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Prof. Dr. Wolfgang Jitschin formeln-tm3-v16.doc, 30.3.2012 Material zur Vorlesung Mechanik 3: Dynamik Literaturverzeichnis: - W. Jitschin: Material zur Vorlesung Technische Mechanik 3: Dynamik http://homepages.thm.de/jitschin - W. Jitschin: Physik für Ingenieure in Formeln und Tabellen beim Autor erhältlich - B. Assmann und P. Selke: Technische Mechanik Band 3: Kinematik und Kinetik München: Oldenbourg Verlag, 14. Auflage 2007 - B. Assmann und P. Selke: Aufgaben zur Kinematik und Kinetik München: Oldenbourg Verlag, 10. Auflage 2008 - R.C. Hibbeler: Technische Mechanik 3: Dynamik München: Pearson Studium, 10. Auflage 2006 - D. Gross, W. Hauger, W. Schnell und J. Schröder: Technische Mechanik, Bd. 3: Kinetik Berlin: Springer-Verlag, 2004 - D. Gross, W. Ehlers und P. Wriggers: Formeln und Aufgaben zur Technischen Mechanik 3 Berlin: Springer-Verlag, 2005 Inhalt der vorliegenden Datei 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Nützliche Maschinen Eindimensionale Bewegung eines Punktes Beliebige Bewegung eines Punktes in der Ebene Bewegung des starren Körpers in der Ebene Dynamisches Grundgesetz Impuls und Drall Prinzip von d'Alembert Energie Mechanische Schwingungen Mathematische Formeln Viel Nützliches aus der Vorlesung Physik steht in der separaten Datei: "Formeln-Physik-TM3.doc" 2 Mechanik 2.1 Kinematik der geradlinigen Bewegung Geschwindigkeit, Beschleunigung, Würfe 2.2 Kinematik der Drehbewegung 2.3 Dynamik der geradlinigen Bewegung Newtonsche Axiome, schiefe Ebene, Reibung, Stöße 2.4 Dynamik der Drehbewegung Massenträgheitsmoment, Corioliskraft, Präzession 2.5 Arbeit, Energie, Leistung 2.7 Mechanik der Flüssigkeiten und Gase 3 Schwingungen 3.1 Begriffe 3.2 ungedämpfte elastische Sinusschwingung Federschwingung, Flüssigkeitsschwingung Drehschwingung, Pendel, elektrischer Schwingkreis 3.3 Viskos gedämpfte Schwingung 3.4 Erzwungene Schwingung -1- 1. Nützliche Maschinen schiefe Ebene Steigung = tan Rad oder Walze Momentanpol einfacher Flaschenzug m m m m Stufenrolle oder abgesetzte Rolle gekoppelte Rotoren (Getriebe) n_treibendes Rad i = ————————— n_ getriebenes Rad Normalkraft Reibungskraft Hangabtriebskraft Beschleunigung FN = m g cos FR = m g cos FH = m g sin a = g (sin cos Der Momentanpol des abrollenden Rades ist der Auflagepunkt Ist eine Masse an der Rolle befestigt (links), so ist die Seilkraft verglichen zur Kraft, die direkt auf die Masse wirkt (rechts), ½ so groß im Fall einer statischen Kraft und ¼ so groß im Fall einer Trägheitskraft. Drehmomentverhältnis M1 r 1 M 2 r2 i < 1: Übersetzung, i > 1: Untersetzung Drehzahlverhältnis n1/n2 = 1/i Drehmomentverhältnis M1/M2 = i Trägheitsmoment J1 wirkend auf 2: Jeff = J1 / i2 Planetengetriebe Planetenrad Sonnenrad wie bei Stufenrolle Drehmomentverhältnis wie bei Stufenrolle tan = y / x 2 = x2 + y2 y vy = - x vx beidseitig geführter Stab y x Kreuzschubgetriebe wenn Drehung gleichmäßig mit = t erfolgt und Näherung bis 1. Ordnung in = r/ gemacht wird, dann ist x = r (1 – cos + ½ sin2 ) vx = r (sin + ½ sin 2) ax = r2 (cos + cos 2) Kurbelschleife x = b tan Schubkurbel oder Kurbeltrieb Kurbel r Pleuel x Kolben x b wenn die Drehung gleichförmig mit = t erfolgt, dann gilt x b / cos2 t -2- 2. Eindimensionale Bewegung eines Punktes 2.1 Definitionen s Ortskoordinate [s] = m v Geschwindigkeit [v] = m/s a Beschleunigung [a] = m/s2 r Ruck [r] = m/s3 s ist der momentane Ort des Punktes, nicht die zurückgelegte Wegstrecke ds v s dt dv a v s dt da r a v s dt Haben s und v gleiches Vorzeichen, dann geht die Bewegung weg vom Ursprung, d.h. der Betrag der Ortskoordinate wird größer. Haben v und a gleiches Vorzeichen, dann wird die Bewegung schneller, d.h. der Betrag der Geschwindigkeit wird größer. 2.2 Differentieller Zusammenhang v d v a ds 2.3 Integrale Änderungen von Weggrößen funktionaler Verlauf Index 1: Anfangspunkt, Index 2: Endpunkt t2 s s 2 s1 v ( t ) dt t1 Index 1: Anfangspunkt, kein Index: Variable t s(t ) s1 v ( t ) dt t1 v v 2 v 1 t2 t v (t ) v 1 a(t ) dt 1 s2 v2 v 1 t a(t ) dt 1 v 2 v 22 v 12 2 a(s ) ds s1 t t 2 t1 2 t s v 2 (s ) v 12 2 a(s ) ds s1 dv a(v ) t (v ) t1 2 -3- v dv v 1 a(v ) 2.4 Spezielle Bewegungen 2.4.1 gleichförmige Bewegung: (v = konstant) s(t ) s0 v 0 t s: Ort zum Zeitpunkt t s0: Ort zum Zeitpunkt t = 0 v (t ) v 0 a(t ) 0 2.4.2 gleichmäßig beschleunigte Bewegung: (a = konstant) allgemeiner Fall: s: Ort zum Zeitpunkt t s0: Ort zum Zeitpunkt t = 0 v0: Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 0 v: Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t Spezialfall: Ort und Geschwindigkeit zu Beginn sind Null (s0 = 0, v0=0) v : mittlere Geschwindigkeit s s 0 v 0 t 21 at 2 s 0 v v 0 at a 1 v 2 v 02 2 s s0 s 1 2 v a Spezialfall: Bremsvorgang aus Anfangsgeschwindigkeit v0 bei s0=0 mit gleichmäßiger Verzögerung sB: Bremsweg Spezialfall: Freier Fall mit Anfangsgeschwindigkeit Null h: Fallstrecke t: Fallzeit v: Fallgeschwindigkeit Spezialfall: senkrechter Wurf: v: Geschwindigkeit h: Höhe über Abwurfpunkt hmax: maximale Wurfhöhe (bei Wurf nach oben) in den Formeln gilt das + Zeichen beim Wurf nach oben und das - Zeichen beim Wurf nach unten -4- v 2 v 02 2a at 2 2sa 2s 2v t v 2 2s 2s t 2 s B 21 v 0 t B 21 h 1 2 v 02 a g t2 t 2h g h v 2gh v v 0 gt v 02 2gh h v 0t hmax 1 2 v 02 g 1 2 gt 2 h 2.4.3 Überlagerung von gleichförmiger und gleichmäßig beschleunigter Bewegung Spezialfall: waagerechter Wurf: horizontal x: gleichförmige Bewegung vertikal y: gleichmäßig beschl. Bewegung Wurfweite: s x(t ) v 0 t y (t ) 1 2 s v0 Spezialfall: schräger/schiefer Wurf horizontal x: gleichförmige Bewegung vertikal y: gleichmäßig beschl. Bewegung Bahnkurve: Wurfparabel y(x) g t2 2h g x(t ) v 0 t cos v x (t ) v 0 cos y (t ) v 0 t sin 21 gt 2 v y (t ) v 0 sin gt gx 2 y ( x ) x tan mit Abwurf- und Auftreffpunkt auf gleicher Höhe: h v 02 sin2 2g t 2 v 0 sin g 2v 02 cos 2 v 02 s sin2 g maximale Wurfhöhe h Wurfdauer t horizontale Wurfweite s Spezialfall: schräger / schiefer Wurf, Abwurfpunkt um h0 höher als Auftreffpunkt h h0 v 02 sin 2 2g t Steigzeit Fallzeit v sin 0 g maximale Steighöhe h Wurfdauer t horizontale Wurfweite s s tv 0 cos -5- 2 2h v 0 sin 0 g g 2.5 Herleitung der Bewegungsgleichungen Aufgabe ist das Berechnen der Zeitabhängigkeit von Ort s(t), Geschwindigkeit v(t) und Beschleunigung a(t) einer beliebigen Bewegung, wenn bestimmte Beziehungen (im Folgenden als einzelne Fälle behandelt) gegeben sind. Lösungskonzept für den Fall der eindimensionalen Bewegung 1. Schritt: Verstehen des Problems, Zeichnen einer Skizze kann hilfreich sein 2. Schritt: Ansatz für funktionalen Zusammenhang erkennen, z.B. a(s) 3. Schritt: Berechnen der analytischen zeitabhängigen Funktionen von Ort s(t), Geschwindigkeit v(t) und Beschleunigung a(t) der Bewegung, die Vorgehensweise ist fallspezifisch wie in der folgenden Tabelle gegeben Lösungsgang (der Index 1 kennzeichnet den Anfangszustand) Fall gegeben 1. Teilschritt 1 2 a(t) v(t) v (t ) v1 t t1 t1 d v (t ) dt d s (t ) dt a(t ) d v (t ) dt v (t ) 4 v(s) t (s ) t 1 5 a(s) v (s ) t1 s s1 ds v (s ) 3. Teilschritt s(t ) s1 v (t ) dt a(t ) s(t) 6 t a(t ) dt s(t ) s1 v (t ) dt 3 a(v) t 2. Teilschritt umstellen nach s(t) weiter bei Fall 3 s v 12 2 ds a(s ) weiter bei Fall 4 t (v ) t1 s1 v dv v1 a(v ) umstellen nach v(t) weiter bei Fall 2 4. Schritt: Bestimmung der Konstanten aus den Randbedingungen 5. Schritt: Angabe der gesuchten numerischen Funktionen 6. Schritt: graphische Darstellung des Bewegungsablaufs 7. Schritt: Angabe sonstiger gesuchter Größen 2.6 Föppl-Klammer Definition: Ableitung: Integral: x a n Beispiele zu Föppl: für x a 0 n ( x a) für x a d n n 1 x a n x a dx 1 n n 1 C dx x a n 1 x a -6- x a 0 x a 1 x a 2 a x a x a x 3. Beliebige Bewegung eines Punktes in der Ebene Kartesische Koordinaten x-Geschwindigkeit y-Geschwindigkeit x-Beschleunigung y-Beschleunigung dx x dt dy vy y dt dv x ax v x x dt dv y ay v y y dt vx Polarkoordinaten Begriff „radial“: Bewegung weg vom Ursprung Begriffe „zirkular“ oder „Bahn“ Bewegung entlang des Kreises mit Radius r um Ursprung radiale Geschwindigkeit vr Bahn-Geschwindigkeit v r r radiale Beschleunigung ar dr r dt 2 r r rein radial Bahn-Beschleunigung zentripetal rein radial zentripetal r 2 vr r rein Umfang Coriolis rein Umfang a 2 r Coriolis r r 2 Natürliche Koordinaten Begriff „tangential“ Begriff „normal“ in Bewegungsrichtung (Bahnrichtung) senkrecht zur Bewegungsrichtung Bahn-Geschwindigkeit v r r normale Beschleunigung an r 2 tangentiale Beschleunigung at v2 r dv v dt Kreisbahn r konst r 0 r 0 -7- 4. Bewegung des starren Körpers in der Ebene allgemeine Rotation Winkel Anzahl der Umdrehungen z= Winkelgeschwindigkeit 2 n n z 2 Drehzahl 2 Winkelbeschleunigung Weg sr Geschwindigkeit v r tangentiale Beschleunigung at = r normale Beschleunigung an = r bei allgemeiner Drehbewegung gilt: d d Spezialfall: gleichförmige Drehbewegung =0 = konst. dt t 0 Spezialfall: gleichmäßig beschleunigte Drehbewegung = konst. dt t 0 dt ferner gilt: und 1 t2 2 d d 2 1 1 2 0 t 0 22 12 Korrespondenz von Größen bei linearer und Dreh-Bewegung lineare Bewegung s Ort v Geschwindigkeit a Beschleunigung lineare Größen bei Drehbewegung sr v r at = r (tangential) an = r (normal) -8- Drehbewegung Winkel Winkelgeschwindigkeit Winkelbeschleunigung Herleitung der Bewegungsgleichungen Berechnen der Zeitabhängigkeit von Winkel (t), Winkelgeschwindigkeit (t) und Winkelbeschleunigung (t) einer beliebigen Bewegung, wenn bestimmte Beziehungen (im Folgenden als einzelne Fälle behandelt) gegeben sind. Lösungskonzept für den Fall der eindimensionalen Bewegung 1. Schritt: Verstehen des Problems, Zeichnen einer Skizze kann hilfreich sein 2. Schritt: Ansatz für funktionalen Zusammenhang erkennen, z.B. () 3. Schritt: Berechnen der analytischen zeitabhängigen Funktionen von Winkel (t), Winkelgeschwindigkeit (t) und Winkelbeschleunigung (t). Die Vorgehensweise ist fallspezifisch wie in der folgenden Tabelle gegeben Fall gegeben Lösungsgang (der Index 1 kennzeichnet den Anfangszustand) 1. Teilschritt 1 2 (t) (t) (t ) 1 t (t ) dt 2. Teilschritt t (t ) 1 (t ) dt t1 t1 (t ) 1 (t ) dt (t ) d (t ) dt d (t ) dt (t ) d (t ) dt t t1 3 (t) (t ) 4 () t ( ) t1 5 () ( ) 6 () t ( ) t1 1 d ( ) 3. Teilschritt umstellen nach (t) weiter bei Fall 3 12 2 d ( ) weiter bei Fall 4 1 d 1 ( ) umstellen nach (t) weiter bei Fall 2 4. Schritt: Bestimmung der Konstanten aus den Randbedingungen 5. Schritt: Angabe der gesuchten numerischen Funktionen 6. Schritt: graphische Darstellung des Bewegungsablaufs 7. Schritt: Angabe sonstiger gesuchter Größen -9- Zerlegung der Bewegung eines Körpers in Translation und Rotation Die allgemeine Bewegung eines Körpers von einer Anfangsposition 1 in eine Endposition 2 lässt sich zerlegen in zwei Schritte, nämlich dem ersten Schritt einer Translation (Schiebung) und dem zweiten Schritt einer Drehung: Bewegung = Translation (Schiebung) + Rotation Beispiel: geführter Stab: Eindeutig ist der Winkel der Rotation. Dagegen ist der Drehpunkt A frei wählbar, seine Wahl bestimmt die Translation. Somit gibt es beliebig viele Möglichkeiten der Zerlegung. Addition der Geschwindigkeiten bei Zerlegung der Bewegung Geschwindigkeiten zweier Punkte A und B eines starren Körper: vB vA vBA Translation von Punkt B Translation von Punkt A Drehung von Punkt B um Punkt (Pol) A Durch zeitliche Ableitung folgt für die Beschleunigungen: aB aA aBA Translation von Punkt B Translation von Punkt A Drehung von Punkt B um Punkt (Pol) A Die Beschleunigung aBA hat zwei Komponenten: tangential normal at an 2 Drehpol (Momentanpol) Die allgemeine Bewegung eines Körpers kann als reine Drehung ohne Translation dargestellt werden, wenn die Drehung um den Drehpol erfolgt. Der Drehpol kann während der Bewegung seinen Ort ändern. Der momentane Drehpol eines Körpers mit den Punkten A und B ergibt sich als Schnittpunkt der Senkrechten auf den Geschwindigkeitsvektoren vA und vB in den Punkten A und B. Winkelgeschwindigkeit der Körperdrehung und die Geschwindigkeiten der Punkte A und B sind verknüpft: Körper v v A B AP BP Beispiel: Beim abrollenden Rad ist der Auflagepunkt der momentane Drehpol. Rotierendes Führungssystem (Index f): Beschleunigung des Führungssystems : af a ft tangential r Beschleunigung des Körpers: a fn normal r 2 a af arel aCoriolis 2 v rel - 10 - P AP BP A vA B vB 5. Dynamisches Grundgesetz Nach Newton (1642-1727) Definition 1 Menge der Materie = Masse = Dichte x Volumen Definition 2 Bewegungsgröße = Impuls = Masse x Geschwindigkeit m V p m v Definition 3 Masse besitzt Widerstandsvermögen gegen Änderung ihrer Bewegung (Trägheit) Definition 4 Auf einen Körper einwirkende Kraft ist das Bestreben, seine Bewegung zu ändern. Axiom 1 Jeder Körper verharrt in seinem Zustand der gleichförmigen, geradlinigen Bewegung, wenn er nicht durch einwirkende Kräfte gezwungen wird, diesen Zustand zu ändern. F 0 v const Axiom 2 Die Änderung der Bewegungsgröße eines Körpers ist der Einwirkung einer Kraft proportional. Die Änderung erfolgt in der Richtung der einwirkenden Kraft. p F Axiom 3 Die Wirkung ist stets der Gegenwirkung gleich, oder die Wirkung zweier Körper aufeinander ist stets gleich und von gesetzter Richtung. entgegen F' F Dynamisches Grundgesetz Die zeitliche Änderung der translatorischen Bewegungsgröße m v ist gleich der einwirkenden Kraft, die diese Änderung verursacht. dm d dv m v F m v dt t t d d bei starrem Körper bei kontinuier lichem Strom Analog gilt bei der Drehbewegung, dass die zeitliche Änderung des Dralls gleich dem einwirkenden Drehmoment ist, das diese Änderung verursacht. Mit der Tangentialgeschwindigkeit v ergibt sich: dv d dm M F r m v r m r v r dt d t d t bei starrem Körper In vektorieller Form geschrieben: d dv r m v r m M r F dt d t bei starrem Körper bei kontinuierlichem Strom dm r v d t bei kontinuierlichem Strom Korrespondenz von Größen lineare Bewegung (Schiebung) drehende Bewegung (Rotation) F Kraft M (Dreh-) Moment m Masse J Massenträgheitsmoment a Beschleunigung Winkelbeschleunigung - 11 - d’Alembertsches Prinzip (ausführlicher behandelt Kapitel 7) Dieses lautet in einer für die Vorlesung Dynamik vereinfachten Version: Durch Einführung von Trägheitskräften können dynamische Probleme auf statische zurückgeführt werden. F m a 0 M J 0 Energiesatz Die zur Geschwindigkeitsänderung einer Masse aufgewendete bzw. gewonnene Arbeit verändert die Energie einer Masse. Mit Index 1 für den Anfangszustand und Index 2 für den Endzustand ergibt sich: 2 2 2 F ds m a ds m v dv 21 m v 22 v 12 1 1 1 - 12 - 6. Impuls und Drall 6.1 Translation Dynamisches Grundgesetz Kraftstoß Impulssatz d v F (m v ) m a m dt F dt F dt m v oder 2 m v 2 m v 1 F dt 1 Index 1 kennzeichnet den Anfangszustand, Index 2 den Endzustand. Ein Impuls (Kraftstoß) bewirkt eine Änderung der Bewegungsgröße (des Impulses). Impulserhaltungssatz mi vi 2 mi vi1 Endzustand Ausgangszustand Stoß zweier Körper Berührungsebene mit Berührungspunkt Stoßlinie Verbindungslinie der Schwerpunkte - Beim Stoß berühren sich die Körper (zu Beginn des Stoßes) im so genannten Berührungspunkt. - Die Berührungsebene ist die Tangentialfläche an die Körperoberflächen im Berührungspunkt. - Die Stoßlinie ist die Wirkungslinie der beim Stoß auftretenden Kräfte. Sie steht senkrecht zur Berührungsebene. - Ein Stoß ist zentrisch, wenn a) der Berührungspunkt auf der Verbindungslinie der beiden Schwerpunkte liegt und b) die Berührungsebene senkrecht zur Verbindungslinie ist. Beim zentrischen Stoß liegen die auftretenden Kräfte auf der Verbindungslinie der Schwerpunkte. - Ein Stoß ist gerade, wenn die Geschwindigkeitsvektoren der Schwerpunkte in der Stoßlinie (Gerade durch Schwerpunkte und Berührungspunkt) liegen. Stoßmittelpunkt Stoßmittelpunkt ist der Punkt, auf dem beim Stoß keine Kraft übertragen wird. Er ist der momentane Drehpol. Impuls-Erhaltungs-Satz: (beim linearen Stoß) Bewegungsgröße = Bewegungsgröße (Impuls) nachher (Impuls) vorher m v2 m v1 + Wirkung des Kraftstoßes 2 F dt Während des linearen Stoßes ändert sich die Bewegungsgröße bei Annäherung Deformation (Verformung): Kompressionsperiode bei Entfernung Restitution (Rückbildung): Dekompressionsperiode: linearer Stoß zweier Körper A und B Index A: Körper A, Index B: Körper B Index 1: vorher, Index 2: nachher - 13 - 1 F dt K dt Geschwindigkeit des Schwerpunktes: v SP mA v A1 mB v B1 mA v A2 mB v B2 mA mB mA mB Stoßzahl k ist Maß für Elastizität, Definition: k k Es gilt: k=1 0<k<1 k=0 K dt F dt (voll)elastisch teilelastisch plastisch vB2 v A2 v v A2 v v SP SP B2 v vB1 v v SP v vB1 A1 A1 SP beide Körper nur Körper A nur Körper B Geschwindigkeiten nach dem linearen Stoß zweier Körper A und B mit den Anfangsgeschwindigkeiten vA1 und vB1: v A2 (m A / mB k ) v A1 (1 k ) v B1 m A / mB 1 v B2 (1 k ) v A1 (mB / mA k ) v B1 mB / mA 1 Drehstoß Beim elastischen und teilelastischen Drehstoß gelten die obigen Formeln für den linearen Stoß, wenn in den Formeln die Geschwindigkeiten v durch die Winkelgeschwindigkeiten ersetzt werden. Vorschubkraft bei einem Strahltriebwerk Geschwindigkeit des Flugzeuges: u Ausströmgeschw. relativ zum Flugzeug: v Index L: Luft Index B: Benzin Vorschubkraft (kurz: Schub): Schiefe Ebene Gewichtskraft: Hangabtriebskraft: Normalkraft: Reibungskraft: m L m B u v L u m L m B u v m L u F m FG = m g FH = m g sin FN = m g cos FR = FN FH FN FG - 14 - 6.1 Rotation Massenträgheitsmoment eines starren Körpers, der sich um eine Achse dreht: J r 2 dm wobei r der Abstand des Massenelements dm von der Achse ist Berechnung den Massenträgheitsmoments über die Fläche des Körpers: das Massenelement lässt sich aus dem Flächenelement berechnen: dm s dA Dichte Dicke Massenträgheitsmomente einiger einfacher Körper In allen Fällen ist angenommen, dass die Drehachse durch den Schwerpunkt des Körpers geht (gekennzeichnet durch den Index S). - allgemeine Definition des Massenträgheitsmoments: N J ri2 mi r 2dm i 1 - Hohlzylinder, dünnwandig (Rohr): JS m r 2 - Hohlzylinder, dickwandig (Stab): m = (ra2-ri2) h JS 1 2 m (ra2 ri2 ) - Vollzylinder, Scheibe: m = r2 h JS 1 2 mr2 - Vollkugel: JS 2 5 mr2 - Hohlkugel, dünnwandig: m = 4 r2 s (Wanddicke s) JS 2 3 mr2 - Scheibe (Drehachse liegt in der Scheibe) m = r2s (Dicke s) JS 1 4 mr2 - Stab: dünn: Länge , Breite b = 0 1 m 2 b2 J S 12 m = /3 r 4 3 dicker: Länge , Breite b > 0 - Dreieck mit Seiten a,b,c: (Drehachse senkrecht zur Fläche) - gleichseitiges Dreieck Seitenlänge , Höhe h, (Drehachse senkrecht zur Fläche) - Vollkegel (senkr. Kreiskegel): Bodenradius r, Höhe h (Drehachse = Symmetrieachse) m = /3 r2 h r r JS 1 36 3 mr2 J S 10 1 9 b m (a 2 b 2 c 2 ) 1 m 2 J S 12 - 15 - a m h2 r b c h Steinerscher Satz dient zur Berechnung des Massenträgheitsmoments JA eines Körpers der Masse m bezüglich einer Achse A , wenn das Massenträgheitsmoment JS bezüglich der dazu parallelen Schwerpunktachse im Abstand rs bekannt ist: J A JS rs2 m A J xy J xy x S y S m rS Das bedeutet, dass die Drehung des Körpers um die Achse A gleichwertig ist zur einer gleichzeitigen Drehung des Körpers um seinen Schwerpunkt und eine Drehung des Schwerpunktes um die Achse. S J m Trägheitsradius i reduzierte Masse (Achsabstand r) mred J r2 Massenträgheitsmomente eines starren Körpers bezüglich eines xyz-Koordinatensystems bezüglich der x-, y- und z-Achse Zentrifugal- bzw. Deviationsmomente Drehung um x-Achse: J x Drehung um x-Achse: J y Drehung um x-Achse: J z y z dm 2 2 x z dm 2 2 x y dm 2 J xy 2 J yz J xz xy dm yz dm xz dm Beispiel für die verschiedenen Massenträgheitsmomente eines Körpers dünner Stab der Länge liegt in der x-y-Ebene die z-Koordinate des Körpers ist immer gleich 0 y y x x y Drehung um x-Achse J x 0 weil y = 0 x 1 m 2 J x 12 y Drehung um y-Achse m 2 sin2 1 m 2 J y 12 x 1 m 2 J y 12 Deviationsmoment 1 12 J xy 0 weil y = 0 Wenn Jxy = 0, dann liegt die Symmetrieachse des Körpers auf einer Achse des Koordinatensystems - 16 - 1 12 m 2 cos 2 J xy xy dm x x tan dm tan x 2 dm tan J y Hauptachsen Ein starrer Körper hat drei zueinander senkrecht stehende Hauptachsen, deren Schnittpunkt im Schwerpunkt liegt. Für eine Hauptachse wird das Trägheitsmoment maximal, für eine andere minimal. Bei einem flachen Körper gilt für die Hauptachsen: Die Achse (z-Achse), bei der das Trägheitsmoment des Körpers maximal ist, steht senkrecht auf der Körperebene. Die beiden anderen Achsen liegen in der Körperebene. Es seien x und y die beiden Achsen, die in beliebiger Orientierung in der Körperebene liegen. Dann kann man diese beiden Achsen in der Ebene so um einen Winkel drehen, dass für eine dieser Achsen das Trägheitsmoment maximal und für die andere minimal wird. Der Drehwinkel ergibt sich aus den Trägheitsmomenten Jx, Jy und Jxy berechnet im Ausgangssystem zu: 2 J xy tan 2 Jy Jx Das Trägheitsmoment bezüglich der gedrehten Achsen in der Ebene errechnet sich zu: J max min 1 Jy Jx 2 1 2 J y Jx 2 2 J xy 2 Vergleich von Größen bei Schiebung und bei Drehung Schiebung (Translation) Ortskoordinate Geschwindigkeit Beschleunigung Kraft Masse Bewegungsgröße Impuls s v a F m mv F dt Drehung (Rotation) Winkel Winkelgeschwindigkeit Winkelbeschleunigung (Dreh-)Moment Massenträgheitsmoment Drall Drehimpuls - 17 - M J J M dt dD M dt Änderung des Dralls D bei angreifendem Drehmoment M: Drallsatz: Die zeitliche Änderung des Dralls D ist gleich dem Moment M , das diese Änderungen hervorruft. Ohne äußeres Moment (M = 0), z.B. bei freiem System, ist D konstant. Drall-Erhaltungs-Satz: (z.B. beim Drehstoß) Drall nachher J 2 = Drall vorher J 1 = + + Wirkung des Drehimpulses 2 M dt 1 Drall einer Punktmasse bei linearer Bewegung: b mv D = bvm Zwei über Zahnräder gekoppelte Rotoren I und II Massenträgheitsmoment beider Rotoren reduziert auf Rotor I (i: Übersetzungsverhältnis) 2 JI red JI JII 1 JI JII i 2 2 Stoßmittelpunkt Bei einem exzentrischen Stoß ist der Stoßmittelpunkt P der Punkt, auf den keine Kraft übertragen wird. Das ist der momentane Drehpol. Erfolgt der Stoß mit senkrechtem Abstand s vom Schwerpunkt S, so liegt der Stoßmittelpunkt im Abstand e = JS/(m·s) vom Schwerpunkt auf der Normalen zur Stoßlinie, die durch den Schwerpunkt geht. e s P S Präzession Greift an einen schnell drehenden Kreisel, der den Drall D hat, ein Moment M an, so kommt es zu einer Präzession mit der Winkelgeschwindigkeit P . Es gilt: M P D J P Ein Kreisel weicht bei Einwirkung einer Kraft immer senkrecht zu der Richtung aus, die die Statik erwarten lässt. Die Ausweichrichtung ergibt sich nach der Merkregel "Kreiselachse jagt Momentenvektor". Erzwungene Präzession Die Kreiselachse wird durch einen äußeren Einfluss im Raum mit der Winkelgeschwindigkeit P gedreht. Die Trägheitskräfte des Kreisels erzeugen dann das Kreiselmoment MK: M K J P D P - 18 - 7. Prinzip von d'Alembert Nach Newton gibt es Kräfte und Drehmomente m F Die an einer Masse m angreifende äußere Kraft F bewirkt eine Beschleunigung a F m a Das an einem Körper (Trägheitsmoment J) angreifende äußere Drehmoment M bewirkt eine Winkelbeschleunigung . M J Einführung von Scheinkraft und Scheinmoment FTr F m Die an einer Masse m angreifende äußere Kraft F bewirkt eine Trägheitskraft FTr des Körpers. Damit herrscht ein Gleichgewicht aller Kräfte, d.h., die Summe aller Kräfte ist Null. F ma 0 Das an einem Körper (Trägheitsmoment J) angreifende äußere Drehmoment M bewirkt ein Trägheitsmoment. Damit herrscht Gleichgewicht aller Momente, d.h., die Summe aller Drehmomente ist Null. M Trägheitskraft J 0 Trägheitsmoment Der d'Alembertsche Ansatz liefert eine elegante Formulierung der Kinetik. In vereinfachter Version dieses Ansatzes werden Kräfte und Momenten eingeführt, die aus dem Widerstand eines Körpers resultieren, also aus seiner Trägheit, seine Bewegung zu ändern. F m a vom Körper erzeugte Trägheitskraft: F m a aufzubringende Kraft, um Körper mit a zu beschleunigen: vom Körper erzeugtes Trägheitsmoment: M J S aufzubringendes Moment, um Körper mit zu beschleunigen: M JS Prinzip von d'Alembert: Unter Benutzung von Trägheitskräften und Trägheitsmomenten lässt sich der momentane Zustand eines Körpers so schreiben, dass die Summen der Kräfte und der Momente Null sind: F0 M0 - 19 - Koordinatensysteme kartesisch (x- und y-Richtung) polar (radial und azimuthal) natürlich (normal und tangential) Fx m ax 0 Fr m ar 0 Fn m an 0 Normalkraft = Zentrifugalkraft = Fliehkraft Coriolis-Beschleunigung und -Kraft Fy m ay 0 F m a 0 Ft m at 0 v2 mr 2 r acor 2 v rel Fcor m acor 2 m v rel Z m Drehung um eine Hauptachse Der Schwerpunkt ist in Ruhe, die Resultierende aller Kräfte ist Null. Die wirkenden Kräfte lassen sich zu einem Kräftepaar (Moment) zusammenfassen, das die beschleunigte Drehung verursacht. Drehung um eine zur Hauptachse parallele Achse Die Trägheitsreaktionen werden auf die Schwerpunktachse bezogen. Die Trägheitskraft ergibt sich aus der Schwerpunktbeschleunigung m aS . Das Trägheitskräftepaar ergibt sich aus dem auf die Schwerpunktachse bezogenen Trägheitsmoment JS Drehung um eine Achse beliebige Die Vektoren M und sind nicht kollinear. Bei einer Drehung um die y-Achse hat der Momentenvektor folgende Komponenten: M x J xy J yz 2 My J y M z J xy 2 J yz Die umlaufenden Momente Mx und My belasten die Lager zusätzlich. Sie verschwinden, wenn die Zentrifugalmomente Null werden. Das ist bei einer Hauptachse der Fall (erreichbar durch dynamisches Auswuchten). - 20 - 8. Energie Arbeit bei Translation: W Arbeit bei Rotation: W Arbeit bei Deformation: W Leistung allgemein: P Leistung bei Translation: P Leistung bei Rotation: P Leistung bei beschleunigter Translation: P 2 F ds 2 M d 1 1 1 c s 22 s12 2 dW dt F v M ma v J (c F Federkonstante) s Leistung bei beschleunigter Rotation: P Energie: Energie ist das Vermögen, Arbeit zu verrichten potentielle Energie: Epot m g h kinetische Energie der Translation: E kin 1 m v 2 kinetische Energie der Rotation: Ekin 1 J 2 2 2 elastische Energie bei Deformation: lineare Feder: E el 1 c s 2 Torsionsfeder Eel Druckenergie: 2 1 2 cT 2 EDr p V Energiesatz: In einem abgeschlossenen System ist die Summe aller vorhandenen Energien konstant. 1 v2 2 Bernoulli-Gleichung: g h p SchwereDruck statischer Druck dynamischer Druck const kinetische Energie eines starren Körpers: Translatio nsenergie Rotationse nergie 1 m v S2 1 J S 2 Ekin 2 2 des Schwerpunk tes um Schwerpunk t Rotationse nergie um Ekin momentanen Drehpol M 1 2 JM 2 - 21 - 9. Mechanische Schwingungen 9.1 ungedämpfte Schwingungen Eine Schwingung basiert auf dem Gleichgewicht von Trägheitskraft bzw. Trägheitsmoment eines bewegten Körpers und Rückstellkraft bzw. Rückstellmoment zur Ruhelage hin. Die Rückstellung kann durch Schwerkraft oder federelastische Kraft erfolgen. Differentialgleichung der ungedämpften harmonischen Schwingung mit einem Freiheitsgrad. lineare Schwingung Drehschwingung eines Körpers einer Masse m, mit Trägheitsmoment JA, die an einer Feder mit der an Torsionsfeder mit Federkonstante c befestigt ist: Federkonstante cT befestigt ist: Differentialgleichung m y c y 0 J A c T 0 mit Systemgrößen y 02 y 0 Differentialgleichung in Parameterdarstellung Eigenkreisfrequenz des ungedämpften Systems 0 c m y y 0 e t sin dt 0 Lösung der Differentialgleichung 02 0 0 cT JA 0 e t sin dt 0 Eigenkreisfrequenz: 0 Eigenfrequenz: Periodendauer: 1 0 T 2 1 2 T f0 0 f0 Maximalwerte: bei linearer Schwingung bei Drehschwingung maximale Auslenkung (Amplitude): y0 0 max. Geschw. beim Null-Durchgang: v max y 0 0 max 0 0 max. Beschleunigung im Umkehrpunkt: amax y 0 02 max 0 02 Rückstell- bzw. Kippmoment durch Schwerkraft (s = Abstand Schwerpunkt – Drehachse): Das Drehmoment M durch die Schwerkraft ist M = m g s sin A s s S FG Der momentane Auslenkungswinkel kann als Summe aus dem Auslenkungswinkel 0 in der Ruhelage und dem Auslenkungswinkel . der Schwingung geschrieben werden, also 0 + . Im Folgenden wird immer die Näherung gemacht, dass sehr klein ist. a) Im einfachsten Fall ist in der Ruhelage 0 = 0. Dann ergibt sich: M m g s und cT = M / m g s Im Fall, dass 0 0, erhält man für das Drehmoment: M m g s (sin+ cos konstantes Drehmoment in der Ruhelage vom momentanen Auslenkwinkel abhängiges Drehmoment Damit ergibt sich für das bei einer Schwingung relevante Rückstell- bzw. Kippmoment (positiv, wenn S unterhalb A, negativ, wenn S oberhalb A) cT rückstellendes Drehmoment m g s cos 0 Auslenkwin kel - 22 - Rückstellung durch federelastische Kräfte Federkonstante: Definition: Wirkt auf ein Federelement eine Kraft F, so bewirkt diese eine Längenänderung s. Das Verhältnis von F und s wird als Federkonstante c bezeichnet. Federelemente: F Feder c F s c Federkonstante F wirkende Kraft s Längenänderung c EA E A Elastizitätsmodul Querschnittsfläche Länge E I Elastizitätsmodul Flächenträgheitsmoment, bei Rundstab: I = /4 r 4 bei Rechteckstab: I = 1/12 b h3 Länge s s F Stab, Seil s Biegefeder, am Ende belastet F c 3 EI 3 s Biegebalken, mittig belastet F c 48 E I EI 3 Feder, schräg angreifend c ef f c cos2 F s Elastizitätsmodul Flächenträgheitsmoment wie bei Biegefeder Länge ceff wirksame Federkonstante c Federkonstante der Feder Winkel zwischen Richtung der Federkraft und der Bewegungsrichtung Parallel- und Serienschaltung von Federn Parallelschaltung c ef f c1 c 2 ceff wirksame Federkonstante (Addition von Kräften) allgemein: c1 Federkonstante Feder 1 c2 Federkonstante Feder 2 c ef f Serienschaltung (Addition von Wegen) c i 1 1 1 c ef f c1 c 2 ceff wirksame Federkonstante c1 Federkonstante Feder 1 allgemein: 1 1 c ef f ci c2 Federkonstante Feder 2 Rückstellmoment um Achse A, erzeugt durch die Kraft F einer linearen Feder mit Federkonstanten c, die an einem Hebel mit Kraftarm r angreift. A F Winkel zwischen Kraftrichtung (blau) und Hebelarm (schwarz) Winkel zwischen Kraftrichtung (blau) und Bewegungsrichtung (rot) cT rückstellendes Drehmoment c r 2 cos2 c r 2 sin2 Auslenkwin kel - 23 - Beispiel: mathematisches Pendel mit punktförmiger Masse Pendellänge Massenträgheitsmoment J A m 2 Eigenkreisfrequenz f 1 2 g Periodendauer T 2 g Beispiel: physikalisches Pendel mit rückstellender Feder und Dämpfer A Achse der Pendeldrehung S Schwerpunkt des Körpers s Abstand Schwerpunkt-Drehachse: s > 0, wenn Achse oberhalb des Schwerpunktes s < 0, wenn Achse unterhalb des Schwerpunktes Angriffspunkt der Feder Angriffspunkt des Dämpfers Abstand Schwerpunkt – Kraftangriffspunkt Federkonstante Dämpfungskonstante Winkel zwischen Radius r und Kraftrichtung F D r c b Index F Index D bezogen auf Feder bezogen auf Dämpfer A rD s S rF D F F D Eigenkreisfrequenz f 1 ungedämpft 2 Periodendauer ungedämpft T 2 mgs cr 2 sin2 F J s ms 2 J s ms 2 mgs cr 2 sin2 F Hinweis: Die Dämpfungskonstante bT der Drehung (siehe Kapitel 9.2) errechnet sich analog zur entsprechenden Federgröße der Drehung zu bT = b rF2 sin2 F2. - 24 - 9.2 gedämpfte Schwingungen Es wird angenommen, dass die Dämpfung proportional zur Geschwindigkeit ist. Differentialgleichung mit Systemgrößen Differentialgleichung in Parameterdarstellung lineare Schwingung Drehschwingung m y b y c y 0 J A bT c T 0 y 2 0 y 02 y 0 2 0 02 0 Eigenkreisfrequenz des ungedämpften Systems Dämpfungskonstante c m 0 b 0 Dämpfungsk raft FD Geschwindi gkeit y b kg s N m/s bT cT JA Dämpfungsm oment Winkelgesc hwindigkei t bT MD br2 bT Nm 1/s Abklingkonstante Dämpfungsgrad = Lehrsches Dämpfungsmaß 1 b 2m s 0 bT 2 JA 1 s 1 =0 ungedämpfte Schwingung > 0 …<1 schwach gedämpfte Schwingung =1 kritisch gedämpfte Schwingung, aperiodischer Grenzfall Kriechfall >1 Kreisfrequenz der gedämpften Schwingung Lösung der Differentialgleichung logarithmisches Dekrement d 02 2 0 y y 0 e t sin dt 0 1 2 0 e t sin dt 0 t y t 2 ln y t Td t Td 1 2 ln - 25 - 9.3 erzwungene Schwingungen Erregung Wegerregung (periodische Auslenkung mit Amplitude r greift über Feder an) Massenkrafterregung (Unwuchtmasse me schwingt periodisch mit Amplitude e) Dämpfungsgrad Amplitude der schwingenden Masse m A V1 r V1 Vergrößerungsfaktor V1 Kurven V gegen V1 schwarz: = 0 blau: = 1/3 rot: = 1 Fe c 1 (1 2 ) 2 2 2 4 Amplitude bei kleiner Dämpfung und Resonanz ( =1) Belastungskraft V3 me e m A V2 y 0 2 (1 2 ) 2 2 2 4 V2 V2 V3 3 3 2 2 2 1 1 1 0 0 1 2 arctan R 3 2 2 1 2 0 2 1 arctan 2 1 2 3 1 2 2 (1 2 ) 2 2 2 4 3 0 Abstimmungsverhältnis bei Amplitudenresonanz Erregerfrequenz e Eigenfrequ enz 0 A V3 0 Phasenwinkel zwischen Anregung und Masse 0 Abstimmungsverhältnis Stützenerregung (periodische Auslenkung mit Amplitude y0 greift an Feder und Dämpfer an) 0 1 arctan 2 3 2 3 1 2 2 2 1 22 AR r 2 am Aufhängepunkt der Feder F m r e2 V1 Biegekritische Drehzahl (bei Laval-Welle): AR e me 2 m auf das Fundament F me e e2 V3 nK - 26 - 1 2 c m AR y 0 1 4 2 2 10. Mathematischer Anhang Berechnung eines beliebigen Dreiecks: Ein beliebiges Dreieck hat 6 Parameter: 3 Seitenlängen und 3 Winkel. Es lassen sich alle Parameter berechnen, wenn 3 Parameter bekannt sind, von denen mindestens einer eine Seitenlänge ist. Zur Berechung dienen folgenden Sätze: Sinussatz: a b c sin sin sin Kosinussatz: a2 b2 c 2 2 b c cos b2 a2 c 2 2 a c cos c 2 a2 b2 2 a b cos Einige Ableitungen: Einige Integrale: Funktion y(x) Ableitung y'(x) Integral c 0 xm m xm-1 x dx dx x a dx ax b dx c x x sin cx 2 x c cos cx cos cx -c sin cx tan x 1 + tan2 x = cos-2 x cot x - ex ex ax ax · ln(a) ln x x -1 arccos x x 2 e 1 x 2 cx dx sin cx 1 arcsin x x n 1 n 1 n 1 sin-2 Lösung cos cx 1 ln x ln ax b 2 arcsin x c 1 cx e c 1 cos cx c 1 sin cx c 1 x 2 1 arctan x 1 x arccot x weitere Integrale siehe z.B.: http://www.wikibooks.de Formelsammlung Mathematik Analysis unbestimmte Integrale 2 1 1 x 2 - 27 - - 28 -
