19 Vektorpotenzial und Biot-Savart

Magnetostatik
1. Permanentmagnete
2. Magnetfeld stationärer Ströme
i. Elektromagnetismus Phänomenologie
ii. Magnetischer Fluss Amperesches Gesetz
iii. Feldberechnungen mit Amperschen Gesetz
iv. Das Vektorpotenzial
v. Biot-Savartsches Gesetz und Anwendungen
3. Kräfte auf bewegte Ladungen im Magnetfeld
4. Materie im Magnetfeld
Feldberechnungen
Elektrostatik
Wie kann aus einer vorgegebenen
Ladungsverteilung das elektrische
Feld berechnet werden?
Magentostatik
Wie kann aus einer vorgegebenen
Stromverteilung das magnetische
Feld berechnet werden?
Superpositionsprinzip
Superpositionsprinzip
Gauß‘scher Satz
Feld durch Hüllfläche gleich der
eingeschlossenen Ladung, gilt immer,
aber Feldberechnung nur für
Anordnungen mit Symmetrien möglich
Amperesches Gesetz
Ringintegral über geschlossene Kurve
gleich dem Strom, Feldberechnung nur
für Anordnungen mit Symmetrien
möglich
Feldberechung aus Potenzial
Überlagerung der Potenziale der
Teilladungen und Bildung des
Gradienten, für beliebige Anordnungen
mit endlichem Aufwand lösbar (Lösung
der Poissongleichung)
???
Hat ein magnetisches Feld ein Potenzial?
Wenn ja, kann es zur Feldberechnung
verwendet werden?
1
Das Vektorpotenzial 1
Allgemeinste (und einfachste) Methode zur Feldberechnung
in Elektrostatik
Berechnung des Potenzials ϕ
Feld E Gradient des Potenzials
ρ (2)
ϕ (1) ∝ ∫
dV
r12
V
r
E = −gradϕ = −∇ϕ
Gibt es auch für das Magnetfeld ein „Potenzial“, das die
Feldberechnung ermöglicht?
Annahme B als Gradient eines skalaren Potenzials darstellbar
r
B = −gradφmagn
Einsetzen in Amperesches Gesetz: rot B = µ0 I
v
v r
rot B = rot (− gradφmagn ) = −∇ × ∇φmagn ≡ 0
Widerspruch
B nicht als Gradient eines skalaren Potenzials darstellbar
Das Vektorpotenzial 2
Definition A(r) = vektorielle Feldgröße gegeben durch Relation
r
v
v
B (r ) = rot A(r ) = ∇ × A(r )
A(r) = Vektorpotenzial
Allerdings Vektorpotenzial nicht eindeutig bestimmt, muss
dazu noch Zusatzbedingung erfüllen:
v
div A(r ) = 0
Coulombeichung gilt nur im stationären Fall
2
Magnetfeld beliebiger Stromverteilungen
Strategie:
Berechnung des Vektorpotenzials A
B durch Bildung von rot A berechnen
Wie kann ich das Vektorpotenzial einer beliebigen Stromverteilung
bestimmen?
r
v
B = rot A
r
r
rot B = µ0 j
v
v
v
v
⇒ rot rot A = grad div A − div grad A = ∆ A
r
v
∆ A = − µ0 j
Vektorpotenzial aus Stromverteilung bestimmbar: Lösen von DGL für
drei Komponenten (x,y,z) sonst äquivalent zu Poissongleichung
für elektrostatisches Feld
Hoffnung: Lösungen können übernommen werden
Vektorpotenzial einer Stromverteilung
v
j
dV
r
r2
Volumen V
r
r12
r
A (r1 )
r
r1
Stromdichte im Volumselement dV an Stelle r2 erzeugt Vektorpotenzial
dA in r1; für gesamtes Vektorpotenzial in A(r1) Integration über Volumen
r
v r
µ0
j (r2 )
A(r1 ) =
dV2
∫
4π Volumen r12
v r
v v
v r
µ
j (r2 )
B(r1 ) = rot A(r1 ) = 0 ∫ ∇ ×
dV2 Berechnung von B aus A
4π Volumen
r12
v r
r
v v
µ0
j (r2 ) × e12
e12 Einheitsvektor in Richtung r12
B(r1 ) =
dV2
∫
4π Volumen
r122
3
Vektorpotenzial
Feldgleichungen
r
v r
µ0 j (r2 )
A(r1 ) =
dV2
4π ∫ r12
v r r
v v
µ0 j (r2 ) × e12
B (r1 ) =
dV2
4π ∫
r122
Integral für 3 Komponenten lösen
Integral für 3 Komponenten lösen
Hilft es überhaupt das Vektorpotenzial einzuführen?
Im Prinzip Integration für A leichter (kein Kreuzprodukt)
Für einfache Problem meist nicht:
Lösen von Integral, dann noch rot-Bildung
Symmetrien B: nur in Symmetriepunkt, A auch in Umgebung berechnen,
damit Ableitung gebildet werden kann
A hat physikalische Bedeutung: Bereich B null, aber nicht A (lange Spule)
Quantenmechanische Beeinflussung von Teilchen
Gesetz von Biot-Savart
Stromfluss in einem dünnen Draht:
r
r v r
r
j dV = j dAds = Ids
Volumsintegral zu Linienintegral
r
r
v v
µ e × ds
dB(r1 ) = − 0 I 12 2 2
4π
r12
Biot-Savart Gesetz
r
r
v v
µ0
e12 × ds2
B(r1 ) = −
I ∫
4π Leiter
r122
Jedes Leiterstück mit Länge ds und Strom I erzeugt Feld dB
Leiter mit Länge L und Strom I erzeugt Feld B
v v
A(r1 )
r
ds
v
j
v
r12
Punkt P(r1)
r v
dB(r1 )
B normal auf Ebene aufgespannt
von ds und r12
Draht in Bildebene
B in Bildebene hinein
4
Magnetfeld einer Leiterschleife
Leiterschleife mit Radius R
von Strom I durchflossen
Gesucht:
Magnetfeld B entlang der z- Achse
Als Funktion von z
Vereinfachung
Schleife symmetrisch zu Ursprung
in x-y Ebene
Aus Symmetriebedingungen B(z)= Bz(z) nur Komponenten in z- Richtung
Bz (z ) =
(
µ0IR 2
2 z2 + R 2
)
3/2
1/z3
Magnetfeld einer Leiterschleife: Allgemein
Integral ohne Symmetrie nicht exakt lösbar
z
r
r
Für Annahme
r
r >> R
⇒
r r
r
r
µ
B(r ) ∝ I 0 3 (2cos(θ ) ⋅ er + sin(θ ) ⋅ eθ )
4π r
r r
B(r )
R
Feld vergleichbar mit dem eines kurzen Stabmagneten
I
Stromschleife = magnetischer Dipol
r
r
r
r
Fläche A = π R 2ez
Magnetisches Dipolmoment pm = I ⋅ A
v pvm
Daraus ergibt sich B ∝
r3
r
v pel
El. Dipol
E∝ 3
r
5
Magnetische Felder
Feld einer Leiterschleife
Feld eines kurzen
Stabmagneten
Magnetischer Dipol
Zylinderspule endlicher Länge
Länge L
B
Ampereschen Gesetz: B = µ0 N I/ L
Annahmen sehr lang und dünn
B im Inneren homogen
Durchmesser
2R
Exakte Rechnung mit Biot-Savart
⎤
z + L/2
z − L/2
µI⎡
B (z ) = N 0 ⎢
−
2
2 ⎥
2
2
2L ⎣ R + (z + L / 2 )
R + (z − L / 2 ) ⎦
Mittelpunkt der Spule z = 0, L>>R
L
µI
B(z = 0 ) = N 0
2
2L R + L2 / 4
µI
≈ N 0 L >> R
L
Ende der Spule z = L/2 (L>>R)
µI
B(z = L / 2 ) = N 0
2L
6
Beispiel Biot-Savart
Magnetfeld im Inneren einer Leiterschleife mit mehreren Windungen
Strom I = 10A
Radius der Schleife R = 9.5 cm
Windungszahl N = 32
Inneres der Leiterschleife z = 0
B(z = 0 ) = N
µ0 I
2
1
R 2 + L2 / 4
L ≈ 1cm ⇒R>>L: B(z =0) ≈ 2mT
L ≈ 10 cm ⇒ B(z =0) ≈ 1,8 mT
⇒ B(z =L/2) ≈ 0,9 mT
Überprüfung durch Messung
Helmholtz Spulenpaar
B(z)
d
(auf Achse)
R
z
HelmholtzSpulenpaar
z
Optimale Homogenität im
Spulenzentrum
Theorie: B(z) homogen, wenn Helmholtzbedingung erfüllt d = R
Anwendung: Erzeugung von homogenen Magnetfeldern
3 Spulenpaare: Kompensation von Magnetfeldern (Erdmagnetfeld)
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