Dimensionale Regularisierung und - Uwe

Dimensionale Regularisierung und
asymptotische Freiheit des
δ-Funktions-Potentials in der relativistischen
Quantenmechanik
Bachelorarbeit in theoretischer Physik
Hernando Sobrino
Ansprechpartner: Uwe-Jens Wiese
Universität Bern, August 2014
Dimensionale Regularisierung und asymptotische Freiheit des δ-Funktions-Potentials in
der relativistischen Quantenmechanik
Abstract
Wir betrachten die eindimensionale Schrödinger Gleichung für ein relativistisches
Punktteilchen in einem δ-Funktions-Potential.
Dabei nimmt der Hamilton Operator
p
2
2
im Impulsraum die Form H =
p + m an. Dies bringt viele Schwierigkeiten
mit sich, die in der nicht-relativistischen Version desselben Problems nicht auftreten
würden. Wir untersuchen gebundene und Streuzustände durch Regularisierung und
Renormierung formaler mathematischer Ausdrücke, die sonst divergieren würden.
Diese Methode stammt aus der Quantenfeldtheorie (QFT), in der die Quantentheorie
und die spezielle Relativitätstheorie vereinheitlicht werden. Im allgemeinen stellt die
QFT einen grossen Sprung im Bezug auf die nicht-relativistische Quantenmechanik
dar, und das hier behandelte Problem ist eine der wenigen Aufgaben, die im Rahmen
der relativistischen Quantenmechanik gelöst werden kann.
Bachelorarbeit in theoretischer Physik
1
Hernando Sobrino
Dimensionale Regularisierung und asymptotische Freiheit des δ-Funktions-Potentials in
der relativistischen Quantenmechanik
Contents
1 Einleitung
1.1 Die eindimensionale Schrödinger Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Das δ-Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
8
2 Nicht-relativistischer Hamilton Operator
2.1 Gebundener Zustand des nicht-relativistischen Hamilton Operators . . . .
2.2 Streuzustände des nicht-relativistischen Hamilton Operators . . . . . . . .
11
14
17
3 Relativistischer Hamilton Operator
3.1 Gebundener Zustand des relativistischen Hamilton Operators . . . . . . . .
3.2 Streuzustände des relativistischen Hamilton Operators . . . . . . . . . . .
32
39
47
4 Schlussfolgerung
4.1 Danksagung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
61
Bachelorarbeit in theoretischer Physik
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Dimensionale Regularisierung und asymptotische Freiheit des δ-Funktions-Potentials in
der relativistischen Quantenmechanik
1
Einleitung
In dieser Bachelorarbeit wird das Problem der Bewegung eines Teilchens in einem δFunktions-Potential quantenmechanisch behandelt. Dabei wird der Term der potentiellen
Energie im Hamilton Operator durch die Diracsche δ-Funktion beschrieben. In einem
ersten Schritt wird das Problem im Rahmen der nicht-relativistischen Quantenmechanik
behandelt. Dabei werden die Energieeigenzustände des nicht-relativistischen HamiltonOperators untersucht. In einem zweiten Schritt wird der relativistische Hamilton-Operator
betrachtet und das daraus resultierende neue Spektrum untersucht. In diesem komplizierteren Fall wird die Methode der dimensionalen Regularisierung und Renormierung verwendet. Mit Hilfe des Konzepts einer laufenden (d.h. energieabhängigen) Kopplungskonstante
soll die β-Funktion bestimmt werden, um daraus die Eigenschaft der asymptotischen Freiheit abzuleiten. Die genaue Bedeutung dieser Begriffe wird im Laufe der Arbeit geklärt.
Einige theoretische Physiker haben sich in der Vergangenheit mit dem in dieser Arbeit
behandelten Problem bereits beschäftigt. Zum Beispiel findet man eine Lösung in einer
Publikation von Al-Hashimi, A. M. Shalaby und U.-J. Wiese [1]. Die Bearbeitung dieses
Problems in dieser Bachelorarbeit wurde trotzdem in selbständiger Form realisiert.
1.1
Die eindimensionale Schrödinger Gleichung
In der Quantenphysik wird die Bewegung eines Punktteilchens der Masse m in einem
Potential V durch die Schrödinger Gleichung beschrieben
∂Ψ(x, t)
= HΨ(x, t).
(1)
∂t
Dabei ist ~ die reduzierte Planksche Konstante. Der Hamiltonoperator H ensteht aus dem
Ausdruck der gesamten Energie des Teilchens, in dem man die Grössen Ort und Impuls
∂
durch die entsprechenden quantenmechanischen Operatoren (x → x, p → −i~ ∂x
) ersetzt
i~
nicht relativistisch
Etot = Ekin + V (x)
p2
Ekin =
2m
relativistisch
Etot = E + V (x)
p
E =
m2 c4 + p2 c2 , c: Lichtgeschwindigkeit.
(2)
Somit erhält man für die Schrödinger Gleichung (1)
nicht-relativistische Version
2 2
∂Ψ(x, t)
−~ ∂
−~2 ∂ 2 Ψ(x, t)
i~
=
+
V
(x)
Ψ(x,
t)
=
+ V (x)Ψ(x, t)
∂t
2m ∂x2
2m
∂x2
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3
Hernando Sobrino
Dimensionale Regularisierung und asymptotische Freiheit des δ-Funktions-Potentials in
der relativistischen Quantenmechanik
relativistische Version
!
r
2
∂
∂Ψ(x, t)
m2 c4 − c2 ~2 2 + V (x) Ψ(x, t).
i~
=
∂t
∂x
(3)
Wir können in (1) folgenden Ansatz machen
Ψ(x, t) = e
−iEt
~
Ψ(x, 0).
(4)
Weil der Hamiltonoperator in unserem Fall keine Zeitabhängigkeit besitzt, führt dieser
Ansatz zu der Eigenwertgleichung (’Zeitunabhängige Schrödingergleichung’)
HΨ(x, 0) = EΨ(x, 0).
(5)
Von nun an bezeichnen wir diesen zeitunabhängigen Anteil unseres Ansatzes (4) durch
Ψ(x, 0) ≡ Ψ(x).
(6)
Der Hamilton-Operator stellt einen Energie-Operator dar, und wirkt in einem komplexen
Hilbertraum, in dem die zu bestimmende Wellenfunktion Ψ : R → C ein Zustandsvektor
ist. Auf diesem Hilbertraum wird ein Skalarprodukt durch
Z
hΨ|Φi :=
dx Ψ(x)∗ Φ(x)
(7)
R
definiert. Wie leicht geprüft werden kann, erfüllt dieses Produkt folgenden Eigenschaften
i) hαΨ|Φi
ii) hΨ1 + Ψ2 |Φi
iii) hΨ|Φ1 + Φ2 i
iv) hΦ|Ψi
=
=
=
=
hΨ|α∗ Φi = α∗ hΨ|Φi, α ∈ C,
hΨ1 |Φi + hΨ2 |Φi,
hΨ|Φ1 i + hΨΦ2 i,
hΨ|Φi∗ .
(8)
Jede Lösung Ψ der Schrödingergleichung (5) beschreibt einen bestimmten ‘Zustand‘ des
gleichen Teilchens. Das Betragsquadrat |Ψ|2 gibt die Aufenhaltswahrscheinlichkeitsdichte
des Teilchens in diesem Zustand an: Die Wahrscheinlichkeit,
das Teilchen in einem Gebiet
R
G des eindimensionalen Raumes zu finden, lautet G dx |Ψ(x, t)|2 . Aufgrund der Linearität
des Hamilton-Operators (H(αΨ1 +βΨ2 ) = αHΨ1 +βHΨ2 ), gilt das Superpositionsprinzip:
Sind Ψ1 und Ψ2 Lösungen der Zeitunabhängigen Schrödingergleichung (mit der selben
Energie), so ist αΨ1 + βΨ2 auch eine Lösung, wobei α und β belibiege komplexe Zahlen
sind. Dies lässt sich leicht zeigen
HΨ1 = EΨ1 und HΨ2 = EΨ2 ⇒ H(αΨ1 + βΨ2 ) = αHΨ1 + βHΨ2
= αEΨ1 + βEΨ2 = EαΨ1 + EβΨ2 = E(αΨ1 + βΨ2 ).
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Dimensionale Regularisierung und asymptotische Freiheit des δ-Funktions-Potentials in
der relativistischen Quantenmechanik
Der Normierungsfaktor der Wellenfunktion wird durch die Forderung, dass die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen auf dem ganzen eindimensionalen Raum zu finden, 1 sein muss, festgelegt
Z
hΨ|Ψi =
dx |Ψ(x)|2 =! 1.
(9)
R
. Physikalische beobachtbare Grössen werden in der Quantentheorie durch hermitesche Operatoren beschrieben (z.B der Hamiltonoperator H im Fall der Energie). Mit ’Hermizität’
eines Operators A ist folgende Eigenschaft gemeint
Z
Z
∗
!
dx (AΨ) Φ =
dx Ψ∗ AΦ = hΨ|AΦi, ∀Ψ, Φ
(10)
hAΨ|Φi =
R
R
. Aus dieser Definition folgen zwei wichtige Eigenschaften für hermitesche Operatoren. Um
diese Eigenschaften zu formulieren, brauchen wir noch einige weitere Definitionen. Eine
Wellenfunktion Ψ heisst Eigenvektor (oder Eigenfunktion) eines Operators A, wenn sie die
Eigenwertgleichung
AΨ = AΨ
(11)
erfüllt. Dabei ist A eine komplexe Zahl, welche ’Eigenwert der Funktion Ψ zum Operator A’ genannt wird. Wenn der Operator A hermitesch ist, so sind seine Eigenwerte
notwendigerweise reell. Um dies zu zeigen, sei Ψ Eigenfunktion von A mit Eigenwert A.
Somit gilt
Z
Z
Z
Z
∗
∗
∗
A = A dx Ψ Ψ = dx Ψ AΨ = dx Ψ AΨ = hΨ|AΨi = hAΨ|Ψi = dx (AΨ)∗ Ψ
Z
=
∗
dx (AΨ) Ψ = A
∗
Z
dx Ψ∗ Ψ = A∗ ⇒ A ∈ R.
(12)
Die zweite wichtige Eigenschaft hermitescher Operatoren ist, dass zwei Eigenfunktionen
mit unterschiedlichen Eigenwerten bezüglich dem in (7) definierten Skalarprodukt orthogonal zueinander sind. Um dies zu zeigen, seien Ψ und Φ zwei Eigenfunktionen desselbes
hermiteschen Operators A, und zwar mit reellen Eigenwerten B und C, wobei B6=C. Somit
gilt
Z
Z
∗
∗
BhΨ|Φi = B hΨ|Φi = dx (BΨ) Φ = dx (AΨ)∗ Φ = hAΨ|Φi = hΨ|AΦi
Z
=
∗
dx Ψ AΦ =
Z
dx Ψ∗ CΦ = ChΨ|Φi ⇒ (B − C)hΨ|Φi = 0 ⇒ hΨ|Φi = 0.
(13)
Durch die Zustandsfunktion Ψ und den quantenmechanischen Operator A einer physikalischen Grösse lässt sich der ’Erwartungswert’ dieser Grösse in dem entsprechenden
Zustand bestimmen
Z
hAi := hΨ|AΨi =
dx Ψ(x)∗ AΨ(x).
(14)
R
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Dimensionale Regularisierung und asymptotische Freiheit des δ-Funktions-Potentials in
der relativistischen Quantenmechanik
Es lässt sich einfach zeigen, dass wenn die Wellenfunktion Ψ ein Eigenvektor des Operators
A ist, der Erwartungswert für die entsprechende Grösse in dem betrachteten Zustand gleich
dem Eigenwert der Funktion ist
Z
Z
Z
Z
AΨ = AΨ ⇒
dx Ψ ∗ AΨ =
dx Ψ ∗ AΨ = A dx Ψ ∗ Ψ = A dx |Ψ|2 = A. (15)
R
R
R
R
Die Tatsache, dass der Hamiltonoperator H hermitesch ist, lässt sich wie folgt argumentieren. Zunächst bemerken wir, dass die Summe aus zwei hermiteschen Operatoren hermitesch ist
h(A + B)Ψ|Φi = hAΨ|Φi + hBΨ|Φi = hΨ|AΦi + hΨ|BΦi = hΨ|(A + B)Φi.
(16)
Wie bereits erwähnt, besteht der Hamiltonoperator H aus der Summe der potentiellen
Energie V und des kinetischen Energie-Operators. Die Form des Letzen hängt davon ab,
ob wir relativistische oder nicht-relativistiche Quantentheorie betrachten wollen. In beiden
Fällen hätten wir den gleichen Ausdruck für die potentielle Energie, welche, wie leicht zu
sehen ist, einen hermiteschen Operator darstellt
Z
Z
∗
hV Ψ|Φi = dx (V (x)Ψ(x)) Φ(x) = dx V (x)∗ Ψ(x)∗ Φ(x)
Z
=
∗
dx V (x)Ψ(x) Φ(x)
Z
dx Ψ(x)∗ V (x)Φ(x) = hΨ|V Φi.
(17)
Die Hermitizität des kinetischen Energie Operators ist etwas schwieriger zu zeigen, da dieser
partielle Abteilungen nach dem Ort enthält. Für den nicht-relativistischen Fall erhält man
2 2
∗
2 2
Z +∞
Z +∞
−~ ∂ Ψ(x)∗
−~ ∂ Ψ(x)
Φ(x) =
dx
Φ(x)
dx
hEkin Ψ|Φi =
2m ∂x2
2m ∂x2
−∞
−∞
Z
Z +∞
∂ 2 Ψ(x)∗
−~2 ∂Ψ(x)∗
∂Ψ(x)∗ ∂Φ(x)
−~2 +∞
+∞
dx
Φ(x) =
Φ(x)]−∞ −
dx
[
=
2m −∞
∂x2
2m
∂x
∂x
∂x
−∞
Z +∞
Z +∞
2
~2
∂Ψ(x)∗ ∂Φ(x)
~2
∗ ∂Φ(x) +∞
∗ ∂ Φ(x)
=
dx
dx Ψ(x)
=
[Ψ(x)
]
−
2m −∞
∂x
∂x
2m
∂x −∞
∂x2
−∞
2 2
Z
Z +∞
2
−~2 +∞
−~ ∂ Φ(x)
∗ ∂ Φ(x)
∗
=
dx Ψ(x)
=
dx Ψ(x)
= hΨ|Ekin Φi.
(18)
2m −∞
∂x2
2m ∂x2
−∞
Dabei hat man verwendet, dass die Wellenfunktionen Ψ und Φ als Folge der Bedingung (9)
in Unendlichen verschwinden müssen. Insgesamt haben wir: Der Hamilton-Operator H ist,
als Summe hermitescher Operatoren selbst ein hermitescher Operator. Die Lösung Ψ in (5)
ist eine Eigenfuktion von H mit Eigenwert E. Aus (12) folgt wegen der Hermitizität von
H, dass E eine reelle Zahl sein muss. Aus (15) ergibt sich, dass E nichts anderes als dem
Erwartungswert der Energie für den Zustand des Teilchens, welche durch Ψ beschrieben
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Dimensionale Regularisierung und asymptotische Freiheit des δ-Funktions-Potentials in
der relativistischen Quantenmechanik
wird, entspricht. Nun schreiben wir (5) nochmals, und zwar mit der expliziten Form des
Hamilton-Operators jeweils für den nicht-relativistischen und den relativistischen Fall
HΨ(x) =
nicht-relativistische Version
−~2 ∂ 2
−~2 ∂ 2 Ψ(x)
+
V
(x)
Ψ(x)
=
+ V (x)Ψ(x) = EΨ(x)
2m ∂x2
2m ∂x2
relativistische Version
!
2
∂
m2 c4 − c2 ~2 2 + V (x) Ψ(x, t) = EΨ(x)
∂x
r
HΨ(x) =
(19)
Streng genommen, die letzten Gleichungen entsprechen der ’zeit-unabhängigen Schrödinger
Gleichung im Ortsraum’. Es gibt auch eine analoge Version im Impulsraum.Diese erhält
man, in dem man beiden Seiten der vorherigen Gleichungen Fourier-transformiert
Z +∞
dx Ψ(x) exp(−ikx)
(20)
Ψ̃(k) =
−∞
⇓
nicht-relativistische Version
Z +∞
~k
Ψ̃(k) +
dx V (x)Ψ(x) exp(−ikx) = E Ψ̃(k)
2m
−∞
2 2
(21)
relativistische Version
Z +∞
√
dx V (x)Ψ(x) exp(−ikx) = E Ψ̃(k).
m2 c4 + ~2 k 2 c2 Ψ̃(k) +
(22)
−∞
Die Gleichungen in (19) erhält man aus (21) und (22), in dem man beiden Seiten der
letzten ’rücktransformiert’
Z +∞
1
dk Ψ̃(k) exp(i kx).
(23)
Ψ(x) =
2π −∞
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Dimensionale Regularisierung und asymptotische Freiheit des δ-Funktions-Potentials in
der relativistischen Quantenmechanik
Der Skalarprodukt im Impulsraum wird definiert durch
Z
1
dk Ψ̃(k)∗ Φ̃(k).
Ψ̃|Φ̃ :=
2π R
(24)
Man kann zeigen, dass die Definitionen in (7) und (24) äquivalent sind, wenn Ψ̃ und Φ̃ die
Fouriertransformation aus (20) jeweils von Ψ und Φ sind. Dafür ist es hilfreich, den Begriff
der δ-Funktion auszunützen. Diesen werden wir aber erst im nächsten Abschnitt kennenlernen. Zusammengefasst: Wir betrachten ein physikalisches System, das sich in guter
Nährung durch die eindimensionale Bewegung eines Punkteilchens der Masse m in einem
zeit-unabhängigen Potential V = V (x) beschreiben lässt. In der Quantentheorie kann
das Teilchen sich nur in gewissen ’Zuständen’ befinden. Jeder Zustand wird durch eine
komplexe Wellenfunktion beschrieben, die zusammen einen komplexen Vektorraum bilden,
in welchem durch (7) ein Skalarprodukt definiert ist. Die physikalischen beobachtbaren
Grössen (Energie, Impuls, usw.) werden durch hermitesche Operatoren repräsentiert, die
auf diesem Vektorraum von Funktionen wirken. Die Eigenwerte eines Operators sind reell,
und entsprechen den möglichen Messwerten für die betrachtete Grösse. Die Eigenfunktionen jedes Operators bilden eine orthonormale (in Bezug auf (7)) Basis des Hilbertraums.
Daher lässt sich jede Wellenfunktion in diesem Raum (eindeutig) als Linearkombination
der Eigenfunktionen eines festen Operators schreiben. Insbesonder lässt sich jede Wellenfunktion als Linearkombination der Eigenfunktionen des Hamilton Operators schreiben.
In dieser Bachelorarbeit wird ein Speziellerfall des oben beschriebenen Problems behandelt, nämlich der Fall, in dem das Potential V ein ”δ-Potential” ist. Dabei werden die
Energieeigenwerte und die Eigenfunktionen des nicht-relativistischen und relativistischen
Hamilton Operators durch die zeitunabhängige Schrödingergleichung im Orts- und/oder
Impulsraum gesucht. Bei jedem Schritt wird die Orthogonalität der Eigenfunktionen unterschiedlicher Energien als Kontrollmassnahme überprüft.
1.2
Das δ-Potential
Man bezeichnet mit S den Raum der stark abfallenden Funktionen. Dieser besteht aus
allen unendlich oft differenzierbaren komplexwertigen Funktionen, deren Produkt mit einer
Potenzfunktion für alle Ableitungsordnungen beschränkt bleibt. Formell lässt sich S wie
folgt definieren
S := {ϕ ∈ C ∞ : ∀m, n ∈ N0 , ∃Cm,n , sup |xm ϕ(n) (x)| ≤ Cm,n }
x∈R
C ∞ := {ϕ : R → C : ϕ unendlich oft differenzierbar}.
(25)
S ist ein Unterraum des komplexen Vektrorraums C ∞ , weil jede Linearkombination
von Funktionen aus S wieder eine Funktion aus S ist. Eine Distribution ist eine (stetige)
lineare Abbildung, welche jeder Funktion aus S einer komplexen Zahl zuordnet. Das
Standardbeispiel einer Distribution ist die sogenannte ’δ-Distribution’
Tδ : S → C
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Dimensionale Regularisierung und asymptotische Freiheit des δ-Funktions-Potentials in
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Tδ (ϕ) := ϕ(0).
(26)
Viele Distributionen sind als Integral darstellbar
Z
Tf (ϕ) =
dx f (x)ϕ(x), ∀ϕ ∈ S ,
(27)
R
mit einer geeigneten Funktion f , die einige konkrete Eigenschaften erfüllen muss. Solche
Distributionen werden ’regulär’ genannt. Man kann zeigen, dass das Beispiel aus (26) keine
reguläre Distribution ist, und daher wird sie ’singulär’ genannt. Diese lässt sich trotzdem
als Limes einer Folge von Integralen darstellen
Z
dx fn (x)ϕ(x), ∀ϕ ∈ S ,
(28)
Tδ (ϕ) = lim
n→∞
R
wobei, zum Beispiel
n
1
, x ∈ R.
π 1 + n 2 x2
Die Diracsche δ-Funktion ist ein mathematisches Objekt, das durch die Beziehung
Z
Tδ (ϕ) =
dx δ(x)ϕ(x), ∀ϕ ∈ S
fn (x) =
(29)
(30)
R
definiert wird. Die δ-Funktion ist also keine Funktion, denn sonst wäre die Distribution in
(26) regulär, d.h. als Integral darstellbar. Sie ist einfach ein mathematisches Objekt mit
einer ’Liste von Eigenschaften’, die aus der Definition (30) und den Beziehungen (26), (28)
und (29) folgen
Z
i)
dx δ(x)ϕ(x) = ϕ(0),
1
δ(x − a), falls b 6= 0. Das heisst
|b|
Z
Z
1
1
dx δ(b(x − a))ϕ(x) = dx δ(x − a)ϕ(x) = ϕ(a),
|b|
|b|
ii) δ(b(x − a)) =
Z
iv) δ(g(x)) =
N
X
i=1
1
|g 0 (x
i )|
iii) δ(−x) = δ(x). Das heisst
Z
dx δ(−x)ϕ(x) = dx δ(x)ϕ(x) = ϕ(0),
δ(x − xi ), falls x1 ,...,xN einfache Nullstellen von g sind. Das heisst
Z
Z
dx δ(g(x))ϕ(x) =
dx
N
X
i=1
!
N
X
1
1
δ(x
−
x
)
ϕ(x)
=
ϕ(xi ),
i
0
0
|g (xi )|
|g
(x
)|
i
i=1
v) δ(x − a)h(x) = δ(x − a)h(a). Das heisst
Bachelorarbeit in theoretischer Physik
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Dimensionale Regularisierung und asymptotische Freiheit des δ-Funktions-Potentials in
der relativistischen Quantenmechanik
Z
Z
dx δ(x − a)h(x)ϕ(x) =
dx δ(x − a)h(a)ϕ(x) = h(a)ϕ(a).
(31)
Die Eigenschaften (ii) und (iii) folgen aus (iv). Sie werden aber so häufig gebraucht, dass
es sich lohnt, separate Gleichungen für sie zu reservieren. Alle diese Eigenschaften lassen
sich mit Hilfe von (30), (26), (28) und (31) in einer korrekten mathematischen Sprache
genau formulieren. Eigenschaft (ii) könnte zum Beispiel wie folgt formuliert werden
Z
Z
1
1
fn ((x − a))ϕ(x) = ϕ(a), ∀ϕ ∈ S , (32)
lim
dx fn (b(x − a))ϕ(x) = lim
n→∞ R
n→∞ dx R |b|
|b|
wobei
1
n
.
(33)
π 1 + n 2 x2
In der Physik erlauben die Eigenschaften der δ-Funktion die Beschreibung eines sehr
besonderen Typs von physikalischen Systemen. Intuitiv beschreibt die δ-Funktion eine
ortsabhängige physikalische Grösse, die überall im Raum Null ist, bis auf einem bestimmten
Punkt. In der Elektrodynamik wird zum Beispiel die Ladungsverteilung ρ eines Punktteilchens der Ladung Zqe , das sich im Ort x = a befindet, durch die δ-Funktion beschrieben
fn (x) :=
ρ(x) = Zqe δ(x − a).
(34)
Grundsätzlich wirkt die Anwesenheit der δ-Funktion in einem physikalischen Problem
wie folgt: Eine ’Grösse’ wird gemäss des angewandten Modells durch die δ-Funktion
beschrieben. Muss man eine Rechnung machen, wo diese Grösse zu berücksichtigen ist, so
trifft man oft auf ein Integral, wo die δ-Funktion als Teil des Integranden vorkommt. Dabei
erlauben die Rechenregeln (i), (ii), (iii), (iv) und (v) aus (31) das Integral auszuwerten. In
dieser Bachelorarbeit wird die δ-Funktion verwendet, um ein Potential zu beschreiben, das
überall den Wert Null annimmt, ausser im Punkt x = 0, wo es unendlich wird
V (x) = λδ(x).
(35)
So ein Potential würde ein Teilchen spüren, welches sich frei in zwei Regionen des Raumes,
die durch eine Barriere am Punkt x = 0 getrennt sind, bewegen kann. Ein Beispiel wäre die
Situation, wo ein Teilchen der Masse m sich in Richtung eines viel massiveren Teilchens in
x = 0 bewegt. Am Ende des letzten Abschnitts habe ich behauptet, dass die Definitionen
(7) und (24) äquivalent sind. Nun sind wir in der Lage, dies zu zeigen. Dafür lassen wir
uns zunächst die Fouriertransformation der δ-Funktion im Impulsraum gemäss Definition
(20) berechnen
Z
∞
δ̃(k) =
dx δ(x) exp(−i kx) = exp(−i k0) = 1.
(36)
−∞
Nun benutzen wir Definition (23)
Z ∞
Z ∞
1
1
dk δ̃(k) exp(i kx) =
dk exp(i kx).
δ(x) =
2π −∞
2π −∞
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(37)
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Mithilfe von (37) lässt sich nun zeigen
Z ∞
1
hΨ̃|Φ̃i =
dk Ψ̃(k)∗ Φ̃(k)
2π −∞
∗ Z ∞
Z ∞
Z ∞
1
dy Φ(y) exp(−i ky)
dx Ψ(x) exp(−i kx)
dk
=
2π −∞
−∞
−∞
Z ∞
Z ∞
Z ∞
1
∗
=
dk
dx Ψ(x) exp(ikx)
dy Φ(y) exp(−i ky)
2π −∞
−∞
−∞
Z ∞
Z ∞
Z ∞
1
dy Ψ(x)∗ Φ(y) exp(i k(x − y))
dx
=
dk
2π −∞
−∞
Z ∞
Z ∞−∞
Z ∞
1
∗
=
dx Ψ(x)
dy Φ(y)
dk exp(i k(x − y))
2π −∞
−∞
−∞
Z ∞
Z ∞
Z ∞
1
∗
=
dx Ψ(x)
dy Φ(y)
dk exp(i k(x − y))
2π −∞
−∞
−∞
Z ∞
Z ∞
∗
dx Ψ(x)
dy Φ(y)δ(x − y)
=
−∞
−∞
Z ∞
Z ∞
∗
=
dx Ψ(x)
dy Φ(y)δ(y − x)
−∞
−∞
Z ∞
dx Ψ(x)∗ Φ(x)
=
−∞
= hΨ|Φi.
(38)
Diese Äquivalenz wird uns erlauben, die Orthogonalität zwischen zwei Eigenfunktionen
eines festen Hamilton Operators, welche verschiedene Energieeigenwerte haben, im Ortsraum oder im Impulsraum unterschiedlos überprüfen zu können.
2
Nicht-relativistischer Hamilton Operator
Wir schreiben nochmals die zeitunabhängige Schrödingergleichung für ein Punktteilchen
der Masse m, das sich in einer Dimension bewegt, und einem Potential V , das nur vom
Ort (und nicht von der Zeit) abhängt, unterworfen ist
−~2 ∂ 2 Ψ(x)
+ V (x)Ψ(x) = EΨ(x).
(39)
2m ∂x2
Wir werden im Laufe dieser Arbeit in einem Einheitensystem arbeiten, in dem sowohl die
Plancksche Konstante ~ als auch die Lichtgeschwindigkeit c den Wert 1 annehmen
~ = c = 1.
(40)
Mit dieser Konvention können wir nun Gleichung (39) wie folgt umschreiben
−
1 ∂ 2 Ψ(x)
+ V (x)Ψ(x) = EΨ(x).
2m ∂x2
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(41)
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Dimensionale Regularisierung und asymptotische Freiheit des δ-Funktions-Potentials in
der relativistischen Quantenmechanik
Wir interessieren uns für einen ganz bestimmten Typ von Potential V , welches sich als
δ-Funktion schreiben lässt:
V (x) = λδ(x), λ ∈ R.
Dabei ist λ ein Parameter, der das Potential V charakterisiert. Dieser kann sowohl positiv
als auch negativ sein, und das Energie Spektrum, sowie die Eigenfunktionen Ψs werden
von diesem abhängen. Die physikalische Bedeutung dieses Parameters, und die Art und
Weise, wie diese die Natur der Lösungen beeinflüssen oder einschränken, werden wir im
Laufe dieses Abschnitts herausfinden.Nun können wir Gleichung (41) in ihren definitiven
Form umschreiben
1 ∂ 2 Ψ(x)
+ λδ(x)Ψ(x) = EΨ(x).
(42)
−
2m ∂x2
Die Energie E ist im Moment ein ’freier Parameter’. Dieser kann sowohl positiv als
auch negativ sein. Wie wir sehen werden, entscheidet ihr Vorzeichen über die Anzahl und
die Natur der möglichen Lösungen.
Das δ-Potential kann als eine spezieller Art von ’Kastenpotential’ aufgefasst werden.
Kastenpotentiale sind ”stückweise konstante” Potentiale der Form
VK (x) = V−∞ X(−∞,a1 ) (x) +
N
−1
X
Vi X(ai ,ai+1 ) (x) + VN X(aN ,+∞) (x) +
i=1
N
X
Ṽi X{ai } (x)
i=1
V−∞ , V1 , ..., VN ∈ R
[
{+∞}
Ṽi ∈ {Vi−1 , Vi }
[
V−∞ , V1 , ..., VN ∈ R {+∞}
(
1, falls x ∈ I
XI (x) =
0, sonst.
(43)
Für so ein Potential lassen sich (für eine vorgegebene Energie E) allgemeine Lösungsverfahren für die Schrödingergleichung (41) definieren. Für ein Interval (ai , ai+1 ) lässt sich
(41) analitysch lösen. Hier geben wir einfach direkt die allgeimeinen Lösungen für die
verschiedenen Fälle an. Diese Lösungen enthalten freie Konstanten, die durch ’Randbedingungen’ bestimmt werden müssen. Die Lösungen für Kastenpotentiale lauten
(−∞, a) :


A exp(ikx) + B exp(−ikx), falls E > V
Ψ(x) = A exp(kx),
falls E < V < +∞


0,
falls V = +∞
(a, b) :
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Dimensionale Regularisierung und asymptotische Freiheit des δ-Funktions-Potentials in
der relativistischen Quantenmechanik


A exp(ikx) + B exp(−ikx), falls E > V
Ψ(x) = A exp(kx) + B exp(−kx),
falls E < V < +∞


0,
falls V = +∞
(b, +∞) :


A exp(ikx) + B exp(−ikx),
Ψ(x) = B exp(−kx),


0,
(
E − V, falls
~2 k 2
=
2m
V − E, falls
falls E > V
falls E < V < +∞
falls V = +∞
E>V
E<V
k > 0.
(44)
Die freien Konstanten (A und/oder B) werden durch die Normierungsbedingung (9)
und/oder durch die Bedingung, dass die Wellenfunktion Ψ und ihre Ableitung an der
Rändern der Intervalle sich von links und von rechts stetig fortsetzen lassen müssen, bestimmt. Zuständen mit E < V (−∞) und E < V (+∞) werden gebundene Zustände
genannt. In der klassischen Physik wäre das Vorhandensein des Teilchens in Bereichen,
wo V > E, verboten. Nach dieser Vorstellung wäre der Bereich, in dem sich das Teilchen
befinden kann, sowohl von links als auch von rechts eingeschränkt. In der Quantenmechanik
kann sich das Teilchen quasi überall aufhalten (sofern das Potential nicht unendlich wird,
denn V = +∞ ⇒ Ψ = 0), auch wenn die Aufenthaltswahrscheinlichkeit ausserhalb der
klassisch erlaubten Region stark unterdrückt ist. Zuständen mit E > V (−∞) oder E >
V (+∞) werden Streuzustände gennant, und lassen sich nicht normieren. Naiv gesagt,
entspricht das δ-Potential dem Kastenpotential aus (43) mit N = 1, a1 = 0, V−∞ = V1 = 0,
und VK (0) = +∞. Um eine erste Randbedingung für das δ-Potential zu gewinnen, gehen
wir wie folgt vor: Wir wählen zunächst eine feste Zahl > 0, und integrieren auf beiden
Seiten der Gleichung (42) im Intervall (−, +)
Z +
Z +
Z +
1
2
dx ∂x Ψ(x) + λ
dx δ(x)Ψ(x) = E
dx Ψ(x)
−
2m −
−
−
m
1
−
(∂x Ψ() − ∂x Ψ(−)) + λΨ(0) = E
2m
Z
+
dx Ψ(x)
−
⇓
lim (∂x Ψ() − ∂x Ψ(−)) = 2mλΨ(0).
→0
(45)
Eine zweite Randbedingung wird durch die Forderung, dass Ψ an der Stelle x = 0 stetig
sein muss, geliefert
lim Ψ() =! lim Ψ(−) =! Ψ(0).
(46)
→0
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→0
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Dimensionale Regularisierung und asymptotische Freiheit des δ-Funktions-Potentials in
der relativistischen Quantenmechanik
Nun versuchen wir, die Schrödingergleichung (42) zu lösen, indem wir die Lösungen des
Kastenpotentials für den Fall V = 0 in den Intervallen (−∞, 0) und (0, +∞) verwenden
und die freien Konstanten durch die Randbedingungen (45) und (46) bestimmen. Dafür
müssen wir natürlich verschiedene Fälle unterscheiden.
2.1
Gebundener Zustand des nicht-relativistischen Hamilton Operators
Man betrachte zunächst den Fall E < 0 = V : (44) sagt uns, dass wir folgenden Ansatz
machen müssen


falls x < 0,
A exp(kx),
Ψ(x) = B exp(−kx), falls x > 0,


Ψ(0),
falls x = 0,
√
(47)
k := −2mE.
Aus (46) erhält man
B = lim Ψ() =! lim Ψ(−) = A =! Ψ(0).
→0
(48)
→0
Aus (45) erhält man
− 2kA = lim (∂x Ψ() − ∂x Ψ(−)) =! 2mλΨ(0) = 2mλA,
→0
⇓
√
−k
− −2mE
λ=
=
,
m
m
⇓
mλ2
.
(49)
2
Mit anderen Wörter: Eine Lösung von (42) mit negativer Energie E ist nur möglich
unter der Bedingung, dass die Konstante λ des δ-Potentials negativ ist. In diesem Fall
ist die Lösung eindeutig, und die Beziehung zwischen die Energie E und λ ist gegeben
durch die Gleichung (49). Um die konstante A ∈ C zu bestimmen, benutzen wir die
Normierungsbedingung an Ψ
Z +∞
Z 0
Z +∞
|A|2
2
2
2
!
dx |Ψ(x)| =
dx |A| exp(2kx) +
dx |A| exp(−2kx) =
1=
,
k
−∞
−∞
0
E=−
|A| =
√
⇓
k=
√
−λm,
⇓
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Dimensionale Regularisierung und asymptotische Freiheit des δ-Funktions-Potentials in
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A=
√
−λm exp(iϕ), ϕ ∈ [0, 2π).
(50)
Insgesamt lässt sich also die eindeutige Lösung von (42) mit negativer Energie für ein
festes λ < 0 wie folgt schreiben
mλ2
,
E := −
2
√
Ψ(x) = −λm exp(λm|x| + iϕ); ϕ ∈ [0, 2π).
(51)
Die Lösung ist eindeutig bis auf eine Phase ϕ. Um uns das Leben leichter zu machen,
setzen wir diese Phase auf Null: ϕ = 0. Dies wäre geichbedeutend damit, dass wir
ständig annehmen würden, dass die Normierungskonstante eine positive reelle Zahl ist.
Wir versuchen nun, das letzte Problem im Impulsraum zu lösen. Insbesonder wollen wir
schauen, ob wir die Beziehung (49) nochmals ableiten können. Eines der wichtigsten Ziele
dieses ersten Abschnittes, in dem wir mit dem nicht-relativistischen Hamilton-Operator
arbeiten, ist es, uns davon zu überzeugen, dass wir die Lösungen direkt im Impulsraum
suchen können, und danach die entsprechenden Versionen im Ortsraum durch eine Fourier
Rücktransformation erhalten können. Dies wird für den relativistischen Fall essenziell, da
dort die Schrödingergleichung im Ortsraum extrem kompliziert ist. Ich möchte zunächst
detailliert zeigen, wie man von Gleichung (19) zur Gleichung (21) kommt, in dem man
(20) ausnützt. Der Impuls p und die Wellenzahl k eines Teilchens sind durch die Gleichung p = ~k miteinander verknüpft. Mit unserer Konvention ~ = 1 können wir also
p = k annehmen. Da wir den Buchstaben k bereits verwendet haben, um eine Konstante
(die nicht der Wellenzahl entspricht) zu bezeichnen, bezeichnen wir die Impuls-Koordinate
(welche eigentlich die Dimension Wellenzahl im internationalen System hat) mit p. Wir
multiplizieren (42) auf beiden Seiten mit exp(−ipx)
1 ∂ 2 Ψ(x)
exp(−ipx) + λδ(x)Ψ(x) exp(−ipx) = EΨ(x) exp(−ipx).
(52)
2m ∂x2
Nun müssen wir über den gesamten eindimensionalen Orts-Raum integrieren und schauen,
was mit jedem Term passiert
Z +∞
1
∂ 2 Ψ(x)
1 ∂Ψ(x)
−
dx
exp(−ipx) = −
{[
exp(−ipx)]+∞
−∞
2
2m −∞
∂x
2m
∂x
Z +∞
Z +∞
∂Ψ(x)
ip
∂Ψ(x)
+ ip
dx
exp(−ipx)} = −
dx
exp(−ipx)
∂x
2m −∞
∂x
−∞
Z +∞
ip
+∞
=−
{[Ψ(x) exp(−ipx)]−∞ + ip
dx Ψ(x) exp(−ipx)}
2m
−∞
Z
Z +∞
(ip)2 +∞
p2
p2
=−
dx Ψ(x) exp(−ipx) =
dx Ψ(x) exp(−ipx) =
Ψ̃(p). (53)
2m −∞
2m −∞
2m
Dabei hat man verwendet, dass nicht nur die Wellenfunktion Ψ, sondern auch ihre Ableitung
∂x Ψ im Unendlichen verschwinden muss.
Z +∞
Z +∞
dx λδ(x)Ψ(x) exp(−ipx) = λ
dx δ(x)Ψ(x) exp(−ipx)
−
−∞
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−∞
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= λΨ(0) exp(−ip0) = λΨ(0),
Z +∞
Z +∞
dx EΨ(x) exp(−ipx) = E
dx Ψ(x) exp(−ipx) = E Ψ̃(p).
−∞
(54)
(55)
−∞
Somit erhalten wir für die Schrödinger Gleichung im Impulsraum
p2
Ψ̃(p) + λΨ(0) = E Ψ̃(p).
2m
(56)
Dies impliziert
Ψ̃(p) =
λΨ(0)
E−
p2
2m
.
(57)
Gleichzeitig haben wir gemäss (23)
Z +∞
Z +∞
Z +∞
1
1
1
λΨ(0)
Ψ(0) =
dp Ψ̃(p) exp(ip0) =
dp Ψ̃(p) =
dp
p2
2π −∞
2π −∞
2π −∞
E − 2m
λΨ(0)
=
2π
Z
+∞
dp
−∞
1
E−
p2
2m
.
(58)
Wir nehmen an, dass Ψ(0)
√ 6= 0 gilt (aus (51) sieht man, dass diese Annahme tatsächlich
richtig ist, denn Ψ(0) = −λm). Daraus erhält man
Z +∞
Z +∞
Z +∞
λ
1
1
2π
1
1=
dp
=
dp
dp p2
2 ⇒
2 = −
p
p
2π −∞
λ
E − 2m
E − 2m
+ (−E)
−∞
−∞
2m
1
=−
(−E)
Z
+∞
1
dp
−∞
p2
2m(−E)
1
=
E
+1
Z
+∞
dp
−∞
1
p2
2m(−E)
+1
.
(59)
q
1
Wir wissen:−E > 0. Nun können wir die Substitution y := 2m(−E)
machen, und erhalten
somit
√
Z +∞
1
π −2mE
2π
1√
1√
+∞
dp 2
=
−2mE
=
−2mE[arctan(y)]−∞ =
λ
E
y +1
E
E
−∞
⇓
√
2π 2
4π 2
π −2mE 2
2mπ 2
mλ2
=
(
)
=
(
)
=
−
⇒
E
=
−
.
(60)
λ2
λ
E
E
2
Also ist unser erstes ’Experiment’ im Impulsraum konsistent mit dem Resultat, das wir im
Ortsraum bekommen haben.
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Dimensionale Regularisierung und asymptotische Freiheit des δ-Funktions-Potentials in
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2.2
Streuzustände des nicht-relativistischen Hamilton Operators
Nun gehen wir wieder in den Ortsraum und versuchen, Lösungen positiver Energien zu
finden. Dafür schreiben wir zunächst wieder die Schrödinger Gleichung
−
1 ∂ 2 Ψ(x)
+ λδ(x)Ψ(x) = EΨ(x).
2m ∂x2
(61)
Weil wir annehmen, dass E > 0 = V , sagen uns die Gleichungen in (44), dass wir folgenden
Ansatz machen müssen


A exp(ikx) + B exp(−ikx), falls x < 0,
Ψ(x) = C exp(ikx) + D exp(−ikx), falls x > 0,


Ψ(0),
falls x = 0,
√
(62)
k := 2mE.
Wir suchen zunächst gerade Lösungen. Durch die zusätzliche Annahme, dass Ψ eine
gerade Funktion ist, erhält man
∀x > 0 :
Ψ(x) = C exp(ikx) + D exp(−ikx) =! Ψ(−x) = A exp(ik(−x)) + B exp(−ik(−x))
= A exp(−ikx) + B exp(ikx)
Damit können wir (61) umschreiben als


A exp(ikx) + B exp(−ikx), falls x < 0,
Ψ(x) = A exp(−ikx) + B exp(ikx), falls x > 0,


Ψ(0),
falls x = 0.
(63)
(64)
Nun verwenden wir der Randbedingung (46), und erhalten
lim Ψ() = A + B =! lim Ψ(−) = A + B =! Ψ(0).
→0
→0
(65)
Die erste Gleichung ist damit durch unseren Ansatz aus (63) automatisch erfüllt. Unter
Berücksichtigung der zweiten Gleichung können wir Ψ schreiben als


A exp(ikx) + B exp(−ikx), falls x < 0,
Ψ(x) = A exp(−ikx) + B exp(ikx), falls x > 0,
(66)


A + B,
falls x = 0.
Es bleibt noch nur, eine Beziehung zwischen A und
S B zu finden. Dafür berechnen wir
zunächst die Ableitung von Ψ im Bereich (−∞, 0) (0, +∞)
(
Aik exp(ikx) − Bik exp(−ikx),
falls x < 0,
∂x Ψ(x) =
(67)
−Aik exp(−ikx) + Bik exp(ikx), falls x > 0.
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Jetzt verwenden wir die Randbedingung (45)
lim(∂x Ψ() − ∂x Ψ(−))
→0
= lim([−Aik exp(−ik) + Bik exp(ik)] − [Aik exp(ik(−)) − Bik exp(−ik(−))])
→0
= [−Aik+Bik]−[Aik−Bik] = 2ik(B−A) =! 2mλΨ(0) = 2mλ(A+B) ⇒ B = A
mλ + ik
.
ik − mλ
(68)
Für x > 0 erhält man damit
mλ + ik
Ψ(x) = A exp(−ikx) + B exp(ikx) = A exp(−ikx) +
exp(ikx)
ik − mλ
=
A
((ik − mλ) exp(−ikx) + (mλ + ik) exp(ikx))
ik − mλ
A
((ik − mλ) (cos(kx) − i sin(kx)) + (mλ + ik) (cos(kx) + i sin(kx)))
ik − mλ
2Ai
A
(2i[k cos(kx) + mλ sin(kx)]) =
(k cos(kx) + mλ sin(kx)) .
(69)
=
ik − mλ
ik − mλ
Wir verwenden nun die geometrische Identität
=
cos(α + β) = cos(α) cos(β) − sin(α) sin(β).
(70)
Mit β := kx erhält man
cos(α + kx) = cos(α) cos(kx) − sin(α) sin(kx).
(71)
Vergleicht man (70) und (68), so erhält man
+mλ
sin(α)
mλ
mλ
− sin(α)
=
⇒ tan(α) =
=−
⇒ α = arctan(−
).
cos(α)
k
cos(α)
k
k
(72)
Somit können wir nun (68) umschreiben als
Ψ(x) =
2Ai
mλ
mλ
cos(kx + arctan(−
)) = Ã cos(kx + arctan(−
)), x > 0.
ik − mλ
k
k
(73)
Weil Ψ gerade ist, können wir (72) verwenden, um die Definition von Ψ auf ganz R
fortzusetzen, indem wir x durch |x| ersetzen
ΨG (x) = Ã cos(k|x| + arctan(−
√
mλ
mλ
)) = Ã cos( 2mE|x| + arctan(− √
)), x ∈ R. (74)
k
2mE
Die Konstante Ã ist dabei eine beliebige kompklexe Zahl, weil die Funktion Ψ sowieso
nicht auf 1 normiert werden kann. Wir sehen jetzt, dass während es eine Lösung von
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(42) mit negativer Energie nur für negative Werte des Parameters λ gibt, und dabei der
Wert von E durch denjenigen von λ eindeutig festgelegt wird, gibt es ein kontinuierliches
Spektrum positiver Energien entlang des ganzen positiven reellen Bereich, welche für ein
beliebiges vorgegebenes λ (postiv oder negativ), die Gleichung (42) lösen. Nun suchen wir
die ungeraden Lösungen von (42)
−
1 ∂ 2 Ψ(x)
+ λδ(x)Ψ(x) = EΨ(x).
2m ∂x2
Wie für den geraden Fall, beginnen wir mit dem Ansatz


A exp(ikx) + B exp(−ikx), falls x < 0,
Ψ(x) = C exp(ikx) + D exp(−ikx), falls x > 0,


Ψ(0),
falls x = 0,
√
k :=
2mE.
(75)
Wir fordern nun, dass die Funktion Ψ ungerade ist, also
∀x > 0 :
Ψ(x) = C exp(ikx) + D exp(−ikx) =! −Ψ(−x) = −A exp(ik(−x)) − B exp(−ik(−x))
= −A exp(−ikx) − B exp(ikx).
Und wir schreiben (74) nochmals wie folgt


falls x < 0,
A exp(ikx) + B exp(−ikx),
Ψ(x) = −A exp(−ikx) − B exp(ikx), falls x > 0,


Ψ(0),
falls x = 0.
(76)
Die Randbedingung (46) sagt uns, dass
lim Ψ() = −A − B =! lim Ψ(−) = A + B =! Ψ(0).
(77)
B = −A, Ψ(0) = 0.
(78)
→0
→0
Diest impliziert
Wir können (75) wieder umschreiben, und zwar als


falls x < 0,
A (exp(ikx) − exp(−ikx)) ,
Ψ(x) = A (− exp(−ikx) + exp(ikx)) , falls x > 0,


0,
falls x = 0,
m
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

2Ai sin(kx), falls x < 0,
Ψ(x) = 2Ai sin(kx), falls x > 0,


0,
falls x = 0,
m
√
√
ΨU (x) = 2Ai sin(kx) = 2Ai sin( 2mEx) = Ã sin( 2mEx), x ∈ R.
(79)
Die Randbedingung (45) ist somit identisch erfüllt, denn
√
√
√
√
lim (∂x Ψ() − ∂x Ψ(−)) = lim Ã 2mE cos( 2mE) − Ã 2mE cos( 2mE(−))
→0
→0
√
√
= Ã 2mE − Ã 2mE = 0 = 2mλΨ(0).
Wir haben die allgemeine gerade und die allgemeine ungerade Lösung von (42) mit
positiver Energie gefunden. Im Gegensatz zum negativen Fall setzt die Forderung einer
positiven Energie kein spezifisches Vorzeichen von λ voraus: Für einen fixen Parameter λ,
positiv oder negativ, gibt es eine Schar von geraden (bzw. ungeraden) Lösungen gegeben
durch (73) (bzw. (78)). In beiden Fällen ist E eine beliebige positive Zahl. Die Schrödinger
Gleichung (42) ist ’eindeutig bestimmt’, wenn der Parameter λ und die Energie E fixiert sind. Wie wir im Abschnitt (1) erwähnt haben, ist jede Linearkombination aus zwei
Lösungen zu dieser Gleichung wieder eine Lösung. Wir können also aus (73) und (78) eine
neue Lösung von (42) konstruieren:
√
√
mλ
)) + B sin( 2mEx), A, B ∈ C.
Ψ(x) = A cos( 2mE|x| + arctan(− √
2mE
(80)
Diese Lösung enthält zwei Integrationskonstanten (A und B), und weil die Schrödinger
Gleichung (42) eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung ist, und die gesuchte
Lösung Ψ nur von der Koordinate x abhängt, ist (79) die allgemeine Lösung von (42) für
vorgegebenes λ ∈ R und E ∈ R+ . Wir suchen nun eine ganz spezielle Art von Lösung von
der Gleichung (42) für fixes λ ∈ R und E > 0 durch folgenden Ansatz
(
exp(ikx) + R exp(−ikx), falls x < 0,
Ψ(x) =
T exp(ikx)),
falls x > 0,
√
(81)
k := 2mE.
Dieser Ansatz, der oft bei Kastenpotential-Probleme untersucht wird, hat eine klare physikalische Interpretation: Der Term exp(ikx) entspricht einer nach rechts laufenden Welle,
welche sich von −∞ der ’δ-Barriere’ am Punkt x = 0 annähert. Der Term R exp(−ikx)
entspricht einer nach links laufenden Welle, und zwar jenem Anteil von exp(ikx), der von
der δ-Barriere reflektiert wurde. Analog entspricht T exp(ikx) eine entlang der rechten
Halbachse nach rechts laufenden Welle, und zwar jenem Anteil von exp(ikx), welche von der
δ-Barriere transmittiert wurde. Die Koeffezienten R und T werden jeweils Reflexions- und
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Transmissionskoeffizienten genannt. Aus der Tatsache, dass der Term exp(ikx) normiert
ist (d.h.: Koeffizient 1 besitzt), ergibt sich folgende Beziehung für R und T
|R|2 + |T |2 = 1.
(82)
Diese Beziehung erlaubt uns, R und T als ’Wahrscheinlichkeitsamplituden’ aufzufassen
(Wahrscheinlichkeit für Reflexion und Transmission). Wir suchen jetzt explizite Ausdrücke
für R und T . Zunächst bemerken wir, dass unser Ansatz in (80) nichts anderes als Ansätze
(61) und (74) (die wir gemäss der Kasten-Potentiale Regeln (44) in der Suche nach geraden
und ungeraden Lösungen von (42) gemacht hatten) mit A = 1, B = R, C = T und D = 0
entspricht. Tatsächlich sollten wir also durch diesen Ansatz eine Lösung erhalten. Nun
wissen wir auch, dass jede Lösung von (42) mit E > 0 sich in der Form (79) für geeigneten
A und B schreiben lässt. Wir fordern also
∀x > 0 :
Ψ(x) = T exp(ikx) = T cos(kx) + iT sin(kx) =! A cos(kx + α) + B sin(kx)
= A (cos(kx) cos(α) − sin(kx) sin(α)) + B sin(kx)
= A cos(α) cos(kx) + (B − A sin(α)) sin(kx),
(83)
und
Ψ(−x) = exp(ik(−x)) + R exp(−ik(−x)) = exp(−ikx) + R exp(ikx)
= cos(kx) − i sin(kx) + R cos(kx) + iR sin(kx)
= (1 + R) cos(kx) + i (R − 1) sin(kx) =! A cos(kx + α) + B sin(k(−x))
= A (cos(kx) cos(α) − sin(kx) sin(α)) − B sin(kx)
= A cos(α) cos(kx) − (B + A sin(α)) sin(kx).
). Dies impliziert
Wobei α := arctan(− mλ
k
i) T = A cos(α),
ii) iT = B − A sin(α),
iii) 1 + R = A cos(α),
iv) i (R − 1) = −B − A sin(α).
(84)
Wir benutzen (ii) und (iv), um B zu eliminieren, und schreiben
T = A cos(α) = 1 + R,
iT + A sin(α) = i (1 − R) − A sin(α),
⇓
T = 1 + R,
Bachelorarbeit in theoretischer Physik
21
Hernando Sobrino
Dimensionale Regularisierung und asymptotische Freiheit des δ-Funktions-Potentials in
der relativistischen Quantenmechanik
T (i + 2 tan(α)) = i (1 − R) ,
⇓
(1 + R) (i + 2 tan(α)) = i (1 − R) ⇒ R = −
i
tan(α)
und T = 1 + R =
.
i + tan(α)
i + tan(α)
(85)
Es gilt
tan(α) = tan(arctan(−
mλ
mλ
mλ
)) = −
= −√
,
k
k
2mE
⇓
√
mλ
i 2mE
R= √
, T = √
.
i 2mE − mλ
i 2mE − mλ
Mit (93) können wir nun Beziehung (88) verifizieren:
|R|2 + |T |2 =
(86)
2E
mλ2
+
= 1.
2E + mλ2 2E + mλ2
Unsere nächste Aufgabe besteht darin, die geraden und ungeraden Lösungen im Impulsraum zu finden. Im nächsten Abschnitt, wo wir mit dem relativistischen Hamiltonoperator
arbeiten werden und mit einer viel komplizierteren Version der Schrödinger Gleichung im
Ortsraum zu tun haben werden, werden wir die Lösungen zuerst im Impulsraum suchen,
und dann diejenigen im Ortsraum durch eine Fourier Rücktransformation erhalten. Die
ungerade Lösung (78) lässt sich leicht mit Hilfe der Beziehungen (37) und (31-iii) im Impulsraum Fouriertransformieren
Z +∞
Z +∞
dx A sin(kx) exp(−ipx)
dx ΨU (x) exp(−ipx) =
Ψ̃U (p) =
−∞
−∞
Z
+∞
A
(exp(ikx) − exp(−ikx)) exp(−ipx)
2i
−∞
Z +∞
Z +∞
A
dx exp(ix(k − p)) −
dx exp(ix(−k − p)))
= (
2i −∞
−∞
=
dx
A
(2πδ(k − p) − 2πδ(−k − p))
2i
Aπ
Aπ
=
(δ(k − p) − δ(−k − p)) =
(δ(p − k) − δ(p + k))
i
i
√
Aπ
=−
(δ(p + k) − δ(p − k)) = Ã (δ(p + k) − δ(p − k)) , k := 2mE.
(87)
i
Nun schreiben wir die Schrödinger Gleichung (42) nochmals im Impulsraum (siehe (55))
und lassen uns davon überzeugen, dass die Funktion (86) tatsächlich eine Lösung ist
=
Bachelorarbeit in theoretischer Physik
22
Hernando Sobrino
Dimensionale Regularisierung und asymptotische Freiheit des δ-Funktions-Potentials in
der relativistischen Quantenmechanik
p2
Ψ̃(p) + λΨ(0) = E Ψ̃(p) , E > 0.
2m
(88)
Für Ψ̃U aus (86) gilt
Z +∞
Z +∞
Z +∞
1
A
dp δ(p + k) −
dp δ(p − k)
ΨU (0) =
dp Ψ̃U (p) =
2π −∞
2π
−∞
−∞
=
A
(1 − 1) = 0
2π
p2
p2
p2
p2
A (δ(p + k) − δ(p − k)) = A
δ(p + k) − A
δ(p − k)
Ψ̃U (p) + λΨU (0) =
2m
2m
2m
2m
(−k)2
k2
k2
k2
=A
δ(p + k) − A
δ(p − k) = A
δ(p + k) − A
δ(p − k)
2m
2m
2m
2m
k2
(δ(p + k) − δ(p − k)) = AE (δ(p + k) − δ(p − k)) = E Ψ̃U (p).
(89)
=A
2m
Nun suchen wir die gerade Lösung im Impulsraum. Dafür schreiben wir zunächst nochmals
die Lösung (73) im Ortsraum
⇒
ΨG (x) = A cos(k|x| + arctan(−
√
mλ
)) , k := 2mE.
k
(90)
Mit α := arctan(− mλ
) gilt
k
ΨG (x) = A cos(k|x| + α) = A (cos(k|x|) cos(α) − sin(k|x|) sin(α))
= A cos(kx) cos(α) − A sin(k|x|) sin(α)
= B cos(kx) + φ(x) , mit B := A cos(α) und φ(x) := −A sin(k|x|) sin(α) ⇒ Ψ̃G (p) =
Z +∞
Z +∞
Z +∞
dx Ψ(x) exp(−ipx) = B
dx cos(kx) exp(−ipx) +
dx φ(x) exp(−ipx)
−∞
−∞
Z
−∞
+∞
1
(exp(ikx) + exp(−ikx)) exp(−ipx) + φ̃(p)
2
−∞
Z +∞
Z +∞
B
= (
dx exp(ix(k − p)) +
dx exp(ix(−k − p))) + φ̃(p)
2 −∞
−∞
B
= (2πδ(k − p) + 2πδ(−k − p)) + φ̃(p)
2
= Bπ (δ(p − k) + δ(p + k)) + φ̃(p) = C (δ(p − k) + δ(p + k)) + φ̃(p) , C := Bπ.
=B
dx
(91)
Um die Fouriertransformation φ̃(p) von φ(x) zu finden, setzen wir (90) in Gleichung (89)
an und versuchen, einen Ausdruck für φ̃(p) abzuleiten. Danach berechnen wir die FourierRücktransformierte φ(x) und überprüfen, ob für diese die Gleichung
φ(x) = −A sin(α) sin(k|x|) = −(
Bachelorarbeit in theoretischer Physik
B
) sin(α) sin(k|x|) = −B tan(α) sin(k|x|)
cos(α)
23
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Dimensionale Regularisierung und asymptotische Freiheit des δ-Funktions-Potentials in
der relativistischen Quantenmechanik
=−
C
Cmλ
tan(α) sin(k|x|) =
sin(k|x|)
π
kπ
(92)
gilt.
p2
p2
p2
p2
δ(p − k) +
δ(p + k)) +
φ̃(p) + λΨ(0)
Ψ̃G (p) + λΨ(0) = C(
2m
2m
2m
2m
k2
k2
p2
= C(
δ(p − k) +
δ(p + k)) +
φ̃(p) + λΨ(0)
2m
2m
2m
k2
p2
=C
(δ(p − k) + δ(p + k)) +
φ̃(p) + λΨ(0)
2m
2m
p2
= CE(δ(p − k) + δ(p + k)) +
φ̃(p) + λΨ(0) =! E Ψ̃G (p)
2m
p2
λΨ(0)
= CE(δ(p − k) + δ(p + k)) + E φ̃(p) ⇒
φ̃(p) + λΨ(0) = φ̃(p) ⇒ φ̃(p) =
. (93)
p2
2m
E − 2m
Z +∞
Z +∞
Z +∞
Z +∞
1
1
dp Ψ̃(p) =
(C(
dp δ(p + k) +
dp δ(p − k)) +
dp φ̃(p))
Ψ(0) =
2π −∞
2π
−∞
−∞
−∞
Z +∞
Z +∞
Z
C
1
C λΨ(0) +∞
1
1
(C(1 + 1) +
dp φ̃(p)) = +
dp φ̃(p) = +
dp
=
p2
2π
π
2π −∞
π
2π
E − 2m
−∞
−∞
⇒ Ψ(0) =
π(1 −
λ
2π
C
R +∞
−∞
dp
1
p2
E− 2m
)
=
π(1 +
λ
2π
C
R +∞
−∞
dp
1
p2
−E
2m
)
.
Um das Integral im Nenner zu lösen, führen wir zunächst die Substitution y :=
durch. Man erhält
√
Z
Z
Z +∞
1
1
1 +∞
1
2mE +∞
=
dp
dy
.
dp p2
=
p
E −∞
( √2mE )2 − 1
E
y2 − 1
−
E
−∞
−∞
2m
(94)
√ p
2mE
(95)
Die Funktion im Integranden hat zwei Pole bei y = ±1. Die Stammfunktion ist bekannt,
und der Hauptwert des Integrals lässt sich wie folgt berechnen
Z +∞
Z +R
Z +R
1
1
1
) = lim
dy 2
= 2 lim
dy 2
HW (
dy 2
R→∞ −R
R→∞ 0
y −1
y −1
y −1
−∞
Z
1−
= 2 lim (lim (
R→∞ →0
0
1
dy 2
+
y −1
Z
+R
dy
1+
y2
1
))
−1
1
y − 1 1−
1
y−1 R
= 2 lim (lim ([ log|
|]0 + [ log|
|] )
R→∞ →0 2
y+1
2
y + 1 1+
1
2+
1
R−1
1
R−1
= 2 lim (lim ( log|
| + log|
|)) = 2 lim log|
| = 0.
R→∞ →0 2
R→∞ 2
2−
2
R+1
R+1
Bachelorarbeit in theoretischer Physik
24
(96)
Hernando Sobrino
Dimensionale Regularisierung und asymptotische Freiheit des δ-Funktions-Potentials in
der relativistischen Quantenmechanik
Somit ergibt sich
Ψ(0) =
2mλC
λC
C
λΨ(0)
=
=
⇒ φ̃(p) =
.
2
2
p
p
π
π(k 2 − p2 )
)
E − 2m
π(E − 2m
(97)
Jetzt können wir nachprüfen, ob die Fourier Rücktransformation von (96) im Ortsraum
die Lösung (91) tatsächlich reproduziert. Dafür betrachten wir zunächst den Fall x > 0
Z +∞
Z +∞
1
2mλC
1
exp(ipx)
dp φ̃(p) exp(ipx) =
dp
φ(x) =
2π −∞
2π −∞
π(k 2 − p2 )
Z
mλC +∞
exp(ipx)
=− 2
dp 2
.
(98)
π
p − k2
−∞
besitzt zwei reelle Pole an den Stellen p = ±k. Um das Integral (97)
Der Integrand exp(ipx)
p2 −k2
auszuwerten, fixieren wir zunächt ein grosses R > 0 und ein kleines > 0, und konstruieren
eine geschlossene Kurve γR, , wie in Abbildung 1 gezeigt ist.
pi
R
e
A
B
-k
e
D +k E
C
F
pr
1
Figure 1: Geschlossene Kurve γR, .
Weil alle Singularitäten der Funktion exp(ipx)
ausserhalb dieser Kurve sind, ist ihr Inp2 −k2
tegral entlang γR, gleich Null. Wir verwenden diese Tatsache, und zerlegen das erwähnte
Integral in verschiedene Teilstücke
Z
Z
Z
Z
exp(ipx)
exp(ipx)
exp(ipx)
exp(ipx)
0=
dp 2
=
dp
+
dp
+
dp
p − k2
p2 − k 2
p2 − k 2
p2 − k 2
γR,
A→B
ByC
C→D
Z
exp(ipx)
+
dp 2
+
p − k2
DyE
Z
Bachelorarbeit in theoretischer Physik
E→F
exp(ipx)
dp 2
+
p − k2
25
Z
dp
AxF
exp(ipx)
.
p2 − k 2
(99)
Hernando Sobrino
Dimensionale Regularisierung und asymptotische Freiheit des δ-Funktions-Potentials in
der relativistischen Quantenmechanik
Nun können wir gegen Null gehen lassen
Z
0 = lim
→0
dp
γR,
exp(ipx)
p2 − k 2
Z
Z
Z
exp(ipx)
exp(ipx)
exp(ipx)
= lim (
dp 2
)
+
dp
+
dp
)
→0
p − k2
p2 − k 2
p2 − k 2
A→B
C→D
E→F
Z
Z
Z
exp(ipx)
exp(ipx)
exp(ipx)
+ lim
dp 2
+ lim
dp 2
+
dp 2
2
2
→0 ByC
→0 DyE
p −k
p −k
p − k2
AxF
Z +R
Z
Z
Z
exp(ipx)
exp(ipx)
exp(ipx)
exp(ipx)
dp 2
=
+
lim
dp
+
lim
dp
+
dp
.
p − k 2 →0 ByC
p2 − k 2 →0 DyE
p2 − k 2
p2 − k 2
−R
AxF
(100)
Das letzte Integral ist von unabhängig und bleibt daher unverändert. Jetzt schauen
wir, was mit den Integralen B y C und D y E passiert, indem wir sie für ein festes .
parametrisieren und dann dem Limes berechnen. Zunächst definieren wir f (p) := exp(ipx)
p2 −k2
f hat bei p = −k ein Pol erster Ordnung, und somit lässt sie sich in der Nähe von
g(p)
g(p)
p = −k als f (p) = p−(−k)
= p+k
schreiben, wobei g holomorph (sogar in p = −k) ist, mit
g(−k) = Res(f, −k) = limp→−k (p − (−k))f (p). Wir parametrisieren nun B y C durch
h : [π, 0] → B y C, h (t) := −k + exp(it),
(101)
und erhalten
Z
lim
Z
Z 0
exp(ipx)
0
= lim
dp f (p) = lim
dt f (h (t))h (t)
dp 2
2
→0 ByC
→0 π
→0 ByC
p −k
Z 0
Z 0
g(h (t)) 0
g(−k + exp(it))
= lim
dt
dt
h (t) = lim
i exp(it)
→0 π
→0 π
h (t) + k
exp(it)
Z 0
Z 0
= lim i
dt g(−k + exp(it)) = i
dt lim g(−k + exp(it))
→0
π
π
Z
→0
0
dt g(−k) = −iπg(−k) = −iπRes(f, −k)
=i
π
= −iπ lim (p + k)f (p) = −iπ lim
p→−k
p→−k
exp(ipx)
iπ exp(−ikx)
=
.
p−k
2k
(102)
Ganz analog erhält man
Z
exp(ipx)
exp(ipx)
= −iπRes(f, +k) = −iπ lim (p − k)f (p) = −iπ lim
lim
dp 2
2
→0 DyE
p→k
p→k p + k
p −k
=−
Bachelorarbeit in theoretischer Physik
iπ exp(ikx)
.
2k
26
(103)
Hernando Sobrino
Dimensionale Regularisierung und asymptotische Freiheit des δ-Funktions-Potentials in
der relativistischen Quantenmechanik
Aus (99) folgt
Z
0=
+R
Z
exp(ipx) iπ exp(−ikx) iπ exp(ikx)
exp(ipx)
dp 2
−
+
dp 2
+
2
p −k
2k
2k
p − k2
−R
AxF
Z
Z +R
Z +R
exp(ipx)
exp(ipx) iπ
exp(ipx) π sin(kx)
dp 2
=
dp 2
− (2i sin(kx)) +
=
dp 2
+
2
2
p −k
2k
p −k
p − k2
k
AxF
−R
−R
Z
Z
Z +R
exp(ipx)
exp(ipx)
exp(ipx)
π sin(kx)
dp 2
+
dp 2
−
dp 2
⇒
=−
2
2
p −k
p −k
k
p − k2
AxF
−R
AxF
Z +∞
Z +R
exp(ipx)
exp(ipx)
⇒ HW (
dp 2
) = lim
dp 2
2
R→+∞ −R
p −k
p − k2
−∞
Z
exp(ipx)
π sin(kx)
− lim
dp 2
=−
.
(104)
R→+∞ AxF
k
p − k2
Wir zeigen nun, dass der letzte Term auf der rechte Seite von Gleichung (103) verschwindet.
Dafür parametrisieren wir zunächst A x F für ein festes R
hR : [0, π] → A x F,
hR (t) = R exp(it),
Z
|
AxF
exp(ipx)
|=|
dp 2
p − k2
Z π
0
0
exp(ihR (t)x)hR (t)
exp(ihR (t)x)hR (t)
dt
|≤
dt |
|
hR (t)2 − k 2
hR (t)2 − k 2
0
0
Z π
0
| exp(ihR (t)x)||hR (t)|
=
dt
|hR (t)2 − k 2 |
0
Z
π
| exp(ihR (t)x)| = exp(Re(ihR (t)x)) = exp(Re(ixR(cos(t) + i sin(t)))) = exp(−Rx sin(t)).
t ∈ [0, π] ⇒ sin(t) ≥ 0; x > 0 ⇒ Rx sin(t) ≥ 0 ⇒ −Rx sin(t) ≤ 0 ⇒ exp(−Rx sin(t)) ≤ 1
0
|hR (t)| = |Ri exp(it)| = R
|hR (t)2 − k 2 | ≥ ||hR (t)2 | − | − k 2 || = ||hR (t)|2 − k 2 | = ||R exp(2it)|2 − k 2 | = |R2 − k 2 |
1
1
= R2 − k 2 > 0 ⇒
≤ 2
2
2
|hR (t) − k |
R − k2
Z
Z π
exp(ipx)
R
Rπ
⇒|
dp 2
|
≤
dt
=
→ 0, R → +∞
p − k2
R2 − k 2
R2 − k 2
AxF
0
Somit erhält man aus (103)
Z
+∞
dp
−∞
exp(ipx)
π sin(kx)
=−
.
2
2
p −k
k
(105)
Aus (97) erhält man
φ(x) = −
mλC sin(kx)
Cmλ sin(k|x|)
mλC π sin(kx)
(−
)=
=
,
2
π
k
πk
kπ
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Dimensionale Regularisierung und asymptotische Freiheit des δ-Funktions-Potentials in
der relativistischen Quantenmechanik
was nichts anderes als Gleichung (91) ist. Die Konsistenz ist also gezeigt für den Fall
x > 0. Für den Fall x < 0 kann man die Tatsache, dass die Fuktion φ̃ aus (96) gerade ist,
ausnützen. Daraus folgt, dass φ ebenfalls gerade sein muss, denn
Z +∞
Z +∞
Z +∞
1
1
dp φ̃(p) sin(px))
dp φ̃(p) cos(px) + i
dp φ̃(p) exp(ipx) =
(
φ(x) =
2π −∞
2π −∞
−∞
Z +∞
Z +∞
Z +∞
1
1
1
=
dp φ̃(p) cos(p(−x))
dp φ̃(p) cos(px) =
dp φ̃(p) cos(p(−x)) =
(
2π −∞
2π −∞
2π −∞
Z +∞
Cmλ sin(k| − x|)
Cmλ sin(k|x|)
+i
dp φ̃(p) sin(p(−x))) = φ(−x) =
=
.
kπ
kπ
−∞
Dabei hat man verwendet, dass die Funktionen φ̃(p) sin(p(±x)) ungerade sind, und ihre
Integrale dem entsprechend verschwinden müssen. Die Konsistenz für den Fall x = 0 folgt
direkt aus der Forderung, dass φ im Punkt x = 0 stetig sein muss
Cmλ sin(k|x|)
Cmλ sin(k|0|)
=
.
x→0
kπ
kπ
φ(0) =! lim φ(x) = lim
x→0
Wir fassen nun unsere bisherigen Resultate zusammen
Schrödinger Gleichung
−
1 ∂ 2 Ψ(x)
+ λδ(x)Ψ(x) = EΨ(x) (Ortsraum)
2m ∂x2
m
p2
Ψ̃(p) + λΨ(0) = E Ψ̃(p) (Impulsraum) .
2m
(106)
Falls λ < 0
Gebundener Zuständ (Lösung mit E < 0)
√
mλ2
E := −
; k := −mλ = −2mE,
2
√
Ψ(x) = k exp(−k|x|).
(107)
Streuzustände (Lösungen mit E > 0)
√
E ∈ R+ ; k := 2mE
Ungerade Lösung:
ΨU (x) = A sin(kx)
m
Ψ̃U (p) = iπA(δ(p + k) − δ(p − k))
(108)
Gerade Lösung
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Dimensionale Regularisierung und asymptotische Freiheit des δ-Funktions-Potentials in
der relativistischen Quantenmechanik
ΨG (x) = A cos(k|x| + arctan(−
mλ
)).
k
m
Ψ̃G (p) = Aπ cos(arctan(−
mλ
2mλ
))(δ(p + k) + δ(p − k) +
)
k
π(k 2 − p2 )
(109)
Die allgemeine Lösung positiver Energie ist eine Linearkombination aus (107) und (108)
für festes E (bzw k). Falls λ > 0, gibt es nur Lösungen positiver Energie, und zwar gegeben
durch (107) und (108) mit angepasstem λ. Die Beziehung (13) sagt uns, dass für einen
1 ∂2
+ λδ(x) (mit anderen Worten: für ein
vorgegebenen Hamilton Operator H = − 2m
∂x2
vorgegebenes λ ∈ R), müssen zwei Lösungen ΨA und ΨB von (105) mit EA 6= EB zueinander orthogonal sein. Um uns davon zu überzeugen, dass die Lösungen (106), (107) und
(108) konsistent sind, können wir nun diese Orthogonalitätsbedingung nachprüfen. Sei
z.B. ein festes λ < 0 vorgegeben. Nachzuprüfen wäre also, dass die Lösung (106) mit einer
negativen Energie Eneg orthogonal zu einer beliebigen linearen Kombination aus (107) und
(108) mit einer festen positiven Energie Epos ist, und dass zwei solche Linearenkombinationen mit unterschiedlichen Energien zueinander orthogonal sind. Wegen der Linearität des
Skalarprodukts sind diese Bedingungen äquivalent dazu, dass die Lösung (105) gleichzeitig
zu (107) und (108) orthogonal ist, sowie dass die Lösungen (107) und (108), zwei Lösungen
der Form (107) und zwei Lösungen der Form (108) mit unterschiedlichen Energien zueinander orthogonal sind. Eine gerade und eine ungerade Lösung sind automatisch orthogonal,
da aus dem Produkt der beiden eine ungerade Funktion resultiert, und daher ihr Integral
über R automatisch verschwindet. Daher reicht es, dass wir die Orthogalität in folgenden
Fällen nachprüfen
1: (106) und (108)
2: zwei Lösungen (107) mit unterschiedlichen Energien
3: Zwei Lösungen (108) mit unterschiedlichen Energien
Die Beziehung (38) erlaubt uns, der Orthogonalität entweder im Ortsraum oder im Impulsraum nachzuprüfen. In jedem der drei Fälle wählen wir die Option, die uns erlaubt,
leichter zu rechnen
1:
Z +∞
hΨ111 |Ψ113 i = konst
dx exp(−k111 |x|) cos(k113 |x| + α)
−∞
0
+∞
Z
= konst
dx exp(−k111 x) cos(k113 x + α)
0
1
0
= konst (−
Z
−
+∞
dx
0
−
k111
1
k111
[exp(−k111 x) cos(k113 x + α)]+∞
0
exp(−k111 x) (−k113 sin(k113 x + α)))
Bachelorarbeit in theoretischer Physik
29
Hernando Sobrino
Dimensionale Regularisierung und asymptotische Freiheit des δ-Funktions-Potentials in
der relativistischen Quantenmechanik
1
0
= konst {
k111
0
= konst {
+∞
Z
−
dx (−
0
k113
+
k111
Z
1
k113
cos(α) −
k111
Z
+∞
dx exp(−k111 x) sin(k113 x + α)}
0
1
cos(α) k113
−
(−
[exp(−k111 x) sin(k113 x + α)]+∞
0
k111
k111 k111
0
k111
exp(−k111 x))k113 cos(k113 x + α))} = konst {
+∞
0
dx exp(−k111 x) cos(k113 x + α))} = konst {
0
cos(α) k113 sin(α)
−
(
k111
k111 k111
cos(α) k113 sin(α)
−
2
k111
k111
Z
k113 2 +∞
−(
)
dx exp(−k111 x) cos(k113 x + α))}
k111
0
Z +∞
cos(α) k113 sin(α)
k113 2
))
dx exp(−k111 x) cos(k113 x + α) =
−
⇒ (1 + (
2
kk111
k111
k111
0
Z +∞
0
dx exp(−k111 x) cos(k113 x + α)
⇒ hΨ111 |Ψ113 i = konst
0
00
= konst (
cos(α) k113 sin(α)
k113
00 cos(α)
−
) = konst
(1 − tan(α)
)
2
k111
k111
k111
k111
000
= konst (1 − tan(arctan(−
000
mλ k113
mλ k113
mλ
000
000
))
) = konst (1 +
) = konst (1 +
)
k113 k111
k113 k111
k111
= konst (1 +
mλ
000
) = konst (1 + (−1)) = 0
(−mλ)
2:
hΨ̃UE |Ψ̃UE0 i = konsthδ(p + k) − δ(p − k)|δ(p + k 0 ) − δ(p − k 0 )i
= konst(hδ(p + k)|δ(p + k 0 )i − hδ(p + k)|δ(p − k 0 )i − hδ(p − k)|δ(p + k 0 )i
konst
(δ(−k + k 0 ) − δ(−k − k 0 ) − δ(k + k 0 ) + δ(k − k 0 ))
+ hδ(p − k)|δ(p − k 0 )i) =
2π
konst
(δ(k − k 0 ) − δ(k + k 0 ) − δ(k + k 0 ) + δ(k − k 0 ))
=
2π
konst
=
(δ(k − k 0 ) − δ(k + k 0 )) = konst0 (δ(k − k 0 ) − δ(k + k 0 ))
π
Dabei hat man verwendet
Z
Z
1
1
0
∗
0
hδ(p ± k)|δ(p ± k )i =
dp (δ(p ± k)) δ(p ± k ) =
dp δ(p ± k)δ(p ± k 0 )
2π
2π
Bachelorarbeit in theoretischer Physik
30
Hernando Sobrino
Dimensionale Regularisierung und asymptotische Freiheit des δ-Funktions-Potentials in
der relativistischen Quantenmechanik
1
=
2π
Z
dp δ(p − (∓k))δ(p ± k 0 ) =
1
δ(∓k ± k 0 ).
2π
(110)
Der Ausdruck δ(x − x0 ) verschwindet, falls x 6= x0 . Wegen k 6= ±k 0 , lässt sich das obige
Resultat für hΨ̃UE |Ψ̃UE0 i als Null verstehen.
3:
hΨ̃GE |Ψ̃GE0 i = konsthδ(p + k) + δ(p − k) +
2mλ
2mλ
|δ(p + k 0 ) + δ(p − k 0 ) +
i
2
2
π(k − p )
π(k 02 − p2 )
= konst(hδ(p + k)|δ(p + k 0 )i + hδ(p + k)|δ(p − k 0 )i + hδ(p + k)|
hδ(p − k)|δ(p + k 0 )i + hδ(p − k)|δ(p − k 0 )i + hδ(p − k)|
h
=
+
2mλ
i
π(k 02 − p2 )
2mλ
i
π(k 02 − p2 )
2mλ
2mλ
2mλ
2mλ
|δ(p + k 0 )i + h
|δ(p − k 0 )i + h
|
i)
2
2
2
2
2
2
π(k − p )
π(k − p )
π(k − p ) π(k 02 − p2 )
konst
2mλ
2mλ
(δ(−k + k 0 ) + δ(−k − k 0 ) +
+ δ(k + k 0 ) + δ(k − k 0 ) +
02
2
2π
π(k − k )
π(k 02 − k 2 )
2mλ
8m2 λ2
1
1
konst
2mλ
+
+
h 2
| 02
i) =
(δ(k − k 0 ) + δ(k + k 0 )
2
02
2
02
2
2
π(k − k ) π(k − k )
π
k −p k −p
2π
2mλ
2mλ
2mλ
2mλ
+ δ(k + k 0 ) + δ(k − k 0 ) +
−
−
02
2
02
2
02
2
π(k − k )
π(k − k ) π(k − k ) π(k 02 − k 2 )
Z
4m2 λ2 +∞
1
konst
+
dp 2
)=
(δ(k + k 0 ) + δ(k − k 0 )
2
2
02
2
π
(k
−
p
)(k
−
p
)
π
−∞
2 2 Z +∞
1
1
konst
2m λ
+
dp ( 02
+ 2
)) =
(δ(k+k 0 )+δ(k−k 0 )
2
2
2
2
02
02
2
π
(k
−
k
)(k
−
p
)
(k
−
k
)(k
−
p
)
π
−∞
Z +∞
Z +∞
1
1
konst
2m2 λ2
(
dp
−
dp
))
=
(δ(k + k 0 ) + δ(k − k 0 )
+ 2 2
2 − k 02
π (k − k 02 ) −∞
p2 − k 2
p
π
−∞
Z +∞
Z
2 2
1
1
2m λ
1
1 +∞
konst
+ 2 2
(
dy 2
− 0
dy 2
)) =
(δ(k + k 0 ) + δ(k − k 0 ))
02
π (k − k ) k −∞
y − 1 k −∞
y −1
π
+
= konst0 (δ(k + k 0 ) + δ(k − k 0 )).
R +∞
Hierbei wurde die Beziehung HW ( −∞ dy y21−1 ) = 0 verwendet. Für λ > 0 gäbe es nur
Lösungen mit positiver Energie, und daher müssten wir Ortogonalitätsbedingungen 2 : und
3 : nachprüfen. Dies macht man ganz analog wie vorher, denn die Lösungen (107) und
(108) sind identisch wie im Fall λ < 0.
Bachelorarbeit in theoretischer Physik
31
Hernando Sobrino
Dimensionale Regularisierung und asymptotische Freiheit des δ-Funktions-Potentials in
der relativistischen Quantenmechanik
3
Relativistischer Hamilton Operator
Jetzt können wir das im letzten Abschnitt behandelte Problem im Rahmen der relativistischen Quantenmechanik bearbeiten. Wie wir erklärt haben, lohnt es sich in diesem
Fall, das ganze Problem im Impulsraum zu lösen, und dann die Resultate durch eine
Rücktransformation in den Ortsraum zu übertragen. Wir schreiben also nochmals die
relativistische Schrödinger Gleichung im Impulsraum (siehe Gleichung (22))
Z +∞
√
2
4
2
2
2
m c + ~ k c Ψ̃(k) +
dx V (x)Ψ(x) exp(−ikx) = E Ψ̃(k).
−∞
Mit unserer Konvention ~ = c = 1, k = p erhalten wir
Z +∞
p
2
2
m + p Ψ̃(p) +
dx V (x)Ψ(x) exp(−ipx) = E Ψ̃(p).
−∞
Mit V (x) = λδ(x) können wir das dort stehende Integral wie in (54) auswerten
Z +∞
dx λδ(x)Ψ(x) exp(−ipx) = λΨ(0)), und somit
−∞
p
m2 + p2 Ψ̃(p) + λΨ(0) = E Ψ̃(p), E ∈ R.
(111)
Wir können die letzte Gleichung nach Ψ̃(p) auflösen, und erhalten
Ψ̃(p) =
λΨ(0)
p
.
E − p2 + m2
(112)
Weiter gilt
1
Ψ(0) =
2π
Z
+∞
−∞
λΨ(0)
Ψ̃(p) =
2π
Z
+∞
−∞
1
p
,
E − p2 + m2
⇓
2π
=
λ
Z
+∞
−∞
1
p
.
E − p2 + m2
(113)
Wir zeigen zunächst, dass das Integral in (112) für beliebige E ∈ R divergiert. Man
betrachte zunächst den Fall E 2 − m2 > 0
p
p
E + p2 + m 2
E + p2 + m2
1
p
p
p
=
= 2
E − m2 − p2
E − p2 + m2
(E − p2 + m2 )(E + p2 + m2 )
p
p
√
p2 + m2
p2 + m2
E
E
= 2
+
=
−
−
,
wobei
b:=
E 2 − m2 > 0.
E − m2 − p2 E 2 − m2 − p2
p 2 − b2
p 2 − b2
(114)
Bachelorarbeit in theoretischer Physik
32
Hernando Sobrino
Dimensionale Regularisierung und asymptotische Freiheit des δ-Funktions-Potentials in
der relativistischen Quantenmechanik
√
Wir definieren F (p) :=
alpha ergibt
− p2E−b2
−
p2 +m2
p2 −b2
und suchen die Stammfunktion von F . Wolfram-
p
p−b
E
ln(|
|) − ln(| p2 + m2 + p|)
2b
p+b
p
√
√
b p2 + m2 + p b2 + m2
b2 + m2
+
ln(| p
|).
√
2b
b p2 + m2 − p b2 + m2
Z
G(p) :=
dp F (p) = −
(115)
(116)
Um uns davon zu0 überzeugen,
leiten wir G ab und prüfen, ob wir F erhalten. Wegen
±h (p)
h0 (p)
0
(ln(±h(p))) = ±h(p) = h(p) , können wir die Beträge im Logarithmus vergessen
p−b 0
E p + b − (p − b) p + b
E
2b
p+b
E
E
ln(
)) = (− )(
) = (− )(
)(
)=− 2
)(
2
2
2b
p+b
2b
(p + b)
p−b
2b (p + b) ) p − b
p − b2
(117)
p
√
+
1
p
1
p2 +m2
(− ln( p2 + m2 + p))0 = − p
= −p
(118)
p2 + m2 + p
p2 + m 2
p
√
√
b p2 + m2 + p b2 + m2 0
b2 + m2
ln( p
))
(
√
2b
b p2 + m2 − p b2 + m2
√
p
√
√
bp
b2 + m2
(( p
=
+ b2 + m2 )(b p+ m2 − p b2 + m2 )
2b
p2 + m2
p
√
√
bp
1
− (p
− b2 + m2 )(b p+ m2 + p b2 + m2 )) p
√
p2 + m2
(b p2 + m2 − p b2 + m2 )2
√
p
√
2 b2 +m2
2bp√
2 + m2
√
b
p2 + m 2 )
(−
+
2b
b2 + m2
p+ m2
=
2b
b2 (p2 + m2 ) − p2 (b2 + m2 )
√
√
√
√
√
b2 + m2 −2bp2 b2 + m2 + 2b b2 + m2 (p2 + m2 )
b2 + m2
2bm2 b2 + m2
p
p
=
=
2b
2b
m2 p2 + m2 (b2 − p2 )
m2 p2 + m2 (b2 − p2 )
(−
b2 + m 2
p
.
=
p2 + m2 (b2 − p2 )
(119)
⇓
G0 (p) = −
=−
E
1
b2 + m2
p
p
−
−
p 2 − b2
p2 + m2
p2 + m2 (p2 − b2 )
E
p2 − b2 + b2 + m2
E
p2 + m 2
p
p
−
−
=
−
p 2 − b2
p 2 − b2
p2 + m2 (p2 − b2 )
p2 + m2 (p2 − b2 )
p
p2 + m2
E
=− 2
−
= F (p).
p − b2
p 2 − b2
Bachelorarbeit in theoretischer Physik
33
Hernando Sobrino
Dimensionale Regularisierung und asymptotische Freiheit des δ-Funktions-Potentials in
der relativistischen Quantenmechanik
Um zu zeigen, dass das Integral in (112) divergiert, reicht es, zu prüfen, dass die Stammfunktion G des Integranden unendlich gross wird, wenn p → ∞
p
p−b
E
ln(|
|) − ln(| p2 + m2 + p|)
p→+∞
p→+∞
2b
p+b
p
√
√
b p2 + m2 + p b2 + m2
p−b
b2 + m2
E
ln(| p
lim ln(|
|)
+
|)) = −
√
2
2
2
2
2b
2b p→+∞
p+b
b p +m −p b +m
lim G(p) = lim (−
√
2
2
√
1 + p√b +m
2
2
p
2
b +m
b m +p2
√
|)
− lim ln(| p2 + m2 + p|) +
lim ln(|
2
2
p→+∞
p→∞
2b
1 − p√b +m
b
p
E
p−b
=−
lim ln(|
|) − lim ln(| p2 + m2 + p|) +
p→+∞
2b p→+∞
p+b
√
m2 +p2
1+
b2 + m 2
lim ln(|
p→∞
2b
1−
√
2
2
rb +m
2
b m2 +1
p
√
|)
2 +m2
b
r
2
b m2 +1
p
√
1+
b2 + m2
=0−∞+
ln(|
2b
1−
√
b2 +m2
b
√
b2 +m2
b
|) = −∞.
Nun betrachten wir den Fall E 2 − m2 < 0, und definieren nochmals F (p) :=
√
p2 +m2
E
+
. Wolfram alpha ergibt
2
2
2
2
E −m −p
E −m2 −p2
Z
G(p) :=
p
dp F (p) = − ln(| p2 + m2 + p|) − √
+ arctan( √
√1
E−
p2 +m2
=
E
Ep
p
)
(arctan( √
m2 − E 2
m2 − E 2 p2 + m2
p
)).
m2 − E 2
(120)
Wir prüfen
E
E
−√
(√
G0 (p) = − p
m2 − E 2 m2 − E 2
p2 + m2
1
+√
−√
p
p2 + m2 − √
p2
1
p2 +m2
p2 + m2
1+
E 2 p2
(m2 −E 2 )(p2 +m2 )
1
1
1
) = −p
p2
2
2
− E 1 + m2 −E 2
p + m2
m2
E
E
m2
(m2 − E 2 )(p2 + m2 )
p
(√
m2 − E 2 m2 − E 2 p2 + m2 (p2 + m2 ) (m2 p2 + m4 − E 2 m2 )
+√
1
m2 − E 2
1
p
)
=
−
m2 − E 2 m2 − E 2 + p2
p2 + m2
Bachelorarbeit in theoretischer Physik
34
Hernando Sobrino
Dimensionale Regularisierung und asymptotische Freiheit des δ-Funktions-Potentials in
der relativistischen Quantenmechanik
−
E(m2 − E 2 )
1
E 2 m2
m2 − E 2
p
−
= −p
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
(m2 − E 2 ) p2 + m2 (m p + m − E m ) (m − E )(m − E + p )
p2 + m 2
E
E
−m2 + E 2 − p2 − E 2
E2
p
p
− 2
− 2
=
−
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
m −E +p
p +m p +m −E
p + m (m − E + p ) m − E 2 + p2
p
p2 + m2
E
p2 + m2
E
=p
+ 2
=
+ 2
= F (p).
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
E −m −p
E − m2 − p2
p + m (E − m − p ) E − m − p
(121)
Und nun schauen wir, was mit G passiert, wenn p → +∞
p
lim G(p) = − lim ln(| p2 + m2 + p|) − √
p→+∞
p→+∞
+ lim arctan( √
p→+∞
E
E
q
( lim arctan( √
m2 − E 2 p→+∞
m2 − E 2 1 +
m2
p2
)
p
E
E
π
)) = −∞ − √
(arctan( √
) + ) = −∞. (122)
2
m2 − E 2
m2 − E 2
m2 − E 2
Wir zerlegen nun das Integral von (112) in zwei Teile wie folgt
Z +∞
Z +∞
Z +∞
1
1
1
1
p
p
dp
=
dp (
+p
)−
dp p
.
2
2
2
2
2
2
2
E− p +m
E− p +m
p +m
p + m2
−∞
−∞
−∞
(123)
R +∞
Wir zeigen, dass das erste Integral −∞ dp ( √1 2 2 + √ 21 2 ) konvergent ist, und zwar
E− p +m
p +m
R
für beliebige Energie E. Wie aus Gleichung (117) ersichtlich ist, gilt dp √ 21 2 =
p +m
p
1
1
2
2
ln(| p + m + p|). Um die Stammfunktion von F̃ (p) := √ 2 2 + √ 2 2 zu bestimE−
p +m
p +m
men, können wir die Fälle 1) E 2 − m2 > 0, und 2) E 2 − m2 < 0 unterscheiden,
dabei
p
2
2
die Funktionen aus (115) und (119) nehmen und zu jeder den Term ln(| p + m + p|)
addieren
1) E 2 − m2 > 0 :
√
√
√
R
b p2 +m2 +p b2 +m2
p−b
b2 +m2
E
√
|). Falls E > 0, hat F
Sei G̃(p) := dp F̃ (p) = − 2b ln(| p+b |) + 2b ln(|
√
b p2 +m2 −p b2 +m2
√
R +∞
Pole bei p = ±b = ± E 2 − m2 . In diesem Fall berechnet man das Integral −∞ dp F (p)
wie folgt
Z
Z
Z
+∞
+∞
dp F̃ (p) = 2
−∞
R
dp F̃ (p) = 2 lim
R→+∞
0
Z
= 2 lim (lim(
R→+∞ →0
b−
Z
R
dp F̃ (p) +
0
dp F̃ (p)
0
dp F̃ (p)))
b+
= 2 lim (lim([G̃(p)]b−
+ [G̃(p)]R
0
b+ ))
R→+∞ →0
= 2 lim (G̃(R) − G̃(0) + lim(G̃(b − ) − G̃(b + )))
R→+∞
Bachelorarbeit in theoretischer Physik
→0
35
Hernando Sobrino
Dimensionale Regularisierung und asymptotische Freiheit des δ-Funktions-Potentials in
der relativistischen Quantenmechanik
E
2b − = 2 lim (G̃(R) − G̃(0) + lim( ln(|
|)
→0 2b
R→+∞
2b + p
p
√
√
(b m2 + (b − )2 + (b − ) b2 + m2 )(b m2 + (b + )2 − (b + ) b2 + m2 )
p
√
√
+ ln(| p
|)))
(b m2 + (b − )2 − (b − ) b2 + m2 )(b m2 + (b + )2 + (b + ) b2 + m2 )
2b − E
|))
= 2 lim (G̃(R) − G̃(0) + lim( ln(|
→0 2b
R→+∞
2b + p
√
(b m2 + (b − )2 + (b − ) b2 + m2 )
√
+ lim(ln(| p
|))
→0
(b m2 + (b + )2 + (b + ) b2 + m2 )
p
√
(b m2 + (b + )2 − (b + ) b2 + m2 )
√
+ lim(ln(| p
|)))
→0
(b m2 + (b − )2 − (b − ) b2 + m2 )
2b − E
|))
(l’hopital) = 2 lim (G̃(R) − G̃(0) + lim( ln(|
→0 2b
R→+∞
2b + √
√
b(b+)
2 + m2
√ −b(b−)
√
−
b
−
b2 + m2
m2 +(b−)2
m2 +(b+)2
+ lim(ln(| b(b+)
|)) + lim(ln(| −b(b−)
|)))
√
√
2 + m2
2 + m2
→0
→0
√ 2
√
+
b
+
b
2
2
2
m +(b+)
m +(b−)
= 2 lim (G̃(R) − G̃(0) + 0 + 0 + 0) = 2 lim (G̃(R) − 0) = 2 lim G̃(R)
R→+∞
R→+∞
E
R−b
= 2(−
lim ln(|
|) +
R→+∞
2b
R+b
√
1+
b2 + m2
lim ln(|
R→∞
2b
1−
R→+∞
√
2
2
qb +m
2
b m2 +1
R
√
|))
2 +m2
b
q
m2
b
2 +1
R
√
√
2
2
1 + b b+m
b2 + m2
√
ln(|
=
|).
2
2
b
1 − b b+m
R +∞
Falls E < 0, hätten wir direkt −∞ dp F̃ (p) = 2 lim→0 (G̃(p) − G̃(0)) schreiben können.
Also erhalten wir für E 2 − m2 > 0
√
√
√
√
Z +∞
2
2
b2 +m2
1 + b b+m
+1
b2 + m2
b2 + m2
√
dp F̃ (p) =
ln(|
|) =
ln( √ 2 b 2
)
2
2
b +m
b
b
1 − b +m
−1
−∞
b
=√
|E|
E2 −
|E|
√
E 2 −m2
ln( |E|
√
m2
E 2 −m2
2
2
b
+1
−1
)
(124)
2) E − m < 0 :
In diesem Fall hat F̃ (p) = √1 2 2 + √ 21 2 weder für E < 0 noch für E > 0 reelle PolE− p +m
p +m
R
√
stellen. Wir definieren nochmals G̃(p) := dp F̃ (p) = − √m2E−E 2 (arctan( √ 2 Ep
)+
2
2
2
m −E
arctan( √
p
))
m2 −E 2
und berechnen
Z +∞
Z
dp F̃ (p) = 2
−∞
Bachelorarbeit in theoretischer Physik
m +p
+∞
dp F̃ (p) = 2 lim ([G̃(p)]R
0)
R→+∞
0
36
Hernando Sobrino
Dimensionale Regularisierung und asymptotische Freiheit des δ-Funktions-Potentials in
der relativistischen Quantenmechanik
= 2 lim (G̃(R)) − 2G̃(0) = 2 lim (G̃(R))
R→+∞
= −√
R→+∞
E
R
2E
q
( lim (arctan( √
)) + lim (arctan( √
)))
2
2
2
2
R→+∞
m − E R→+∞
m − E2
m2 − E 2 m
+
1
R2
2E
E
π
(arctan( √
) + ).
2
2
2
2
2
m −E
m −E
E
π π
Sei α := arctan( √
) ∈ (− , + )
2
2
m2 − E 2
= −√
⇒ tan(α) = √
(125)
E
sin2 (α)
E2
⇒
=
m2 − E 2
1 − sin2 (α)
m2 − E 2
E2
π
⇒ sin (α) = 2 . Falls E ≥ 0 ⇒ α ∈ [0, + ) ⇒ sin(α) ≥ 0.
m
2
π
Falls E < 0 ⇒ α ∈ (− , 0) ⇒ sin(α) < 0. Also: sign(sin(α)) = sign(E)
2
E
E
⇒ sin(α) =
∈ (−1, 1) ⇒ α = arcsin
m
m
Z +∞
2E
π
E
dp F̃ (p) = − √
⇒
(arcsin( ) + ).
2
2
m
2
m −E
−∞
2
(126)
Falls [E 2 − m2 < 0] oder falls [E 2 − m2 > 0 und E < 0]
Z +∞
Z +∞
dp F (p) = 2
dp F (p) = 2[G(p)]+∞
0
−∞
0
= 2(G(+∞) − G(0)) = 2(−∞ + ln(m)) = −∞.
(127)
Falls E 2 − m2 > 0 und E > 0
Z R
Z +∞
Z b−
dp F (p) = 2 lim (lim(
dp F (p) +
dp F (p))) = 2 lim (G(R) − G(0)
R→+∞ →0
−∞
R→+∞
b+
0
+ lim(G(b − ) − G(b + ))) = 2 lim (G(R) − G(0) + lim(G̃(b − ) − G̃(b + ))
→0
→0
R→+∞
p
p
+ lim(ln(| (b + )2 + m2 + b + |) − ln(| (b − )2 + m2 + b − |)))
→0
= 2 lim (G(R) − G(0) + 0 + 0) = 2 lim (G(R) − G(0) + 0 + 0) = 2 lim G(R) + 2 ln(m)
R→+∞
R→+∞
R→+∞
= −∞ + 2 ln(m) = −∞.
(128)
R +∞
Wie aus Gleichung (122) ersichtlich ist, muss das Integral −∞ dp √ 21 2 divergieren,
p +m
R +∞
1
√
denn sonst würde das Integral −∞ dp
als Summe zweier konvergenter Integrale
E− p2 +m2
R +∞
auch konvergieren. Andererseits kann man die Divergenz von −∞ dp √ 21 2 mit Hilfe
p +m
p
2
2
ihrer Stammfunktion ln(| p + m + p|), welche im Undendlichen unendlich gross wird,
Bachelorarbeit in theoretischer Physik
37
Hernando Sobrino
Dimensionale Regularisierung und asymptotische Freiheit des δ-Funktions-Potentials in
der relativistischen Quantenmechanik
argumentieren. Wenn wir es schaffen könnten, Rdieses Integral durch etwas Konvergentes zu
+∞
1
√1
dp
ersetzen, hätten wir etwas Konvergentes für 2π
erhalten, und somit auch
−∞
2
2
E−
p +m
für den Parameter λ1 (siehe Gleichung (112)), was tatsächlich das Ziel dieser ganzen ersten
R +∞
1
Rechnung ist. Dafür transformieren wir das eindimensionale Integral 2π
dp √ 21 2 in
−∞
p +m
seine ’D’-dimensionale Version wie folgt
Z
Z +∞
pD−1
1
1
δ D−1
D
p
p
dp
dp
=
.
(2π)D
(2π)D 0
p~2 + m2
p2 + m2
(129)
Dabei haben wir die D-dimensionale Integration in eine radiale- und eine Winkelintegration aufgespalten. Weil der Integrand √ 21 2 nur vom Betrag |~p| abhängt, erfolgt
p
~ +m
die Winkelintegration unabhängig von der radialen, und als Folge erhält man die ganze
Oberfläche δ D−1 des Randes der D-dimensionalen Einheitskugel (auch als ”Volumen der
(D − 1)-dimensionalen Einheitssphäre” bekannt), welche man aus der radialen Integration
herausnehmen kann. Wikipedia liefert
δ D−1 =
π D/2
.
Γ( D2 )
(130)
Dabei ist Γ(x) die Gamma-Funktion. Das gesamte Integral auf die rechte Seite von Gleichung (128) hätte physikalische Dimension ”pD−1 ”, und daher führen wir einen Term
1
= m1−D als Produkt ein, um das Ganze wieder dimensionslos zu machen (wir armD−1
beiten in einem Einheitensystem, indem [m]=[p]=[E])
Z +∞
Z +∞
1
1
1
1
1
1
p
p
=
=
dp (
+p
)
λ
2π −∞ E − p2 + m2
2π −∞
E − p2 + m2
p2 + m2
1
−
(2π)D
Z
D
dp
1
p
=
2π
p~2 + m2
Z
m1−D δ D−1
(2π)D
Z
1
−
+∞
dp (
−∞
+∞
0
1
1
p
+p
)
E − p2 + m 2
p2 + m2
pD−1
dp p
.
p2 + m2
(131)
Das letzte Integral lösen wir mit Hilfe von Maple, und erhalten
D−1
D
xD−1
D−1 Γ(− 2 )Γ( 2 )
√
dp p
=m
dx √
=m
, für D ∈ [0, 1).
2 π
x2 + 1
p2 + m2
0
0
(132)
In Konsistenz mit unserem vorherigen Resultat gilt somit
Z
+∞
pD−1
D−1
Z
lim
D→1
0
Z
+∞
dp p
+∞
pD−1
p2 + m2
Bachelorarbeit in theoretischer Physik
D−1 Γ(−
= lim m
D→1
38
D−1
)Γ( D2 )
2
√
2 π
= +∞.
(133)
Hernando Sobrino
Dimensionale Regularisierung und asymptotische Freiheit des δ-Funktions-Potentials in
der relativistischen Quantenmechanik
Dabei hat man verwendet: limx→0 Γ(x) = +∞. Nun können wir den letzten Summanden
in Gleichung (130) als Funktion der Γ-Funktion ausdrücken
Z
)Γ( D2 )
pD−1
m1−D δ D−1 +∞
m1−D π D/2 D−1 Γ(− D−1
2
√
dp p
m
F (D) :=
=
(2π)D
(2π)D Γ( D2 )
2 π
p2 + m 2
0
π−
D+1
2
Γ(− D−1
)
2
.
(134)
2D+1
Wir wissen, dass F ”explodiert”, wenn D genau den Wert 1 annimmt, aber es bleibt
endlich, solange dieser knapp darunter liegt. Wir schreiben also D = 1 + für ein kleines
negatives und mit Hilfe von Mathematica erhalten wir
=
γ − ln(4π)
1
−
+ O().
π
2π
Dabei ist γ ≈ 0, 577 die ”Euler-Mascheroni-Konstante”.
F (1 + ) = −
3.1
(135)
Gebundener Zustand des relativistischen Hamilton Operators
Wir fixieren jetzt eine Energie E ∈ (0, m) (d.h. E 2 − m2 < 0) und scheiben die Gleichung
(130) nochmals
Z +∞
Z +∞
1
1
1
1
1
1
1
p
p
=
+p
)
=
=
dp (
2
2
2
2
2
λ
λ()
2π −∞ E − p + m
2π −∞
E− p +m
p + m2
Z
m1−D δ D−1 +∞
pD−1
1 γ − ln(4π)
E
E π
p
−
dp
+O().
=− √
(arcsin( )+ )+ +
D
2
2
2
2
(2π)
m 2 π
2π
π m −E
p +m
0
(136)
Die Situation ist also wie folgt: Im nicht-relativistischen Fall haben wir einen vorgegebenen Parameter λ ∈ R als ”input”, und daraus ergibt sich ein ganzes Energie-Spektrum
für gebundene und/oder Streuzustände als ”output”. Im relativistischen Fall ergibt sich
aus Gleichung (112) eine ”Inkonsistenz”, die wir nur lösen können, indem wir eine feste
Energie (z.B. eine E ∈ (0, m)) auswählen, und dann das Integral auf der rechten Seite der
erwähnten Gleichung durch einen ”Trick” in etwas Endliches transformieren. Dieses resultiernde endliche ”Objekt” wird zwangsläufig von der ausgewählten Energie EB abhängen,
und durch Gleichung (112) wird diese E-Abhängigkeit auf den Parameter λ übertragen,
und daher auf den Hamilton Operator. Ausgehend von dieser ausgewählten Energie ergibt
sich dann, wie wir sehen werden, analog zum nicht-relativistischen Fall, ein ganzes Spektrum anderer Energieneigenwerte zum resultierenden Hamilt Operator H = H(λ(EB )).
√A
Gleichung (111) sagt uns, dass die Funktion Ψ̃ als Ψ̃(p) =
geschrieben werden
2
2
E−
p +m
kann. Wir können jetzt versuchen, diese zu normieren (d.h. die Konstante A zu bestim√1
men). Dafür schreiben wir F (p) :=
.
2
2 2
(E−
p +m )
−m<E <m:
Bachelorarbeit in theoretischer Physik
39
Hernando Sobrino
Dimensionale Regularisierung und asymptotische Freiheit des δ-Funktions-Potentials in
der relativistischen Quantenmechanik
Wolfram alpha liefert
Z
G(p) :=
√
E m2 − E 2 p
dp F (p) =
3 (p
p2 + m2 − E
(m2 − E 2 ) 2
1
p
Ep
p
) + arctan( √
))).
2
2
−E
m − E 2 p2 + m 2
√
1
1
(E
m2 − E 2 lim q
⇒ lim G(R) =
3
2
R→+∞
R→+∞
(m2 − E 2 ) 2
1 + m2 − E
+ m2 (arctan( √
(137)
m2
R
R
E
p
q
) + lim arctan( √
+ m2 ( lim arctan( √
R→+∞
R→+∞
m2 − E 2
m2 − E 2 1 +
))))
m2
R2
√
π
E
(E
m2 − E 2 + m2 ( + arctan( √
))).
3
2
m2 − E 2
(m2 − E 2 ) 2
Z
2 Z +∞
A2 +∞
A2
A2
! A
dp F (p) =
dp F (p) =
1=
(G(+∞) − G(0)) =
G(+∞).
2π −∞
π 0
π
π
v
u
r
3
u
π
π(m2 − E 2 ) 2
t
√
⇒A=
=
.
G(+∞)
E m2 − E 2 + m2 ( π2 + arctan( √m2E−E 2 ))
=
1
(138)
(139)
(140)
⇓
r
3
π(m2 −E 2 ) 2
E m2 −E 2 +m2 ( π2 +arctan( √
√
Ψ̃(p) =
E−
p
E
))
m2 −E 2
p2 + m2
.
(141)
Wir können nun Ψ(x) finden, indem wir Ψ̃(p) rücktransformieren
Z +∞
Z
1
A +∞
exp(ipx)
p
Ψ(x) =
dp Ψ̃(p) exp(ipx) =
dp
.
2π −∞
2π −∞
E − p2 + m2
Dabei betrachten wir den Fall 0 < E < m. Sei F (p) :=
exp(ipx)
√
E−
p2 +m2
(142)
. Um das Integral in
(141) auszuwerten,
p können wir den Residuensatz ausnützen. Dafür müssen wir zunächst
der Funktion p2 + m2 eine Bedeutung geben, und zwar für alle (oder möglichst alle)
p ∈ C. Dies machen wir wie folgt
√
1
1
1
arg(z)
)
z := exp( (z))) = exp( (ln(|z|) + iarg(z))) = exp( ln(|z|)) exp(i
2
2
2
2
1
= |z| 2 exp(
Bachelorarbeit in theoretischer Physik
40
iarg(z)
).
2
(143)
Hernando Sobrino
Dimensionale Regularisierung und asymptotische Freiheit des δ-Funktions-Potentials in
der relativistischen Quantenmechanik
Weil der Logarithmus nur für strikt positive Zahlen definiert ist, müssen wir
√ unsere obige
Definition auf z ∈ C/{0} einschränken. Mit (142) haben wir eine Funktion z konstruiert,
die überall stetig und holomorph ist, bis auf die Menge M := {z ∈ C : Im(z) = 0, Re(z) ≤
0}. Wir schreiben p = pr + ipi und definieren z := p2 + m2 = p2r − p2i + m2 + i(2pr pi ). Somit
liegt z in M genau dann, wenn px = 0 und pi ∈ (−∞, −m] ∪ [+m, +∞). Dieser Bereich
ist in Abbildung 2 rot markiert.
pi
+im
pr
-im
Figure 2: Bereich, wo die Funktion
p
p2 + m2 nicht definiert ist.
In Abbildung 3 zeichnen wir in der komplexen p-Ebene die Menge aller Punkte (pr, pi),
für welche Re(z) oder Im(z) ein bestimmtes Vorzeichen aufweisen. Die blauen Linien
in den untersten Bildern entsprechen den Punkten (pr, pi), welche die Relation Re(z) =
p2x − p2y + m2 = 0 erfüllen. Es wird für die folgende Rechnung nützlich sein, Abbildungen
R +∞
exp(ipx)
√
2 und 3 im Auge zu haben. Nun betrachten wir wieder das Integral −∞ dp
=
E− p2 +m2
p
R +∞
dp F (p). Mit Definition (142) angewandt auf p2 + m2 , ist F wohldefiniert und
−∞
√
sogar holomorph auf der Menge C − [M̃ ∪ {±i m2 − E 2 }], wobei M̃ := {p ∈ C√: Re(p) =
0 und |Im(p)| ≥ m} dem roten Bereich in Abbildung 2 entspricht und p = ±i m2 − E 2
Pole von F sind. Jetzt können wir den Residuensatz anwenden, indem wir zunächst Zahlen
x, R, > 0 fixieren und eine
√ geschlossene Kurve γR, innerhalb des Gebiets C − M̃ und um
den positiven Pol po = +i m2 − E 2 von F konstruieren. Der Residuensatz sagt uns
Z
Z
Z
Z
2πiRes(F (p), po ) =
dp F (p) =
dp F (p) +
dp F (p) +
dp F (p)
A→B
γR,
Z
+
Z
Bachelorarbeit in theoretischer Physik
C↓D
Z
dp F (p) +
ED
CxB
dp F (p) +
E↑F
41
dp F (p).
(144)
AxF
Hernando Sobrino
Dimensionale Regularisierung und asymptotische Freiheit des δ-Funktions-Potentials in
der relativistischen Quantenmechanik
Im(z)<0
Im(z)>0
pi
pi
pr
pr
pr
Re(z)>0
pi
Re(z)<0
pi
+im
+im
pr
-im
pr
-im
Figure 3: Bereiche, wo der Realteil und der Imaginärteil der Funktion
Vorzeichen annehmen.
p
p2 + m2 bestimmte
R
R +R
In Abbildung
4
sieht
man,
dass
dp
F
(p)
=
dp F (p) gilt. Lösen wir die Gleichung
A→B
−R
R
(143) nach A→B dp F (p) auf, und lassen wir gegen Null und dann R gegen +∞ gehen,
so erhalten wir
Z +∞
Z
Z
Z
dp F (p) = 2πiRes(F (p), po )− lim (lim(
dp F (p)+
dp F (p)+
dp F (p)
R→+∞ →0
−∞
Z
+
CxB
C↓D
Z
dp F (p)) − lim(
AxF
→0
E↑F
dp F (p)).
(145)
ED
Zuerst suchen wir das Residuum
Res(F (p), po ) = lim ((p − po )F (p)) =
p→po
lim
√
p→i m− E 2
√
((p − i m− E 2 )
exp(ipx)
p
)
E − p2 + m2
p
√
exp(ipx)(E
+
p2 + m2 )
=
lim
((p − i m− E 2 )
)
√
E 2 − p2 − m2
p→i m− E 2
p
√
exp(ipx)(E
+
p2 + m2 )
√
√
=
lim
((i m− E 2 − p)
)
√
(p + i m2 − E 2 )(p − i m2 − E 2 )
p→i m− E 2
p
√
exp(ipx)(E + p2 + m2 )
exp(−x m2 − E 2 )Ei
√
√
=
lim
(−
)=
.
√
p + i m2 − E 2
m2 − E 2
p→i m− E 2
(146)
Nun schauen wir, was mit jedem Term
R auf der rechten Seite von Gleichung (144) passiert.
Wir zeigen zunächst, dass lim→0 ( ED dp F (p)) = 0. Dafür parametrisieren wir diesen
Bachelorarbeit in theoretischer Physik
42
Hernando Sobrino
Dimensionale Regularisierung und asymptotische Freiheit des δ-Funktions-Potentials in
der relativistischen Quantenmechanik
pi
F
E
e
C
im
D
po
R
pr
B
A
Figure 4: Geschlossene Kurve γR, .
Schnitt durch h : [0, π] → E D, h (t) := im + exp(it). Wir erhalten
Z
Z −π
Z 0
Z 0
0
0
|
dp F (p)| = |
dt F (h (t))h (t)| = |
dt F (h (t))h (t)| ≤
dt |F (h (t))h0 (t)|
ED
−π
0
Z
0
=
dt
−π
−π
exp(−xm − x sin(t))
p
.
|E − 2 exp(2it) + 2mi exp(it)|
(147)
Man betrachte zuerst den Nenner des Integranden
|2 exp(2it) + 2mi exp(it)| ≤ |2 exp(2it)| + |2mi exp(it)| = 2 + 2m
p
p
⇒ |E − 2 exp(2it) + 2mi exp(it)| ≥ |E| − | 2 exp(2it) + 2mi exp(it)|
p
√
= E − |2 exp(2it) + 2mi exp(it)| ≥ E − 2 + 2m > 0, (für klein genug). (148)
R
Mithilfe der letzen Ungleichung können wir nun | ED dp F (p)| nach oben abschätzen
0
exp(−xm − x sin(t)
√
E − 2 + 2m
ED
−π
Z 0
√
= exp(−xm)
dt exp(−x sin(t)).
E − 2 + 2m −π
Z
|
Z
dp F (p)| ≤
dt
Das Integral von rechts konvergiert (monotone Konvergenz) gegen
Z 0
dt lim exp(−x sin(t)) = π.
−π
→0
Bachelorarbeit in theoretischer Physik
43
(149)
(150)
Hernando Sobrino
Dimensionale Regularisierung und asymptotische Freiheit des δ-Funktions-Potentials in
der relativistischen Quantenmechanik
Der Rest konvergiert gegen Null, und daher gilt
Z
lim
dp F (p) = 0.
→0
Als Nächstes zeigen wir, dass
Z
lim (lim(
R→+∞ →0
(151)
ED
Z
dp F (p))) = lim (lim(
R→+∞ →0
CxB
dp F (p))) = 0
(152)
AxF
gilt. Wir beweisen die Behauptung nur für den Schnitt C x B, denn für den anderen
würde man ganz analog vorgehen müssen. Wir parametrisieren C x B durch
hR : [0, arccos( )] → C x B, hR (t) := R exp(it),
R
und erhalten als Erstes
Z
Z
dp F (p)) = lim(
lim(
→0
CxB
→0
arccos( R
)
dt
F (hR (t))h0R (t))
Z
=
0
(153)
lim→0 arccos( R
)
dt F (hR (t))h0R (t)
0
Z
π
2
=
dt F (hR (t))h0R (t).
(154)
0
Jetzt müssen wir zeigen, dass das letztes Integral verschwindet, wenn R → +∞. Wir
haben
Z π
Z π
Z π
2
2
2
exp(−Rx sin(t))R
0
0
p
|
dt F (hR (t))hR (t)| ≤
dt |F (hR (t))||hR (t)| =
dt
.
|E − R2 exp(2it) + m2 |
0
0
0
(155)
Analog zu vorher, suchen wir eine positive untere Schranke für den Nenner des Integranden
p
p
p
|E − R2 exp(2it) + m2 | ≥ | R2 exp(2it) + m2 | − |E| = |R2 exp(2it) + m2 | − E
p
√
≥ |R2 exp(2it)| − |m2 | − E = R2 − m2 − E > 0, (für R gross genug)
(156)
Nun verwenden wir dieses Resultat, um eine obere Schranke für das Integral in (154) zu
finden
Z π
Z π
2
2
exp(−Rx sin(t))R
0
|
dt F (hR (t))hR (t)| ≤
dt √
R 2 − m2 − E
0
0
Z π
2
1
=q
dt exp(−Rx sin(t)).
(157)
E 0
m2
1 − R2 − R
Der Faktor vor dem Integral geht gegen 1, und das Integral konvergiert gegen (majorisierte
Konvergenz)
Z π
2
dt lim exp(−Rx sin(t)) = 0.
(158)
0
R→+∞
Bachelorarbeit in theoretischer Physik
44
Hernando Sobrino
Dimensionale Regularisierung und asymptotische Freiheit des δ-Funktions-Potentials in
der relativistischen Quantenmechanik
Weil die Integration über das Intervall (0, π2 ) läuft, ist sin(t) strikt positiv und der Integrand
geht daher gegen 0. Es bleibt uns nur noch, zu schauen, was mit den Schnittkurven C ↓ D
und E ↑ F passiert. Zunächst lassen wir gegen 0 gehen. Dafür betrachten wir zuerst
C ↓ D und parametrisieren es durch
√
(159)
h : [m, R2 − 2 ] → C ↓ D, h (t) := + it.
Wir haben
Z
√
Z
R2 −m2
dp F (p) = −
Z
dt F (h (t))h‘ (t) = −(
dt F (h (t))h‘ (t)
m
m
C↓D
R
Z
−
R
√
dt F (h (t))h‘ (t)).
(160)
R2 −2
Wir zeigen zuerst, dass das zweite Integral in (159) verschwindet, wenn gegen Null geht.
Betrachte dafür
Z R
Z R
Z R
exp(−xt)
p
| √
dt F (h (t))h‘ (t)| ≤ √
dt |F (h (t))||h‘ (t)| = √
dt
|E − h (t)2 + m2 |
R2 −2
R2 −2
R2 −2
Z R
Z R
exp(−xt)
exp(−xt)
≤ √
dt p
dt p
≤ √
2
2
|h (t) + m | − E
|h (t)|2 − m2 − E
R2 −2
R2 −2
Z R
Z R
exp(−xt)
exp(−xt)
dt √
≤ √
dt √
→ 0, wenn → 0. (161)
= √
t2 + 2 − m2 − E
t2 − m2 − E
R2 −2
R2 −2
Mit Hilfe von (159) und (160) ergibt sich
√
Z
Z
dp F (p) = − lim
lim
→0
R2 −m2
→0
C↓D
Z
R
= − lim
→0
m
Z
R
dt F (h (t))h‘ (t) = − lim
→0
m
i exp(ix − xt)
p
dt
=−
E − ( + it)2 + m2
Z
R
i exp(ix − xt)
p
.
→0 E −
( + it)2 + m2
dt lim
m
dt F (h (t))h‘ (t)
m
(162)
Wir gehen nun zurück zur Gleichung (142). Diese sagt uns, dass
√
z=
p
iarg(z)
|z| exp(
), für z 6= 0.
2
(163)
p
Dabei ist |z| =
Re(z)2 + Im(z)2 . Aber was ist arg(z) als Funktion von Re(z) und
Im(z)? Um dies zu beantworten, unterscheiden wir vier Fälle. Dabei schliessen wir die
Fälle Re(z) = 0 oder Im(z) = 0 aus.

Im(z)
wenn Re(z) > 0,

arctan( Re(z) ),
Im(z)
arg(z) = arctan( Re(z) ) + π, wenn Re(z) < 0 und Im(z) > 0,


arctan( Im(z)
) − π, wenn Re(z) < 0 und Im(z) < 0.
Re(z)
Bachelorarbeit in theoretischer Physik
45
Hernando Sobrino
Dimensionale Regularisierung und asymptotische Freiheit des δ-Funktions-Potentials in
der relativistischen Quantenmechanik
Wir definieren p := + it und z := p2 + m2 für ein festes t ∈ (m, R). Wie aus Abbildung 3
ersichtlich, liegt z für hinreichend kleines in dem Bereich, wo Re(z) < 0 und Im(z) > 0
gilt. Daher können wir die Wurzel im Nenner des Integranden von (161) als
p
√
( + it)2 + m2 = 2 − t2 + m2 + 2it
arctan( 2 −t2t
2 +m2 ) + π
= ( − t + m ) + (2t) ) exp(i
)
2
schreiben. Wenn wir dort gegen 0 gehen lassen, bleibt nur der Ausdruck
p
√
π
|m2 − t2 | exp(i ) = i t2 − m2
2
2
2
2 2
2
1
4
(164)
(165)
übrig. Somit liefert der Schnitt C ↓ D für ein festes R > 0 den Beitrag
Z
Z R
Z +R
i exp(ix − xt)
i exp(−xt)
p
√
lim
dp F (p) = −
dt lim
=−
dt
.
→0 C↓D
→0 E −
E − i t2 − m2
( + it)2 + m2
m
m
(166)
Mit dem Schnitt E ↑ F kann man ganz analog verfahren, und man erhält
Z
Z R
exp(ix(− + it))i
p
lim
dp F (p) = lim
dt
→0 E↑F
→0 m
E − (− + it)2 ) + m2
Z R
exp(ix(− + it))i
p
.
(167)
=
dt lim
→0 E −
(− + it)2 ) + m2
m
Mit p := − + it und z := p2 + m2 für ein festes t ∈ (m, R) gilt gemäss Abbildung 3, dass
für hinreichend kleines , z in dem Bereich liegt, wo Re(z) < 0 und Im(z) < 0 gilt. Daher
können wir die Wurzel im Nenner als
p
√
(− + it)2 + m2 = 2 − t2 + m2 − 2it
−2t
arctan( 2 −t
2 +m2 ) − π
)
2
schreiben. Wenn wir nach Null schicken, bleibt in diesem Fall der Ausdruck
√
√
π
t2 − m2 exp(−i ) = −i t2 − m2
2
1
= (2 − t2 + m2 )2 + (−2t)2 ) 4 exp(i
übrig. Somit liefert der Schnitt E ↑ F für ein festes R > 0 den Beitrag
Z
Z R
i exp(−xt)
√
.
lim
dp F (p) =
dt
→0 E↑F
E + i t2 − m2
m
(168)
(169)
(170)
Nun können wir die Beiträge von C ↓ D und E ↑ F addieren, und R gegen ∞ gehen lassen,
und wir erhalten
Z
Z
lim lim(
dp F (p) +
dp F (p))
R→+∞ →0
C↓D
Bachelorarbeit in theoretischer Physik
E↑F
46
Hernando Sobrino
Dimensionale Regularisierung und asymptotische Freiheit des δ-Funktions-Potentials in
der relativistischen Quantenmechanik
+R
Z R
i exp(−xt)
i exp(−xt)
√
√
dt
= lim (−
dt
+
)
R→+∞
E − i t2 − m2
E + i t2 − m2
m
m
√
Z R
exp(−xt) t2 − m2
)
= lim (2
dt
R→+∞
E 2 + t2 − m2
m
√
Z +∞
exp(−xt) t2 − m2
dt
=2
.
E 2 + t2 − m2
m
Z
Somit erhalten wir schliesslich für Ψ(x) mit x > 0 den Ausdruck
Z
A +∞
dp F (p)
Ψ(x) =
2π −∞
Z
Z
√
A
2
2
(2πiRes(F, i m − E ) − lim lim(
dp F (p) +
dp F (p)))
=
R→+∞ →0 C↓D
2π
E↑F
√
√
Z +∞
A
2πE exp(−x m2 − E 2 )
exp(−xt) t2 − m2
√
=
(−
−2
dt
)
2π
E 2 + t2 − m2
m2 − E 2
m
√
√
Z
E exp(−x m2 − E 2 ) 1 +∞ exp(−xt) t2 − m2
√
= −A(
+
dt
).
π m
E 2 + t2 − m2
m2 − E 2
(171)
(172)
Für den Fall x < 0 können wir ausnützen, dass Ψ gerade in x sein muss, weil Ψ̃ gerade in
p ist. Daher gilt für eine negative Zahl x, dass Ψ(x) = Ψ(−x) = Ψ(|x|), wobei man den
Ausdruck für Ψ(|x|) erhält, wenn man x durch |x| in Gleichung (171) ersetzt. Für eine
positive Zahl x gilt stets x = |x|, und daher bleibt in diesem Fall die Gleichung (171) auch
gültig, wenn man dort |x| statt x schreibt. Mit anderen Worten, wir können Ψ auf ganz R
schreiben als
√
√
Z
E exp(−|x| m2 − E 2 ) 1 +∞ exp(−|x|t) t2 − m2
√
Ψ(x) = −A(
+
dt
).
(173)
π m
E 2 + t2 − m2
m2 − E 2
In Abbildung 5 zeigt sich ein numerisches Beispiel von (173) mit E = 2m, und A =
−|A|, und x in (−5, +5) in Einheiten von E. Wie in der Abbildung ersichtlich ist, gilt
limx→0 Ψ(x) = ∞, weil das auftretende Integral divergent wird, falls x = 0.
3.2
Streuzustände des relativistischen Hamilton Operators
Wir suchen nun die Steuzustände. Im relativistischen Fall bedeutet dies Lösungen mit
Energien E > m. Analog zum nicht-relativistischen Fall suchen wir gerade und ungerade
Lösungen, und konstruieren die allgemeine Lösung durch eine Linearkombination. Beginnen wir mit der geraden Lösung. Wir schreiben nochmals Gleichung (110)
p
m2 + p2 Ψ̃(p) + λΨ(0) = E Ψ̃(p).
(174)
Bachelorarbeit in theoretischer Physik
47
Hernando Sobrino
Dimensionale Regularisierung und asymptotische Freiheit des δ-Funktions-Potentials in
der relativistischen Quantenmechanik
Figure 5: Plot der Wellenfunktion des gebundenen Zustandes des relativistischen Hamilton
Operators.
Dabei ist λ = λ(EB , ) gegeben durch (135), für ein fixes EB ∈ (0, m). Dort machen wir
folgenden Ansatz
√
Ψ(p) = δ(p − k) + δ(p + k) + φ̃(p), k := E 2 − m2 ,
und suchen φ̃
p
p
p
p
√
√
p2 + m2 Ψ̃(p) = p2 + m2 δ(p− E 2 − m2 )+ p2 + m2 δ(p+ E 2 − m2 )+ p2 + m2 φ̃(p)
p
√
√
+ λΨ(0) = Eδ(p − E 2 − m2 ) + Eδ(p + E 2 − m2 ) + p2 + m2 φ̃(p) + λΨ(0)
p
√
√
= E(δ(p − E 2 − m2 ) + δ(p + E 2 − m2 )) + p2 + m1 φ̃(p) + λΨ(0)
√
√
=! E Ψ̃(p) = E(δ(p − E 2 − m2 ) + δ(p + E 2 − m2 )) + E φ̃(p)
p
λΨ(0)
p
⇒ p2 + m2 φ̃(p) + λΨ(0) = E φ̃(p) ⇒ φ̃(p) =
.
(175)
E − p2 + m 2
Den Term Ψ(0) können wir nun als Funktion von φ(0) ausdrücken
Z +∞
Z +∞
Z +∞
√
√
1
1
1
2
2
Ψ(0) =
dp Ψ̃(p) =
dp δ(p − E − m ) +
dp δ(p + E 2 − m2 )
2π −∞
2π −∞
2π −∞
Bachelorarbeit in theoretischer Physik
48
Hernando Sobrino
Dimensionale Regularisierung und asymptotische Freiheit des δ-Funktions-Potentials in
der relativistischen Quantenmechanik
1
=+
2π
Z
+∞
dp φ̃(p)
−∞
λ( π1 + φ(0))
1
1
1
p
+
+ φ(0) = + φ(0) ⇒ φ̃(p) =
.
2π 2π
π
E − p2 + m 2
(176)
Nun können wir eine Gleichung für φ(0) ableiten, indem wir φ(x) durch seine Fouriertransformation ausdrücken, und diese an der Stelle x = 0 auswerten
Z +∞
Z
λ( π1 + φ(0)) +∞
exp(ipx)
1
p
dp φ̃(p) exp(ipx) =
dp
φ(x) =
2π −∞
2π
E − p2 + m2
−∞
Z
λ( π1 + φ(0)) +∞
1
p
⇒ φ(0) =
.
(177)
dp
2π
E − p2 + m 2
−∞
R +∞
1
√1
dp
Wir definieren I(E) := 2π
und lösen Gleichung (176) nach φ(0) auf
−∞
2
2
E−
p +m
φ(0) =
λI(E)
.
π(1 − λI(E))
(178)
Analog zur Gleichung (122) können wir I(E) in ein konvergentes und ein divergentes Integral zerlegen
Z +∞
Z +∞
1
1
1
1
1
p
p
I(E) =
dp
=
dp (
+p
)
2π −∞
2π −∞
E − p2 + m2
E − p2 + m2
p2 + m2
Z +∞
1
1
.
(179)
−
dp p
2π −∞
p2 + m2
1
Für das erste Integral haben wir die Lösung (bis auf einem fehlenden Faktor 2π
) bereits in
2
2
Gleichung (123), als wir den Fall E − m > 0 betrachteten. Für das divergente Intergral
verwenden wir unser Resultat aus Gleichung (134)
√
E + E 2 − m2
1
γ − ln(4π)
E
√
ln(
)+
+
+ O().
(180)
I(E) = √
π
2π
2π E 2 − m2
E − E 2 − m2
Wir müssen nun zeigen, dass φ̃(p) schliesslich nur von E und EB abhängt. Dafür führen
wir noch ein paar weitere Definitionen ein
Z +∞
1
1
p
λ̃(E, EB ) := λ(EB , )(1 + πφ(0)), I(EB ) :=
dp
2π −∞
EB − p2 + m2
=−
E
1
γ − ln(4π)
EB
p B
) + π) +
+
+ O(),
(2 arcsin(
2
m
π
2π
2π m2 − EB
(181)
und drücken φ̃(p) durch diese neuen Grössen aus
φ̃(p) =
Bachelorarbeit in theoretischer Physik
λ̃(E, EB )
p
.
π(E − p2 + m2 )
49
(182)
Hernando Sobrino
Dimensionale Regularisierung und asymptotische Freiheit des δ-Funktions-Potentials in
der relativistischen Quantenmechanik
Unsere Aufgabe ist nun, zu zeigen, dass die -Abhängigkeit in λ̃ tatsächlich verschwindet.
Aus Gleichung (135) haben wir
Z +∞
1
1
1
p
=
.
(183)
I(EB ) =
dp
2
2
2π −∞
λ(EB , )
EB − p + m
Mit obiger Beziehung lässt sich die λ-Abhängigkeit in λ̃ eliminieren, und wir erhalten
λ̃(E, EB ) = λ(1 + πφ(0)) = λ(1 + π
=
λI(E)
1
I(E)
1
)=
(1 + π(
))
π(1 − λI(E))
EB
I(EB ) π(1 − λI(E))
1
1
=
I(EB ) − I(E)
− √EB2
(2 arcsin( EmB )
2
m −EB
2π
+ π) −
√E
2π E 2 −m2
√
2
2
E+√E −m
ln( E−
)
E 2 −m2
.
(184)
Wir fassen unsere gerade Lösung in einer Gleichung zusammen
Ψ̃(p) = δ(p − k) + δ(p + k) +
λ̃(E, EB ) = −
√
λ̃(E, EB )
A
p
; k := E 2 − m2 , A =
,
2
2
π
E− p +m
2π
EB
(2 arcsin( EmB )
2
m2 −EB
√
+ π) +
√ E
E 2 −m2
√
2
2
E+√E −m
ln( E−
)
E 2 −m2
.
(185)
Wir betrachten kurz den Term im Nenner von λ̃, welcher von der Energie E abhängt. Wir
können diese umschreiben als
q
2
√
1+ 1− m
E + E 2 − m2
1
E
E2
√
√
q
ln(
)= q
ln(
).
(186)
2
2
E 2 − m2
E − E 2 − m2
1− m
1− 1− m
E2
E2
Wir sehen nun, dass dieser unendlich gross wird, wenn die Energie gegen ∞ geht. Daher
gilt
lim λ̃(E, EB ) = 0.
(187)
E→∞
E
In Abbildung 6 zeigen wir ein numerisches Beispiel von λ̃(E, EB ) im Berreich von m
∈
(1, 10) und mit dem Zusammenhang EB = 0.5m. Die Eigenschaft, dass λ̃ gegen Null konvergiert, wenn die Energie gegen Unendlich geht, nennt man ”asyptotische Freiheit”. Diese
Eigenschaft besitzt eine Interpretation im Modell eines Teilchens der Masse m, welches
mit einem viel massiveren zweiten Teilchen, das im Punkt x = 0 sitzt (und die δ-Barriere
darstellt), wechselwirkt. Die Konstante λ̃ stellt die ”Kopplungskonstante” des Systems
dar. Wenn diese gross ist, bedeutet es, dass die Wechselwirkung stark ist: Das Teilchen
der Masse m spürt das Vorhandensein des unendlich schweren Teilchens. Wenn die Energie des Teilchens gross wird, E → ∞, wird dieses den Einfluss des unendlich schweren
Teilchens sehr wenig spüren, und daher λ̃ → 0.
Bachelorarbeit in theoretischer Physik
50
Hernando Sobrino
Dimensionale Regularisierung und asymptotische Freiheit des δ-Funktions-Potentials in
der relativistischen Quantenmechanik
Figure 6: Plot der Kopplungskosntante λ̃(E, EB ).
Wir definieren die ”β-Funktion” als
β(E, λ̃(E, EB )) := E
∂|λ̃(E, EB )|
.
∂E
(188)
Diese bestimmt, wie stark sich die Kopplung zwischen den Teilchen ändert, wenn die Energie des leichten Teilchens verändert wird. Nun versuchen wir diese Funktion zu berechnen. Zuerst beachten wir, dass der Betrag von λ̃(E, EB ) wie folgt geschrieben werden
kann
1
,
|λ̃(E, EB )| = −λ̃(E, EB ) =
F (E) − G(EB )
√
E
E + E 2 − m2
√
F (E) := √
ln(
),
2π E 2 − m2
E − E 2 − m2
EB
EB
G(EB ) := − p
(2
arcsin(
) + π).
(189)
m
2π m2 − EB2
Jetzt können wir nach E ableiten, und erhalten
∂|λ̃(E, EB )|
1
= F 0 (E)(−
) = −F 0 (E)λ̃2 (E, EB ).
∂E
(F (E) − G(EB ))2
Bachelorarbeit in theoretischer Physik
51
(190)
Hernando Sobrino
Dimensionale Regularisierung und asymptotische Freiheit des δ-Funktions-Potentials in
der relativistischen Quantenmechanik
Somit reicht es, die Funktion F abzuleiten
√
√
E
+
E 2 − m2
2
√
)).
E 2 − m2 − m ln(
F (E) =
3 (2E
E − E 2 − m2
2π(E 2 − m2 ) 2
0
1
(191)
Schliesslich erhalten wir für die β-Funktion
∂|λ̃(E, EB )|
= −EF 0 (E)λ̃2 (E, EB )
∂E
√
√
E + E 2 − m2
E
2
√
=
) − 2E E 2 − m2 )λ̃2 (E, EB ).
3 (m ln(
E − E 2 − m2
2π(E 2 − m2 ) 2
β(E, λ̃(E, EB )) = E
(192)
Abbildung 7 zeigt eine Kurve in zwei Dimensionen, wo der freie Parameter die Energie E
ist. Die Abszisse und die Ordinate eines Punktes der Kurve entsprechen jeweils λ̃(E) und
β(E) für einen festen Wert von E. Dabei hat man die Beziehung EB = 0.5m fixiert, und die
Energie E zwischen 1 und 100 (in Einheiten von m) variiert. Nun können wir versuchen,
Figure 7: Plot der zweidimensionalen Kurve (λ̃(E), β(E)).
die gerade Lösung im Ortsraum zu berechnen, indem wir Ψ̃ rücktransformieren. Zunächst
transformieren wir die δ-Funktionen
Z +∞
Z +∞
1
1
dp δ(p − k) exp(ipx) +
dp δ(p − k) exp(ipx)
2π −∞
2π −∞
Bachelorarbeit in theoretischer Physik
52
Hernando Sobrino
Dimensionale Regularisierung und asymptotische Freiheit des δ-Funktions-Potentials in
der relativistischen Quantenmechanik
1
1
1
exp(ikx) +
exp(−ikx) = cos(kx).
(193)
2π
2π
π
Nun transformieren wir den übrigen Term. Dafür fixieren wir
R +∞zunächst ein x > 0, und
A
√
definieren F (p) := exp(ipx)
.
Somit
sind
wir
also
an
I
=
dp F (p) interessiert. Im
2π −∞
2
2
=
E−
p +m
Gegegensatz zum gebundenen Fall, wo die Energie EB im Intervall (0, m) war, haben wir
nun eine Energie E im Intervall (m, +∞), und daher übertragen
sich die Pole von F auf
√
2
2
die reelle Achse, nämlich an den Stellen po± = ±k = ± E − m . Wir können in diesem
Fall analog zu vorher vorgehen, indem wir Zahlen R, > 0 fixieren, eine geschlossene
Kurve γR, innerhalb des wohldefinierten und holomorphen Bereichs von F konstruieren,
den Residuensatz anwenden, und dann gegen 0 und R gegen +∞ schicken. Wir haben
pi
J
G
im
I
e
H
R
pr
A
B
-k
C
D
+k
E
F
Figure 8: geschlossene Kurve γR, .
in diesem Fall die Kurve so konstruiert, dass die Pole von F sich ausserhalb der Kurve
befinden. Somit muss das Integral entlang der Kurve Null ergeben
Z
Z
Z
Z
0=
dp F (p) = (
dp F (p) +
dp F (p) +
dp F (p))
A→B
γR,
Z
+(
C→D
Z
dp F (p) +
ByC
E→F
Z
dp F (p)) +
DyE
dp F (p).
(194)
AxF
Nun müssen wir zuerst gegen Null und dann R gegen +∞
R +∞ gehen lassen. Die drei ersten
Integrale in Klammern ergeben was wir suchen, nämlich −∞ dp F (p). Die Integrale in der
zweiten Klammer hängen nur von ab. Schicken wir gegen Null, so liefern diese (analog
zu einer Aufgabe in Abschnitt 2) den Beitrag −iπ(Res(F, −k) + Res(F, +k)). Um diese
Residuen zu berechnen, schreiben wir F wie folgt um
p
p
exp(ipx)(E + p2 + m2 )
exp(ipx)(E + p2 + m2 )
exp(ipx)
p
√
√
=
=−
F (p) =
E 2 − p2 − m 2
(p + E 2 − m2 )(p − E 2 − m2 )
E − p2 + m 2
Bachelorarbeit in theoretischer Physik
53
Hernando Sobrino
Dimensionale Regularisierung und asymptotische Freiheit des δ-Funktions-Potentials in
der relativistischen Quantenmechanik
p
exp(ipx)(E + p2 + m2 )
.
=−
(p + k)(p − k)
(195)
Nun lassen sich die Residuen leicht berechnen
p
exp(ipx)(E + p2 + m2 )
Res(F, k) = lim (p − k)F (p) = lim (−
)
p→k
p→k
p+k
√
√
exp(ikx)(E + k 2 + m2 )
exp(ix E 2 − m2 )E
√
=−
=−
,
2k
E 2 − m2
p
exp(ipx)(E + p2 + m2 )
Res(F, −k) = lim (p + k)F (p) = lim (−
)
p→−k
p→−k
p−k
p
√
exp(−ikx)(E + (−k)2 + m2 )
exp(−ix E 2 − m2 )E
√
=−
=
.
−2k
E 2 − m2
Addieren wir beide Terme, so erhalten wir den Beitrag
Z
Z
lim(
dp F (p) +
dp F (p)) = −iπ(Res(F, −k) + Res(F, +k))
→0
ByC
(196)
DyE
√
2πE sin(x E 2 − m2 )
√
=−
.
E 2 − m2
(197)
Für den Schnitt A x F erhalten wir (ganz analog wie bei der vorherigen Aufgabe) den
Beitrag
√
Z +∞
Z
exp(−xt) t2 − m2
dt
.
(198)
lim lim
dp F (p) = 2
R→+∞ →0 AxF
E 2 + t2 − m2
m
Mit Gleichung (193) erhalten wir nun
√
√
Z +∞
Z +∞
2πE sin(x E 2 − m2 )
exp(−xt) t2 − m2
√
dp F (p) = −(−
dt
+2
).
E 2 + t2 − m2
E 2 − m2
−∞
m
(199)
Jetzt haben wir alle Teilstücke berechnet, die wir für die Berechnung von Ψ(x) brauchen.
Weil diese Funktion gerade ist, können wir dieses Resultat auf ganz R verallgemeinern,
indem wir x durch |x| ersetzen. Wir erhalten somit
√
Z
1
λ̃(E, EB ) E sin(k|x|) 1 +∞ exp(−|x|t) t2 − m2
Ψ(x) = cos(kx) +
(
−
dt
),
π
π
k
π m
k 2 + t2
√
k := E 2 − m2 .
(200)
Nun suchen wir die ungerade Lösung im Impulsraum. Dafür schreiben wir nochmals
die Schrödinger Gleichung
p
m2 + p2 Ψ̃(p) + λΨ(0) = E Ψ̃(p).
(201)
Bachelorarbeit in theoretischer Physik
54
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Dimensionale Regularisierung und asymptotische Freiheit des δ-Funktions-Potentials in
der relativistischen Quantenmechanik
Dabei ist wieder E > m und λ = λ(EB , ) gegeben durch (135), für eine fixe Energie im
Intervall EB ∈ (0, m). Wir machen dort den Ansatz
√
(202)
Ψ̃(p) = δ(p − k) − δ(p + k); k := E 2 − m2 .
Schauen wir, was sich daraus ergibt
p
p
p
m2 + p2 Ψ̃(p) + λΨ(0) = m2 + p2 δ(p − k) − m2 + p2 δ(p + k) + λΨ(0)
p
√
= m2 + k 2 δ(p − k) − m2 + (−k)2 δ(p + k) + λΨ(0)
= Eδ(p − k) − Eδ(p + k) + λΨ(0) = E Ψ̃(p) + λΨ(0) =! E Ψ̃(p).
(203)
Unser Ansatz ist also genau dann eine Lösung, wenn ihre Fourierrücktransformation Ψ
im Ortsraum an der Stelle x = 0 den Wert 0 ergibt. Wir berechnen also Ψ, und falls
diese die Bedingung Ψ(0) = 0 erfüllt, ist unser Ansatz in (201) tatsächlich eine Lösung der
Schrödinger Gleichung (200)
Z +∞
Z +∞
1
1
Ψ(x) =
dp Ψ̃(p) exp(ipx) =
dp δ(p − k) exp(ipx)
2π −∞
2π −∞
Z +∞
1
1
1
i
−
dp δ(p + k) exp(ipx) =
exp(ixk) −
exp(−ixk) = sin(kx).
(204)
2π −∞
2π
2π
π
Weil sin(0) = 0, ist unser Ansatz aus (201) tatsächlich eine Lösung. Jetzt haben wir
eigentlich alle Lösungen der relativistischen Schrödinger Gleichung (110) gefunden. Diese
Gleichung führt zur Gleichung (112), wo ein divergentes Integral auftritt. Dies zwingt uns
dazu, einen ”Trick” anzuwenden: Wir zerlegen das Integral in einen konvergenten und
einen divergenten Teil. Das divergente Integral, eigentlich ein eindimensionales Integral,
bringen wir in eine Dimension D 6= 1, so dass nun das Integral konvergiert und sich explizit auswerten lässt. Der erhaltende Ausdruck ist nun eine Funktion von D und des
Energie-Eigenwerts E des Hamilton Operators in (110). Das Resultat ist gültig, solange
D im Intervall [0, 1) liegt, und daher dürfen wir D durch 1 + ersetzen, wobei eine
negative Zahl ist, die beliebig nahe bei 0 liegen darf. Wenn wir gegen Null schicken,
wird unser Ausdruck unendlich gross, in perfekter Konsistenz mit der Tatsache, dass unser
ursprüngliches eindimensionales Integral divergent war. Dieses Verfahren nennt man ”Dimensionale Regularisierung”. Wir lassen diesen Ausdruck fix, und dadurch fixieren wir
auch den Parameter λ, welcher nach (112) von E und abhängen wird. Wir wählen die
Energie E im Intervall (0, m), so dass der Zustand, dessen Wellenfunktion im Impulsraum durch (111) gegeben ist, ein gebundener Zustand wird. Ab nun bezeichnen wir diese
Energie mit EB , um die Tatsache, dass sie dem gebundenen Zustand entspricht, zu betonen. Diese Festlegung einer Energieskala, im Bezug auf welche die Theorie formuliert
wird, nennt man ”Renormierung”. Nachdem wir den Parameter λ fixiert und dadurch
die Schrödinger Gleichung vollständig definiert haben, suchen wir neue Lösungen dieser
Gleichung mit einer Energie E, die diesmal im Bereich (m, +∞) liegen soll. Im Gegensatz
zum vorherigen Fall, und in Analogie zum nicht-relativistischen Fall, ist nun λ wieder der
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Dimensionale Regularisierung und asymptotische Freiheit des δ-Funktions-Potentials in
der relativistischen Quantenmechanik
”Input”, und die Energie E und deren Wellenfunktionen sind der ”Output”. Diese neuen
Zustände sind ”Streuzustände”, und wie im nicht-relativistischen Fall besteht deren allgemeine Lösung aus einer Linearkombination aus einem geraden und einem ungeraden Term.
Wie im nicht-relativistischen Problem, sollten Lösungen verschiedener Energien zueinander
orthogonal sein. Wir können diese Eigenschaft nun verifizieren. Zu diesem Zweck, fassen
wir die bisherigen Resultate zusammen. Die Schrödingergleichung im Impulsraum sieht
folgendermassen aus
p
p2 + m2 Ψ̃(p) + λΨ(0) = E Ψ̃(p).
(205)
Dabei ist λ ein Parameter, welcher von einer fixierten Energie EB ∈ (0, m) und einem
∈ (−1, 0) folgendermassen abhängt
λ = λ(, EB ) =
F (EB ) := −
1
,
F (EB ) + G()
EB
E
1
γ − ln(4π)
p B
(2 arcsin(
+ π)) G() :=
+
+ O(). (206)
2
2
m
π
2π
2m m − EB
Wie im nicht-relativistischen Problem besteht die Menge der Lösungen von (204) aus einer
eindeutigen Lösung mit Energie E = EB , welche dem gebundenen Zustand entspricht, und
einer Schar von Lösungen mit einer beliebigen Energie E im Intervall (m, +∞), welche
Streuzustände sind. Die Lösung des gebundenen Zustandes lässt sich wie folgt schreiben
3
A
π(m2 − EB2 ) 2
p
p
Ψ̃(p) =
; |A|2 =
2
EB m2 − EB2 + m2 π + m2 arctan( √
EB − p2 + m2
EB
)
2
m2 −EB
m
p
√
Z
EB exp(−|x| m2 − EB2 ) 1 +∞ exp(−|x|t) t2 − m2
p
Ψ(x) = −A(
dt
+
).
π m
EB2 + t2 − m2
m2 − EB2
,
(207)
Für jede fixe Energie E in (m, +∞) gibt es eine Schar von Lösungen zu (204), welche
Streuzuständen entsprechen. Die Wellenfunktion jedes einzelnen Streuzustands ist eine
lineare Kombination (im Orts- oder im Impulsraum) von einer geraden und einer ungeraden
Wellenfunktion, welche allein auch Lösungen derselben Energie E sind. Die gerade Lösung
lässt sich schreiben als
Ψ̃G (p) = δ(p −
√
E 2 − m2 ) + δ(p +
λ̃(E, EB ) := −
√
E 2 − m2 ) + Φ̃(p), Φ̃(p) :=
2π
E
EB (2 arcsin( mB )+π)
2 −m2
EB
√
+
√ E
E 2 −m2
λ̃(E, EB )
p
,
π(E − p2 + m2 )
,
√
E+√E 2 −m2
ln( E− E 2 −m2 )
m
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Dimensionale Regularisierung und asymptotische Freiheit des δ-Funktions-Potentials in
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√
Z
λ̃(E, EB ) E sin(k|x|) 1 +∞ exp(−|x|t) t2 − m2
1
ΨG (x) = cos(kx) +
(
−
dt
),
π
π
k
π m
k 2 + t2
√
k := E 2 − m2 .
(208)
(209)
Die ungerade Lösung lässt sich wie folgt schreiben
Ψ̃U (p) = δ(p − k) − δ(p + k); k :=
√
E 2 − m2 ,
m
i
sin(kx).
(210)
π
Der gebundene Zustand sollte orthogonal zu jedem Steeuzustand sein, und zwei Streuzustände verschiedener Energien sollten auch zueinander orthogonal sein. Wegen der Linearität des Skalarprodukts reicht es nachzuprüfen, dass der gebundene Zustand gleichzeitig
zu jeder geraden Lösung und zu jeder ungeraden Lösung orthogonal ist. Der gebundene
Zustand ist gerade, und somit ist die Orthogonalität zu ungeraden Streuzuständen automatisch erfüllt. Um die Orthogonalität zwischen dem gebundenen Zustand und den
geraden Streuzuständen nachzuprüfen, lassen wir uns zuerst daranR erinnern, dass die Kon+∞
1
1
√1
schreiben lässt, wobei I(EB ) = 2π
dp
stante λ̃ sich als I(EB )−I(E)
und
−∞
EB − p2 +m2
R
+∞
1
√1
dp
I(E) = 2π
. Somit erhält man
−∞
2
2
ΨU (x) =
E−
p +m
hΨ̃|Ψ̃G i = hΨ̃|δ(p −
=
1
+
2π
Z
1
+
2π
√
√
E 2 − m2 )i + hΨ̃|δ(p − E 2 + m2 )i + hΨ̃|Φ̃i
1 ∗ √ 2
1 ∗ √ 2
Ψ̃ ( E − m2 ) +
Ψ̃ (− E − m2 )
2π
2π
+∞
dp
−∞
Z
A∗ λ̃
(EB −
+∞
dp
−∞
=
p
A∗
p
=
π(EB − E)
p2 + m2 )π(EB − p2 + m2 )
1
1
A∗ λ̃
1
p
p
−
)
(
π E − EB EB − p2 + m2 E − p2 + m2
A∗
1 A∗ λ̃
1
+
(2πI(EB ) − 2πI(E))
π(EB − E) 2π π E − EB
=
A∗
1 A∗ λ̃
1
1
+
2π = 0.
π(EB − E) 2π π E − EB λ̃
(211)
Um die Orthogonalität zwischen Streuzuständen verschiedener Energien nachzuprüfen, reicht es (wegen der Liniearität des Hamilton Operators), die rein gerade Lösung und die
rein ungerade Lösung zu betrachten. Ungerade und gerade Lösungen sind automatisch
orthogonal zueinander, und daher müssen wir nur die Orthogonalität zwischen zwei geraden Lösungen verschiedener Energien, und diejenige zwischen zwei ungeraden Lösungen
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Dimensionale Regularisierung und asymptotische Freiheit des δ-Funktions-Potentials in
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verschiedener Energien nachprüfen. Seien also zuerst Ψ̃U und Ψ̃0U zwei ungerade Lösungen
der Energien E1 und E2 , wobei also E1 6= E2 . Ihr Skalarprodukt ergibt
q
q
q
q
0
2
2
2
2
2
2
hΨ̃U |Ψ̃U i = hδ(p − E1 − m )|δ(p − E2 − m )i − hδ(p − E1 − m )|δ(p + E22 − m2 )i
q
q
q
q
2
2
2
2
2
2
− hδ(p + E1 − m )|δ(p − E2 − m )i + hδ(p + E1 − m )|δ(p + E22 − m2 )i
q
q
q
q
1
1
2
2
2
2
2
2
=
δ( E1 − m − E2 − m ) −
δ( E1 − m + E22 − m2 )
2π
2π
q
q
q
q
1
1
2
2
2
2
2
2
δ(− E1 − m − E2 − m ) +
δ(− E1 − m + E22 − m2 )
−
2π
2π
q
q
q
q
1
2
2
2
2
2
2
(212)
= (δ( E1 − m − E2 − m ) − δ( E1 − m + E22 − m2 )).
π
Der Wert in der δ-Funktion ist im zweiten Fall strikt positiv und im ersten wegen E1 6= E2
auch von Null verschieden, und daher ist das Ergebniss als Null zu vestehen. Es fehlt uns
nur, die Orthogonalität zwischen zwei geraden Streuzuständen mit verschiedenen Energien
nachzuprüfen. Dafür seien Ψ̃G und p
Ψ̃0G zwei solche Zustände mit Energien E1 und E2 ,
wobei E1 6= E2 . Wir definieren ki := Ei2 − m2 für i = 1, 2, und erhalten
hΨ̃G |Ψ̃0G i = hδ(p − k1 )|Ψ̃0G i + hδ(p + k1 )|Ψ̃0G i + hΦ̃|Ψ̃0G i
1 0
1 0
Ψ̃G (k1 ) +
Ψ̃ (−k1 ) + hΦ̃|δ(p − k2 )i + hΦ̃|δ(p + k2 )i + hΦ̃|Φ̃0 i
2π
2π G
1
1 ∗
1 ∗
= Ψ̃0G (k1) +
Φ̃ (k2 ) +
Φ̃ (−k2 ) + hΦ̃|Φ̃0 i
π
2π
2π
1
1
1
1
= δ(k1 − k2 ) + δ(k1 + k2 ) + Φ̃0 (k1 ) + Φ̃∗ (k2 ) + hΦ̃|Φ̃0 i.
(213)
π
π
π
π
Wir zeigen nun, dass die drei letzten Summanden sich wegkürzen. Man betrachte zuerst
=
λ̃(E2 , EB )
,
π(E2 − E1 )
(214)
λ̃∗ (E1 , EB )
λ̃(E1 , EB )
=
.
π(E1 − E2 )
π(E1 − E2 )
(215)
Φ̃0 (k1 ) =
und analog
Φ̃∗ (k2 ) =
Nun berechnen wir den letzten Term in (212)
Z +∞
Z +∞
1
1
0
∗
0
hΦ̃|Φ̃ i =
dp Φ̃ (p)Φ̃ (p) =
dp Φ̃(p)Φ̃0 (p)
2π −∞
2π −∞
λ̃(E1 , EB )λ̃(E2 , EB )
=
2ππ 2
Z
+∞
dp
−∞
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1
p
p
(E1 − p2 + m2 )(E1 − p2 + m2 )
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λ̃(E1 , EB )λ̃(E2 , EB )
1
=
2
2ππ
E1 − E2
=
=
Z
+∞
dp (
−∞
1
1
p
p
−
)
E2 − p2 + m2 E2 − p2 + m2
λ̃(E1 , EB )λ̃(E2 , EB )
(I(E2 ) − I(E1 ))
π 2 (E1 − E2 )
λ̃(E1 , EB )λ̃(E2 , EB )
((I(E2 ) − I(EB )) − (I(E1 ) − I(EB )))
π 2 (E1 − E2 )
=
=
λ̃(E1 , EB )λ̃(E2 , EB )
(I(E2 ) − I(E1 ))
π 2 (E1 − E2 )
λ̃(E1 , EB )λ̃(E2 , EB )
1
1
(−
+
)
2
π (E1 − E2 )
λ̃(E2 , EB ) λ̃(E1 , EB )
λ̃(E1 , EB )
λ̃(E2 , EB )
Φ̃∗ (k2 ) Φ̃0 (k1 )
=− 2
+
=−
−
.
π (E1 − E2 ) π 2 (E1 − E2 )
π
π
(216)
Dies zeigt also, dass
1
(δ(k1 − k2 ) + δ(k1 + k2 )).
(217)
π
Der Wert in der zweiten δ-Funktion ist strikt positiv und der erste ist auch von Null verschieden, denn E1 6= E2 impliziert k1 6= k2 . Daher lässt sich das letzte Resultat wieder als
Null interpretieren. Wie im nicht-relativistischen Fall kann man hier auch einen speziellen
Typ von Streuzustand konstruieren, aus welchem sich ein Transmissions- und ein Reflexionskoeffizient ablesen lassen. Um diese Lösung zu konstruieren, führen wir als Erstes
einige Definitionen ein
Z +∞ √ 2
√
1
t − m2
dt 2
exp(−t|x|).
(218)
k := E 2 − m2 ; X (x) :=
π m
t + k2
√
Mit dieser Definitionen lässt sich die Energie E als k 2 + m2 schreiben, und man kann die
gerade und die ungerade Lösung wie folgt umschreiben
√
k 2 + m2
ΨG (x) = cos(kx) + λ̃
sin(k|x|) − λ̃X (x); ΨU (x) = sin(kx).
(219)
k
hΨ̃G |Ψ̃0G i =
Wir untersuchen eine Lösung der Form
(
exp(ikx) + R(k) exp(−ikx) + C(k)λ̃X (x), falls x ≥ 0,
Ψ(x) =
T (k) exp(ikx) + C(k)λ̃X (x),
falls x < 0.
(220)
Wenn wir das schaffen könnten, dürften wir T (k) und R(k) jeweils als Transmissions- und
Reflexionskoeffizient interpretieren. Wir wissen, wenn so eine Lösung existieren würde,
müssten wir sie als lineare Kombination A(k)ΨG + B(k)ΨU der geraden und ungeraden
Lösungen schreiben können. Daher fordern wir diese Eigenschaft und versuchen, durch
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Koeffizientenvergleich alle unbekannten Koeffizienten, unter anderem T (k) und R(k), zu
bestimmen. Für x > 0 erhalten wir
√
k 2 + m2
!
sin(kx)−A(k)λ̃X (x)
Ψ(x) = T (k) exp(ikx)+C(k)λ̃X (x) = A(k) cos(kx)+A(k)λ̃
k
+ B(k) sin(kx).
(221)
und cos(kx) = 21 (exp(ikx)−exp(−ikx)),
√
k 2 + m2 B(k)
A(k)
− A(k)λ̃
−
)
exp(ikx)(T (k) −
2
2ik
2i
√
A(k) A(k)λ̃ k 2 + m2 B(k)
+ exp(−ikx)(−
+
+
) + X (x)(C(k)λ̃ + A(k)λ̃) =! 0. (222)
2
2ik
2i
Die letzte Gleichung muss erfüllt sein, und zwar für alle x > 0 gleichzeitig. Dies ist genau
dann der Fall, wenn die drei Ausdrücke in Klammern, welche von x unabhängig sind, alle
0 sind. Wir können in derselben Weise vorgehen für x < 0, und erhalten
√
k 2 + m2 B(k)
A(k)
− A(k)λ̃
+
)
exp(ikx)(R(k) −
2
2ik
2i
√
A(k) A(k)λ̃ k 2 + m2 B(k)
+ exp(−ikx)(1 −
+
−
) + X (x)(C(k)λ̃ + A(k)λ̃) =! 0. (223)
2
2ik
2i
Die Koeffizienten von X (x) in den letzten beiden Gleichungen sind identisch, und daher
erhalten wir insgesamt fünf verschiedene lineare Gleichungen für gleich viele Unbekannte:
A(k), B(k), T (k), R(k) und C(k). Wir geben hier direkt das Resultat an
Wir schreiben sin(kx) =
und erhalten
1
(exp(ikx)−exp(−ikx))
2i
A(k) =
ik
√
,
ik − λ̃ k 2 + m2
B(k) = i,
ik
√
,
ik − λ̃ k 2 + m2
√
λ̃ k 2 + m2
√
R(k) =
,
ik − λ̃ k 2 + m2
ik
√
T (k) =
.
(224)
ik − λ̃ k 2 + m2
Wie leicht nachgeprüft werden kann, erfüllen die Transmissions- und die Reflexionskoeffizienten, analog zum nicht-relativistischen Fall, die Bedingung
C(k) = −
|T |2 + |R|2 = 1.
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(225)
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Dimensionale Regularisierung und asymptotische Freiheit des δ-Funktions-Potentials in
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4
Schlussfolgerung
Die Ergebnisse aus dem letzten Abschnitt sind konsistent mit denjenen, die man für das
1-dimensionale δ-Funktions-Potential als selbst-adjugierte Erweiterung des Hamilton Operators erwarten würde. Die Methode der dimensionalen Regularisierung stellt ein effizientes
Lösungsverfahren für das Problem dar, und dabei bleiben die Grundeigenschaften des
Hamilton Operators (z. Beispiel: Orthogonalität der Eigenfunktionen verschiedener Energien) unangetastet. In Analogie zur Quantenfeldtheorie, in der das Verfahren die Berechnung der Wechselwirkung von Quarks und Gluonen erlaubt und dabei die Eigenschaft der
asymptotischen Freiheit der Quantenchromodynamik (QCD) nachweist (im Limes sehr
hoher Energien wechselwirken diese Teilchen nur sehr schwach miteinander), führt dieses
hierbei zu der Schlussfolgerung, dass ein δ-Funktions-Potential in einer Raumdimension
ebenfalls die Eigenschaft der asymptotischen Freiheit besitzt. Diese Arbeit stellt ein perfektes Beispiel davon dar, wie komplizierte Begriffe aus der QFT im Rahmen der relativistischen Quantenmechanik angewandt werden können.
4.1
Danksagung
Die Realisierung dieser Arbeit war möglich dank der sehr guten Betreuung von U.-J. Wiese
und der Unterstützung von Igor Jurosevic.
References
[1] Al-Hashimi, A. Shalaby, U.-J. Wiese., Phys. Rev. D89 (2014) 125023.
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