Kapitel 2 – Musterlösungen

Kapitel 6
Musterlösungen
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Ü 6.1 Beschleunigung eines Fahrzeugs
Ein Fahrzeug mit einer Masse m = 1750 kg wird t = 6.9 s lang mit a = 0.38 g beschleunigt. Der
Rollwiderstand wird mit μ = 0.014 abgeschätzt, der aerodynamische Widerstand wird
vernachlässigt.
Welche Arbeit wird von der Antriebskraft in dem Zeitintervall Δt = 6.9 s geleistet?
FT=m⋅a
FA
FR=μ⋅
FR=μ⋅ 0.5⋅FG
FG=m⋅g
Gewichtskraft FG des Fahrzeugs
FG = m ⋅ g =1750 kg ⋅ 9.81
m
= 17168 N
s2
Antriebskraft FA aus der Kräftebilanz in Fahrtrichtung
FA = m ⋅ a + μ ⋅ FG =1750 kg ⋅ 0.38 ⋅ 9.81
m
+ 0.014 ⋅ 17168 N = 6764 N
s2
Im Zeitintervall Δt zurückgelegte Strecke
1
1
m
Δs = ⋅ a ⋅ Δt 2 = ⋅ 0.38 ⋅ 9.81 2 ⋅ 6.9 2 s 2 = 88.74m
2
2
s
Verrichtete Arbeit
WA = FA ⋅ Δs = 6764 N ⋅ 88.74m = 600.2 ⋅103 Nm = 0.1667 kWh
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Ü 6.2 Isotherme Kompression von Luft
Ein reibungsfrei gleitender Kolben mit einem Durchmesser von d = 100mm verdichtet Luft
isotherm vom Volumen V1 = 0.18 m³ auf V2 = 0.03 m³. Der Anfangsdruck beträgt p1 = 1340 hPa.
Der Umgebungsdruck beträgt pu = 980hPa.
Gesucht sind die erforderliche Kolbenkraft FN und die verrichtete Nutzarbeit WN12.
W N 12 = WV 12 − pU ⋅ (V1 − V2 )
Die Volumenänderungsarbeit ergibt sich zu
2
WV 12 = − ∫ p ⋅ dV
1
mit der Zustandsgleichung des idealen Gases bei isothermen (d.h. dT = 0) Prozessen
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Kapitel 6
Musterlösungen
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p ⋅ V = m ⋅ R ⋅ T ⇒ p ⋅ V = p1 ⋅ V1 = p 2 ⋅ V2
⇔ p = p1 ⋅ V1 ⋅
1
V
folgt
2
WV 12 = − ∫
1
2
⎛V
R ⋅T
1
⋅ dV = − p1 ⋅ V1 ⋅ ∫ ⋅ dV = − p1 ⋅ V1 ⋅ [ln (V2 ) − ln (V1 )]= − p1 ⋅ V1 ⋅ ln⎜⎜ 2
V
V
⎝ V1
1
⎞
⎟⎟
⎠
und die Nutzarbeit WN12 zu
⎞
⎟⎟ − pU ⋅ (V1 − V2 )
⎠
⎛ 0.03 ⎞
W N 12 = − 134000 Pa ⋅ 0.18 m 3 ⋅ ln⎜
⎟ − 98000 Pa ⋅ (0.18 − 0.03) = 28517 J
⎝ 0.18 ⎠
⎛V
W N 12 = − p1 ⋅ V1 ⋅ ln⎜⎜ 2
⎝ V1
Kolbenkraft FN
p2 =
p1 ⋅ V1
V2
134000 Pa ⋅ 0.18 m 3
= 804000 Pa
0.03 m 3
FN = ( p 2 − pU ) ⋅ A
p2 =
2
⎛ 0.1 m ⎞
FN = (804000 Pa − 98000 Pa ) ⋅ ⎜
⎟ ⋅ π = 5545 N
⎝ 2 ⎠
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Ü 6.3 Berechnung von Wellenleistung P und geleistete Wellenarbeit nach Δt = 30 Minuten
Betrieb mit konstanter Drehzahl
Der Motor überträgt bei einer Drehzahl von n = 2700 min-1 ein Drehmoment von MW = 392 Nm.
Wellenleistung P
P = MW ⋅ω = MW ⋅ 2 ⋅π ⋅ n
P = 392 Nm ⋅ 2 ⋅ π ⋅
2700 min −1
= 110835W =110.835 kW
60
Geleistete Wellenarbeit nach Δt = 30 Minuten Betrieb mit konstanter Drehzahl
WW 12 = P ⋅ Δt
WW 12 = 110835W ⋅ 1800 s = 199.5 ⋅ 10 6 Ws = 199.5 ⋅ 10 6 J = 55.42 kWh
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Ü 6.4 Kühlung eines elektrischen Leiters
Ein elektrischer Leiter wird von einem zeitlich konstanten Gleichstrom durchflossen. Der
elektrische Leiter, der zwischen zwei Punkten mit dem Potentialunterschied Uel = 15.5 V liegt,
hat einen elektrischen Widerstand von Rel = 2.15 Ω. Durch eine entsprechende Kühlung wird
die Temperatur des Leiters konstant gehalten.
Wieviel Energie muß innerhalb von Δt = 1 h in Form von Wärme abgeführt werden?
Definition für die Wärme
Q12 = U 2 − U 1 − W12
Da sich der Zustand, d.h. die Temperatur und somit die innere Energie des Leiters nicht
ändert, gilt:
U 2 − U1 = 0
(T =const. !)
Die zugeführte Arbeit entspricht der zugeführten elektrischen Arbeit
W12 = W12el = U el ⋅ I el ⋅ Δt
mit
I el =
U el
Rel
folgt
⎛ U el2 ⎞
⎟ ⋅ Δt
=−⎜
⎜ Rel ⎟
⎠
⎝
2
2
⎛ 15.5 V ⎞
⎟ ⋅ 3600 s = − 402.3 kJ = − 0.1117 kW
Q12 = − ⎜
⎜ 2.15 Ω ⎟
⎠
⎝
Q12 = − W12el
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Ü 6.5 Stationärer Fließprozeß am Beispiel eines Wasserkraftwerks
Die Grenzen des Kontrollraums werden so gewählt, daß die Strömungsgeschwindigkeit des
Wassers vernachlässigbar klein wird, d.h. c1 = c2 ≈ 0. Der Luftdruck ist zu vernachlässigen
und Zu- und Ablauf liegen in der gleichen Tiefe unter dem Oberwasser- bzw.
Unterwasserspiegels, d.h. p1 = p2. Der Kontrollraum ist adiabat, d.h. q12 = 0. Wasser kann als
inkompressibel angenommen werden, d.h. seine Dichte ρ bzw. spezifisches Volumen v ist
konstant.
Gesucht ist die abgegebene Turbinenarbeit wt12 .
Der erste Hauptsatz für stationäre Fließprozesse
q12 + wt ,12 = h2 − h1 +
(
)
1 2
⋅ c 2 − c12 + g ⋅ ( z 2 − z1 )
2
vereinfacht sich somit zu
wt ,12 = h2 − h1 + g ⋅ ( z 2 − z1 )
bzw.
wt ,12 = u 2 − u1 + ( p 2 − p1 ) ⋅ v + g ⋅ ( z 2 − z1 )
1424
3
=0
also
wt ,12 =
u 2 − u1 + g ⋅ ( z 2 − z1 ) = u 2 − u1 − g ⋅ z geodätisch
123
14243
innere Energie
potentielle Energie
Die abgegebene Turbinenarbeit setzt sich also zusammen aus der Änderung der inneren
Energie sowie aus der Abnahme der potentiellen Energie des Wassers im Schwerefeld der
Erde.
Für einen reversiblen Prozeß gilt u1 = u2, d.h. die innere Energie im System bleibt
unverändert und die abgegebene Arbeit hängt lediglich von der Änderung der potentiellen
Energie ab.
wt12,rev = g ⋅ ( z 2 − z1 ) = − g ⋅ z geodätisch
Dies stellt den theoretisch maximal erzielbaren Grenzwert für die abzugebende
Turbinenarbeit dar. In der Natur kommen jedoch lediglich verlustbehaftete Prozesse vor, d.h.
es gilt wegen der Reibungsverluste u2 > u1. Diese Verluste führen zu einer Verringerung der
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abgegebenen Turbinenarbeit und einer Erhöhung der inneren Energie des Wassers, d.h. zu
einer Temperaturerhöhung des Wassers.
Der Wirkungsgrad des Kraftwerks läßt sich ausdrücken durch das Verhältnis
η=
wt12
wt12,rev
Der Zusammenhang der Wassertemperatur mit seiner inneren Energie wird beschrieben
durch
u 2 − u1 = cv ⋅ (T2 − T1 )
Mit zgeodätisch = Δz und der Definition des Wirkungsgrades η folgt
η=
wt12
− g ⋅ Δz + u 2 − u1 − g ⋅ Δz + cv (T2 − T1 )
=
=
− g ⋅ Δz
wt12,rev
− g ⋅ Δz
berechnet sich die Temperaturerhöhung des Wassers aus
T2 − T1 =
− η ⋅ g ⋅ Δz + g ⋅ Δz g ⋅ Δz ⋅ (1 − η )
=
cv
cv
Bei einem angenommenen Wirkungsgrad von η = 0.9 und einem Höhenunterschied von
Δz = 100m ergibt sich mit der spezifischen Wärmekapazität von Wasser cv = 4190 J/kgK eine
Erwärmung des Wassers von
T2 − T1 =
m
⋅ 100 m ⋅ 0.1
s2
= 0.023 K
J
4190
kg ⋅ K
9.81
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Ü 6.6 Abfüllen eines Kühlmittels R12 in eine Gasflasche
In einer Gasflasche mit dem Volumen V = 0.002 m³ befindet sich das Kältemittel R12
(CF2Cl2). Zu Anfang steht das gasförmige R12 bei Ta = 20°C unter einem Druck von pa =
1.005 bar. Das zu Ta und pa gehörige spezifische Volumen va beträgt va = 0.1967 m³/kg und
die spezifische Enthalpie ha = 303.76 kJ/kg. Zum Auffüllen wird die Gasflasche an eine
Leitung mit gasförmigem R12 angeschlossen mit p1 = 6.541 bar, T1 = 50°C,
h1 = 315.94 kJ/kg.
Auszug aus der Dampftafel von R12 für Ts = 20°C
Ts [°C]
20.0
ps [bar]
5.691
v' [m3/kg]
0.7528⋅10-3
v'' [m3/kg]
0.03102
h' [kJ/kg]
153.73
h'' [kJ/kg]
296.78
Die Flasche wird so aufgefüllt, daß bei 20°C gerade 80% des Volumens von siedendem R12
und das restliche Volumen von gesättigtem Dampf eingenommen wird.
Welche Menge an R12 sind einzufüllen und wieviel Wärme muß während des Füllvorgangs
über eine Kühlung abgeführt werden?
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Ü 6.6 Abfüllen eines Kühlmittels R12 in eine Gasflasche
Die Masse ma des gasförmigen R12 zu Beginn des Füllvorgangs berechnet sich zu
ma = ρ a ⋅ V =
1
⋅V =
va
1
3
0.1967
⋅ 0.002 m 3 = 0.0102 kg
m
kg
Die Masse mb am Ende des Füllvorgangs läßt sich aus den Massen der siedenden
Flüssigkeit m' und des gesättigten Dampfes m'' bestimmen.
mb = mb′ + mb′′ = 0.8 ⋅ V ⋅
1
1
0.8
0.2 ⎞
⎛
+ 0.2 ⋅ V ⋅ = 0.002 ⋅ ⎜
+
⎟ = 2.138 kg
−3
v′
v ′′
0.03102 ⎠
⎝ 0.7528 ⋅ 10
Die einzufüllende Menge beträgt somit
m = mb − ma = 2.138 kg − 0.0102 kg = 2.128 kg
Da nur ein Stoffstrom die Systemgrenze überquert, d.h. dm2 = 0 , gilt:
⎛
⎞
c2
dQ + dWt + ⎜⎜ h1 + 1 + g ⋅ z1 ⎟⎟ ⋅ dm1 = dE
2
⎝
⎠
Die kinetische und potentielle Energien können vernachlässigt werden. Während dem
Füllvorgang wird dem System keine Arbeit zugeführt, d.h. dWt = 0. Die Änderung der Energie
dE entspricht der Änderung der inneren Energie dU des R12, das sich in der Gasflasche
befindet. Die Energiebilanz vereinfacht sich somit zu
dQ + h1 ⋅ dm1 = dU
⇔
dQ = − h1 ⋅ dm1 + dU
Die Integration
b
b
b
a
a
a
∫ dQ = ∫ − h1 ⋅ dm1 + ∫ dU
ergibt wegen des zeitlich konstanten Zustands des einströmenden Kühlmittels R12
Qab = − h1 ⋅ (mb − ma ) + U b − U a
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Ü 6.6 Abfüllen eines Kühlmittels R12 in eine Gasflasche
Die innere Energie des gasförmigen R12 vor dem Füllen beträgt
U a = m a ⋅ u a = ma ⋅ (ha − p a ⋅ v a )
⎛
⎞
kJ
U a = 0.0102 kg ⋅ ⎜⎜ 303.76 − 1.005 ⋅ 10 5 Pa ⋅ 0.1967 m 3 ⎟⎟ = 2.897 kJ
kg
⎝
⎠
Am Ende des Füllvorgangs beträgt die innere Energie des Naßdampfes
U b = mb′ ⋅ u b + mb′′ ⋅ u b = mb′ ⋅ (h′ − p s ⋅ v ′) + mb′′ ⋅ (h ′′ − p s ⋅ v ′′)
U b = mb′ ⋅ h ′ + mb′′ ⋅ h′′ − p s ⋅ (mb′ ⋅ v ′ + mb′′ ⋅ v ′′)
1442443
V
mit
mb′ = 0.8 ⋅ V ⋅
mb′′ = 0.2 ⋅ V ⋅
1
= 0.8 ⋅ 0.002 m 3 ⋅
′
v
1
= 0.2 ⋅ 0.002 m 3 ⋅
′
′
v
1
0.7528 ⋅ 10
−3
1
m3
0.03102
kg
m3
kg
= 2.125 kg
= 0.013 kg
folgt
U b = 2.125 kg ⋅ 153.73
kJ
kJ
+ 0.013 kg ⋅ 296.78 − 5.691 ⋅ 10 5 Pa ⋅ 0.002 m 3 = 329.4 kJ
kg
kg
Die während dem Füllvorgang abzuführende Wärme ergibt sich zu
Qab = − 315.94
kJ
⋅ (2.138 kg − 0.0102 kg ) + 329.4 kJ − 2.897 kJ = − 345.8 kJ
K
Das bedeutet, daß die Gasflasche während dem Füllvorgang gekühlt werden muß, um eine
konstante Temperatur von 20°C aufrecht zu erhalten und das eingefüllte Gas kondensiert.
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