4.10 Zylinderkondensator mit nichtidealem Dielektrikum
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4.10 Zylinderkondensator mit nichtidealem Dielektrikum 227 4.10 Zylinderkondensator mit nichtidealem Dielektrikum Aufgabe zu Kap. [7] und [8] des Lehrbuchs Gegeben ist der in Bild 4.11 dargestellte Zylinderkondensator mit zwei geschichteten konzentrischen Dielektrika. Die beiden Elektroden mit den Radien r1 sowie r3 seien unendlich gut leitfähig. Da h À r3 gelten soll, sind Rande¤ekte zu vernachlässigen. Gegeben sind h; r1 ; r2 ; r3 ; "1 ; "2 ; ·1 ; ·2 ; Uq ; pmax ; ·0 sowie R0 . Zunächst gilt ·1 = 0 sowie ·2 = 0. a Berechnen Sie die in den Dielektrika "1 (Bereich r1 < r < r2 ) sowie "2 (Bereich r2 < r < r3 ) jeweils gespeicherte Feldenergie! Wie groß ist das Verhältnis U1 =U2 entsprechend den eingezeichneten Bezugspfeilen? b Mit welchem Prinzip könnten Sie mit dem Ergebnis aus a den Druck auf die Grenz‡äche bei r = r2 berechnen? Auf welchem grundlegendem Zusammenhang basiert es? In den Aufgabenpunkten c und d sei die Leitfähigkeit der Dielektrika nicht mehr zu vernachlässigen, d. h. es gilt ·1 > 0, ·2 > 0. c Skizzieren Sie ein Ersatzschaltbild der Anordnung und geben Sie die Werte sämtlicher Elemente in Abhängigkeit der geometrischen Abmessungen sowie der Sto¤parameter an! Zeichnen Sie in das Ersatzschaltbild alle Bezugspfeile der obigen Anordnung ein! d Wie groß ist die insgesamt in Wärme umgesetzte Leistung der Anordnung in Abhängigkeit von Uq ? Für den Rest der Aufgabe werden die beiden Dielektrika durch ein einziges Dielektrikum ersetzt, das den gesamten Bereich r1 < r < r3 ausfüllt. r1 Zunächst sei ·(r) = ·0 . r e In welchem Wertebereich muss jUq j liegen, damit die Verlustleistungsdichte p =dP=dV einen für die Sto¤erwärmung kritischen Wert pmax in der gesamten Anordnung nicht überschreitet? Wie groß ist dann die Leistungsaufnahme der Anordnung in Abhängigkeit von Uq ? Nun sei die spezi…sche Leitfähigkeit ·(r) beliebig wählbar. f Bestimmen Sie ·(r) derart, dass die Verlustleistungsdichte p =dP=dV für r1 < r < r3 konstant ist und der Widerstand der Anordnung R0 beträgt! Lösung a Die Anordnung bildet zwei in Reihe geschaltete ideale Zylinderkondensatoren. Ein Zylinderkondensator hat die Kapazität C= 2¼"L ra : ln ri: 228 4. Stationäres elektrisches Strömungsfeld Bild 4.11 Diese Gleichung ist einer Formelsammlung entnommen oder kann z. B. mit Gl. 3.2 auf kurzem Wege hergeleitet werden2 . Hier betragen die Kapazitäten der Teilringe C1 = 2¼"1 h r2 ln r1 und C2 = 2¼"2 h r3 : ln r2 Die Gesamtkapazität beträgt Cg = 1 ; 1 1 + C1 C2 so dass der Kondensator die Ladung Q = Cg U trägt. Die Spannung U teilt sich nach der Spannungsteilerregel Gl. [7.57] für in Reihe geschaltete Kondensatoren in U1 = U Cg C1 bzw. U2 = U Cg C2 auf. Die Feldenergien betragen 1 W1 = C1 U12 2 1 bzw. W2 = C2 U22 2 und das Spannungsverhältnis ergibt sich zu 2 Aus der Feldstärke E(ri ) nach Gl. 3.2 die Ladung Q = 2¼ri L ¢ ¾ auf der Innenelektrode bestimmen! Mit mit ¾ = "E(ri ) folgt die Kapazität aus C = Q=U: 4.10 Zylinderkondensator mit nichtidealem Dielektrikum 229 r2 ln U1 C2 "2 r1 : = = U2 C1 "1 ln r3 r2 Lösung b Mit dem Prinzip der virtuellen Verschiebung nach Abschn. [7.16]! Es beruht auf dem Energieerhaltungssatz. Lösung c Die Kapazitäten des Ersatzbildes C1 und C2 (Bild 4.12) sind bereits oben bestimmt. Die Leitwerte lassen sich mit der Analogiegleichung G= C · " [8.20] zwischen elektrostatischem und Strömungsfeld leicht bestimmen. Man erhält G1 = 1 2¼·1 h = r2 R1 ln r1 und G2 = 1 2¼·2 h = r3 : R2 ln r2 Uq C1 C2 1 U1 3 2 R1 U2 R2 Bild 4.12 Lösung d Die Leistung beträgt P = Uq2 : R1 + R2 Lösung e Die Stromdichte und die elektrische Feldstärke in der Anordnung bei angenommenem Strom I betragen S= I 2¼rh bzw. E = S I = : · 2¼rh· Durch Einsetzen der elektrischen Leitfähigkeit · = ·0 r1 =r ergibt sich E= I : 2¼r1 h·0 230 4. Stationäres elektrisches Strömungsfeld Die Feldstärke ist konstant über dem Radius r, so dass die Spannung U= I(r3 ¡ r1 ) 2¼r1 h·0 (4.5) durch einfache Multiplikation der Feldstärke E mit dem Elektrodenabstand r3 ¡ r1 anzugeben ist. Die örtliche Verlustleistungsdichte beträgt p= S2 I2 = 2 2 : · 4¼ h ·0 r1 r Sie nimmt beim Innenradius r1 den Maximalwert pmax = S2 I2 = 2 2 · 4¼ h ·0 r12 (4.6) an, der in der Aufgabe als Grenzwert vorgegeben ist. Au‡ösen der Gl. 4.5 und 4.6 nach I und Gleichsetzen liefert q Umax 2¼r1 h·0 = pmax 4¼ 2 h2 ·0 r12 : (r3 ¡ r1 ) Daraus folgt die maximal zulässige Spannung r pmax : Umax = (r3 ¡ r1 ) ·0 Lösung f Die Stromdichte beträgt wie unter e S = I=(2¼rh), so dass die Leistungsdichte gemäß p= I2 S2 = 2 2 2 · 4¼ r h · von der elektrischen Leitfähigkeit abhängt. Um p durch Steuerung der Leitfähigkeit vom Radius r unabhängig zu halten, muss r2 · = c oder · = c r2 gelten. c ist eine noch unbekannte Konstante. Um den Widerstand zu berechnen, wird die Leitfähigkeit in die oben berechnete Formel für die elektrische Feldstärke eingesetzt. Man erhält E= S Ir = : · 2¼hc Hieraus folgt durch Integration der Zusammenhang zwischen Strom und Spannung U= Zr3 r1 I Ir dr = (r2 ¡ r12 ). 2¼hc 4¼hc 3 4.10 Zylinderkondensator mit nichtidealem Dielektrikum 231 Der vorgegebene Widerstand muss der Bedingung R0 = r2 ¡ r12 U = 3 I 4¼hc genügen, woraus die Konstante c= r32 ¡ r12 4¼hR0 folgt. Die gesuchte elektrische Leitfähigkeit hat damit die Form ·= 1 r32 ¡ r12 : 4¼hR0 r2 Diskussion Die berechnete Anordnung zeichnet sich durch eine inhomogene elektrische Leitfähigkeit aus. Hierfür kann der Ohm’sche Widerstand nicht einfach mit der für eine Zylinderanordnung nachgeschlagenen Formel berechnet werden. Vielmehr muss ausgehend von der Stromdichte, die hier die Schlüsselgröße ist, das elektrische Feld und durch Integration die Spannung individuell bestimmt werden. Alle Formeln, welche die integralen Größen U; I oder R enthalten, entstehen aus feldtheoretischen Beziehungen zwischen ~ und S). ~ den lokalen Feldgrößen (hier E
