Elektromagnetische Felder I Klausur 11. September 2015 1
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Elektromagnetische Felder I Klausur 11. September 2015 1. Berechnen Sie für ~a = (x, y, z)T , ~b = (−x, −y, −z)T und F~ (~a) = (Fx (~a), Fy (~a), Fz (~a))T die nachfolgenden Ausdrücke. Geben Sie auch alle relevanten Zwischenschritte an, das Endergebnis alleine reicht nicht. a) ∇ · ~a b) ∇ · (~a × ~b) c) ∇|~a|2 d) ∇2~a Geben Sie die SI-Einheiten der folgenden Größen an - jeweils nur ein Einheitenzeichen -, sowie zusätzlich, wie sich diese durch die Einheiten m, s, V, A darstellen lassen. e) Kapazität C f) Induktivität L g) Kraft F (10 Punkte) 2. Gegeben ist die nebenstehende Leiteranordnung in der x-y-Ebene aus zwei halbunendlich-langen Geraden A und C sowie einer Dreiviertelkreislinie B. Es liegt A auf der x-Achse, C auf der y-Achse und die z-Achse zeigt senkrecht aus der Zeichenebene heraus im Mittelpunkt von B. a) Geben Sie das Biot-Savart-Gesetz für Leiterströme an. C I I R B R A ~ A und B ~ B der beiden Abschnitte A und B b) Berechnen Sie die Magnetfeldbeiträge B auf der z-Achse. ~ C des Abschnitts C auf der z-Achse an. Falls Sie c) Geben Sie den Magnetfeldbeitrag B b) nicht lösen konnten, beschreiben Sie in Worten, welches Teilergebnis zu nehmen und wie es zu verändern ist. ~ ges auf der z-Achse? Ein Satz oder d) Wie berechnet sich das resultierende Magnetfeld B eine einfache Formel reicht für die Beantwortung aus. Z Z dx x dx 1 x √ √ , Hinweis: = − = (x2 + a2 )3/2 (x2 + a2 )3/2 x2 + a2 a2 x2 + a2 (12 Punkte) 4 V 3. Betrachtet wird die ebene Grenzschicht zwi~ 5 εr2 = 6 E2 = m schen zwei Dielektrika ohne Leitfähigkeit. 0 Wie in der Abbildung dargestellt sind in den Dielektrika verschiedene, homogene elektriy sche Felder vorhanden. Berechnen Sie den x Wert der Größe, die an der Grenzschicht vorhanden sein muss, damit die Feldverteilung 4 so existieren kann. Nehmen Sie zur VereinfaV ~ 3 εr1 = 2 E1 = chung ε0 ≈ 10−11 As/(Vm) an. m 0 (4 Punkte) Elektromagnetische Felder I Klausur 11. September 2015 4. Das Coulomb-Feld lässt sich als negatives Gradientenfeld aus einer skalaren Größe beschreiben. a) Wie heißt diese skalare Größe in Worten? b) Aus obiger Eigenschaft kann als Äquivalenzaussage eine partielle Differentialgleichung für das Coulomb-Feld abgeleitet werden. Wie lautet diese? c) Was muss bewiesen werden, wenn Felder nicht in Form von Kraftgleichungen, sondern alternativ mittels partieller Differentialgleichungen angegeben werden? d) Die in c) gefragte Eigenschaft ist in der Vorlesung für den Fall explizit bewiesen worden, bei dem Divergenz und Rotation in einem geschlossenen Volumen gegeben waren. Für diesen Fall benötigt man aber zusätzliche Spezifikationen, nämlich welche? Für welchen anderen Fall benötigt man diese nicht? (5 Punkte) R1 R2 I1 I2 y z x a 5. Gegeben sei die nebenstehende Anordnung aus ideal leitfähigen Drähten, die einen Halbkreis und ein Rechteck bilden. Die Oberkante des Rechtecks bzw. die Unterkante des Halbkreises liegt exakt auf der Grenze zwischen den beiden Teilräumen. Beide Teilräume sind jeweils homogen von einem Magnetfeld durchsetzt. Im oberen Teilraum ist ein zeit~o = lich veränderliches Magnetfeld B B̂o · sin ωt · ~ez vorhanden. Im unteren Teilraum ist ein zeitlich konstantes ~ u = B̂u · ~ez vorhanden. Magnetfeld B ~ o = B̂o · sin ωt · ~ez B I3 ~ u = B̂u · ~ez B 2a Vorzeichenkonvention: Die Ströme sind in positive x-Richtung positiv zu zählen. Positive Umlaufspannungen führen zu Strömen, die im Gegenuhrzeigersinn um die z-Achse fließen. Zunächst befindet sich die Leiterschleife in Ruhe. a) Berechnen Sie die induzierten Spannungen im Halbkreis Uh und im Rechteck Ur . b) Berechnen Sie die zugehörigen Ströme I1 , I2 und I3 . c) Tritt eine Änderung der induzierten Ströme oder Spannungen ein, wenn die Anordnung um die x- oder y-Achse mit konstanter Winkelgeschwindigkeit rotiert? Wenn ja, um welche und warum? Wenn nein, warum nicht? Geben Sie nur eine kurze Begründung, keine Rechnung. Jetzt wird bei t = 0 beginnend bis zum Zeitpunkt t = av die Leiterschleife mit der konstanten Geschwindigkeit ~v = v · ~ey entlang der y-Achse verschoben, mit v > 0. d) Berechnen Sie nur die hierdurch gegenüber Aufgabenteil a) veränderten Spannungen innerhalb des obigen Zeitraums. Sollte eine Spannung unverändert bleiben, begründen Sie warum. (9 Punkte) Elektromagnetische Felder I Klausur 11. September 2015 6. Im Folgenden werden Materialparameter im statischen, verlustfreien Fall betrachtet. a) Geben Sie eine Größe an, welche die dielektrischen Materialeigenschaften beschreibt. b) Welche aus der Vorlesung bekannten Zusammenhänge bestehen zwischen der elektrischen Feldstärke, der Polarisation und der dielektrischen Verschiebung? Geben Sie zwei Zusammenhänge an, bei einem sollten alle drei genannten Größen vorkommen. c) Können Sie mit Hilfe der folgenden Ausstattung die in a) gefragte Materialeigenschaft bestimmen? Unabhängig davon, ob Ihre Antwort ja oder nein lautet, ist für den Erhalt von Punkten eine entsprechend ausführliche, idealerweise auf Formeln gestützte Begründung notwendig. Ausstattung: • ein Plattenkondensator, dessen Volumen zwischen seinen Platten mit Vakuum, Gas oder einer Flüssigkeit gefüllt werden kann, • eine einstellbare Gleichspannungsquelle inklusive Voltmeter, • ein Amperemeter, welches die Stromstärke in Abhängigkeit von der Zeit speichert, • erforderliche Anschlussdrähte. d) Sie ändern den Kondensator so, dass feste Proben zwischen den Platten platziert werden können. Was sollten Sie insbesondere bei Kristallen im Rahmen der Materialparameteruntersuchung machen und warum? (9 Punkte) 7. Geben Sie die Abstandsabhängigkeiten der Felder bzw. Potentiale in großen Entfernungen r an für: a) das elektrische Feld einer Punktladung, b) das elektrische Feld eines elektrostatischen Dipols, c) das magnetische Feld eines unendlich langen, geraden Linienstroms, d) das elektrostatische Potential einer Punktladung, e) das elektrostatische Potential eines elektrostatischen Dipols. f) Bei welchen der oben gefragten Abstandsabhängigkeiten ist die Beschränkung auf eine große Entfernung r wesentlich? Was ist dort die maßgebliche Bezugsgröße zur Klassifikation der Entfernung? (4 Punkte) 8. Eine linear polarisierte, monochromatische ebene Welle trifft auf eine ebene Grenzschicht zwischen zwei Halbräumen mit unterschiedlichen Materialien. a) Fertigen Sie eine Skizze an, in der sämtliche relevanten Größen benannt sind und in der die zwei Konfigurationen deutlich werden, in die grundsätzlich unterschieden werden muss. b) Welche der skizzierten Größen werden mit den Fresnelschen Formeln, welche mit dem Snelliusschen Brechungsgesetz berechnet? c) Beschreiben Sie die Spezialfälle Einfall unter Brewsterwinkel und Totalreflexion. Aus welchen der in b) genannten Formeln oder Gesetze lassen sich die Phänomene jeweils herleiten? (8 Punkte) Elektromagnetische Felder II Klausur 11. September 2015 9. Eine kugelförmige Wolke mit Radius a = 1 km besitze eine konstante Raumladungsdichte ρ0 = 10 nC/m3 . Berechnen Sie die gesamte zur Wolke gehörige Energie, d.h. sowohl im Inneren wie auch im Äußeren. Vernachlässigen Sie dabei den Einfluss der Erdoberfläche. Verwenden Sie das elektrische Feld für die Energieberechnung und geben Sie die benötigten Formeln und Gesetze an. Benutzen Sie ε0 ≈ 9 · 10−12 C2 /(Jm) und setzen Sie die Zahlenwerte erst am Ende Ihrer Rechnung ein. (10 Punkte) 10. In den nachfolgenden sechs Abbildungen sind Ladungsverteilungen und perfekt leitende Oberflächen dargestellt. Dabei sind Linienladungen mit τ bezeichnet und Punktladungen mit Q. Die Linienladungen und die perfekt leitenden Oberflächen sind senkrecht zur Zeichenebene unendlich ausgedehnt. −Q +τ 30◦ 90◦ 45 ◦ 60◦ +Q 15◦ +Q 30◦ (1) (2) (3) +Q +τ 90◦ −Q 45 ◦ 90◦ 30◦ −Q (4) (5) +τ (6) a) Für welche der Anordnungen lässt sich die Feldverteilung direkt mit der Methode der Bildladungen bestimmen? Eine Begründung ist nicht notwendig. b) Geben Sie für diese die Anzahl der benötigten Bildladungen, getrennt nach positiven und negativen, an. Zählen Sie nicht die echte Ladung mit. c) Eine der Anordnungen muss zuerst in zwei unabhängige Teilprobleme zerlegt werden. Fertigen Sie zu beiden Teilproblemen je eine Skizze und geben Sie die Anzahl der benötigten Bildladungen mit Vorzeichen an. d) Auf welche der sechs Anordnungen lässt sich eine konforme Abbildung anwenden? Eine Begründung ist nicht notwendig. Jetzt sollen die in d) gefragten Anordnungen mit der konformen Abbildung w = z p so abgebildet werden, dass die geknickte leitende Ebene zu einer Ebene ohne Knick wird. e) Geben Sie jeweils den Wert für p an. f) Wenn nun die Methode der Bildladungen benutzt wird, wie viele Bildladungen sind dann jeweils notwendig? (8 Punkte) Elektromagnetische Felder II Klausur 11. September 2015 11. Die rechts dargestellten Zweidrahtleitungen a-b b und c-d sind induktiv miteinander verkoppelt. y d Die Drähte a und b sind Hin- und Rückleiter der rcd α einen, c und d der anderen Leitung. Der Mittelc x punktsabstand zwischen den Drähten der Hinr ab und Rückleiter beträgt rab bzw. rcd . a Die beiden Leitersysteme sind um den Winkel α gegeneinander verdreht, wobei sich der Drehpunkt in der gemeinsamen Mitte der Zweidrahtleitungen befindet. Wie eingezeichnet liegt das Koordinatensystem mit seinem Ursprung auf der Mittelachse von Draht c. Betrachten Sie im Folgenden alle Leiter als ideale Linienleiter. a) Bestimmen Sie zunächst für die Fläche zwischen den Drähten a und b auf einer Länge l den magnetischen Fluss Φc , welcher von einem Strom I im unendlich langen Draht c hervorgerufen wird. Tipp: Anstatt den Fluss zwischen a und b direkt zu berechnen, ist es vorteilhaft, eine Hilfsfläche einzuführen, in welcher der Draht a liegt, durch die derselbe Fluss geht und auf die die Feldlinien senkrecht stehen. b) Wie groß ist der von den Drähten c und d zusammen auf der Länge l erzeugte Fluss Φges durch die Fläche zwischen a und b? c) Berechnen Sie die Koppelinduktivität pro Längeneinheit M ′ . d) Für welche Verdrehwinkel α wird der Betrag der Koppelinduktivität M ′ , also |M ′ |, minimal und für welche wird er maximal? Keine Herleitung, die Angabe der Winkel reicht. e) Wie groß sind der minimale und der maximale Betrag der Koppelinduktivität M ′ ? Mathematische Hilfen: Für Dreiecke gilt c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ (Kosinussatz), ferner ist cos(π − α) = − cos α. (14 Punkte) 12. Die allgemeine Feldlösung bei Wellenleitern wird durch ein Gleichungssystem beschrieben, das aus Wellengleichung, zugehöriger Eigenwertgleichung und den zu erfüllenden Randbedingungen besteht. a) Wie werden die zugehörigen Lösungen formal eingeteilt und wie werden sie bezeichnet? b) Wodurch ist eine technisch sehr wichtige Speziallösung gekennzeichnet und wie heißt sie? Was ist eine notwendige Voraussetzung für ihre Existenz und mit welchem Naturprinzip kann man sie anschaulich begründen? c) Nennen Sie den entscheidenden praktischen Vorteil dieser Speziallösung aus b) gegenüber allen anderen möglichen Lösungen und nennen Sie umgekehrt einen Vorteil eines H10 -Rechteckhohlleiters gegenüber einer Koaxialleitung für eine Betriebsfrequenz von 100 GHz. (7 Punkte) Elektromagnetische Felder II Klausur 11. September 2015 13. Einige Fragen zum Begriff des Ersatzschaltbildes: a) Ein Schaltbild ist grundsätzlich immer ein Ersatz, d.h. eine Idealisierung bzw. eine angenäherte Beschreibung des realen physikalischen Verhaltens. Wie würden Sie in Kürze (maximal eine Zeile) das reale physikalische Verhalten mit anderen Worten charakterisieren, um es gegen diese Idealisierung abzugrenzen? b) Wofür werden die Begriffe Induktivität und Kapazität im Ersatzschaltbild definiert, d.h. welches (Teil-)Verhalten kann man mit ihnen beschreiben? c) In einem Ersatzschaltbild steht ein ohmscher Widerstandswert von 50 Ω äquivalent für einen realen Metallfilmwiderstand oder den Strahlungswiderstand einer Antenne. Was ist der physikalische Unterschied zwischen beiden und wieso spielt das für die Funktion der Schaltung keine Rolle? (4 Punkte) 14. a) Welche Feldkomponenten sind beim Hertzschen Dipol in Kugelkoordinatendarstellung vorhanden? b) Welche Abstandsabhängigkeit weisen die Strahlungs- bzw. Fernfeldterme der Feldlösung beim Hertzschen Dipol auf? c) In welcher speziellen Richtung relativ zum Stromfluss des Hertzschen Dipols ist auch bei großem Abstand ausschließlich das sogenannte Nahfeld relevant? Wird in dieser Richtung Energie vom Hertzschen Dipol abgestrahlt und an welchem Term der Feldstärken lässt sich das erkennen? d) Unter welchen Voraussetzungen können die von einem Dipol abgestrahlten Wellen näherungsweise als ebene Wellen betrachtet werden? (6 Punkte) 15. Wir betrachten eine Metallfolie auf dem Potential φ = U, die in einer Ecke aus zwei Metallplatten aufgespannt ist. Die Zeichnung zeigt einen Schnitt durch die Anordnung. Die Geometrie ist invariant in der dritten Raumdimension. Das Profil der Metallfolie beschreibt eine Hyperbel mit 2 der Gleichung xy = a2 . Benutzen Sie die Abbildungsvorschrift w = f (z) = z 2 , um die folgenden Unterpunkte zu bearbeiten (mit z = x + jy und w = u + jv). y φ=U φ=0 x φ=0 a) Wie wird die gegebene Geometrie in die w-Ebene transformiert? Beschreiben Sie die Abbildung auf die neue Geometrie (mit Formel). b) Skizzieren Sie die Anordnung in der w-Ebene und beschriften Sie Ihre Skizze. ~ in der w-Ebene zwischen c) Bestimmen Sie das Potential und das elektrische Feld E den Potentialflächen. d) Transformieren Sie das gefundene Potential φ zurück in die z-Ebene und geben Sie ~ an. dort das elektrische Feld E e) Bestimmen Sie den Verlauf der Oberflächenladungsdichten σ(x) und σ(y) auf den beiden Metallplatten mit φ = 0 . (12 Punkte)
