Geometrie und Harmonie

Mathematik für Architekten
Winter 2004/05
Geometrie und Harmonie
Übung 2 (Harmonische Teilung, Apollonius-Kreis)
1.
Gegeben ist eine Strecke AB der Länge 8.5 cm.
a) Der innere Teilpunkt P liegt 3 cm von B entfernt. Konstruieren Sie den zugehörigen
harmonischen Teilpunkt Q und berechnen Sie die Länge PQ .
b) Teilen Sie die Strecke AB harmonisch im Verhältnis 7:3. Berechnen Sie den
Abstand zwischen dem inneren und dem äusseren Teilpunkt.
2.
Die Strecke AB werde durch die Punkte X und Y harmonisch geteilt.
Zeigen Sie, dass dann die Strecke X Y durch A und B ebenfalls harmonisch geteilt wird.
3.
Im Dreieck AB C misst der Winkel   75 . Die Halbierende des Winkels  teilt die
Seite BC in zwei Abschnitte mit den Längen 12 cm und 20 cm.
Berechnen Sie die Längen der drei Dreiecksseiten.
4.
Einem rechtwinkligen Dreieck wird ein Quadrat so einbeschrieben, dass ein rechter
Winkel mit dem rechten Winkel des Dreiecks zusammenfällt und die gegenüber liegende
Ecke auf der Hypotenuse liegt. Diese Ecke teilt die Hypotenuse in zwei Abschnitte mit
den Längen u und v.
Berechnen Sie die Länge der Quadratseite, wenn u und v gegeben sind:
a) u  12cm, v  9cm
b) u  8cm, v  15cm
c) allgemein
5.
Von welchem Punkt P des Weges s sieht man die Strecken AC und CB unter dem
gleichen Winkel?
Konstruieren Sie den Punkt P und beschreiben Sie die Konstruktion.
s
A
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C
B
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Mathematik für Architekten
Winter 2004/05
6.
In der Stadt A wohnen 100000 , in B 200000 und in C 300000 Menschen.
Die Entfernungen der Städte sind: AB  80 km, BC  60 km, AC  90 km .
Es soll ein Flughafen gebaut werden, dessen Lage nach folgender Bedingung bestimmt
werden muss: Die Distanz zum Flughafen (in km) soll für jeden Ort umgekehrt
proportional zur Einwohnerzahl sein.

Zeichnen Sie einen Plan im Massstab 1:1000000 und konstruieren Sie den Ort des
Flughafens mit Zirkel und Lineal.
7.
Man verwandle das Quadrat mit Seite a  4 cm in ein flächengleiches Rechteck mit den
Seiten b, c so, dass
a) b  c  10 cm
b) b  c  6 cm
8.
Welche Position muss der Beobachter einnehmen,
damit er das Bild an der Wand unter maximalem
Sehwinkel  betrachten kann.
h

a) Berechnen Sie x aus a und h.
b) Konstruieren Sie x für a  1.5 m und
h  2.2 m (im Massstab 1:50).
a
x
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