1 Gesetz von Biot

1
Gesetz von Biot-Savart
d~l: Längenelement entlang der Stromrichtung
B(~r2 ) =
µ0
I
4π
ˆ
L
d~l × r~12
3
r12
für eine beliebige Anordnung von Strömen gilt:
ˆ
ˆ
A
I d~l =
⇒
L
~ · d~l
dV = dA
~
~j · dA
I=
ˆ ˆ
L
⇒ B(~r2 ) =
ˆ
~ d~l =
~j · dA
~j dV
A
µ0
4π
ˆ
V
V
j(~r1 ) × ~r12
dV
3
r12
Beispiel 1 (Gerader Stromfaden unendlicher Länge)
r2
µ0 I d~l × ~r12
µ0 I dr1 r12 sin(θ)
µ0 I dr1 r12 r12
µ0 I r2 dr1
=
ê
=
êϕ =
êϕ
ϕ
3
3
3
3
4π
r12
4π
r12
4π
r12
4π r12
"
#∞
ˆ∞
µ0 I
r2
µ0 I
r1
µ0 I
p
⇒ B(~r2 ) =
=
3 dr1 =
2
2
2
2
4π
4π
2π
r2
2
r1 + r2 · r2 −∞
(r1 + r2 )
−∞
~ =
dB
1
~ r2 ) = µ0 I êϕ
⇒ B(~
2π r2
(gleiches Ergebnis wie mit Ampère’schem Gesetz, Rechnung jedoch viel aufwändiger)
⇒ Liegt Symmetrie vor, sodass B-Feld entlang einer geschlossenen Linie um den Leiter konstant ist: Ampère’sches
Gesetz, sonst: Biot-Savart.
Beispiel 2 (Ringstrom (Leiterschleife))
~ z ). Da wir entlang d~l integrieren wollen,
Leiterschleife liegt in x,y-Ebene, gesucht ist B-Feld auf z-Achse: B(~
~
~
~
~
parametrisieren wir l ⇒ l(ϕ) und ersetzen dl durch dϕ · l(ϕ). Auch ~r12 wird parametrisiert ⇒ ~r12 (ϕ)
(r~12 zeigt nach Innen; vom Draht zum Punkt, an dem B ermittelt werden soll)


−Rsinφ
~l =  Rcosφ 
0


−Rsinφ
r~12 =  Rcosφ 
0

Rcosφz
⇒ ~l × r~12 =  Rsinφz  ;
R2

r12 =
p
R2 + z 2

µ0
~
B(z)
=
I
4π
ˆ
L
ˆ 2π
dφ~l × r~12
µ0
=
I
3
r12
4π 0

Rcosφz
dφ  Rsinφz 
R2
3
(R2 + z 2 ) 2


2π
Rzsinφ
1
µ0
 −Rzcosφ 
=
I
4π (R2 + z 2 ) 23
R2 φ
0

0
µ0
1
R2
 0  = µ0 I
=
I
eˆz
3
4π (R2 + z 2 ) 2
2 (R2 + z 2 ) 32
R2 2π
2
2
Faradaysches Induktionsgesetz
Definition: Magnetischer Fluss:
ˆ
ΦB =
BdA
[ΦB ] = 1T m2 = 1W b
Ändert sich der magnetische Fluss durch eine (fast) geschlossene Leiterschleife, so wird zwischen den beiden Enden
der Schleife eine Spannung induziert. Diese Spannung heißt Induktionsspannung.
Die Induktionsspannung Ui ergibt sich zu
Ui = −
dΦB
dt
Das Minus und damit die Einhaltung des Energie-Erhaltungssatzes wird durch die Lenz’sche Regel anschaulich
beschrieben.
Lenz’sche Regel: Ein induzierter Strom ist so gerichtet, dass er seiner Ursache, der Änderung des magnetischen
Flusses entgegen wirkt.
Für das vom Induktionsstrom hervorgerufene B-Feld gilt:
– Ist die Ursache des Induktionsstroms die Abnahme des ursprünglich vorhandenen Feldes, so ist das induzierte
Feld dem ursprünglichen gleich gerichtet, um es zu verstärken, um der Abnahme entgegen zu wirken.
– Ist die Ursache die Zunahme des ursprünglich vorhandenen Feldes, so ist das induzierte Feld dem ursprünglichen
entgegen gerichtet, um es zu schwächen, um der Zunahme entgegen zu wirken.
3
Induktion & Arbeit
Wird eine Leiterschleife (mit eingebautem Verbraucher oder Widerstand) in einem Magnetfeld bewegt, so dass
sich der magnetische Fluss durch sie ändert, bewirkt der Induktionsstrom eine Kraft, die der Bewegungsrichtung
entgegen wirkt (Energieerhaltung: Im Verbraucher dissipiert Energie, diese Energie muss durch die Bewegung der
Schleife in das System gebracht werden; Die Bewegung erfolgt gegen die oben beschriebene Kraft)
In der folgenden Rechnung werden nur Beträge betrachtet
3
ˆ
~ dA
~ =B·L·x
B
ΦB =
Ui =
mit R =
dΦB
= B · L · ẋ = B · L · v
dt
U
I:
I=
~ × B:
~
Mit F~ = I · L
BLv
Ui
=
R
R
F2 = F3 (entgegengesetzte Richtung)
F1 = ILB sin(90) =
Leistung P = F1 · v =
4
B 2 L2 v
R
B 2 L2 v 2
R
Induktivität L
Spule: wie bereits bekannt, ist das B-Feld in der Spule proportional zum Strom, der sie durchfliesst: B ∝ I.
Mit ΦB = B · A (B konstant auf ganz A): Φ ∝ I
ΦB =
L·I
N
N : Windungszahl
Der Proportionalitätsfaktor L wird als Eigeninduktivität der Spule bezeichnet (oder kurz Induktivität). Mit ΦB =
µ0 I · Nl A folgt
L = µ0 A
N2
l
l: Spulenlänge
[L] = 1 H = 1 Henry
5
Selbst-Induktion
In einer von einem sich ändernden Strom durchflossenen Spule wird eine Spannung induziert, die der dem Strom
verursachenden Spannung entgegen wirkt.
Ui = −N
dΦB
= −LI˙
dt
RL-Schaltkreis
4
Maschenregel: 0 = U0 − UR + Ui = U0 − I · R − LI˙
Ausschaltvorgang: 0 = IR + LI˙ ⇒ I˙ +
R
LI
=0
R
Lsg zu AB: I(t = 0) = I0 : I(t) = I0 e− L t
Einschaltvorgang: U0 = IR + LI˙ ⇒ I˙ +
Lsg zu AB: I(t = 0) = 0 : I(t) =
6
R
LI
=
U0
L
⇒ Ipartikulär =
U0
R
R
U0 1 − e− L t
R
Energie des Magnetfeldes
Energie: (Hergeleitet am RL-Schaltkreis)
U0 = LI˙ + IR
|·I
dI
LI
| {zdt}
⇒ Leistung: U0 · I =
+
Verlustleistung des Widerstandes
Leisung, die Energie "ins Magnetfeld der Spule steckt"
Energie:
dWm
dI
= LI
dt
dt
Wm
ˆ
ˆI
0
⇒
dWm
= LI 0 dI 0
Wm ;
0
⇒ Wm =
0
1 2
LI Energie in Magnetfeld einer Spule
2
Energiedichte: (Hergeleitet an Spule)
wm =
1
1
1
N2 2 1
1 N2
Wm
= LI 2
= µ0 A
I ·
= µ0 2 I 2
Al
2
Al
2
l
Al
2
l
⇒ wm =
1 1 2
B
2 µ0
Formel für Energiedichte des Magnetfeldes ist allgemein gültig.
5
I 2R
|{z}
7
Der Schwingkreis
a) ungedämpft: Reihenschaltung aus L und C
kein Widerstand ⇒ Gesamtenergie im Schwingkreis ist zeitlich konstant
W = We + Wm =
q2
LI 2
q2
L
+
=
+ (q̇)2
2C
2
2C
2
dW
q q̇
=
+ Lq q̇ = 0 |/q̇
dt
C
1
⇒ q(t) + Lq̈(t) = 0
C
Ansatz: q(t) = sin(ωt) oder q(t) = cos(ωt)
Lsg: q(t) = Qm sin(ωt + φ)
ω=√
1
LC
Qm : maximale Ladung des Kondensators
Kreisfrequenz des Schwingkreis
gedämpft: Reihenschaltung aus L, C, und R
LI˙ + RI +
1
1
q = 0 ⇒ Lq̈ + Rq̇ + q = 0
C
C
R
q = Qm e− 2L sin(ω 0 t + Φ)
6
s
0
ω =
8
ω2 −
R
2L
2
r
=
1
R2
−
LC
4L
Wechselstrom-Schaltkreise
Als Spannungsquelle dient ein Frequenzgenerator, der eine sinusförmige Wechselspannung liefert: U (t) = U0 sin(ωt)
am Widerstand R gilt:
I(t) = I0 sin(ωt) ⇒ Strom und Spannung sind in Phase
Aus der mittleren Leistung Peff =
1
T
T́
U (t)I(t)dt = Ueff · Ieff folgt für sinusförmige Wechselspannung:
0
U0
Uef f = √
2
I0
Ief f = √
2
an einer Induktivität L gilt:
!
⇒I=
U0
L
ˆ
U (t) = U0 sin(ωt) = LI˙
sin(ωt) dt = −
U0
U0
π
cos(ωt) =
sin ωt −
ωL
ωL
2
⇒ Strom wird durch die Spule verzögert (Phasendifferenz ∆ϕ = 90)
induktiver Widerstand: XL = ωL
am Kondensator C gilt:
Q(t) = C U (t) = C U0 sin(ωt)
dQ
π
= ωC U0 cos(ωt) = ωC U0 sin(ωt + )
dt
2
⇒ Der Strom eilt der Spannung (um 90°) voraus.
I(t) =
kapazitiver Widerstand: XC =
1
ωC
Spulen und Kondensatoren werden als Blindwiderstände bezeichnet, da sie keine Verlustleistung besitzen. D.h. an
ihnen geht keine Energie verloren. Um die Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom zu berücksichtigen,
verwendet man meist die komplexe Schreibweise:
Widerstand Z = R
1
i
Kapazität Z = iωC
= − ωC
Induktivität Z = iωL
Diese komplexen Grössen werden nach den Regeln für ohmsche Widerstände addiert.
Reihenschaltung: analog zu Rges = R1 + R2 + R3
1
1
Z = R + iωL − i
= R + i ωL −
ωC
ωC
7
Parallelschaltung: analog zu
1
RGes
=
1
R1
+
1
R2
+
1
R3
1
1
1
=
+
+ iωC
Z
R iωL
Der Betrag von Z wird Impedanz genannt.
Die Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom, die an einem Schaltkreis auftritt errechnet sich aus:
Im [Z]
Re [Z]
tan(ϕ) =
Aus U (t) = U0 sin(ωt) folgt:
I(t) = I0 sin(ωt − ϕ)
9
Maxwell’scher Verschiebungsstrom
Betrachten wir einen Kondensator, der gerade geladen wird, stellt man fest, dass sich nicht nur um die Zuleitungen
zum Kondensator ein Magnetfeld ausbildet (vgl. Ampère’sches Durchflutungsgesetz) sondern auch um das sich
ändernde elektrische Feld des Kondensators. Diese Beobachtung legt nahe, einem sich ändernden elektrischen Feld
formal einen Strom zuzuweisen, den Maxwell’schen Verschiebungsstrom
d
I~d = 0 ΦE
dt
mit ΦE =
´
~ dA,
~ dem elektrischen Fluss
E
~
~jd = Id = 0 ∂ E
A
∂t
10
Induzierte magnetische Felder
Das Ampère’sche Gesetz kann unter Berücksichtigung des Maxwell’schen Verschiebungsstroms auf den allgemeinen
Fall, dass nicht nur ein Strom fliesst, sondern zusätzlich ein sich änderndes elektrisches Feld vorhanden ist, erweitert
werden.
˛
~ d~s = µ0 (I + Id ) = µ0 I + µ0 0 dΦe
B
Ampere-Maxwell-Gesetz
dt
11
Maxwell-Gleichungen
Gauss’sches Gesetz
~ = ρ
div E
0
verbindet den elektrischen Fluss mit der eingeschlossenen Ladung
ˆ
A
~ = 0 r E
~
In Materie: D
~ dA
~= 1
E
0
ˆ
ρ dV ≡
VA
~ =ρ
div D
8
q
0
Gauss’sches Gesetz für Magnetismus
~ =0
div B
verbindet den magnetischen Fluss mit der eingeschlossenen “magnetischen Ladung”
ˆ
~ dA
~=0
B
A
~ = µ0 µr H
~
In Materie: B
~ =0
div B
Faraday’sches Induktionsgesetz
~
~ = − ∂B
rot E
∂t
verbindet induziertes E-Feld mit der Änderung des magnetischen Flusses
ˆ
ˆ
~ d~s = − d
~ dA
~ = − d ΦB
E
B
dt
dt
C
AC
In Materie:
~ =−
rot E
~
∂B
∂t
Ampère-Maxwell-Gesetz
~
~ = µ0~j + µ0 0 ∂ E
rot B
∂t
verbindet das induzierte B-Feld mit dem Strom und der Änderung des elektrischen Flusses
ˆ
ˆ
ˆ
~ dA
~ = µ0 I + µ0 0 d ΦE
~ d~s = µ0
~ + µ0 0 d
~j dA
E
B
dt
dt
AC
AC
C
in Materie:
~ =j+
rot H
12
~
∂D
∂t
Materie im Magnetfeld
~ der Elektronen eines Atoms kann als atomarer Kreisstrom betrachtet werden und erzeugt ein
Der Drehimpuls L
e ~
|L|
magnetisches Dipolmoment: |m|
~ = 2m
e
e~n
m
~ =
= nµB
2me
Der Drehimpuls ist ein ganzzahliges Vielfaches (n-faches) des Plank’schen Wirkungsquantums ~ und des BohrMagnetons µB = 9.274 · 10−24 mA2 .
Magnetisierung:
X
1
~ = 1
~0
M
m
~i=
χmag B
V i
µ0
~ =B
~ 0 + µ0 M
~ =B
~ 0 + χmag B
~0
B
~ = µr B
~0
⇒ B
~ =
Magnetische Erregung H
9
1 ~
B
µ0 µr
Stetigkeit an Grenzflächen:
Hk1 = Hk2
1
2
B⊥
= B⊥
Diamagnetismus (µr ≤ 1) Eigenschaft der meisten Materialien aufgrund des Bestrebens der Elektronen, in
Paaren mit entgegengesetztem Bahn-Eigendrehimpuls aufzutreten (Minimierung der Gesamtenergie). Ein externes
Magnetfeld induziert ein magnetisches Dipolmoment, das dem äusseren Feld entgegen gerichtet ist (Lenz’sche Regel).
Paramagnetismus (µr > 1) Stoffe, die aufgrund ungepaarter Elektronen bereits permanente magnetische Dipole
besitzen. Die zufällige Ausrichtung der permanenten Dipole führt dazu, dass ohne äusseres Feld die Summe über
alle Dipolmomente näherungsweise Null ist. In einem externen Feld richten sich die Dipole aus und verstärken es.
Ferromagnetismus (µr 1) Materialien mit einer hohen Dichte ungepaarter Elektronen und somit permanenter Dipole. Quantenmechanische Austauschwechselwirkung führen zu einer parallelen Ausrichtung atomarer
Dipolmomente, was hohe Suszeptibilitäten zur Folge hat.
13
Elektromagnetische Wellen
Wellengleichungen:
~
1
∂2B
~
=
∆B
2
∂t
0 µ0
~
1
∂2E
~
=
∆E
2
∂t
0 µ0
Bei Betrachtung der Wellengleichungen genügt es, sich auf das E-Feld zu beschränken, da das B-Feld durch das
E-Feld eindeutig definiert ist.
Als Lösung der Wellengleichung erhält man die harmonische Welle
h
i
~
E(~r, t) = E0 cos(~k~r − ωt) = Re E0 ei(k~r−ωt)
für Ausbreitung in x-Richtung gilt:
E(x, t) = E0 cos(kx − ωt)
ω
2π
=
k: Wellenzahl
λ
c
~k: Wellenvektor
k = |~k|
k=
~ und B
~
– E-M-Wellen sind Transversalwellen, d.h. sie schwingen senkrecht zu ihrer Ausbreitungsrichtung, E
liegen in einer Ebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung
~ und B
~ stehen senkrecht aufeinander
– E
~ ×B
~ zeigt in Ausbreitungsrichtung
– ~k = E
~ und B
~ schwingen in Phase.
– E
Amplitudenverhältnis: E0 = cB0
– Ihre Ausbreitungsgeschwindigkeit ist die Lichtgeschwindigkeit c =
10
√1
0 µ0
Energiedichte
1 2
1
1 ~
B =
EB = |S|
µ0
µ0 c
c
wem = wE + wB = c E 2 =
Energiestromdichte: Poynting-Vektor
~= 1E
~ ×B
~ =E
~ ×H
~
S
µ0
[S] =
W
m2
~ beschreibt die Richtung, in die die Energie fliesst; im Falle elektromagnetischer Wellen
Die Richtung von S
~
~ k ~k). Der Betrag |S|
~ beschreibt die momentane
im Vakuum zeigt S in Ausbreitungsrichtung der Welle (S
Energietransport-rate, also wie viel Energie pro Zeit und Fläche übertragen wird.
~ =
|S|
1 2
1
EB =
E
µ0
µ0 c
~
Die Intensität I ist das zeitliche Mittel von |S|
I=
1 1 2
E
2 cµ0 0
Der Strahlungsdruck P beträgt
Pabs =
1
I
0 E02 =
2
c
Diese Formel gilt für den Fall, dass die einfallende E-M-Welle vollkommen von dem Material, auf das sie trifft bzw.
auf das sie den Strahlungsdruck ausübt, absorbiert wird. Wird sie vollkommen reflektiert, ist der Strahlungsdruck
aufgrund der Impulserhaltung doppelt so hoch:
Pref = 0 E02 = 2
14
I
c
Relativitätstheorie
Lorentz-Transformation
x, y, z, t sind die Ortskoordinaten und Zeit im Bezugssystem K
x0 , y 0 , z 0 , t0 sind die Koordinaten im relativ zu K mit Geschwindigkeit v in x-Richtung bewegten Bezugssystem K 0
x0 = γ(x − vt)
y0 = y
z0 = z
v t0 = γ t − 2 x
c
mit γ =
q 1
2
1− vc2
Längen Kontraktion
L0 =
1
L
γ
Zeitdilatation
t0 = γt
Im Ruhesystem einer Uhr geht die Zeit am langsamsten.
11