4.10 Zylinderkondensator mit nichtidealem Dielektrikum

4.10 Zylinderkondensator mit nichtidealem Dielektrikum
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4.10 Zylinderkondensator mit nichtidealem
Dielektrikum
Aufgabe zu Kap. [7] und [8] des Lehrbuchs Gegeben ist der in Bild
4.11 dargestellte Zylinderkondensator mit zwei geschichteten konzentrischen
Dielektrika. Die beiden Elektroden mit den Radien r1 sowie r3 seien unendlich
gut leitfähig. Da h À r3 gelten soll, sind Rande¤ekte zu vernachlässigen.
Gegeben sind h; r1 ; r2 ; r3 ; "1 ; "2 ; ·1 ; ·2 ; Uq ; pmax ; ·0 sowie R0 .
Zunächst gilt ·1 = 0 sowie ·2 = 0.
a Berechnen Sie die in den Dielektrika "1 (Bereich r1 < r < r2 ) sowie "2
(Bereich r2 < r < r3 ) jeweils gespeicherte Feldenergie! Wie groß ist das
Verhältnis U1 =U2 entsprechend den eingezeichneten Bezugspfeilen?
b Mit welchem Prinzip könnten Sie mit dem Ergebnis aus a den Druck auf
die Grenz‡äche bei r = r2 berechnen? Auf welchem grundlegendem Zusammenhang basiert es?
In den Aufgabenpunkten c und d sei die Leitfähigkeit der Dielektrika nicht
mehr zu vernachlässigen, d. h. es gilt ·1 > 0, ·2 > 0.
c Skizzieren Sie ein Ersatzschaltbild der Anordnung und geben Sie die Werte
sämtlicher Elemente in Abhängigkeit der geometrischen Abmessungen sowie
der Sto¤parameter an! Zeichnen Sie in das Ersatzschaltbild alle Bezugspfeile
der obigen Anordnung ein!
d Wie groß ist die insgesamt in Wärme umgesetzte Leistung der Anordnung
in Abhängigkeit von Uq ?
Für den Rest der Aufgabe werden die beiden Dielektrika durch ein einziges
Dielektrikum ersetzt, das den gesamten Bereich r1 < r < r3 ausfüllt.
r1
Zunächst sei ·(r) = ·0 .
r
e In welchem Wertebereich muss jUq j liegen, damit die Verlustleistungsdichte
p =dP=dV einen für die Sto¤erwärmung kritischen Wert pmax in der gesamten
Anordnung nicht überschreitet? Wie groß ist dann die Leistungsaufnahme der
Anordnung in Abhängigkeit von Uq ?
Nun sei die spezi…sche Leitfähigkeit ·(r) beliebig wählbar.
f Bestimmen Sie ·(r) derart, dass die Verlustleistungsdichte p =dP=dV für
r1 < r < r3 konstant ist und der Widerstand der Anordnung R0 beträgt!
Lösung a Die Anordnung bildet zwei in Reihe geschaltete ideale Zylinderkondensatoren. Ein Zylinderkondensator hat die Kapazität
C=
2¼"L
ra :
ln
ri:
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4. Stationäres elektrisches Strömungsfeld
Bild 4.11
Diese Gleichung ist einer Formelsammlung entnommen oder kann z. B. mit
Gl. 3.2 auf kurzem Wege hergeleitet werden2 . Hier betragen die Kapazitäten
der Teilringe
C1 =
2¼"1 h
r2
ln
r1
und C2 =
2¼"2 h
r3 :
ln
r2
Die Gesamtkapazität beträgt
Cg =
1
;
1
1
+
C1 C2
so dass der Kondensator die Ladung
Q = Cg U
trägt. Die Spannung U teilt sich nach der Spannungsteilerregel Gl. [7.57] für
in Reihe geschaltete Kondensatoren in
U1 = U
Cg
C1
bzw. U2 = U
Cg
C2
auf. Die Feldenergien betragen
1
W1 = C1 U12
2
1
bzw. W2 = C2 U22
2
und das Spannungsverhältnis ergibt sich zu
2
Aus der Feldstärke E(ri ) nach Gl. 3.2 die Ladung Q = 2¼ri L ¢ ¾ auf der Innenelektrode bestimmen! Mit mit ¾ = "E(ri ) folgt die Kapazität aus C = Q=U:
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r2
ln
U1
C2
"2 r1
:
=
=
U2
C1
"1 ln r3
r2
Lösung b Mit dem Prinzip der virtuellen Verschiebung nach Abschn. [7.16]!
Es beruht auf dem Energieerhaltungssatz.
Lösung c Die Kapazitäten des Ersatzbildes C1 und C2 (Bild 4.12) sind
bereits oben bestimmt. Die Leitwerte lassen sich mit der Analogiegleichung
G=
C
·
"
[8.20]
zwischen elektrostatischem und Strömungsfeld leicht bestimmen. Man erhält
G1 =
1
2¼·1 h
=
r2
R1
ln
r1
und G2 =
1
2¼·2 h
=
r3 :
R2
ln
r2
Uq
C1
C2
1
U1
3
2
R1
U2
R2
Bild 4.12
Lösung d Die Leistung beträgt
P =
Uq2
:
R1 + R2
Lösung e Die Stromdichte und die elektrische Feldstärke in der Anordnung
bei angenommenem Strom I betragen
S=
I
2¼rh
bzw. E =
S
I
=
:
·
2¼rh·
Durch Einsetzen der elektrischen Leitfähigkeit · = ·0 r1 =r ergibt sich
E=
I
:
2¼r1 h·0
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4. Stationäres elektrisches Strömungsfeld
Die Feldstärke ist konstant über dem Radius r, so dass die Spannung
U=
I(r3 ¡ r1 )
2¼r1 h·0
(4.5)
durch einfache Multiplikation der Feldstärke E mit dem Elektrodenabstand
r3 ¡ r1 anzugeben ist. Die örtliche Verlustleistungsdichte beträgt
p=
S2
I2
= 2 2
:
·
4¼ h ·0 r1 r
Sie nimmt beim Innenradius r1 den Maximalwert
pmax =
S2
I2
= 2 2
·
4¼ h ·0 r12
(4.6)
an, der in der Aufgabe als Grenzwert vorgegeben ist. Au‡ösen der Gl. 4.5
und 4.6 nach I und Gleichsetzen liefert
q
Umax 2¼r1 h·0
= pmax 4¼ 2 h2 ·0 r12 :
(r3 ¡ r1 )
Daraus folgt die maximal zulässige Spannung
r
pmax
:
Umax = (r3 ¡ r1 )
·0
Lösung f Die Stromdichte beträgt wie unter e S = I=(2¼rh), so dass die
Leistungsdichte gemäß
p=
I2
S2
= 2 2 2
·
4¼ r h ·
von der elektrischen Leitfähigkeit abhängt. Um p durch Steuerung der Leitfähigkeit vom Radius r unabhängig zu halten, muss
r2 · = c oder · =
c
r2
gelten. c ist eine noch unbekannte Konstante. Um den Widerstand zu berechnen, wird die Leitfähigkeit in die oben berechnete Formel für die elektrische
Feldstärke eingesetzt. Man erhält
E=
S
Ir
=
:
·
2¼hc
Hieraus folgt durch Integration der Zusammenhang zwischen Strom und
Spannung
U=
Zr3
r1
I
Ir
dr =
(r2 ¡ r12 ).
2¼hc
4¼hc 3
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Der vorgegebene Widerstand muss der Bedingung
R0 =
r2 ¡ r12
U
= 3
I
4¼hc
genügen, woraus die Konstante
c=
r32 ¡ r12
4¼hR0
folgt. Die gesuchte elektrische Leitfähigkeit hat damit die Form
·=
1 r32 ¡ r12
:
4¼hR0 r2
Diskussion Die berechnete Anordnung zeichnet sich durch eine inhomogene elektrische Leitfähigkeit aus. Hierfür kann der Ohm’sche Widerstand
nicht einfach mit der für eine Zylinderanordnung nachgeschlagenen Formel
berechnet werden. Vielmehr muss ausgehend von der Stromdichte, die hier die
Schlüsselgröße ist, das elektrische Feld und durch Integration die Spannung
individuell bestimmt werden. Alle Formeln, welche die integralen Größen U;
I oder R enthalten, entstehen aus feldtheoretischen Beziehungen zwischen
~ und S).
~
den lokalen Feldgrößen (hier E