Arbeitsblatt und Klausurübungen summierte

WHB11 - Mathematik
AFS II: Umgang mit Zufall und Wahrscheinlichkeiten
Datum:
Thema: Summierte Binomialverteilung
Summierte Binomialtabellen
Bisher haben wir berechnet, wie groß die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass bei einer Bernoulli-Kette
n
der Länge genau k Treffer auftreten. Die Formel dafür war: B (n;p;k) = P (X=k) =   ⋅ p k ⋅ (1 − p ) n − k .
k
 
Für bestimmte n und p konnten diese Werte auch in den Tabellen im Buch (S.422-S.423) abgelesen
werden.
In der Praxis interessiert man sich jedoch mehr dafür, dass eine Zufallsvariable Werte aus einem bestimmten Bereich annimmt, z.B. „Wie wahrscheinlich ist es, dass beim 20-maligen Münzwurf höchsten 8 mal Zahl wirft?“ oder „Wie wahrscheinlich ist es, dass man beim 50-fachen Würfeln mit einem
normalen Würfel mindestens 20 mal eine 6 würfelt?“
Diese Fragen können mit Hilfe der „kumulierten Binomialtabellen“ im Buch ab Seite 424 beantwortet
werden.
Vorbereitung:
Eine ZV X ist B20; 1/6-verteilt. (Übung: Welches Zufallsexperiment könnte das sein?)
Berechnen Sie folgende Wahrscheinlichkeiten:
P (X ≤ 1) = P (X = 0) + P (X = 1) = __________ + ___________ = ____________
P (X ≤ 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) = __________ + ___________ + ___________ = __________
P (X ≤ 3) = P(X = __ ) + P(X = ___ ) + P(X = ___ ) + P(X = ___ ) =
= _______ + ________ + _______ + _______ = _________________
Beschreiben Sie, ohne die ganze Rechnung aufzuschreiben, wie man P (X ≤ 15) berechnen könnte.
WHB11 - Mathematik
AFS II: Umgang mit Zufall und Wahrscheinlichkeiten
Datum:
Thema: Summierte Binomialverteilung
Aufgabe 1:
Wörterbuch: Mathe – Deutsch
Ordnen Sie den sechs Ausdrücken in der linken Spalte die mathematischen Relationszeichen korrekt
zu. Es geht um das Zufallsexperiment „50-mal Würfeln“ und die ZV X: „Anzahl Einsen“.
Übung: Geben Sie die Verteilung an: __________________________________
Relationszeichen, die zugeordnet werden sollen: > ; < ; < ; ≤ ; ≤ ; ≥ ; =
Formulierung in der Aufgabe
Mathematischer Ausdruck
Höchstens 20 Einsen
P (X
20)
Mehr als 20 Einsen
P (X
20)
Genau 20 Einsen
P (X
20)
Mindestens 20 Einsen
P (X
20)
Weniger als 20 Einsen
P (X
20)
Mehr als 15 und weniger
als 25 Einsen
P ( 15
X
Wahrscheinlichkeit
25 )
Zusammenfassung:
Deutsch
Mindestens
Mehr als
Genau
Weniger als
Höchstens
Mathe
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AFS II: Umgang mit Zufall und Wahrscheinlichkeiten
Datum:
Thema: Summierte Binomialverteilung
Aufgabe 2:
In den summierten Binomialtabellen kann man Wahrscheinlichkeiten für „≤“ bzw. für „höchstens“
ablesen. Überlegen Sie, wie man Aussagen umformulieren muss, damit man die gesuchte Wahrscheinlichkeit ablesen kann. Es geht um eine Zufallsvariable, die B50;1/6-verteilt ist.
Beispiel: „weniger als 15“ entspricht „ < 15“ -> für das Ablesen muss umformuliert werden zu „≤“ also
„höchstens 14“ entspricht „≤ 14“
Formulierung Deutsch:
wie wahrscheinlich
sind…. Treffer?
Ausdruck mathematisch
Weniger als 20
P (X < 20 )
Mindestens 20
P(X>19) oder
P(X≥20)
Mehr als 20
P(X>20) oder P(X≥21)
Höchstens 20
P(X≤20)
Genau 20
P(X=20)
Mehr als 15 und weniger als 25
P(15 < X < 25)
Umformulierung
Deutsch zum Ablesen
Ausdruck mathematisch
Aufgabe 3:
Für die summierten Binomialtabellen verwendet man die Kurzschreibweise F (n; p; k) = P (X ≤ k)
Finden Sie folgende Wahrscheinlichkeiten in den Binomialtabellen:
a) F (20; 0,10 ; 4) =
b) F (20; 0,40; 6) =
c) F (50; 0,014; 2) =
d) F (50; 0,30; 15) =
e) F (50; 0,70; 30) =
(Achtung: Hinweis beachten!)
f) F (80; 0,60; 50) =
(Achtung: Hinweis beachten!)
Aufgabe 4: S121; Nr. 2 und Nr.3 und Nr. 6 und S. 122 Nr. 12 a-d