Technische Mechanik III

Institut für Technische Mechanik
Prof. Dr.-Ing. C. Proppe
Prof. Dr.-Ing. W. Seemann
Name:
Vorname:
Matr. Nr.:
Termin: (jew. 19:00 Uhr)
Di., 27.01.2009
Testat:
Technische Mechanik III
Übungsblatt Nr. 9
1. Kinetik der Massenpunktsysteme (II): Stoßvorgänge
2. Vorgänge mit Massenzufuhr und Massenabfuhr
Thema:
Formelsammlung:
1. Stoßvorgänge:
Rt1
Auswertung des Impulssatzes:
(Bezeichnung siehe Übungsblatt TM III,1/7)
t0
v1 −→
−→ v2
I. Gerader zentraler Stoß:
q
q
Stoßnormale
m2 S2
ε = Stoßzahl
m1 S1
real, 0 ≤ ε ≤ 1
vollelastisch, ε = 1
vollplastisch, ε = 0
V 1 = v1 −
m2 (1+ε)
m1 +m2 (v1
− v2 )
V 1 = v1 −
2m2
m1 +m2 (v1
− v2 )
V 2 = v2 +
m1 (1+ε)
m1 +m2 (v1
− v2 )
V 2 = v2 +
2m1
m1 +m2 (v1
− v2 )
∆T =
1 m1 m2
2 m1 +m2 (v1
F
v)
dt = m(V∼ − ∼
∼
− v2 )2 (1 − ε2 )
1
ε = − Vv22 −V
−v1
∆T = 0
V1 =
V2 = V1
∆T =
+ Energiesatz
#
m2
S1
S2
q
q
B "!
BNB v2
1 m1 m2
2 m1 +m2 (v1
Stoßnormale
v1
Impulssatz vektoriell auswerten:
Für Normalkomponenten:
Für Tangentialkomponenten:
wie gerader Stoß
wenn glatte Stoßränder, dann diese ungeändert.
Grundgleichung:
2. Massenzufuhr, Massenabfuhr
y
v
ṁi , ∼
6
HH
-
x
mit
F
∼
ges
m
ṁi
v , v̇
∼ ∼
v
∼i
v
∼rel,i
=
=
=
=
=
=
rel,i
HH
j
m •B
B
v
NB ∼
F
∼
ges
-
F
∼
v
ṁj , ∼
ges
+
− v2 )2
+ Kinematik
m1
II. Schiefer zentraler Stoß:
m1 v1 +m2 v2
m1 +m2
N
P
i=1
v
v̇
= m∼
ṁi ∼
rel,i
rel,j
Summe aller äußeren Kräfte
veränderliche Masse
stetige Massenänderung (ṁi > 0: Zufuhr, ṁi < 0: Abfuhr)
Absolutgeschwindigkeit, Absolutbeschleunigung von m
Absolutgeschwindigkeit des Massenstroms ṁi
v = Relativgeschwindigkeit des Massenstroms ṁi
v −∼
∼i
Aufgabe II/2 – 9
— Beispiel —
Zwei Kugeln verschiedener Masse m1 und m2 und den Geschwindigkeitskomponenten v1 und v2
stoßen - wie in der Skizze angegeben - zentral zusammen. Alle Vorgänge verlaufen reibungsfrei,
der Stoß sei zudem vollelastisch.
v , ∼2
v der beiden Kugeln vor dem Stoß im kartesischen
1. Man gebe die Geschwindigkeiten ∼1
Koordinatensystem an.
2. Durch Anwenden des Impulssatzes berechne man die Geschwindigkeiten V∼ 1 = (V1x , V1y )
und V∼ 2 = (V2x , V2y ) der Kugeln nach dem Stoß.
m1
3. Wie muss das Massenverhältnis m
gewählt werden, damit sich die Kugel m2 nach dem
2
◦
Stoß unter dem Winkel α = 45 weiterbewegt, wenn die Geschwindigkeiten vor dem Stoß
betragsmäßig gleich sind (v1 = v2 )?
Lösung zur Aufgabe II/2 – 9:
1. Geschwindigkeiten vor dem Stoß:
!
v1
v1x
v =
=
m1 : ∼1
0
v1y
!
!
0
v2x
=
m2 : v∼2 =
v2
v2y
!
2. Geschwindigkeiten nach dem Stoß:
V1x
m1 : V∼ 1 =
V1y
!
V2x
m2 : V∼ 2 =
V2y
;
y
v
s1
F
F
m1
o
;
Impulsgleichungen:
m1 : x−Ri :
Stoßnormale
∼1
!
y−Ri :
s2
Rt1
t0
Rt1
t0
x
m2
m2 : x−Ri :
v
∼2
y−Ri :
Rt1
t0
Rt1
t0
(−F )dt = m1 (V1x − v1x )
(1)
0 dt = 0 = m1 (V1y − v1y )
(2)
|{z}
=0
F dt = m2 (V2x − v2x )
|{z}
(3)
=0
0 dt = 0 = m2 (V2y − v2y )
(4)
Energiesatz:
m1 2
m2 2
m2 2
m1 2
2
2
(v1x + v1y
( v2x +v2y
)=
(V1x + V1y2 ) +
(V2x + V2y2 )
)+
|{z}
2
2
2
2
|{z}
(5)
=0
=0
5 Gleichungen für 5 Unbekannte; Lösung:
Aus (2): V1y = 0 (6) ; aus(4) : V2y = v2y (7); (1) + (3) : m1 (V1x − v1x ) + m2 V2x = 0 (8)
2
2
2
Aus (5) mit (6) und (7): m1 (V1x
− v1x
) + m2 V2x
= 0 (9)
V2x = v1x
2m1
;
m1 + m2
m1 −m2
v1 m
1 +m2
Ergebnis: V∼ 1 =
0
!
V1x = v1x
m1 − m2
m1 + m2
1
v1 m2m
1 +m2
V∼ 2 =
v2
;
Aus (8) und (9) :
!
Anmerkung: Ergebnis schneller herleitbar unter Benutzung der Formeln für den “geraden Stoß”
in Normalenrichtung sowie der Tatsache, dass die Tangentialkomponenten unverändert bleiben!
3. Massenverhältnis m1 /m2 :
tan α =
1=
V2y !
= tan 45◦ = 1
V2x
m1 + m2
2m1
Ergebnis:
→
m1
=1
m2
Mit
v1 = v2 = v
2m1 = m1 + m2
⇒
wird:
m1 = m2
Aufgabe II/2 – 21
— Beispiel —
Eine Druckluft-Förderanlage fördert körniges Stückgut der Gesamtmasse mL mit der konstanten Ausströmgeschwindigkeit c vom Antriebswagen auf einen starr angekuppelten leeren
Anhänger. Zu Beginn des Fördervorganges bewegt sich das System antriebslos mit der Geschwindigkeit v0 . Von Reibungseinflüssen wird abgesehen. Antriebswagen und Anhänger haben
ein Leergewicht von 2 m0 bzw. m0 . Die Massenabnahme des Antriebwagens sei ṁ1 = −µ =
konst, die Massenzunahme des Anhängers ṁ2 = α = konst. Infolge Streuwirkung ist stets
α ≤ µ.
1. Durch Freischneiden der beiden Wagen und Anwenden der Grundgleichung für Massenzufuhr und Massenabfuhr bestimme man die Bewegungsgleichung während des Fördervorganges.
2. Man bestimme die Geschwindigkeit v(t) des Systems während des Fördervorganges und
die dabei herrschende Stangenkraft S(t) in der Kupplungsstange.
3. Für mL = m0 und α =
(t = T ).
µ
2
berechne man die Stangenkraft S(t) unmittelbar vor Förderende
Lösung II/2-21
1. Bewegungsgleichung:
Freischneiden:
v(t)
vrel,1
m1 (t)
v(t)
vrel,2
S
S
F, v
v̇
=
F1,2 + ṁ1,2 vrel1,2 = m1,2 v̇1,2
F, v
m1 (t) = 2m0 + mL − µt
F
e
= −S ∼x
∼1
v
ex
= −C ∼
∼rel,1
∼1
Grundgleichung:
m2 (t)
m2 (t) =
F
=
∼2
v
=
∼rel,2
v̇
v̇e
∼x
∼2
;
m0 + αt
e
S ∼x
ex
−C ∼
=
v̇e
(starr angekuppelt)
∼x
−S + (−µ)(−C) = (2m0 + mL − µt)v̇
(1)
S + (α)(−C) = (m0 + αt)v̇
(1) + (2) :
(2)
C(µ − α) = v̇(3m0 + mL − (µ − α)t)
(Bewegungsgleichung)
(3)
2. Geschwindigkeit v(t), Stangenkraft S(t)
mit den Abkürzungen: µ − α = ρ , 3m0 + mL = M
in (3):
Cρ
M − ρt
Z
Cρ
; v(t) =
dt + C1 = −C ln(M − ρt) + C1
M − ρt
; v̇ =
Bestimmung von C1 :
eingesetzt :
S(t) z.B. aus(2):
v(t = 0) = v0 = −C ln M + C1
v(t) = v0 + C ln MM
−ρt
(4)
(5)
; C1 = v0 + C ln M
(6)
S(t) = (m0 + αt)v̇ + Cα mit (4),
+ Cα
; S(t) = (m0 + αt) MCρ
−ρt
(7)
3. S(t) bei Förderende
Förderende: mL = µT ; T =
M = 4m0 , mit α = µ2 : ρ = µ2 .
In (7) eingesetzt:
mL
µ
, mit mL = m0 :
S(T ) = (m0 +
;
S(T ) = 57 Cµ
Cµ
µ m0
2
)
m0
2 µ 4m0 − µ
2 µ
T =
m0
µ
+ C µ2
(8)
Aufgabe II/2 – 12
— zu bearbeiten —
y
m1
A
r α
Gegner
v1 y
g
′
B m1
a
x′
m2
m3
ϕ
r O
Loch
x
r
b
Ein Billardspieler will mit der Spielkugel m1 die Kugel m3 in das Loch spielen. Da ihm dabei
der direkte Weg durch eine gegnerische Kugel versperrt ist, spielt er die Kugel m3 über m2
indirekt an. Er spielt also m1 auf m2 , wobei bei diesem Stoß die Kugel m1 so abgelenkt werden
soll, dass sie anschließend m3 trifft, und diese Kugel sich dann exakt in die x-Richtung bewegt
und in das Loch fällt. Die einzelnen Abstände der Kugeln sind mit a und b gegeben. Die Kugeln
haben alle die gleiche Masse m und gleiche Radien r. Alle Vorgänge verlaufen reibungsfrei, die
Stöße sind vollelastisch.
1. Ermitteln Sie den geometrischen Zusammenhang zwischen ϕ und α, wenn sich die Kugel
m1 mit der Geschwindigkeit v1 in Richtung der unter dem Winkel α zur y-Achse geneigten
Geraden bewegt.
2. Durch Anwenden des Impulssatzes finde man die Geschwindigkeit V∼ 1 = (V1x′ , V1y′ ) der
Kugel m1 nach dem Stoß mit m2 .
3. Man ermittle den geometrischen Zusammenhang zwischen dem Winkel ϕ und dem Abstand b. (Hinweis: Tangentialkomponenten der Geschwindigkeiten bleiben unverändert!)
4. Man gebe die Geschwindigkeit V∼ 3 = ( V3x , 0) der Kugel m3 nach dem Stoß mit m1 an.
Mit den Abständen a = 162 mm, b = 144 mm und einem Kugelradius von r = 24 mm
berechne man den Abschusswinkel α sowie die Geschwindigkeit V3x .
Aufgabe II/2 – 33
— zu bearbeiten —
Es sollen prinzipielle Einflussgrößen auf Schubleistung und Wirkungsgrad von Strahltriebwerken
untersucht werden.
Betrachtet wird ein Triebwerk, das sich mit der absoluten Fluggeschwindigkeit v0 = const
durch die Atmosphäre bewegt. Am Lufteintritt strömt die Luft mit der Relativgeschwindigkeit
we in das Triebwerk, wird im Triebwerk beschleunigt und verlässt es mit der Geschwindigkeit
wa > v0 ≥ we relativ zum Triebwerk. Unter Vernachlässigung der zugeführten Brennstoffmenge
gilt aufgrund der Massenerhaltung für die Massenströme ṁe = ṁa = ṁ.
1. Ermitteln Sie mit Hilfe der Grundgleichung für massenveränderliche Vorgänge die Schubkraft F in Abhängigkeit der übrigen Größen. Geben Sie hiermit für stationäre Betriebszustände die Nutzleistung PN = F vabs an.
2. Bestimmen Sie den Betrag |va,abs | der absoluten Abgasstrahlgeschwindigkeit und damit
die kinetische Energie Ekin,a , die der Abgasstrahl trägt. Diese Energie wird nicht genutzt
und ist damit verloren. Geben Sie für stationäre Zustände die über den Abgasstrahl
abgegebene Verlustleistung PV,a = dtd Ekin,a an.
3. Unter Vernachlässigung anderer Verluste gilt für die aufgewandte Leistung PA = PN +
PV,a . Ermitteln Sie den sogenannten Vortriebswirkungsgrad ηvor = PPNA für Windstille und
ideale Anströmung. Skizzieren Sie ηvor in Abhängigkeit vom Verhältnis α = wv0a zwischen
Turbinenaustrittsgeschwindigkeit und Fluggeschwindigkeit.
Hinweis: Ein sinnvoller α-Bereich ist z.B. α = 1 . . . 4.
4. Warum sind Jettriebwerke für langsamfliegende Maschinen weniger sinnvoll? Durch welche
Maßnahmen lassen sich bei geringen Fluggeschwindigkeiten dennoch hohe Schubkräfte bei
gutem Wirkungsgrad realisieren?
Zusatz: Ein gängiger Wert für zivile Luftstrahltriebwerke ist α ≈ 1.5 (Reiseflug).
Aufgabe II/2 – 1
cos ϕ2 = 1 −
— freiwillig —
− cos ϕ1 ) ``12
m21 (1+ε)2
(1
(m1 +m2 )2
g
j1
j2
1
2
z
m1
m2
Zwei Kugeln mit den Massen m1 und m2 hängen dicht nebeneinander an parallelen masselosen
Stangen mit den Längen `1 und `2 . Ihre Mittelpunkte befinden sich in gleicher Höhe. Die Kugel
m1 wird nun um den Winkel ϕ1 aus der Lotrechten ausgelenkt und sodann aus dieser Lage
ohne Anfangsgeschwindigkeit losgelassen.
Für den anschließenden Stoß zwischen m1 und m2 gelte die Stoßzahl ε.
1. Mit welcher Geschwindigkeit v1 trifft m1 auf m2 ?
2. Welche Geschwindigkeiten V1 bzw. V2 besitzen die Kugeln unmittelbar nach dem Stoß?
(allgemein und speziell für ε = 1, m1 = m2 = m)
3. Bis zu welchem Winkel ϕ2 schwingt die Kugel m2 nach dem Stoß aus?
`1
erreicht das Pendel m2 gerade die Überkopflage?
`2
Es gelte: ϕ1 = 90◦ , ε = 21 , m1 = m2 = m.
4. Bei welchem Längenverhältnis