Aufgaben zu Inhalten der 5. Klassen

Aufgaben
zu Inhalten der 5. Klasse
Universität Klagenfurt,
Institut für Didaktik der Mathematik (AECC-M)
September 2010
Zahlbereiche
Es gibt Gleichungen, die
(1) in Z, nicht aber in N,
(2) in Q, nicht aber in Z,
(3) in R, nicht aber in Q
Lösungen besitzen.
Aufgabenstellung:
Geben Sie für jeden dieser drei Fälle jeweils eine Gleichung mit Koeffizienten aus den
natürlichen Zahlen an!
2
Lösungen einer quadratischen Gleichung I
Gegeben sei die quadratische Gleichung u·x² + v·x + w = 0, mit u ≠ 0; u, v, w ∈ ℝ.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie an, welche der folgenden Aussagen über die Lösung(en) dieser quadratischen
Gleichung zutreffend bzw. nicht zutreffend sind:
zutreffend
Eine quadratische Gleichung ux² + v·x + w = 0 hat genau
zwei reelle Lösungen, wenn gilt: v² – 4u·w > 0.
Eine quadratische Gleichung ux² + v·x + w = 0 hat genau
zwei reelle Lösungen, wenn gilt: v² – 4u·w < 0.
Eine quadratische Gleichung ux² + v·x + w = 0 hat genau
eine reelle Lösung, wenn gilt: v² – 4u·w = 0.
3
nicht zutreffend
Lösungen einer quadratischen Gleichung II
Gegeben sei die quadratische Gleichung 3x² + 4x + c = 0, mit c ∈ ℝ.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie an, welche der folgenden Aussagen über die Lösung(en) dieser quadratischen
Gleichung zutreffend bzw. nicht zutreffend sind:
zutreffend
Die gegebene quadratische Gleichung hat genau zwei Lösungen
4
in der Menge der reellen Zahlen, wenn gilt: c > .
3
Die gegebene quadratische Gleichung hat genau zwei Lösungen
4
in der Menge der reellen Zahlen, wenn gilt: c < .
3
Die gegebene quadratische Gleichung hat genau eine reelle
4
Lösung, wenn gilt: c = .
3
4
nicht
zutreffend
Zur Lösungsformel quadratischer Gleichungen
Ein Computerprogramm gibt als eine der beiden Lösungen der quadratischen Gleichung
x 2 + p x + q = 0 den folgenden Term aus:
1
(− p + p 2 − 4 q )
2
In einem Formelheft wird die entsprechende Lösung durch den folgenden Term angegeben:
−
p
+
2
p2
−q
4
Aufgabenstellung:
Zeigen Sie durch geeignete Umformungen, dass die beiden Terme äquivalent sind! Geben
Sie dazu mindestens zwei Zwischenschritte an!
5
Summe von Vektoren
r  6 r  1 
r  1
Gegeben sind die Vektoren a =   , b =   und c =   .
 3
 y
 1
Aufgabenstellung:
r
r
Bestimmen Sie die y-Koordinate des Vektors b so, dass die Summe der beiden Vektoren a
r
r
und b die gleiche Richtung wie der Vektor c hat!
6
Elektroboot
Auf einem Radar kann ein Elektroboot an der Position A(2/0) identifiziert werden. Es fährt mit
konstanter Geschwindigkeit auf direktem Kurs in Richtung des Punktes Z(2/36), den es 12 Minuten
später erreicht.
Aufgabenstellung:
Geben Sie die Koordinaten jenes Vektors an, der den vom Boot innerhalb einer Minute
zurückgelegten Weg beschreibt!
7
Parallelogramm
Gegeben ist ein Parallelogramm, seine vier Eckpunkte sowie zwei Vektoren a und b, dargestellt als
Pfeile:
Aufgabenstellungen:
Zeichnen Sie:
i) vom Punkt C aus einen Pfeil, der den Vektor a darstellt
ii) vom Punkt A aus einen Pfeil, der den Vektor a + b darstellt
iii) vom Punkt B aus einen Pfeil, der den Vektor · a darstellt
iv) vom Punkt D aus einen Pfeil, der den Vektor a – b darstellt
8
Geraden in der Ebene
g und h sind zwei Geraden in Parameterdarstellung:
 3 
1
g : X =   + s ⋅  
 − 4
 2
 4
 2
h : X =   + t ⋅  
 3
1
Aufgabenstellungen:
a) Sind die beiden Geraden zueinander parallel? Begründen Sie Ihre Antwort!
b) Sind die beiden Geraden zueinander normal? Begründen Sie Ihre Antwort!
9
Identische Geraden?
Gegeben sind zwei Geradengleichungen:
 3
1
g1: X =   + t1 ⋅  
 5
 2
 4
 − 3
g2: X =   + t1 ⋅  
7
 − 6
Aufgabenstellung:
Beschreiben die gegebenen Gleichungen ein und dieselbe Gerade?
Begründen Sie Ihre Antwort! (Eine Zeichnung allein genügt nicht als Begründung.)
10
Höhe im Dreieck
 − 4
Von einem Dreieck kennt man die Koordinaten der Eckpunkte: A =   , B =
 − 2
 4
  , C =
 4
0
  .
 3
Aufgabenstellung:
Geben Sie eine Gleichung jener Geraden an, auf der die Höhe des Dreiecks liegt, die durch
den Eckpunkt C verläuft!
11
Flächeninhalt eines Parallelogramms
Zur Berechnung des Flächeninhaltes A eines
Parallelogramms stehen unter anderen folgende
Formeln zur Verfügung (Bezeichnung der
Bestimmungsstücke siehe Abbildung):
(1)
A = a ⋅ ha
( 2)
A = a ⋅ b ⋅ sin α
Aufgabenstellungen:
a) Erklären Sie, wie man aus der Formel (1) die Formel (2) erhält!
b) Begründen Sie, dass die bekannte Rechtecksformel A = a ⋅ b ein Spezialfall der Formel
(2) ist!
12
Steigung einer Straße
Die Steigung (bzw. das Gefälle) von Straßen wird auf Verkehrsschildern
in Prozent angegeben. Eine Angabe von 12 % Steigung bedeutet
beispielsweise, dass auf einer waagrechten Strecke von 100 Metern die
Höhe um 12 Meter zunimmt. Jeder Steigung von p (in %) entspricht ein
bestimmter Steigungswinkel α.
Aufgabenstellungen:
a) Drücken Sie den Zusammenhang zwischen α und p in einer Formel aus!
b) Wie groß ist der Steigungswinkel bei einer Steigung von 100 %?
c) Wie groß ist die Steigung (in Prozent) bei einem Steigungswinkel α = 120 ?
13
Sehwinkel
Die scheinbare Größe eines entfernten Objektes wird meist durch den Sehwinkel α angegeben. Das
ist jener Winkel, unter dem dieses Objekt (Höhe h) von einer Beobachterin B aus der Entfernung r
wahrgenommen wird (siehe Grafik).
Aufgabenstellung:
Drücken Sie die Beziehung zwischen α, r und h durch eine entsprechende Formel aus!
14
Kräfteparallelogramm
Eine Kugel wird auf einer schiefen Ebene aufgrund ihres Gewichtes G abwärts beschleunigt. Zur
Bestimmung der beschleunigenden Kraft F1 wird die Gewichtskraft G in die beiden Komponenten
F1 und F2 zerlegt (siehe Graphik; die Größe der einzelnen Kräfte wird durch die Länge der
entsprechenden Pfeile dargestellt).
Aufgabenstellungen:
a) Drücken Sie die beiden Komponenten F1 und F2 durch G und α aus!
b) Für welchen Winkel α ist die beschleunigende Kraft F1 gleich der halben Gewichtskraft?
15
γ
DIN-A4-Diagonale
β
α
Ein DIN-A4-Blatt hat folgende Abmessungen (in mm): 210 x 297.
Wenn man ein DIN-A4-Blatt längs einer Diagonale teilt, entstehen
zwei Dreiecke.
Aufgabenstellung:
Wie groß sind die Innenwinkel dieser Dreiecke?
α
β
Winkel α
Winkel β
Winkel γ
16
γ
Stehleiter
Eine Stehleiter reicht ungefähr 1,93 m hoch, wenn sie
auf α = 30° geöffnet wird.
Aufgabenstellungen:
i) Wie lang ist die zusammengeklappte Leiter?
ii) Mit Sicherungskette lässt sich die Leiter auf höchstens α = 45° öffnen. Kann die Leiter
dann 1,9 m hoch reichen?
17
Dachneigung
Für ein Wohnhaus wurde von der Baubehörde eine Dachneigung von 23° vorgeschrieben.
Das Haus ist 8 m breit.
Ein Ausbau des Dachbodens kommt erst ab einer Giebelhöhe von 2,50 m in Frage.
Aufgabenstellung:
Kann ein Ausbau des Dachbodens erfolgen?
18
Welthandelspreise
In nebenstehender Grafik ist die Entwicklung
der Welthandelspreise im Zeitraum 1998 bis
2008/09 für einige ausgewählte
landwirtschaftliche Produkte dargestellt.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie in der folgenden Tabelle jeweils an, ob eine Aussage zutreffend oder nicht
zutreffend ist:
Sojabohnen waren im Zeitraum 2000 bis 2005 auf dem
Weltmarkt immer teurer als Reis.
Alle vier Produkte erreichten 2008 ihren höchsten
Weltmarktpreis im betrachteten Zeitraum.
Der Weltmarktpreis für Weizen war von 1998 bis 2008 immer
niedriger als der für Reis, aber höher als der für Mais.
Von 1998 bis zum Jahr 2005 blieben die WeltmarktTonnenpreise dieser vier Produkte unter 300 US-$.
Der Weltmarktpreis für Mais blieb im Zeitraum von 1998 bis
2005 unter 100 US-$.
19
zutreffend
nicht
zutreffend
Rennwagen
Links sehen Sie Abbildungen von fünf Rennstrecken: Jede Strecke ist drei Kilometer lang, die
Skizzen sind nicht im selben Maßstab angefertigt. Rechts sehen Sie ein Diagramm, das die Fahrt
während einer ganzen Runde darstellt.
Aufgabenstellung:
Auf welcher der fünf Rennstrecken fuhr der Wagen, sodass das rechts gezeigte
Diagramm entstand?
Rennstrecke
20
Schwimmbecken II
Ein Schwimmbecken verfügt über einen Zufluss, für welchen man zwei Stufen einstellen kann:
„geringer“ Zufluss und „starker“ Zufluss.
Der folgende Graph beschreibt die Höhe des Wasserstandes im Schwimmbecken im Laufe von
6 Stunden, wobei diese Zeitspanne in drei Phasen A, B und C eingeteilt ist.
Aufgabenstellung:
Gegeben sind folgende Aussagen:
Aussage A1:
Aussage A2:
Aussage A3:
Aussage A4:
Während der gesamten Phase ist der Zufluss nicht geöffnet.
Innerhalb der Phase nimmt der Wasserstand um 1 dm zu.
Während der gesamten Phase erfolgt ein starker Zufluss.
Zuerst bleibt der Wasserpegel konstant, dann erfolgt ein geringer Zufluss.
Markieren Sie jene Aussage(n),
die auf die angegebene Phase
zutrifft/zutreffen:
Abschnitt A
 A1
 A2
 A3
 A4
Abschnitt B
 A1
 A2
 A3
 A4
Abschnitt C
 A1
 A2
 A3
 A4
21
Funktionale Zusammenhänge II
Gegeben seien die folgenden Aussagen:
(1) Verdoppelt man v, wächst u auf das Vierfache.
(2) Verdoppelt man v, halbiert sich u.
(3) Halbiert man v, halbiert sich u.
(4) Vergrößert man v um 1, wächst u um 2.
(5) Vergrößert man v um 1, verringert sich u um 3.
Aufgabenstellungen:
a) Kreuzen Sie die der Formel entsprechende Aussage an:
u =
4
v
 (1)
 (2)  (3)  (4)  (5)  Keine der Aussagen passt
b) Kreuzen Sie die der Formel entsprechende Aussage an:
u=
10
v2
 (1)
 (2)  (3)  (4)  (5)  Keine der Aussagen passt
c) Kreuzen Sie die der Formel entsprechende Aussage an:
u = 2v + 3
 (1)
 (2)  (3)  (4)  (5)  Keine der Aussagen passt
22
Chemischer Prozess
Damit ein chemischer Prozess optimal ablaufen kann, müsste sich die Temperatur y in einem
Behälter innerhalb von 8 Minuten gemäß der dargestellten Grafik (x in Minuten) entwickeln.
Von der dargestellten „Solltemperatur“ ist die
tatsächliche Temperatur zu unterscheiden. Diese beträgt
am Anfang des Prozesses 6°, anschließend wird sie
gleichmäßig pro Minute um 3° erhöht.
Wenn die tatsächliche Temperatur kleiner als die
Solltemperatur ist, leuchtet eine blaue Lampe, ist die
tatsächliche Temperatur größer als die Solltemperatur,
leuchtet eine rote Lampe.
Aufgabenstellung:
Geben Sie bei jeder der folgenden Aussagen an, ob diese zutreffend oder nicht zutreffend
ist:
zutreffend
Nachdem genau 5 Minuten vergangen sind, leuchtet die
blaue Lampe.
Nachdem genau 3 Minuten vergangen sind, ist die Solltemperatur genau um 2 Grad größer als die tatsächliche
Temperatur.
Ab dem Beginn der 7. Minute bis zum Ende der 8. Minute
leuchtet die rote Lampe.
23
nicht
zutreffend
Handytarife II
Es soll zwischen zwei
Angeboten gewählt
werden. Die beiden
Handytarife (für je einen
Monat) sind als lineare
Funktionen der Form
f(x) = k · x + d
modelliert und grafisch
dargestellt.
Tarif A
Tarif B
Aufgabenstellungen:
i) Geben Sie die beiden Funktionsgleichungen an:
für Tarif A:
für Tarif B:
ii) Bei weniger als 100 Gesprächsminuten pro Monat ist Tarif …… teurer als Tarif ……
24
.
Nullstellen einer quadratischen Funktion I
Gegeben sei eine quadratische Funktion mit f(x) = a·x² + b, mit a ≠ 0; a, b ∈ ℝ.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie an, welche der folgenden Aussagen über die Nullstellen einer quadratischen
Funktion zutreffend bzw. nicht zutreffend sind:
zutreffend nicht zutreffend
Gilt a > 0 und b < 0, dann hat die Funktion genau zwei
verschiedene reelle Nullstellen.
Gilt a < 0 und b < 0, dann hat die Funktion genau zwei
verschiedene reelle Nullstellen.
Gilt a > 0 und b > 0, dann hat die Funktion genau zwei
verschiedene reelle Nullstellen.
Gilt a < 0 und b > 0, dann hat die Funktion genau zwei
verschiedene reelle Nullstellen.
Gilt b = 0, dann hat die Funktion genau eine reelle Nullstelle.
25
Lineare und quadratische Funktion
In der nachfolgenden Grafik ist der Graph der
Funktion f mit f(x) = x2 und der Graph einer
linearen Funktion g dargestellt.
Aufgabenstellungen:
a) Ermitteln Sie eine Gleichung der
linearen Funktion g!
b) Der Graph der Funktion f und der
Graph der Funktion g schneiden
einander.
Berechnen
Sie
die
Koordinaten der Schnittpunkte!
26