IX.3 Potentiale und Felder einer bewegten Punktladung

N.BORGHINI
Elektrodynamik einer Punktladung
Theoretische Physik IV
IX.3 Potentiale und Felder einer bewegten Punktladung
Dieser Abschnitt beginnt mit der Berechnung der Potentiale und Felder, die durch eine bewegte
Punktladung mit der Bahnkurve
~x(t) erzeugt werden. Die zugehörige Raumzeitlinie der Ladung
µ
wird als x (t) = ct, ~x(t) bezeichnet, und der entsprechende Viererstrom ist [vgl. Gl. (VII.4)]
dxµ (t)
j µ (t, ~r) = qδ (3) ~r − ~x(t)
.
dt
Dann wird die durch die Felder transportierte Leistung bestimmt.
IX.3.1 Liénard–Wiechert-Potentiale
Mit dieser Form des Viererstroms lautet das Viererpotential (IX.5)
Z
(3) 0
µ 0
1
1
0
0
0 dx (t )
µ
δ
c(t
−
t
)
−
|~
r
−
~
r
|
qδ
~
r
−
~
x
(t
)
d(ct0 ) d3~r 0
A (t, ~r) =
4π0 c2 |~r − ~r 0 |
dt
Z ∞ µ 0
q
dx (t )
1
|~r − ~x(t0 )|
0
=
dt0 .
δ t−t −
4π0 c2 −∞ dt |~r − ~x(t0 )|
c
(IX.8)
Das Argument f (t0 ) = t − t0 − |~r − ~x(t0 )|/c der δ-Distribution verschwindet für einen einzigen
Wert von t0 , der als tret. bezeichnet wird und retardierte Zeit heißt. tret. ist die Zeit, zu der die
Raumzeitlinie xµ (t) der Punktladung den Rückwärtslichtkegel des Punkts (ct, ~r) durchschneidet
(Abb. IX.2).
x00
6
xµ (t)
• (ct, ~
r)
@
@
@
@
•
x02 @
@ x01
@
@
Abbildung IX.2: Retardierte Zeit.
Die retardierte Zeit genügt somit der impliziten Gleichung
|~r − ~x(tret. )|
tret. = t −
.
c
δ(t0 − tret. )
Die Integration nach t0 in Gl. (IX.8) folgt aus δ f (t0 ) =
, wobei
|f 0 (tret. )|
1 ~r − ~x(t0 ) d~x(t0 )
·
.
f 0 (t0 ) = −1 +
c |~r − ~x(t0 )|
dt
(IX.9)
Hier gilt
f 0 (tret. ) = −1 + ~eret. · β~ret. ,
mit
~eret. ≡
~ ret.
X
~r − ~x(tret. )
≡
~ ret. |
|~r − ~x(tret. )|
|X
(IX.10a)
~ ret. ≡ ~r − ~x(tret. ), d.h. von der Quelle des Potentials bis zu
dem Einheitsvektor in Richtung von X
dessen Beobachtungspunkt, während
~vret.
1 d~x(tret. )
β~ret. =
=
(IX.10b)
c
c
dt
die Geschwindigkeit der Punktladung zur retardierten Zeit bezeichnet. Da der Betrag von β~ret.
streng kleiner als 1 ist, bleibt f 0 (tret. ) immer negativ.
IX. Klassische Theorie der Strahlung
83
N.BORGHINI
Elektrodynamik einer Punktladung
Theoretische Physik IV
Somit ergeben sich die Liénard–Wiechert-Potentiale
Aµ (t, ~r) =
q
1 dxµ (tret. )
,
2
4π0 c
dt
(1 − ~eret. · β~ret. )|~r − ~x(tret. )|
(IX.10c)
d.h.
φ(t, ~r) =
1
4π0
~ ~r) = µ0
A(t,
4π
q
|~r − ~x(tret. )| − [~r − ~x(tret. )] ·
~vret.
c
(IX.10d)
q~vret.
(IX.10e)
~vret.
c
der Punktladung zur retardierten Zeit von tret. und somit
|~r − ~x(tret. )| − [~r − ~x(tret. )] ·
Dabei hängt die Geschwindigkeit ~vret.
implizit von t und ~r ab.
Bemerkungen:
∗ Der Nenner dieser Potentiale ist immer positiv.
∗ Man kann eine kovariante Form des Viererpotentials (IX.10c) finden, die von der Vierergeschwin
digkeit uµret. im retardierten Punkt xµret. und von X µ ≡ xµ − xµret. = c(t − tret. ), ~r − ~x(tret. ) abhängt.
Im mitbewegten Bezugssystem, das sich mit der Punktladung zur retardierten Zeit bewegt, lautet
Gl. (IX.10c)
q
1
,
Ai (t, ~r) = 0 für i = 1, 2, 3,
A0 (t, ~r) =
4π0 c |~r − ~x(tret. )|
während Xν uνret. = c2 (t − tret. ) = c|~r − ~x(tret. )| gilt. Dann gilt der deutlich kovariante Ausdruck
Aµ (x) =
uµret.
q
.
4π0 c Xν uνret.
∗ Wenn die Punktladung beschleunigt wird, muss sie einer Kraft unterliegen, d.h. sie muss in einem
elektromagnetischen Feld sein: dieses „äußere“ Feld wird hier nicht präzisiert.
IX.3.2 Elektrisches und magnetisches Feld
Das elektrische und das magnetische Feld können aus Gl. (VII.6) hergeleitet werden. Die Liénart–
Wiechert-Potentiale (IX.10) hängen aber nicht nur explizit von der Raumzeitvariablen t und ~r ab,
sondern auch implizit über die retardierte Zeit (IX.9). Dementsprechend ist die Berechnung der
Felder etwa mühsam, und führt letztendlich zu den retardierten Feldern:
!
~ret. × ~aret.
~ret.
~
e
×
~
e
−
β
q
~
e
−
β
ret.
ret.
ret.
~ =
E
,
(IX.11a)
+
2 X
~ ret. ~ ret. 2
c2 X
4π0 (1 − ~eret. · β~ret. )3 γret.
~ = 1 ~eret. × E,
~
B
(IX.11b)
c
mit β~ret. bzw. ~aret. der auf c normierten Geschwindigkeit bzw. der Beschleunigung der Punktladung
2 )−1/2 dem entsprechenden Lorentz-Faktor.
zur retardierten Zeit und γret. = (1 − β~ret.
Beweis: Um die retardierten Felder herzuleiten, lohnt es sich, die Potentiale (IX.10d)–(IX.10e)
zu umschreiben [vgl. Gl. (IX.8)]
Z ∞
q
1
|~r − ~x(t0 )|
0
φ(t, ~r) =
δ
t
−
t
−
dt0
(IX.12a)
4π0 −∞ |~r − ~x(t0 )|
c
Z ∞
~v (t0 )
|~r − ~x(t0 )|
0
~ ~r) = µ0 q
A(t,
δ
t
−
t
−
dt0
(IX.12b)
4π −∞ |~r − ~x(t0 )|
c
IX. Klassische Theorie der Strahlung
84
N.BORGHINI
Elektrodynamik einer Punktladung
Theoretische Physik IV
~ 0 ) ≡ ~r − ~x(t0 ) sowie der entsprechende Einheitsvektor ~e(t0 ) ≡ X(t
~ 0 )/|X(t
~ 0 )|. Aus
Es sei dann X(t
diesen Gleichungen folgen
#
Z ∞"
~ 0 ) ~ 0 ) X(t
X(t
1
1
q
0
0
0
~
−
− ~e(t0 ) dt0 ,
∇φ(t, ~r) =
δ t−t −
δ t−t −
~ 0 )
4π0 −∞
c
c
~ 0 )2
X(t
cX(t
Z
~ 0 ) X(t
~
∂A
µ0 q ∞ ~v (t0 ) 0
0
(t, ~r) =
dt0 .
δ t−t −
~ 0 )
∂t
4π −∞ X(t
c
~ 0 )/c gibt ds = −1 + ~e · β~ und dadurch
Die Substitution s = f (t0 ) = t − t0 − X(t
dt0
#
"
Z ∞
~
q
1
~
e
−
β
~
e
0
~ ~r) =
(IX.13)
E(t,
2 δ(s) + δ (s) ds,
~
~ X
4π0 −∞ 1 − ~e · β
~
cX
~ ~v und β~ ≡ ~v /c zur Zeit t0 = f −1 (s) zu betrachten sind. Der Term mit der Ableitung
wobei ~e, X,
der δ-Distribution kann mithilfe partieller Integration berechnet werden:
#
"
Z ∞
Z ∞
~
~e − β~
d
~e − β
0
δ(s)
δ (s) ds = −
ds
~
~
ds c 1 − ~e · β~ X
e · β~ X
−∞ c 1 − ~
−∞
#
"
Z ∞
1
~e − β~
d
δ(s)
=
ds.
~ X
~
1 − ~e · β~ dt0 c 1 − ~e · β
−∞
Die Ableitung nach t0 im Integranden folgt aus den Ableitungen
d 1
~e · ~v
= 2 ,
~
dt0 X
~
X
d~e
(~e · ~v )~e − ~v
=
,
~
X
dt0
d
1
1
~e · ~a (~e · ~v )2 − ~v 2
=
+
,
2
~
dt0 1 − ~e · β~
c
c X
1 − ~e · β~
mit ~a = d~v /dt0 der Beschleunigung der Punktladung. Dies führt zu
#
"
"
~e · ~a ~e − ~a − ~e · ~a β~ + ~e · β~ ~a
1
~e − β~
d
= ~
dt0 c 1 − ~e · β~ X
c2
~ 1 − ~e · β~ 2
X
#
2
~2
2 ~e · β~ − ~e · β~ − β~ 2
1−β
~
+
~e − β ,
~
~
X
X
so dass Gl. (IX.13) insgesamt lautet
Z ∞
q
δ(s)
~
E(t, ~r) =
4π0 −∞ X
~ 1 − ~e · β~ 3
!
~ − ~e · ~e − β~ ~a
~e · ~a ~e − β
1 − β~ 2 ~e − β~
ds.
+
~
X
c2
Dann ist der Integrand gleich dem Produkt eines Terms δ(s) mit einer Funktion von s: das Integral ist einfach der Wert der Letzteren für s = 0, d.h. t0 = tret. . Somit findet man Gl. (IX.11a).
~ ~r) lässt sich ähnlich berechnen, ausgehend aus
Das magnetische Feld B(t,
"
#
Z ∞
~ 0 ) ~ 0 ) X(t
X(t
µ0 q
−1
1
0
0
0
0
0
~
~
∇× A(t, ~r) =
~e(t )×~v (t ) − dt0 .
δ t−t −
δ t−t −
~ 0 )
4π −∞
c
c
~ 0 )2
X(t
cX(t
Die retardierten elektromagnetischen Felder (IX.11) bestehen aus einem Beitrag proportional
~ ret. |2 und einem Term proportional zu 1/|X
~ ret. |. In einem Bezugssystem, das sich mit der
zu 1/|X
~ret. = ~0, lautet Gl. (IX.11)
Punktladung zur retardierten Zeit mitbewegt, d.h. wo β
"
#
~
e
×
~
e
×
~
a
q
~
e
ret.
ret.
ret.
ret.
~ = 1 ~eret. × E.
~
~ =
E
,
B
+
2
~
~ ret. 2
4π0 X
c
c Xret.
~ ret. |2 einer ruhenden Punktladung
Das elektrische Feld ist die Summe des Coulomb-Felds in 1/|X
~ Coul. =
E
IX. Klassische Theorie der Strahlung
q
~eret.
,
~ ret. 2
4π0 X
~ Coul. = ~0,
B
85
N.BORGHINI
Elektrodynamik einer Punktladung
Theoretische Physik IV
und, wenn die retardierte Beschleunigung ~aret. der Punktladung nicht null ist, des Strahlungsfeldes
~ ret. |
in 1/|X
q
~ Strahl. = 1 ~eret. × E
~ Strahl. =
~ Strahl. .
B
E
~eret. × ~eret. × ~aret. ,
2
~ ret. c
4π0 c X
Diese Strahlungsfelder sind senkrecht zu ~eret. .
~ ret. |2 in Gl. (IX.11) dem Coulomb-Feld, und der
Ähnlicherweise entspricht der Beitrag in 1/|X
~ ret. |, dem Strahlungsfeld.
Term in 1/|X
Punktladung in gleichförmiger Bewegung
Wenn ~aret. = ~0 zu jeder retardierten Zeit vereinfacht sich das elektrische Feld (IX.11) zu
~ ret. − X
~ ret. ~
X
β
~eret. − β~
q
q
~
E=
2 =
3 ,
~ ret. ~ ret. − X
~ ret. · β~ 3
4π0 γ 2 X
4π0 1 − ~eret. · β~ γ 2 X
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
(IX.14)
~
mit konstanter Geschwindigkeit β.
~ ret. | = |~r − ~x(tret. )| = c(t − tret. ) folgt für die gleichförmige Bewegung der Punktladung
Aus |X
~ − tret. ) = ~x(tret. ) + |X
~
~ ret. |β,
~x(t) = ~x(tret. ) + cβ(t
~ ret. − |X
~ ret. |β~ = ~r − ~x(t): das elektrische Feld zur
d.h. für den Vektor im Zähler der Gl. (IX.14) X
Zeit t ist in der momentanen Richtung von der Ladung nach ~r, nicht in der „retardierten“ Richtung
gerichtet.
IX.3.3 Abgestrahlte Leistung
Sei ein Flächenelement d2 S in einem Punkt ~r im Abstand X einer Punktladung, von der aus
unter einem Raumwinkelelement d2 Ω gesehen wird, und ~eret. der Einheitsvektor in Richtung
von der Punktladung nach ~r. Die Energie, die pro Einheit der Eigenzeit t des Punkts ~r durch d2 S
strömt, ist die empfangene Leistung
d2 S
~ · ~eret. X 2 d2 Ω,
d2P = S
~=E
~ × B/µ
~ 0 dem Poynting-Vektor in ~r [Gl. (VII.11b)], entsprechend der Energiestromdichte
mit S
~ und B
~ den retardierten Feldern (IX.11). Für große Abstände X → ∞
in diesem Punkt, und E
trägt der Coulomb-Teil der retardierten Felder nicht bei, und man darf das Strahlungsfeld alleine
betrachten.
Dann gilt
h
i
d2P
1
2 ~
~ Strahl. · ~eret. .
=
X
E
×
~
e
×
E
ret.
Strahl.
d2 Ω
µ0 c
~2
~ Strahl. )E
~ Strahl. , wobei der zweite Term wegen
Das doppelte Kreuzprodukt gibt E
eret. − (~eret. · E
Strahl.~
~ Strahl. und ~eret. null ist. Damit ergibt sich
der Orthogonalität von E
2
d2P
µ0 q 2
~ret. × ~aret. .
~
e
×
~
e
−
β
=
ret.
ret.
6
d2 Ω
(4π)2 c 1 − ~eret. · β~ret.
Die Leistung, die durch die Punktladung abgestrahlt wird, ist die Energie, die durch d2 S pro
Einheit der Eigenzeit der Punktladung strömt. Diese Eigenzeit ist gerade die retardierte Zeit tret. ,
so dass die abgestrahlte Leistung durch
2
d2P0
d2P ∂t
µ0 q 2
~
= 2
=
(IX.15)
5 ~eret. × ~eret. − βret. × ~aret. d2 Ω
d Ω ∂tret.
(4π)2 c 1 − ~eret. · β~ret.
gegeben wird, wobei
∂t
= 1 − ~eret. · β~ret. benutzt wurde.
∂tret.
IX. Klassische Theorie der Strahlung
86
N.BORGHINI
Elektrodynamik einer Punktladung
Theoretische Physik IV
Um die letztere partielle Ableitung zu erhalten, kann man Gl. (IX.9) differenzieren, was zu
~ ret. · dX
~ ret.
1X
1
dtret. − dt +
= dtret. − dt + ~eret. · (d~r − ~vret. dtret. ) = 0
~ ret. X
c
c
1
führt, d.h. 1 − ~eret. · β~ret. dtret. = dt − eret.
~ · d~r. Dann gelten
c
∂tret.
1
~eret.
~ ret. = −
=
,
∇t
.
∂t
1 − ~eret. · β~ret.
c 1 − ~eret. · β~ret.
Bemerkung: Eine nicht-beschleunigte Punktladung strahlt keine Energie ab!
IX.3.3
a Nicht-relativistischer Grenzfall
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Wenn |β~ret. | |~eret. | = 1 vereinfacht sich Gl. (IX.15) zu
2
d2P0
µ0 q 2 ~eret. × ~eret. × ~aret. .
=
2
2
d Ω
(4π) c
Bezeichnet θ den Winkel zwischen der retardierten Beschleunigung ~aret. und der Beobachtungsrichtung ~eret. , so gilt
d2P0
µ0 q 2
q 2 |~aret. |2 sin2 θ
2
2
=
|~
a
|
sin
θ
=
.
ret.
d2 Ω
(4π)2 c
4π0 c3 4π
Die Strahlungsleistung ist maximal senkrecht zur Richtung der Beschleunigung.
Die gesamte abgestrahlte Leistung ergibt sich durch Integration über den Raumwinkel: man
erhält die Larmor-Formel
Z 2
d P0 2
2 q 2 |~aret. |2
P0 =
d
Ω
=
.
(IX.16)
d2 Ω
3 4π0 c3
Diese abgestrahlte Leistung entspricht einem Strahlungsverlust, d.h. der Rate der Energie, die
durch Strahlung wegtransportiert wird.
IX.3.3
b Allgemeiner Fall
:::::::::::::::::::::::::
Die Larmor-Formel (IX.16) gilt in einem mitbewegten Bezugssystem B0 , wo die retardierte
Geschwindigkeit der Punktladung verschwindet. In einem Bezugssystem B~v , wo die retardierte
Geschwindigkeit der Punktladung den Wert ~v annimmt, gilt
P0 = −
2 q2
aµ aret.µ ,
3 4π0 c3 ret.
(IX.17)
mit aµ = duµ /dτ = d2 xµ /dτ 2 den kontravarianten Komponenten der Viererbeschleunigung der
Punktladung, die hier zur retardierten Zeit betrachtet werden soll.
Diese Formel lässt sich noch umschreiben als
h
2
2 i
2 q2
6
~
P0 =
γ
~
a
−
β
×
~
a
.
(IX.18)
ret.
ret.
ret.
3 4π0 c3 ret.
Beweis der relativistischen Formeln (IX.17)–(IX.17):
Der erste Schritt besteht in der Beobachtung, dass die abgestrahlte Leistung Lorentz-invariant
ist. Es seien dE0 bzw. dE das Differential der Energie im Bezugssystem B0 bzw. B~v , und dt0
bzw. dtpdie entsprechenden Differentiale der Zeit. Dann gelten dE = γ dE0 und dt = γ dt0 , mit
γ = 1/ 1 − ~v 2 /c2 dem Lorentz-Faktor. Daraus folgt
dE
dE0
=
= P0 .
dt
dt0
Berechnet man dann das Lorentz-Skalar aµ aµ der Viererbeschleunigung, so kommt erstens
duµ
duµ
~ · ~a)β~
aµ =
=γ
= γ 4 β~ · ~a, γ 2~a + γ 4 (β
dτ
dt
mit ~a = d~v /dt der Beschleunigung der Punktladung, und daher
2 aµ aµ = −γ 4 ~a 2 + γ 2 β~ · ~a .
(IX.19)
IX. Klassische Theorie der Strahlung
87
N.BORGHINI
Elektrodynamik einer Punktladung
Theoretische Physik IV
Die Formeln (IX.16) und (IX.17) stimmen miteinander in einem Bezugssystem überein, und
zwar in B0 wo β~ = ~0 bzw. γ = 1. Somit gilt Gl. (IX.17) in allen Bezugssystemen.
Sei ϑ der Winkel zwischen β~ und ~a. Aus
2
2
2
1
~a 2 − β~ × ~a = ~a 2 − β~ 2~a 2 (1 − cos2 ϑ) = 1 − β~ 2 ~a 2 + β~ · ~a = 2 ~a 2 + β~ · ~a
γ
und dem Viererquadrat (IX.19) folgt dann die Identität der rechten Gliedern der Gl. (IX.17)
und (IX.18).
IX.3.3
c Beschleunigung in die Richtung der Geschwindigkeit
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Wenn Beschleunigung und Geschwindigkeit parallel zueinander sind, gelten ~aret. × β~ret. = ~0 und
~eret. · β~ret. = |β~ret. | cos θ. Dann lautet Gl. (IX.15)
d2P0
µ0 q 2 |~aret. |2
sin2 θ
=
5 .
d2 Ω
(4π)2 c
1 − |β~ret. | cos θ
(IX.20)
d2P0
Für |β~ret. | → 1 wird also 2 groß in der Vorwärtsrichtung cos θ = 1.33
d Ω
Die Integration der Leistung (IX.20) über den Raumwinkel führt zu
2 q 2 |~aret. |2 6
γ ,
(IX.21)
3 4π0 c3
mit γ dem Lorentz-Faktor assoziiert mit der Geschwindigkeit der Punktladung. Dieses Resultat folgt
auch aus der relativistischen Formel (IX.18).
Die Leistung (IX.21) wird also unendlich groß, wenn die Geschwindigkeit der Punktladung gegen
c strebt. Dieses Resultat zeigt, dass es nicht möglich ist, eine Punktladung bis zur Lichtgeschwindigkeit zu beschleunigen: dies würde eine unendliche Energie erfordern, um die unendliche abgestrahlte
Leistung zu kompensieren.
Sei F~ (t) die Kraft, die für die Beschleunigung der Punktladung zur Zeit t verantwortlich ist:
d(γ~v )
~ · ~a(t) β(t)
~
F~ (t) = m
= γ(t) m ~a(t) + γ 2 (t) β(t)
.
(IX.22)
dt
P0 =
Für Linearbewegung, d.h. wenn Beschleunigung und Geschwindigkeit parallel zueinander sind, ist
F~ (t) = γ(t)3 m~a(t), so dass die Leistung (IX.21) sich als
q2
2
F~ (tret. )2
P0 =
2
3
3 4π0 m c
schreiben lässt.
IX.3.3
d Beschleunigung senkrecht zur Richtung der Geschwindigkeit
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Wenn Beschleunigung und Geschwindigkeit orthogonal sind, entsprechend einer Kreisbewegung,
lautet die abgestrahlte Leistung (IX.18)
2 q2
2 q2
6
2
γret.
γ 4 |~aret. |2 .
(IX.23)
P0 =
1 − β~ret.
|~aret. |2 =
3
3 4π0 c
3 4π0 c3 ret.
Dazu lautet die Kraft auf die Punktladung F~ (t) = γ(t)m~a(t), so dass diese Leistung sich noch
schreiben lässt als
2
2
q2
2 ~
P0 =
γret.
F (tret. ) .
2
3
3 4π0 m c
Die abgestrahlte Leistung ist also größer um einen Faktor γ 2 als im Fall einer Linearbewegung mit
der gleichen Kraft. Somit wird mehr Energie als sog. Synchrotronstrahlung in einem kreisförmigen
Teilchenbeschleuniger (einem „Speicherring“, wie z.B. das LHC am CERN) verloren, als in einem
Linearbeschleuniger.
33
2
~ret. | sehr nah an 1 das Maximum von d P0 für θ ' 1 erreicht.
Genauer wird für |β
d2 Ω
2γ
IX. Klassische Theorie der Strahlung
88
N.BORGHINI
Elektrodynamik einer Punktladung
Theoretische Physik IV
Bemerkung: Wenn ein geladenes Teilchen auf Materie stoßt und dort von Wechselwirkungen mit
den Atomen gebremst wird, strahlt es ab. Die entsprechende Strahlung wird Bremsstrahlung (auch
auf Englisch!) genannt.
Literatur
• Feynman [3, 4], Kapitel 21 & [17, 18], Kapitel 34.
• Griffiths [6], Kapitel 10.2–10.3 & 11.2
• Jackson [7], Kapitel 12.11 & 14.1–14.4
• Landau–Lifschitz [8], Kapitel 8 § 62–64 & Kapitel 9 § 73–76
• Nolting [9], Kapitel 4.5
• Schwinger [14], Kapitel 31–32.
IX. Klassische Theorie der Strahlung
89