Tod des Beweisens oder Wiederauferstehung?
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Tod des Beweisens oder Wiederauferstehung? — Zu Auswirkungen des Computereinsatzes auf die Stellung des Beweisens im Unterricht Hans-Jürgen Elschenbroich, Neuss Dynamische Geometrieprogramme unterscheiden sich von den Programmen der ersten Generation durch die drei Fähigkeiten „Beweglichkeit“, „Lernfähigkeit“ und „Ortslinien zeichnen“. Klassische Sätze der Geometrie erfährt man dabei im Zugmodus als Invarianzen. Oft wird diesen Geometrieprogrammen entgegengehalten, daß sie das Beweisbedürfnis verringern. Die Gefahr besteht sicherlich. Aber dabei wird übersehen, daß viele Beweise mehr der Beruhigung des Gewissens des Lehrers dienen als dem Verständnis des Schülers. Gerade durch einen geschickten Einsatz dynamischer Geometrieprogramme kann man auch klassische Beweise einsichtig und besser nachvollziehbar machen. Dies soll an einem typischen Beispiel gezeigt werden, dem Problem von Fagnano. Es entsteht des weiteren m. E. auch kein unabwendbarer Schaden, wenn man bestimmte den Schülern offensichtliche Invarianzen eben als offensichtlich akzeptiert und die gewonnene Zeit nutzt, anderen Fragen auf den Grund zu gehen. Derer gibt es genug, denn aufgrund der Fähigkeiten dynamischer Geometrieprogramme kommt man nun auf höherer Ebene zu Problemen, die bisher dem Geometrieunterricht verschlossen blieben. Dies soll an einem Ortslinienproblem und an der Eulerschen Geraden gezeigt werden. Ganz besonders wichtig ist auch, daß mit den dynamischen Geometrieprogrammen neue Arbeitsformen möglich werden, die die gezeigten Beispiele hoffentlich andeuten können. Ein experimenteller Ansatz wird möglich, das Ausprobieren und Vermuten wird zum fundamentalen Bestandteil des Unterrichtens und erhält als Vorstufe zum Beweisen eine neue, bisher nicht gekannte Qualität. Der Geometrieunterricht befindet sich seit längerem in vielen Ländern der EU auf dem Rückzug, der Mathematikunterricht in der Sekundarstufe I ist algebraisch dominiert. An diesem Zustand ist der Geometrieunterricht selbst nicht schuldlos. Die Anhänger der Kongruenzgeometrie übertrieben entweder kniffligste Konstruktionsaufgaben oder streng deduktives Beweisen. Die Abbildungsgeometrie scheiterte in der Schulpraxis (vgl. [Handschel 1988]), entgegen ihrem anschaulich klingenden Namen ist sie ja ein Kind der Strukturmathematik. Hat der Einsatz von Taschenrechnern und Computern den Algebraunterricht doch deutlich beeinflußt, so blieb der Geometrieunterricht zunächst davon weitgehend unbeeinflußt. Mit den Geometrieprogrammen der ersten Generation konnte man zunächst (nur) konstruieren wie mit Zirkel und Lineal/Geodreieck. Nachdem die erste Faszination des Computers nachgelassen hatte, stellte sich zwangsläufig die Frage, warum man eigentlich solch einen Aufwand betreibt, wenn man mit Zirkel und Lineal/Geodreieck das Gleiche erreicht. Die zweite Generation der Geometrieprogramme (typische Vertreter sind: CABRI-GÉOMÈTRE, CABRI II, EUKLID, GEOLOG, GEOMETERS SKETCHPAD, THALES) ermöglichte es dann, dynamisch zu konstruieren. Dafür typisch sind die drei Fähigkeiten Beweglichkeit/Zugmodus, Lernfähigkeit/Makros, Ortslinien zeichnen. Diese bedeuten einen großen qualitativen Sprung. Viele wesentliche Fragestellungen, die bisher der elementaren Schulgeometrie verschlossen waren, können jetzt behandelt werden. Neue Welten tun sich auf (wohlgemerkt: für den Unterricht in der Sekundarstufe I), und zwar nicht nur thematisch, sondern auch methodisch. Denn die dynamischen Geometrieprogramme ermöglichen auch neue Arbeitsformen und Arbeitsweisen. Ein experimenteller Ansatz wird möglich und typisch als Beginn; das Ausprobieren und Vermuten wird zum fundamentalen Bestand- 1 Hans-Jürgen Elschenbroich teil des Unterrichtens und erhält als Vorstufe zum Beweisen eine neue, bisher nicht gekannte Qualität. Darüber hinaus kann bei geeigneter Aufgabenstellung individuelles Lernen mit eigener Arbeitsgeschwindigkeit ermöglicht werden, und es wird durch das Arbeiten in Zweier-Gruppen am Rechner auch Teamfähigkeit gefördert. wurde. Es war für das Gymnasium weitgehend unumstritten, daß man alle geometrischen Sätze beweisen sollte, und es war verpönt, sich auf Plausibilitätsüberlegungen oder gar Beispiele zu beschränken. Inwiefern dieses Vorgehen den beabsichtigten Zweck erfüllte, wird aber zunehmend kritischer gesehen: Doch sind die entsprechenden Programme unter den Mathematiklehrern keineswegs unumstritten. Oft wird den dynamischen Geometrieprogrammen entgegengehalten, daß sie das Beweisbedürfnis verringern. Das trifft sicherlich auch in gewissem Maße zu. Zur Diskussion über das Für-und-Wider des Computereinsatzes im Geometrieunterricht möchte ich im folgenden ein paar grundlegende Überlegungen ausführen. Das Bemühen um mehr logische Stringenz führte in der Geometrie unmittelbar zu größerer Aufmerksamkeit bei der Grundlegung, die jetzt in den Büchern plötzlich viel breiter angelegt und mit zahlreichen Definitionen und Grundsätzen gespickt wurde. Aus diesen wurde dann mit viel Sorgfalt deduziert – nur leider oftmals Sätze, die für den Schüler gar nicht erwähnenswert, weil selbstverständlich sind. [Schmid 1987] [Holland 1996] folgend kann man drei verschiedene Niveaustufen des Beweisens und des Beweisverständnisses im Unterricht unterscheiden: Die hohe Bewertung der Systematik läßt den Mathematiker nach Lückenlosigkeit streben. Er übersieht dabei, daß gerade so nicht gelernt wird. ... Die Antwort des Mathematikers auf die Frage „Warum“ ist in der Regel ein formaler Beweis. ... Beweise im Mathematikunterricht haben aber nicht in erster Linie die Funktion, die Wahrheit eines Satzes zu verteidigen, sondern sie sollten den Satz verständlich machen. [Vollrath 1987] Zunächst ist doch unbestritten, daß in dieser Altersstufe ein im mathematischen Sinne „strenger Beweis“ auch nicht annähernd geführt werden kann. Folglich muß geklärt werden, was man unter „Beweisen“ in dieser Altersstufe versteht. Ferner ist – realistisch betrachtet – auch offenkundig, daß die überwiegende Mehrzahl der Schüler noch gar kein echtes Beweisbedürfnis besitzt, auch nicht bei „interessanten“ Aufgaben. [Handschel 1988] Während das Lösen von Berechnungsaufgaben ein wichtiges Ziel auch an Realschulen ist, wird das Lösen geometrischer Beweisaufgaben selbst an Gymnasien kaum noch als Lernziel ernst genommen. Gründe dafür sind die bessere Motivierbarkeit und die größere Praxisrelevanz bei Berechnungsaufgaben. ... Anders bei Beweisaufgaben. Da hier das Ziel (Behauptung) bereits in der Aufgabenstellung gegeben ist, besteht die Aufgabe lediglich in der Herstellung eines Begründungszusammenhanges zwischen Behauptung und Voraussetzungen. Dafür sind Schüler/innen aber bekanntlich nur schwer zu motivieren. Die Bereitschaft, eine Aussage zu beweisen, deren Gültigkeit entweder unmittelbar einsichtig ist oder mit einem Programm wie GEOLOG empirisch leicht nachgewiesen werden kann, ist im traditionellen Unterricht nicht einfach. ... Bei den meisten als Übungsaufgaben geeigneten Aufgaben ist 1. Stufe des Argumentierens Hier ist ein starker Handlungsbezug gegeben, und man wird sich auf Veranschaulichungen stützen. Ein Satz wird zusammen mit seiner Einsicht in die Allgemeingültigkeit gewonnen, wobei dies als Aha-Erlebnis charakterisiert wird. 2. Stufe des inhaltlichen Schließens Hier erfolgt das Beweisen in einer eher umgangssprachlichen, die Schülertätigkeit beschreibenden Form. Die Rolle des Beweisens ist vorwiegend die Sicherung der Allgemeingültigkeit der zu beweisenden Aussage, weniger die Axiomatisierbarkeit der Geometrie. Ein Beweis erfolgt aber schon in der Angabe von Beweisschritten, durchaus noch lückenhaft und mit Bezug auf Beweisfiguren. 3. Stufe des formalen Schließens Auf dieser Stufe des Beweisens dient das Beweisen vorrangig oder ausschließlich dem Aufbau der Geometrie als einer deduktiven Theorie. Ziel ist ein lückenlos in Beweiszeilen dargestellter Beweis, bei dem jede Beweiszeile entweder eine Voraussetzung ist oder aus vorangegangenen Beweiszeilen folgt. Nur für die Deduzierbarkeit eines Satzes aus schon akzeptierten Sätzen der Geometrie ist es sinnvoll, einen Satz zu beweisen, dessen Allgemeingültigkeit anschaulich evident ist. Lange Zeit war es in den traditionellen gymnasialen Geometriecurricula für die Sekundarstufe I in Deutschland Standard, daß (auch oder vorwiegend) Geometrie im Sinne der 3. Stufe des Beweisens betrieben 2 Tod des Beweisens oder Wiederauferstehung? — Zu Auswirkungen des Computereinsatzes auf die Stellung des Beweisens im Unterricht die zu beweisende Behauptung (meist aus Symmetriegründen) unmittelbar evident. Die Wahrheitssicherung ist daher als Motiv, einen Beweis zu führen, unbrauchbar. [Holland 1996] Im Aufbau der Mathematik spielt das Beweisen eine entscheidende Rolle, die in der Schulmathematik nicht außer acht gelassen werden darf. Allerdings kann dies für den Mathematikunterricht insbesondere in der Sekundarstufe I nicht bedeuten, formalisierte Deduktionen aus Axiomensystemen zu entwickeln, die vom Standpunkt einer hochentwickelten, „fertigen“ Theorie aus als besonders elegant erscheinen. Ebensowenig geht es um die Lückenlosigkeit oder Vollständigkeit eines fachsystematischen Aufbaus. Vielmehr sollte im Rahmen des Mathematikunterrichts, vor allem im Rahmen heuristischer Vorgehensweisen, die Bereitschaft geweckt werden, Argumente aufmerksam aufzunehmen und aufeinander zu beziehen. Ferner sollen fachspezifische Argumentationsweisen erfahren und einsichtig gemacht werden. Dazu gehören insbesondere die Konsensbildung über Voraussetzungen und die Verständigung über die Zulässigkeit von Schlußfolgerungen. [Kultusministerium NRW 1993] Ein Philosophieprofessor stellte dann auch in Seminaren über die sokratische Methode in der Mathematik fest, daß die Schule bei kaum einem Teilnehmer, durchweg Abiturienten, Sinn für mathematisches Denken geweckt hatte; das Gefühl, daß man in der Mathematik Dinge tun muß, ohne einzusehen, weshalb man sie tut, war vorherrschend. [Heckmann 1981] Das durchgängige Beweisen im alten Stile als deduktiver Aufbau einer Theorie, ausgehend von einem minimalen Axiomensystem, wird sich auch im Gymnasium nicht mehr durchhalten lassen, ist im wesentlichen in der Unterrichtspraxis auch schon zu Grabe getragen worden. Das Aufkommen der dynamischen Geometrieprogramme ist da sicher nicht die Ursache. Es macht die Misere nur offenkundig und sorgt nur dafür, daß man die Diskussion darüber nicht weiter verdrängen kann (genauso wie nebenbei bemerkt die Misere der KurvendiskussionAnalysis nicht durch Computerprogramme hervorgerufen wurde, sondern nur offenbar wurde). Wenn Holland weiter ausführt: Für Schüler/innen an Gymnasien sollte das Beweisen unter dem Aspekt der Axiomatisierbarkeit von Interesse sein. Hier geht es um die Frage, wie eine Aussage (Behauptung) aus Axiomen oder schon deduzierten Aussagen (Voraussetzungen) gefolgert werden kann. so glaube ich eher, daß sich dies als frommer Wunsch erweisen wird (bezogen auf den „normalen“ Schüler im „normalen“ Unterricht der Sekundarstufe I). Anders sieht das allerdings bei Arbeitsgemeinschaften und Maßnahmen zur Begabtenförderung aus. Insbesondere ist es sicher ein interessanter Ansatz, zusammen mit der Informatik in einem fächerübergreifenden Projekt GEOBEWEIS als Expertensystem zu behandeln. Außer GEOLOG bewegen sich die gängigen dynamischen Konstruktionsprogramme in ihren Einsatzmöglichkeiten in puncto Beweis auf den ersten beiden Stufen (je nach Schülerklientel und vom Lehrer geprägten Aufgabenstellung). Nicht von ungefähr trägt ein englisches Programm auch den Titel „GEOMETRIC SUPPOSER“. Einzig das Schwesterprogramm von GEOLOG mit dem Namen GEOBEWEIS überspringt die Barriere zur dritten Stufe. Dies ist möglich, weil GEOLOG als PROLOG-Programm auf der Prädikatenlogik aufgebaut ist und so zu einem baumartig strukturierten Experten- und Beweissystem ausgebaut werden kann. Ob es damit allerdings zu einem breiten Einsatz in der Schulpraxis kommt, muß sich aber noch erweisen; mir erscheint es zweifelhaft. Welche Auswirkungen hat nun der Einsatz dynamischer Geometriesoftware auf das Beweisen und Begründen im Geometrieunterricht? Viele Sätze, die auch schon in der Vor-Computerzeit offensichtlich waren (Beispiel: Gleichheit von Scheitelwinkeln oder von Stufenwinkeln an geschnittenen Parallelen), werden in Zukunft wohl kaum noch bewiesen werden. Viele Sätze, deren Gültigkeit im Zugmodus als Invarianz erlebt wurde, werden ebenfalls nicht mehr bewiesen werden (Beispiel: Schwerpunkt). So wird sicherlich mancher Beweis, der lange Zeit einen festen Platz im Geometriebuch und im euklidisch geprägten Geometrieunterricht hatte, aus dem Schulunterricht verschwinden. Heißt das, daß das Beweisen vollständig aus dem Geometrieunterricht verschwindet? Ich glaube nicht. Zwar wird die Behandlung des Beweisens als eigenständiges Thema und die durchgängige Orientierung des Unterrichts auf einen deduktiven Aufbau der Geometrie als wissenschaftlicher Theorie weitgehend an Boden verlieren. So gesehen nimmt der Computereinsatz dem Geometrieunterricht sicherlich bisher 3 Hans-Jürgen Elschenbroich klassische Teile weg. Aber auf der anderen Seite gibt es etliche neue Impulse: Erstens werden durch einen geschickten Einsatz dynamischer Geometrieprogramme viele klassische Sätze im Zugmodus erlebbar und somit einsichtiger. Dadurch kann das geometrische Verständnis der Schüler eher wachsen als durch manchen klassischen Beweis (Beispiel: Schnitt der Mittelsenkrechten eines Dreiecks im Umkreismittelpunkt). Der Zugmodus ersetzt „gedankliches durch anschauliches stetiges Verändern und füllt damit den Allquantor inhaltlich auf“ [Ziegler 1991]. Im übrigen ist es Aufgabe des Lehrers, passend zur Lerngruppe über das Erlebte und allgemein Akzeptierte hinaus tiefer zu bohren und der Frage nachzugehen: „Warum ist das so?“. Auch dabei kann der Zugmodus hilfreich sein, z. B. um Symmetrie- oder Kongruenzargumente zu verdeutlichen. (Beispiel: Aufgabe 1) Zweitens entsteht sicherlich kein unabwendbarer Schaden, wenn man bestimmte den Schülerinnen und Schülern offensichtliche Invarianzen eben als offensichtlich akzeptiert und die gewonnene Zeit nutzt, anderen Fragen auf den Grund zu gehen. Derer gibt es genug, denn aufgrund der Fähigkeiten dynamischer Geometrieprogramme kommt man nun auf höherer Ebene zu Problemen, die bisher dem Geometrieunterricht verschlossen blieben. Es muß eine Art Plattform von allgemein akzeptierten Sätzen geschaffen werden, von der aus man argumentieren kann. Von dieser Plattform aus kann man sowohl aufsteigen (was wohl häufiger der Fall sein wird) als auch absteigen ([Handschel 1988], [Schmid 1987]). Bei sinnvollem Computereinsatz ergeben sich dadurch viele (für den Unterricht) neue Erkenntnisse, die einer Begründung oder des Herstellens von Querverbindungen wert sind. (Beispiel Euler-Gerade, Aufgabe 2). Gerade die Möglichkeit, sich auf eine andere Plattform als die euklidischen Axiome zu stellen, ermöglicht es, im Sinne eines lokalen Beweisens und lokalen Ordnens zu arbeiten. Beispielsweise kann man Höhenschnittpunkt durch Einzeichnen geeigneter Parallelen auf den Schnittpunkt von Mittelsenkrechten zurückführen. Zwar wird dadurch kein streng axiomatischdeduktiver Theorieaufbau erreicht, doch auch das Erfassen der Zusammenhänge zwischen Sätzen ist ein wichtiger 4 mathematischer Aspekt. Hier werden durch Computerunterstützung sicher neue Akzente gesetzt. Drittens hat man dann Zeit und aufgrund der Makrofähigkeit überhaupt erst auf Schulniveau die Gelegenheit, bestimmte komplexere Beweise, in denen eine besonders typische und mathematisch gehaltvolle Idee enthalten ist, mit Computerunterstützung durchzuführen und durch den Zugmodus die Möglichkeit, die Schüler zu einem tieferen Verständnis des Beweises zu führen (Beispiel: Satz von Fagnano, Aufgabe 3). Viertens ermöglicht der Zugmodus das Zeichnen von Ortslinien und damit den Einsatz heuristischer Strategien. Ist ein herkömmlicher deduktiver Beweis für normale Schüler zu schwierig, so kann man durch das Zeichnen von Ortslinien zu empirisch nachgewiesenen Erkenntnissen gelangen. Akzeptiert man diese als einsichtig, so kommt man darauf aufbauend zu neuen Beweisideen, die nun ein Schüler durchaus verstehen und (mit Hilfe sinnvoller Aufgabenstellungen) selber finden kann. (Beispiel: Bundeswettbewerbsaufgabe, Aufgabe 4) Diese Aufgaben und zugehörige Lösungshinweise sind im Anhang zu finden. Sie sind aus [Elschenbroich 1996] und [Socrates ODL Project] entnommen. Lösungen mit EUKLID können im Internet auf der Homepage [MATHE-W ERKSTATT] geladen werden. Die Aufgaben sind aber auch mit den anderen gängigen Programmen lösbar. Für den unterrichtlichen Einsatz muß man dafür in einer Lerngruppe, die im Umfang mit dynamischen Geometrieprogrammen erfahren ist (z. B. in einem Differenzierungskurs Mathematik-Informatik), etwa 6 Unterrichtsstunden veranschlagen. 1 Abschließend möchte ich festhalten: Der Einsatz dynamischer Geometrieprogramme wird den Niedergang der streng deduktiv-axiomatisch orientierten Geometrie in der Sekundarstufe beschleunigen (nicht hervorrufen!). 1 Zur Vermeidung von Mißverständnissen sei noch ausdrücklich gesagt, daß die hier vorgestellten Aufgaben sich in dieser Form so nicht für einen zweiwöchigen Einstieg in das dynamische Konstruieren eignen, sondern schon einiges an Erfahrung im Umgang mit diesen Programmen voraussetzen. Erprobte Aufgabenblätter für einen Einstieg ab Klasse 7 findet man z. B. in [Elschenbroich 1996] und [Socrates ODL Project]. Tod des Beweisens oder Wiederauferstehung? — Zu Auswirkungen des Computereinsatzes auf die Stellung des Beweisens im Unterricht Andererseits tun sich neue Möglichkeiten für das Geometrieunterrichten auf, nämlich experimentell zu arbeiten und dabei einsichtig heuristische Prinzipien einzusetzen. Es können rasch zahlreiche Beispiele sowie Sonderfälle oder Gegenbeispiele erzeugt und visualisiert werden. So wird der Computereinsatz zum Wegbereiter von Beweisen, aber mehr auf dem Niveau des plausiblen Begründens als auf dem des formalen Schließens. Eignet sich der Computer hervorragend zum experimentellen Arbeiten und zum Hinführen zu Beweisen und Begründungen, so heißt das aber nicht, daß jeder Schüler durch beliebiges Herumprobieren dazu in der Lage wäre. Es bedarf zum einen einer genügenden Kenntnis 2 im Umgang mit den jeweiligen Programmen. Zum anderen ist eine geeignete Anleitung durch den Lehrer (zugeschnitten auf Schultyp und Lerngruppe) unerläßlich. Ohne eine Anleitung wird das Experimentieren bestenfalls zum blinden Herumprobieren. Auch bedarf es für die Schüler durchaus einer Schulung, die gesehenen Phänomene richtig wahrzunehmen und in mathematische Erkenntnisse umzusetzen, der Mathematikunterricht hat auch eine nicht zu unterschätzende sprachliche Komponente. Und nicht zuletzt bedarf es auch eines soliden mathematischen Wissens, um den Computer sinnvoll einsetzen und das Beobachtete einordnen und begründen zu können. Es wird durch Mathematikprogramme keine Mathematik auf Knopfdruck geben, genauso wie es durch Textverarbeitungsprogramme auch keine Literatur auf Knopfdruck geben wird! Dabei ist zu betonen, daß es auch einer Schulung des Lehrers bedarf, mit diesem Medium umzugehen und den Schüler zu gelenkten (Nach-)Entdecken anzuleiten. Durch Veröffentlichungen in Fachzeitschriften und Fachbüchern und durch erste Schulbücher ist schon einiges geleistet worden, die Lehrer-Fortbildung und Ausbildung muß ein übriges tun. Wer mit Computereinsatz einen etwas anderen Geometrieunterricht versucht, wird 2 Dies soll aber keinen abschrecken, es sind keine stundenlangen Einführungen zu überwinden. Die dynamischen Geometrieprogramme und EUKLID besonders sind mittlerweile recht intuitiv bedienbar, so daß man schon nach einer kurzen Erklärung in der ersten Stunde zum Konstruieren kommen kann. Weitere vertiefte Kenntnisse des Programms und des dynamischen Konstruierens erhält der Schüler dann eben, wenn es von der Sache her erforderlich ist. selbst feststellen, daß so manches Mal im Anfang seine Anleitungen zu eng, zu weit, irreführend, lückenhaft oder gar dem Erkenntnisprozeß zuwiderlaufend waren. Er wird aber auch feststellen, daß der Geometrieunterricht lebendiger und verständlicher geworden ist und dabei trotzdem (deswegen?) in gehörigem Maße den Schülern intellektuelle Leistungen abverlangt hat. Literatur Bender, P. [1994]: Eine Prüfung von Inhalten und inhaltsbezogenen Zielen für einen gymnasialen Mathematikunterricht bei breiter Verfügbarkeit des Computers. In: Niedersächsisches Kultusministerium (Hrsg.): Ziele und Inhalte eines künftigen Mathematikunterrichts an Gymnasien, Fachgymnasien und Gesamtschulen. Tagungsband der Tagung in Lingen, 14.02.1994 – 16.02.1994. Hannover. Elschenbroich, H.-J. [1996]: Geometrie beweglich mit EUKLID. Bonn: Dümmler Verlag. Handschel, G. [1988]: Eine Ausgangsbasis für das Beweisen im Geometrieunterricht der Sekundarstufe I. In: Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht 41(1988)7, 395–397. Heckmann, G. [1981]: Das sokratische Gespräch. Hannover: Schroedel Verlag. Holland, G. [1996]: GEOLOG-W IN. Bonn: Dümmler Verlag. Holland, G. [1996]: Geometrie in der Sekundarstufe. Texte zur Didaktik der Mathematik. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag. Kultusministerium des Landes Nordrhein-Westfalen (Hrsg.) [1993]: Richtlinien und Lehrpläne für das Gymnasium – Sekundarstufe I. Düsseldorf. Schmid, A. [1987]: Zum Geometrieunterricht in der Sekundarstufe I. Vortragsskript einer Lehrerfortbildungsveranstaltung. Tübingen. Vollrath, H.-J. [1987]: Störungen des »didaktischen Gleichgewichts« im Mathematikunterricht. In: Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht 40(1987)6, 373–378. Walsch, W. [1975]: Zum Beweisen im Mathematikunterricht. Berlin: Volk und Wissen. Ziegler, Th. [1991]: Was kann ein computerunterstützter Mathematikunterricht leisten? In: Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht 44(1991)5, 300–302. Internet-Seiten MATHE-W ERKSTATT: http://home.tonline.de/ home/elschenbroich/ 5 Hans-Jürgen Elschenbroich Socrates ODL Project Home Page: A Production Workshop of Learning Materials for Mathematics using Educational Software. http://www.stac.ac.uk/edu/ODL/ Anhang 1 — Aufgaben c) Ergänze die Figur aus b) durch eine weitere Parallele, so daß an der Spitze des Dreiecks noch ein weiteres Teildreieck entsteht. Was kannst du über dieses Dreieck aussagen? Erkläre damit das Ergebnis aus a)! Aufgabe 1: Begründen durch Bewegen 3 a) Zeichne ein gleichseitiges Dreieck. Lege einen Punkt beliebig in das Innere des Dreiecks, und miß die Abstände x, y, z zu den Seiten des Dreiecks, siehe Abb. 1.1. Was kannst du über die Summe x + y + z feststellen? 4 Welchen Zusammenhang gibt es zu anderen Größen des Dreiecks? Aufgabe 2: die Euler-Gerade a) Zeichne ein Dreieck ABC, und konstruiere den Umkreismittelpunkt U, den Inkreismittelpunkt I, den Schwerpunkt S und den Höhenschnittpunkt H des Dreiecks. Verstecke anschließend die Konstruktionslinien, siehe Figur 2.1. C U y P I x S B z H A Abb. 1.1 Abb. 2.1 b) Ziehe Parallelen zu den Dreiecksseiten durch P. Dadurch entstehen Teildreiecke, siehe Abb. 1.2. Welche Gestalt haben diese Teildreiecke, und welche Stellung haben x, y, z in diesen Teildreiecken? Betrachte auch Sonderfälle für die Lage von P. b) Ziehe an den Ecken, und beobachte die Zusammenhänge zwischen den vier Punkten. Schreibe deine Beobachtungen auf. c) Konstruiere die Strecke UH . Was kannst du für den Zusammenhang der Punkte I und S mit dieser Strecke beobachten? Achte auch auf Sonderfälle bei der Gestalt des Dreiecks. y x d) Miß den Abstand von S zu U und S zu H , und beobachte was passiert, wenn du an den Ecken des Dreiecks ziehst. In welchen Fällen liegt die Strecke UH vollständig im Inneren des Dreiecks ABC? Welche anderen Fälle kannst du noch beobachten? Wie findest du obiges Ergebnis in einem Spezialfall wieder? z Aufgabe 3: das Problem von Fagnano 3 Abb.hingewiesen, 1.2 Dr. R. Neveling hat darauf daß Verstehen durch Bewegen die Intention der Aufgabe besser träfe. 4 Man kann sich darüber streiten, ob man in 1a) die Aufgabe nicht offener „Was kannst du über x, y, z feststellen?“ formulieren sollte. Ich denke, das sollte man von der Schülergruppe und ihren Erfahrungen mit dynamischer Geometriesoftware abhängig machen. 6 In dieser Aufgabe soll untersucht werden, wie in ein Dreieck ABC ein Dreieck minimalen Umfangs einbeschrieben werden kann. a) Zeichne ein Dreieck mit den Eckpunkten A, B, C. Alle Winkel sollen spitzwinklig sein. Konstruiere auf jeder Seite einen Punkt, benenne diese Punkte U, V, W, und konstruiere das Dreieck UVW wie in Tod des Beweisens oder Wiederauferstehung? — Zu Auswirkungen des Computereinsatzes auf die Stellung des Beweisens im Unterricht Abb. 3.1. Miß dann die Längen von u = VW , v = WU , w = UV . Begründe nun: Für gegebenes U erhält man die optimale Lage für V und W als Schnitt der Strecke U1U 2 mit den Seiten des Dreiecks ABC. C C W U1 U2 u W V u v V w B v w U A B w u v U A Abb. 3.1 Abb. 3.3 b) Konstruiere unter dem Dreieck eine Gerade durch zwei Punkte, und übertrage darauf den Umfang des Dreiecks UVW (siehe Abb. 3.2 5). Färbe die Strecken u, v, w unterschiedlich, und verstecke die Trägergerade. Miß die Länge des gesamten abgetragenen Streckenzuges u + v+ w. d) Lösche die vorhandenen Punkte V und W, und konstruiere die optimale Lage für V und W wie in c). Jetzt hängt die Lösung des Problems nur noch von U ab. Konstruiere auch noch die Strecke UC (siehe Abb. 3.4). Ziehe an den Punkten U, V, W, und beobachte die Auswirkungen. Ermittle experimentell durch Ziehen an U, V, und W in deiner Figur das Dreieck mit dem kürzesten Umfang. Ziehe nun an U, und ermittle zunächst experimentell die optimale Lage. Wie kann man jetzt die gesuchte Lage für U durch Konstruktion ermitteln? C Führe jetzt diese Konstruktion für U, V und W durch. C W u V U1 V v w W B U A w u U2 v B Abb. 3.2 A U Abb. 3.4 c) Zieht man an A, B oder C, so ist die oben gefundene Lösung nicht mehr optimal. Nun soll eine allgemeine Konstruktion für dies Problem erarbeitet werden. Spiegele U an BC auf U1 und U an AC auf U2. Der Umfang des Dreiecks UVW ist dann genauso groß wie die Streckensumme 5 e) Es gibt noch einen etwas anderen Weg, die Lösung zu finden: In d) hat man einen Idee gefunden, die optimale Lage für U durch Konstruktion zu ermitteln. Wende diese Idee auch für V und W an. U 2W + WV + VU 1 (siehe Abb. 3.3). f) Miß in der optimalen Lösung die Winkel, die U, V und W mit den Dreiecksseiten bilden. Was stellst du fest? Je nach eingesetztem Programm braucht man dafür evtl. ein Makro. Aufgabe 4: Wettbewerbsaufgabe 7 Hans-Jürgen Elschenbroich einem Dreieck, und bestimme die Schnittpunkte S1 und S2 mit g (siehe Abb. 4.2). Was kannst du für den Winkel XAA’ aussagen, was hat das für Konsequenzen für die anderen Winkel des Dreiecks? Im Bundeswettbewerb Mathematik 1995, 1. Runde, erschien folgende Aufgabe, die hier mit Computerunterstützung bearbeitet werden soll: In der Ebene liegen eine Gerade g und ein Punkt A außerhalb von g. Der Punkt P durchlaufe die Gerade g. Man bestimme die Menge aller Punkte X der Ebene, die zusammen mit A und P die Ecken eines gleichseitigen Dreiecks bilden. a) Konstruiere eine Gerade g, einen Punkt A außerhalb von g und einen Punkt P auf g. Konstruiere den dritten Eckpunkt X eines gleichseitigen Dreiecks APX (siehe Abb. 4.1). A X g P Abb. 4.1 b) Bewege P. Welche Ortslinie beschreibt X? c) Konstruiere diese Linie, und überprüfe, ob sie tatsächlich die vermutete Eigenschaft hat. Begründe auf folgenden zwei Wegen, warum diese Ortslinie die in b) erkannte Eigenschaft haben muß: d) Variante A: Spiegele A an g und X an AP , und lasse X und X ’ Ortslinien zeichnen. Konstruiere die zu den Ortslinien gehörigen Linien, und suche eine geeignete spezielle Lage des Dreiecks APX, um über die Lage der Linien eine Aussage treffen zu können. e) Variante B: Spiegele A an g, und verbinde A, X, A’ zu A Anhang 2 — Lösungshinweise Die folgenden Kommentare können das eigene Erfahren und Erleben mit geeigneter Software nicht ersetzen, sondern nur ergänzen. Zu Aufgabe 1 a) Hier bemerkt der Schüler zunächst, daß die Summe der Abstände x + y + z konstant ist. Geht man nun von dieser Erkenntnis aus, (die ja genaugenommen eine Vermutung ist), so ergibt sich durch Betrachten von Sonderfällen und Ausmessen, daß x + y + z = h ist. b) Durch geeignete Parallelen wird das gleichseitige Dreieck in gleichseitige Teildreiecke zerlegt, in denen die betrachteten Strecken x, y, z jeweils Höhen sind. Sonderfälle sind beispielsweise: ein Abstand gleich Null; zwei Abstände gleich Null – der dritte ist gleich der Höhe des Ausgangsdreiecks; alle drei Abstände gleich groß. Da y die Höhe in einem gleichseitigen Teildreieck ist, kann man auch eine zu z parallele Höhe wählen, die genauso lang ist wie y. Es bleibt noch die Frage, was sich im enthaltenden Teildreieck entdecken läßt. x c) Durch eine geeignete Parallele erhält man bei C ein kongruentes Teildreieck, in dem man mit der Höhe wie in b) verfährt. Auf diese Weise kann man aus x, y, z die Höhe h zusammensetzen. X Ergänzung S1 P S2 d) Man kann noch die Längen von x, y, z auf der Höhe h abtragen und so schön demonstrieren, wie sich der Anteil von x, y, z an h ändert, wenn man P bewegt. Zu Aufgabe 2 A´ Abb. 4.2 8 b) U, S und H liegen offensichtlich immer auf einer Geraden. Tod des Beweisens oder Wiederauferstehung? — Zu Auswirkungen des Computereinsatzes auf die Stellung des Beweisens im Unterricht c) S liegt wohl immer zwischen U und H. I liegt auf UH , wenn das Dreieck gleichschenklig ist. U, I, S, H fallen zusammen, wenn das Dreieck gleichseitig ist. d) S teilt UH im Verhältnis 1:2. UH liegt immer im Inneren des Dreiecks, wenn das Dreieck spitzwinklig ist. Bei stumpfwinkligen Dreiecken liegen sowohl U als auch H immer außerhalb des Dreiecks. Im Fall rechtwinkliger Dreiecke schneiden sich die Höhen immer in dem Eckpunkt des rechten Winkels und die Mittelsenkrechten immer im Mittelpunkt der Hypotenuse. UH ist in diesem Fall mit der Seitenhalbierenden identisch, von der bekannt ist, daß sie von S im Verhältnis 2:1 geteilt wird. zu Aufgabe 3 Je nach eingesetztem Konstruktionsprogramm braucht man ein Makro zur Streckenübertragung. In EUKLID kann man auch einfach die zu übertragende Strecke messen und dann einen Kreis mit diesem Radius konstruieren. b) Je nach Lage von U bzw. v oder W ändert sich die Länge der zusammengesetzten Strecke. Dabei ändern sich stets zwei der Streckenlängen, die Länge der dritten bleibt. Es scheint jeweils eine minimale Länge (= Umfang UVW) zu geben, wenn man an U zieht und V und W festläßt. Läßt man dann U und W fest und zieht an V, so scheint es dafür auch eine minimale Streckenlänge zu geben. Enstsprechend bei Ziehen an W. c) Die kürzeste Verbindung zweier Punkte ist eine Strecke. d) Die beste Lösung erhält man beim Ziehen an U, wenn der Abstand von U und C minimal ist. Das ist dann der Fall, wenn UC senkrecht zu AB ist oder anders gesagt, wenn U der Höhenfußpunkt (Lotfußpunkt) von C auf ist. e) V und W werden ebenfalls als Lotfußpunkt von A bzw. B konstruiert. f) Die untersuchten Winkel sind paarweise gleich. Es gilt also auch hier das Reflexionsprinzip. Ergänzung Man kann dies Problem auch so auffassen, daß es darum geht, in einem in verspiegelten Dreieck einen Lichtstrahl einen optimalen geschlossenen Weg durchlaufen zu lassen. Man findet nur die eine Möglichkeit, den reflektierten Strahl wieder durch den Startpunkt verlaufen zu lassen. Zu Aufgabe 4 b) X liegt auf einer Geraden, die Winkel von 60° schneidet. g im c) 1. Weg: Mit einem zweiten derartigen Dreieck, Gerade durch X und X´. 2. Weg: Gerade im 60°–Winkel zu g konstruieren, Parallele durch X. Das ist nicht mit jedem Programm möglich! d) Variante A Die beiden Ortslinien sind Geraden, die sich in A´ schneiden. Die Geraden schneiden vermutlich die Gerade g im 60°–Winkel. Liegt eine Seite des Dreiecks auf g, so ergibt sich, daß der Winkel bei A´ 60° groß sein muß und in der Folge die anderen Winkel auch. e) Variante B Konstruiert man einen Kreis um P durch A, so liegen auch X und A´ auf diesem Kreis. Bzgl. der Sehne AX ist XA´A Umfangswinkel zum Mittelpunktswinkel XPA und daher 30° groß. Der Winkel bei S1 ist konstruktionsgemäß 90° groß und daher der Winkel bei S2 60°. 9
