Mechanik Formelsammlung

α
0
Trigometrie
Kartesisch:
30o
45o
60o
90o
r  xe x  ye y  ze z




0
sin
0
cos
1
tan
0
6
½
3
3
2
3
4
2
2
2
2
1
cot 1
3
a  b | a |  | b |  cos 
| a  b || a |  | b |  sin 
3
3
2
2
1
½
0
3
-
3
3
0

Zylindrisch:

Rotation
v r
r   e  ( )  ze z

v  x ex  y e y  z ez v   e ( )    e  z e


z



2

| v | x 2  y 2  z

2

| v |  2  (   ) 2  z
Sphärisch:
r  r e r ( ;  )



v  r e r  r  e  r sin   e
| v |



r 2  ( r  ) 2  ( r sin   ) 2
sin(    )  sin  cos   cos  sin 
cos(   )  cos  cos   sin  sin 
Koordinatentransformation
Kartesisch:
x   cos   r sin  cos
SdpG
v M  MN  v N  MN
| v M |  cos  | v M |  cos 
vM '  v N '
y   sin   r sin  sin 
z  z  r cos 
x 2  y 2  r sin 
Rotationsachse:
   ez
0  v B    BZ gut: B= Ursprung
Schraubung/Zentralachse
 x
 ( )   y     e mit:
z
 

e 



vZ  v  e  v B  e  v B    BZ
1.) Beliebigen Punkt B wählen
 günstig (0/0/0)
2.) Verbindungsvektor bestimmen BZ
3.) Auflösen -> 2 Gleichungen
4.) Eine Variable muss beliebig sein
(Geradengleichung)
Ein Punkt ist in Ruhe und alle anderen drehen
sich um ihn mir Winkelgeschwindigkeit 
Translation
vA = vB ; |AB|= Konstant
Sphärisch:
x2  y 2  z 2 
    e
SN | vN | |  |  | r | ; | r || ZN |
y
  arctan( )  
x
z  z  r cos 
r 
  r | v ||  |  | r |
Satz vom Momentanzentrum
Zylindrisch:
 
Leistung
 2  z2
Polbahn
v
v


ZA L sin 
Geometrischer Ort von Z
Allgemeine Bewegung
x2  y 2
 Kinemate: { v B ;  }
 arctan
v B  v M    MB
z
z Invariante: ω
Invariante: ω vM = ω vB
y
v  v M    konst.
  arctan  
x
  arctan
Spezialfälle:
ω = 0  Translation
Geschwind- & Schnelligkeit
vB = 0  mom. Rot. mit B  
v

1
v  r v  s
s | v | v B    mom. Rot. mit B  
|v|
  v B  v  0  Schraube
feste Polbahn: mit Oxy fest verbunden
 bewegliche PB: fest bezüglich Stab
Moment
M 0   OAi  Fi
Einzelkraft:
P = F  vM = |F||v M |  cos
α<90° : Antriebskraft
α>90° : Widerstandskraft
α=90° : Normal- / Lorenzkraft
Mehrere Kräfte:
Ptot  R  v B  M B   P   (rA  FA )
Statik
HS der Statik:
Ruhelage
Invarianten:
1.
R   Fi
mit gleichem Angriffspunkt
2. R  M A  R  M B  M
(R)
Reduzierbar auf Einzelkraft falls:
R  MB =0
- R=0 Mb≠0 Kräftepaar
- R  M B  MR =0
- (Mb≠0;R≠0)  Reduktion auf
Einzelkraft möglich
- Ebene Probleme:
MB immer senkrecht auf R
 Reduktion auf Einzelkraft R immer
möglich
Wirkungslinie d. Resultierenden Kraft:
1. R bestimmen
2. M 0   0 Ai  Fi
3.
M Z  M 0  R  OZ  0
M P  M 0  PO  R
4.
 (t )  z  t  eR
M P  M 0  R  OP
 2Pkte berechnen  Gerade
M 0 | F | OA  sin 
i
Verschiebung:
 R  0 , M0  0
eR 
R
R
Lagerreaktionen
Standfestigkeit
Fachwerke
1. Starre Körper identifizieren
2. Lager anschauen (v=0  Mz)
3. SdpG anwenden
4. Momentanzentrum bestimmen
v r
5. ω bestimmen mit
Auflager
1. Systemtrennung: Alle Kräfte
einführen
2. Koordinatensystem/Kräfte
3. bestimmt?
4. Kommponentenbedingungen
5. Momentenbedingung
6. „e“ ermitteln
7. Standfestigkeit: N>0 (abheben?)
e>0
e<a
8. Bedingungen für Gleichgewicht
aufführen
v  r
 2 Dimensional
6. Parallele Stäbe haben gleiches ω!
Knotengleichgewicht:
- Lagerkräfte bestimmen
- Gleichgewicht an jedem Knoten
(Stabkräfte Si zeigen vom Knoten i weg)
Si > 0 => Zugkraft
Si < 0 => Druckkraft
Gelenke
Ein-spannung
kurzer Querlager
L
xs 
L
 x  s( x)dx  x  s( x)dx

0
L
0
 s( x)dx
0
R    g V
Sonderfälle:
- Gleichmässige Verteilung.
R  L  q0
L
xs 
2
- Dreiecksverteilung
L  q0
R
2
R
M RG   1rL Z


Gleitreibungsmoment in Längslagern:
| M RL |
2
1rL N
3
Rollreibung:
M R  2 N  Rad steht
M R  2 N  für v=konst.
langes Querlager
Kräfteverteilung
Linear verteilte Kräfte (Mittelpunkt):
Gleitreibungsmoment in Gelenken, kurzen
und langen Querlagern:
Längs-lager
Lösungsweise eines 2-D Systems:
1. System abgrenzen
2. Koordinaten-System einführen
3. Lagerreaktionen eintragen
4. Statisch bestimmt?
5. Komponentenbedingungen in x- und
y-Richtung
6. Momentenbedingung um beliebigen
Bezugspunkt
7. Auflösen des Gleichungssystems
8. Diskussion der Ergebnisse
Statische Bestimmtheit
Anzahl Gl.gewichtsbed: m
Unbekannte: n
2L
1 2
xs 
 immer zu
3
3 3 Statisch unbestimmt:
Statisch bestimmt:
Statisch überbestimmt:
m<n
m=n
m>n
Dreikräfteschnitt:
- Lagerkräfte bestimmen
- Stäbe durchschneiden und Stabkräfte Si
einführen
- Momentengleichgewicht am Schnittpunkt
der Wirkungslinien zweier unbekannter
Stabkräfte
- Komponentenbedingungen
Seilreibung:
achte auf ω!
S1  S2e0
Seilhaftung:
S1  S2 e( 0  )
PdvL:
- Stab entfernen und Stabkräfte einführen
- Zulässige virtuelle Bewegung einführen
- Geschwindigkeiten an Knoten, an denen
Kräfte wirken
- Gesamtleistung: P = 0 => Si
 0
Beanspruchung
Reibung
Haftreibung:
|FR |<0 |N|  v=0
Gleitreibung:
FR  1  N 
v
v
Haftreibung im Gelenk:
M R  0rL Z  Z  Cx2  Cy2
Qy’= -qy
Mz’= -Qy
Qz’= -qz
My’= -Qzz
DGL: für gebogene Stabträger
φ: N’+Qr+R qφ=0
T’+ Mr=0
z: Qz’+R qz=0
Mz’ - RQr=0
r: Qr’-N+R qr=0
Mr’- T + RQz=0
Lagerart
Auflager
Gelenk
Einspannung
Freies Ende
Q
Q≠O
Q≠O
Q≠O
Q=0
M
M=0
M=0
M≠O
M=0
Spannungen
Schubspannung
Normalspannung
 | s    n |
  s 
  ts

 x  xy  xz 


T   yx  y  yz 
 zx  zy  z 


s (e y )
s ( n)  T  n
s ( ez )
|n|=1
T = TT
2. T   k   n  ek  0 => EV =
Winkelvergrösserung :  xy  0, bzw.   0
Hauptrichtungen
3. nach Bedarf 1
kleine Deformation


tan( )  sin( )   cos( )  1
ek Bsp. (x) frei wählen
4. NORMIEREN!!
| |  |max 

Verschiebungsgradient:
1
, 2 , 3
u x, x
Gu   u y , x
 u z , x

1
max(|  2   3 |,|  3   1 |,|  1   2 |)
2
s ( n ) = 0  spannungsfreie Oberfläche

duktile Werkstoffe:  max  S
F
Räumliches Hauptachsenproblem:
Verzerrungen
Neue Ruhelage nach Verzerrung:
Referenzlage: 
Bei Hauptrichtungen wird
Schubspannung = 0  Spannungsvektor
kollinear zum Normalenvektor:
s (eK )   K  eK  T  eK

u = r- r
Grundinvarianten:
u=u x (x,y,z), u y (x,y,z), u z (x,y,z)
 II   x y   y z   z x   xy2   yz2   xz2
Translation: u x , u y , u z
 x  ux,x
 ( 1 2   2 3   3 1 )
partielle Differentailgleichung:
 x , x   xy , y   xz , z  f x  0
 yx , y   y , y   yz , z  f y  0
 zx , y   zy , y   z , z  f z  0
0
R zy


 R zy

0 

R zx
R
 I ,  II ,  III
Dehnung:
 y  u y, y
 z  uz ,z
linearelastisches Stoffverhalten
Elastizitätsmodul (Hook):
 x ( x) 
  x  xy  xz 


E   yx  y  yz 
 zx  zy  z 


1
 ux , y  u y , x 
2
 x  E  x
N ( x)
N ( x)
 X  ux, x 
A( x)
E  A( x)
Stoffgleichung:  x 
Schubverzerrung:
 xy   yx 
 Falls Spur (diagonale) von E = 0: keine
(spezifische) Volumenänderung
-lin. elast. Verhalten im einachsigen SPZ:
Verschiebungsvektor:
 III   1   2   3  det(T )  0
 R yx
dV  dV (1   I )  dV (1  1   2   3 )
( K )3   I ( K ) 2   II  K   III  0
 I  1   2   3   x   y   z
 0

u y , z R    R yx


u z, z 
 Rzx

Raumdehnung:
Hydrostatischer Druck / Druck auf Oberfl.
 r : Hauptspannung
u z, y
Grundinvarianten:
0
s  (er )   per   r er
u y, y
u x, y 
E
0
spröde Werkstoffe:  max  S
F
s  pn
u x, y
G u =½ (G u + G u T ) + ½ (G u - G u T )
Deformierte Lage:
2
  2   xy    x   y 
Winkelverkleinerung :  xy  0, bzw.   0
Charakteristische Gleichung:
x  y
  x  y 
2  
R 


m

xy
2
 2 
Schubwinkel:
Hauptspannungen
  max  max
s(-n) = -s(n)
Mohrischer Kreis:

Bsp. Beanspruchungs-Diagramm:
1. det T   k   n  0 => EW =
Bemerkungen
  sn
  n
s ( ex )
 Eigenwertproblem!!!
1

 x , Y   Z    x
E
E
 y   z     x
Zugsteifigkeit:   E  A

Zulässigkeit:  x   zul  bruch
SF
Querdehnungszahl:
-lin. elast. Verhalten im einachsigen
ESZ:
1 
  G 
E
Schubmodul: G 
2(1  )  xy  2G   xy
E
Umrechnung:
T
1 
E
 I


 n 
T 
1




E
1 
 I


 n 
E
1  2


Kompressionsmodul:
Räumlicher SPZ:
K
E
3(1  2 )
 12
E
2 
1
E3
3 
1

G23
 23
1
G31
 31
1

G12
 12
 31 
 12
1 
1

E2
3 
 23
2 
 13
E
2
 23
E
3 
3
 31
E1
1 
3
3
 21
E1
 32
E
Bedingung:
1
2
2





E
1    x   y   z 
(1   )(1  2 )
E
y 
 1    y   x   z  
(1   )(1  2 )
E
z 
1    z   x   y 
(1   )(1  2 )
E
 xy 
 xy
 xy  2   xy
2(1   )
E
 zx 
 zx
2(1   )
E
 yz 
 yz
2(1   )


Dehnung:
 n  n
 nt
En
 t En
T
Zug/ Druck   N ( x)
x
u( x) 
EA
N ( x)
 x
EA
Schubspannung infolge Biegung:
1. Einführen der Lagerkräfte
2. GGB am undefinierten Körper
3. Ermitteln der Beanspr. Q(x);Mb(x)…
4. integration von v’’ mit C1;C2
5. Rand-/Übergangsbedingungen
Übergangsbed:
x  
Mb
 y  v '' y  u ( x) '
EI z
 v ( x  e)  v ( x  e)
1
2
Symmetrie: v(e)  0
Randbedingungen:
v
Lagerart
=0
Auflager
=0
Gelenk
Einspannung = 0
≠0
Freies Ende
M b,max
Iz
 ymax
Spezielle Biegung und Zug oder Druck:
N Mb
N Iz


y y n
Mb A
A IZ
M
N
v ''  b
u'
EI z
AE
x 
Flächenträgheitsmomente
Flächenschwerpunkt:
v1 ( x  e)  v2 ( x  e)
v’
≠0
≠0
=0
≠0
xs 
 x  dA
 dA
M3
M
x2  2 x3
I3
I2
Q
≠0
≠0
≠0
=0
M
=0
=0
≠0
=0
 xy 
xs 
bh3
12
hb3
 zs 
12
Q Hz

Iz b
i
i
C ys z s  0
Wz 
hb 2
6
 R4
C ys z s  0
4
 (R4  r 4 )
 ys   zs 
C ys z s  0
4
 ys   zs 
H z ( y )     dS  yC  S ( y )
a 3b
36
ab3
 zs 
36
 ys 
Torsion:
Verdrehwinkel:
x  A
A
i
 ys 
Schubspannung infolge Biegung:
Spezielle Biegung
M ( x)
 x   b  y N  0, T  0
Iz
M ( x)
v( x)  b
EI z
 max 
Allgemeine Biegeprobleme
x  
T

 max   zul
Schiefe Biegung: M b  M 2 e2  M 3 e3
3D – Verformung: für n und t  n
1
x 
 x     y   z    T
E
1
y 
 y   x   z    T
E
1
z 
 z     x   y    T
E
1
 xy 
 xy  T
2G
1
 zx 
 zx  T
2G
1
 yz 
 yz  T
2G
x 
2
1
E1
T
GI p
v' 

L
0
I y  I ys  (z ) 2  A
I z  I z s  ( y ) 2  A
C yz  C ys zs  y  z  A
v ' dx
Torsionssteifigkeit: G  I p
Polares Widerstandsmoment:
Wp 
Ip
R
I p  I z  I x    ( y  x )ds    r 3drd
2
2
a 2b 2
72
Verschiebung:
T
Schubspannung:   x (r ) 
r
Ip
Gesamtverdrehung:
C ys z s 
Drehung:
Iy  Iz I y  Iz
I 

cos(2 )  C yz sin(2 )
2
2
I y  Iz
C 
sin(2 )  C yz cos(2 )
2
Tensor MK:
 Iy
I 
C yz
C yz 
I z 
Finite Elemente
Arbeit und Deformationsenergie
6 12 6 
 12


4 6 2 
 6
C  3i 
  12 6 12 6 


2 6 4 
 6
Leistung: P  F  v Arbeit:
t1
L
0
Kräfteverteilung auf Knoten:
 PL 
1  3 2  2 3 




 ML  1
  2 2  3 
d
F    L   0 q( )   2
3  2 3 
 RR 


M

  2   3 


 R 

L
i

3
 12
6
12
 6
6
12
4
6
6
12
2
6
 i  EI Z
 12
6
 12
3  6
0
 0
A   Pdt
Deformationsenergie:
Zug/Druck
Spez. Biegung
U 
Gleichungssystem:
t2
C   P
 Pi 1 

v
6   i 1   1
M i 1


2   i 1 
 
6  vi 
Pi 




   i 
4
1
 Mi 


6
12
6
0
4
6
2
0
6
24
0
12
2
0
8
6
0
12
6
12
0
6
2
6

0 
6 
2 
6 
4 

0
L M
N
b
dx
dx U  
0
2 AE
2 EI z
Torsion
U 
L
0
2
2
Feder
 Problem n-fach stat. Unbestimmt:
n. Bdg. Lösen und Bindungskräfte
äussere Lasten einführen
alle Lagerkräfte mit den gelösten Bdg.
Ausdrücken
Deformationsenergie berechnen mit
denn gelösten Bdg. Und äusseren Lasten
 Ableitung gleich Null vK 
2.
3.
Stelle x=a bzw. x=b (Betrag=1) in gleiche
Richtung
Als zusätzliche Deformationwird die
tatsächliche Defor. verwendet v’’
M b (x): Beanspruchung am sbEp
Mb(x): Beanspruchung am geg. System
U
0
FK
Knickung
BSP:
T2
F2
dx U  F
2GI p
2k
 M 2 2 M 32 

Schiefe Biegung: U   
dx
0 2 EI
2EI3 
2

L
Zusammengesetzte Beanspruchung:
U 
L
0
2
2
L M
L T
M2 
N2
dx    2  3 dx U  
dx
0
0 2GI
2 AE
p
 2 EI 2 2 EI 3 
Castigliano
vk 
U
Fk
i 
U
M i
Hilfskraft, bzw. Hilfsmoment einführen,
falls belastungsfrei!
Zusätzliche Gleichung:
 U 
 U 
H  
vH  


 H  H 0
 M H  M H 0

Falls an einer Stelle ohne
Einzelkraft/-Moment die
Verschiebun/ Winkel gesucht wird:
Hilfskraft H/ Moment M H
Alles mit H und MH berechnen!
WICHTIG: Nach ableiten NULL
setzen
 U 
 U 
vH  

 ; H  
 H  H 0
 M H  M H 0
Arbeitsgleichung
Statisch bestimmtes Ersatzproblem
einführen mit Einheitskräften und
Einheitsmomenten, wobei:
1. AG:
L
v(a)   M b ( x) 
0
M b ( x)
dx
EI z
2. AG:
 (b)  
L
0
M ( x)
M b ( x)  b
dx
EI z
L
 (c )   T ( x ) 
0
T ( x)
dx
GI p
3. AG:
L
v(d )  0   M b ( x) 
0
M b ( x)
dx
EI z
M b : Beanspruchung am sbEP
M b : Beanspruchung am geg. Problem
Statisch bestimmte Problme:
1. Wahl eines statisch bestimmten
Ersatzproblems; Einheitskraft/ moment als einzige Belastung an der
FE  k
Knicklast:
 2 EI z
L2
Vorgehen:
- Normalkräfte der Stäbe untersuchen
- Druckkräfte suchen (Stabkraft negativ)
- Bedingung prüfen:
s  FE
Bei Fachwerken: k=1
Überprüfen ob System stabil ist:
FD  FE  k
 2 EI
L2
Herleitung der Formel:
GGB am undeformierten System
Für Knickung: Gleichgewicht am
deformierten System
vB = 0 
Spezialfälle
M b,max
 ymax
: max 
reine
ω = 0  Iz
Rotation
Translation
um
B
vB   
mom.
Rotation

Schraube