Mathe-Trainings-Heft Prüfungsvorbereitung für Oberstufe und Abitur Übungsaufgaben mit Lösungen Vektorgeometrie Videos Kostenlose egen mit Rechenw Seite.de auf Mathe20 © Havonix Schulmedien-Verlag Punkte, Geraden und Ebenen Abstände berechnen Kreise und Kugeln Pyramiden … und mehr Kostenlose Videos mit Rechenwegen auf Mathe-Seite.de Kombiniere Lern-Videos mit Lern-Schriften für bessere Noten. Du möchtest nicht nur die Lern-Videos schauen, sondern auch mal ein paar Übungsaufgaben rechnen oder Theorie nachlesen? Dann nutze die kostenlosen Lern-Schriften! Das Besondere an den Lern-Schriften ist, dass Struktur und Inhalte identisch mit den Lern-Videos auf der Mathe-Seite.de sind. Falls du also in den Lern-Schriften etwas nicht verstehst, findest du die nötigen Erklärungen im Lern-Video - am schnellsten via QR-Codes. Damit die Mathe-Seite.de kostenlos bleiben kann, braucht sie deine Hilfe! Bitte empfiehl die Mathe-Seite deinen Freunden. 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Bestimmen Sie die restlichen Eckpunkte. x= [3] Zeichnen Sie die Gerade g : ⃗ [5.1.2] −1 3 −2 2 −4 2 ( ) + r⋅( ) Mittelpunkte, Schwerpunkte, Richtungsvektoren [1] A(3|2|0), B(7|-3|8), C(-1|4|-2) Bestimmen Sie den Mittelpunkt MAB der Strecke AB. Bestimmen Sie den Schwerpunkt des Dreiecks ABC. Bestimmen Sie die Verbindungsvektoren ⃗ AC , ⃗ BC . AB , ⃗ Zeichnen Sie die Punkte A, B, C und den Vektor ⃗ AB ein. [2] Gegeben ist das Dreieck PQR mit P(3|2|0), Q(7|-3|8), R(-1|4|-2). Berechnen Sie die Koordinaten der Seitenmitten MPQ, MPR, MQR des Dreiecks PQR. Zeigen Sie: die Schwerpunkte der Dreiecke PQR und M PQMPRMQR fallen zusammen [5.1.3] Parameterform von g aufstellen Stellen Sie eine Parameterform der Gerade auf, die durch die beiden Punkte geht: [1] durch A(5|4|1) und B(3|3|2) bzw. [2] durch P(0|-3|9) und Q(4|3|7) bzw. durch C(-3|4|-1) und D(-1|3|1) durch R(2|4|8) und S(4|5|7) [5.1.4] Erklärung der Ebenenformen (PF, KF, NF, HNF, AAF) Machen Sie sich klar, wie die verschiedenen Ebenenformen aussehen, wofür man sie verwendet und welche Angaben zum Aufstellen notwendig sind. [1] Parameterform (PF) [2] Koordinatenform (KF) [3] Normalenform (NF) [4] Hesse-Normal-Form (HNF) [5] Achsen-Abschnitts-Form (AAF) [5.1.5] Parameterform von E aufstellen Geben Sie eine Parameterform der Ebene E an, welche bestimmt ist durch: [1] A(2|4|1), B(1|2|-1), C(3|-4|-2) [2] A(2|-3|2), B(0|3|2) und C(3|0|-2) 2 r⋅ −4 2 −1 3 −2 ( )+ ( ) x= [5] g : ⃗ ( )+r⋅( ) , h : ⃗x = ( )+r⋅( ) x= [3] P(0|1|-1) und g : ⃗ x= [7] g : ⃗ 18 © Havonix Schulmedien-Verlag 3 3 2 4 6 0 4 2 3 4 2 6 −4 ( )+r⋅( ) , −3 2 0 h :⃗ x= 1 5 −4 1 1 −1 −1 −3 2 ( )+r⋅( ) 3 2 −1 1 1 −1 ( ) + r⋅( ) x= [6] g : ⃗ ( )+r⋅( ) , h : ⃗x = ( )+ r⋅( ) x= [4] P(-1|1|1) und h : ⃗ 2 3 4 4 2 −4 ( )+r⋅( ) , x= [8] g : ⃗ © Havonix Schulmedien-Verlag −1 5 2 2 1 0 2 3 4 3 2 −1 5 2 3 −6 −3 6 ( )+ r⋅( ) h:⃗ x= [5.1.6] Ebenenformen umwandeln (Parameterform in Koordinatenform) Geben Sie eine Koordinatenform der Ebene E an [1],[4],[7] E1 : ⃗ x= 2 4 1 [3],[6],[9] E3 3 2 4 1 s⋅ −8 −3 −1 r⋅ −2 −2 ( )+ ( )+ ( ) :⃗ x= ( ) + r⋅( ) + s⋅( ) 6 0 4 x= [2],[5],[8] E2 : ⃗ 2 −3 2 1 s⋅ 3 −4 −2 r⋅ 6 0 ( )+ ( )+ ( ) 1 1 −1 [5.6.15] [1] Tangentialebene: ETan :x 1+x2+x3=-3, [2] Tangentialebene: E Tan :2x1–2x2–x3=-2, [3] Tangentialebene: E Tan :-3x1–2x2+6x3=10, [5.1.7] Ebenenformen umwandeln (Koordinatenform in Parameterform) Geben Sie eine Parameterform der Ebene E an [5.6.17] [1] Öffnungswinkel: [1] E : 2x1+x2–2x3=6 [2] E : 6x1+2x2+3x3=12 [4] E : x1+3x3=6 [5] E : 2x2–3x3=12 [2] Öffnungswinkel: α=83,6° Polarebene: EP : 2x1+x2–2x3=14, [3] Polarebene: EP : 2x1+x2–2x3=14, [3] E : 4x 1+3x2+2x3=1 [5.1.8] Ebenenformen umwandeln (Koordinatenform in Normalenf. und zurück) Wandeln Sie die angegebene Koordinatenform (KF) der Ebene E in Normalenform um. Wenn Sie erfolgreich waren, dürfen Sie Ihr Ergebnis wieder in KF umwandeln. [1] 2x1+x2–2x3=6 [2] 6x1+2x2+3x3=12 [3] 4x1+3x2 +2x3=1 [5.1.9] Kreuzprodukt Geben Sie mithilfe des Kreuzprodukts denjenigen Vektor an, der auf den beiden angegeben Vektoren orthogonal (=senkrecht) steht. a= [1] ⃗ 2 1 −2 ( ) b= , ⃗ 2 −3 2 ( ) a= [2] ⃗ −1 −1 1 ( ) b= , ⃗ 1 4 −3 ( ) a= [3] ⃗ 8 4 1 () b= und ⃗ 2 0 6 () Bestimmen Sie mithilfe des Kreuzprodukts: [4] [5] [6] [7] Flächeninhalt des Dreiecks ABC: A(1|4|-3), B(2|0|1), C(5|2|0) Flächeninhalt Parallelogramm ABCD: A(3|2|1), B(5|3|-1), C(7|0|1), D(5|-1|3) Volumen der Pyramide: A(-2|2|1), B(4|4|4), C(1|2|2), S(1|4|0) Volumen der Pyramide: A(-2|3|4), B(4|5|7), C(6|8|1), D(0|6|-2), S(1|11|9) [5.7.1] [1] VPyr=12 Polarebene: EP : x1+x2+x3=2, [2] VPyr =36 [3] VPyr=27 [5.7.2] [1] VPyr=96 [2] Spitzen: S1(4|4|6), S2(4|4|-6) [3] A(2|-2|0) B(2|2|0) C(-2|2|0) D(-2|-2|0) [5.7.3], [5.7.4] [1] VPyr=13,5 [2] VPyr=85,33 [5.8.1] [1] t=2 [2] t1=1 t2=3 [3] t=0 (E2 (E1 (E3 (E0 : : : : 4x1+2x2+2x3=6) 2x1+1x2+2x3=5) 6x1+3x2+2x3=7) 3x2=4) 0 1 2 [3] VPyr=12 1 −2 0 ( ) + k⋅( ) x= : ⃗ ( ) + μ⋅( ) + λ⋅( ) x= [4] Schnittgerade: s : ⃗ [5] Egesucht [5.1.10] Spurpunkte, besondere Lage von Gerade Bestimmen Sie die Spurpunkte der Gerade g. Welche besondere Lage hat die Gerade im Raum? α=70,53° 0 1 2 1 −2 0 0 0 2 (←mehrere Formen dieser Ebene sind möglich!) [5.8.2] [1] r1≈1,81 ⇒ P1(4,05|9,86|-3,24); r2=0 ⇒ P2(-5|-1|4) [2] r1=0 ⇒ P1(3|4|-6); r2=9 ⇒ P2(21|-32|12) [5.1.11] Spurpunkte, besondere Lage von Ebenen Bestimmen Sie die Spurpunkte der Ebene E. Welche besondere Lage hat die Ebene im Raum? [5.8.3] [1] r1=0 ⇒ P1(3|1|4); r2=2 ⇒ P2(1|5|6) [2] r1=0 ⇒ P1(1|0|2); r2=4 ⇒ P2(5|-4|6) [1] E: 2x1 –3x2+6x3=12 [2] E: x1+3x2+2x3=6 [3] E: -2x1+3x3=6 [4] E: 3x2–x3=3 [5.8.4] [1] parallel: ü=1/3. g in E : unmöglich Schnittpkt: ü≠1/3. x= [1] g : ⃗ 2 6 2 1 + t⋅ −2 0 1 2 3 2 0 6 −4 0 2 1 2 2 1 4 3 2 2 3 ( ) ( ) [2] g : ⃗x = ( )+ t⋅( ) [3] g : ⃗x = ( )+ t⋅( ) [4] g : ⃗x = ( )+ t⋅( ) [5.1.12] Zeichnen von Ebenen Zeichnen Sie die Ebene mithilfe der Spurpunkte in ein Koordinatensystem ein. [1] E: 2x1 –3x2+6x3=12 [2] E: 3x2–x3=3 Zeichnen Sie die beiden Ebenen in ein Koordinatensystem ein, zeichnen Sie auch die Schnittgerade der beiden Ebenen ohne weitere Rechnung ein. [3] E: x1+3x2+2x3=6 und F : 2x 1+3x3=6 [5.8.5] [1] r1=0 ⇒ P1(3|1|4); r2=1/3 ⇒ P2(8/3|5/3|13/3) 4 17 © Havonix Schulmedien-Verlag [2] parallel: a=4. g in E : unmöglich Schnittpkt: a≠4. [3] parallel: unmöglich. g in E : unmöglich Schnittpkt: immer. [2] keine Lösung © Havonix Schulmedien-Verlag [5.6.1] [1] (x1–3)2+(x2–4)2=25 [2] (x1–7)2+(x2–4)2=169 [3] Kreis wird beschrieben mit M(-3|2) und r=2. [5.6.2] [1] Zwei Schnittpunkte: [2] Zwei Schnittpunkte: [3] Zwei Schnittpunkte: [5.2] Schnittmengen [5.2.1] Gegenseitige Lage von Geraden / Schnitt von Geraden Bestimmen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g und h. Bestimmen Sie gegebenenfalls den Schnittpunkt. S1(0|3) S2(-1|2) S1(2|10) S2(4|8) S1(-7|-4) S2(-14|3) [5.6.3] [1] Schnittgerade: s:y=-2x+7, [2] Schnittgerade: s:y=x, 2 [3] Schnittgerade: s:y= x+2 3 x= [1] g : ⃗ Zwei Schnittpunkte: S1(1|5) S2(3|1) Zwei Schnittpunkte: S1(0|0) S2(1|1) Zwei Schnittpunkte: S1(0|2) S2(6|6) [5.6.7] [1] K : (x1–3)2+(x2–4)2+(x3–5) 2=36 [2] K : (x1–1)2+(x2–3)2+(x3+5)2=29 [3] K : (x1–1)2+(x2+2)2+(x3–4)2=1 und und und −1 5 7 −1 5 2 1 2 3 2 −1 −2 2 4 −4 5 2 3 ( ) + r⋅( ) und E: 4x –3x +x = 6 x= [2] g : ⃗ ( ) + r⋅( ) und E: 2x +x +2x = 7 x= [3] g : ⃗ ( ) + r⋅( ) und E: -x +x +x = 2 M*(1|2|3), r*=10 M*(-3|4|5), r∗= √15 M* 19 11 −52 , r*≈3,3 ( 9∣9∣ 9 ) 1 2 1 1 2 2 3 3 3 [2] d(K,g)=3 [1] E1: [2] E1: [3] E1: [4] E1: 2x1+4x2–4x3=2 6x1–4x2+4x3=8 2x1+5x2+3x3=2 x1+x2+3x3 = 4 und und und und E 2: E 2: E 2: E 2: x1+2x2–2x3=5 -3x1+2x2–2x3=-4 x1+2x2+x3=2 2x1+x2–x3=-2 [5.3] Abstände [5.6.11] [1] P liegt im Inneren von K [2] P liegt außerhalb von K, d(K,P)≈2,78 [3] P liegt genau auf K 16 1 2 6 −4 4 2 −4 ) + r⋅( ) ) + r⋅( ) ) + r⋅( ) ) + r⋅( ) [5.2.3] Gegenseitige Lage von Ebenen / Schnitt Ebene-Ebene Bestimmen Sie die gegenseitige Lage der Ebenen E 1 und E 2. Bestimmen Sie gegebenenfalls die Schnittgerade. [3] Schnittebene: E:2x 1+4x2+4x3=-14, [5.6.14] [1] d(K1,K2)=1 [3] d(K1,K2)=2 2 −3 + r⋅ −1 2 1 −1 2 3 4 −1 −3 2 −6 −3 6 −3 4 −1 5 8 11 1 5 −4 3 2 −1 ( h:⃗ x= ( h : ⃗ x= ( h :⃗ x= ( x= und h : ⃗ () ( ) x= [3] g : ⃗ ( ) + r⋅( ) x= [4] g : ⃗ ( ) + r⋅( ) x= [2] g : ⃗ x= [1] g : ⃗ r*=10 r*=7 r*=3 [5.6.10] [1] Schnittebene: E:4x 1–4x2–2x3=-10, [2] Schnittebene: E:6x 1+2x2+3x3=5, [5.6.12] [1] d(K,g)≈0,732 2 + r⋅ 2 [5.2.2] Gegenseitige Lage von Gerade und Ebene / Schnitt Ebene-Gerade Bestimmen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g und der Ebene E. Bestimmen Sie gegebenenfalls den Schnittpunkt. [5.6.8] [1] S1(2|-2|4) S2(1|-2|3) [2] keine Schnittpunkte [3] Berührpunkt B(2|0|1) [5.6.9] [1] M*(1|2|3) [2] M*(7|7|7) [3] M*(4|5|-2) 5 4 1 4 3 2 2 3 4 1 1 1 () () [5.3.1] Abstand zweier Punkte Bestimmen Sie den Abstand der beiden Punkte. [1] A(2|-1|3), B(4|1|2) [3] d(K,g)=7 © Havonix Schulmedien-Verlag [3] P(0|1|1), Q(3|8|-2) [5.3.2, 5.3.3, 5.3.4, 5.3.5] Abstand Punkt-Gerade Bestimmen Sie den Abstand von der Gerade zum angegebenen Punkt. 1 2 3 5 1 3 5 2 3 −1 4 1 ( ) + r⋅( ) und A(5|5|7) x= [3] g : ⃗ ( ) + r⋅( ) und Z(11|10|9) x= [1] g : ⃗ [2] d(K1,K2)=0 [die Kugeln berühren sich] [2] C(-4|2|5), D(2|5|3) 5 x= [2] g : ⃗ © Havonix Schulmedien-Verlag 3 0 1 2 1 2 ( ) + r⋅( ) und P(-5|2|-1) [5.3.6] Abstand Punkt-Ebene über Lotgerade [5.3.2], [5.3.3], [5.3.4], [5.3.5] [1] d( A,g)= √ 3 ≈1,732 [2] d(P,g)=6 Welcher Punkt der Ebene E vom Punkt P den geringsten Abstand? Wie groß ist dieser Abstand? [1] P(5|-6|4) und E: 4x1–8x2+x3 = -9 [3] P(4|7|8) und E: -2x1+x2+2x3 = 6 [2] P(13|4|5) und E: 6x1–3x2–2x3 = 7 [3] d(Z,g)=9 [5.3.6] [1] d(E,P)=9 [2] d(E,P)=7 [3] d(E,P)=3 [5.3.7] Abstand Punkt-Ebene über HNF Welcher Punkt der Ebene E vom Punkt P den geringsten Abstand? Verwenden Sie die Methode über die Hesse-Normal-Form? [5.3.7] [1] d(E,P)≈2,785 [2] d(E,P)=7 [3] d(E,P)=3 [1] P(5|-6|4) und E: 4x1–8x2+x3 = -9 [3] P(4|7|8) und E: -2x1+x2+2x3 = 6 [5.3.8] [1] d(g,h)≈8,72 [2] d(E,g)≈8,43 [3] d(E1,E2)=6 [5.3.9] [1] d(g,h)=7 [2] d(g,h)=6 [3] d(g,h)≈1,732 [5.3.10] [1] d(g,h)=7 [2] d(g,h)=6 [3] d(g,h)= √3≈1,732 [5.4.1] [1] A*(9|7|2) [2] A(4|3|1) [3] P*(-3|5|4) [5.4.2] [1] P(-5|-2|7) [2] B*(9|7|4) [3] P*(-2|-2|-9) [5.4.3] [1] P*(8|-9|-8) [2] Q*(0|13|0) [3] R*(0|8|15) [5.5.1] [1] α≈40,37° [2] P(13|4|5) und E: 6x1–3x2–2x3 = 7 [5.3.8] Abstand von zwei parallelen Objekten Weisen Sie nach, dass beide angegebenen Objekte parallel sind. Wie groß ist deren Abstand? 7 2 7 + r⋅ 6 2 −4 −4 2 + r⋅ −5 2 6 7 () ( ) x= [2] g : ⃗ ( ) () x= [1] g : ⃗ x= und h : ⃗ 1 5 −4 −1 r⋅ −3 2 ( )+ ( ) und E: 7x 1+7x2–4x3 = 3 [3] E1: 6x1+3x2–6x3 = 9 und E2: 2x1+x2–2x3 = 21 [5.3.9, 5.3.10] Abstand zweier windschiefen Geraden Wie groß ist der Abstand der beiden windschiefen Geraden? −2 2 6 + r⋅ 3 4 2 −2 1 −2 + r⋅ 2 1 2 1 2 2 + r⋅ −1 3 −1 ( ) () x= [2] g : ⃗ ( ) () x= [3] g : ⃗ () ( ) x= [1] g : ⃗ 4 1 7 + r⋅ 3 −1 0 5 2 4 + r⋅ 2 2 3 −1 0 8 + r⋅ 1 2 −1 ( ) () h :⃗ x= () () h:⃗ x= ( ) () x= und h : ⃗ und und [5.4] Spiegeln [5.4.1] Spiegeln von Punkt an Punkt Spiegeln Sie den einen Punkt am zweiten. [1] A(3|1|0) an S(6|4|1) [2] B(-2|1 |3) an P(1|2|2) [3] P(7|5|-4) an Z(2|5|0) [5.4.2] Spiegeln von Punkt an Gerade Spiegeln Sie den Punkt an der angegebenen Gerade [3] C(0|6|7) −2 −2 1 3 3 −2 1 r⋅ 2 2 −4 t⋅ −1 1 ( )+ ( ) x= an g : ⃗ ( )+ ( ) x= [1] A(3|2|-1) an g : ⃗ x= [2] B(4|7|-1) an g : ⃗ 2 1 6 3 t⋅ 4 −3 ( )+ ( ) [5.4.3] Spiegeln von Punkt an Ebene Spiegeln Sie den Punkt an der angegebenen Ebene E [1] P(0|11|4) an E: -2x1+5x2+3x3 =-9 [2] Q(6|-11|8) an E: 3x 1–12x2+4x3=13 [3] R(4|4|7) an E : -x1+x2+2x3=26 6 [2] α≈21,04° β≈76,70° β=δ≈76,23° [3] α≈43,88° [6] α=γ≈103,77° [5.5.2] [1] ⃗ a⋅⃗ b=3 ⃗ [2] ⃗ a⋅b=0 ⃗ =2 [3] ⃗ u⋅v [5.5.3] [1] D(5|0|6) [2] A(6|-2|1) [3] C(2|10|6) [5] © Havonix Schulmedien-Verlag [5.5.4] [1] P liegt im Inneren [3] D liegt im Inneren α=0° γ≈59,42° [4] α≈79,02° [2] P liegt nicht im Inneren [4] D liegt im Inneren [5.5.5] [1] A∆=18 [2] A∆≈13,856 [3] A∆=9 [5.5.6] [1] A∆≈40,389 [2] A∆≈27,31 [3] A∆=24,5 15 © Havonix Schulmedien-Verlag [5.4.4] Spiegeln von diversem Zeug Erläutern Sie, wie man vorgeht, um folgende Spiegelungen durchzuführen [5.1.11] [1] S1(6|0|0) [2] S1(6|0|0) [3] S1(-3|0|0) [4] S1--- S2(0|-4|0) S2(0|2|0) S2--S2(0|1|0) [2] S1--S2(0|1|0) S3(0|0|-3) x3 1 [1] Gerade an Punkt [3] Gerade an Gerade [5] Gerade an Ebene x3 1 x2 x1 [5.5.1] Winkelberechnung Bestimmen Sie die angegebenen Winkel x2 E 1 x1 F : S1(3|0|0) S2 --S3(0|0|2) und und und und h h h h 1 E 1 s a= [1] ⃗ 1 [5.3.1] [1] d(A,B)=3 14 6 −2 0 −6 10 0 1 −1 1 4 −7 1 ( ) + r⋅( ) x= E und E schneiden sich in g : ⃗ ( ) + r⋅( ) x= E1 und E2 schneiden sich in g : ⃗ 2 5 3 5 ( ), ⃗ b= 2 −4 1 ( ) [1] D so, dass ABCD mit [2] A so, dass ABCD mit [3] C so, dass ABCD mit [5.2.3] [1] E1 und E2 sind parallel [2] E1 und E2 sind identisch [4] 6 2 3 2 5 3 5 3 1 3 2 4 2 4 4 2 4 a= [2] ⃗ 6 3 −2 ( ), ⃗ b= 1 2 6 () u= [3] ⃗ 1 2 3 () v= mit ⃗ A(4|1|3), B(2|6|-2), C(-3|5|1) ein Parallelogramm ist. B(2|2|-1), C(3|4|1), D(7|0|3) ein Reckteck ist. A(-2|1|5), B(4|4|3), D(-4|7|8) ein Quadrat ist. [5.5.4] Liegt ein Punkt im Inneren eines Dreiecks oder Parallelogramms? [1] Liegt P(2|3|1) im Inneren des Parallelogramms ABCD mit A(4|1|3), B(2|6|-2), C(0|2|2) und D(2|-3|7)? [2] Liegt P(0|-5|2) im Inneren des Quadrats ABCD mit A(-2|1|5), B(4|4|3), C(2|10|6) und D(-4|7|8)? [3] Liegt D(3|5|2) im Inneren des Dreiecks ABC mit A(-2|4|5), B(4|4|3) und C(2|6|1)? [4] Liegt D(4|3|-1) im Inneren des Dreiecks ABC mit A(1|3|-5), B(3|1|3) und C(-2|0|-1)? [5.5.5] Dreiecksfläche Bestimme den Flächenhalt des Dreiecks ABC über die Flächeinhaltsformel A=½·g·h (Sie erhalten hier bessere Zahlen, wenn Sie die Seite AB als Grundseite verwenden.) [2] d(C,D)=7 3 −2 1 ( ) [5.5.3] Der vierte Punkt eines Parallelogramms Bestimmen Sie: sind windschief schneiden sich in S(1|2|3) sind parallel sind identisch [5.2.2] [1] E enthält g [2] E und g schneiden sich in S(3|3|3) [3] E und g sind parallel [3] 3 2 1 [5.5.2] Skalarprodukt Bestimmen Sie das Skalarprodukt der beiden Vektoren. Stehen die Vektoren senkrecht aufeinander? x2 1 F x1 1 2 2 4 0 3 [4] Winkel zwischen E 1 : x1 +2x2–2x3 = 5 und E 2 : 6x1–3x2+2x3 = 12 [5] Innenwinkel im Dreieck ABC mit A(4|1|3), B(2|6|-2), C(-3|5|1) [6] Innenwinkel im Parallellogramm ABCD mit den Eckpunkten A(-2|1|2), B(2|5|4), C(4|-1|7) und D(0|-5|5). x3 [3] E : S1(6|0|0) S2(0|2|0) S3(0|0|3) 3 2 1 −3 1 −2 ( ) + r⋅( ) und h : ⃗x = ( ) + r⋅( ) x= [2] Winkel zwischen g : ⃗ ( ) + r⋅( ) und h : ⃗x = ( ) + r⋅( ) x= [3] Winkel zwischen E : x +2x –2x = 5 und g : ⃗ ( ) + r⋅( ) x= [1] Winkel zwischen g : ⃗ 1 1 1 1 [5.2.1] [1] g [2] g [3] g [4] g [2] Ebene an Punkt [4] Ebene an Gerade [6] Ebene an Ebene [5.5] Diverses Zeug [5.1.12] [1] S1(6|0|0) S2(0|-4|0) S3(0|0|2) E S3(0|0|2) S3(0|0|3) S3(0|0|2) S3(0|0|-3) [3] d(P,Q)= √ 67 © Havonix Schulmedien-Verlag [1] A(-3|1|0), B(5|-3|8) und C(2|0|8). [2] A(6|-1|3), B(2|3|3) und C(2|-1|7) [3] A(3|-2|-1), B(-1|2|1) und C(-3|7|5) 7 © Havonix Schulmedien-Verlag [5.5.6] Dreiecksfläche Bestimme den Flächenhalt des Dreiecks mithilfe des Kreuzproduktes (=Vektorprodukt) [1]A(-2|-3|1), B(7|9|1) und C(-3|4|3) [2] A(6|-5|6), B(-2|9|-2) und C(5|2|1) [3] A(-3|1|2), B(3|3|5) und C(5|6|-1) [6] Eg,h [7] Eg,h [5.6] Kreise und Kugeln [8] E g,h [5.6.1] Allgemeines zur Kreisgleichung [1] Stelle eine Kreisgleichung auf mit M(3|4) und r=5. [2] Welcher Kreis hat M(7|4) als Mittelpunkt und geht durch P(-5|-1)? [3] Beschreibt x1²+x2²+3x1–4x2+9=0 einen Kreis? [5.6.2] Schnitt Kreis-Gerade Untersuchen Sie, ob sich der Kreis K und die Gerade g schneiden. Geben Sie ggf die Schnittpunkte an. [1] K : (x–3) +(y+1) =25 [2] K : (x+4)2+(y–2)2=100 [3] K : (x+2)2+(y–8)2=169 2 2 g : y = x+3 g : y =-x+12 Gerade durch A(0|-11) und B(-5|-6) [5.6.3] Schnitt von zwei Kreisen Untersuchen Sie, ob sich die beiden Kreise schneiden. Geben Sie ggf. die Schnittpunkte an. [1] K1 : (x+2)2+(y–1)2=25 [2] K1 : (x+1)2+(y–2)2=5 [3] K2 : (x–1)2+(y–7)2 =26 K2 : (x–4)2+(y–4) 2=10 K2 : (x–1)2+y2=1 K2 : (x+1)2+(y–10)2=65 [5.6.7] Allgemeines zur Kugelgleichung [1] Stelle eine Kugelgleichung auf mit M(3|4|5) und r=6. [2] Welche Kugel hat M(1|3|-5) als Mittelpunkt und geht durch P(4|1|-1)? [3] Beschreibt x 1²+x2²+x3²–2x1+4x2–8x3=-20 eine Kugel? [5.6.8] Schnitt Kugel-Gerade Untersuchen Sie, ob sich die Kugel K und die Gerade g schneiden. Geben Sie gegebenfalls die Schnittpunkte an. [1] K : (x 1–1)2+(x2+2)2+(x3–4)2=1 1 −2 4 2 [ ( )] x− [2] K : ⃗ =1 [3] K : (x1+1)2+(x2–3)2+(x3+2)2=27 1 −2 3 −1 −4 0 −1 −4 0 1 r⋅ 0 1 3 r⋅ 4 1 3 r⋅ 4 1 ( )+ ( ) g :⃗ x= ( )+ ( ) g :⃗ x= ( )+ ( ) g :⃗ x= [5.6.9] Schnitt Kugel-Ebene Untersuchen Sie, ob sich die Kugel K und die Ebene E schneiden. Geben Sie ggf. den Mittelpunkt und den Radius des Schnittkreises an. [1] K : (x1–1)2+(x2–2)2+(x3–3)2=100 [2] K : (x1–1)2+(x2–9)2+(x3–4)2 = 85 [3] K : (x1–3)2+(x2–3)2+(x3+4)2= 18 8 E : 2x1–2x2–x3 = -5 E : 6x1+2x2+3x3=49 E : x1+2x2+2x3 = 10 © Havonix Schulmedien-Verlag 3 2 4 2 3 4 2 3 4 −1 5 2 6 0 4 2 1 0 2 6 −4 4 2 −4 1 1 oder −1 5 2 oder … 3 −1 2 oder −8 4 −3 oder −3 ( ) + r⋅( ) + s⋅( ) ⃗ = :x ( ) + r⋅( ) + s⋅( ) ⃗ = :x ( ) + r⋅( ) + s⋅( ) : x⃗ = ( ) + r⋅( ) + s⋅( ) ⃗ = [5] Eg,h : x [5.1.6] [1], [4], [7]: -2x1–2x2+x3=-6 [2], [5], [8]: 6x1+2x2+3x3=12 [3], [6], [9]: -2x1+5x2+3x3=16 [5.1.7] 3 0 0 0 6 0 1/ 4 0 0 6 0 0 3 0 −4 −3 6 0 2 0 −4 −3 0 −3 0 6 −4 1 /4 −1/ 3 0 −6 0 2 −3 6 −4 0 7 0 1 1 −1 6 0 4 1 5 −4 3 2 −1 −1 −3 2 −6 −3 6 1 −2 8 −4 3 3 ( ) + r⋅( ) + s⋅( ) : x⃗ = ( ) + r⋅( ) + s⋅( ) Eg,h : x⃗ = Eg,h −3 2 0 ( ) + r⋅( ) + s⋅( ) oder … oder … oder … (oder Vielfache) (oder Vielfache) (oder Vielfache) ( ) + r⋅( ) + s⋅( ) x= [2]: E : ⃗ ( ) + r⋅( ) + s⋅( ) x= [3]: E : ⃗ ( ) + r⋅( ) + s⋅( ) x= [4]: E : ⃗ ( ) + r⋅( ) + s⋅( ) x= [5]: E : ⃗ ( ) + r⋅( ) + s⋅( ) x= [1]: E : ⃗ Eg,h : x⃗ = (oder viele andere Varianten) (oder viele andere Varianten) 1/ 4 0 −1 /2 −3 0 0 (oder viele andere Varianten) (oder viele andere Varianten) (oder viele andere Varianten) [5.1.8] 3 2 1 −2 [ ( )] ( ) x− 0 ⋅ [1]: E : ⃗ 0 [5.1.9] −4 −8 −8 −1 −2 −3 24 −46 −8 =0 0 6 4 3 [ ( )] ( ) x− 0 ⋅ 2 = 0 [2]: E : ⃗ 1 2 2 1 2 3 ( )≙() n= [2]: ⃗ ( )≙() n= [2]: ⃗ ( )≙( ) n= [1]: ⃗ [5.1.10] [1] S12 --[2] S12 (0|2|0) [3] S12 (-3|-2|0) [4] S12 (-1|2|0) 13 12 −23 −4 S13(5|0|2) S13--S13(-4|0|2) S13(-3|0|-3) S23(0|10|2) S23(0|2|0) S23(0|8|10) S23(0|3|1,5) © Havonix Schulmedien-Verlag [3]: E : 4 3 2 1 −1 0 ( )⋅[ ⃗x−( ) ] = 0 Lösungen der Aufgaben Vektorgeometrie [5.1.1] [1] x3 [2] ⃗ AC A G 1 x2 1 D E 1 1 F C x2 ⃗ BC ⃗ AB x1 B(6|4|0) D(0|0|0) E(6|0|3) F(6|4|3) G(0|4|3) C 1 1 x3 H [5.6.10] Schnitt zweier Kugeln Untersuchen Sie, ob sich die beiden Kugeln schneiden. Geben Sie gegebenfalls den Mittelpunkt und den Radius des Schnittkreises an. A B=D ⃗ BC = - ⃗ AB + ⃗ AC B x1 1 g 1 x1 [5.1.2] [1] MAB(5|-0,5|4) B S(3|1|2) 4 −5 8 −4 2 −2 ( ) ⃗ AC = ( ) ⃗ AB = [2] MPQ (5|-0,5|4) MPR(1|3|-1) MQR(3|0,5|3) 1 1 x2 1 A g CD [2] g PQ g RS 5 4 1 −3 4 −1 0 −3 9 2 4 8 −2 −1 oder 1 2 −1 oder 2 4 6 oder −2 2 1 oder −1 ( ) + r⋅( ) : x⃗ = ( ) + r⋅( ) :⃗ x= ( ) + r⋅( ) :⃗ x= ( ) + r⋅( ) x= [1] g AB : ⃗ g CD g PQ gRS 3 3 2 −1 3 1 4 3 7 4 5 7 2 1 −1 −2 1 −2 −4 −6 2 −2 −1 1 ( ) + r⋅( ) : x⃗ = ( ) + r⋅( ) :⃗ x= ( ) + r⋅( ) :⃗ x= ( ) + r⋅( ) gAB : ⃗ x= [2] E ABC [3] EPg [4] E Ph 12 2 4 1 2 −3 2 −1 3 −2 3 2 −1 −1 −2 −2 −2 6 0 2 −4 2 1 1 −1 1 −8 oder −3 1 3 oder −4 −1 2 oder −1 4 1 oder −2 ( ) + r⋅( ) + s⋅( ) : ⃗ x= ( ) + r⋅( ) + s⋅( ) :⃗ x= ( ) + r⋅( ) + s⋅( ) :⃗ x= ( ) + r⋅( ) + s⋅( ) oder ... E ABC E Ph 5 2 3 2 1 2 −1 4 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 (vergl: →5.3.2.1, 5.3.3.1, 5.3.4.1) (vergl.: →5.3.2.2, 5.3.3.2, 5.3.4.2) (vergl.: → 5.3.2.3, 5.3.3.3, 5.3.4.3) 1 2 −1 0 3 2 0 1 −1 −1 1 1 oder ... [1] K : (x 1–1)2+(x2–2)2+(x3–3)2 =36 [2] K : x12+(x2–4)2+(x3–3)2 = 9 [3] K : (x 1–3)2+(x2–3)2+(x3+4)2= 49 oder ... oder ... 1 2 2 2 −6 0 2 −4 2 1 1 −1 © Havonix Schulmedien-Verlag K2:(x1+7)2+(x2–3)2+(x3+1)2=9 K2:(x1–1)2+(x2–2)2+(x3+1)2=25 K2:(x1+3)2+(x2–1)2+(x3+2)2=16 [5.6.15] Tangentialebene Bestimmen Sie die Tangentialebene E Tan an die Kugel K im Berührpunkt B. 2 −6 −1 3 −3 −4 −1 2 −1 4 1 −2 ( ) + r⋅( ) + s⋅( : ⃗ x= ( ) + r⋅( ) + s⋅( :⃗ x= ( ) + r⋅( ) + s⋅( :⃗ x= ( ) + r⋅( ) + s⋅( E ABC : ⃗ x= EPg 1 2 3 3 0 1 5 1 3 [1] K1:(x1–1)2+(x2–2)2+(x3–3)2=25 [2] K1:(x1+3)2+(x2–6)2+(x3–1)2=1 [3] K1:(x1+2)2+(x2–3)2+x32=81 [5.1.5] x= [1] E ABC : ⃗ P∈K ? P∈K ? [5.6.14] Abstand zweier Kugeln Bestimmen Sie den Abstand der beiden Kugeln voneinander. C x1 [5.1.3] P(5|-2|1) P(8|-4|7) P(0|6|-4) ( ) + r⋅( ) , K:(x –5) +(x –5) +(x –7) =1 x= [2] g : ⃗ ( ) + r⋅( ) , K:(x +5) +(x –2) +(x +1) =9 x= [3] g : ⃗ ( ) + r⋅( ) , K:(x –11) +(x –10) +(x –9) =4 x= [1] g : ⃗ x3 ⃗ AB [5.6.11] Punkt und Kugel Liegt der Punkt P innerhalb oder außerhalb der Kugel K. Wie groß ist der Abstand? [5.6.12] Abstand Gerade-Kugel Bestimmen Sie den Abstand der Kugel K von der Gerade g. x2 1 K2:(x1–3)2+x22+(x3–2)2=109 K2:(x1+9)2+(x2–2)2+(x3–2)2=64 K2:(x1–4)2+(x2–5)2+(x3+2)2=43 [1] K:(x1–1)2+(x2–2)2+(x3–3)2=100, [2] K : x12+(x2–4)2+(x3–3)2 = 85 [3] K : (x 1–3)2+(x2–3)2+(x3+4)2=18 x3 [3] [1] K1:(x1–1)2+(x2–2)2+(x3–3)2=100 [2] K1:(x1–3)2+(x2–6)2+(x3–8)2=64 [3] K1:(x1–3)2+(x2–3)2+(x3+4)2= 18 ) ) ) ) oder ... oder ... B(-3|-2|-1) B(2|2|c) B(a|1|2) [5.6.17] Polarkreis / Polarebene Vom Punkt P werden Tangenten an die Kugel K gelegt. Wie groß ist der Öffnungswinkel des Kegels? In welcher Ebene liegen alle Berührpunkte? [1] K : (x 1–1)2+(x2–2)2+(x3–3)2 =16 [2] K : x12+(x2–4)2+(x3–3)2 = 64 P(-3|-2|-1) P(8|8|-5) In welcher Ebene liegen alle Berührpunkte? oder ... oder ... [3] K : (x 1+3)2+(x2 –3)2+(x3+4)2=9 P(4|-1|3) [5.6.18] Umkugel: finden Sie in Kapitel [5.9.4] [5.6.19] Inkugel: finden Sie in Kapitel [5.9.5] 9 © Havonix Schulmedien-Verlag mit c<3 mit a<1 [5.7] Pyramiden [5.7.1] Pyramide zwischen Ebene und den Koordinatenebenen Bestimmen Sie das Volumen der Pyramide, die von der Ebene E und den Koordinatenebenen gebildet wird. [1] E : 2x1+4x3+3x3 = 12 [3] E : -3x1+2x2+6x3 = 18 [2] E : x1+x2+x3 = 6 [5.8.3] Punkt einer Gerade mit bestimmten Abstand zu einem Punkt Bestimmen alle die Punkte der Gerade g, die zum Punkt P den Abstand d besitzen. 3 1 4 1 0 2 −1 2 1 1 −1 1 ( ) + r⋅( ) , x= [2] g : ⃗ ( ) + r⋅( ) , x= [1] g : ⃗ A(3|4|4), d=3. A(5|2|6), d=6. [5.7.2] Senkrechte, quadratische Pyramide [5.8.4] Lage von Gerade und Ebene in Abhängigkeit vom Parameter [1] Bestimmen Sie das Volumen der senkrechten, quadratischen Pyramide ABCDS mit A(-2|-2|0), B(4|-2|0), C(4|4|0), D(-2|4|0) und S(1|1|8). [2] Bestimmen Sie die Koordinaten der Spitze der senkrechten, quadratischen Pyramide mit den Eckpunkten der Grundfläche in A(8|0|0), B(8|8|0), C(0|8|0), D(0|0|0) und dem Volumen von V=128. [3] Bestimmen Sie die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte der senkrechten, quadratischen Pyramide ABCDS mit der Spitze in S(0|0|12) und dem Volumen von V=64, wenn die Grundfläche in der x1x2-Ebene liegt. x= [1] Bestimme die gegenseitige Lage der Gerade g : ⃗ [5.7.3, 5.7.4] Volumen einer dreiseitigen Pyramide Bestimmen Sie das Volumen der Pyramide mit den Eckpunkten A, B, C und D. [1] A(-1|0|2), B(5|6|5), C(2|0|5), D(1|5|6) [2] A(-4|4|4), B(4|-4|4), C(4|4|-4), D(4|4|4) [3] A(1|3|2), B(3|-1|4), C(5|4|6), D(9|2|6) der Ebene E : 3x 1+x2+2x3=4 in Abhängigkeit von ü. [2] Für welche Werte von a sind g : ⃗x = 1 r⋅ −2 0 ( ) + ( ) . Eine einzige dieser rotierenden Ebenen kann nicht durch Et beschrieben werden. Bestimmen Sie deren Gleichung. [5.8.2] Punkt einer Gerade mit bestimmten Abstand zu einer Ebene Bestimmen alle die Punkte der Gerade g, die zur Ebene E den Abstand d besitzen. x= [1] g : ⃗ [2] g : ⃗x = 10 ( ) + ( ) , E : 6x +2x –3x =5, ( ) ( ) , E : 2x +x –2x =4, + 2 y 0 1 3 −2 ( ) + r⋅( ) und [5.8.5] Punkt einer Gerade bildet rechten Winkel mit zwei anderen Punkten x= [1] Welcher Punkt G der Gerade g : ⃗ 3 1 4 −1 2 1 ( ) + r⋅( ) bildet mit A(1|1|3) 1 0 2 1 −1 1 ( ) + r⋅( ) bildet mit A(6|0|-8) und B(8|3|3) ein Dreieck, welches in A einen rechten Winkel hat ? [2] Welche Ebene der Schar E t : 2tx 1+tx2 +2x3=t+4 hat vom Punkt P(5|3|5) den Abstand d=6 ? [3] Welche Ebene der Schar E t : tx1+3x2=t+4 schließt mit der Ebene F : x 2–x3=3 einen Winkel von 45° ein? [4] Alle Ebenen der Schar E t : 2tx1+tx2+2x3=t+4 haben eine gemeinsame Schnittgerade s. Bestimmen Sie eine Gleichung von s. [5] Die Ebenen der Schar E t : 2tx1+tx2+2x3=t+4 rotieren alle um die Gerade 5 r⋅ 6 −4 2 r⋅ −4 2 und und E: x1+ax2+2x3=4 parallel ? der Ebene E : 3x 1+x2+2x3=4 in Abhängigkeit von y. x= [2] Welche Punkt T der Gerade g : ⃗ [1] Welche Ebene der Schar E t : 2tx 1+tx2 +2x3=t+4 enthält A(1|2|-1) ? −5 −1 4 3 4 −6 2 1 1 ü 3 −2 und B(4|3|2) ein im G-Punkt rechtwinkliges Dreieck ? [5.8.1] Ebenenscharen s :⃗ x= 1 2 3 ( ) + r⋅( ) x= [3] Bestimme die gegenseitige Lage der Gerade g : ⃗ [5.8] Parameter 0 1 2 2 4 0 ( ) + r⋅( ) 1 1 2 2 3 3 [5.9] Anwendungsaufgaben [5.9.3] Senkrechte Projektionen Bestimmen Sie die senkrechte Projektion vom Punkt A und der Gerade g auf die angegebene Koordinatenebene. 3 4 6 3 4 6 2 −4 1 2 −4 1 ( ) + r⋅( ) x= [2] A(3|4|1) und g : ⃗ ( ) + r⋅( ) x= [1] A(3|4|1) und g : ⃗ auf die x1-x3-Ebene. auf die x2-x3-Ebene. [5.9.4] Schattenaufgaben (schiefe Projektionen) Bestimmen Sie die senkrechte Projektion vom Punkt A und der Gerade g auf die angegebene Koordinatenebene. d=7. [1] Im Punkt B(4|1|0) befindet sich ein 6m hoher Mast, der von einer Lampe beschienen wird, die sich im Punkt L(6|-5|9) befindet. Wie lang ist der entstehende Schatten ? d=6. v= [2] Im Punkt B(4|1|0) befindet sich ein 6m hoher Mast. Aus der Richtung ⃗ © Havonix Schulmedien-Verlag fällt Sonnenlicht auf den Mast. Wie lang ist der entstehende Schatten ? 11 © Havonix Schulmedien-Verlag −2 3 1 ( )