit dem zusammengesetzten Drehimpuls ~j = ~j1 + ~j2 .
Die Zustände dieses Systems können durch die gemeinsamen Eigenfunktionen |jmj1 j2 i der
Operatoren ~j 2 , jz , ~j12 ,~j22 oder durch die gemeinsamen Eigenfunktionen |j1 m1 i ⊗ |j2 m2 i ≡
|j1 m1 i|j2 m2 i der Operatoren ~j12 , ~j22 , j1z , ~j2z beschrieben werden. Hierbei gilt:
X
j1 j2 jm
|jmj1 j2 i =
Cm
|j1 m1 i|j2 m2 i
1 m2
m1 m2
j1 j2 jm
mit den Clebsch-Gordan-Koeffizenten Cm
1 m2 .
a) Für j1 = j2 = 1 sei der Zustand |j = 2, m = 2i mit der Darstellung |2, 2i = |1, 1i|1, 1i
vorgegeben. Stellen Sie durch mehrfaches Anwenden des Absteigeoperators j− die Zustände
|2, 1i, |2, 0i, |2, −1i sowie |2, −2i in der Basis der |j1 m1 i|j2 m2 i dar.
b) Der Zustand |j = 1, m = 1i setzt sich für j1 = j2 = 1 folgendermaßen zusammen:
|1, 1i = α|1, 1i|1, 0i + β|1, 0i|1, 1i
Bestimmen Sie α und β aus der Normierung und durch Anwendung des Operators ~j 2 =
2
~j1 + ~j2 .