Ferienkurs Experimentalphysik 3 - Übungsaufgaben Geometrische

Ferienkurs Experimentalphysik 3 - Übungsaufgaben
Geometrische Optik - Lösung
Matthias Brasse, Max v. Vopelius
24.02.2009
Aufgabe 1:
Zeigen Sie mit Hilfe des Fermatschen Prinzips, dass aus der Minimierung des optischen Wegunterschieds für zwei mögliche Wege P Q das Reflexions- und Brechungsgesetz folgen.
Lösung
a) Unterschied der optischen Weglänge:
!
n1 · XC2 − n2 · Y C1 = n1 · d · sin Θe − n2 · d · sin Θt = 0
⇒ n1 d sin Θe = n2 d sin Θt bzw.n1 sin Θe = n2 sin Θt
b) d P C1 , QC1 (eigentlich infenitesimaler Unterschied d)
!
n1 C1 Y − n1 C2 X = n1 d cos Θe − n1 d cos Θt = 0
⇒ Θe = Θt
1
Aufgabe 2:
a) Zur Korrektur der Kurzsichtigkeit eines Auges (hervorgerufen durch Verlängerung des Augapfels) ist ein Brillenglas mit einer Dioptrienzahl von D = −2 erforderlich. Bestimmen
Sie die maximale Entfernung smax , auf die das Auge ohne Brille akkomodieren kann.
b) Ein altersweitsichtiges Auge (normale Länge des Augapfels) kann nur noch bis herab zu
smin = 40cm akkomodieren. Bestimmen Sie die erforderliche Dioptrienzahl einer Brille,
die scharfes Sehen bis s0 = 20cm ermöglicht. Bis zu welcher maximalen Entfernung kann
das Auge mit Brille noch akkomodieren.
Lösung
a) D = f1 → f = −0, 5m
Ziel: parallele Strahlen (g → ∞) fokussieren im Punkt smax des Auges.
⇒ b = f = −smax → smax = 0, 5m
b) g = 0, 2m → soll erreicht werden
b = −0, 4m → virtuell, muss auf gleicher Seite entstehen und Punkt minimaler Akkomodierfähigkeit treffen
1
+ g1 = f1 → f = 0, 4m D = 2.5
b
scharf sehen bis zu dem Punkt bei dem Strahlen parallel in die Linse kommen (also
b → ∞), bis g = 0.4m möglich.
Aufgabe 3:
Auf einen sphärischen Konkavspiegel mit einem Durchmesser von 40cm und einem Krümmungsradius von 60cm falle ein Lichtbündel parallel zur optischen Achse. Reflektierte Strahlen
schneiden die optische Achse nicht genau im Brennpunkt. Den Abstand dieses Schnittpunktes
zum Brennpunkt nennt man sphärische Längenaberration.
a) Bestimmen Sie die Längenaberration als Funktion des Einfallwinkels α (Winkel zwischen
einfallendem Strahl und Einfallslot).
b) Die Breite des Lichtbündels sei größer als der Durchmesser des Spiegels. Berechnen Sie die
größte vorkommende Längenaberration.
c) Zeigen Sie, daß die Lichtintensität auf der optischen Achse tatsächlich im Brennpunkt maximal ist.
Lösung
a)
• (i) s =
R
2
·
1
cos α
f = 2r ,
• (ii) x = s − f =
R
2
1
cos α
− 1 , Dreieck gleichschenklig, Basis r und Winkel α
2
b)
h
d
sin α =
→ αmax = arcsin
R
2r
xmax = 1, 8cm
!
= 19, 5 ◦
c) Intensität Φ ∼ bestrahlte Fläche
⇒ Änderung dΦ ∼ 2πydy (Fläche eines Kreissegments, da das auftreffende Licht eine
Kreisfläche sieht mit Abstand y zum Mittelpunkt)
Wir suchen dΦ
, also die Änderung nicht auf die Höhe, sondern den Abstand zum Brendx
npunkt bezogen. Dies soll gerade an der Stelle x = 0 maximal sein.
⇒
→
⇒
y = R · sin α, dy = R cos αdα
dΦ ∼ 2πR2 sin α cos αdα
R sin α
dx
= ·
dα
2 cos2 α
2 cos2 α
dx = 4πR cos3 αdx
dΦ ∼ 2πR2 sin α cos α
R sin α
R
R
cos α = R 2 =
2x + R
+x
2
R4
dΦ
∼ 4π
⇒ maximal für x = 0
dx
(2x + R)3
Aufgabe 4:
Gegeben sei ein Fernrohr mit dem Objektivdurchmesser D und der Vergrößerung v. Bestimmen
Sie das Verhältnis der Beleuchtungsstärken (Strahlungsleistung pro Flächeneinheit) der Bilder,
die von weit entfernten Gegenständen auf die Netzhaut eines Auges (Pupillendurchmesser d)
mit und ohne Fernrohr projeziert werden.
Lösung
H := Helligkeit / Beleuchtungsstärke
φ2e
, Öffnungswinkel φe ∝ Objektivdurchmesser De
B2
f
b
B
VergrößerungVT =
=− =
→ b = f , da g f
f −g
g
G
B2 ∝ f 2
D2
H∝ 2
f
fmit Instrument
v=
fohne Instrument
H∝
→
⇒
D2
⇒
e
Hmit
D2
f 2 02
∝ 2f = 2 2
Hohne
d
v d
3
Aufgabe 5:
Ein Okular bestehe aus zwei dünnen Plankonvexenlinsen mit den Krümmungsradien r1 und r2
im Abstand d = 2.604cm voneinander (siehe Skizze). Ein solches System hat eine Brennweite
f , wobei f1 = f11 + f12 − f1df2 .
a) Das Okular soll als Lupe die Vergrößerung v = 10 besitzen. Wie groß muss dann die Brennweite f gewählt werden?
b) Die Brennweite f des Okulars soll bei der Wellenlänge λ0 unabhängig von kleinen Wellenlängenänderungen sein (Achromat). Bei λ0 habe das Material beider Linsen den Brechungsindex n = 1.4. Berechnen Sie die Krümmungsradien r1 und r2 der beiden Linsen.
Lösung
Brennweite eines Linsensystems ist
1
f
=
1
f1
+
1
f2
−
d
f1 f2
a) v = 0 = sf0 = 10 (Vergrößerung einer Lupe)
→ f = 2, 5cm
b)
df
dλ
= 0 Bedingung dass Brennweite unabhängig
von
dλ sein soll.
1
1
1
Brennweite dünne Linse: fi = (n − 1) ri1 + ri2 = n−1
(eine Seite plan)
r1
⇒
→
n − 1 n − 1 d (n − 1)2
1
=
+
−
f
r1
r2
r1 r2
r1 r2
f=
(n − 1) [r2 + r1 − (n − 1) d]
|
{z
}
N
"
#
df
df dn
r1 r2 dn
dn !
(r2 + r1 − (n − 1) d) + (n − 1) (−d)
=
= 2
=0
dλ
dn dλ
N
dλ
dλ
⇒ (I)
(II)
(I) in (II)
!
r2 + r1 − 2 (n − 1) d = 0
r1 r2 = (n − 1) f r2 + (n − 1) f r1 − (n − 1)2 f d
2 (n − 1) dr2 − r2 = (n − 1) f r2 + (n − 1) f (2 (n − 1) d − r2 ) − (n − 1)2 f d
r22 − 2 (n − 1) dr2 + (n − 1)2 f d = 0
r1,2 = (n − 1) ±

(n − 1) d 1 ±
q
(n − 1)2 d2 − (n − 1)2 df
s

f
1− 
d
r1 = 1, 25cm
r2 = 0, 83cm
4
Aufgabe 6:
Quarz hat für Neutronen der Wellenlänge λ = 2nm den Brechungsindex n ' 1 − aλ2 mit
a = 0.575 · 1014 m−2 . Beachten Sie, daß gilt: n < 1. Der Brechungsindex in Luft sei 1.
a) Ein Neutronenstrahl werde durch ein Quarzprisma mit Öffnungswinkel γ = 120 ◦ abgelenkt.
Skizzieren Sie den Strahlengang für den symmetrischen Durchgang. Zeigen Sie, daß bei
symmetrischem Strahlengang im Fall n = 1 der Ablenkwinkel δ (Winkel zwischen Strahl
vor und nach dem Prisma) in erster Näherung gegeben ist durch δ = 2 (1 − n) tan γ2 .
Berechnen Sie in dieser Näherung den Ablenkwinkel δ und die Dispersion dδ/dλ für
Neutronen der Wellenlänge λ = 2nm.
b) Der Neutronenstrahl werde an einer ebenen Quarzoberfläche totalreflektiert. Zeigen Sie,
daß der Grenzwinkel δ’ der Totalreflektion bei streifendem Einfall (siehe Skizze) in erster
Näherung gegeben ist durch δ’ = .... .Berechnen Sie den Grenzwinkel δ’ für Neutronen
der Wellenlänge λ = 2nm. Neutronen welcher Wellenlänge werden bei einem festen Einfallswinkel δ (siehe Skizze) totalreflektiert?
Lösung
a)
⇒
⇒
⇒
⇒
α0 + α0 + (π − γ))π
2α0 = γ
(α0 − α) + (α0 − α) + (π − δ) = π
δ = 2 (α0 − α)
und sin α = n sin α0
n ≈ 1 → α ≈ α0 → Entwicklung sin α0 um α
⇒= n [sin α + (α0 − α) cos α + . . . ] (1. Ordg)
(1 − n) tan α = n (α0 − α)
γ
δ
(1 − n) tan =
2
2
2
n = 1 − aλ
γ
δ = aλ2 tan = 8 · 10−4 rad
2
dδ
γ
= 4aλ tan = 8 · 10−4 rad
dλ
2
5
b) δ 0 + Θ = π2 , n1 = 1, n = 1 − aλ2
n · sin
90 ◦} = 1 · sin Θ = 1 · cos δ 0 ' 1 −
| {z
1
⇒
⇒
δ 02
2
δ 02
q 2
δ 0 = 2 (1 − n)
n−1=
n = 1 − aλ2 λ = 2nm → δ 0 = 2, 14 · 10−2 rad = 1, 23 circ
δ=
√
v
1
2a · λ λ≥ λ = √ δ
2a
Aufgabe 7:
Ein Gegenstand wird durch eine dünne bikonvexe Glaslinse (n = 1.5) mit den Krümmungsradien 30cm und 50cm auf einen Schirm abgebildet. Das Bild hat die halbe Größe des Gegenstandes.
Wie weit ist die Linse vom Gegenstand und wie weit vom Schirm entfernt?
Lösung
⇒
1
1
B= G→b= g
2
2
1 1
3
1
+ = =
b g
g
f
1
1
1
1
1
1
(n
= 0, 5 ·
= − 1)
+
+
≈
f
r1 r2
30cm 50cm
40cm
g = 120cm, b = 60cm
Aufgabe 8:
Auf dem Boden eines Beckens mit der Wassertiefe d = 1m liegt eine Münze, die ein Junge,
dessen Augen sich h = 1m über der Wasserfläche befinden, unter einem Winkel von 45 ◦ zur
Wasseroberfläche sieht. Unter welchem Winkel wird er sie sehen nachdem das Wasser abgelassen
ist?
Lösung
• sin α = nw sin β
• x1 = d · tan α
• x2 = d · tan β
2d
⇒ γ = arctan
x1 + x2
!

= arctan 

2
tan α + tan arcsin
6
1
nw
sin α

= 50, 86 ◦
Aufgabe 9:
Berechnen Sie die Brennweite einer dicken bikonvexen Linse aus Kronglas SK1 und den Krümmungsradien +20cm und −20cm. Die Linse sei 4cm dick und befinde sich in Luft (n = 1).
Lösung
Möglichkeit (a): Im Skript verwendete Formel:
"
#
(n − 1) d
1
1
1
= (n − 1)
− +
f
r1 r2
nr1 r2
r1 = 20cm r2 = −20cm nSK1 = 1, 61016
⇒ f = 0, 17m
Möglichkeit (b): Hintereinanderausführung des Brechungsgesetzes an Kugelflächen
⇒
n2 − n1
n1 n2
+
=
mitg → ∞
g
b
r
n2 · r
b=
= 52, 8cm
n2 − n1
g 0 = − (b − 4cm) = −48, 8cm Gegenstandsweite der zweiten Abbildung
n2
n1 − n2
+ n1 b0 =
(jetzt Brechung von n2 nach n1 )
0
g
r2
"
⇒
n1 − n2 n2
− 0
b =f =
r2
g
0
#−1
= 0, 16m
Der Unterschied zwischen den Ergebnissen resultiert aus der Einführung der Hauptebenen, für
die die Brennweite oberer Formel gelten. Möglichkeit (b) berechnet die Brennweite ab Oberfläche, Möglichkeit (a) ab der Hauptebene.
Aufgabe 10:
Ein dünner Glasstab habe die Länge l = 30cm, die Brechzahl n = 1.5, und werde durch
ein planes und ein sphärisch konvexes Ende mit Krümmungsradius r = 10cm abgeschlossen.
Außerhalb des Stabes, im Abstand g = 60cm vor der sphärischen Fläche, befinde sich auf der
Symmetrieachse des Stabes eine punktförmige Lichtquelle Q.
Skizzieren Sie den Verlauf der von Q ausgehenden Lichtstrahlen. Gibt es einen Punkt, in
dem sich die Strahlen wieder treffen? Und wenn ja: wo? Unter welchem Winkel ξ treffen sich
Strahlen, die bei Q mit einem Winkel α mit der optischen Achse einschließen? Wie groß ist die
Winkelvergrößerung?
7
Lösung
dünn bedeutet D 1, und damit sin α ≈ tan α ≈ α
g tan α = r tan β → β =
g
·α
r
γ =β+α
n1 ·γ = n2 · δ →
|{z}
=1
⇒
⇒
γ
= n2
δ
=β−δ
g
α+α
g
1
α
g
= ·α− r
−
= α· 1−
r
n2
r
n2
n2
b · tan = g · tan α
g
1
α
b· α 1−
−
=g·α
r
n2
n2
g
n−1
g
1
n 1
→ b = 45cm(länger als der Stab)
b· −b·
−
=g⇒ + =
r
rn2 n2
b g
r
ξ
n = , a = (b · l) = 10cm
ξ
ξ
g
Winkelvergrößerung = (n − 1) − 1 = 2
α
r
Aufgabe 11:
In der Photographie wird die Blende 1 : F = Df als Verhältnis zwischen dem Durchmesser D
der Eintrittspupille und der Brennweite f eines Objektivs angegeben.
Mit einem Teleobjektiv (f = 150mm) wird bei Blende 1 : 4 auf einen Gegenstand in 5m
Entfernung fokussiert. Berechnen Sie den Tiefenschärfebereich. Nehmen Sie dazu an, dass ein
Gegenstand als scharf erscheint, solange er auf dem Film als Kreisscheibe mit einem Durchmesser d ≤ 0.05mm abgebildet wird.
Lösung
• Blendenzahl 1 : F =
D
f
• Teleobjektiv, f = 150mm, d ≤ 0, 05mm = B0 maximale Größe der Kreisscheibe
8
• ∆g ≤
b·B0
D·|VL |
(vgl. Skript)
• gf ⇒b=f
• |VL | =
f2
(g−f )2
B0 · (g − f )2
B0 g 2
⇒ ∆g ≤ |{z}
4 ·
≈ 4 · 2 = 22, 2cm
f2
f
f
D
Aufgabe 12:
Das Modell eines Zoom-Objektivs für eine Kleinbild-Kamera soll aus zwei dünnen Sammellinsen
mit veränderbarem Abstand d, gleichen Brennweiten und Brechzahlen n = 1.57 aufgebaut
werden und folgende Eigenschaften haben: Brennweitenvariation zwischen 90mm und 210mm,
Öffnungsverhältnis 1 : 3.5.
a) Alle Oberflächen der sphärischen Sammellinsen haben den Krümmungsradius r = 91mm.
Wie groß ist deren Brennweite f1 ?
b) Welchen Durchmesser D muss die Frontlinse (Eintrittspupille) haben?
c) In welchem Bereich muss der Linsenabstand d veränderbar sein?
d) Welche kleinste Brennweite ist möglich, wenn beide Linsen denselben Durchmesser D haben?
Lösung
• zwei Linsen, Abstand d variabel
• Brennweiten gleich, Brechzahl n = 1.57
• Blendenvariation zwischen 90mm und 210mm, Öffnungsverhältnis 1 : 3, 5
a) r1 = −r2
⇒f =
b) Blendenzahl F =
f
D
⇒D=
f
F
1
r1 r2
n − 1 r2 − r1
= 79, 8mm
= 60mm
c) Brennweiten sind gleich, f1 = f2
1
1
1
d
f1 f2
f12
2f f1 − f12
=
+
−
→f =
=
→d=
f
f1 f2 f1 f2
f1 + f2 − d
2f1 − d
f
durch einsetzen:
fmin = 90mm → dmin = 88, 8mm
fmax = 210mm → dmax = 129, 3mm
9
d) Der kleinste Abstand entspricht zwei mal der halben Linsendicke. Trigonometrie ergibt:
d
r = r−
2
!2
2
D
+
2
2
⇒ d2 − 4rd + D2 = 0, d = 2r ±
√
4r2 − D2
Kleinere Lösung d = 10, 2mm
⇒ kleinste Brennweitef =
f12
= 42, 6mm
2f1 − d
Aufgabe 13:
Ein Teleskop zur Betrachtung weit entfernter Sterne bestehe aus zwei sphärischen Spiegeln
(siehe Skizze). Der Krümmungsradius des großen Spiegels (mit einem Loch im Zentrum) sei
2.0m, derjenige des kleinen betrage 0.6m. Der Abstand der Scheitel S1 , S2 der beiden Spiegel
sei 0.75m.
a) Berechnen Sie den Abstand des bildseitigen Brennpunktes F des Spiegelsystems vom Scheitel S2 des kleinen Spiegels (parallel einfallende Strahlen, siehe Skizze).
b) Bestimmen Sie die effektive Brennweite der Anordnung beider Spiegel (effektive Brennweite
= Brennweite einer Sammellinse mit gleichen abbildenden Eigenschaften wie das Spiegelsystem).
c) Mit Hilfe eines Okulars (fOK = 2cm) wird nun das reelle Zwischenbild des Sterns mit
entspanntem Auge betrachtet. Berechnen Sie die Vergrößerung des Gesamtsystems.
d) Was sind die Hauptvorteile von Spiegelteleskopen gegenüber astronomischen Fernrohren
(Linsenteleskope)? (max. 2 Sätze!)
Lösung
a)
1
g
+ 1b = f1 , g → ∞ und f =
außerdem b = y + 0.75m
r
2
⇒
1
b
=
y=
2
r1
r1
− 0, 75m = 0, 25m
2
negative Vorzeichen vor y und r2 !
(−0, 25m) · (−0, 6m)
1 1
2
yr2
+ = ⇒x=
=
= 1, 5m
y x
r
2y − r2
−0, 5m + 0, 6m
10
b) Konstruktion mit Strahlensatz
⇒
⇒
c) v =
f
fOk
=
6
0,02
d
x
d
|y|
= und
=
D
f
D
|y| + 0, 75m
(|y| + 0, 75m) x
f=
= 6m
|y|
= 300
d)
• keine chromatische Aberration durch Brechung
• Spiegel können größer gebaut werden → höhere Lichtausbeute
• Spiegel kosten weniger als Linsen
Aufgabe 14:
Ein Lichtstrahl treffe aus Luft (n = 1) auf einen Plexiglasquader, der fast vollständig in Äthylalkohol eingetaucht ist (siehe Abbildung).
a) Berechnen Sie den Winkel Θ, für den sich am Punkt P Totalreflexion ergibt.
b) Wenn der Äthylalkohol entfernt wird, ergibt sich dann auch mit dem in a) berechneten
Winkel Θ am Punkt P Totalreflexion? Begründung!
Lösung
a) Es ist nP lexiglas = 1, 491 und nAlkohol = 1, 3617
1.Brechung
n1 sin θ = nP lexi sin θ1
aus Symmetrie folgt θ2 =
π
2
− θ1
11
2.Brechung
π
− θ1 = nAlk. sin θ3
nP lexi sin
2{z
|
}
cos θ1
◦
Für Totalreflexion muss θ3 = 90 sein.
= 24 ◦
⇒ θ1 = arccos nnPAlk.
lexi
⇒ θ = arcsin (nP lexi sin θ1 ) = 37, 4 ◦
b) da nalk > nLuf t ist kritischer Winkel für Luft kleiner und es findet immer noch Totalreflexion
statt.
12