Vektorgeometrie - Mathe

Mathe-Trainings-Heft
Prüfungsvorbereitung
für Oberstufe und Abitur
Übungsaufgaben mit Lösungen
Vektorgeometrie
Punkte, Geraden und Ebenen
Abstände berechnen
Kreise und Kugeln
Pyramiden
… und mehr
Kostenlose Videos
mit Rechenwegen
auf Mathe-Seite.de
Kombiniere Lern-Videos mit Lern-Schriften für bessere Noten.
Du möchtest nicht nur die Lern-Videos schauen, sondern auch mal ein
paar Übungsaufgaben rechnen oder Theorie nachlesen?
Dann nutze die kostenlosen Lern-Schriften!
Das Besondere an den Lern-Schriften ist, dass Struktur und Inhalte
identisch mit den Lern-Videos auf der Mathe-Seite.de sind. Falls du also
in den Lern-Schriften etwas nicht verstehst, findest du die nötigen
Erklärungen im Lern-Video - am schnellsten via QR-Codes.
Lern-Schriften + Lern-Videos = bessere Noten
Was dir das nützt: Dein Lernen wird wesentlich effektiver, denn du
profitierst vom sogenannten "crossmedialen Effekt". Der kommt aus
der Werbe-Psychologie und bewirkt, dass du die Thematik intensiver
wahrnimmst, besser verstehst und länger memorierst. Das bietet
übrigens nur die Mathe-Seite.de!
Das Mathe-Trainings-Heft (MTH)
Das vorliegende Mathe-Trainings-Heft beinhaltet Rechenaufgaben und
Lösungen speziell zur Prüfungsvorbereitung für Oberstufe und Abitur.
Solltest du eine Aufgabe nicht lösen können, findest du den Rechenweg
direkt per QR-Link im Lern-Video. Zum Beispiel: Den Lösungsweg zu
den Übungsaufgaben [1.2.6] findest du online auf der Mathe-Seite.de
im Kapitel [1.2.6].
Vermutlich brauchst du nicht alle der im MTH enthaltenen MatheThemen. Unter www.mathe-seite.de > Abi-Themen nach Bundesland
findest du eine Liste mit denjenigen Themen, die für dein Bundesland
und deine Schulart relevant sind.
Ab 2013: Weitere kostenlose Lern-Schriften
auf Mathe-Seite.de
•
Die Lernbuch-Reihe – detailliertes Fachwissen in mehreren Bänden
•
Die Mathe-Fibel – alles Nötige in Kompaktform
•
Die Lern-Kartei-Karten – handlich und clever
•
Die Formelsammlung – das unverzichtbare Nachschlagewerk
•
Die Anleitungen für Grafische Taschenrechner – endlich verständlich
Videos mit
Lösungsweg
[5]
Vektorgeometrie (Analytische Geometrie)
[5.1] Punkte, Geraden und Ebenen
[5.1.1] Zeichnen im 3D-Koordinatensystem
[1] Zeichnen Sie A(4|1|3), B(2|6|-2), C(-3|5|1), D(0|5|-3).
Zeichnen Sie die Vektoren ⃗
AC , ⃗
BC .
AB , ⃗
Wie entsteht ⃗
BC aus ⃗
AB und ⃗
AC ?
[2] Ein Quader hat die Eckpunkte: A(6|0|0), C(0|4|0), H(0|0|3).
Zeichen Sie den Quader in ein Koordinatensystem.
Bestimmen Sie die restlichen Eckpunkte.
x=
[3] Zeichnen Sie die Gerade g : ⃗
[5.1.2]
−1
3
−2
2
−4
2
( ) + r⋅( )
Mittelpunkte, Schwerpunkte, Richtungsvektoren
[1] A(3|2|0), B(7|-3|8), C(-1|4|-2)
Bestimmen Sie den Mittelpunkt MAB der Strecke AB.
Bestimmen Sie den Schwerpunkt des Dreiecks ABC.
Bestimmen Sie die Verbindungsvektoren ⃗
AB , ⃗
AC , ⃗
BC .
Zeichnen Sie die Punkte A, B, C und den Vektor ⃗
AB ein.
[2] Gegeben ist das Dreieck PQR mit P(3|2|0), Q(7|-3|8), R(-1|4|-2).
Berechnen Sie die Koordinaten der Seitenmitten MPQ, MPR, MQR des Dreiecks PQR.
Zeigen Sie: die Schwerpunkte der Dreiecke PQR und MPQMPRMQR fallen zusammen
[5.1.3] Parameterform von g aufstellen
Stellen Sie eine Parameterform der Gerade auf, die durch die beiden Punkte geht:
[1] durch A(5|4|1) und B(3|3|2) bzw.
[2] durch P(0|-3|9) und Q(4|3|7) bzw.
durch C(-3|4|-1) und D(-1|3|1)
durch R(2|4|8) und S(4|5|7)
[5.1.4] Erklärung der Ebenenformen (PF, KF, NF, HNF, AAF)
Machen Sie sich klar, wie die verschiedenen Ebenenformen aussehen,
wofür man sie verwendet und welche Angaben zum Aufstellen notwendig sind.
[1] Parameterform (PF)
[2] Koordinatenform (KF) [3] Normalenform (NF)
[4] Hesse-Normal-Form (HNF) [5] Achsen-Abschnitts-Form (AAF)
[5.1.5] Parameterform von E aufstellen
Geben Sie eine Parameterform der Ebene E an, welche bestimmt ist durch:
[1] A(2|4|1), B(1|2|-1), C(3|-4|-2)
[2] A(2|-3|2), B(0|3|2) und C(3|0|-2)
2
r⋅ −4
2
−1
3
−2
( )+ ( )
x=
[5] g : ⃗
( )+r⋅( ) , h : ⃗x = ( )+r⋅( )
x=
[3] P(0|1|-1) und g : ⃗
x=
[7] g : ⃗
3
3
2
4
6
0
4
2
3
4
2
6
−4
( )+r⋅( ) ,
−3
2
0
h :⃗
x=
1
5
−4
1
1
−1
−1
−3
2
( )+r⋅( )
3
2
−1
1
1
−1
( ) + r⋅( )
x=
[6] g : ⃗
( )+r⋅( ) , h : ⃗x = ( )+ r⋅( )
x=
[4] P(-1|1|1) und h : ⃗
2
3
4
4
2
−4
( )+r⋅( ) ,
x=
[8] g : ⃗
© Havonix Schulmedien-Verlag
−1
5
2
2
1
0
2
3
4
3
2
−1
5
2
3
−6
−3
6
( )+ r⋅( )
h:⃗
x=
[5.1.6] Ebenenformen umwandeln (Parameterform in Koordinatenform)
Geben Sie eine Koordinatenform der Ebene E an
[1],[4],[7]
E1 : ⃗
x=
2
4
1
−1
−2
−2
[3],[6],[9]
E3
3
2
4
6
0
4
1
−8
−3
( ) + r⋅( ) + s⋅( )
:⃗
x=
( ) + r⋅( ) + s⋅( )
x=
[2],[5],[8] E2 : ⃗
2
−3
2
1
3
−4
−2
6
0
( ) + r⋅( ) + s⋅( )
1
1
−1
[5.1.7] Ebenenformen umwandeln (Koordinatenform in Parameterform)
Geben Sie eine Parameterform der Ebene E an
[1] E : 2x1+x2–2x3=6
[2] E : 6x1+2x2+3x3=12
[4] E : x1+3x3=6
[5] E : 2x2–3x3=12
[3] E : 4x1+3x2+2x3=1
[5.1.8] Ebenenformen umwandeln (Koordinatenform in Normalenf. und zurück)
Wandeln Sie die angegebene Koordinatenform (KF) der Ebene E in Normalenform
um. Wenn Sie erfolgreich waren, dürfen Sie Ihr Ergebnis wieder in KF umwandeln.
[1] 2x1+x2–2x3=6
[2] 6x1+2x2+3x3=12
[3] 4x1+3x2+2x3=1
[5.1.9] Kreuzprodukt
Geben Sie mithilfe des Kreuzprodukts denjenigen Vektor an, der auf den beiden
angegeben Vektoren orthogonal (=senkrecht) steht.
a=
[1] ⃗
2
1
−2
2
−3
2
( ) , ⃗b = ( )
a=
[2] ⃗
1
4
−3
−1
−1
1
( ) , ⃗b = ( )
a=
[3] ⃗
8
4
1
()
b=
und ⃗
2
0
6
()
Bestimmen Sie mithilfe des Kreuzprodukts:
[4]
[5]
[6]
[7]
Flächeninhalt des Dreiecks ABC: A(1|4|-3), B(2|0|1), C(5|2|0)
Flächeninhalt Parallelogramm ABCD: A(3|2|1), B(5|3|-1), C(7|0|1), D(5|-1|3)
Volumen der Pyramide: A(-2|2|1), B(4|4|4), C(1|2|2), S(1|4|0)
Volumen der Pyramide: A(-2|3|4), B(4|5|7), C(6|8|1), D(0|6|-2), S(1|11|9)
[5.1.10] Spurpunkte, besondere Lage von Gerade
Bestimmen Sie die Spurpunkte der Gerade g.
Welche besondere Lage hat die Gerade im Raum?
x=
[1] g : ⃗
2
6
2
1
−2
0
1
2
3
2
0
6
−4
0
2
1
2
2
1
4
3
2
2
3
( )+ t⋅( ) [2] g : ⃗x = ( )+ t⋅( ) [3] g : ⃗x = ( )+ t⋅( ) [4] g : ⃗x = ( )+ t⋅( )
[5.1.11] Spurpunkte, besondere Lage von Ebenen
Bestimmen Sie die Spurpunkte der Ebene E.
Welche besondere Lage hat die Ebene im Raum?
[1] E: 2x1–3x2+6x3=12 [2] E: x1+3x2+2x3=6 [3] E: -2x1+3x3=6 [4] E: 3x2–x3=3
[5.1.12] Zeichnen von Ebenen
Zeichnen Sie die Ebene mithilfe der Spurpunkte in ein Koordinatensystem ein.
[1] E: 2x1–3x2+6x3=12
[2] E: 3x2–x3=3
Zeichnen Sie die beiden Ebenen in ein Koordinatensystem ein,
zeichnen Sie auch die Schnittgerade der beiden Ebenen ohne weitere Rechnung ein.
[3] E: x1+3x2+2x3=6 und F : 2x1+3x3=6
4
© Havonix Schulmedien-Verlag
[5.2] Schnittmengen
[5.2.1] Gegenseitige Lage von Geraden / Schnitt von Geraden
Bestimmen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g und h.
Bestimmen Sie gegebenenfalls den Schnittpunkt.
x=
[1] g : ⃗
5
4
1
4
3
2
2
3
4
1
1
1
2
() ()
+ r⋅ 2
2
−3
() ( )
x=
[3] g : ⃗
( ) + r⋅( )
x=
[4] g : ⃗
( ) + r⋅( )
x=
[2] g : ⃗
+ r⋅ −1
1
2
6
−4
4
2
−4
und
und
und
2
1
−1
2
3
4
−1
−3
2
−6
−3
6
−3
4
−1
5
8
11
1
5
−4
3
2
−1
(
h :⃗
x=
(
h:⃗
x=
(
h :⃗
x=
(
x=
und h : ⃗
) + r⋅( )
) + r⋅( )
) + r⋅( )
) + r⋅( )
[5.2.2] Gegenseitige Lage von Gerade und Ebene / Schnitt Ebene-Gerade
Bestimmen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g und der Ebene E.
Bestimmen Sie gegebenenfalls den Schnittpunkt.
−1
5
7
−1
5
2
1
2
3
2
−1
−2
2
4
−4
5
2
3
( ) + r⋅( ) und E: 4x –3x +x = 6
x=
[2] g : ⃗
( ) + r⋅( ) und E: 2x +x +2x = 7
x=
[3] g : ⃗
( ) + r⋅( ) und E: -x +x +x = 2
x=
[1] g : ⃗
1
2
1
1
2
2
3
3
3
[5.2.3] Gegenseitige Lage von Ebenen / Schnitt Ebene-Ebene
Bestimmen Sie die gegenseitige Lage der Ebenen E1 und E2.
Bestimmen Sie gegebenenfalls die Schnittgerade.
[1] E1:
[2] E1:
[3] E1:
[4] E1:
2x1+4x2–4x3=2
6x1–4x2+4x3=8
2x1+5x2+3x3=2
x1+x2+3x3 = 4
und
und
und
und
E2:
E2:
E2:
E2:
x1+2x2–2x3=5
-3x1+2x2–2x3=-4
x1+2x2+x3=2
2x1+x2–x3=-2
[5.3] Abstände
[5.3.1] Abstand zweier Punkte
Bestimmen Sie den Abstand der beiden Punkte.
[1] A(2|-1|3), B(4|1|2)
[2] C(-4|2|5), D(2|5|3)
[3] P(0|1|1), Q(3|8|-2)
[5.3.2, 5.3.3, 5.3.4, 5.3.5] Abstand Punkt-Gerade
Bestimmen Sie den Abstand von der Gerade zum angegebenen Punkt.
1
2
3
5
1
3
5
2
3
−1
4
1
( ) + r⋅( ) und A(5|5|7)
x=
[3] g : ⃗
( ) + r⋅( ) und Z(11|10|9)
x=
[1] g : ⃗
5
x=
[2] g : ⃗
© Havonix Schulmedien-Verlag
3
0
1
2
1
2
( ) + r⋅( )
und P(-5|2|-1)
[5.3.6] Abstand Punkt-Ebene über Lotgerade
Welcher Punkt der Ebene E vom Punkt P den geringsten Abstand?
Wie groß ist dieser Abstand?
[1] P(5|-6|4) und E: 4x1–8x2+x3 = -9
[3] P(4|7|8) und E: -2x1+x2+2x3 = 6
[2] P(13|4|5) und E: 6x1–3x2–2x3 = 7
[5.3.7] Abstand Punkt-Ebene über HNF
Welcher Punkt der Ebene E vom Punkt P den geringsten Abstand?
Verwenden Sie die Methode über die Hesse-Normal-Form?
[1] P(5|-6|4) und E: 4x1–8x2+x3 = -9
[3] P(4|7|8) und E: -2x1+x2+2x3 = 6
[2] P(13|4|5) und E: 6x1–3x2–2x3 = 7
[5.3.8] Abstand von zwei parallelen Objekten
Weisen Sie nach, dass beide angegebenen Objekte parallel sind.
Wie groß ist deren Abstand?
7
7
2
−4
−5
6
2
6
−4
2
2
7
( ) + r⋅( )
x=
[2] g : ⃗
( ) + r⋅( )
x=
[1] g : ⃗
x=
und h : ⃗
1
5
−4
−1
−3
2
( ) + r⋅( )
und E: 7x1+7x2–4x3 = 3
[3] E1: 6x1+3x2–6x3 = 9 und
E2: 2x1+x2–2x3 = 21
[5.3.9, 5.3.10] Abstand zweier windschiefen Geraden
Wie groß ist der Abstand der beiden windschiefen Geraden?
−2
6
4
−2
−2
1
1
2
3
2
3
2
1
2
2
2
−1
−1
( ) + r⋅( )
x=
[2] g : ⃗
( ) + r⋅( )
x=
[3] g : ⃗
( ) + r⋅( )
x=
[1] g : ⃗
4
7
−1
5
4
2
−1
8
2
1
3
0
2
2
3
0
1
−1
( ) + r⋅( )
h:⃗
x=
( ) + r⋅( )
h:⃗
x=
( ) + r⋅( )
x=
und h : ⃗
und
und
[5.4] Spiegeln
[5.4.1] Spiegeln von Punkt an Punkt
Spiegeln Sie den einen Punkt am zweiten.
[1] A(3|1|0) an S(6|4|1)
[2] B(-2|1 |3) an P(1|2|2) [3] P(7|5|-4) an Z(2|5|0)
[5.4.2] Spiegeln von Punkt an Gerade
Spiegeln Sie den Punkt an der angegebenen Gerade
[3] C(0|6|7)
−2
−2
1
3
3
−2
1
2
2
−4
−1
1
( ) + r⋅( )
x=
an g : ⃗
( ) + t⋅( )
x=
[1] A(3|2|-1) an g : ⃗
x=
[2] B(4|7|-1) an g : ⃗
2
1
6
3
4
−3
( ) + t⋅( )
[5.4.3] Spiegeln von Punkt an Ebene
Spiegeln Sie den Punkt an der angegebenen Ebene E
[1] P(0|11|4) an E: -2x1+5x2+3x3 =-9
[2] Q(6|-11|8) an E: 3x1–12x2+4x3=13
[3] R(4|4|7)
an E : -x1+x2+2x3=26
6
© Havonix Schulmedien-Verlag
[5.4.4] Spiegeln von diversem Zeug
Erläutern Sie, wie man vorgeht, um folgende Spiegelungen durchzuführen
[1] Gerade an Punkt
[3] Gerade an Gerade
[5] Gerade an Ebene
[2] Ebene an Punkt
[4] Ebene an Gerade
[6] Ebene an Ebene
[5.5] Diverses Zeug
[5.5.1] Winkelberechnung
Bestimmen Sie die angegebenen Winkel
3
2
1
−3
1
−2
1
2
2
4
0
3
3
2
1
6
2
3
( ) + r⋅( ) und h : ⃗x = ( ) + r⋅( )
x=
[2] Winkel zwischen g : ⃗
( ) + r⋅( ) und h : ⃗x = ( ) + r⋅( )
x=
[3] Winkel zwischen E : x +2x –2x = 5 und g : ⃗
( ) + r⋅( )
x=
[1] Winkel zwischen g : ⃗
1
2
5
3
5
3
1
3
2
4
2
4
4
2
4
[4] Winkel zwischen E1 : x1+2x2–2x3 = 5 und E2 : 6x1–3x2+2x3 = 12
[5] Innenwinkel im Dreieck ABC mit A(4|1|3), B(2|6|-2), C(-3|5|1)
[6] Innenwinkel im Parallellogramm ABCD mit den
Eckpunkten A(-2|1|2), B(2|5|4), C(4|-1|7) und D(0|-5|5).
[5.5.2] Skalarprodukt
Bestimmen Sie das Skalarprodukt der beiden Vektoren.
Stehen die Vektoren senkrecht aufeinander?
a=
[1] ⃗
5
3
5
( ),
⃗
b=
2
−4
1
( )
a=
[2] ⃗
6
3
−2
( ),
⃗
b=
1
2
6
()
u=
[3] ⃗
1
2
3
()
v=
mit ⃗
3
−2
1
( )
[5.5.3] Der vierte Punkt eines Parallelogramms
Bestimmen Sie:
[1] D so, dass ABCD mit
[2] A so, dass ABCD mit
[3] C so, dass ABCD mit
A(4|1|3), B(2|6|-2), C(-3|5|1) ein Parallelogramm ist.
B(2|2|-1), C(3|4|1), D(7|0|3) ein Reckteck ist.
A(-2|1|5), B(4|4|3), D(-4|7|8) ein Quadrat ist.
[5.5.4] Liegt ein Punkt im Inneren eines Dreiecks oder Parallelogramms?
[1] Liegt P(2|3|1) im Inneren des Parallelogramms ABCD
mit
A(4|1|3), B(2|6|-2), C(0|2|2) und D(2|-3|7)?
[2] Liegt P(0|-5|2) im Inneren des Quadrats ABCD
mit
A(-2|1|5), B(4|4|3), C(2|10|6) und D(-4|7|8)?
[3] Liegt D(3|5|2) im Inneren des Dreiecks ABC
mit
A(-2|4|5), B(4|4|3) und C(2|6|1)?
[4] Liegt D(4|3|-1) im Inneren des Dreiecks ABC
mit
A(1|3|-5), B(3|1|3) und C(-2|0|-1)?
[5.5.5] Dreiecksfläche
Bestimme den Flächenhalt des Dreiecks ABC über die Flächeinhaltsformel A=½·g·h
(Sie erhalten hier bessere Zahlen, wenn Sie die Seite AB als Grundseite verwenden.)
[1] A(-3|1|0), B(5|-3|8) und C(2|0|8).
[2] A(6|-1|3), B(2|3|3) und C(2|-1|7)
[3] A(3|-2|-1), B(-1|2|1) und C(-3|7|5)
7
© Havonix Schulmedien-Verlag
[5.5.6] Dreiecksfläche
Bestimme den Flächenhalt des Dreiecks mithilfe des Kreuzproduktes
(=Vektorprodukt)
[1]A(-2|-3|1), B(7|9|1) und C(-3|4|3)
[2] A(6|-5|6), B(-2|9|-2) und C(5|2|1)
[3] A(-3|1|2), B(3|3|5) und C(5|6|-1)
[5.6] Kreise und Kugeln
[5.6.1] Allgemeines zur Kreisgleichung
[1] Stelle eine Kreisgleichung auf mit M(3|4) und r=5.
[2] Welcher Kreis hat M(7|4) als Mittelpunkt und geht durch P(-5|-1)?
[3] Beschreibt x1²+x2²+3x1–4x2+9=0 einen Kreis?
[5.6.2] Schnitt Kreis-Gerade
Untersuchen Sie, ob sich der Kreis K und die Gerade g schneiden.
Geben Sie ggf die Schnittpunkte an.
[1] K : (x–3)2+(y+1)2=25
[2] K : (x+4)2+(y–2)2=100
[3] K : (x+2)2+(y–8)2=169
g : y = x+3
g : y =-x+12
Gerade durch A(0|-11) und B(-5|-6)
[5.6.3] Schnitt von zwei Kreisen
Untersuchen Sie, ob sich die beiden Kreise schneiden.
Geben Sie ggf. die Schnittpunkte an.
[1] K1 : (x+2)2+(y–1)2=25
[2] K1 : (x+1)2+(y–2)2=5
[3] K2 : (x–1)2+(y–7)2=26
K2 : (x–4)2+(y–4)2=10
K2 : (x–1)2+y2=1
K2 : (x+1)2+(y–10)2=65
[5.6.7] Allgemeines zur Kugelgleichung
[1] Stelle eine Kugelgleichung auf mit M(3|4|5) und r=6.
[2] Welche Kugel hat M(1|3|-5) als Mittelpunkt und geht durch P(4|1|-1)?
[3] Beschreibt x1²+x2²+x3²–2x1+4x2–8x3=-20 eine Kugel?
[5.6.8] Schnitt Kugel-Gerade
Untersuchen Sie, ob sich die Kugel K und die Gerade g schneiden.
Geben Sie gegebenfalls die Schnittpunkte an.
[1] K : (x1–1)2+(x2+2)2+(x3–4)2=1
1
−2
4
2
[ ( )]
x−
[2] K : ⃗
=1
[3] K : (x1+1)2+(x2–3)2+(x3+2)2=27
1
−2
3
−1
−4
0
−1
−4
0
1
0
1
3
4
1
3
4
1
( ) + r⋅( )
g :⃗
x=
( ) + r⋅( )
g :⃗
x=
( ) + r⋅( )
g :⃗
x=
[5.6.9] Schnitt Kugel-Ebene
Untersuchen Sie, ob sich die Kugel K und die Ebene E schneiden.
Geben Sie ggf. den Mittelpunkt und den Radius des Schnittkreises an.
[1] K : (x1–1)2+(x2–2)2+(x3–3)2=100
[2] K : (x1–1)2+(x2–9)2+(x3–4)2 = 85
[3] K : (x1–3)2+(x2–3)2+(x3+4)2= 18
8
E : 2x1–2x2–x3 = -5
E : 6x1+2x2+3x3=49
E : x1+2x2+2x3 = 10
© Havonix Schulmedien-Verlag
[5.6.10] Schnitt zweier Kugeln
Untersuchen Sie, ob sich die beiden Kugeln schneiden.
Geben Sie gegebenfalls den Mittelpunkt und den Radius des Schnittkreises an.
[1] K1:(x1–1)2+(x2–2)2+(x3–3)2=100
[2] K1:(x1–3)2+(x2–6)2+(x3–8)2=64
[3] K1:(x1–3)2+(x2–3)2+(x3+4)2= 18
K2:(x1–3)2+x22+(x3–2)2=109
K2:(x1+9)2+(x2–2)2+(x3–2)2=64
K2:(x1–4)2+(x2–5)2+(x3+2)2=43
[5.6.11] Punkt und Kugel
Liegt der Punkt P innerhalb oder außerhalb der Kugel K. Wie groß ist der Abstand?
[1] K:(x1–1)2+(x2–2)2+(x3–3)2=100,
[2] K : x12+(x2–4)2+(x3–3)2 = 85
[3] K : (x1–3)2+(x2–3)2+(x3+4)2=18
P(5|-2|1)
P(8|-4|7)
P(0|6|-4)
P∈K ?
P∈K ?
[5.6.12] Abstand Gerade-Kugel
Bestimmen Sie den Abstand der Kugel K von der Gerade g.
1
2
3
3
0
1
5
1
3
5
2
3
2
1
2
−1
4
1
( ) + r⋅( ) , K:(x –5) +(x –5) +(x –7) =1
x=
[2] g : ⃗
( ) + r⋅( ) , K:(x +5) +(x –2) +(x +1) =9
x=
[3] g : ⃗
( ) + r⋅( ) , K:(x –11) +(x –10) +(x –9) =4
x=
[1] g : ⃗
2
1
2
1
1
2
2
2
2
2
3
2
2
3
2
2
3
2
(vergl: →5.3.2.1, 5.3.3.1, 5.3.4.1)
(vergl.: →5.3.2.2, 5.3.3.2, 5.3.4.2)
(vergl.: → 5.3.2.3, 5.3.3.3, 5.3.4.3)
[5.6.14] Abstand zweier Kugeln
Bestimmen Sie den Abstand der beiden Kugeln voneinander.
[1] K1:(x1–1)2+(x2–2)2+(x3–3)2=25
[2] K1:(x1+3)2+(x2–6)2+(x3–1)2=1
[3] K1:(x1+2)2+(x2–3)2+x32=81
K2:(x1+7)2+(x2–3)2+(x3+1)2=9
K2:(x1–1)2+(x2–2)2+(x3+1)2=25
K2:(x1+3)2+(x2–1)2+(x3+2)2=16
[5.6.15] Tangentialebene
Bestimmen Sie die Tangentialebene ETan an die Kugel K im Berührpunkt B.
[1] K : (x1–1)2+(x2–2)2+(x3–3)2=36
[2] K : x12+(x2–4)2+(x3–3)2 = 9
[3] K : (x1–3)2+(x2–3)2+(x3+4)2= 49
B(-3|-2|-1)
B(2|2|c)
B(a|1|2)
[5.6.17] Polarkreis / Polarebene
Vom Punkt P werden Tangenten an die Kugel K gelegt.
Wie groß ist der Öffnungswinkel des Kegels?
In welcher Ebene liegen alle Berührpunkte?
[1] K : (x1–1)2+(x2–2)2+(x3–3)2=16
[2] K : x12+(x2–4)2+(x3–3)2 = 64
P(-3|-2|-1)
P(8|8|-5)
In welcher Ebene liegen alle Berührpunkte?
[3] K : (x1+3)2+(x2–3)2+(x3+4)2=9
P(4|-1|3)
[5.6.18] Umkugel:
finden Sie in Kapitel [5.9.4]
[5.6.19] Inkugel:
finden Sie in Kapitel [5.9.5]
9
© Havonix Schulmedien-Verlag
mit c<3
mit a<1
[5.7] Pyramiden
[5.7.1] Pyramide zwischen Ebene und den Koordinatenebenen
Bestimmen Sie das Volumen der Pyramide,
die von der Ebene E und den Koordinatenebenen gebildet wird.
[1] E : 2x1+4x3+3x3 = 12
[3] E : -3x1+2x2+6x3 = 18
[2] E : x1+x2+x3 = 6
[5.7.2] Senkrechte, quadratische Pyramide
[1] Bestimmen Sie das Volumen der senkrechten, quadratischen Pyramide ABCDS
mit A(-2|-2|0), B(4|-2|0), C(4|4|0), D(-2|4|0) und S(1|1|8).
[2] Bestimmen Sie die Koordinaten der Spitze der senkrechten, quadratischen
Pyramide mit den Eckpunkten der Grundfläche in A(8|0|0), B(8|8|0), C(0|8|0),
D(0|0|0) und dem Volumen von V=128.
[3] Bestimmen Sie die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte der senkrechten,
quadratischen Pyramide ABCDS mit der Spitze in S(0|0|12) und dem Volumen
von V=64, wenn die Grundfläche in der x1x2-Ebene liegt.
[5.7.3, 5.7.4] Volumen einer dreiseitigen Pyramide
Bestimmen Sie das Volumen der Pyramide mit den Eckpunkten A, B, C und D.
[1] A(-1|0|2), B(5|6|5), C(2|0|5), D(1|5|6)
[2] A(-4|4|4), B(4|-4|4), C(4|4|-4), D(4|4|4)
[3] A(1|3|2), B(3|-1|4), C(5|4|6), D(9|2|6)
[5.8] Parameter
[5.8.1] Ebenenscharen
[1] Welche Ebene der Schar Et : 2tx1+tx2+2x3=t+4 enthält A(1|2|-1) ?
[2] Welche Ebene der Schar Et : 2tx1+tx2+2x3=t+4 hat vom Punkt
P(5|3|5) den Abstand d=6 ?
[3] Welche Ebene der Schar Et : tx1+3x2=t+4 schließt mit
der Ebene F : x2–x3=3 einen Winkel von 45° ein?
[4] Alle Ebenen der Schar Et : 2tx1+tx2+2x3=t+4 haben eine gemeinsame
Schnittgerade s. Bestimmen Sie eine Gleichung von s.
[5] Die Ebenen der Schar Et : 2tx1+tx2+2x3=t+4 rotieren alle um die Gerade
s :⃗
x=
0
1
2
1
−2
0
( ) + r⋅( ) . Eine einzige dieser rotierenden Ebenen kann nicht
durch Et beschrieben werden. Bestimmen Sie deren Gleichung.
[5.8.2] Punkt einer Gerade mit bestimmten Abstand zu einer Ebene
Bestimmen alle die Punkte der Gerade g, die zur Ebene E den Abstand d besitzen.
x=
[1] g : ⃗
x=
[2] g : ⃗
10
−5
−1
4
3
4
−6
5
6
−4
2
r⋅ −4
2
( ) + r⋅( ) , E : 6x +2x –3x =5,
( ) ( ) , E : 2x +x –2x =4,
+
1
1
2
2
3
3
d=7.
d=6.
© Havonix Schulmedien-Verlag
[5.8.3] Punkt einer Gerade mit bestimmten Abstand zu einem Punkt
Bestimmen alle die Punkte der Gerade g, die zum Punkt P den Abstand d besitzen.
3
1
4
1
0
2
−1
2
1
1
−1
1
( ) + r⋅( ) ,
x=
[2] g : ⃗
( ) + r⋅( ) ,
x=
[1] g : ⃗
A(3|4|4),
d=3.
A(5|2|6),
d=6.
[5.8.4] Lage von Gerade und Ebene in Abhängigkeit vom Parameter
2
4
0
der Ebene E : 3x1+x2+2x3=4 in Abhängigkeit von ü.
x=
[2] Für welche Werte von a sind g : ⃗
1
2
3
2
1
1
( ) + r⋅( )
ü
3
−2
( ) + r⋅( )
x=
[1] Bestimme die gegenseitige Lage der Gerade g : ⃗
und
und E: x1+ax2+2x3=4 parallel ?
x=
[3] Bestimme die gegenseitige Lage der Gerade g : ⃗
2
y
0
1
3
−2
( ) + r⋅( )
der Ebene E : 3x1+x2+2x3=4 in Abhängigkeit von y.
und
[5.8.5] Punkt einer Gerade bildet rechten Winkel mit zwei anderen Punkten
x=
[1] Welcher Punkt G der Gerade g : ⃗
3
1
4
−1
2
1
( ) + r⋅( ) bildet mit A(1|1|3)
und B(4|3|2) ein im G-Punkt rechtwinkliges Dreieck ?
x=
[2] Welche Punkt T der Gerade g : ⃗
1
0
2
1
−1
1
( ) + r⋅( ) bildet mit A(6|0|-8) und B(8|3|3)
ein Dreieck, welches in A einen rechten Winkel hat ?
[5.9] Anwendungsaufgaben
[5.9.3] Senkrechte Projektionen
Bestimmen Sie die senkrechte Projektion vom Punkt A und der Gerade g
auf die angegebene Koordinatenebene.
3
4
6
3
4
6
2
−4
1
2
−4
1
( ) + r⋅( )
x=
[2] A(3|4|1) und g : ⃗
( ) + r⋅( )
x=
[1] A(3|4|1) und g : ⃗
auf die x1-x3-Ebene.
auf die x2-x3-Ebene.
[5.9.4] Schattenaufgaben (schiefe Projektionen)
Bestimmen Sie die senkrechte Projektion vom Punkt A und der Gerade g
auf die angegebene Koordinatenebene.
[1] Im Punkt B(4|1|0) befindet sich ein 6m hoher Mast, der von einer Lampe
beschienen wird, die sich im Punkt L(6|-5|9) befindet.
Wie lang ist der entstehende Schatten ?
v=
[2] Im Punkt B(4|1|0) befindet sich ein 6m hoher Mast. Aus der Richtung ⃗
fällt Sonnenlicht auf den Mast. Wie lang ist der entstehende Schatten ?
11
© Havonix Schulmedien-Verlag
−2
3
1
( )
Lösungen der Aufgaben Vektorgeometrie
[5.1.1]
[1]
x3
[2]
⃗
AC
A
x3
G
1
x2
1
D
E
1
1
F
C
x2
⃗
BC
⃗
AB
x1
B(6|4|0)
D(0|0|0)
E(6|0|3)
F(6|4|3)
G(0|4|3)
C
1
1
H
A
B=D
⃗
BC = - ⃗
AC
AB + ⃗
B
x1
x3
[3]
1
g
1
x2
1
x1
[5.1.2]
[1] MAB(5|-0,5|4) B
S(3|1|2)
4
−5
8
−4
2
−2
()
⃗
AC =
( )
⃗
AB =
x3
⃗
AB
[2] MPQ(5|-0,5|4)
MPR(1|3|-1)
MQR(3|0,5|3)
1
1
x2
1
A
C
x1
[5.1.3]
g CD
[2] g PQ
g RS
[5.1.5]
[2] EABC
[4] EPh
12
−2
−1
oder
1
2
−1
oder
2
4
6
oder
−2
2
1
oder
−1
2
4
1
2
−3
2
−1
3
−2
3
2
−1
−1
−2
−2
−2
6
0
2
−4
2
1
1
−1
g CD
gPQ
gRS
3
3
2
−1
3
1
4
3
7
4
5
7
2
1
−1
−2
1
−2
−4
−6
2
−2
−1
1
( ) + r⋅( )
⃗ =
:x
( ) + r⋅( )
:⃗
x=
( ) + r⋅( )
:⃗
x=
( ) + r⋅( )
gAB : ⃗
x=
1
−8
oder
−3
1
3 oder
−4
−1
2
oder
−1
4
1
oder
−2
( ) + r⋅( ) + s⋅( )
: ⃗
x=
( ) + r⋅( ) + s⋅( )
:⃗
x=
( ) + r⋅( ) + s⋅( )
:⃗
x=
( ) + r⋅( ) + s⋅( )
x=
[1] EABC : ⃗
[3] EPg
5
4
1
−3
4
−1
0
−3
9
2
4
8
( ) + r⋅( )
⃗ =
:x
( ) + r⋅( )
:⃗
x=
( ) + r⋅( )
:⃗
x=
( ) + r⋅( )
x=
[1] g AB : ⃗
E ABC
E Ph
oder ...
oder ...
oder ...
1
2
2
2
−6
0
2
−4
2
1
1
−1
2
−6
−1
3
−3
−4
−1
2
−1
4
1
−2
( ) + r⋅( ) + s⋅(
: ⃗
x=
( ) + r⋅( ) + s⋅(
:⃗
x=
( ) + r⋅( ) + s⋅(
:⃗
x=
( ) + r⋅( ) + s⋅(
EABC : ⃗
x=
EPg
1
2
−1
0
3
2
0
1
−1
−1
1
1
oder ...
© Havonix Schulmedien-Verlag
)
)
)
)
oder ...
oder ...
oder ...
oder ...
3
2
4
2
3
4
2
3
4
−1
5
2
[6] Eg,h
[7] Eg,h
[8] Eg,h
6
0
4
2
1
0
2
6
−4
4
2
−4
1
1
oder
−1
5
2
oder …
3
−1
2
oder
−8
4
−3 oder
−3
( ) + r⋅( ) + s⋅( )
⃗ =
:x
( ) + r⋅( ) + s⋅( )
: x⃗ =
( ) + r⋅( ) + s⋅( )
⃗ =
:x
( ) + r⋅( ) + s⋅( )
[5] Eg,h : x⃗ =
[5.1.6]
[1], [4], [7]: -2x1–2x2+x3=-6
[2], [5], [8]: 6x1+2x2+3x3=12
[3], [6], [9]: -2x1+5x2+3x3=16
[5.1.7]
3
0
0
0
6
0
1/ 4
0
0
6
0
0
3
0
−4
−3
6
0
2
0
−4
−3
0
−3
0
6
−4
[5.1.8]
3
1/4
−1/3
0
−6
0
2
−3
6
−4
2
1
−2
[ ( )] ( )
x− 0 ⋅
[1]: E : ⃗
0
[5.1.9]
−4
−8
−8
−1
−2
−3
24
−46
−8
=0
0
7
0
1
1
−1
6
0
4
1
5
−4
3
2
−1
−1
−3
2
−6
−3
6
1
−2
8
−4
3
3
( ) + r⋅( ) + s⋅( )
: x⃗ =
( ) + r⋅( ) + s⋅( )
E g,h : x⃗ =
E g,h
−3
2
0
( ) + r⋅( ) + s⋅( )
[5.1.10]
[1] S12 --[2] S12 (0|2|0)
[3] S12 (-3|-2|0)
[4] S12 (-1|2|0)
13
oder …
(oder Vielfache)
(oder viele andere Varianten)
(oder viele andere Varianten)
1/ 4
0
−1 /2
−3
0
0
(oder viele andere Varianten)
(oder viele andere Varianten)
(oder viele andere Varianten)
0
6
4
3
[ ( )] ( )
x− 0 ⋅ 2 = 0
[2]: E : ⃗
1
2
2
1
2
3
12
−23
−4
S13(5|0|2)
S13--S13(-4|0|2)
S13(-3|0|-3)
oder …
(oder Vielfache)
( )≙()
n=
[2]: ⃗
( )≙()
n=
[2]: ⃗
( )≙( )
n=
[1]: ⃗
oder …
(oder Vielfache)
( ) + r⋅( ) + s⋅( )
x=
[2]: E : ⃗
( ) + r⋅( ) + s⋅( )
x=
[3]: E : ⃗
( ) + r⋅( ) + s⋅( )
x=
[4]: E : ⃗
( ) + r⋅( ) + s⋅( )
x=
[5]: E : ⃗
( ) + r⋅( ) + s⋅( )
x=
[1]: E : ⃗
E g,h : x⃗ =
S23(0|10|2)
S23(0|2|0)
S23(0|8|10)
S23(0|3|1,5)
© Havonix Schulmedien-Verlag
[3]: E :
4
3
2
1
−1
0
( )⋅[ ⃗x−( ) ] = 0
[5.1.11]
[1] S1(6|0|0)
[2] S1(6|0|0)
[3] S1(-3|0|0)
[4] S1---
S2(0|-4|0)
S2(0|2|0)
S2--S2(0|1|0)
[5.1.12]
[1] S1(6|0|0)
S2(0|-4|0)
S3(0|0|2)
[2] S1--S2(0|1|0)
S3(0|0|-3)
x3
E
1
S3(0|0|2)
S3(0|0|3)
S3(0|0|2)
S3(0|0|-3)
x3
1
x2
1
1
1
1
x1
x2
E
x1
x3
[3] E : S1(6|0|0)
S2(0|2|0)
S3(0|0|3)
F : S1(3|0|0)
S2 --S3(0|0|2)
[5.2.1]
[1]
g
[2]
g
[3]
g
[4]
g
und
und
und
und
h
h
h
h
1
E
1
x2
1
F
x1
s
sind windschief
schneiden sich in S(1|2|3)
sind parallel
sind identisch
[5.2.2]
[1]
E enthält g
[2]
E und g schneiden sich in S(3|3|3)
[3]
E und g sind parallel
[5.2.3]
[1]
E1 und E2 sind parallel
[2]
E1 und E2 sind identisch
[3]
[4]
1
[5.3.1]
[1] d(A,B)=3
14
6
−2
0
−6
10
0
1
−1
1
4
−7
1
( ) + r⋅( )
x=
E und E schneiden sich in g : ⃗
( ) + r⋅( )
x=
E1 und E2 schneiden sich in g : ⃗
2
[2] d(C,D)=7
[3] d(P,Q)= √ 67
© Havonix Schulmedien-Verlag
[5.3.2], [5.3.3], [5.3.4], [5.3.5]
[1] d( A,g)= √ 3 ≈1,732
[2] d(P,g)=6
[3] d(Z,g)=9
[5.3.6]
[1] d(E,P)=9
[2] d(E,P)=7
[3] d(E,P)=3
[5.3.7]
[1] d(E,P)≈2,785
[2] d(E,P)=7
[3] d(E,P)=3
[5.3.8]
[1] d(g,h)≈8,72
[2] d(E,g)≈8,43
[3] d(E1,E2)=6
[5.3.9]
[1] d(g,h)=7
[2] d(g,h)=6
[3] d(g,h)≈1,732
[5.3.10]
[1] d(g,h)=7
[2] d(g,h)=6
[3] d(g,h)= √ 3≈1,732
[5.4.1]
[1] A*(9|7|2)
[2] A(4|3|1)
[3] P*(-3|5|4)
[5.4.2]
[1] P(-5|-2|7)
[2] B*(9|7|4)
[3] P*(-2|-2|-9)
[5.4.3]
[1] P*(8|-9|-8)
[2] Q*(0|13|0)
[3] R*(0|8|15)
[5.5.1]
[1] α≈40,37°
[2]
α≈21,04°
β≈76,70°
β=δ≈76,23°
[3]
α≈43,88°
[6] α=γ≈103,77°
[5.5.2]
[1] ⃗
a⋅⃗
b=3
⃗
[2] ⃗
a⋅b=0
⃗ =2
[3] ⃗
u⋅v
[5.5.3]
[1] D(5|0|6)
[2] A(6|-2|1)
[3] C(2|10|6)
[5]
[5.5.4]
[1] P liegt im Inneren
[3] D liegt im Inneren
α=0°
γ≈59,42°
[4]
α≈79,02°
[2] P liegt nicht im Inneren
[4] D liegt im Inneren
[5.5.5]
[1] A∆=18
[2] A∆≈13,856
[3] A∆=9
[5.5.6]
[1] A∆≈40,389
[2] A∆≈27,31
[3] A∆=24,5
15
© Havonix Schulmedien-Verlag
[5.6.1]
[1] (x1–3)2+(x2–4)2=25
[2] (x1–7)2+(x2–4)2=169
[3] Kreis wird beschrieben mit M(-3|2) und r=2.
[5.6.2]
[1] Zwei Schnittpunkte:
[2] Zwei Schnittpunkte:
[3] Zwei Schnittpunkte:
S1(0|3)
S2(-1|2)
S1(2|10) S2(4|8)
S1(-7|-4) S2(-14|3)
[5.6.3]
[1] Schnittgerade: s:y=-2x+7,
[2] Schnittgerade: s:y=x,
2
[3] Schnittgerade: s:y= x+2
3
Zwei Schnittpunkte: S1(1|5) S2(3|1)
Zwei Schnittpunkte: S1(0|0) S2(1|1)
Zwei Schnittpunkte: S1(0|2) S2(6|6)
[5.6.7]
[1] K : (x1–3)2+(x2–4)2+(x3–5)2=36
[2] K : (x1–1)2+(x2–3)2+(x3+5)2=29
[3] K : (x1–1)2+(x2+2)2+(x3–4)2=1
[5.6.8]
[1]
S1(2|-2|4)
S2(1|-2|3)
[2]
keine Schnittpunkte
[3]
Berührpunkt B(2|0|1)
[5.6.9]
[1]
M*(1|2|3)
[2]
M*(7|7|7)
[3]
M*(4|5|-2)
r*=10
r*=7
r*=3
[5.6.10]
[1] Schnittebene: E:4x1–4x2–2x3=-10,
[2] Schnittebene: E:6x1+2x2+3x3=5,
[3] Schnittebene: E:2x1+4x2+4x3=-14,
M*(1|2|3),
r*=10
M*(-3|4|5), r∗= √ 15
M* 19 11 −52 , r*≈3,3
( 9∣9∣
9
)
[5.6.11]
[1] P liegt im Inneren von K
[2] P liegt außerhalb von K, d(K,P)≈2,78
[3] P liegt genau auf K
[5.6.12]
[1] d(K,g)≈0,732
[5.6.14]
[1] d(K1,K2)=1
[3] d(K1,K2)=2
16
[2] d(K,g)=3
[3] d(K,g)=7
[2] d(K1,K2)=0 [die Kugeln berühren sich]
© Havonix Schulmedien-Verlag
[5.6.15]
[1] Tangentialebene: ETan :x1+x2+x3=-3,
[2] Tangentialebene: ETan :2x1–2x2–x3=-2,
[3] Tangentialebene: ETan :-3x1–2x2+6x3=10,
[5.6.17]
[1] Öffnungswinkel:
α=70,53°
Polarebene: EP : x1+x2+x3=2,
[2] Öffnungswinkel: α=83,6°
Polarebene: EP : 2x1+x2–2x3=14,
[3] Polarebene: EP : 2x1+x2–2x3=14,
[5.7.1]
[1] VPyr=12
[2] VPyr=36
[3] VPyr=27
[5.7.2]
[1] VPyr=96 [2] Spitzen: S1(4|4|6), S2(4|4|-6)
[3] A(2|-2|0) B(2|2|0) C(-2|2|0) D(-2|-2|0)
[5.7.3], [5.7.4]
[1] VPyr=13,5
[2] VPyr=85,33
[5.8.1]
[1] t=2
[2] t1=1
t2=3
[3] t=0
(E2
(E1
(E3
(E0
:
:
:
:
4x1+2x2+2x3=6)
2x1+1x2+2x3=5)
6x1+3x2+2x3=7)
3x2=4)
1
−2
0
( ) + k⋅( )
x=
: ⃗
( ) + μ⋅( ) + λ⋅( )
x=
[4] Schnittgerade: s : ⃗
[5] Egesucht
0
1
2
[3] VPyr=12
0
1
2
1
−2
0
0
0
2
(←mehrere Formen dieser Ebene sind möglich!)
[5.8.2]
[1] r1≈1,81 ⇒ P1(4,05|9,86|-3,24);
r2=0 ⇒ P2(-5|-1|4)
[2] r1=0 ⇒ P1(3|4|-6);
r2=9 ⇒ P2(21|-32|12)
[5.8.3]
[1] r1=0 ⇒ P1(3|1|4);
r2=2 ⇒ P2(1|5|6)
[2] r1=0 ⇒ P1(1|0|2);
r2=4 ⇒ P2(5|-4|6)
[5.8.4]
[1] parallel: ü=1/3.
g in E : unmöglich
Schnittpkt: ü≠1/3.
[5.8.5]
[1] r1=0 ⇒ P1(3|1|4);
r2=1/3 ⇒ P2(8/3|5/3|13/3)
17
[2] parallel: a=4.
g in E : unmöglich
Schnittpkt: a≠4.
[3] parallel: unmöglich.
g in E : unmöglich
Schnittpkt: immer.
[2] keine Lösung
© Havonix Schulmedien-Verlag
18
© Havonix Schulmedien-Verlag
Damit die Mathe-Seite.de kostenlos
bleiben kann, braucht sie deine Hilfe!
Bitte empfiehl
die Mathe-Seite
deinen Freunden.
facebook.com/matheseite
Danke!
19
© Havonix Schulmedien-Verlag
Videos
Kostenlose
egen
mit Rechenw
eite.de
auf Mathe-S
20
© Havonix Schulmedien-Verlag