Zufallsexperimente – Grundbegriffe

Q3 Mathematik LK
Martin-Niemöller-Schule
Stefan Krissel
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Zufallsexperimente – Grundbegriffe
Gegenereignis
Zufallsexperiment/Zufallsversuch
Ein Zufallsexperiment (aka Zufallsversuch) ist ein Experiment, dessen Ausgang mit zur Verfügung stehenden Mitteln
nicht vorhergesagt werden kann. Beispiele:
Das Werfen einer Münze, eines Würfels o.ä.
Das Ziehen eines Loses, einer Nummer aus einer Urne, der Lottozahlen o.ä.
Sogar ein Fußballspiel oder jedes andere Spiel, dessen Ausgang nicht vorhergesagt werden kann
Zu jedem Ereignis E gibt es ein Gegenereignis E = Ω \ E , das alle möglichen Ergebnisse enthält, die E nicht enthält.
Beispiele in Bezug auf das Würfeln:
Das Gegenereignis von „Es wird eine gerade Zahl gewürfelt“ ist „Es wird eine ungerade Zahl gewürfelt“.
Das Gegenereignis von „Es fällt eine 4“ ist „Es fällt keine 4“, bzw. „Es fällt eine 1, 2, 3, 5 oder 6“.
Vereinigung von Ereignissen
Man kann eine Vereinigung von Ereignissen bilden. Die Vereinigung der Ereignisse E1 und E2 wird so geschrieben:
Ergebnis
Ein einzelner Ausgang eines Zufallsexperimentes heißt Ergebnis. Beispiele:
Die 3 ist ein mögliches Ergebnis beim Würfeln.
Die Niete ist ein mögliches Ergebnis beim Lose-Ziehen.
„2, 4, 13, 22, 34, 41; Zusatzzahl: 15; Superzahl 4“ ist ein mögliches Ergebnis bei der Ziehung der Lottozahlen.
3:1 ist das mögliche Ergebnis eines Fußballspiels.
E1 ∪ E2
und meint eine Menge, die alle Ergebnisse beider Ereignisse enthält.
Beispiel:
E1 : Es wird eine gerade Zahl gewürfelt: {2, 4, 6}
Ergebnismenge
Will man mehrere Ergebnisse zusammenfassen, schreibt man sie als Ergebnismenge mit geschwungenen Klammern {}:
Alle ungeraden Zahlen beim Würfeln sind {1, 3, 5}.
Alle Zahlen des zweiten Drittels beim Roulette sind {13, ..., 24}.
Alle Ergebnisse, bei denen die Eintracht gewinnt {1:0, 2:0, …, 4:1, …, 6:3, …}
E2 : Es wird eine Zahl kleiner als vier gewürfelt: {1, 2, 3}
In der Vereinigung sind nun alle Ergebnisse aus E1 und E2 enthalten.
E1 ∪ E2 : {1, 2, 3, 4, 6}
Die Vereinigung eines Ereignisses mit seinem Gegenereignis ist immer der Ergebnisraum: E ∪ E = Ω
Ergebnisraum
Schnitt von Ereignissen
Die Gesamtmenge aller möglichen Ergebnisse ist der Ergebnisraum, bezeichnet mit Omega: Ω
Beim Würfeln mit einem Standard-Würfel ist der Ergebnisraum {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Beim Werfen einer Euromünze ist der Ergebnisraum {Zahl, Adler}
Der Schnitt von zwei Ereignissen E1 und E2 meint diejenigen Ergebnisse, die in beiden Ereignissen enthalten ist. Man
schreibt ihn so:
E1 ∩ E2
Ereignis
Beispiel:
E1 : Es wird eine gerade Zahl gewürfelt: {2, 4, 6}
Ein Ereignis E ist eine Ergebnismenge, die kein, ein, mehrere oder alle
Ergebnisse eines Zufallsexperiments enthalten kann. Beispiele in Bezug auf
das Drehen eines Roulette-Rades:
Es kommt eine rote Zahl
Die gezogene Zahl ist kleiner als 17
Es wird eine gerade Zahl gezogen
Ereignisse mit nur einem Element (also einem einzigen Ergebnis) heißen Elementarereignisse.
Das unmögliche Ereignis E = ∅ kann nicht eintreten, da es keine Ergebnisse enthält.
Das sichere Ereignis E= Ω tritt auf jeden Fall ein, weil es alle möglichen Ergebnisse enthält.
1
Zufallsexperimente – Grundbegriffe
E2 : Es wird eine Zahl kleiner als vier gewürfelt: {1, 2, 3}
E1 ∩ E2 : {2}
Bild: Wikipedia
Der Schnitt eines Ereignisses mit seinem Gegenereignis ist immer das unmögliche Ereignis (leere Menge):
E∩E = ∅
Wichtig: Die Zeichen + und – kann man bei Mengen nicht verwenden!!!
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Aufgaben
Regeln von de Morgan
Wenn E1 und E2 Ereignisse eines Zufallsexperiments sind, dann gelten die folgenden Gleichungen:
E1 ∪ E2 = E1 ∩ E2
Hinweis
Es hat sich folgende Sprechweise eingebürgert: Wann immer in der Stochastik ein Gefäß benutzt wird, in dem sich
irgendwelche Kugeln o.ä. befinden, spricht man von einer Urne. Man könnte natürlich auch Eimer, Schüsseln, Töpfe,
Bierseidel oder Kokosnussschalen benutzen.
1. In einer Urne liegen 50 Kugeln, die ein kreativer Mensch von 1–50 durchnummeriert hat. Willi Winzig zieht eine
E1 ∩ E2 = E1 ∪ E2
Kugel. Stelle die folgenden Ereignisse, bzw. deren Verbindungen als Ergebnismengen dar. Benutze bei den
Schnitten und Vereinigungen zur Unterstützung ein Mengenbild.
a. E1 : Die gezogene Nummer ist durch 9 teilbar.
b. E2 : Die gezogene Nummer ist durch 12 teilbar.
c. E3 : Die gezogene Nummer ist durch 23 teilbar.
d. E1 ∪ E2
Mengenbilder
Zur Veranschaulichung von Ereignissen, Gegenereignissen usw. kann man
Mengenbilder benutzen.
e. E2 ∪ E3
f.
Beispiel:
Das folgende Mengenbild bezieht sich auf das Zufallsexperiment „Würfeln
eines Standard-Würfels“. Dabei gilt:
2. Es wird gewürfelt! Bestimme jeweils die Gegenereignisse.
a. E1 : Die Augenzahl ist mindestens 3.
E1 ist das Ereignis, dass eine Zahl kleiner als vier gewürfelt wird: {1, 2, 3}
b. E2 : Die Augenzahl ist ungerade.
E2 ist das Ereignis, dass eine ungerade Zahl gewürfelt wird: {1, 3, 5}
c. E3 : Die Augenzahl ist 5 oder 6.
Mit dem Mengenbild kann man nun recht einfach den Schnitt und die Vereinigung, sowie die jeweiligen Gegenereignisse
herausfinden:
6
E1
2
E2
E1 ∩ E2
1
3
E1 ∩ E2
g. E2 ∩ E3
5
4
d. E4 : Die Augenzahl höchstens 4.
3. Nun geht es um Skat-Karten (7, 8, 9, 10, Bube, Dame, König, As; jeweils mit Kreuz, Pik, Herz und Karo).
E1 ist das Ereignis, dass Kreuz gezogen wird.
E2 ist das Ereignis, dass ein König gezogen wird.
Stelle folgende Ereignis-Verknüpfungen in der Mengen-Schrreibweise dar und beschreibe sie:
a. E1 ∪ E2
b. E1 ∩ E2
c. E1 ∪ E2
d. E1 ∩ E2
Hier noch einmal alle hier beteiligten Ereignisse und deren Verbindungen als Ergebnismengen:
E1 : {1, 2, 3}
E2 : {1, 3, 5}
E1 : {4, 5, 6}
E2 : {2, 4, 6}
E1 ∪ E2 : {1, 2, 3, 5}
E1 ∩ E2 : {1, 3}
E1 ∪ E2 = E1 ∩ E2 : {4, 6}
E1 ∩ E2 = E1 ∪ E2 : {2, 4, 5, 6}
4. Nun wird es allgemeiner: Stelle die graue Fläche
schriftlich als Verknüpfung (Vereinigung und
Schnitt, sowie Kombinationen davon) der Ereignisse E1 und E2 dar.
Diese Aufgaben wurden größtenteils aus dem Mathematik-Buch 13.1 übernommen, und zwar S. 12–13, Ü. 4, 6, 8, 9
Zufallsexperimente – Grundbegriffe
3
Zufallsexperimente – Grundbegriffe
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Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten
Bevor wir viele lustige Wahrscheinlichkeiten ausrechnen, müssen wir uns zunächst einmal damit befassen, was eine
Wahrscheinlichkeit überhaupt ist. Dazu blicken wir zunächst auf …
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Wahrscheinlichkeiten
Bitte auch den Text und die Definition auf Seite 20 lesen!
Wahrscheinlichkeit – eine Arbeitsdefinition
Absolute und relative Häufigkeiten
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist der zu erwartende Stabilisierungswert für die relative Häufigkeit
des Ereignisses, wenn die Anzahl der Versuchsdurchführungen n gegen Unendlich läuft.
siehe Buch, S. 16–19
Beispiel
Angenommen, man wirft eine Euro-Münze 80mal. Dabei kommt 41mal die Zahl.
Merke: Jede Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses beträgt aufgrund der obigen Definition mindestens 0 (dann ist das
Ereignis unmöglich) und höchstens 1 (dann ist das Ereignis sicher).
Dann ist k=41 die absolute Häufigkeit des Ergebnisses „Zahl“ und
k 41
=
= 0,5125 die relative Häufigkeit des Ergebnisses „Zahl“.
n 80
Laplace-Wahrscheinlichkeiten
Bitte Texte auf Seite 22 und 23 lesen!
Definitionen
Bei einem Laplace-Experiment sind alle Ergebnisse/Elementarereignisse gleich wahrscheinlich.
Bei einem Zufallsexperiment mit n Versuchen, bei dem k-mal ein bestimmtes Ereignis eintritt, definiert man also…
an (E) = k als die absolute Häufigkeit des Ereignisses
hn (E) =
k
als die relative Häufigkeit des Ereignisses
n
Beispiele
Einmaliges Werfen eines Würfels
Ziehen einer Zahl beim Roulette
Für die Wahrscheinlichkeit eines beliebigen Ereignisses E bei einem Laplace-Experiment gilt:
P(E) =
E
Anzahl der in E enthaltenen Ergebnisse
=
Anzahl der im Ergebnisraum enthaltenen Ergebnisse Ω
Gesetz der großen Zahlen
Wird z.B. eine Münze sehr oft geworfen, kann man davon ausgehen, dass in etwa bei der Hälfte aller Würfe „Zahl“ das
Ergebnis ist. Man sagt dann, dass sich die relative Häufigkeit bei 0,5 stabilisiert.
Aufgaben
Aufgaben
1. Erläutere schlüssig die einzelnen Ziffern des Satzes I.1 auf Seite 19 mit eigenen Worten.
2. Übungen:
Seiten 17–19 Zu erledigen bis
Hinweise
10
Siehe Beispiel auf S. 16–17
12
Kein Hinweis. Das läuft auch so.
15
16
Bei den Beweisen darf man ganz formal nur die Definitionen und den Satz I.1
von Seite 19 benutzen!
1
Seiten 24–26
Zu erledigen bis
Hinweise
19
Bei d ist wirklich „mit Sicherheit“ gemeint.
21
Bezug zur Studienfahrt! Tripel = Dreiergrüppchen
22
Tipp: Erst zeichnen!
24
Keiner.
2
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6
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Bedingte Wahrscheinlichkeiten
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Die Wahrscheinlichkeiten von eben kann man unmittelbar aus dem Baum ablesen. Wenn es jedoch zu umständlich ist,
einen Baum zu zeichnen, kann man folgende Rechenregel anwenden:
Buch S. 67–104
PB (A) =
P(A ∩ B)
P(B)
Grundlagen
Hier geht es darum, dass innerhalb eines mehrstufigen Zufallsexperiments die Resultate einer Stufe Einfluss auf die
Wahrscheinlichkeiten in der zweiten Stufe haben kann
Nehmen wir an, wir haben eine Urne mit acht Kugeln, 5 roten und 3 blauen, und ziehen zweimal ohne Zurücklegen.
Dann ergibt sich der folgende Baum:
5
8
4
7
rot
3
7
blau
5
7
rot
rot
woraus man durch einfache Gleichungsumformung den Produktsatz/Multiplikationssatz gewinnen kann:
PB (A) ⋅ P(B) = P(A ∩ B)
Selbstverständlich gilt: P(B)>0.
3 5
⋅
5
In unserem Beispiel würde dann z.B. gelten: Pblau(rot) = 8 7 =
3
7
8
(W’keit, dass im zweiten Wurf rot
kommt, unter der Bedingung, dass
zuerst blau kam)
Start
3
8
Stochastische Unabhängigkeit
blau
2
7
Buch, S. 68–70
Eine stochastische Arbeit ist es, Ereignisse darauf zu überprüfen, ob sie überhaupt abhängig sind. Ist dies nicht der Fall,
sind sie unabhängig und es gilt:
blau
Es ist offensichtlich, dass die Wahrscheinlichkeit, im zweiten Wurf eine rote Kugel zu ziehen, davon abhängt, was im
ersten Zug gezogen wurde. Das Resultat des ersten Zugs bedingt also die Chancen im zweiten Zug.
Definition
Zwei Ereignisse A und B heißten stochastisch unabhängig voneinander, wenn Folgendes gilt:
PB (A) = P(A)
und
PA (B) = P(B)
Schreibwesen/Beispiele
5
7
für die Wahrscheinlichkeit, dass rot kommt, unter der Bedingung, dass zuerst blau kam.
Man schreibt: Pblau(rot) =
Praktischerweise gelten bei stochastisch unabhängigen Ereignissen die folgenden vereinfachten Rechenregeln
Multiplikationssatz für stochastisch unabhängige Ereignisse (und nur für diese!)
P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B)
4
Und Prot (rot) =
7
Additionssatz für stochastisch unabhängige Ereignisse (und nur für diese!)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = P(A) + P(B) − P(A) ⋅ P(B)
für die Wahrscheinlichkeit, dass im zweiten Wurf rot kommt, unter der Bedingung, dass zuerst auch rot kam.
Es geht weiter mit der totalen Wahrscheinlichkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
1
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
2
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Die totale Wahrscheinlichkeit
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Die totale Wahrscheinlichkeit
Wenn man z.B. wissen möchte, wie groß insgesamt die Wahrscheinlichkeit dafür ist, das irgendein Ereignis eintritt,
egal, unter welcher Bedingung, muss man folgenden Satz anwenden (man mache ihn sich am Baum klar):
Der Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
Wenn man z.B. wissen möchte, wie groß insgesamt die Wahrscheinlichkeit dafür ist, das irgendein Ereignis eintritt,
egal, unter welcher Bedingung, muss man folgenden Satz anwenden (man mache ihn sich am Baum klar):
Der Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
P(A) = P(B) ⋅ PB (A) + P(B) ⋅ PB (A)
P(A) = P(B) ⋅ PB (A) + P(B) ⋅ PB (A)
Voraussetzung ist, dass alle vorkommenden Wahrscheinlichkeiten ungleich Null sind.
Voraussetzung ist, dass alle vorkommenden Wahrscheinlichkeiten ungleich Null sind.
Die Formel von Bayes
Die Formel von Bayes
Wenn man alle bisherigen Definitionen und Sätze zusammenführt, ergibt sich die Formel von Bayes:
PB (A) =
Wenn man alle bisherigen Definitionen und Sätze zusammenführt, ergibt sich die Formel von Bayes:
P(A) ⋅ PA (B)
P(A) ⋅ PA (B)
=
P(B)
P(A) ⋅ PA (B) + P(A) ⋅ PA (B)
PB (A) =
Aufgabe: Beweise die Formel von Bayes mithilfe der vorigen Definitionen und Sätze.
S. 88 Ü. 1
S. 72 Ü. 9
S. 93 Ü. 5
S. 72 Ü. 10
S. 93 Ü. 6
S. 85 Ü. 23
S. 98 Ü. 2
S. 87 Ü. 26
S. 101 Ü. 7
Bayes
S. 96 Ü. 1
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
3
Seite, Übung
S. 94 Ü. 13
S. 83 Ü. 18
S. 87 Ü. 28
☺ S. 102 Ü. 9
Zu erledigen bis
☺ Seite, Übung
S. 72 Ü. 8
S. 88 Ü. 1
S. 72 Ü. 9
Totale W.
S. 72 Ü. 8
Zu erledigen bis
S. 72 Ü. 10
S. 78 Ü. 2
S. 93 Ü. 5
S. 93 Ü. 6
S. 94 Ü. 13
S. 83 Ü. 18
S. 96 Ü. 1
S. 85 Ü. 23
S. 98 Ü. 2
S. 87 Ü. 26
S. 101 Ü. 7
Bayes
Seite, Übung
Einfache Bed.
☺ Abhängigkeit
Zu erledigen bis
Totale W.
Einfache Bed.
Aufgaben
S. 78 Ü. 2
Abhängigkeit
P(A) ⋅ PA (B)
P(A) ⋅ PA (B)
=
P(B)
P(A) ⋅ PA (B) + P(A) ⋅ PA (B)
Aufgabe: Beweise die Formel von Bayes mithilfe der vorigen Definitionen und Sätze.
Aufgaben
Seite, Übung
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S. 87 Ü. 28
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
3
S. 102 Ü. 9
Zu erledigen bis
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Zufallsgrößen
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Grundbegriffe
Begriffe und Definitionen
Eine Zufallsgröße oder Zufallsvariable ist eine eindeutige Zuordnung (Funktion)
X : Ω → ℝ,
die jedem Ergebnis eines Zufallsversuchs eine reelle Zahl
zuordnet.
Passende Beispiele
Beim Würfeln wird jeder Augenzahl eine bestimmte Gewinnsumme zugeordnet, z.B.:
X = xi
ist ein Ereignis, das alle Ergebnisse enthält,
bei dem X den Wert xi annimmt.
X = 1,50 €
wären alle Ergebnisse, bei denen der Spieler 1,50 Euro
gewinnt.
5 → −3 €,
2 → 1,50 €,
4 → 0 €,
1 → 1,50 €,
Man möchte beim Spielen natürlich nicht nur wissen, wie groß der Erwartungswert ist, sondern auch, wie weit die
tatsächlich zu erwartenden Gewinne/Verluste von diesem abweichen. Bei einem Spiel mit dem Erwartungswert Null
kann es ja der Fall sein, dass man einmal einen Euro gewinnt und ein andermal einen Euro verliert, es kann aber auch
sein, dass man einmal eine Million Euro gewinnt und ein andermal den gleichen Betrag verliert. Deshalb gibt es Maßzahlen, die Aufschluss darüber geben sollen, wie weit die tatsächlichen Ergebnisse etwa um den Erwartungswert streuen.
Dabei muss man wissen, dass es sich hierbei nicht um Zahlen handelt, aus denen man präzise Rückschlüsse über tatsächliche Ergebnisse ziehen kann, sondern dass auch sie nur eine Orientierung bieten.
Definition/Berechnung der Varianz
Man muss wissen, dass die Berechnungsgrundlage für die Varianz zwar nicht willkürlich ist, aber doch ein ganzes Stück
auf Erfahrung und praktischen Erfordernissen beruht. Sie kann nicht aus irgendetwas hergeleitet werden, sie wird definiert als:
V(X) = (x1 − µ)2 ⋅ P(X = x1) + (x2 − µ)2 ⋅ P(X = x2 ) + ... + (xn − µ)2 ⋅ P(X = xn )
n
Möchte man die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Beim unserem Würfel-Beispiel sähe die WahrscheinlichZufallsgröße X herausfinden, so muss man jedem mögli- keitsverteilung so aus:
chen Wert xi , den X ja annehmen kann, eine Wahr2 1
P(X = −3 Euro) = =
6 3
scheinlichkeit
zuordnen.
P(X = xi )
1
P(X = 0 Euro) =
6
3 1
P(X = 1,50 Euro) = =
6 2
=
∑ (x
i
− µ)2 ⋅ P(X = xi )
i =1
Definition/Berechnung der Standardabweichung
Die Standardabweichung wird definiert als die Quadratwurzel aus der Varianz:
σ(X) =
V(X)
Die Standardabweichung ist so etwas wie der Erwartungswert der Abweichung vom Erwartungswert, tatsächliche
Ergebnisse werden also im Mittel um die Standardabweichung vom Erwartungswert abweichen.
Wenn ihr irgendwann einmal Psychologie studiert, werdet ihr diese beiden Größen zu schätzen wissen.
Der Erwartungswert
Wenn man ein Spiel spielt, interessiert den Spieler natürlich, welchen Gewinn/Verlust er zu erwarten hat, wenn er das
Spiel recht lange spielt. Diesen Erwartungswert kürzt man E(X) oder dem griechischen Buchstaben µ (Mü) ab.
Nehmen wir an, es gäbe m verschiedene Ergebnisse, die die Zufallsgröße annehmen kann, dann ist der Erwartungswert:
µ = E(X) = x1 ⋅ P(X = x1) + x2 ⋅ P(X = x2 ) + x 3 ⋅ P(X = x3 ) + ... + xm −1 ⋅ P(X = xm−1) + xm ⋅ P(X = xm )
Die Ungleichung von Tschebyschew
siehe Buch, Seite 125ff
Mithilfe der Ungleichung von Tschebyschew kann man abschätzen, wie wahrscheinlich eine bestimmte Abweichung
vom Erwartungswert ist.
m
=
∑x
i
⋅ P(X = xi )
P(| X − µ |≥ c) ≤
i =1
Beispiel
In dem Beispiel aus der obigen Tabelle wäre der Erwartungswert
1
1
1
µ = E(X) = (−3) ⋅ + 0 ⋅ + 1,5 ⋅ = −1 + 0 + 0,75 = −0,25
3
6
2
Der Spieler hat also langfristig mit einem Verlust von 25 Cent pro Spiel zu rechnen.
Zufallsgrößen
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Varianz und Standardabweichung
Buch S. 106 bis 135
6 → −3 €,
3 → 1,50 €,
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1
σ2  σ 
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c
2
Es geht hier um die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße X einen Wert annimmt, der mindestens um c von dem
Erwartungswert µ abweicht.
Äquivalent dazu ist die Ungleichung
P(| X − µ |< c) ≥ 1 −
Zufallsgrößen
2
σ2
σ
= 1−  
c2
c
2
Q3 Mathematik LK
Martin-Niemöller-Schule
Stefan Krissel
Q3 Mathematik LK
Martin-Niemöller-Schule
Stefan Krissel
Kombinationen von Zufallsgrößen
Kombinationen von Zufallsgrößen
siehe Buch, S. 129ff
siehe Buch, S. 129ff
Bisher haben wir innerhalb eines Zusammenhangs nur mit einer Zufallsgröße gearbeitet. Doch man kann Zufallsgrößen
auch kombinieren! Gerechnet wird dabei ähnlich wie mit Wahrscheinlichkeiten.
Bisher haben wir innerhalb eines Zusammenhangs nur mit einer Zufallsgröße gearbeitet. Doch man kann Zufallsgrößen
auch kombinieren! Gerechnet wird dabei ähnlich wie mit Wahrscheinlichkeiten.
Unabhängige Zufallsgrößen
Unabhängige Zufallsgrößen
Hierbei geht es um Zufallsgrößen, die keinen Einfluss aufeinander haben, z.B. kann es bei X um Ergebnisse eines Würfels und bei Y um die eines Glücksrades gehen. Mit solchen Größen befassen wir uns in der Hauptsache.
Hierbei geht es um Zufallsgrößen, die keinen Einfluss aufeinander haben, z.B. kann es bei X um Ergebnisse eines Würfels und bei Y um die eines Glücksrades gehen. Mit solchen Größen befassen wir uns in der Hauptsache.
Seien X und Y Zufallsgrößen mit den Wertemengen {x1,...,xn } und {y1,...,ym} , dann heißen X und Y unabhän-
Seien X und Y Zufallsgrößen mit den Wertemengen {x1,...,xn } und {y1,...,ym} , dann heißen X und Y unabhän-
gig, wenn für alle möglichen Paare (xi ,y j ) folgendes gilt:
gig, wenn für alle möglichen Paare (xi ,y j ) folgendes gilt:
P(X = xi , Y = y j ) = P(X = xi ) ⋅ P(Y = y j )
P(X = xi , Y = y j ) = P(X = xi ) ⋅ P(Y = y j )
Hierbei wird die bekannte Pfadregel für Wahrscheinlichkeitsbäume ausgenutzt. Siehe Beispiel auf Seite 130.
Hierbei wird die bekannte Pfadregel für Wahrscheinlichkeitsbäume ausgenutzt. Siehe Beispiel auf Seite 130.
Erwartungswert und Rechenregeln
Erwartungswert und Rechenregeln
Für Summen und Produkte von Zufallsgrößen lassen sich einfach Erwartungswerte bilden – vorausgesetzt, die Zufallsgrößen X und Y sind unabhängig voneinander.
Für Summen und Produkte von Zufallsgrößen lassen sich einfach Erwartungswerte bilden – vorausgesetzt, die Zufallsgrößen X und Y sind unabhängig voneinander.
E(X + Y) = E(X) + E(Y)
E(X ⋅ Y) = E(X) ⋅ E(Y)
E(X + Y) = E(X) + E(Y)
E(X ⋅ Y) = E(X) ⋅ E(Y)
Die Rechenregeln zu Erwartungswert und Varianz bitte ich auf S, 133 nachzulesen, man beachte unbedingt auch die
Begründungen.
Die Rechenregeln zu Erwartungswert und Varianz bitte ich auf S, 133 nachzulesen, man beachte unbedingt auch die
Begründungen.
Aufgaben
Aufgaben
S. 113, A. 5
S. 114, A. 8
Varianz
S. 113, A. 3
S. 128, A. 6
S. 120, A. 1
S. 134, A. 3
S. 134, A. 5
S. 124, A. 2
S. 124, A. 3
Zufallsgrößen
3
Seite, Übung
Varianz
S. 124, A. 5
S. 124, A. 6
S. 127, A. 1
S. 113, A. 5
S. 114, A. 8
S. 127, A. 2
S. 127, A. 3
S. 128, A. 6
S. 116, A. 19
S. 130, A. 1
S. 120, A. 1
S. 134, A. 3
S. 121, A. 3
S. 134, A. 7
S. 123, A. 1
S. 135, A. 11
S. 124, A. 2
S. 135, A. 12
☺ S. 109, A. 5
S. 111, A. 1
S. 127, A. 3
Zu erledigen bis
S. 108, A. 2
S. 127, A. 1
S. 130, A. 1
S. 123, A. 1
Seite, Übung
S. 127, A. 2
S. 116, A. 19
S. 121, A. 3
☺ Tschebyschew
Tschebyschew
S. 113, A. 3
Kombinationen
Spielstr. Erwartungswert
S. 111, A. 1
S. 124, A. 6
Zu erledigen bis
S. 134, A. 5
Kombinationen
S. 109, A. 5
S. 124, A. 5
W-Vert.
Seite, Übung
Spielstr. Erwartungswert
☺ Varianz
Zu erledigen bis
S. 108, A. 2
Varianz
W-Vert.
Seite, Übung
S. 124, A. 3
Zufallsgrößen
3
S. 134, A. 7
S. 135, A. 11
S. 135, A. 12
Zu erledigen bis
☺ Q3 Mathematik LK
Martin-Niemöller-Schule
Stefan Krissel
Binomialverteilung
Q3 Mathematik LK
Martin-Niemöller-Schule
Stefan Krissel
Aufgaben
Buch S. 138–164
Bernoulli-Ketten & Binomialverteilung – Grundlagen
Definitionen
Seitenbereich
138–149
Ein Bernoulli-Experiment ist dadurch gekennzeichnet, dass es nur zwei zu unterscheidende Ausgänge hat.
Wenn man ein solches Experiment n-mal wiederholt und dabei die Trefferwahrscheinlichkeit p immer
gleich bleibt, hat man eine Bernoulli-Kette der Länge n.
In einer Bernoulli-Kette können ja maximal n Treffer vorkommen. Wenn die Zufallsgröße X die Anzahl der
Treffer ist, wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X als Binomialverteilung bezeichnet.
Grundlagenaufgaben
150–153
Die Formel von Bernoulli
Für eine Bernoulli-Kette legt man zunächst fest:
n = Länge der Kette, also Anzahl der Versuche
p = Trefferwahrscheinlichkeit
k = Anzahl der Treffer
Aufgaben
Zu erledigen bis
1
Zwei Ausgänge, gleichbleibendes p!
2
„Mindestens“, „genau“ usw. sind relevante Wörter!
3
Bei c braucht man mal wieder eine Variable.
5
Otto = Sheldon.
8
Von Alfred Tetzlaff gab es früher eine Fernsehsendung.
17
Zu spät. Die NASA hat sie ins Museum gestellt.
1
GeoGebra benutzen und ausdrucken gilt nicht.
2
Geht schnell.
Darstellung, Erwartungswert, Varianz, 3
Standardabweichung 4
Dann kann man die Wahrscheinlichkeit für k Treffer in dieser Kette mit der Bernoulli-Formel berechnen:
n
P(X = k) = B(n; p; k) =   ⋅ pk ⋅ (1 − p)n−k
k 
154–164
Hinweise
Ebenso.
Ein Extremalproblem?
1
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit einer Verspätung?
3
Gewissermaßen P(X=E(X))
5
Auf das „nicht“ achten und umformulieren!
9
Dies und das
17
18
20
Erwartungswert und Varianz
Aufgrund der Regelmäßigkeit der Binomialverteilung sind Erwartungswert und Varianz sehr einfach zu berechnen. Herleitung: Siehe S. 153.
µ = E(X) = n ⋅ p
Ein paar Bildchen aus der reichhaltigen Office-Clipart-Galerie:
V(X) = n ⋅ p ⋅ (1 − p)
Kumulierte Binomialverteilung
Häufig interessiert es nicht so sehr, wie groß die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer ist, sondern wie hoch die
Wahrscheinlichkeit z.B. für höchstens k Treffer ist. Dann muss man die kumulierte Binomialverteilung benutzen:
k
P(X ≤ k) = F(n; p; k) =
k
Es heißt Binomial…, nicht Binominal….
∑ B(n; p; i) = ∑  i  ⋅ p ⋅ (1 − p)
i= 0
Binomialverteilung
n
Der Klugscheißerspruch zum Abschluss:
i =0
1
i
n−i
 
Binomialverteilung
2
Q3 Mathematik LK
Martin-Niemöller-Schule
Stefan Krissel
Beurteilende Statistik
Buch S. 160 bis 184
Die σ–Umgebung der Erwartungswertes bei Bernoulli-Ketten
Es ist für einen Versuchsdurchführenden bisweilen interessant zu wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass sich
die Ergebnisse seines Versuches innerhalb einer bestimmten Umgebung um den Erwartungswert befinden. Auf Basis
mannigfaltiger empirischer Erfahrungen hat sich herausgestellt, dass die folgenden Werte für Bernoulli-Ketten gute
Orientierungen bieten und nahe an der Realität liegen.
Q3 Mathematik LK
Martin-Niemöller-Schule
Stefan Krissel
Bernoulli-Gesetz der großen Zahlen
Je größer bei einer Stichprobe n ist, desto kleiner werden bei gleichem p die Sigma-Umgebungen,
3σ
3σ
X
z.B. [p −
um die Trefferwahrscheinlichkeit p befindet. Wie
;p +
] , in denen sich die relative Häufigkeit
n
n
n
X

auf den Seiten 174f genauer ausgeführt, ergibt sich dadurch der Grenzwert
lim P  − p < ε  = 1
n→∞
n


Diese Gleichung sagt nichts anderes, als dass die sich relative Häufigkeit bei sehr großem n der Wahrscheinlichkeit
annähert. Das Gesetz ist der Grund, dass man z.B. aussagekräftige Umfrageresultate bei größeren Stichproben erhält.
Tschebyschew’sche Ungleichung für Bernoulli-Ketten
Unter der (Laplace-)Bedingung, dass
σ = n ⋅ p ⋅ (1 − p) > 3 erfüllt ist, gilt:
Die Werte von X (Anzahl Treffer) fallen zu etwa…
68% ins Intervall [µ − σ; µ + σ]
95,5% ins Intervall [µ − 2σ; µ + 2σ]
99,7% ins Intervall [µ − 3σ; µ + 3σ]
Sie ergibt sich, indem man die gewöhnliche Tschebyschew-Gleichung durch n teilt. Es gilt entsprechend: ε =
c
n
X

1
P  − p ≥ ε ≤
2
 n
 4nε
Bitte unbedingt Beispiele auf S. 168f lesen und begreifen!
Konfidenzintervalle
Bezeichnungen
Begriff: Von lat. confidentia = Vertrauen. Manchmal ergibt sich die verdrießliche Situation, dass man gar nicht weiß,
wie wahrscheinlich irgendetwas ist, z.B. wenn es um Einschaltquoten im Fernsehen geht. Niemand kann die tatsächlichen Zuschaueranteile einer Sendung messen, aber man kann auf Basis einer ausreichend großen Stichprobe Aussagen
darüber machen, wie viele Menschen eine Sendung wahrscheinlich verfolgt haben.
Man geht zusammengefasst so vor:
Zunächst wählt man eine möglichst große Stichprobe und befragt die Menschen, ob sie z.B. das Fußballspiel
X
am Dienstag gesehen haben. Es ergibt sich eine relative Häufigkeit .
n
X
Nun weiß man, dass mit einer 99,7%-igen Wahrscheinlichkeit die ermittelte relative Häufigkeit
sich in einer
n
3σ
-Umgebung befinden um die tatsächliche Trefferwahrscheinlichkeit p befinden muss. Also kann man umn
3σ
gekehrt auch sagen, dass sich die tatsächliche Trefferwahrscheinlichkeit in einer
-Umgebung um die relan
tive Häufigkeit befinden muss.
Das sich ergebende Intervall um die relative Häufigkeit herum ist das Konfidenzintervall.
Gilt auch nur für Bernoulli-Ketten.
Genauso, wie man oben die Wahrscheinlichkeit dafür angeben konnte, dass sich die Trefferzahl in einem bestimmten
Intervall, eben einer Sigma-Umgebung um den Erwartungswert, befindet, kann man jetzt auch eine Wahrscheinlichkeit
dafür angeben, dass sich eine bestimmte relative Häufigkeit innerhalb einer bestimmten Sigma-Umgebung um die Trefferwahrscheinlichkeit herum befindet.
X
Die Werte von
(relative Trefferhäufigkeit) fallen zu etwa…
n
68% ins Intervall [p − σ ;p + σ ]
Unter der (Laplace-)Bedingung, dass
n
n
σ = n ⋅ p ⋅ (1 − p) > 3 erfüllt ist, gilt:
2σ
2σ
95,5% ins Intervall [p −
;p +
]
n
n
3σ
3σ
;p +
]
99,7% ins Intervall [p −
n
n
Man kann sich schnell davon überzeugen, dass für diese Werte einfach die Werte aus der Tabelle ganz oben durch n
geteilt wurden.
Beurteilende Statistik
1
Aufgaben (verpflichtend)
Seite, Übung
Zu erledigen bis
☺ Seite, Übung
G.D.g.Z.
σ
–Umgebung der Trefferwahrscheinlichkeit
n
166 1
167 2
170 5
170 8
173 2
173 3
173 5
Beurteilende Statistik
175 1
177 3
180 1
Konfidenzintervalle
Die
Sigma-Umgebung
Hochsignifikante Abweichungen
So bezeichnet man Abweichungen, die um mehr als das Dreifache der Standardabweichung (also 3σ ) vom Erwartungswert abweichen.
Sigma/n
Signifikante Abweichungen
So bezeichnet man Abweichungen, die um mehr als das Doppelte der Standardabweichung (also 2σ ) vom Erwartungswert abweichen.
2
180 2
180 3
182 4
183 8
Zu erledigen bis
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