Blatt 7 Stochastik für Lehramt an Beruflichen Schulen [MA9943]

TU München, Zentrum Mathematik
Lehrstuhl für Mathematische Physik
So 2013
Prof. Dr. Silke Rolles
Dr. Christian Döbler
Blatt 7
Stochastik für Lehramt an Beruflichen Schulen
[MA9943]
Ausgabe: 27. Mai 2013
Abgabe: 03. Juni 2013 in der Vorlesung
Tutoraufgabe 1. Ein mit den Zahlen 1 bis 4 beschrifteter Tetraeder sei so
gezinkt, dass für die geworfene Zahl X gelte, dass %(k) := P (X = k) = β · k,
k = 1, 2, 3, 4, wobei β > 0 eine Konstante ist. Bestimmen Sie den Wert von β
sowie den Erwartungswert und die Varianz von X.
Tutoraufgabe 2. Sei p ∈ (0, 1) und X ∼ geometrisch(p). Zeigen Sie, dass die
Verteilung von X gedächtnislos ist, in dem Sinne, dass für alle k ∈ N0 und j ∈ N
gilt:
P (X ≥ k + j|X ≥ k + 1) = P (X ≥ j)
Was bedeutet dies, wenn wir mit X die Lebensdauer (zu vollen Tagen aufgerundet) einer Glühbirne modellieren?
Hausaufgabe 1. (5 Punkte) Sei X exponential-verteilt zum Parameter α ∈
(0, ∞), das heißt X hat die Wahrscheinlichkeitsdichte f (x) = αe−αx 1(0,∞) (x). Zeigen Sie, dass die Verteilung von X gedächtnislos ist, in dem Sinne, dass für alle
s, t ≥ 0 gilt, dass
P (X > t + s|X > t) = P (X > s) .
Eignet sich die Exponentialverteilung zur Modellierung der Lebensdauer eines
Menschen? Begründen Sie Ihre Antwort.
Hausaufgabe 2. (5 Punkte) Ein mit den Zahlen 1 bis 4 beschrifteter, unverfälschter Tetraeder werde zweimal geworfen. Mit X bezeichnen wir das Minimum
der beiden geworfenen Zahlen. Bestimmen Sie die Zähldichte % sowie den Erwartungswert und die Varianz von X. Berechnen Sie ferner P (X ≤ 2).
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Hausaufgabe 3. (5 Punkte) Die Anzahl der Eier, die ein Insekt legt, sei durch
eine zum Parameter α ∈ (0, ∞) Poisson-verteilte Zufallsvariable N gegeben. Aus
jedem der Eier schlüpfe, unabhängig von den anderen Eiern, mit Wahrscheinlichkeit p ∈ (0, 1) eine Larve. Bestimmen Sie die Zähldichte % sowie den Erwartungswert der Zufallsvariablen X, die die Anzahl der geschlüpften Larven angibt.
Hinweis: Verwenden Sie den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit (Satz 2.8)
für die Partition Bi := {N = i}, i ∈ N, um für festes k ∈ N0 die Wahrscheinlichkeit
P (X = k) zu berechnen. Wieso kennen wir für festes n ∈ N0 die Wahrscheinlichkeiten P (X = k|N = n) = P (X = k|Bn ), k = 0, 1, . . . , n?
Hausaufgabe 4. (5 Punkte) Betrachten Sie noch einmal das Rencontre-Problem
aus Ergänzungsaufgabe 3, Blatt 3. Es bezeichne X die Anzahl der Frauen, die
mit ihrem eigentlichen Partner tanzen. Bestimmen Sie E[X] auf folgende Weise:
Definieren Sie für j = 1, . . . , n die Zufallsvariablen
(
1 wenn die j-te Frau mit ihrem eigentlichen Partner tanzt
Xj :=
0 sonst
und verwenden Sie dann die Darstellung X = X1 + X2 + . . . + Xn sowie die
Linearität des Erwartungswertes.
Bemerkung: Die direkte Berechnung dieses Erwartungswerts über die Zähldichte
von X, die in Ergänzungsaufgabe 3 berechnet wurde, ist wesentlich aufwendiger
und schwieriger.
Ergänzungsaufgabe 11.
(a) Seien p ∈ (0, 1) und n ∈ N. Berechnen sie den Erwartungswert und die Varianz
einer Binomial(n, p)-verteilten Zufallsvariablen X.
Hinweis:
Für die Berechnung des Erwartungswerts sind evtl. die Formel
k nk = n n−1
sowie der Binomische Lehrsatz hilfreich. Bei der Berechnung
k−1
der Varianz kann man die Formel Var(X) = E[X(X − 1)] + E[X] − (E[X])2
und einen ähnlichen Trick wie beim Erwartungswert verwenden.
(b) Fußballtorwart Manuel hält im Schnitt 20% aller gegen ihn geschossenen Elfmeter. In einem Finalspiel kommt es zum Elfmeterschießen zwischen seiner
und der gegnerischen Mannschaft. Dabei treten 5 gegnerische Schützen gegen
Manuel an. Es bezeichne X die Anzahl der von ihm gehaltenen Elfmeter in diesem Elfmeterschießen. Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von
X. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hält Manuel mehr als 3 der 5 geschossenen
Elfmeter?
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Ergänzungsaufgabe 12. Für eine (diskrete oder stetige) Zufallsvariable X
mit Werten in R definiert man ihre Verteilungsfunktion FX : R → [0, 1] durch
FX (t) := P (X ≤ t). Es sei X eine zum Parameter α ∈ (0, ∞) exponential-verteilte
Zufallsvariable mit Wahrscheinlichkeitsdichte f (x) = αe−αx 1(0,∞) (x).
(a) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion FX von X.
(b) Die Lebensdauer (in Tagen) einer Raumstation sei gegeben durch eine zum
Parameter 1 exponential-verteilte Zufallsvariable X. Angenommen, der Anschaffungspreis (in Euro) der Raumstation betrage K. Dann gibt die Zufallsdie Kosten für die Raumstation pro Tag an. Da diese eine
variable Y := K
X
astronomische Größenordnung haben, betrachten wir sie in logarithmierter
Form, also die Zufallsvariable Z := log(Y ), wobei log den natürlichen Logarithmus bezeichne. Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion FZ und eine Dichte
der Zufallsvariablen Z.
Hinweis: Beachten Sie, dass Z = log(K) − log(X) gilt und formen sie Z ≤ t
äquivalent um, so dass auf der linken Seite nur noch die Zufallsvariable X
steht. Verwenden Sie dann das Ergebnis von (a).
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