Material zur Vorlesung Mechanik 3: Dynamik - Benutzer

Prof. Dr. Wolfgang Jitschin
formeln-tm3-v16.doc, 30.3.2012
Material zur Vorlesung Mechanik 3: Dynamik
Literaturverzeichnis:
- W. Jitschin: Material zur Vorlesung Technische Mechanik 3: Dynamik
http://homepages.thm.de/jitschin
- W. Jitschin: Physik für Ingenieure in Formeln und Tabellen
beim Autor erhältlich
- B. Assmann und P. Selke: Technische Mechanik Band 3: Kinematik und Kinetik
München: Oldenbourg Verlag, 14. Auflage 2007
- B. Assmann und P. Selke: Aufgaben zur Kinematik und Kinetik
München: Oldenbourg Verlag, 10. Auflage 2008
- R.C. Hibbeler: Technische Mechanik 3: Dynamik
München: Pearson Studium, 10. Auflage 2006
- D. Gross, W. Hauger, W. Schnell und J. Schröder: Technische Mechanik, Bd. 3: Kinetik
Berlin: Springer-Verlag, 2004
- D. Gross, W. Ehlers und P. Wriggers: Formeln und Aufgaben zur Technischen Mechanik 3
Berlin: Springer-Verlag, 2005
Inhalt der vorliegenden Datei
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Nützliche Maschinen
Eindimensionale Bewegung eines Punktes
Beliebige Bewegung eines Punktes in der Ebene
Bewegung des starren Körpers in der Ebene
Dynamisches Grundgesetz
Impuls und Drall
Prinzip von d'Alembert
Energie
Mechanische Schwingungen
Mathematische Formeln
Viel Nützliches aus der Vorlesung Physik
steht in der separaten Datei: "Formeln-Physik-TM3.doc"
2 Mechanik
2.1 Kinematik der geradlinigen Bewegung
Geschwindigkeit, Beschleunigung, Würfe
2.2 Kinematik der Drehbewegung
2.3 Dynamik der geradlinigen Bewegung
Newtonsche Axiome, schiefe Ebene, Reibung, Stöße
2.4 Dynamik der Drehbewegung
Massenträgheitsmoment, Corioliskraft, Präzession
2.5 Arbeit, Energie, Leistung
2.7 Mechanik der Flüssigkeiten und Gase
3 Schwingungen
3.1 Begriffe
3.2 ungedämpfte elastische Sinusschwingung
Federschwingung, Flüssigkeitsschwingung
Drehschwingung, Pendel, elektrischer Schwingkreis
3.3 Viskos gedämpfte Schwingung
3.4 Erzwungene Schwingung
-1-
1. Nützliche Maschinen
schiefe Ebene
Steigung
= tanϕ
ϕ
Rad oder Walze
Momentanpol
einfacher Flaschenzug
m
m
m
m
Stufenrolle oder abgesetzte Rolle
gekoppelte Rotoren (Getriebe)
n_treibendes Rad
i = —————————
n_ getriebenes Rad
Normalkraft
Reibungskraft
Hangabtriebskraft
Beschleunigung
FN = m g cos ϕ
FR = µ m g cos ϕ
FH = m g sin ϕ
a = g (sin ϕ − µ cos ϕ)
Der Momentanpol des abrollenden Rades
ist der Auflagepunkt
Ist eine Masse an der Rolle befestigt (links),
so ist die Seilkraft verglichen zur Kraft,
die direkt auf die Masse wirkt (rechts),
½ so groß im Fall einer statischen Kraft und
¼ so groß im Fall einer Trägheitskraft.
Drehmomentverhältnis
M1
r
= 1
M2 r2
i < 1: Übersetzung, i > 1: Untersetzung
Drehzahlverhältnis
n1/n2 = 1/i
Drehmomentverhältnis
M1/M2 = i
Trägheitsmoment J1 wirkend auf 2: Jeff = J1 / i2
Planetengetriebe
Planetenrad
Sonnenrad
tan ϕ = y / x
l 2 = x2 + y2
y vy = - x vx
beidseitig geführter Stab
y
ϕ
l
x
Schubkurbel oder Kurbeltrieb
Kurbel
r
ϕ
Pleuel
l
x
Kolben
wenn Drehung gleichmäßig mit ϕ = ω t erfolgt und
Näherung bis 1. Ordnung in λ = r/l gemacht wird,
dann ist x = r (1 – cos ϕ + ½λ sin2 ϕ)
vx = rω (sin ϕ + ½λ sin 2ϕ)
ax = rω 2 (cos ϕ + λ cos 2ϕ)
Kreuzschubgetriebe
x = b tan ϕ
Kurbelschleife
x
b ϕ
wenn die Drehung gleichförmig mit ϕ = ω t
erfolgt, dann gilt x& = b ω / cos 2 ωt
-2-
2. Eindimensionale Bewegung eines Punktes
2.1
Definitionen
s
Ortskoordinate
[s] = m
v
Geschwindigkeit
[v] = m/s
a
Beschleunigung
[a] = m/s2
r
Ruck
[r] = m/s3
s ist der momentane Ort des Punktes,
nicht die zurückgelegte Wegstrecke
ds &
v=
=s
dt
dv
a=
= v& = s&&
dt
da &
r =
= a = v&& = &s&&
dt
Haben s und v gleiches Vorzeichen, dann geht die Bewegung weg vom Ursprung,
d.h. der Betrag der Ortskoordinate wird größer.
Haben v und a gleiches Vorzeichen, dann wird die Bewegung schneller,
d.h. der Betrag der Geschwindigkeit wird größer.
2.2
Differentieller Zusammenhang
v dv = a d s
2.3
Integrale Änderungen von W eggrößen
funktionaler Verlauf
Index 1: Anfangspunkt, Index 2: Endpunkt
t2
∆s = s 2 − s1 =
v ( t ) dt
t1
Index 1: Anfangspunkt, kein Index: Variable
t
s(t ) = s1 +
v ( t ) dt
t1
∫
∆v = v 2 − v1 =
( )
t2
∫t
∫
v (t ) = v 1 +
a(t ) dt
1
∫
s2
v2
∫v
1
∫t
a(t ) dt
1
∫
∆ v 2 = v 22 − v12 = 2
a(s ) ds
s1
∆t = t 2 − t1 = 2
t
s
v 2 (s ) = v12 + 2
a(s ) ds
s1
dv
a(v )
t (v ) = t 1 + 2
-3-
∫
v
dv
v 1 a(v )
2.4
2.4.1
Spezielle Bewegungen
gleichförmige Bewegung: (v = konstant)
s(t ) = s 0 + v 0 t
s: Ort zum Zeitpunkt t
s0: Ort zum Zeitpunkt t = 0
v (t ) = v 0
a(t ) = 0
2.4.2
gleichmäßig beschleunigte Bewegung: (a = konstant)
allgemeiner Fall:
s: Ort zum Zeitpunkt t
s0: Ort zum Zeitpunkt t = 0
v0: Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 0
v: Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t
s = s0 + v 0t +
1 v 2 − v 02
a=
2 s − s0
1
2
v =
a=
Spezialfall:
Bremsvorgang aus Anfangsgeschwindigkeit
v0 bei s0=0 mit gleichmäßiger Verzögerung
sB: Bremsweg
Spezialfall:
Freier Fall mit Anfangsgeschwindigkeit Null
h: Fallstrecke
t: Fallzeit
v: Fallgeschwindigkeit
Spezialfall: senkrechter Wurf:
v: Geschwindigkeit
h: Höhe über Abwurfpunkt
hmax: maximale Wurfhöhe
(bei Wurf nach oben)
in den Formeln gilt das + Zeichen
beim Wurf nach oben und das - Zeichen
beim Wurf nach unten
-4-
v 2 − v 02
= s0 +
2a
v = v 0 + at
s=
Spezialfall:
Ort und Geschwindigkeit
zu Beginn sind Null (s0 = 0, v0=0)
v : mittlere Geschwindigkeit
1
at 2
2
at 2
2sa =
2s
= 2v
t
v 2 2s
=
2s t 2
s B = 12 v 0 t B = − 21
h=
1
2
v 02
a
g t2
t = 2h g
h
v = 2gh
v = v 0 ± gt = v 02 ± 2gh
h = v 0t ±
hmax
1
2
v 02
=
g
1
2
gt 2
h
2.4.3
Überlagerung von gleichförmiger und gleichmäßig beschleunigter Bewegung
Spezialfall: waagerechter Wurf:
horizontal x: gleichförmige Bewegung
vertikal y: gleichmäßig beschl. Bewegung
Wurfweite: s
x(t ) = v 0 t
y (t ) =
1
2
s = v0
Spezialfall: schräger/schiefer Wurf
horizontal x: gleichförmige Bewegung
vertikal y: gleichmäßig beschl. Bewegung
Bahnkurve: Wurfparabel y(x)
g ⋅t2
2h
g
x(t ) = v 0 t cos ϕ
v x (t ) = v 0 cos ϕ
y (t ) = v 0 t ⋅ sin φ − 12 gt 2
v y (t ) = v 0 sin ϕ − gt
gx 2
y ( x ) = x tan ϕ −
mit Abwurf- und Auftreffpunkt
auf gleicher Höhe:
2v 02 cos 2 ϕ
v 02
h=
⋅ sin2 ϕ
2⋅g
t =
2 ⋅ v 0 ⋅ sin ϕ
g
v 02
s=
⋅ sin(2 ⋅ ϕ )
g
maximale Wurfhöhe h
Wurfdauer t
horizontale Wurfweite s
Spezialfall: schräger / schiefer Wurf,
Abwurfpunkt um h0 höher als Auftreffpunkt
h = h0 +
v 02 sin 2 ϕ
2g
t = Steigzeit + Fallzeit
v sin ϕ
= 0
+
g
maximale Steighöhe h
Wurfdauer t
horizontale Wurfweite s
s = tv 0 cos ϕ
-5-
2
 v 0 sin ϕ 
2h

 + 0
g
 g

2.5 Herleitung der Bewegungsgleichungen
Aufgabe ist das Berechnen der Zeitabhängigkeit von Ort s(t), Geschwindigkeit v(t)
und Beschleunigung a(t) einer beliebigen Bewegung, wenn bestimmte Beziehungen
(im Folgenden als einzelne Fälle behandelt) gegeben sind.
Lösungskonzept für den Fall der eindimensionalen Bewegung
1. Schritt: Verstehen des Problems, Zeichnen einer Skizze kann hilfreich sein
2. Schritt: Ansatz für funktionalen Zusammenhang erkennen, z.B. a(s)
3. Schritt: Berechnen der analytischen zeitabhängigen Funktionen von
Ort s(t), Geschwindigkeit v(t) und Beschleunigung a(t) der Bewegung,
die Vorgehensweise ist fallspezifisch wie in der folgenden Tabelle gegeben
Lösungsgang (der Index 1 kennzeichnet den Anfangszustand)
Fall gegeben
1. Teilschritt
1
2
a(t)
v(t)
v (t ) = v1 +
∫
t
t1
t1
d v (t )
dt
d s(t )
dt
a(t ) =
d v (t )
dt
∫
v (t ) =
4
v(s)
t (s ) = t1 +
5
a(s)
v (s ) =
t
t1
∫
s
s1
ds
v (s )
∫
3. Teilschritt
s(t ) = s1 + v (t ) dt
a(t ) =
s(t)
a(v)
a(t ) dt
s(t ) = s1 + v (t ) dt
3
6
∫
t
2. Teilschritt
umstellen nach s(t)
weiter bei Fall 3
s
v 12 + 2 ds a(s ) weiter bei Fall 4
t (v ) = t1 +
s1
v
dv
v1 a(v )
∫
umstellen nach v(t)
weiter bei Fall 2
4. Schritt: Bestimmung der Konstanten aus den Randbedingungen
5. Schritt: Angabe der gesuchten numerischen Funktionen
6. Schritt: graphische Darstellung des Bewegungsablaufs
7. Schritt: Angabe sonstiger gesuchter Größen
2.6 Föppl-Klammer
Definition:
Ableitung:
Integral:
x −a
n
Beispiele zu Föppl:
für x < a
 0
= 
n
( x − a ) für x > a
d
n
n −1
x −a = n x −a
dx
1
n
n +1
+ C
∫ dx x − a = n + 1 x − a
-6-
x−a
0
x−a
1
x −a
2
a
x
a
x
a
x
3. Beliebige Bewegung eines Punktes in der Ebene
Kartesische Koordinaten
dx
= x&
dt
dy
=
= y&
dt
dv x
=
= v& x = x&&
dt
dv y
=
= v& y = y&&
dt
x-Geschwindigkeit
vx =
y-Geschwindigkeit
vy
x-Beschleunigung
ax
y-Beschleunigung
ay
Polarkoordinaten
Begriff „radial“:
Bewegung weg vom Ursprung
Begriffe „zirkular“ oder „Bahn“
Bewegung entlang des Kreises mit Radius r um Ursprung
radiale Geschwindigkeit
vr =
Bahn-Geschwindigkeit
v ϕ = r ⋅ ϕ& = r ⋅ ω
radiale Beschleunigung
ar =
dr &
=r
dt
r&&
− r ⋅ ϕ& 2
{
123
rein radial
Bahn-Beschleunigung
&r&
− r ⋅ω2
{
123
zentripetal
rein radial
zentripetal
r ⋅ ϕ&&
123
= 2 ω ⋅v r +
1
424
3
r ⋅α
{
rein Umfang
Coriolis
rein Umfang
aϕ = 2 ⋅ r& ⋅ ϕ& +
123
Coriolis
=
Natürliche Koordinaten
Begriff „tangential“
Begriff „normal“
in Bewegungsrichtung (Bahnrichtung)
senkrecht zur Bewegungsrichtung
Bahn-Geschwindigkeit
v ϕ = r ⋅ ϕ& = r ⋅ ω
normale Beschleunigung
an = r ⋅ ω 2 =
tangentiale Beschleunigung
at =
v2
r
dv
= v&
dt
Kreisbahn
r = konst
r& = 0
r&& = 0
-7-
4. Bewegung des starren Körpers in der Ebene
allgemeine Rotation
Winkel
ϕ
Anzahl der Umdrehungen
z=
Winkelgeschwindigkeit
ω = ϕ& = 2 π n
ω
n = z& =
2π
Drehzahl
ϕ
2π
Winkelbeschleunigung
α = ω& = ϕ&&
Weg
s=rϕ
Geschwindigkeit
v =r ω
tangentiale Beschleunigung
at = r α
normale Beschleunigung
an = r ω2
bei allgemeiner Drehbewegung gilt:
α dϕ = ω d ω
Spezialfall: gleichförmige Drehbewegung
α=0
ω = konst.
ϕ = ∫ ω dt = ω t +ϕ 0
Spezialfall: gleichmäßig beschleunigte Drehbewegung
α = konst.
ω = ∫ α dt = α t + ω0
ϕ = ∫ ω dt = 1 α t 2 + ω 0 t + ϕ 0
2
ferner gilt:
α ∫ dϕ = ∫ dω ω
und
α (ϕ 2 − ϕ1 ) =
1
2
(ω22 − ω12 )
Korrespondenz von Größen bei linearer und Dreh-Bewegung
lineare Bewegung
s Ort
v Geschwindigkeit
a Beschleunigung
lineare Größen bei
Drehbewegung
s=rϕ
v =r ω
at = r α (tangential)
an = r ω2 (normal)
-8-
Drehbewegung
ϕ Winkel
ω Winkelgeschwindigkeit
α Winkelbeschleunigung
Herleitung der Bewegungsgleichungen
Berechnen der Zeitabhängigkeit von Winkel ϕ(t), Winkelgeschwindigkeit ω (t) und
Winkelbeschleunigung α(t) einer beliebigen Bewegung, wenn bestimmte Beziehungen
(im Folgenden als einzelne Fälle behandelt) gegeben sind.
Lösungskonzept für den Fall der eindimensionalen Bewegung
1. Schritt: Verstehen des Problems, Zeichnen einer Skizze kann hilfreich sein
2. Schritt: Ansatz für funktionalen Zusammenhang erkennen, z.B. α(ω )
3. Schritt: Berechnen der analytischen zeitabhängigen Funktionen von Winkel ϕ(t),
Winkelgeschwindigkeit ω (t) und Winkelbeschleunigung α(t).
Die Vorgehensweise ist fallspezifisch wie in der folgenden Tabelle gegeben
Fall gegeben
1
2
Lösungsgang (der Index 1 kennzeichnet den Anfangszustand)
1. Teilschritt
2. Teilschritt
t
ϕ( t ) = ϕ1 + ω (t ) dt
∫
α (t ) dt
∫
t
α(t)
ω (t ) = ω1 +
ω (t)
ϕ( t ) = ϕ1 + ω (t ) dt
α (t ) =
d ω(t )
dt
d ϕ (t )
dt
α (t ) =
d ω(t )
dt
t1
t1
∫
t
t1
3
ϕ(t)
ω(t ) =
4
ω (ϕ)
t (ϕ ) = t1 +
5
α(ϕ )
ω (ϕ ) =
6
α(ω )
t (ω ) = t1 +
∫
ϕ
ϕ1
dϕ
ω (ϕ )
∫
3. Teilschritt
umstellen nach ϕ(t) weiter bei Fall 3
ϕ
ω12 + 2 dϕ α (ϕ ) weiter bei Fall 4
ϕ1
ω
dω
ω1 α (ω )
∫
umstellen nach ω (t) weiter bei Fall 2
4. Schritt: Bestimmung der Konstanten aus den Randbedingungen
5. Schritt: Angabe der gesuchten numerischen Funktionen
6. Schritt: graphische Darstellung des Bewegungsablaufs
7. Schritt: Angabe sonstiger gesuchter Größen
-9-
Zerlegung der Bewegung eines Körpers in Translation und Rotation
Die allgemeine Bewegung eines Körpers von einer Anfangsposition 1 in eine Endposition 2
lässt sich zerlegen in zwei Schritte, nämlich dem ersten Schritt einer Translation (Schiebung)
und dem zweiten Schritt einer Drehung:
Bewegung = Translation (Schiebung) + Rotation
Beispiel: geführter Stab:
Eindeutig ist der Winkel der Rotation. Dagegen ist der Drehpunkt A frei wählbar, seine Wahl
bestimmt die Translation. Somit gibt es beliebig viele Möglichkeiten der Zerlegung.
Addition der Geschwindigkeiten bei Zerlegung der Bewegung
Geschwindigkeiten zweier Punkte A und B eines starren Körper:
r
r
r
v{
=
v{
+
v{
B
A
BA
Translatio n
von Punkt B
Translatio n
von Punkt A
Drehung von
Punkt B um Punkt (Pol) A
Durch zeitliche Ableitung folgt für die Beschleunigungen:
r
r
v
a
=
a
+
a
B
A
BA
{
{
{
Translatio n
von Punkt B
Translatio n
von Punkt A
Drehung von
Punkt B um Punkt (Pol) A
r
Die Beschleunigung aBA hat zwei Komponenten:
tangential
normal
at = l α
an = l ω 2
Drehpol (Momentanpol)
Die allgemeine Bewegung eines Körpers kann als reine Drehung
ohne Translation dargestellt werden, wenn die Drehung um den
Drehpol erfolgt. Der Drehpol kann während der Bewegung seinen
Ort ändern. Der momentane Drehpol eines Körpers mit den
Punkten A und B ergibt sich als Schnittpunkt der Senkrechten auf
den Geschwindigkeitsvektoren vA und vB in den Punkten A und B.
Winkelgeschwindigkeit der Körperdrehung
und die Geschwindigkeiten der Punkte A
und B sind verknüpft:
ωKörper
v
v
= A = B
l AP l BP
Beispiel: Beim abrollenden Rad ist der Auflagepunkt der
momentane Drehpol.
Rotierendes Führungssystem (Index f):
Beschleunigung des Führungssystems :
r
af =
r
a ft
{
tangential
rα
Beschleunigung des Körpers:
r
r
r
a = a f + arel +
r
+ a
fn
{
normal
r ω2
r
aCoriolis
1
4r24
r3
2 ω × v rel
- 10 -
P
lAP
lBP
A
r
vA
B
r
vB
5. Dynamisches Grundgesetz
Nach Newton (1642-1727)
Definition 1
Menge der Materie = Masse = Dichte x Volumen
Definition 2
Bewegungsgröße = Impuls = Masse x Geschwindigkeit
m = ρ ⋅V
r
r
p = m ⋅v
Definition 3
Masse besitzt Widerstandsvermögen gegen Änderung ihrer Bewegung (Trägheit)
Definition 4
Auf einen Körper einwirkende Kraft ist das Bestreben, seine Bewegung zu ändern.
Axiom 1
Jeder Körper verharrt in seinem Zustand der gleichförmigen, geradlinigen Bewegung, wenn
er nicht durch einwirkende
Kräfte gezwungen wird, diesen Zustand zu ändern.
r
r
F = 0 ⇔ v = const
Axiom 2
Die Änderung der Bewegungsgröße eines Körpers ist der Einwirkung einer Kraft proportional.
Die Änderung erfolgt in der Richtung
der einwirkenden Kraft.
r
r
∆p ∝ F
Axiom 3
Die Wirkung ist stets der Gegenwirkung gleich, oder die Wirkung zweier Körper aufeinander
ist stets gleich und von
gesetzter Richtung.
r entgegen
r
F' = − F
Dynamisches Grundgesetz
r
Die zeitliche Änderung der translatorischen Bewegungsgröße m ⋅ v ist gleich der
einwirkenden Kraft, die diese Änderung verursacht.
r
r
r
r dm
d
dv
F = (m ⋅ v ) =
m⋅
+
v⋅
dt
t
t
12d3
12d3
bei starrem Körper
bei kontinuier lichem Strom
Analog gilt bei der Drehbewegung, dass die zeitliche Änderung des Dralls gleich dem
einwirkenden Drehmoment ist, das diese Änderung verursacht.
Mit der Tangentialgeschwindigkeit vϕ ergibt sich:
dv ϕ
d
dm
M = F ⋅r =
m ⋅ vϕ ⋅ r =
m ⋅r ⋅
+
vϕ ⋅ r ⋅
dt
d3
t
d3
t
1424
1424
(
)
bei starrem Körper
In vektorieller Form geschrieben:
r
r
r r
r
r
d r
dv
M = r ×F =
(r × m ⋅ v ) = r × m
dt
d3
t
1424
bei starrem Körper
bei kontinuier lichem Strom
r r dm
r ×v
d3
t
1424
+
bei kontinuier lichem Strom
Korrespondenz von Größen
lineare Bewegung (Schiebung)
drehende Bewegung (Rotation)
F Kraft
M (Dreh-) Moment
m Masse
J Massenträgheitsmoment
a Beschleunigung
α Winkelbeschleunigung
- 11 -
d’Alembertsches Prinzip (ausführlicher behandelt Kapitel 7)
Dieses lautet in einer für die Vorlesung Dynamik vereinfachten Version:
Durch Einführung von Trägheitskräften können dynamische Probleme auf statische
zurückgeführt
werden.
r
r
r
r
Σ F − m⋅a = 0
Σ M − J ⋅α = 0
Energiesatz
Die zur Geschwindigkeitsänderung einer Masse aufgewendete bzw. gewonnene Arbeit
verändert die Energie einer Masse. Mit Index 1 für den Anfangszustand und Index 2 für den
Endzustand ergibt sich:
2 r
2r
2r
r
r
r
F ⋅ ds = m a ⋅ ds = m v ⋅ dv = 21 m v 22 − v 12
∫
1
∫
1
∫
1
(
- 12 -
)
6. Impuls und Drall
6.1 Translation
Dynamisches Grundgesetz
Kraftstoß
Impulssatz
r d
r
r
r
& ⋅v
F=
(m ⋅ v ) = m ⋅ a + m
dt
r
F dt
∫
r
F dt
∫
r
= m ⋅ ∆v
oder
2 r
m ⋅ v 2 = m ⋅ v 1 + ∫ F dt
1
Index 1 kennzeichnet den Anfangszustand, Index 2 den Endzustand.
Ein Impuls (Kraftstoß) bewirkt eine Änderung der Bewegungsgröße (des Impulses).
Impulserhaltungssatz
(1∑4m2i v4i3
)2 = (1∑4m2i v4i3)1
Endzustand
Ausgangszustand
Stoß zweier Körper
Berührungsebene mit
Berührungspunkt
Stoßlinie
Verbindungslinie der
Schwerpunkte
- Beim Stoß berühren sich die Körper (zu Beginn des Stoßes) im so genannten Berührungspunkt.
- Die Berührungsebene ist die Tangentialfläche an die Körperoberflächen im Berührungspunkt.
- Die Stoßlinie ist die Wirkungslinie der beim Stoß auftretenden Kräfte.
Sie steht senkrecht zur Berührungsebene.
- Ein Stoß ist zentrisch, wenn
a) der Berührungspunkt auf der Verbindungslinie der beiden Schwerpunkte liegt und
b) die Berührungsebene senkrecht zur Verbindungslinie ist.
Beim zentrischen Stoß liegen die auftretenden Kräfte auf der Verbindungslinie der Schwerpunkte.
- Ein Stoß ist gerade, wenn die Geschwindigkeitsvektoren der Schwerpunkte in der Stoßlinie
(Gerade durch Schwerpunkte und Berührungspunkt) liegen.
Stoßmittelpunkt
Stoßmittelpunkt ist der Punkt, auf dem beim Stoß keine Kraft übertragen wird.
Er ist der momentane Drehpol.
Impuls-Erhaltungs-Satz: (beim linearen Stoß)
Bewegungsgröße
=
Bewegungsgröße
(Impuls) nachher
(Impuls) vorher
r
r
m ⋅v 2
m ⋅v1
+
Wirkung des
Kraftstoßes
2 r
∫ F dt
Während des linearen Stoßes ändert sich die Bewegungsgröße
bei Annäherung Deformation (Verformung): Kompressionsperiode
bei Entfernung Restitution (Rückbildung): Dekompressionsperiode:
linearer Stoß zweier Körper A und B
Index A: Körper A, Index B: Körper B
Index 1: vorher,
Index 2: nachher
- 13 -
1
r
F
∫ r dt
∫ K dt
Geschwindigkeit des Schwerpunktes:
v SP =
m A ⋅ v A1 + mB ⋅ v B1 m A ⋅ v A2 + mB ⋅ v B2
=
m A + mB
m A + mB
Stoßzahl k ist Maß für Elastizität, Definition: k =
k=
Es gilt:
∫
∫
k=1
(voll)elastisch
0<k<1 teilelastisch
k=0
plastisch
K dt
F dt
vB2 − v A2
v − v A2
v − vSP
= SP
= B2
v − vB1
v − v SP
v − vB1
1A1
4243
1A1
4243
1SP
4243
beide Körper
nur Körper A
nur Körper B
Geschwindigkeiten nach dem linearen Stoß zweier Körper A und B
mit den Anfangsgeschwindigkeiten vA1 und vB1:
v A2 =
(m A / mB − k ) v A1 + (1 + k ) v B1
m A / mB + 1
v B2 =
(1 + k ) v A1 + (mB / m A − k ) v B1
mB / m A + 1
Drehstoß
Beim elastischen und teilelastischen Drehstoß gelten die obigen Formeln für den linearen
Stoß, wenn in den Formeln die Geschwindigkeiten v durch die Winkelgeschwindigkeiten ω
ersetzt werden.
Vorschubkraft bei einem Strahltriebwerk
Geschwindigkeit des Flugzeuges:
u
Ausströmgeschw. relativ zum Flugzeug:v
Index L:
Luft
Index B:
Benzin
Vorschubkraft (kurz: Schub):
Schiefe Ebene
Gewichtskraft:
Hangabtriebskraft:
Normalkraft:
Reibungskraft:
(m& L + m& B ) ⋅ (u + v )
m& L u
&L +m
& B ) ⋅ (u + v ) − m
& L ⋅u
F = (m
FG = m g
FH = m g sin ϕ
FN = m g cos ϕ
FR = µ F N
FH
ϕ
FN
FG
- 14 -
6.1 Rotation
Massenträgheitsmoment eines starren Körpers, der sich um eine Achse dreht:
J =
∫r
2
dm
wobei r der Abstand des Massenelements dm von der Achse ist
Berechnung den Massenträgheitsmoments über die Fläche des Körpers:
das Massenelement lässt sich aus dem Flächenelement berechnen:
dm = {
ρ ⋅ {
s ⋅ dA
Dichte Dicke
Massenträgheitsmomente einiger einfacher Körper
In allen Fällen ist angenommen, dass die Drehachse durch den Schwerpunkt
des Körpers geht (gekennzeichnet durch den Index S).
- allgemeine Definition des
Massenträgheitsmoments:
N
J = ∑ ri 2 mi = ∫ r 2dm
i =1
- Hohlzylinder, dünnwandig (Rohr):
JS = m r 2
- Hohlzylinder, dickwandig (Stab):
m = π (ra2-ri2) h ρ
JS =
1
2
m (ra2 + ri2 )
- Vollzylinder, Scheibe:
m = π r2 h ρ
JS =
1
2
m r2
- Vollkugel:
JS =
2
5
mr2
JS =
2
3
mr2
- Scheibe (Drehachse liegt in der Scheibe)
m = π r2s ρ
(Dicke s)
JS =
1
4
mr2
- Stab: dünn: Länge l, Breite b = 0
1 m l2 + b2
J S = 12
m = 4/3 π r3 ρ
- Hohlkugel, dünnwandig:
m = 4π r2 s
(Wanddicke s)
dicker: Länge l, Breite b > 0
- Dreieck mit Seiten a,b,c:
(Drehachse senkrecht zur Fläche)
- gleichseitiges Dreieck
Seitenlänge l, Höhe h,
(Drehachse senkrecht zur Fläche)
- Vollkegel (senkr. Kreiskegel):
Bodenradius r, Höhe h
(Drehachse = Symmetrieachse)
m = π /3 r2 h ρ
r
r
(
JS =
1
36
3 mr2
J S = 10
1
9
b
l
m (a 2 + b 2 + c 2 )
1 m l2 =
J S = 12
- 15 -
)
a
m h2
l
r
b
c
h
Steinerscher Satz dient zur Berechnung des Massenträgheitsmoments JA eines
Körpers der Masse m bezüglich einer Achse A , wenn das Massenträgheitsmoment JS
bezüglich der dazu parallelen Schwerpunktachse im Abstand rs bekannt ist:
J A = JS + rs2 ⋅ m
A
J xy = J xy + x S ⋅ y S ⋅ m
rS
Das bedeutet, dass die Drehung des Körpers um
die Achse A gleichwertig ist zur einer gleichzeitigen
Drehung des Körpers um seinen Schwerpunkt
und eine Drehung des Schwerpunktes um die Achse.
S
J
m
Trägheitsradius
i =
reduzierte Masse (Achsabstand r)
mred =
J
r2
Massenträgheitsmomente eines starren Körpers bezüglich eines xyz-Koordinatensystems
bezüglich der x-, y- und z-Achse
Zentrifugal- bzw. Deviationsmomente
Drehung um x-Achse: J x =
Drehung um x-Achse: J y =
Drehung um x-Achse: J z =
∫ (y + z ) dm
2
2
∫ (x + z ) dm
2
2
∫ (x + y ) dm
2
J xy =
2
J yz =
J xz =
∫ xy dm
∫ yz dm
∫ xz dm
Beispiel für die verschiedenen Massenträgheitsmomente eines Körpers
dünner Stab der Länge l liegt in der x-y-Ebene
die z-Koordinate des Körpers ist immer gleich 0
y
y
δ
x
x
ly
l
Drehung um x-Achse
Jx = 0
weil y = 0
lx
1 m l2
J x = 12
y
=
Drehung um y-Achse
1 m l2
J y = 12
m l 2 sin2 δ
1 m l2
J y = 12
x
=
Deviationsmoment
1
12
J xy = 0 weil y = 0
Wenn Jxy = 0, dann liegt die
Symmetrieachse des Körpers
auf einer Achse des
Koordinatensystems
- 16 -
1
12
m l 2 cos2 δ
J xy = ∫ xy dm = ∫ x x tan δ dm
= tan δ
∫x
2
dm = tan δ J y
Hauptachsen
Ein starrer Körper hat drei zueinander senkrecht stehende Hauptachsen,
deren Schnittpunkt im Schwerpunkt liegt.
Für eine Hauptachse wird das Trägheitsmoment maximal, für eine andere minimal.
Bei einem flachen Körper gilt für die Hauptachsen:
Die Achse (z-Achse), bei der das Trägheitsmoment des Körpers maximal ist, steht senkrecht
auf der Körperebene. Die beiden anderen Achsen liegen in der Körperebene.
Es seien x und y die beiden Achsen, die in beliebiger Orientierung in der Körperebene liegen.
Dann kann man diese beiden Achsen in der Ebene so um einen Winkel δ drehen, dass für
eine dieser Achsen das Trägheitsmoment maximal und für die andere minimal wird.
Der Drehwinkel δ ergibt sich aus den Trägheitsmomenten Jx, Jy und Jxy berechnet im
Ausgangssystem zu:
2 J xy
tan 2δ =
Jy − J x
Das Trägheitsmoment bezüglich der gedrehten Achsen in der Ebene errechnet sich zu:
J max =
min
(
1
Jy + Jx
2
)
±
1
2
(J y
− Jx
)2
(
+ 2 J xy
)2
Vergleich von Größen bei Schiebung und bei Drehung
Schiebung (Translation)
Ortskoordinate
Geschwindigkeit
Beschleunigung
Kraft
Masse
Bewegungsgröße
Impuls
s
v
a
F
m
mv
r
F
∫ dt
Drehung (Rotation)
Winkel
Winkelgeschwindigkeit
Winkelbeschleunigung
(Dreh-)Moment
Massenträgheitsmoment
Drall
Drehimpuls
- 17 -
ϕ
ω
α
M
J
Jω
r
M
∫ dt
r
r
dD
= M
dt
Änderung des Dralls D bei angreifendem Drehmoment M:
r
r
Drallsatz: Die zeitliche Änderung des Dralls D ist gleich dem Moment M ,
das diese Änderungen hervorruft.
r
Ohne äußeres Moment (M = 0), z.B. bei freiem System, ist D konstant.
Drall-Erhaltungs-Satz: (z.B. beim Drehstoß)
Drall
nachher
r
J ⋅ ω2
=
Drall
vorher
r
J ⋅ ω1
=
+
+
Wirkung des
Drehimpulses
2 r
∫ M dt
1
Drall einer Punktmasse bei linearer Bewegung:
b mv
D = bvm
Zwei über Zahnräder gekoppelte Rotoren I und II
Massenträgheitsmoment beider Rotoren reduziert auf Rotor I (i: Übersetzungsverhältnis)
2
ω 
JI red = JI + JII ⋅  1  = JI + JII ⋅ i 2
 ω2 
Stoßmittelpunkt
Bei einem exzentrischen Stoß ist der Stoßmittelpunkt P der Punkt, auf den keine Kraft
übertragen wird. Das ist der momentane Drehpol. Erfolgt der Stoß mit senkrechtem Abstand
s vom Schwerpunkt S, so liegt der Stoßmittelpunkt im Abstand e = JS/(m·s) vom
Schwerpunkt auf der Normalen zur Stoßlinie, die durch den Schwerpunkt geht.
e
s
P
S
Präzession
r
r
Greift an einen schnell drehenden Kreisel, der den Drall D hat, ein Moment M an,
r
so kommt es zu einer Präzession mit der Winkelgeschwindigkeit ω P . Es gilt:
r r
r
r
r
M = ωP × D = J ⋅ ωP × ω
Ein Kreisel weicht bei Einwirkung einer Kraft immer senkrecht zu der Richtung aus,
die die Statik erwarten lässt. Die Ausweichrichtung ergibt sich nach der Merkregel
"Kreiselachse jagt Momentenvektor".
Erzwungene Präzession
Die Kreiselachse wird durch einen äußeren Einfluss im Raum mit der Winkelgeschwindigkeit
ω P gedreht. Die Trägheitskräfte des Kreisels erzeugen dann das Kreiselmoment MK:
r
r r
M K = J ⋅ ω × ωP
r
r
= D × ωP
- 18 -
7. Prinzip von d'Alembert
Nach Newton gibt es Kräfte und Drehmomente
m
F
Die an einer Masse m angreifende
äußere Kraft F bewirkt eine
Beschleunigung a
r
r
F = m⋅a
Das an einem Körper (Trägheitsmoment J)
angreifende äußere Drehmoment M bewirkt
eine Winkelbeschleunigung α.
r
r
M = J ⋅α
Einführung von Scheinkraft und Scheinmoment
FTr
F
m
Die an einer Masse m angreifende
äußere Kraft F bewirkt eine
Trägheitskraft FTr des Körpers.
Damit herrscht ein Gleichgewicht
aller Kräfte, d.h., die Summe aller
Kräfte ist Null.
r
r
F − m⋅a = 0
1
424
3
Das an einem Körper (Trägheitsmoment J)
angreifende äußere Drehmoment M bewirkt
ein Trägheitsmoment. Damit herrscht
Gleichgewicht aller Momente, d.h., die
Summe aller Drehmomente ist Null.
r
M
Trägheitskraft
r
− J ⋅α
123
=0
Trägheitsmoment
Der d'Alembertsche Ansatz liefert eine elegante Formulierung der Kinetik. In vereinfachter
Version dieses Ansatzes werden Kräfte und Momenten eingeführt, die aus dem Widerstand
eines Körpers resultieren, also aus seiner Trägheit, seine Bewegung zu ändern.
r
r
vom Körper erzeugte Trägheitskraft:
F = − m⋅a
r
r
r
aufzubringende Kraft, um Körper mit a zu beschleunigen:
F = m ⋅a
r
r
vom Körper erzeugtes Trägheitsmoment:
M = − J S ⋅α
r
r
r
aufzubringendes Moment, um Körper mit α zu beschleunigen:
M = J S ⋅α
Prinzip von d'Alembert: Unter Benutzung von Trägheitskräften und Trägheitsmomenten
lässt sich der momentane Zustand eines Körpers so schreiben, dass die Summen der
Kräfte und der Momente Null sind:
r
r
F=0
M=0
∑
∑
- 19 -
Koordinatensysteme
kartesisch (x- und y-Richtung)
polar (radial und azimuthal)
natürlich (normal und tangential)
∑ Fx − m ⋅ a x = 0
∑ Fr − m ⋅ ar = 0
∑ Fn − m ⋅ an = 0
Normalkraft = Zentrifugalkraft = Fliehkraft
Coriolis-Beschleunigung und -Kraft
∑ Fy − m ⋅ ay = 0
∑ Fϕ − m ⋅ aϕ = 0
∑ Ft − m ⋅ at = 0
v2
= mr ω2
r
r
r r
acor = 2 ω × v rel
r
r
r
r
Fcor = − m acor = 2 m v rel × ω
Z =m
Drehung um eine Hauptachse
Der Schwerpunkt ist in Ruhe, die Resultierende aller Kräfte ist Null.
Die wirkenden Kräfte lassen sich zu einem Kräftepaar (Moment) zusammenfassen,
das die beschleunigte Drehung verursacht.
Drehung um eine zur Hauptachse parallele Achse
Die Trägheitsreaktionen werden auf die Schwerpunktachse bezogen.
r
Die Trägheitskraft ergibt sich aus der Schwerpunktbeschleunigung m ⋅ aS .
Das Trägheitskräftepaar ergibt sich aus dem auf die Schwerpunktachse
r
bezogenen Trägheitsmoment J S ⋅ α
Drehung um eine
Achse
r beliebige
r
Die Vektoren M und ω sind nicht kollinear.
Bei einer Drehung um die y-Achse hat der Momentenvektor folgende Komponenten:
M x = J xy ⋅ α + J yz ⋅ ω 2
My = − J y ⋅α
M z = − J xy ⋅ ω 2 + J yz ⋅ α
Die umlaufenden Momente Mx und My belasten die Lager zusätzlich.
Sie verschwinden, wenn die Zentrifugalmomente Null werden.
Das ist bei einer Hauptachse der Fall (erreichbar durch dynamisches Auswuchten).
- 20 -
8. Energie
Arbeit bei Translation:
W =
Arbeit bei Rotation:
W =
Arbeit bei Deformation:
W =
Leistung allgemein:
P =
Leistung bei Translation:
P =
Leistung bei Rotation:
P =
Leistung bei beschleunigter Translation: P =
2
r r
F ⋅ ds
2
r
r
M ⋅ dϕ
∫1
∫1
(
1
⋅ c ⋅ s22 − s12
2
dW
dt
r r
F ⋅v
r r
M ⋅ω
r r
m ⋅a ⋅v
r r
J ⋅α ⋅ω
)
(c =
F
= Federkonstante)
s
Leistung bei beschleunigter Rotation:
P =
Energie:
Energie ist das Vermögen, Arbeit zu verrichten
potentielle Energie:
E pot = m ⋅ g ⋅ h
kinetische Energie der Translation:
E kin = 1 m ⋅ v 2
kinetische Energie der Rotation:
Ekin = 1 J ⋅ ω 2
2
2
elastische Energie bei Deformation:
lineare Feder:
E el = 1 c ⋅ s 2
Torsionsfeder
Eel =
Druckenergie:
2
1
2
cT ⋅ ϕ 2
EDr = p ⋅ V
Energiesatz:
In einem abgeschlossenen System ist die Summe aller vorhandenen Energien konstant.
1 ρ ⋅v2
2
1
424
3
Bernoulli-Gleichung:
+ ρ ⋅g ⋅h +
1
424
3
p
{
Schwere Druck
statischer
Druck
dynamischer
Druck
= const
kinetische Energie eines starren Körpers:
 Translatio nsenergie   Rotationsenergie 
 + 
 = 1 m v S2 + 1 J S ⋅ ω 2
Ekin = 
2
2
 des Schwerpunktes   um Schwerpunkt 
 Rotationsenergie um 
 =
E kin = 
 momentanen Drehpol M 
1
2
JM ⋅ ω 2
- 21 -
9. Mechanische Schwingungen
9.1 ungedämpfte Schwingungen
Eine Schwingung basiert auf dem Gleichgewicht von Trägheitskraft bzw. Trägheitsmoment eines
bewegten Körpers und Rückstellkraft bzw. Rückstellmoment zur Ruhelage hin.
Die Rückstellung kann durch Schwerkraft oder federelastische Kraft erfolgen.
Differentialgleichung der ungedämpften harmonischen Schwingung mit einem Freiheitsgrad.
lineare Schwingung
Drehschwingung eines Körpers
einer Masse m,
mit Trägheitsmoment JA,
die an einer Feder mit
der an Torsionsfeder mit
Federkonstante cT befestigt ist:
Federkonstante c befestigt ist:
Differentialgleichung
mit Systemgrößen
m ⋅ y&& + c ⋅ y = 0
J A ⋅ ϕ&& + c T ⋅ ϕ = 0
y&& + ω 02 y = 0
ϕ&& + ω 02 ϕ = 0
Differentialgleichung
in Parameterdarstellung
Eigenkreisfrequenz des
ungedämpften Systems
ω0 =
c
m
y = y 0 e −δt sin (ω d t + φ 0 )
Lösung der
Differentialgleichung
ω0 =
cT
JA
ϕ = ϕ 0 e −δt sin (ω d t + φ0 )
Eigenkreisfrequenz: ω 0
Eigenfrequenz:
Periodendauer:
1 ω0
=
T 2π
1 2π
T = =
f0 ω 0
f0 =
Maximalwerte:
bei linearer Schwingung
bei Drehschwingung
maximale Auslenkung (Amplitude):
y0
ϕ0
max. Geschw. beim Null-Durchgang:
v max = y 0 ω 0
ω max = ϕ 0 ω 0
max. Beschleunigung im Umkehrpunkt:
amax = − y 0 ω 02
α max = − ϕ 0 ω 02
Rückstell- bzw. Kippmoment durch Schwerkraft (s = Abstand Schwerpunkt – Drehachse):
Das Drehmoment M durch die Schwerkraft ist M = m g s sinβ.
A
s
βs
S
FG
Der momentane Auslenkungswinkel β kann als Summe aus dem
Auslenkungswinkel β0 in der Ruhelage und dem Auslenkungswinkel ϕ.
der Schwingung geschrieben werden, also β = β0 + ϕ.
Im Folgenden wird immer die Näherung gemacht, dass ϕ sehr klein ist.
a) Im einfachsten Fall ist in der Ruhelage β0 = 0.
Dann ergibt sich: M ≈ m g s ϕ und cT = M /ϕ ≈ m g s
β) Im Fall, dass β0 ≠ 0, erhält man für das Drehmoment:
M ≈ m g s (sinβ0 + ϕ cosβ0)
konstantes Drehmoment
in der Ruhelage
vom momentanen Auslenkwinkel
abhängiges Drehmoment
Damit ergibt sich für das bei einer Schwingung relevante Rückstell- bzw.
Kippmoment (positiv, wenn S unterhalb A, negativ, wenn S oberhalb A)
cT =
rückstelle ndes Drehmoment
≈ m g s cos β 0
Auslenkwin kel
- 22 -
Rückstellung durch federelastische Kräfte
Federkonstante: Definition: Wirkt auf ein Federelement eine Kraft F, so bewirkt diese eine
Längenänderung s. Das Verhältnis von F und s wird als Federkonstante c bezeichnet.
Federelemente:
F
Feder
c=
F
s
c Federkonstante
F wirkende Kraft
s Längenänderung
c=
EA
l
E
A
l
Elastizitätsmodul
Querschnittsfläche
Länge
E
I
Elastizitätsmodul
Flächenträgheitsmoment,
bei Rundstab: I = π /4 r 4
bei Rechteckstab: I = 1/12 b h3
Länge
s
s
F
Stab, Seil
s
l
Biegefeder, am Ende belastet
F
EI
c=3
l
3
s
l
l
Biegebalken, mittig belastet
F
c = 48
E
I
EI
l
3
l
l
Feder, schräg angreifend
γ
c eff = c cos2 γ
F
s
Elastizitätsmodul
Flächenträgheitsmoment
wie bei Biegefeder
Länge
ceff wirksame Federkonstante
c
Federkonstante der Feder
γ
Winkel zwischen Richtung
der Federkraft und der
Bewegungsrichtung
Parallel- und Serienschaltung von Federn
Parallelschaltung
c eff = c1 + c2
ceff wirksame Federkonstante
(Addition von Kräften)
allgemein:
c1
Federkonstante Feder 1
c2
Federkonstante Feder 2
c eff =
1
Serienschaltung
c eff
(Addition von Wegen)
∑c
=
i
1
1
+
c1 c 2
allgemein:
1
1
=
c eff
ci
ceff wirksame Federkonstante
c1
Federkonstante Feder 1
c2
Federkonstante Feder 2
∑
Rückstellmoment um Achse A, erzeugt durch die Kraft F einer linearen Feder
mit Federkonstanten c, die an einem Hebel mit Kraftarm r angreift.
A
η
F
γ
η Winkel zwischen Kraftrichtung (blau) und Hebelarm (schwarz)
γ Winkel zwischen Kraftrichtung (blau) und Bewegungsrichtung (rot)
cT =
rückstelle ndes Drehmoment
= c r 2 cos 2 γ = c r 2 sin 2 η
Auslenkwin kel
- 23 -
Beispiel: mathematisches Pendel
mit punktförmiger Masse
Pendellänge
l
Massenträgheitsmoment
J A = m l2
Eigenkreisfrequenz
f =
1
2π
g
l
Periodendauer
T = 2π
l
g
l
Beispiel: physikalisches Pendel mit rückstellender Feder und Dämpfer
A
Achse der Pendeldrehung
S
Schwerpunkt des Körpers
s
F
D
Abstand Schwerpunkt-Drehachse:
s > 0, wenn Achse oberhalb des Schwerpunktes
s < 0, wenn Achse unterhalb des Schwerpunktes
Angriffspunkt der Feder
Angriffspunkt des Dämpfers
r
c
Abstand Schwerpunkt – Kraftangriffspunkt
Federkonstante
b
Dämpfungskonstante
Winkel zwischen Radius r und Kraftrichtung
η
Index F
Index D
bezogen auf Feder
bezogen auf Dämpfer
A
rD
s
S
rF
ηD
ηF F
D
Eigenkreisfrequenz f = 1
ungedämpft
2π
Periodendauer
ungedämpft
T = 2π
mgs + cr 2 sin2 η F
J s + ms 2
J s + ms 2
mgs + cr 2 sin2 η F
Hinweis: Die Dämpfungskonstante bT der Drehung (siehe Kapitel 9.2) errechnet sich
analog zur entsprechenden Federgröße der Drehung zu bT = b rF2 sin2 ηF2.
- 24 -
9.2 gedämpfte Schwingungen
Es wird angenommen, dass die Dämpfung proportional zur Geschwindigkeit ist.
Differentialgleichung
mit Systemgrößen
Differentialgleichung
in Parameterdarstellung
lineare Schwingung
Drehschwingung
m ⋅ y&& + b ⋅ y& + c ⋅ y = 0
J A ⋅ ϕ&& + bT ⋅ ϕ& + c T ⋅ ϕ = 0
y&& + 2ϑ⋅ ⋅ ω 0 ⋅ y& + ω 02 y = 0
ϕ&& + 2ϑ ⋅ ω 0 ⋅ ϕ& + ω 02 ϕ = 0
Eigenkreisfrequenz des
ungedämpften Systems
Dämpfungskonstante
c
m
ω0 =
b=
ω0 =
Dämpfungskraft FD
=
Geschwindigkeit
y&
[b] = kg = N
s m/s
bT =
cT
JA
Dämpfungsmoment
Winkelgeschwindigkeit
bT =
MD
= br2
ϕ&
[bT ] = Nm
1/s
Abklingkonstante
Dämpfungsgrad =
Lehrsches Dämpfungsmaß
δ =
[δ ] = 1
b
2m
ϑ=
s
δ
ω0
δ=
bT
2 JA
[δ ] = 1
s
[ϑ ] = 1
ϑ=0
ungedämpfte Schwingung
ϑ > 0 …<1 schwach gedämpfte Schwingung
ϑ=1
kritisch gedämpfte Schwingung,
aperiodischer Grenzfall
Kriechfall
ϑ>1
Kreisfrequenz der
gedämpften Schwingung
Lösung der
Differentialgleichung
logarithmisches Dekrement
ω d = ω02 − δ 2 = ω 0
y = y 0 e −δt sin (ωdt + φ 0 )
1− ϑ2
ϕ = ϕ 0 e −δt sin (ωdt + φ0 )
 ϕ (t ) 
y (t ) 
2π ϑ
 = ln 
 =
 y (t + Td )
ϕ (t + Td ) 
1 − ϑ2

Λ = ln 
- 25 -
9.3 erzwungene Schwingungen
Erregung
Wegerregung
(periodische Auslenkung mit Amplitude r
greift über Feder an)
Massenkrafterregung
(Unwuchtmasse m e
schwingt periodisch mit
Amplitude e)
Dämpfungsgrad
η=
Amplitude der
schwingenden
Masse m
A = V1 ⋅ r = V1 ⋅
Vergrößerungsfaktor
V1 =
Kurven
V gegen η
V1
schwarz: ϑ = 0
blau:
ϑ = 1/3
rot:
ϑ=1
Fe
c
1
(1 − η 2 )2 + (2 ϑ η )2
Amplitude
bei kleiner
Dämpfung und
Resonanz (η =1)
Belastungskraft
V3 =
me
⋅e
m
A = V2 ⋅ y 0
η2
(1 − η 2 )2 + (2 ϑ η )2
4
4
V3
V2 =
V2
3
3
2
2
2
1
1
1
2
ϕ = arctan
ηR =
η
3
2 ϑ η2
1− η 2
0
1
η
2
ϕ = arctan
2ϑ η
1−η 2
3
0
1
ϕ = arctan
2
η 3
2ϑ η3
1 − η 2 + (2ϑ η )2
1 − 2 ϑ2
AR =
r
2ϑ
am Aufhängepunkt
der Feder
F =m r
(1 − η 2 ) 2 + (2ϑ η )2
0
0
1
1 + (2 ϑ η )2
4
3
0
Abstimmungsverhältnis bei
Amplitudenresonanz
Erregerfrequenz ωe
=
Eigenfrequ enz
ω0
A = V3 ⋅
0
Phasenwinkel
zwischen
Anregung und
Masse
δ
ω0
ϑ=
Abstimmungsverhältnis
Stützenerregung
(periodische Auslenkung mit
Amplitude y0 greift an Feder
und Dämpfer an)
ω e2 V1
Biegekritische Drehzahl (bei Laval-Welle):
AR =
e me
2ϑ m
auf das
Fundament
F = m e e ω e2 V3
nK =
- 26 -
1
2π
c
m
AR =
y0
1 + 4ϑ 2
2ϑ
10. Mathematischer Anhang
Berechnung eines beliebigen Dreiecks:
Ein beliebiges Dreieck hat 6 Parameter: 3 Seitenlängen und 3 Winkel.
Es lassen sich alle Parameter berechnen, wenn 3 Parameter bekannt sind,
von denen mindestens einer eine Seitenlänge ist.
Zur Berechung dienen folgenden Sätze:
Sinussatz:
a
b
c
=
=
sin α sin β sin γ
Kosinussatz:
a 2 = b2 + c 2 − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos α
b 2 = a2 + c 2 − 2 ⋅ a ⋅ c ⋅ cos β
c 2 = a 2 + b2 − 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos γ
Einige Ableitungen:
Einige Integrale:
Funktion y(x) Ableitung y'(x)
Integral
c
xm
x
0
m xm-1
1
sin cx
2 x
c cos cx
cos cx
-c sin cx
tan x
1 + tan2 x = cos-2 x
- sin x
ex
ex
ax
ax · ln(a)
ln x
x
arccot x
∫e
cx
dx
cos cx
1
x n +1
n +1
ln x
ln (ax + b )
arcsin
x
c
1 cx
e
c
−
1
cos cx
c
1
sin cx
c
1− x2
1
1+ x
−
c2 − x2
sin cx
1− x 2
−
dx
-1
1
arcsin x
arctan x
∫
-2
cot x
arccos x
∫ x dx
dx
∫x
a dx
∫ ax + b
n
Lösung
weitere Integrale siehe z.B.:
http://www.wikibooks.de
→ Formelsammlung Mathematik
→ Analysis
→ unbestimmte Integrale
2
1
1+ x2
- 27 -
- 28 -