Theoretische Physik III (Elektrodynamik)

Theoretische Physik III (Elektrodynamik)
Prof. Dr. Th. Feldmann
3. Juli 2013
Kurzzusammenfassung – Vorlesung 22 vom 2.7.2013
Berechnung der elektromagnetischen Felder aus L-W-Potential
Wir brauchen
~ ~x) = −∇φ
~ − 1 ∂t A
~,
~ ~x) = ∇
~ ×A
~.
E(t,
B(t,
c
• Berechne zunächst
−1
qc
~ Rc − R
~ · ~v
~ =∇
~
= qc
∇
∇φ
~ · ~v
~ · ~v )2
Rc − R
(Rc − R
(1)
~ ret . Der zweite
~ − tret ) = −c2 ∇t
~
Der erste Term in Klammern ergibt ∇(Rc)
= c2 ∇(t
Term in Klammern lässt sich entwickeln gemäß (vgl. Übung)
~ R
~ · ~v ) = (R
~ · ∇)~
~ v + (~v · ∇)
~ R
~ +R
~ × (∇
~ × ~v ) + ~v × (∇
~ × R)
~
∇(
– Der erste Term in der Entwicklung ergibt
~ · ∇)~
~ v = (R1 ∂1 + R2 ∂2 + R3 ∂3 ) ~v (tret )
(R
∂~v ∂tret
∂~v ∂tret
∂~v ∂tret
= R1
+ R2
+ R3
∂tret ∂x1
∂tret ∂x2
∂tret ∂x3
~
~
= ~a · (R · ∇tret ) .
(2)
– Der zweite Term in der Entwicklung ergibt
~ R
~ = (~v · ∇)
~ ~x − (~v · ∇)
~ ~x0 (tret )
(~v · ∇)
∂x0 ∂tret
= ~v − v1
+ (1 → 2) + (1 → 3)
∂tret ∂x1
~ ret ) .
= ~v − ~v (~v · ∇t
(3)
– Im dritten Term der Entwicklung haben wir
∂vk ∂tret
~ ret ]j ak = −[~a × ∇t
~ ret ]i , (4)
= ijk [∇t
∂tret ∂xj
~ × (∇
~ × ~v ) = −R
~ × (~a × ∇t
~ ret )
R
~ · ∇t
~ ret ) + (~a · R)
~ ∇t
~ ret .
= −~a (R
(5)
~ × ~v ]i = ijk ∂j vk = ijk
[∇
⇒
1
~ × R]
~ =∇
~ × ~x − ∇
~ × x0 (~tret ) = ~v × ∇t
~ ret , und damit für den
– Entsprechend [∇
vierten Term in der Entwicklung
~ × R)
~ = ~v × (~v × ∇t
~ ret ) = ~v (~v · ∇t
~ ret ) − v 2 ∇t
~ ret
~v × (∇
(6)
Die 4 Terme zusammengefasst ergeben (wobei sich 4 Terme kompensieren)
~ (R
~ · ~v ) = ~v + (~a · R
~ − v 2 ) ∇t
~ ret .
∇
(7)
• Somit erhält man für den Gradienten des skalaren Potential
"
!
#
~
~
a
·
R
qc
~
~ ret
~v + c2 1 − β 2 + 2
∇φ
=
∇t
2
2
2
~
c
R c (1 − ~n · β)
~
n
~ ret = −
∇t
~
q
~
n
1
R
c(1−~
n·β)
˙
~
=
β~ −
+ (~n · β)
~ 2
γ2
c
R2 (1 − ~n · β)
1 − ~n · β~
(8)
— Puh! —
• Die zeitliche Ableitung des Vektorpotentials kann man entsprechend berechnen,
"
#
~
β
q
1
R
R
1 ~
˙
˙
~
∂t A =
+ (~n · β)
−β~ + β~ +
.
(9)
~ 2
c
c
γ2
c
R2 (1 − ~n · β)
1 − ~n · β~
• Für das elektrische Feld ergeben sich dann 2 Terme:
~ ~x) =
E(t,
~
q(~n − β)
~ 3
R2 γ 2 (1 − ~n · β)
+
~˙ n − β)
~ − β(1
~˙ − ~n · β~
q (~n · β)(~
~ 3
cR
(1 − ~n · β)
(10)
~ β)
~˙ = (~n ·(~n − β))
~ β~˙ −(~n · β)(~
~˙ n − β)
~ lässt sich der 2.Term umschreiben
Mit ~n ×((~n − β)×
~ ~x) =
E(t,
~ × β~˙
q ~n × [(~n − β)
+
~ 3 cR
~ 3
R2 γ 2 (1 − ~n · β)
(1 − ~n · β)
~
q(~n − β)
(11)
~ ~x) = ~n × E(t,
~ ~x).
• Das magnetische Feld ergibt sich aus B(t,
Diskussion:
˙
• Für gleichförmige Bewegung (β~ = 0) trägt nur erster Term bei. Für kleine v (β → 0,
~ = q~n/R2 , B
~ = 0).
γ → 1) ergibt sich wieder der elektrostatische Limes (E
• Für beschleunigte Bewegung (Betrag und/oder Richtung) trägt auch 2. Term bei:
2
– 2. Term fällt nur mit 1/R ab.
~ ⊥ ~n, B
~ ⊥ ~n und B
~ ⊥ E.
~
– E
Entspricht gerade dem typischen Verhalten von Strahlungsfeldern. – Allgemein:
“Beschleunigte Ladungen senden elektromagnetische Strahlung aus.”
(Spezialfälle: Dipolstrahler, Synchrotonstrahlung, Pulsare . . . )
Strahlungsleistung aus Lienard-Wiechert–Feldern
Wir betrachten jetzt den 2. Term, der dem Strahlungsfeld entspricht:
~
• Für diesen Fall ist der Poynting-Vektor parallel zu ~n = R/R,
mit
2
~ × β]
~˙ ~
n
×
[(~
n
−
β)
2
~ = c ~n · (E
~ × B)
~ = q
~n · S
6
~
4π
4πcR2
ret
(1 − β · ~n)
(12)
• Die Strahlungsleistung durch ein Flächenelement d2 f~ = R2 dΩ ~n entsprechend
2
~ × β]
~˙ n
×
[(~
n
−
β)
2 ~
dP
~ = q
= R2 (~n · S)
(13)
6
~
dΩ
4πc
ret
(1 − β · ~n)
• Im Zeitsystem der Ladung (aber mit dΩ weiterhin im Laborsystem) gilt
dP 0
dP ∂t
q2
| · · · |2
=
=
dΩ
dΩ ∂tret
4πc (1 − β~ · ~n)5
(14)
• 2 Grenzfälle sind interessat:
~ folgt
(i) nicht-relativistischer Grenzfall, β 1: Mit θ0 = ∠(~n, β)
~ × β|
~˙ ≈ |~n × [~n × β]|
~˙ = sin θ0 v̇
|~n × |(~n − β)
c
dP 0
q2 2
dP
2 0
v̇ sin θ
⇒
≈
≈
dΩ
dΩ
4πc3
(β 1) .
(15)
Entspricht Winkelverteilung der Dipolstrahlung (mit ruhendem Beobachter).
~˙ mit θ0 = ∠(~n, β)
~ = ∠(~n, β).
~˙
(ii) lineare Beschleunigung, β~ k β,
Zähler wie vorher, aber nicht-triviales Winkelverhalten vom Nenner:
dP
dP 0
q2 2
sin2 θ0
≈
≈
v̇
dΩ
dΩ
4πc3 (1 − β cos θ0 )5
3
~˙
(β~ k β)
(16)
Qualitativ: Typische “Strahlungskeulen” der Dipolstrahlung (mit Maximum bei
θ0 = 90◦ ) werden für große β zu kleineren Winkeln hin geboostet, weil dann
Nenner klein wird. Für hochrelativistische Geschwindigkeiten, β ∼ 1, divergiert
der Nenner für θ → 0 und die Strahlung ist in Vorwärtsrichtung fokussiert.
Strahlungsverlust:
Bei Beschleunigung von Ladungen geht die aufgebrachte Energie/Leistung nicht vollständig
in kinetische Energie, sondern ein Teil geht als elektromagnetische Strahlung “verloren”.
• Für nicht-relativistische Geschwindigkeiten lässt sich Winkelabhängigkeit integrieren,
P =
2q 2 2
v̇
3c3
(v c)
(17)
• Relativistische Verallgemeinerung folgt aus Lorentz-Invarianz: Wegen dEstrahl = P dt =
P
dx0 ist P Lorentz-Skalar (weil sowohl dE als auch dt als 0-Komponente eines 4erc
Vektors transformieren).1 Deswegen P mit Skalarprodukt der 4er-Beschleunigung
P = −
• Mit
d~v
dt
= ~v˙ und
dγ
dt
=
~v ·~v˙
c2
2q 2 duα duα vc 2q 2 2
−→
v̇
3c3 dτ dτ
3c3
(18)
γ 3 ergibt sich
duα
d
duα
~v · ~v˙
=γ
= γ (γc, γ~v ) = γ 4 2 (c, ~v ) + γ 2 (0, ~v )
dτ
dt
dt
c
!
˙ ~v · ~v˙
~
v
·
~
v
= γ4
, 2 ~v + (1 − v 2 /c2 ) ~v˙
c
c
(19)
Damit erhält man
duα duα
(~v · ~v˙ )2
= −γ 6
− γ 4 (~v˙ )2 ,
dτ dτ
c2
!
2
2
˙
2q
(~v · ~v )
γ 4 (~v˙ )2 + γ 6
P =
3
3c
c2
(20)
– Speziell für ~v k ~v˙ (Linearbeschleunigung)
v2
γ + γ 2 = γ6
c
4
6
2q 2 6
P =
γ
3c3
→
Speziell für ~v ⊥ ~v˙ (Kreisbeschleunigung)
2
2q 2 4 d~v
→ P =
γ
3c3
dt
1
Beachte: dP/dΩ ist kein Lorentz-Skalar, weil dΩ 6= dΩ0 .
4
d~v
dt
2
(~v ⊥ ~v˙ )
(~v k ~v˙ )
(21)
(22)