Stochastik - Universität des Saarlandes

Prof. Dr. H. Zähle
Universität des Saarlandes, SS 2013
18. Juni 2013
Stochastik
10. Übung
Aufgabe 37
(4 Punkte)
Es seien (Ω, F, P) ein W-Raum, A, A1 , . . . , An , G, H ∈ F Ereignisse und X eine Zufallsvariable auf
(Ω, F, P) mit PX = Expλ . Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
(i) P[A1 ∩ · · · ∩ An ] = P[A1 ] · P[A2 |A1 ] · P[A3 |A1 ∩ A2 ] · · · P[An |A1 ∩ · · · ∩ An−1 ].
(ii) PG [A|H] = P[A|G ∩ H].
(iii) P[X > c + x|X > c] = P[X > x] für alle x, c > 0.
Aufgabe 38
(5 Punkte)
Satz 3.4.8. Gegeben seien nicht-leere, abzählbare Mengen Ω1 , . . . , Ωn . Zudem sei P1 ein W-Maß auf
(Ω1 , P(Ω1 )), und für jede k ∈ {1, . . . , n} und ω1 ∈ Ω1 , . . . , ωk−1 ∈ Ωk−1 sei Pk|ω1 ,...,ωk−1 ein W-Maß
auf (Ωk , P(Ωk )). Setze Ω := Ω1 × · · · Ωn und F := P(Ω), und betrachte die Koordinatenabbildung
Xi : Ω → Ωi , (ω1 , . . . , ωn ) 7→ Xi (ω1 , . . . , ωn ) := ωi für jedes i ∈ {1, . . . , n}. Zeigen Sie, dass dann
pω := P1 [{ω1 }] · P2|ω1 [{ω2 }] · · · Pn|ω1 ,...,ωn−1 [{ωn }],
ω = (ω1 , . . . , ωn ) ∈ Ω
die Zähldichte (pω )ω∈Ω des einzigen W-Maßes P auf (Ω, F) liefert, für das gilt:
(i) P[X1 = ω1 ] = P1 [{ω1 }] für alle ω1 ∈ Ω1 .
(ii) P[Xk = ωk |X1 = ω1 , . . . , Xk−1 = ωk−1 ] = Pk|ω1 ,...,ωk−1 [{ωk }] für alle ω1 ∈ Ω1 , . . . , ωk−1 ∈
Ωk−1 und k ∈ {2, . . . , n} mit P[X1 = ω1 , . . . , Xk−1 = ωk−1 ] > 0.
Hinweis: Benutzen Sie Teil (i) von Aufgabe 37 für den Beweis der Eindeutigkeit des W-Maßes P.
Aufgabe 39
(4 Punkte)
Beim Skatspiel erhält jeder der 3 Spieler 10 der 32 Karten, 2 Karten kommen in den Skat. Mit
welcher Wahrscheinlichkeit bekommt jeder der 3 Spieler genau ein Ass? (Hinweis: Verwenden Sie
Satz 3.4.8 zur Beantwortung dieser Frage.)
Aufgabe 40
(3 Punkte)
Eine Person feiert heute ihren x-ten Geburtstag. Es seien (Ω, F, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum
und T : (Ω, F) → ((x, ∞), B((x, ∞)) eine Zufallsvariable, die den Todeszeitpunkt der betrachteten
Person modellieren. Es bezeichne n px die Wahrscheinlichkeit, dass die Person die nächsten n Jahre
überlebt, und qx+j die Wahrscheinlichkeit, dass die Person zwischen ihrem (x+j)-ten und (x+j+1)ten Geburtstag verstirbt, falls sie ihren (x + j)-ten Geburtstag erlebt. Mit anderen Worten:
n px
:= P[T ≥ x + n],
qx := P[T < x + 1]
und
qx+j := P[T < x + j + 1 | T ≥ x + j]
für n, j ∈ N. Verifizieren Sie für n ∈ N die folgende Gleichung:
n px
=
n−1
Y
j=0
(1 − qx+j ).