1 Zwar weiß ich viel, doch möcht` ich mehr noch wissen – Zahlen

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1 Zwar weiß ich viel, doch möcht’
ich mehr noch wissen – Zahlen
1.1 Sara und Tom als Hunde- und Katzenpfleger
Tom und Sara waren in den Ferien „dog- and catsitter“, sie haben
nämlich während des Urlaubs der Nachbarn die Pflege von Bärli und
Minka übernommen. Leider haben sie den Zettel mit der Fütterungsanleitung verloren. Aber da die beiden Trockenfutter bekommen –
Bärli und Minka, nicht Tom und Sara – konnten sie das Problem
lösen:
Auf den Packungen stehen folgende Angaben (Bärli und
Minka bekommen natürlich
verschiedenes Futter):
kg g
kg
g
2 25
5 130
3 40
10 200
4 55
15 300
5 65
25 400
40 600
60 800
Minka ist 3,2 kg schwer und Bärli 32 kg. Welche Menge Trockenfutter
brauchen die beiden jeweils? Und wird das Futter wohl reichen? Das
Trockenfutter für Minka ist in einem Sack mit 2 kg Inhalt und das
von Bärli in einem mit 15 kg. Wie lange kommt man jeweils mit
einem Sack aus?
Auf der Packung mit dem Hundefutter steht weiters: Wenig aktive
Hunde brauchen bis zu 20 % weniger Futter, sehr aktive bis 50 %
mehr. Was das heißt, wirst du im Kapitel 10.1 erfahren.
Minka ist etwa 3 kg schwer und erhält daher 40 g Futter. Bärlis
Gewicht findest du nicht in der Tabelle, aber die Mitte von 25 kg und
40 kg sind 32,5 kg, also etwa Bärlis Gewicht und daher bekommt er
täglich 500 g zu fressen. Minkas Sack reicht daher für 50 Tage und
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Bärlis Sack für 30 Tage. Wenn die Nachbarn keine Weltreise machen,
geht sich das aus.
In diesem Kapitel wiederholen wir das Wichtigste über
Zahlen aus der ersten Klasse, also
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
natürliche Zahlen und Dezimalzahlen,
Addieren und Subtrahieren,
Multiplizieren und Dividieren,
Stellenwert und Stellenwerttafel,
Auf- und Abrunden,
Vergrößern und Verkleinern
und noch vieles mehr.
Nach den Überlegungen mit Bärli und Minka kommen ein paar Rechenbeispiele, an denen du den Stoff des vergangenen Schuljahres
wiederholen kannst. Viele stammen aus den Känguruwettbewerben,
verzweifle aber nicht. Sie sind oft nicht leicht. Wenn du die Känguruaufgaben aber gut schaffst, könntest du heuer auch an diesem
Wettbewerb teilnehmen. Frage deine/n Mathematiklehrer/in danach!
1.2 Natürliche Zahlen
1 (1) a) 15 b) 8
c) 65 d) 7 e) 35
f) 1 g) 100 h) 3;
(2)
Differenzen: b, f;
Quotienten: d, h;
Produkte: c, g;
Summen: a, e; (3)
Summanden: 7, 8,
28, 7; Minuenden:
13, 8;
Subtrahenden: 5,
7; Faktoren: 13, 5,
10, 10;
Dividenden: 28, 9;
Divisoren: 4, 3
1 (1) Berechne! (2) Welche von den Ausdrücken sind Differenzen, Quotienten, Produkte oder Summen? (3) Wo sind Summanden, Minuenden,
Subtrahenden, Faktoren, Dividenden und Divisoren?
a) 7 + 8
b) 13 − 5
c ) 13 ⋅ 5
d) 28 ∶ 4
e) 28 + 7
f) 8−7
g) 10 ⋅ 10
h) 9 ∶ 3
2 Trage die fehlenden Zahlen in die leeren Kästchen ein!
144
:12 -
100
:4
?
-
25
+50
+25
?
?
150
⋅3
-
36
+13
–44
?
12
:3
-
50
:36
–24 -
?
1
–1
–50 -
?
0
1.2 Natürliche Zahlen
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3 Trage die fehlenden Zahlen in die leeren Kästchen ein!
:20 -
500
–120
?
?
20
:2
?
:4
:2
?
-
10
:2
:19 -
190
40
–5
:19 -
380
+15 -
25
?
10
:10
:10 -
?
1
4 Trage die fehlenden Zahlen in die leeren Kästchen ein!
+17
:3
99
-
?
⋅9
9
-
+13
50
+40
81
+9 -
?
90
+9
+7
?
22
-
+48
:11
?
33
?
⋅4
-
88
+11
?
-
99
5 Schreibe mathematisch an und berechne:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
das Produkt, dessen Faktoren 3 und 12 sind!
die Summe, deren Summanden 5 und 8 sind!
die Differenz, deren Minuend 25 und deren Subtrahend 8 ist!
den Quotienten, dessen Dividend 24 und dessen Divisor 8 ist!
den Quotienten, dessen Dividend 35 und dessen Divisor 5 ist!
das Produkt, dessen Faktoren 20 und 5 sind!
6 Schreibe mathematisch an und berechne:
a) die Summe, deren Summanden 2, 3 und 0 sind!
b) das Produkt, dessen Faktoren die Anzahl der Tage seit deiner Geburt
und 0 sind!
5 a) 3 ⋅ 12 = 36
b) 5 + 8 = 13
c) 25 − 8 = 17
d) 24 ∶ 8 = 3
e) 35 ∶ 5 = 7
f) 20 ⋅ 5 = 100
6 a) 5 b) 0
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7 a) 8 + 2 = 10
b) 2 ⋅ 8 = 16
c) 15 + 85 = 100
d) 6 ⋅ 9 = 54
e) 19 − 16 = 3
f) 43 + 7 = 50
g) 91 ∶ 7 = 13
h) 20 ∶ 4 = 5
i) 32 − 10 = 22
7 Schreibe mathematisch an!
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
Durch Vermehren von 8 um 2 entsteht 10.
Durch Verdoppeln von 8 entsteht 16.
Durch Zusammenzählen von 15 und 85 entsteht 100.
Durch Versechsfachen von 9 entsteht 54.
Der Unterschied von 19 und 16 beträgt 3.
Wenn man 43 um 7 wachsen lässt, entsteht 50.
Der siebente Teil von 91 beträgt 13.
Wenn man 20 in vier gleiche Teile teilt, wird jeder Teil gleich 5.
Das Vermindern von 32 um 10 beträgt 22.
Für die nächste Aufgabe musst du dich an den Satz von MatheFit1,
S. 25 erinnern:
größer und kleiner
Von zwei verschiedenen natürlichen Zahlen ist immer eine kleiner
als die andere. So ist z. B. „2 kleiner als 3“ oder „15 größer als 7“.
Dies kann man auch mit Ungleichheitszeichen schreiben:
„2 < 3“ oder „15 > 7“. Die Spitze des Zeichens zeigt dabei immer
zur kleineren Zahl.
8 Setze das richtige Zeichen (=, < oder >) zwischen die Ausdrücke!
a) 9 + 4
= 11 + 2
> 4⋅4
c ) 45 − 10
e) 28 ∶ 4
< 5+4
g) 98 − 18
< 162 ∶ 2
b) 13 + 5
d) 19⋅3
= 2⋅9
< 6⋅10
f ) 37 + 7
h) 225 ∶ 45
= 4⋅11
< 216 ∶ 36
Du erinnerst dich sicher an KLAPUSTRI (MatheFit1, Kap. 3.5 auf
S. 87):
9 a) (1) 13; (2) 7;
(3) 13 b) (1) 60;
(2) 60; (3) 60
c) (1) 10; (2) 10;
(3) 10 d) (1) 10;
(2) 10; (3) 10
e) (1) 8; (2) 1; (3)
8 f) (1) 39; (2) 99;
(3) 43 g) (1) 9;
(2) 10; (3) 16
KLAPUSTRI
Bei Berechnungen sind zuerst die Klammern zu berechnen,
dann die Punktrechnungen
und erst dann die Strichrechnungen!
9 Berechne!
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
18 − 8 + 3 (2) 18 − (8 + 3) (3) (18 − 8) + 3
3 ⋅ 4 ⋅ 5 (2) 3 ⋅ (4 ⋅ 5) (3) (3 ⋅ 4) ⋅ 5
5 ⋅ 18 ∶ 9 (2) 5 ⋅ (18 ∶ 9) (3) (5 ⋅ 18) ∶ 9
7 + 17 − 14 (2) 7 + (17 − 14) (3) (7 + 17) − 14
12 ∶ 2 + 4 ∶ 2 (2) 12 ∶ (2 + 4) ∶ 2 (3) (12 ∶ 2) + (4 ∶ 2)
30 + 3 ⋅ (5 − 2) (2) (30 + 3) ⋅ (5 − 2) (3) 30 + 3 ⋅ 5 − 2
30 − 10 − 3 − 2 ⋅ 4 (2) 30 − (10 − 3 − 2) ⋅ 4 (3) 30 − 10 − (3 − 2) ⋅ 4
1.2 Natürliche Zahlen
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10 Setze das richtige Zeichen (=, < oder >) zwischen die Ausdrücke!
a) (17 − 4) ⋅ 3
> 17 + (4 ⋅ 3)
b) 20 − (13 − 3)
> (20 − 13) − 3
11 Berechne!
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
40 + (2 ⋅ 5 + 3 ⋅ 6) − (5 + 4 + 3)
(1 + 2 + 3 + 4 + 5)(6 + 7)
[(2 + 3) ⋅ 4 − (9 − 4)](8 − 5)
52 − [50 − 3(5 + 8)]
200 − 100 + [19 − (4 + 5)]
(3 + 9)[(3 + 17) ⋅ 4 − 5 ⋅ 6] − 20 − [19 − (8 + 9)]
3 + 9 ⋅ 3 + 17 ⋅ 4 − 5 ⋅ 6 − 20 + 19 − 8 + 9
Als man noch keine mathematische Schreibweise gehabt hat, mussten
solche Rechnungen viel umständlicher ausgedrückt werden (siehe dazu
auch S. 173):
12 Schreibe mathematisch an!
a) Das Vermehren von 11 um 9 ergibt dasselbe wie das Vervierfachen
von 5.
b) Das Vermindern von 17 um 7 ergibt dasselbe wie das Vermehren von
3 um 7.
c ) Die Hälfte von 12 ist gleich der um 1 verminderten Zahl 7.
d) Das Doppelte von 6 ist der sechste Teil von 72.
e) 19 ist größer als die Hälfte von 36.
f ) Zu 13 muss man noch 2 hinzufügen, um das Dreifache von 5 zu
erhalten.
g) 7 mal 7 ist größer als 6 mal 8.
h) Der fünfte Teil von 65 ergibt mehr als der sechste Teil von 60.
i ) Die Summe von 19 und 11 ist kleiner als 4 mal 8.
j ) Die Summe von 19 und 11 ist kleiner als der dritte Teil von 99.
13 Schreibe mathematisch mit Hilfe von Klammern an und berechne!
a) 29 vermindert um die Summe von 11 und 3.
29 − (11 + 3) = 15
b)
c)
d)
e)
f)
g)
48 dividiert durch das Produkt von 3 und 4.
24 vermehrt um 7 und die erhaltene Summe vermindert um 8.
Das Produkt von 7 und 13, vermindert um 48.
Die Summe von 7 und 13, geteilt durch 4.
Der Unterschied von 28 und 19, vermehrt um 1.
Der dritte Teil von 96, geteilt durch 8.
11 a) 56 b) 195
c) 45 d) 41 e) 110
f) 578 g) 68
12 a) 11 + 9 = 4 ⋅ 5
b) 17 − 7 = 3 + 7
c) 12 ∶ 2 = 7 − 1
d) 2 ⋅ 6 = 72 ∶ 6
e) 19 > 36 ∶ 2
f) 13 + 2 = 3 ⋅ 5
g) 7 ⋅ 7 > 6 ⋅ 8
h) 65 ∶ 5 > 60 ∶ 6
i) 19 + 11 < 4 ⋅ 8
j) 19 + 11 < 99 ∶ 3
13
a) 29−(11+3) = 15
b) 48/(3 ⋅ 4) = 4
c) (24 + 7) − 8 = 23
d) 7 ⋅ 13 − 48 = 43
e) (7 + 13) ∶ 4 = 5
f) (28−19)+1 = 10
g) (96 ∶ 3) ∶ 8 = 4
1 Zwar weiß ich viel, doch möcht’ ich mehr noch wissen – Zahlen
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14
a) (19+31)−6⋅8 =
2 b) 8 ⋅ 4 − 5 ⋅ 6 = 2
c) (5 + 6) ⋅ (3 + 4) =
77 d) (9 + 7) ∶
(9 − 7) = 8
15 a) (37 + 7) ∶
(4 + 7) = 4
b) (38 + 13) −
(18 − 7) = 40
c) (33−4⋅8)+3 = 4
d) 9⋅11+(11−9) =
101
e) [(3 + 4) + (5 +
6)] + (100 − 18) =
100
f) [(100−7)−3⋅4] ∶
(3 ⋅ 9) = 3
14 Schreibe mathematisch mit Hilfe von Klammern an und berechne!
a)
b)
c)
d)
Die Summe von 19 und 31, vermindert um 6 mal 8.
Die Differenz von 8 mal 4 und 5 mal 6.
Das Produkt der Summen 5 + 6 und 3 + 4.
Die Division der Summe 9 + 7 durch die Differenz 9 − 7.
15 Schreibe mathematisch mit Hilfe von Klammern an und berechne!
a) Der Quotient, dessen Dividend die Summe von 37 und 7, und dessen
Divisor die Summe von 4 und 7 ist.
b) Der Ausdruck, der entsteht, wenn man die Summe von 38 und 13
um die Differenz von 18 und 7 vermindert.
c ) 33 vermindert um das Produkt von 4 und 8, und die erhaltene
Differenz um 3 vermehrt.
d) Das Produkt von 9 und 11 vermehrt um die Differenz zwischen 11
und 9.
e) Die Summe von 3 und 4, vermehrt um die Summe von 5 und 6, und
die so erhaltene Summe vermehrt um die Differenz zwischen 100 und 18.
f ) 100 vermindert um 7, die Differenz vermindert um 3 mal 4, die
Differenz dividiert durch das Produkt von 3 und 9.
16 Löse folgendes Kreuzzahlrätsel!
Waagrecht
1 1ZT 2T 3H 4Z 5E in Ziffernschreibweise
4 Produkt von 19 753 und 5
6 Produkt von 41 und 3
7 Unterschied der Zahlen 746 und 512
9 Quotient von 112 und 16
10 Produkt von 3 709 und 24
Senkrecht
1 Unterschied von 5 432 und 3 541
2 Produkt von 47 167 und 80
3 Differenz von 6 888 und 1 234
5 Produkt von 137 und 6
8 Nachfolger von 450
9 Quotient von 858 und 11
17 C)
17 Wie viel ist 1000 − 100 + 10 − 1?
A) 111
18 C)
B) 900
C) 909
D) 990
E) 999
18 Berechne 2 + 2 – 2 + 2 – 2 + 2 – 2 + 2 – 2 + 2
A) 0
B) 2
C) 4
D) 12
E) 20
1.2 Natürliche Zahlen
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19 Wenn man die sechs Zahlen 309, 41, 5, 7, 68 und 2 in beliebiger
19 E)
20 Berechne!
20 a) 5135
b) 2817 c) 6396
d) 17 860 e) 1186
f) 8950
Reihenfolge nebeneinander anschreibt, entstehen verschiedene 10-stellige
Zahlen. Welche ist die größte unter diesen Zahlen?
A) 9 876 543 210 B) 4 130 975 682 C) 3 097 568 241
D) 7 568 413 092 E) 7 685 413 092
a)
b)
c)
d)
e)
f)
8629 – (908 + 2586) =
(2750 – 1812) + (7296 – 5417) =
(3555 – 2080) + (1847 + 3074) =
47 777 – 1904 – 14 – 27 999 =
(3708 – 512) – (2020 – 10) =
(4512 + 3702 – 151) + (1172 – 285) =
21 Berechne (10 ⋅ 100) ⋅ (20 ⋅ 80) =
A) 20000 ⋅ 80000
D) 20000 ⋅ 8000
21 E)
B) 2000 ⋅ 8000
E) 2000 ⋅ 800
C) 2000 ⋅ 80000
BST 22 Ermittle das Ergebnis folgender Rechnung: 120 – (4 ⋅ 12 + 2) =
23 Was ist 2005 ⋅ 100 + 2005?
A) 2005 002 005
E) 202 505
B) 20 052 005
22 70
23 E)
C) 2 007 005
D) 22 055
24 Helga lebt mit ihrem Vater, ihrer Mutter, ihrem Bruder, einem Hund,
24 A)
25 Wie viele verschiedene Zahlen kann man erhalten, wenn man jeweils
25 C)
26 Berechne die Differenz zwischen der größten und der kleinsten drei-
26 B)
27 An eine zweistellige Zahl wird dieselbe Zahl angehängt. Dadurch
27 C)
zwei Katzen, zwei Wellensittichen und vier Goldfischen in einem Haushalt.
Wie viele Beine haben alle zusammen?
A) 24 B) 28 C) 22 D) 32 E) 13
zwei der Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 addiert? (Keine Zahl kann dabei mit sich
selbst addiert werden.)
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
ziffrigen Zahl mit jeweils lauter verschiedenen Ziffern.
A) 899 B) 885 C) 800 D) 100 E) ein anderer Wert
entsteht eine vierstellige Zahl. Welches Ergebnis erhält man, wenn man
die vierstellige Zahl durch die zweistellige dividiert?
A) 10 B) 100 C) 101 D) 1000 E) 1001
1 Zwar weiß ich viel, doch möcht’ ich mehr noch wissen – Zahlen
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28 Du hast die Ziffernkarten von 0 bis
28 a) 1839; 381
b) ja (ja) c) —
9 (jede Ziffer genau einmal). Bilde zwei
dreistellige Zahlen und addiere sie!
a) Welches größte und welches kleinste Ergebnis findest du?
b) Kannst du das Ergebnis 500 (oder
888) erreichen?
c ) Wie viele Möglichkeiten findest du,
um die Zahl 1 000 als Summe zu erhalten?
29
a) 885 = 987 − 102,
3 = 501 − 498 b) ja
c) nein
29 Du hast die Ziffernkarten von 0 bis 9 (jede Ziffer genau einmal). Bilde
30 D)
30 Um wie viel ist die Summe der ersten 1000 geraden natürlichen Zahlen
31 Es ist 1000 + 1
= 999 + 2 = 998
+ 3 = . . . und das
kommt 500-mal
vor; 500 500
32 B)
33 D)
zwei dreistellige Zahlen und subtrahiere sie voneinander!
a) Welches größte und welches kleinste Ergebnis findest du?
b) Kannst du das Ergebnis 222 erreichen?
c ) Findest du ein Ergebnis nahe an 300? Kannst du genau 300 erreichen?
größer als die Summe der ersten 1000 ungeraden natürlichen Zahlen?
Achtung: Suche nach einem Trick!
A) 1 B) 200 C) 500 D) 1000 E) 2000
31 Zähle die Zahlen von 1 bis 1000 zusammen! Achtung: Es gibt dabei
einen Trick, mit dem es ganz schnell geht!
32 Abdrahim berechnet die Summe des größten und des kleinsten zwei-
ziffrigen Vielfachen von 3. Zoe berechnet die Summe der größten und
der kleinsten zweiziffrigen Zahl, die jeweils nicht Vielfache von 3 ist. Um
wie viel ist die Zahl von Abdrahim größer als die von Zoe?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
33 Mama und Papa Känguru haben 3 Kängurutöchter. Jedes der Mäd-
chen hat zwei Kängurubrüder. Wie viele Mitglieder hat die Kängurufamilie? A) 11 B) 9 C) 8 D) 7 E) 5
34 B)
34 Lisa ist 10 Jahre alt. Ihre Mutter Agnes ist 4-mal so alt wie sie. Wie
alt wird Agnes sein, wenn Lisa doppelt so alt ist wie jetzt? A) 40 Jahre
B) 50 Jahre C) 60 Jahre D) 70 Jahre E) 80 Jahre
35 123 – 45 – 67
+ 89 = 100
⋆ 35 Bilde aus den Ziffern 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100 durch Setzen von +
und – zwischen einigen der Ziffern eine richtige Rechnung. Dabei darf
die Reihenfolge der Ziffern nicht vertauscht werden. Z. B.: 12 + 3 – 4
+ 5 + 67 + 8 + 9 = 100. Versuche nun das Problem durch möglichst
wenige + bzw. – zu lösen!
1.2 Natürliche Zahlen
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36 Die Zahl in jedem Kreis ist die Summe der
beiden darunter liegenden Zahlen. Welchen
Wert hat x?
A) 100 B) 82 C) 55 D) 50 E) 32
36 B)
37 Folgende Aufgabe stammt aus der TIMSS-
37 45 m
Aufgabensammlung:
Wenn ein Gummiball zu Boden fällt, springt
er die Hälfte der Strecke wieder hoch. Der
Ball wird von einem 18 m hohen Dach fallen gelassen. Welche gesamte
Entfernung hat der Ball zurückgelegt, wenn er das dritte Mal den Boden
berührt?
A) 31,5 m B) 40,5 m C) 45 m D) 63 m
Du weißt sicher noch (MatheFit1, S. 292):
Zeitmaße
1 Minute (min) = 60 Sekunden (s)
1 Stunde (h) = 60 Minuten = 3600 Sekunden
38 360 000 Sekunden sind A) 3 Stunden
38 E)
39 Wie viele Sekunden hat (1) ein Tag, (2) eine Woche, (3) der März,
39 (1) 86 400 s;
(2) 604 800 s;
(3) 2 592 000 s;
(4) 2 678 400 s
C) 8,5 Stunden
D) 10 Stunden
B) 6 Stunden
E) mehr als 10 Stunden
(4) der April?
40 Die Summe der 6 Zahlen ist in jedem Ring 55.
Wie groß ist A?
A) 9 B) 10 C) 13
D) 16
E) 17
40 B)
41 Das menschliche Herz schlägt in der Minute
41 C)
42 Die Anzahl der Flügelschläge einer Wespe be-
42 (1) 1380 bzw.
20 700;
(2) 248 400
etwa 70-mal. Wie oft schlägt das Herz ungefähr in
einer Stunde?
A) 42000-mal B) 7000-mal C) 4200-mal
D) 700-mal E) 420-mal
trägt etwa 23 in der Sekunde.
(1) Wie viele Flügelschläge macht die Wespe in einer Minute bzw. in
einer Viertelstunde, wenn sie ihre Flügel immer gleich schnell bewegt?
(2) Wie groß ist die Anzahl der Flügelschläge, wenn die Wespe an einem
Tag 3 Stunden geflogen ist?
1 Zwar weiß ich viel, doch möcht’ ich mehr noch wissen – Zahlen
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43 C)
43 Welche der folgenden Zahlen ist am größten?
A) 2 + 0 + 0 + 3
C) (2 + 0) ⋅ (3 + 0)
E) (2 ⋅ 0) + (3 ⋅ 0)
B) 2 ⋅ 0 ⋅ 0 ⋅ 3
D) 20 ⋅ 0 ⋅ 3
Du hast dich bei der vorigen Aufgabe sicher an die Multiplikation mit
0 erinnert (MatheFit1, Kap. 3.3.1 auf S. 71):
Multiplikation mit Null und Eins
Wenn man eine Zahl mit Null multipliziert, dann ist das Produkt
Null: a ⋅ 0 = 0 ⋅ a = 0
Wenn man eine Zahl mit Eins multipliziert, dann ist das Produkt
die Zahl: a ⋅ 1 = 1 ⋅ a = a
Beim Multiplizieren mit 10, 100, 1 000, . . . (dekadische Einheiten)
muss man einfach an die Zahl rechts eine, zwei, drei, . . . Nullen
anhängen. Die Zahl wird dadurch größer.
44
(420 + 173 + 28 +
43 + 90 + 2 + 7 + 22 +
140) + (7 + 3 + 8 +
40 + 9 + 8) = 1000
44 Zahlenversteck
Hier haben sich mehrere Zahlen versteckt. Die Zahlwörter sind waagrecht
und senkrecht geschrieben. Streiche sie mit Farbstift an. Wie viele Zahlen
sind es und was erhältst du, wenn du sie alle zusammenzählst?
A B CDM F G W I J K LM N O P QR S T U V WX Y Z
F GH J S M V I ERHUN D E R T Z W A N Z I G U Z
W E R T Z U I O PA S D F G H J K L Y X C V B NMK
M A TH E I S T SU P E R MA T H E I S T S U P E R
S Y E I N H U N DE R TD R E I UN D S I E B Z I G
I TH E I S T S UP E R A C H T UN D Z W A N Z I G
E X FMA T H E I S T S C H Ö N E C H T Z I E A VM
B DR E I U N D V I E R Z I G I S T R A R Z U C I A
E NNN E U N Z I GMA T H E F I T Z W E I N H E C
N MA T H E F I TS I E B E N K A T Z E N D M T R H
H A L L O Z W E I UND Z WA N Z I G D G R H Z Z T
WOB I S T D U ? E I NH U N D E R T V I E R Z I G
M A TH E I S T SCHÖN G H J HK L D F I F MG G
M A TH E I S T SU P E R D EWNM U S S W E R MH
45 D)
45 Längs einer Buslinie sind neun Haltestellen in regelmäßigen Intervallen
verteilt. Die erste Haltestelle ist 600 m von der dritten entfernt. Wie weit
ist es von der ersten zur letzten Haltestelle?
A) 1200 m B) 1500 m C) 1800 m D) 2400 m E) 2700 m
1.3 Dezimalzahlen
Ma
th
eF
it
19
1.3 Dezimalzahlen
Wenn wir genauer messen wollen, brauchen wir Dezimalzahlen.
Stellenwerttafel
dekadische Einheiten
dezimale Einheiten
. . . M HT ZT T H Z E , z h t zt ht m . . .
Je weiter links die erste Ziffer einer Zahl vom Komma steht, desto
größer ist die Zahl. Je weiter rechts die erste Ziffer einer Zahl
vom Komma steht, desto kleiner ist die Zahl!
46 Setze das richtige Zeichen (=, < oder >) zwischen die Zahlen!
a) 9000
< 10 000
b) 1 000 000
c ) 0,005
> 0,0008
d) 0,1234
> 999 000
> 0,0987
Addieren und Subtrahieren von Dezimalzahlen
77,8
7,8
+5,3
–5,3
2,5
2,5
Denk dir eine senkrechte Linie, auf der die
Kommas der einzelnen Zahlen stehen. Auch
das Komma des Ergebnisses muss auf dieser
Linie stehen!
47 Berechne das Nettogehalt! Einen Lohnsteuerrechner findest du z. B.
unter http://www.cpu-informatik.at.
a)
Bruttogehalt
1738,00
Abzüge
Sozialversicherung
314,06
Lohnsteuer
191,52
Beitrag
8,40
Nettogehalt
e
e
e
e
1224,02 e
b)
Bruttogehalt
Abzüge
Sozialversicherung
Lohnsteuer
Beitrag
Nettogehalt
48 Wie viel e beträgt das Restgeld, wenn mit einem 20-Euro-Schein
bezahlt wird?
a) 16,52 e
b) 14,15 e
c ) 12,55 e
d) 13,59 e
Erinnere dich, wie man rundet (MatheFit1, Kap. 2.7 auf S. 35):
Runden
Beim Runden gibt man sich mit den „vollen“ Zehnerzahlen, Hunderterzahlen, Tausenderzahlen, usw. zufrieden.
Beim Runden auf Hunderter z. B. ist die Zehnerstelle ausschlaggebend. Steht an der Zehnerstelle eine Ziffer < 5 (also 0, 1, 2, 3 oder
4), wird abgerundet, sonst wird aufgerundet.
2533,20 e
457,75 e
441,26 e
15,00 e
1619,19 e
48 a) 3,48 e
b) 5,85 e
c) 7,45 e
d) 6,41 e
1 Zwar weiß ich viel, doch möcht’ ich mehr noch wissen – Zahlen
Ma
th
eF
it
20
49 a) 1 499 999
b) 500 000
49 Wie heißt die a) größte b) kleinste Zahl, die beim Runden 1 Million
ergibt?
Runden braucht man für Überschlagsrechnungen:
Schätze wie viel 123,456 – 78,901 ergibt!
Wir runden auf Zehner: 120 – 80 = 40
50 a) 171,15 e
b) 632,52 e
50 Mache zuerst eine Überschlagsrechnung und berechne dann das Er-
51 a) 441,84 km
b) 442,85 km
c) 35,99 m
d) 94,76 m
51 Mache zuerst eine Überschlagsrechnung und berechne dann das Er-
gebnis!
a) 26,58 e + 127,21 e + 17,36 e b) 51,23 e + 485,67 e + 95,62 e
gebnis!
a) 854,2 km – 412,36 km
c ) 158,8 m – 122,81 m
b) 764,3 km – 321,45 km
d) 821,3 m – 726,54 m
Du erinnerst dich sicher noch, wie man Dezimalzahlen miteinander
multipliziert (MatheFit1, Kap. 8.2.2 auf S. 183):
Multiplizieren zweier Dezimalzahlen
Das Ergebnis hat so viele Nachkommastellen wie die beiden Faktoren zusammen!
Achtung: Vergiss nicht die Nullen als Nachkommastellen im Ergebnis mitzuzählen!
52 (1) 46 872;
(2) 46,872;
(3) 4,6872;
(4) 0,46872
53 a) 8381,0205
b) 535,985307
52 a) Berechne!
Beispiel: 3, 6 5 ⋅ 4,2
14 6 0
730
15, 3 3 0
(1) 1674 ⋅ 28 (2) 1,674 ⋅ 28 (3) 1,674 ⋅ 2,8 (4) 1,674 ⋅ 0,28
b) Wie stellst du die Anzahl der Kommastellen im Ergebnis fest?
53 Setze das Komma!
a) 123, 45 ⋅ 67, 89 = 8 3 8 1 0 2 0 5
b) 9, 867 ⋅ 54, 321 = 5 3 5 9 8 5 3 0 7
1.3 Dezimalzahlen
Ma
th
eF
it
21
Dividieren durch eine Dezimalzahl
Multipliziere den Divisor mit jener dekadischen Einheit, die das
Komma verschwinden lässt!
Den Dividend musst du mit derselben dekadischen Einheit multiplizieren! Damit hast du die Division durch eine Dezimalzahl auf
eine Division durch eine natürliche Zahl zurückgeführt!
54 Löse folgendes Kreuzzahlrätsel!
Waagrecht
1 Produkt von 8,23 und 1,5
4 Differenz von 1245,15 und 332,66
5 Quotient von 10 und 2,5
6 Quotient von 12,8 und 3,2
7 Produkt von 89 und 0,6
10 Produkt von 5251 und 0,16
Senkrecht
1 Quotient von 84,7 und 5
2 Produkt von 7,757 und 480
3 Quotient von 884,1 und 15
8 Differenz von 435,55 und 357,55
9 Summe von 19,75 und 26,25
55 Welcher dieser Ausdrücke hat den größten Wert?
A) 10 ⋅ 0, 001 ⋅ 100 B) 0, 01 ∶ 100
E) 0, 1 ⋅ 0, 01 ⋅ 10000
C) 100 ∶ 0, 01
55 D)
D) 10000 ⋅ 100 ∶ 10
56 Fülle folgende Tabelle aus!
⋅ 10
⋅ 100
⋅ 1000
⋅ 0,1
⋅0,01
⋅0,001
a) 28
280
2800
28000
2,8
0,28
0,028
b) 36,5
365
3650
36500
3,65
0,365
0,0365
c ) 1,2
12
120
1200
0,12
0,012
0,0012
d) 0,43
4,3
43
430
0,043
0,0043
0,00043
e) 0,028
0,28
2,8
28
0,0028
0,00028
0,000028
f ) 987,1
9871
98710
987100
98,71
9,871
0,9871
57 Wie viele natürliche Zahlen gibt es zwischen 2,09 und 15,3?
A) 13
B) 14
C) 11
D) 12
E) unendlich viele
57 A)
1 Zwar weiß ich viel, doch möcht’ ich mehr noch wissen – Zahlen
Ma
th
eF
it
22
Für die folgende Aufgabe musst du dich an die Raummaße erinnern
(siehe MatheFit1, S. 281 und S. 283):
Raummaße und ihre Umwandlung
(Umwandlungszahl 1000)
1 m3
= 1000 dm3
1 dm3
3
3
1 dm
= 1000 cm
1 cm3
3
3
1 cm
= 1000 mm
1 mm3
= 0,001 m3
= 0,001 dm3
= 0,001 cm3
Raummaße für Flüssigkeiten und Gase
1
1
1
1
hl
l
dl
cl
=
=
=
=
100 l
10 dl
10 cl
10 ml
1
1
1
1
l
dl
cl
ml
=
=
=
=
0,01 hl
0,1 l
0,1 dl
0,1 cl
Zusammenhang zwischen den Raummaßen:
1 Liter = 1 Kubikdezimeter
1 l = 1 dm3
3
3
1 hl = 100 l = 100 dm = 0,1 m
58 a) 1 Minute
b) 294 l c) 756 l
d) 602 l e) 60 km
58 Das menschliche Herz pumpt bei einem Herzschlag im Allgemeinen
70 cm3 Blut, bei ruhigen Beschäftigungen schlägt es in der Minute durchschnittlich 70-mal (Ruhepuls), bei großer Anstrengung durchschnittlich
180-mal (Belastungspuls).
a) Dein Körper hat etwa 5 Liter Blut. Wie lange braucht dein Herz, bis
es etwa diese Menge gepumpt hat?
b) Wie viel Liter Blut hat dein Herz in einer Stunde gepumpt, wenn du
dich dabei ausgeruht hast?
c ) Wie viel Liter Blut hat dein Herz in einer Stunde gepumpt, wenn du
intensiv Sport getrieben hast?
d) Wie viel Liter Blut hat dein Herz in einer Stunde gepumpt, wenn
du dich 20 Minuten ausgeruht und danach 40 Minuten intensiv Sport
getrieben hast?
e) Wie viel Liter Blut befördert ein normales Herz in 80 Jahren? Gehe
dabei von durchschnittlich 80 Schlägen pro Minute aus. Ein Tanklastzug
fasst 40 000 l und ist 10 m lang. Wie lang ist die Strecke von solchen
Tanklastzügen, wenn jene mit diesem Blut gefüllt werden? Runde sinnvoll!
⋆
1.3 Dezimalzahlen
Ma
th
eF
it
23
59 Weltweit werden jährlich etwa 6 Billionen Zigaretten geraucht, wobei
jede Zigarette durchschnittlich 10 mg Teer enthält.
(1) Wie viel kg dieses klebrigen Teers werden daher in menschlichen
Lungen abgelagert?
(2) Wenn ein Eisenbahnwaggon 20 t Teer laden kann und 16 m lang ist,
wie lang wäre dann der Zug?
60 Durch das Rauchen sterben etwa 2 Mil-
lionen Menschen pro Jahr an Lungenkrebs.
(1) Wie viele Menschen sind das im Durchschnitt an einem Tag?
(2) Vergleiche das mit dem Absturz eines
Airbus A380 mit 853 Passagieren! Wie vielen
Abstürzen entspricht dies täglich? Runde sinnvoll!
(3) Was könnte alles getan werden, um die große Anzahl von Raucherinnen und Rauchern zu vermindern? Diskutiert in der Klasse!
61 Vier Kinder messen die Breite eines Zim-
mers. Sie zählen dabei, wie viele Schritte sie
benötigen, um das Zimmer zu durchschreiten.
Die Tabelle zeigt ihre Ergebnisse. Wer hat
den längsten Schritt? Berechne die einzelnen
Schrittlängen der Kinder, wenn das Zimmer
6,30 m breit ist!
Name
Stefan
Elke
Anna
Lars
Anzahl der
Schritte
10
8
9
7
59 (1) 60
Millionen kg;
(2) 48 km
60 (1) ca. 5 500
(2) etwa 6
Abstürze täglich
61 Stefan: 63 cm;
Elke: 79 cm;
Anna: 70 cm;
Lars: 90 cm
62 Ein 500-Euro-Schein ist etwa 0,1 mm dick. Wie hoch ist ein Stapel aus
62 a) 2 dm
b) 200 m
63 Sara möchte Socken kaufen. Im Sonderangebot kostet die Dreier-
63 Der Diskonter
ist bei drei Paar
Socken um 0,52 c
billiger.
500-Euro-Scheinen mit dem Wert von a) 1 Million e, b) 1 Milliarde
e?
packung 4,99 e, beim Diskonter hingegen die Einzelpackung 1,49 e.
Vergleiche die beiden Angebote!
64 Ein Liter Kuhmilch wiegt 1,028 kg und
besteht zum Großteil aus Wasser. Die weiteren Inhaltsstoffe sind: 0,041 kg Milchfett,
0,05 kg Milchzucker, 0,035 kg Milcheiweiß,
0,007 kg Vitamine und Mineralstoffe. Berechne, wie viel kg der Wasseranteil in einem Liter
Kuhmilch beträgt.
65 Bettina addiert gerne die Ziffern in der Anzeige ihrer Digitaluhr. Um
21:17 Uhr erhält sie zum Beispiel 11. Was ist die größte Zahl, die Bettina
auf diese Art errechnen kann?
A) 24 B) 36 C) 19 D) 25 E) Eine andere Zahl.
64 0,895 kg
65 A)
1 Zwar weiß ich viel, doch möcht’ ich mehr noch wissen – Zahlen
Ma
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24
66 B)
66 Welches Datum war 2003 Minuten nach 20:03 Uhr am 20.03.2003?
A) 21.03.2003
22.04.2003
67 C)
B) 22.03.2003
C) 23.03.2003
D) 21.04.2003
E)
67 Von Mittag bis Mitternacht schläft Schnarchikatz im Schatten des
Traumbaums und von Mitternacht bis Mittag erzählt er Geschichten. Auf
dem Baum hängt eine Tafel, auf der folgender Text steht: „Vor zwei
Stunden hat Schnarchikatz genau das gemacht, was er auch in einer
Stunde machen wird.“ Wie viele Stunden am Tag stimmt die Aussage auf
der Tafel?
A) 6 B) 12 C) 18 D) 3 E) 21
Im vorigen Jahr hast du auch etwas über Pläne erfahren (MatheFit1, Kap. 13 auf S. 301ff). Mit ihnen wird meist ein großes Objekt
verkleinert dargestellt:
Maßstab
Um große Gegenstände verkleinert darzustellen, wird jede Länge
verkleinert, indem sie mit dem Verkleinerungsfaktor multipliziert
wird. Schreibt man den Verkleinerungsfaktor in der Form 1 : . . . ,
dann nennt man das den Maßstab. Ist etwas im Maßstab 1 : 10
gezeichnet, so ist der Verkleinerungsfaktor 0,1. Ist etwas im Plan
15 cm lang, dann ist es in Wirklichkeit 150 cm lang. Um kleine Gegenstände zu vergrößern, verwendet man den Vergrößerungsfaktor.
Ist dieser 15, dann ist der Maßstab 15 : 1. Ein in der Abbildung
15 mm großer Gegenstand ist in Wirklichkeit nur 1 mm groß.
BST 68 Welches der beiden rechtecki68 Beide
Grundstücke sind gen Grundstücke ist in Wirklichkeit
größer? Begründe deine Antwort.
gleich groß.
69 C)
69 Folgende Aufgabe stammt (leicht
abgeändert) aus der TIMSS-Aufgabensammlung:
5 mm auf der Karte entsprechen 8 Kilometern in Wirklichkeit. Wie weit ist
Altdorf von Bergheim in Wirklichkeit
entfernt?
A) 4 km B) 16 km C) 35 km
D) 50 km
A
B
Maßstab
1 : 500
1 : 250
Länge
6 cm
12 cm
Breite
4 cm
8 cm
1.3 Dezimalzahlen
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25
70 Unten siehst du die Pläne zweier Wohnungen im Maßstab 1 : 100. 70 a) 30,5 m2 ;
Berechne den ungefähren Flächeninhalt der größeren Räume! Überlege
dir die beste Nutzungsmöglichkeit für die Räume (Wohnzimmer, Küche,
. . . )! Richte sie danach ein. Es genügt, wenn du die Möbel halbwegs
maßstabsgerecht skizzierst. Verwende aber einen Bleistift, damit du
radieren kannst. Würdest du die Zwischenwände auch so setzen oder
hast du einen besseren Vorschlag? Besprich deinen Vorschlag mit deinem
Nachbarn/ deiner Nachbarin!
a)
b)
11,2 m2 ; 9,3 m2 ;
2,8 m2 b) 27,9 m2 ;
11,8 m2 ; 9,3 m2 ;
7,5 m2
1 Zwar weiß ich viel, doch möcht’ ich mehr noch wissen – Zahlen
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26
1.4 Rückblick, Ausblick und Exercises
1.4.1 Berühmte Mathematiker
71 47088 + 56181
= 103269 oder
57088 + 46181 =
103269
71 Jeder Buchstabe steht für eine andere
Ziffer. Wie heißt die Rechnung? Gibt es mehrere Lösungen?
+
E
G
R
U
A
I
K
U
E
L
S
S
I
S
E
D
Die drei Namen, die in Aufg. 71 vorkommen, sind die die Namen von
berühmten Mathematikern:
1. Carl-Friedrich Gauss: Als Sohn armer
Eltern wurde er am 30. April 1777 in Braunschweig geboren und starb am 23. Februar
1855 in Göttingen. Von sich sagte er, er habe
das Rechnen vor dem Reden gelernt. So erzählt man, dass der dreijährige Carl Friedrich
seinen Vater bei der Lohnabrechnung korrigierte. Er konnte die kompliziertesten Rechnungen im Kopf ausführen. Er war es auch, der
als zehnjähriger Schüler den Trick bei Aufg.
31 erfand. Dazu fasste er die Zahlen von 1 bis 100 so zusammen:
(1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + . . . = 101 + 101 + 101 + . . . = . . .. Als
Neunzehnjähriger bewies er die Konstruierbarkeit des regelmäßigen
Siebzehnecks und lieferte damit die erste Erweiterung euklidischer
Konstruktionen seit 2000 Jahren. Von ihm stammen noch viele weitere
Erkenntnisse der Mathematik.
2. Adam Riese wurde am 26. März 1492 im
oberfränkischen Staffelstein am Main geboren
und starb am 30. März 1559 in Annaberg. Als
Kind sieht er, wie sein Vater die Anzahl von
Mehlsäcken mühsam durch Knoten in einer
Schnur notiert oder die Schulden von Bauern
durch Kerben in Holzstücken registriert. In
Gebrauch waren damals die römischen Zahlen,
mit denen nur eigene „Rechenmeister“ rechnen konnten. 1509 brachten
Kaufleute aus Italien die neuen Zahlen mit, die aus Arabien kamen.
Riese erkannte den großartigen Fortschritt, da damit Kaufleuten und
Handwerkern selbst ihre Rechnungen durchführen konnten. Er schrieb
mehrere Rechenbücher auf Deutsch, obwohl die Sprache der Gelehrten
damals Latein war. Dadurch verbreitete er nicht nur die arabischen
Zahlzeichen, wie wir sie heute statt der römischen verwenden, sondern
er trug auch zur Vereinheitlichung der deutschen Sprache bei. Sein
1.4 Rückblick, Ausblick und Exercises
Ma
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eF
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27
endgültiges Zuhause wurde dann Annaberg. Hier lebte er als königlicher Hofmathematiker, heiratete und vier seiner Söhne schlugen die
Mathematikerlaufbahn ein. Noch heute wird der Ausspruch „Nach
Adam Riese macht das . . . “ verwendet. Er soll die Richtigkeit eines
einfachen Ergebnisses besonders deutlich hervorheben. Siehe auch
MatheFit1, Kap. 3.6.1 auf S. 89.
3. Euklid von Alexandria wurde etwa 365
v. Chr. geboren – vermutlich in Alexandria
oder Athen – und starb ca. 300 v. Chr. Er war
einer der bedeutendsten Mathematiker und
sein Werk „Elemente“ wurde Vorbild für die
gesamte spätere Mathematik. Es war bis ins
20. Jahrhundert hinein Grundlage des Geometrieunterrichts, vor allem im angelsächsischen
Raum. Du wirst im Laufe deines Mathematikunterrichts noch öfter von ihm hören. Siehe
auch S. 59!
72 a) 372 + 24 =
396 b) 4.7 + 0.2
= 4.9
1.4.2 Exercises
72 Write down and calculate!
a) three hundred and seventy-two plus twenty-four
b) four point seven plus zero point two
73 Which product is smaller? Use the signs > (greater than) and < (less
73 a) 104 > 99
b) 48 < 54
74 Which quotient is smaller? Use the signs > (greater than) and <
74 a) 3 < 6
b) 9 > 7
75 How does the product change if a) one factor is halved b) both
75 a) It is also
halved. b) It is
1/4.
76 a) It is also
halved. b) It is
doubled.
77 a) 125 b) 999
78 a) 45 b) 37
than)
a) thirteen multiplied by eight or eleven multiplied by nine
b) twelve multiplied by four or nine multiplied by six
(less than)
a) twentyfour divided by eight or fiftyfour divided by nine
b) thirtysix divided by four or fourtytwo divided by six
factors are halved?
76 How does the quotient change if the a) dividend is halved b) divisor
is halved?
77 Multiply: a) 25 ⋅ 5 = b) 333 ⋅ 3=
78 Divide: a) 225 : 5 = b) 333 : 9 =
1 Zwar weiß ich viel, doch möcht’ ich mehr noch wissen – Zahlen
Ma
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1.4.3 Ein Zauberkunststück
Nun höre und staune! Du wirst nun sehen, welch einfühlsames MatheBuch ich bin, denn ich kann deine Gedanken erraten! Allerdings als
Mathe-Buch nur deine mathematischen. Denk dir bitte eine zweiziffrige
Zahl und bilde die Summe ihrer Ziffern. Diese zähle von der gedachten
Zahl ab. Nun schau in der Tabelle nach, welcher Buchstabe bei der
erhaltenen Zahl steht. Ich sag’s dir: M wie MatheFit. Da staunst du.1
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
M
A
T
H
E
I
S
T
?
W
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
A
T
H
E
I
S
T
?
M
U
2
12
22
32
42
52
62
72
82
92
T
H
E
I
S
T
?
M
A
N
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
H
E
I
S
T
?
M
A
T
D
4
14
24
34
44
54
64
74
84
94
E
I
S
T
?
M
A
T
H
E
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
I
S
T
?
M
A
T
H
E
R
6
16
26
36
46
56
66
76
86
96
S
T
?
M
A
T
H
E
I
B
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
T
?
M
A
T
H
E
I
S
A
8
18
28
38
48
58
68
78
88
98
?
M
A
T
H
E
I
S
T
R
9
19
29
39
49
59
69
79
89
99
M
A
T
H
E
I
S
T
?
!
1.4.4 Weitere Aufgaben
79 Bei
Verwendung
römischer Ziffern.
80 C)
81 West-OstRichtung ≈
600 km; NordSüd-Richtung ≈
300 km
79 Scherzfrage: Wann ist die Hälfte von 9 gleich 4, von 11 gleich 6 und
von 12 gleich 7? (Tipp: Denk auch an andere Zahlendarstellungen!)
80 Josef wohnt in einer kurzen Straße, in der die Häuser Nummern von
1 bis 24 tragen. Die Ziffern der Hausnummern sind aus Blei gegossen.
Wie viele 2er aus Blei sind an den Hauswänden in der Straße montiert?
A) 2
B) 4
C) 8
D) 16
E) 32
81 Bestimme aus der
Karte für Österreich im
Maßstab 1 : 10 000 000,
welche Ausdehnung Österreich ungefähr in der
West-Ost-Richtung und
in der Nord-Süd-Richtung hat!
(© BEV – 2008)
1
Wenn du mich nicht verrätst, sag ich dir, dass ein ganz kleiner Trick dabei ist.
Du wirst ihn im Kapitel 7.1 kennen lernen.