Elektromagnetische Felder I Klausur 1. April 2015 1. a) Geben Sie
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Elektromagnetische Felder I Klausur 1. April 2015 1. a) Geben Sie die Permeabilität des Vakuums µ0 mit Einheiten an. b) Berechnen Sie die Permittivität des Vakuums ε0 ausgehend von der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum c0 unter Benutzung von µ0 . Geben Sie die Zwischenschritte an. Das Endergebnis muss keine Nachkommastellen enthalten, die Angabe der Größenordnung sowie der zugehörigen Einheiten reicht. c) Geben Sie die SI-Einheit der dielektrischen Verschiebung an. d) Auf einer Kugeloberfläche mit Radius R und Mittelpunkt im Koordinatenursprung ist die Ladung Q gleichmäßig verteilt. Geben Sie die zugehörige Raumladungsdichteverteilung ρ(~r) mit Hilfe der Diracschen Deltafunktion an. Welche Dimension hat diese Deltafunktion? 1 4 e) Berechnen Sie für die Vektoren ~a = 2 und ~b = 5 das Skalarprodukt ~a · ~b 3 6 ~ und das Kreuzprodukt ~a × b. f) Berechnen Sie zum elektrostatischen Potential ϕ(~r) = ϕ0 · e −αr das elektrische Feld in Kugelkoordinaten. Hierbei sind ϕ0 und α konstant. (8 Punkte) 2. a) In einer vergangenen Klausur war die Magnetflussdichte an einem Punkt ~ra zu berechnen, wobei die Größe a für eine Länge steht. Eine abgegebene Antwort lautet: √ 1 µIa 2 ~ B(~ra ) = − · ~eϕ · 1 . 8πa 0 Aus welchen zwei wesentlichen Gründen ist dieses Ergebnis falsch? b) In einer alten Klausuraufgabe war ein allgemeiner Ortsvektor zu einem Punkt im dreidimensionalen Raum gefragt. Dieser war in Zylinderkoordinaten auszudrücken. Eine häufig gegebene Antwort bestand aus: r ϕ . ~r = z Hätten Sie für diese Antwort die volle Punktzahl geben dürfen? Begründen Sie Ihre Antwort in vollständigen, leserlichen Sätzen. c) In einer weiteren Klausuraufgabe war ein Koaxialkabel mit einem geschichteten Dielektrikum gegeben. Die Materialien sind durch εr1 < εr2 , beides positive reelle Zahlen, charakterisiert. Zwischen Innen- und Außenleiter liegt eine Spannung an. Die elektrische Feldstärke und die dielektrische Verschiebung waren einzuzeichnen. Kann die rechts dargestellte Lösung so richtig sein? Begründen Sie Ihre Antwort. (6 Punkte) ~ E ~ D εr1 εr2 Elektromagnetische Felder I Klausur 1. April 2015 3. a) Geben Sie die Differentialgleichung an, welche die Raumladungsdichte ρ mit der Stromdichte J~ verbindet. b) Wie heißt diese Gleichung? c) Welches Naturprinzip wird durch die Gleichung beschrieben? d) Geben Sie die SI-Einheiten von ρ und J~ an. (4 Punkte) 4. Eine zylinderförmige Luftspule mit dem Radius R und N Windungen wird vom Strom I durchflossen. Die Mittelachse der Spule liegt auf der z-Achse. Die Spule erstreckt sich in z-Richtung von −L/2 bis +L/2. Der Strom fließt im Rechtsschraubensinn um die z-Achse, als Idealisierung besitzt er keinen Anteil in z-Richtung. a) Geben Sie die Stromdichte in Zylinderkoordinaten an. Nähern Sie die Spule dabei als Hohlzylindermantel ohne radiale Ausdehnung und mit konstanter Stromdichte auf dem Mantel. Berücksichtigen Sie die endliche Ausdehnung in z-Richtung durch die Angabe eines Wertebereichs. L z R b) Geben Sie das Biot-Savart-Gesetz für Stromdichten an. c) Berechnen Sie die magnetische Flussdichte auf der z-Achse. Tipp: Integrieren Sie zuerst in ϕ-Richtung, bevor Sie in z-Richtung integrieren. d) Nähern Sie den Ausdruck für eine lange Spule unter Vernachlässigung von Randeffekten für den Bereich der z-Achse innerhalb der Spule, d.h. L ≫ R und |z| ≪ L/2. e) Ein Elektron bewege sich im Innern der Spule auf der z-Achse mit der Geschwindigkeit ~v = v0 · ~ez . Wirkt eine Kraft auf dieses Elektron? Wenn ja, geben Sie Betrag und Richtung der Kraft an, unter Berücksichtigung der Vereinfachungen aus Teil d). Wenn nein, geben Sie eine Begründung. R R x−a Hinweis: √ 1 √ 1 3 dx = 3 dx = 2 √ 2 2 (x−a)2 +b2 (a−x)2 +b2 b (x−a) +b (10 Punkte) 5. Betrachtet wird ein Parallelplattenkondensator mit der Fläche A und Plattenabstand d mit vernachlässigbaren Randeffekten. Die relative Permittivität des Dielektrikums ist nicht konstant, sondern abhängig von der Höhe zwischen den Platten: εr (z) = 1 + zd , wobei die untere Platte bei z = 0 und die obere Platte bei z = d liegt. (a) Wie hängt die dielektrische Verschiebung im Kondensator mit den auf den Platten aufgebrachten Ladungen ±Q zusammen? (b) Aus welcher fundamentalen Gleichung läßt sich dieser Zusammenhang herleiten und welcher mathematische Satz ist hierbei anzuwenden? Eine Herleitung ist nicht erforderlich. (c) Berechnen Sie die Kapazität C des Kondensators. (d) Ist das elektrische Feld im Kondensator ein konservatives Feld? Begründen Sie Ihre Antwort. (8 Punkte) Elektromagnetische Felder I Klausur 1. April 2015 6. In dieser Aufgabe werden Leiterschleifen aus zwei Widerständen R1 und R2 in einer ~ Ebene betrachtet. Ein zeitlich veränderliches B-Feld senkrecht zur Ebene ist in einer Kreisfläche (grau) der Größe A vorhanden. Die Spannungsmesser mit ihren Anschlussleitungen liegen in derselben Ebene. Sie sind an den Punkten I und II angeschlossen. a) Sind die beiden folgenden Anordnungen äquivalent zueinander? Geben Sie eine Begründung. I I U1 R1 ~ B(t) U1 R2 II ~ B(t) R1 R2 II b) Wie kann die linke Anordnung aus Teil a) mit einer Ersatzspannungsquelle dargestellt werden? Auch im Ersatzschaltbild soll erkennbar sein, wo U1 abfällt. Können R1 und R2 in dem Ersatzschaltbild zusammengefasst werden? Es wird eine Erläuterung in Worten samt Skizze erwartet. c) Berechnen Sie für die folgende Anordnung die Beträge der Spannungen U1 und U2 . I U1 R1 ~ B(t) R2 U2 II (8 Punkte) 7. Betrachtet wird eine ebene Grenzschicht zwischen zwei Materialien mit unterschiedlichen Permeabilitäten (µ1 6= µ2 ) und Permittivitäten (ε1 6= ε2 ). In der Grenzschicht sind eine Oberflächenladungsdichte und eine Oberflächenstromdichte vorhanden. ~ D, ~ E, ~ H) ~ gilt an der Grenzschicht: a) Für welche der vier Feldstärken (B, i. Die Tangentialkomponente ist stetig. ii. Die Normalkomponente ist stetig. iii. Die Tangentialkomponente ändert sich an der Grenzschicht um die Oberflächenstromdichte. iv. Die Normalkomponente ändert sich an der Grenzschicht um die Oberflächenladungsdichte. Beantworten Sie die vier Teilfragen einzeln und eindeutig. Für das Hinschreiben der Formeln der Randbedingungen gibt es keine Punkte. ~ b) Kann das Verhalten der Normalkomponente des H-Feldes an der Grenzschicht angegeben werden? Wenn ja: Geben Sie die Beziehung zwischen H1⊥ und H2⊥ an. Wenn nein: Warum nicht? (5 Punkte) Elektromagnetische Felder I Klausur 1. April 2015 8. a) Schreiben Sie für eine ebene Welle, die sich im Vakuum in die positive x-Richtung ausbreitet, den Ausdruck für das elektrische Feld auf. Die Welle sei in y-Richtung linear polarisiert, hat eine Amplitude von 1 V/m und eine Frequenz von 100 MHz. Die Phase im Ursprung des Koordinatensystems sei 0 zum Zeitpunkt t = 0. b) Geben Sie an, wie groß das Feld zur elektrische Zeitt = 0 an den λ/2 0 Raumpunkten ist: ~r1 = 0 , ~r2 = λ/3 , ~r3 = 0 0 folgenden drei 0 0 λ/4 c) Wie groß ist die effektive Leistungsflussdichte, die obige Welle im Vakuum transportiert? Wie groß ist die effektive Leistung? d) Neue Anordnung: Zwei Sendeantennen mit gleichem Abstrahlverhalten und gleicher ω ) befinden sich auf der z-Achse an den Punkten z = Speisung (mit Sendefrequenz 2π ±λ/4. Sie sind in x-Richtung polarisiert. Berechnen Sie die resultierende Feldstärke der überlagerten Wellen für eine Einzelamplitude E0 in großem Abstand auf der y-Achse und in großem Abstand auf der z-Achse. Führen Sie hierzu explizit die Rechnungen durch. Wenn nötig nähern Sie das Ergebnis für λ ≪ |y|, |z|. (9 Punkte) Elektromagnetische Felder II Klausur 1. April 2015 9. a) Geben Sie für ideale Kondensatoren und ideale Spulen je zwei verschiedene Formeln zur Berechnung der gespeicherten Energie an. Jeweils eine Formel soll auf Feldstärken basieren und eine auf Größen aus Ersatzschaltbildern. b) Betrachtet wird ein Parallelplattenkondensator mit vernachlässigbaren Randeffekten. Auf den Platten befinden sich konstante Gesamtladungen +Q bzw. −Q. Wird der Plattenabstand verdoppelt, halbiert sich die Kapazität C. Wieso ist dennoch die Folgerung falsch, dass sich der Energieinhalt ebenfalls halbiert? Wie lautet das richtige Resultat mit Begründung und wo kommt die Energieänderung her? (8 Punkte) 10. Gegeben sei ein gerader Draht mit der Leitfähigkeit σ und dem Radius R. In ihm fließt ein Gleichstrom I. Betrachtet wird ein Stück des Drahtes mit der Länge L. ~ a) Berechnen Sie zunächst das Magnetfeld H(r) im Inneren eines von einem Gleichstrom I gleichmäßig durchflossenen geraden, unendlich langen Leiters mit Radius R. Hierbei ist r der Abstand zur Mittelachse des Leiters. z R L I σ b) Berechnen Sie nun die in das Drahtstück der Länge L einflie~ über ßende Leistung mittels Integration des Poyntingvektors S die Oberfläche dieses Drahtstücks. ~ im selben Drahtstück. c) Berechnen Sie zum Vergleich das Volumenintegral von J~ · E ~ und J~ · E ~ im Gleichstromfall zusammen? d) Wie hängen der Poyntingvektor S e) Welche zusätzlichen Beiträge müssten im Wechselstromfall beim Zusammenhang ~ und J~ · E ~ noch berücksichtigt werden? zwischen Poyntingvektor S (12 Punkte) ~ und das elektrische Feld E ~ können durch das dynamische 11. Die magnetische Flussdichte B ~ ~ = rot A ~ Vektorpotential A und das dynamische Skalarpotential ϕ dargestellt werden: B ~ ~ = − ∂ A − grad ϕ. und E ∂t a) Aus welcher Maxwell-Gleichung folgt die Existenz eines solchen dynamischen Vektorpotentials? ~ bereits bekannt ist, die b) Aus welcher Gleichung folgt, nachdem die Existenz von A Existenz eines solchen dynamischen Skalarpotentials? c) Für die dynamischen Potentiale lassen sich inhomogene Wellengleichungen aufstellen. Die Lösungen dieser Wellengleichungen sind als Volumenintegrale darstellbar. Welche Größen in den Integranden sind die erregende Ursache für die Potentiale? d) Was bedeutet in diesem Zusammenhang Retardierung? e) Die beiden dynamischen Potentiale sind nicht unabhängig voneinander und können ihrerseits aus einer weiteren Größe abgeleitet werden. Wie heißt diese Größe und wieviele unabhängige Variablen hat sie? (5 Punkte) Elektromagnetische Felder II Klausur 1. April 2015 12. Die vollständige Lösung des elektrischen Hertzschen Dipolfeldes lautet in Kugelkoordinatendarstellung: r I0 l 2j µ 2 Er = · cos ϑ · e j(ωt−kr) · − 4π ε r2 ωεr 3 r I0 l µ 1 jωµ j Eϑ = · sin ϑ · e j(ωt−kr) · + − 4π r ε r2 ωεr 3 jk 1 I0 l · sin ϑ · e j(ωt−kr) · + Hϕ = 4π r r2 Eϕ = 0 , Hr = 0 , Hϑ = 0 ~ a) Geben Sie die erregende J-Verteilung an, aus der diese Lösung folgt. b) Geben Sie den sogenannten Nahfeldterm von Hϕ vollständig an. Ist dieser retardiert und woran erkennt man das? Mit welcher Näherung erhält man die sogenannten quasistationären Feldverhältnisse? c) Woran ist zu erkennen, dass die Feldlösung sehr nahe an der Erregungsquelle kapazitives Verhalten zeigt? d) Wie wird prinzipiell begründet, dass die deshalb so benannten Strahlungsterme einen integralen, reellen Leistungstransport von der Erregungsquelle in den Raum bewirken? Tipp: Abstandsabhängigkeit der integralen Strahlungsleistung e) Die exakte Rechnung zu d), die hier nicht verlangt ist, resultiert u.a. in der Ableitung des sogenannten Strahlungswiderstandes RS . In RS sind neben weiteren Faktoren zwei Längenmaße relevant. Welche sind das und wie lautet ihr gemeinsamer Term in der Formel für RS ? (9 Punkte) 13. Die Ableitung der allgemeinen Feldlösung bei Wellenleitern führt auf ein Gleichungssystem von Wellengleichung, zugehöriger Eigenwertgleichung und den zu erfüllenden Randbedingungen. a) Wie werden die zugehörigen Lösungen formal eingeteilt und wie werden sie bezeichnet? b) Wodurch ist eine technisch sehr wichtige Speziallösung gekennzeichet und wie heißt sie? Was ist eine notwendige Voraussetzung für ihre Existenz? c) Nennen Sie den entscheidenden praktischen Vorteil dieser Speziallösung aus b) gegenüber allen anderen möglichen Lösungen und nennen Sie umgekehrt einen Vorteil eines H10 -Rechteckhohlleiters gegenüber einer Koaxialleitung für eine Betriebsfrequenz von 100 GHz. (6 Punkte) Elektromagnetische Felder II 14. Gegeben ist ein Rechteckhohlleiter mit konstantem Querschnitt a · b in der x-y-Ebene und unendlicher Ausdehnung in Längsrichtung z. Die Kanten haben die Längen a und b mit a > b. Bestimmen Sie die transversalen Komponenten Ex und Ey der elektrischen Felstärke für TE-Moden. Gehen Sie dabei entsprechend den Teilaufgaben a) bis c) vor. Klausur 1. April 2015 z 0 a 0 b x y a) Bei der Betrachtung von TE-Moden lässt sich die longitudinale Komponente der ~ m auffassen: magnetischen Feldstärke Hz als magnetischer Hertzscher Vektor Π 0 ~ m = p · 0 , mit p als Proportionalitätskonstante. Π Hz Die Amplitude des Hertzschen Vektors sei Π0 . Verwenden Sie für die z-Komponente des Hertzschen Vektors Πm,z folgenden Separationsansatz und bestimmen Sie die Unbekannten A, B, C und D soweit möglich mit Hilfe von Π0 und der Randbedingung für Hz : Πm,z = [A sin(γx x) + B cos(γx x)] · [C sin(γy y) + D cos(γy y)] · e j(ωt−kz) b) Bestimmen Sie γx und γy in allgemeiner Form. c) Berechnen Sie die transversalen Komponenten Ex und Ey der elektrischen Feldstärke. ~ ~ =∇× ∇×Π ~m ~ = −µ∇ × ∂ Πm , H Hinweis: E ∂t (10 Punkte) 15. Ein ideal dünner Draht verläuft parallel zur ~z -Achse im Abstand d vor einer unendlich ausgedehnten ideal leitfähigen Platte. Die Platte liegt in der y-z-Ebene, der Draht geht durch den Punkt (d, 0, 0)T wie in der Abbildung dargestellt. Durch den Draht fließt der Strom I in +z-Richtung. Entsprechend den Teilaufgaben a) bis c) soll die Stromverteilung in der Platte mit der Bildladungsmethode ermittelt werden. a) Geben Sie die zusätzlichen Ladungen und/oder Ströme an, welche zur Anwendung der Bildladungsmethode bei diesem Problem benötigt werden. Formulieren Sie Ihre Antwort eindeutig mit allen erforderlichen Parametern. y I x d z ~ ges (x ≈ 0) an der dem Draht zugewandten Oberb) Berechnen Sie das Magnetfeld H fläche der Platte. Dazu müssen Sie die Beiträge des Drahtes und der Platte berücksichtigen. Das Magnetfeld des Drahtes Platte darf als bekannt vorausgesetzt ohne −y I ~D = werden: H · x − d . 2π · [(x − d)2 + y 2] 0 c) Ermitteln Sie nun die Stromverteilung in der Platte mit Hilfe einer Randbedingung. (8 Punkte)
