Zusatz: Skript-AbiVorbereitung
Werbung
Kursstufe Physik – Abiturvorbereitung Ergänzung zur Abiturvorbereitung im vierstündigen Fach Physik für das schriftliche Abitur in Baden-Württemberg ab dem Jahr 2004 © Penarc, Wikimedia Commons © , Wikimedia Commons Autor: Jörg Rudolf Lehrer am Hochrhein-Gymnasium Waldshut Homepage: www.rudolf-web.de E-Mail: [email protected] Dieses Werk ist unter einem Creative Commons 3.0 Deutschland Lizenzvertrag lizenziert: • Namensnennung • Keine kommerzielle Nutzung • Weitergabe unter gleichen Bedingungen Um die Lizenz anzusehen, gehen Sie bitte zu http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/de oder schicken Sie einen Brief an Creative Commons, 171 Second Street, Suite 300, San Francisco, California 94105, USA. Jörg Rudolf – E-Mail: [email protected] – Februar 2010 www.rudolf-web.de Version 2.1 vom 24/02/2012 Seite 1 Kursstufe Physik – Abiturvorbereitung Inhaltsverzeichnis I) ZUM KAPITEL ELEKTROSTATIK............................................................................................................................................ 3 1) AUF- UND ENTLADEN DES KONDENSATORS – INKL. DGL...................................................................................................................................................3 2) ENERGIEINHALT DES PLATTENKONDENSATORS – ANDERE VARIANTEN......................................................................................................................................4 3) REIHEN- UND PARALLELSCHALTUNG..................................................................................................................................................................................4 II) ZUM KAPITEL MAGNETFELD:................................................................................................................................................ 4 1) DAS ERDMAGNETFELD.....................................................................................................................................................................................................4 III) ZU KAPITEL TEILCHEN IN FELDERN:................................................................................................................................ 4 1) BESTIMMUNG DER ELEMENTARLADUNG - VORGEHEN DER CHEMIE (FARADAY)........................................................................................................................4 2) ÜBERBLICK ÜBER DAS VERHALTEN VON TEILCHEN IN E- UND B-FELDERN..............................................................................................................................5 3) BEWEGUNGSFORMEN VON TEILCHEN UNTER VERSCHIEDENEN FELDFORMEN...............................................................................................................................6 Bewegte Teilchen ohne äußere Kraft.......................................................................................................................................................................6 Teilchen im homogenen E-Feld – quer zu den Feldlinien........................................................................................................................................6 Teilchen schief im B-Feld......................................................................................................................................................................................6 Berechnungen zur Braunschen Röhre:.....................................................................................................................................................................7 Anwendung: Stoß-Ionisation....................................................................................................................................................................................7 Anwendung 4: Zyklotron..........................................................................................................................................................................................8 Anwendung: Linearbeschleuniger............................................................................................................................................................................8 Anwendung: Speicherring........................................................................................................................................................................................8 4) TYPISCHE AUFGABEN......................................................................................................................................................................................................9 IV) ZUM KAPITEL INDUKTION:................................................................................................................................................... 9 1) SELBSTINDUKTION – EXAKTE LÖSUNGEN.............................................................................................................................................................................9 Exakte Lösung den Einschaltvorgang:.....................................................................................................................................................................9 Exakte Lösung den Ausschaltvorgang:....................................................................................................................................................................9 2) ERZEUGUNG VON WECHSELSPANNUNG................................................................................................................................................................................9 V) ZUM KAPITEL MECHANISCHE SCHWINGUNGEN:......................................................................................................... 10 1) ENERGIEERHALTUNGSSATZ BEI SCHWINGUNGEN..................................................................................................................................................................10 EES beim Feder-Schwere-Pendel...........................................................................................................................................................................10 EES beim horizontalen Federpendel......................................................................................................................................................................10 2) ÜBERLAGERUNG VON SCHWINGUNGEN..............................................................................................................................................................................12 Darstellung von harmonischen Schwingungen: Zeigerdiagramm.........................................................................................................................12 Überlagerung zweier Sinusschwingungen bei gleicher Frequenz.........................................................................................................................12 3) ÜBERLAGERUNG BEI VERSCHIEDENER FREQUENZ ...............................................................................................................................................................13 4) GEDÄMPFTE SCHWINGUNG..............................................................................................................................................................................................13 5) ERZWUNGENE SCHWINGUNG – RESONANZ (KEIN PFLICHTSTOFF)..........................................................................................................................................13 VI) ZUM KAPITEL EM-SCHWINGUNGEN:............................................................................................................................... 14 1) ENERGIEERHALTUNG BEI DER ELEKTROMAGNETISCHEN SCHWINGUNG.....................................................................................................................................14 2) ENERGIE-ERHALTUNG – ANDERE VARIANTE......................................................................................................................................................................15 3) HOCHFREQUENTE SCHWINGUNGEN - HERTZ-DIPOL (KEIN PFLICHTSTOFF).............................................................................................................................16 Erzwungene Schwingungen - Resonanz.................................................................................................................................................................16 Versuchsaufbau zu erzwungenen Schwingungen...................................................................................................................................................16 Hochfrequenter Schwingkreis................................................................................................................................................................................16 Der Hertz-Dipol......................................................................................................................................................................................................17 4) ZUR GESCHICHTE DER ELEKTROMAGNETISCHEN WELLEN.....................................................................................................................................................17 5) DAS ELEKTROMAGNETISCHE SPEKTRUM............................................................................................................................................................................18 6) LICHTGESCHWINDIGKEIT.................................................................................................................................................................................................18 7) DISPERSION - AUSFÜHRLICHER.........................................................................................................................................................................................19 8) KOHÄRENZ - AUSFÜHRLICHER..........................................................................................................................................................................................19 9) MIKROWELLEN - REFLEXION AN BEWEGTER METALLPLATTE................................................................................................................................................20 Huygens-Prinzip: Reflexion....................................................................................................................................................................................20 Huygens-Prinzip: Brechung...................................................................................................................................................................................21 VII) ZUM KAPITEL INTERFERENZ:........................................................................................................................................... 22 1) INTENSITÄTEN AM GITTER UND AM EINZELSPALT – AUSFÜHRLICHE BERECHNUNG...................................................................................................................22 2) INTERFERENZPLÄTTCHEN -AUCH SCHRÄGER EINFALL...........................................................................................................................................................24 3) POLARISATION - AUSFÜHRLICHER.....................................................................................................................................................................................25 4) ZU „WEITERE INTERFERENZEXPERIMENTE“........................................................................................................................................................................26 5) INTERFERENZ BEI RÖNTGENSTRAHLEN - BRAGG-REFLEXION................................................................................................................................................27 VIII) ZUR QUANTENPHYSIK........................................................................................................................................................ 27 1) AUFGABEN ZUM PHOTOEFFEKT........................................................................................................................................................................................27 2) AUFGABE ZUR RÖNTGENBREMSSTRAHLUNG.......................................................................................................................................................................29 3) GRUNDSÄTZLICHES ZU MODELLEN IN DER PHYSIK - AUSFÜHRLICHER.....................................................................................................................................29 4) WEITERE QUANTENPHÄNOMENE......................................................................................................................................................................................30 Comptoneffekt.........................................................................................................................................................................................................30 Paarbildung............................................................................................................................................................................................................31 Paarvernichtung.....................................................................................................................................................................................................31 5) ELEKTRONENBEUGUNGSRÖHRE – MIT BRAGG-REFLEXION....................................................................................................................................................31 6) AUSBREITUNGSGESCHWINDIGKEIT BEI „MATERIE-WELLEN“.................................................................................................................................................31 IX) ZUR ATOMPHYSIK.................................................................................................................................................................. 32 1) HISTORISCHES ZUR ATOMPHYSIK – ZUSÄTZLICHE MODELLE................................................................................................................................................32 „Die alten Griechen“.............................................................................................................................................................................................32 „Naturforscher der Neuzeit“..................................................................................................................................................................................33 2) VERSCHIEDENE LÖSUNGEN DER SCHRÖDINGERGLEICHUNG...................................................................................................................................................34 www.rudolf-web.de Version 2.1 vom 24/02/2012 Seite 2 Kursstufe Physik – Abiturvorbereitung Beispiel 1: Der lineare, unendlich tiefe, eindimensionale Potentialtopf:..............................................................................................................34 Beispiel 2: Der lineare, endlich tiefe, eindimensionale Potentialtopf:..................................................................................................................34 Beispiel 3: Das harmonische, eindimensionale Potentialtopf: ..............................................................................................................................35 Beispiel 4: Das Coulombpotential..........................................................................................................................................................................35 I) zum Kapitel Elektrostatik 1) Auf- und Entladen des Kondensators – inkl. DGL Schaltskizze und Differentialgleichung Für den Auf- und Entladevorgang gehen wir von rechtstehendem Schaltkreis aus. Ein Kondensator mit der Kapazität C und ein Widerstand R sind in Reihe geschaltet. Für den Aufladevorgang wird eine äußere Spannung U 0 angelegt, für den Entladevorgang wird kurzgeschlossen U0 = 0. U0 = UC + U R . Hier gilt folgender Zusammenhang: UR = R⋅ I Für die Spannung am Widerstand gilt das Ohmsche Gesetz: UC = Für die Spannung am Kondensator gilt: Q C Zusätzlich gilt noch: U0 = So ergibt sich die Differentialgleichung: I = Q Q + RQ C Entladevorgang Es ist U0 = 0, dort wird kurzgeschlossen: Anschaulich muss sich folgendes ergeben: Der Kondensator ist aufgeladen, die Spannung am Kondensator treibt die Ladungen an. Über den ohmschen Widerstand fließt ein Strom, der Kondensator entlädt sich, d. h. die Ladungen nehmen ab. Dadurch wird die Spannung geringer und somit ebenfalls die Stromstärke. Die Ladungsabnahme erfolgt somit langsamer, die Abnahme der Spannung ebenfalls ... Für den Entladevorgang vereinfacht sich die DGL zu: Q Q 1 0= + RQ ⇒ RQ = − ⇒ Q = − Q C C RC − Diese DGL hat die Lösung: t Q(t ) = Q0 e RC Mit der Anfangsbedingung, dass der Kondensator maximal aufgeladen war: Q(0) = Q0 = CU 0 t t − − ergibt sich: U C (t ) = Q(t ) = Q0 e RC = U 0 e RC C C wobei U0 die Spannung angibt, mit der der Kondensator aufgeladen worden war. und U R (t ) = − U C (t ) = − U 0 e − und I (t ) = U R (t ) = U e R R0 − t RC t RC - somit ergibt sich als Anfangsstromstärke I 0 = U 0 Q0 = . R RC Halbwertszeit: Die Zerfallsfunktionen f ( x) = e kx haben die Eigenschaft, dass in selben Zeiträumen derselbe Anteil der Ausgangsmenge ,,zerfällt''. Nach der Halbwertszeit TH ist die noch die Hälfte, nach 2TH noch ein Viertel ... vorhanden: TH = ln(2) = RC ln(2) k Experiment: Wir entladen einen Kondensator mit C = 40 µ F über den y-tSchreiber (Eingangswiderstand R=2MΩ. Es ergibt sich eine Entladekurve (für UR) wie oben abgebildet. Daraus lässt sich die Halbwertszeit ermitteln, die nach obiger Formel TH = 55s ergeben müsste. Aufladevorgang www.rudolf-web.de Version 2.1 vom 24/02/2012 Seite 3 Kursstufe Physik – Abiturvorbereitung Für den Aufladevorgang suchen wir die Lösung der DGL: U 0 = U Q 1 + RQ ⇒ Q = 0 − Q+ C R RC − Q(t ) = Q0 1 − e t RC Diese DGL hat die Lösung: Dabei gilt: Für t → ∞ geht Q(t ) → Q0 , dies stellt die Ladung des Kondensators im Endzustand dar. 2) Energieinhalt des Plattenkondensators – andere Varianten Dazu benötigen wir: Pel = U ⋅ I sowie P = W bzw. umgekehrt: W = ∫ P(t )dt Wel = ∫ U (t ) I (t )dt Variante 1: Aus dem Entladevorgang lässt sich der Energieinhalt des Kondensators bestimmen. t t t ∞ ∞ ∞ − U 0 Q0 − 2 RC Q0 − RC RC Wel = U (t )I (t )dt = U 0 e RC e dt = RC e dt = 0 0 0 ∫ ∫ ∫ ∞ ∞ t −2 t U 0 Q0 RC − 2 RC 1 1 1 − e = U 0 Q0 − e RC = U 0 Q0 [ − 0 + 1] = U 0 Q0 RC 2 2 2 2 0 0 Variante 2: Allgemein lässt sich dies auch herleiten: Q Q ⋅Q Es gilt immer I = Q und beim Kondensator U = , also ergibt sich: P = U ⋅ I = C C Q 2 (t ) Da die Energie W die Stammfunktion zu P ist, gilt: W = 2C 1 Q(t ) 2Q(t ) ⋅ Q (t ) = ⋅ Q(t ) = U (t ) I (t ) was sich mithilfe der Kettenregel zeigen lässt: P = W = 2C C 3) Reihen- und Parallelschaltung Reihenschaltung: (vgl. „Wasserfall“): Ströme, Ladungen gleich („Wassermenge“), Spannungen addieren („Fallhöhe“) Widerstände: U = U1 + U2 = R1 I + R2 I = (R1 + R2) I Kondensatoren: U = U1 + U2 = Q/C1 + Q/C2 = Q (1/C1 + 1/C2) Parallelschaltung: Ströme, Ladungen addieren („Wassermenge“), Spannungen gleich („Fallhöhe“) Widerstände: I = I1 + I2 =U/R1 + U/R2 = U (1/R1 + 1/R2) Kondensatoren: Q = Q1 + Q2 = C1 U+ C2 U = U (C1 + C2) II) zum Kapitel Magnetfeld: 1) Das Erdmagnetfeld Das Magnetfeld der Erde besitzt folgende Eigenschaften: • Die Kompassnadel zeigt nach Norden, so dass dort ein magnetischer Südpol ist. • Der magnetische Südpol befinden sich nicht genau am geographischen Nordpol sondern im Norden Kanadas, so dass es bei der Kompassnadel zu einer Missweisung kommt Deklination genannt. • Die Magnetfeldlinien treten an den Polen senkrecht aus der Erde heraus, am Äquator verlaufen sie horizontal, allgemein haben sie den Inklinationswinkel i zur Erdoberfläche. • Für die Horizontalkomponente des Magnetfeldes gilt: Bhor. = B · cos(i) III) zu Kapitel Teilchen in Feldern: 1) Bestimmung der Elementarladung - Vorgehen der Chemie (Faraday) 1.) Avogadrokonstante (Loschmidtsche Zahl): 1 mol hat 6, 022 ⋅ 10 23 Moleküle. Bestimmung: z.B. Ölfleckversuch 2.) Das Molvolumen idealer Gase beträgt 22,414 dm³ . www.rudolf-web.de Version 2.1 vom 24/02/2012 Seite 4 Kursstufe Physik – Abiturvorbereitung 3.) Wasserstoffgas hat die chemische Formel H2 , besteht also aus zwei Wasserstoffatomen. Ein Mol Wasserstoffgas enthält also 2* 6, 022 ⋅ 10 23 Atome. 4.) Wasser hat die chemische Formel H2 O, besteht also aus zwei Atomen Wasserstoff, einem Atom Sauerstoff. 5.) Elektrolyse: Positive und negative Ionen wandern zu den Elektroden und nehmen Elektronen auf bzw. geben überschüssige Elektronen ab. 6.) Knallgaszelle: Fließt Strom durch eine Knallgaszelle, so wird Wasser in 1/3 (doppelt) negative Sauerstoffionen und 2/3 (einfach) positive Wasserstoffionen (also Protonen) zersetzt. Es bildet sich daraus Sauerstoffgas (O2) und Wasserstoffgas (H2 ). Die geflossene Ladungsmenge ist also proportional zum gebildeten (Knall-)Gas. (1. Faraday-Gesetz) Durchführung: 1.) Fließt ein Strom von 1 A eine Sekunde lang, also die Ladung 1 C, durch eine Knallgaszelle, so entsteht 0,174 cm 3 Knallgas, 2/3 davon Wasserstoff, also 0,116 cm3 Wasserstoff H2. 2.) Um 22,414 dm3 Wasserstoff zu erzeugen, muß man 22414 / 0,116 C ≈ 193 000 C Ladung fließen lassen. 3.) Damit transportieren 2* 6, 022 ⋅ 10 23 Wasserstoffionen die Ladung 193 000 C. 4.) Ein Wasserstoffion, also ein Proton, hat damit die Ladung q = 193 000 / 2* 6, 022 ⋅ 10 23 C = 1,602 ⋅ 10 − 19 C. 5.) Da ein Wasserstoffatom elektrisch neutral ist und aus einem Proton und einem Elektron besteht, hat auch ein Elektron die Ladung q = 1,602 ⋅ 10 − 19 C. Wir nennen diese Größe die Elementarladung e = 1,602 ⋅ 10 − 19 C. Unklar bleibt, ob die chemische Bestimmung nur einen Mittelwert liefert, ob es also Elektronen bzw. Protonen z. B. mit 0,5 e und 1,5 e gibt. 2) Überblick über das Verhalten von Teilchen in E- und B-Feldern 1 ungeladene Teilchen in E- / BFeld keine Ablenkung v = const. / v = s/t Beschleunigung. Fel = q E = 0 FL ∆W = 0 = qvB = 0 2 geladene Teilchen ohne E- / B-Feld keine Ablenkung v = const. / Beschleunigung. Fel = q E = 0 FL = qvB = 0 ∆W = 0 3 wie 2: nur schief (vx ; vy) vektorielle Zerlegung: Fel = q E = 0 FL = qvB = 0 ∆W = 0 4 ruhende geladene Teilchen in B-Feld keine Ablenkung v = const. / Beschleunigung. FL = qvB = 0 ∆W = 0 5 ruhende geladene Teilchen in E-Feld Beschleunigung v=at s = ½ a t2 Fel = q E =ma ∆W = q U ½ m v2 = q U 6 bewegte geladene Teilchen in EFeld: v0 || E Beschleunigung / Abbremsung (mit / gegen Feld) v = a t + v0 s = ½ a t2 + v0 t Fel = q E =ma ∆W = q U ½ m v2 = q U +½ m v02 7 bewegte geladene Teilchen in EFeld: schief x: beschleunigt y: gleichförmig Parabelbahn vx = a t + v0 vy = const. Fel = q E =ma ∆W = q U ½ m v x2 = q U +½ m v0,x2 8 bewegte geladene Teilchen im BFeld: v0 ┴ B Kraft senkrecht zu v und B: Kreisbewegung v = const. = 2π R/T FL = FZ qvB = mv2/R ∆W = 0 9 bewegte geladene Teilchen im BFeld: v0 || B Unbeschleunigt v = const. FL = 0 ∆W = 0 www.rudolf-web.de vx = v cos(α) vy = v sin(α) Version 2.1 vom 24/02/2012 Seite 5 Kursstufe Physik – Abiturvorbereitung 10 bewegte geladene Teilchen im BFeld: schief x: const. y-z: Kreis Schraubenlinie vx = const. vy = 2π R/T Fel = FZ qvyB = mvy2/R ∆W = 0 11 bewegte geladene Teilchen in E-/ BFeld: alles orthogonal einige Teilchen kommen unabgelenkt durch v = const. Fel = FL qE=qvB ⇒ v = E/B ∆W = 0 3) Bewegungsformen von Teilchen unter verschiedenen Feldformen Bewegte Teilchen ohne äußere Kraft (1): ungeladene Teilchen in E- oder B-Feld (2), (3): geladene Teilchen ohne E- und B-Feld (9): geladene Teilchen, die sich parallel zu den B-Feldlinien bewegen Kraftgesetz: F=0 Energiezuwachs: ∆W = 0 Bewegungsgesetze: v = s/t - wobei eventuell vektoriell zerlegt werden muss (in vx / vy) Teilchen im homogenen E-Feld – quer zu den Feldlinien (vergleiche mit dem waagrechten Wurf): Ein elektrisch geladenes Teilchen durchläuft mit einer Geschwindigkeit vx einen Kondensator (Spannung U) senkrecht zu den Feldlinien. Dabei erfährt es in Richtung der Feldlinien die elektrische Kraft Fel, wird also in diese Richtung beschleunigt und erhält in Richtung der Feldlinien eine weitere Geschwindigkeitskomponente vy. Die Geschwindigkeitskomponente senkrecht zu den Feldlinien bleibt unverändert, das Teilchen benötigt bei einem Kondensator der Länge s die Zeit t = x/vx . In dieser Zeit erfährt das Teilchen parallel zu den Feldlinien die Kraft Fel = q U/d , wird also beschleunigt mit a = Fel/m, erzielt also die Geschwindigkeitskomponente v2 = a t = Fel t/m = q U x/(m d vx) und hat parallel zu den Feldlinien den Weg zurückgelegt y = ½ a t2 = Fel x2/(2 m vx2) = q U x2/(2 m d vx2). (Zusatz: bei einer Anodenspannung UA: x2 U q qU A = 1 mv x 2 ⇒ v x 2 = 2 U a ⇒ y = 2 m 4d U A 1 , also y ~ U und y ~ U ) A Das ergibt eine Parabelbahn y ~ x2 Seine Bewegungsrichtung wurde um den Winkel α abgelenkt, der sich berechnen lässt über tan(α) = vy/vx. Seine Endgeschwindigkeit beträgt vgesamt2 = vy2 + vx2 Nach Verlassen des Kondensators bewegt sich das Teilchen wieder gleichförmig weiter (siehe 1) Schief zu den Feldlinien (vergleiche mit dem schiefen Wurf): Zerlege zuerst in die Komponenten senkrecht und parallel zu den Feldlinien. Teilchen schief im B-Feld Ansatz: Aufspaltung von v in • eine Komponente vs senkrecht zu B: • und eine zweite vp parallel zu B: vs = v cos(α) vp = v sin(α) Die senkrechte Komponente führt wieder - wie in (a) - zu einer Kreisbahn. Die parallele Komponente wird durch das B-Feld nicht beeinflusst: gleichförmige Bewegung Zusammen: Es ergibt sich eine Schraubenbahn • mit Radius r = mvs/(qB), • Umlaufdauer T = 2π m/(qB) • und Ganghöhe h = vp T (soweit bewegt sich das Teilchen pro Umdrehung in B-Feldrichtung) www.rudolf-web.de Version 2.1 vom 24/02/2012 Seite 6 Kursstufe Physik – Abiturvorbereitung Berechnungen zur Braunschen Röhre: Beschleunigungsspannung in x-Richtung 2eU A . m Aufenthaltsdauer im Ablenkkondensator der Breite l: l t= vx Ablenkkondensator mit Plattenabstand d und eU y F Ablenkspannung U y ⇒ a y = el = m d⋅m Damit gilt für die Querablenkung am Ende des U A ⇒ W kin = Wel ⇔ Kondensators: y1 = 1 2 1 2 mv x 2 = eU ⇒ v x = at 2 = 1 2 eU y l d ⋅ m v x 2 = 1 2 eU y l 2 d ⋅ m⋅ 2eU A m = 1 2 l2 U y 2d U A . eU y l vy und damit für den Ablenkwinkel tan(α ) = dm v x vx Danach driftet das Teilchen mit konstanter Geschwindigkeit und dem obigen Ablenkwinkel. vy eU y l eU y l 1 ls U y vy y y = s = s = s = = 2 gilt: 2 2 Mit dem Strahlensatz 2eU A 2 d U A vx dmv x vx s dm m 1 l l Uy + s Es ergibt sich insgesamt bei y = y1 + y 2 --> y = . (also gilt: y1 ~ U y und 2d2 UA Für die Quergeschwindigkeit gilt: v y = at = y1 ~ 1 ) UA Anwendung: Stoß-Ionisation Vorbemerkung: • unter Normalbedingungen: Gase sind elektrisch neutral; Elektronen sind an Moleküle gebunden; Gase sind gute Isolatoren • unter Energiezufuhr: Gase können leitend gemacht werden! Exp.: Elektronen werden aus einer Glühkathode herausgedampft und zur Anode beschleunigt. Zwischen Kathode und Anode ist nun kein Vakuum, sondern ein Gas (geringer Druck) eingefüllt. Beobachtung: Bei kleinen Anodenspannungen ergibt sich dieselbe U-I-Kennlinie wie bei der evakuierten Diode. Erst ab einer gewissen Spannung Ui steigt der Anodenstrom steil an. Interpretation: U < Ui : Falls die Elektronen auf die Gasmoleküle stoßen, verlaufen die Stöße elastisch (ohne Energieaufnahme der Gasmoleküle). Das Gas wird nicht ionisiert! U > Ui : Die Elektronen sind nun so energiereich: W = e U > Wi = e Ui , um die Gase zu ionisieren, d. h. ihnen die Ionisationsenergie Wi zuzuführen. D. h. die Elektronen werden freigeschlagen, so dass zusätzliche Ladungsträger entstehen: freie Elektronen und positive Ionen, die zur Anode bzw. Kathode beschleunigt werden. Dadurch können sie nun ihrerseits weitere Gasmoleküle ionisieren. Weitere Ionisationsvorgänge: • mit radioaktiver Strahlung können Gase ionisiert werden: Ionisationskammer / Geiger-Müller - Zählrohr • durch starkes Erhitzen: Flammensonde Zusatzbemerkung: • Plasma: ionisiertes Gas • Ionisierungsenergie von Wasserstoffmolekülen: 15 eV • unselbständige Elektrizitätsleitung: so nennt man diese Phänomene, da das Gas seine Leitfähigkeit wieder verliert, wenn man den Elektronenbeschuß / radioaktive Strahlung / hohe Temperatur abstellt. • www.rudolf-web.de Version 2.1 vom 24/02/2012 Seite 7 Kursstufe Physik – Abiturvorbereitung Anwendung 4: Zyklotron Das Zyklotron ist ein Teilchenbeschleuniger. • Es besteht aus einem großen Elektromagneten. • Im Inneren sind 2 halbkreisförmige Metallkammern (Duanten,"D"s oder eng. Dees; bei moderneren Zyklotrons auch mehr als zwei) angeordnet, zwischen denen sich der Beschleunigungsspalt und die Ionenquelle befinden. • An den Dees wird eine hochfrequente Wechselspannung angelegt. Durch diese werden die Ionen, während sie sich im schmalen Spalt zwischen den beiden Dees aufhalten, zu dem negativ geladenen Dee beschleunigt. Check author and licensing at Wikimedia Commons. • Sobald die Ionen in das negativ geladene Dee eingedrungen sind, werden sie nicht mehr von dem elektrischen Feld (Faradaykäfig), sondern nur noch von der Lorentzkraft beeinflusst und beschreiben einen Halbkreis, bis sie das Dee wieder verlassen. • Währenddessen ist eine Halbschwingung der Spannung vergangen, so dass nun das andere Dee negativ geladen ist. Die Ionen werden erneut im Spalt beschleunigt, bis sie in diesen eindringen. • Trotz einer mit jedem Umlauf größer werdender Kreisbahn bleibt die Umlaufzeit durch wachsende Geschwindigkeit der Ionen konstant. Daher kann auch die Frequenz der Beschleunigungsspannung während des gesamten Vorgangs konstant bleiben. Auf diese Weise können die Ionen auf sehr hohe Geschwindigkeiten beschleunigt werden. • Am Rand der Kammer ist meist ein Ablenkkondensator angebracht, der zur Herausführung des Teilchenstrahls auf ein bestimmtes Ziel dient. Berechnung zur Zyklotronfrequenz: v2 v qB Ansatz: FZ = FL ⇔ m = qvB ⇔ = r r m 2π r qB v v= = 2π r f ⇒ f = = Es gilt: T 2π r 2π m also ist die Frequenz unabhängig von der Geschwindigkeit und dem Radius der Kreisbahn des Teilchens! Anwendung: Linearbeschleuniger Bei einem Linearbeschleuniger oder Linac (von engl. Linear Accelerator) können elektrisch geladene Teilchen auf gerader Bahn beschleunigt werden. Der Wechselspannungs-Linearbeschleuniger wird aus vielen Beschleunigungselementen, den so genannten Driftröhren, aufgebaut. Zwischen den einzelnen Driftröhren befinden sich Spalten, in denen ein elektrisches Feld pulsiert, welches so getaktet ist, dass die Teilchen beim Durchflug von einem Element zum anderen immer mehr beschleunigt werden und somit ihre kinetische Energie in relativ kleinen Schritten zunimmt, während die Driftröhre selbst wie ein Faradaykäfig wirkt. So kann das Feld, während das zu beschleunigende Teilchen die Driftröhre passiert, umgepolt werden, so dass im Anschluss erneut ein beschleunigendes Feld auf das Teilchen wirkt. Auf diese Weise können Teilchen auf Energien beschleunigt werden, die mit einem einzigen Beschleunigungselement nicht zu erreichen sind. Check author and licensing at Wikimedia Commons. Anwendung: Speicherring Ein Speicherring ist ein ringförmiges Vakuumgefäß, das zur Speicherung von Strahlen aus hochenergetischen elektrisch geladenen Teilchen - Elektronen oder Ionen - dient. Die Teilchen werden durch Magneten auf der geschlossenen Umlaufbahn gehalten. Die Teilchen werden zuerst in einem Teilchenbeschleuniger sehr hoch beschleunigt und stehen dann im Speicherring in zwei gegeneinander gerichteten Strahlen für Kollisionsexperimente zur Verfügung. Auf diese Weise kann, anders als beim Beschuss eines feststehenden Targets, die gesamte kinetische Energie in Masse umgewandelt werden. Check author and licensing at Wikimedia Commons. www.rudolf-web.de Version 2.1 vom 24/02/2012 Seite 8 Kursstufe Physik – Abiturvorbereitung 4) Typische Aufgaben Bewegung senkrecht zu den E-Feldlinien: An einem Kondensator (d=0,5m) der Länge x = 0,1m ist eine Spannung von U = 100V angelegt. Ein Teilchen mit m = 9,1 10-31 kg und Ladung e durchfliegt ihn senkrecht zu den Feldlinien mit vx = 106 m/s. Wie groß ist Ablenkung und Geschwindigkeit nach Verlassen des Kondensators? Lösung: y = 0,18 m; vy = 3,5 . 106 m/s; α = 74°; v = 3,6 .106 m/s IV) zum Kapitel Induktion: 1) Selbstinduktion – exakte Lösungen Exakte Lösung den Einschaltvorgang: für I(t): Die Gleichungen (2) bzw. (3) stellen Differentialgleichungen für I(t) dar. U − Rt I (t ) = 1 1 − e L Sie haben die Lösung: (Asympt. Annäherung von 0 nach U1/R) R U − Rt ⇒ I(t ) = 1 e L (Asympt. Annäherung von U1/L nach 0) L Exakte Lösung den Ausschaltvorgang: I (t ) = Hier gibt es die Lösung: U1 − e R Rt L (Asympt. Annäherung von U1 /R nach 0) U − Rt ⇒ I(t ) = − 1 e L ( von -U1 /L nach 0) L 2) Erzeugung von Wechselspannung Wir beobachten: • Drehen wir eine Leiterschleife im Magnetfeld, erzeugen wir eine sinusförmige Spannung! (die senkrechte Fläche ändert sich) • Alternativ: Magnetfeld rotiert um Spule (Innenpolgenerator: B-Feld in Spule ändert sich) Berechnung: Magnetfeld B; Fläche der Leiterschleife A; Drehfrequenz f; Anzahl der Windungen n: T = 1f Periode: (Dauer einer Umdrehung) Winkelfrequenz: ω = 2π T = 2π ⋅ f (In einer Zeit t wird der Winkel α = ω ⋅t „überstrichen“) Mit dem Induktionsgesetz: U Ind = − nΦ = − nA n B Check author and licensing at Wikimedia Commons. und der zum Magnetfeld senkrechten Fläche ergibt sich: An = A ⋅ cos(α ) = A ⋅ cos(ω ⋅ t ) U Ind (t ) = − n ⋅ B ⋅ (− A ⋅ ω ⋅ sin(ω ⋅ t )) = n ⋅ B ⋅ A ⋅ ω ⋅ sin(ω ⋅ t ) Dies ist eine sinusförmige Spannung mit der Amplitude und der Periode Û = n ⋅ B ⋅ A ⋅ ω T = 2π ω Bem.: Im Europa beträgt die Frequenz der Netzspannung 50 Hz, im Nordamerika 60 Hz. Um bei einer definierten Frequenz von 50 Hz eine möglichst große Spannungsamplitude zu erreichen, hat der Generator • ein starkes Magnetfeld B • sowie Induktionsspulen mit hoher Windungszahl n • und einer großen Querschnittsfläche A www.rudolf-web.de © MrTux . Original uploader was MrTux at de.wikipedia, Wikimedia Commons Version 2.1 vom 24/02/2012 Seite 9 Kursstufe Physik – Abiturvorbereitung V) zum Kapitel Mechanische Schwingungen: 1) Energieerhaltungssatz bei Schwingungen EES beim Feder-Schwere-Pendel Wkin + W Def + W pot = const. Zu zeigen: (unabhängig von der Zeit t) Bem. 1: Die Ausdehnung der Feder bis zur Gleichgewichtslage sei s1 . Fdef = FG ⇔ Ds1 = mg ⇔ Ds1 − mg = 0 . Dort gilt: Die (weitere) Auslenkung aus der GG-Lage wird durch s beschrieben (nach unten ist s positiv). Bem. 2: Für die Sinus- und Kosinusfunktion gilt: sin 2 x + cos 2 x = 1 Bem. 3: Für die Winkelfrequenz beim vertikalen Federpendel gilt: ω = D ⇒ ω m 2 = D m Bem. 4: Wählt man als Nullpunkt der Zeit die maximale Auslenkung, gilt für die s-t und v-t - Beziehung: s (t ) = sˆ cos(ω t ) v(t ) = − sˆω sin(ω t ) Bem. 5: Für die kinetische Energie gilt: Wkin = 1 2 1 2 2 2 1 D 1 mv = m sˆ ω sin (ω t ) = m sˆ 2 sin 2 (ω t ) = D sˆ 2 sin 2 (ω t ) 2 2 2 m 2 Bem. 6: Für die Deformationsenergie gilt: 1 1 1 1 D( s1 + s ) 2 = D( s12 + s 2 + 2 s1s) = Ds12 + Dsˆ 2 cos 2 (ω t ) + Ds1s 2 2 2 2 WDef = Bem. 7: Für die potentielle Energie gilt (das Nullniveau liegt in der Gleichgewichtslage der Feder): W pot = − mgs Zusammen ergibt sich: WGes = Wkin + Wdef + W pot = 1 1 1 D sˆ 2 sin 2 (ω t ) + Ds12 + Dsˆ 2 cos 2 (ω t ) + Ds1s − mgs = 2 2 2 1 1 1 D sˆ 2 sin 2 (ω t ) + Dsˆ 2 cos 2 (ω t ) + Ds1s − mgs + Ds12 = 2 2 2 1 1 D sˆ 2 sin 2 (ω t ) + cos 2 (ω t ) + ( Ds1 − mg ) s + Ds12 = 2 2 1 1 D sˆ 2 ⋅ 1 + 0 ⋅ s + Ds12 = 2 2 1 1 D sˆ 2 + Ds12 = const. 2 2 ( ) Die Gesamtenergie des Systems hängt nicht von der Zeit oder momentanen Auslenkung s ab – sondern nur von der Anfangsauslenkung ŝ . EES beim horizontalen Federpendel www.rudolf-web.de Version 2.1 vom 24/02/2012 Seite 10 Kursstufe Physik – Abiturvorbereitung Wkin + Wdef ,1 + Wdef ,2 = const. Zu zeigen: (unabhängig von der Zeit t) Bem. 1: Die Ausdehnung der Federn bis zur Gleichgewichtslage betrage s1 bzw. s2 . F1 = F2 ⇔ D1s1 = D2 s2 . Dort gilt: Die (weitere) Auslenkung aus der GG-Lage wird durch s(t) beschrieben (nach rechts ist s positiv). sin 2 x + cos 2 x = 1 Bem. 2: Für die Sinus- und Kosinusfunktion gilt: Bem. 3: Für die Winkelfrequenz beim vertikalen Federpendel gilt: ω = D1 + D2 ⇒ ω m 2 = D1 + D2 m s (0) = sˆ , s (t ) = sˆ cos(ω t ) v(t ) = − sˆω sin(ω t ) Bem. 4: Wählt man als Nullpunkt der Zeit die maximale Auslenkung: gilt für die s(t) und v(t) – Beziehung: Bem. 5: Für die kinetische Energie gilt: Wkin = 1 2 1 2 mv = m sˆ ω 2 2 2 sin 2 (ω t ) = 1 2 D1 + D2 1 m sˆ sin 2 (ω t ) = ( D1 + D2 ) sˆ 2 sin 2 (ω t ) 2 m 2 Bem. 6: Für die Deformationsenergien der beiden Federn gilt: 1 1 1 1 D1 ( s1 + s) 2 = D1 ( s12 + s 2 + 2 s1s ) = D1s12 + D1sˆ 2 cos 2 (ω t ) + D1s1s 2 2 2 2 1 1 1 1 = D2 ( s2 − s) 2 = D2 ( s2 2 + s 2 − 2 s1s ) = D2 s2 2 + D2 sˆ 2 cos 2 (ω t ) − D2 s2 s 2 2 2 2 Wdef ,1 = Wdef ,2 Zusammen ergibt sich: 1 ( D1 + D2 ) sˆ 2 sin 2 (ω t ) 2 1 1 1 1 + D1s12 + D1sˆ 2 cos 2 (ω t ) + D1s1s + D2 s2 2 + D2 sˆ 2 cos 2 (ω t ) − D2 s2 s = 2 2 2 2 1 ( D1 + D2 ) sˆ 2 sin 2 (ω t ) 2 1 1 1 1 + D1sˆ 2 cos 2 (ω t ) + D2 sˆ 2 cos 2 (ω t ) + D1s12 + D2 s2 2 + D1s1s − D2 s2 s = 2 2 2 2 1 1 1 1 ( D1 + D2 ) sˆ 2 sin 2 (ω t ) + ( D1 + D2 ) sˆ 2 cos 2 (ω t ) + D1s12 + D2 s2 2 + ( D1s1 − D2 s2 ) s = 2 2 2 2 1 1 1 ( D1 + D2 ) sˆ 2 sin 2 (ω t ) + cos 2 (ω t ) + D1s12 + D2 s2 2 + 0 ⋅ s = 2 2 2 1 1 1 ( D1 + D2 ) sˆ 2 ⋅ 1 + D1s12 + D2 s2 2 = 2 2 2 1 1 1 ( D1 + D2 ) sˆ 2 + D1s12 + D2 s2 2 = const. 2 2 2 WGes = Wkin + Wdef ,1 + Wdef , 2 = ( ) Die Gesamtenergie des Systems hängt nicht von der Zeit oder momentanen Auslenkung s ab – sondern nur von der Anfangsauslenkung ŝ . www.rudolf-web.de Version 2.1 vom 24/02/2012 Seite 11 Kursstufe Physik – Abiturvorbereitung 2) Überlagerung von Schwingungen Darstellung von harmonischen Schwingungen: Zeigerdiagramm s(t) Eine harmonische Schwingung hat als 15 Funktionsgleichung s(t ) = sˆ sin(ω t ) 10 (Phasenwinkel ϕ 0 = 0) . 5 Dies lässt sich im „üblichen“ Schaubild darstellen 0 oder im Zeigerdiagramm. -5 • Dort hat der „Zeiger“ (also auch der -10 Radius des Kreises) die Länge ŝ -15 • und dreht sich entgegen dem s(t) t Uhrzeigersinn mit der Winkelgeschwindigkeit ω , • der Winkel gegenüber der Horizontalen ist zur Zeit t also ϕ = ω ⋅ t . • Die Länge der Vertikalen (Gegenkathete) ist dann gerade der Funktionswert s(t ) = sˆ sin(ω t ) . Überlagerung zweier Sinusschwingungen bei gleicher Frequenz s1 (t ) = sˆ1 ⋅ sin(ω t ) und ˆ s 2 (t ) = s 2 ⋅ sin(ω t + ∆ ϕ ) Die Winkelfrequenz ist dieselbe, die Amplitude ist verschieden, die Funktionen sind um ∆ ϕ gegeneinander phasenverschoben. Ziel: Wie sieht die Funktion s(t ) = s1 (t ) + s 2 (t ) aus? Gegeben: 3 2 s2(t) -1 12 12 ,8 13 ,6 14 ,4 s1(t) 0 8 8, 8 9, 6 10 ,4 11 ,2 1 4 4, 8 5, 6 6, 4 7, 2 b) Mithilfe eines Computers die Funktion plotten. (Bequem, aber es gibt keine saubere Funktionsgleichung!) 4 0 0, 8 1, 6 2, 4 3, 2 Es gibt nun drei Möglichkeiten: a) Mithilfe der Additionstheoreme für Sinus und Kosinus die Lösung errechnen. (Umständlich!) -2 -3 -4 Wir erkennen: Die Summe hat dieselbe Winkelfrequenz ω (Periode T) aber unterschiedliche Amplitude und Phase. Die Amplitude s von s(t) ist aber nicht gerade die Summe der Amplituden s1 und s2 . Die Phasenverschiebung α von s(t) ist nicht gerade die Hälfte von ∆ ϕ . c) Mithilfe der Zeigerdarstellung die Lösung zeichnerisch ermitteln. Verfahren: Zeichne zwei konzentrische Kreise (gleicher Mittelpunkt) mit Radien ŝ 2 und ŝ 2 . Zeichne die beiden Zeiger bei t = 0 so ein, daß der erste bei ϕ = 0 und der zweite bei ϕ = ∆ ϕ liegt. Addiere die beiden Zeiger „vektoriell“, die Summe ist dann der Zeiger ŝ von s(t ) . Mit dem Winkel α zur Horizontalen ergibt sich: s(t ) = s ⋅ sin(ω t + α ) . Es ergibt sich wieder eine Sinusschwingung mit gleicher Winkelfrequenz aber veränderter Amplitude und Phasenverschiebung. α Spezialfälle: (i) Maximale Verstärkung: ∆ ϕ = 0 ⇒ α = 0; sˆ = sˆ1 + sˆ2 (ii) Maximale Abschwächung: ∆ ϕ = π ⇒ α = 0; sˆ = sˆ1 − sˆ2 (bei gleichen Amplituden ergibt sich vollständige Auslöschung) sˆ 2 π (iii) Phasenverschiebung ∆ ϕ = 2 ⇒ sˆ = sˆ1 + sˆ2 ; tan α = sˆ1 www.rudolf-web.de Version 2.1 vom 24/02/2012 Seite 12 s1+s2 Kursstufe Physik – Abiturvorbereitung 3) Überlagerung bei verschiedener Frequenz Gegeben: s1 (t ) = sˆ1 ⋅ sin(ω 1t ) und s 2 (t ) = sˆ2 ⋅ sin(ω 2 t ) Ziel: Wie sieht die Funktion s(t ) = s1 (t ) + s 2 (t ) aus? 6 4 2 s1 0 s2 34 37 ,4 40 ,8 44 ,2 47 ,6 17 20 ,4 23 ,8 27 ,2 30 ,6 0 3, 4 6, 8 10 ,2 13 ,6 Die Amplitude der Summe s1+s2 -2 verändert sich periodisch, sie nimmt -4 ab und wieder zu. Dieses -6 Phänomen nennen wir Schwebung. Bsp.: Zwei Stimmgabeln, die geringfügig unterschiedliche Frequenz haben, erzeugen gemeinsam einen Ton, der periodisch lauter und leiser wird. In der Zeigerdarstellung können wir wie bei (2.) vorgehen. Der Unterschied ist: Die Phasenverschiebung zwischen beiden Schwingungen ∆ ϕ hängt von der Zeit ab. Bei t = 0 ist ∆ ϕ = 0 , die Schwingungen verstärken sich also maximal. Dann wird ∆ ϕ größer, da der eine Zeiger vorauseilt (z. B. Zeiger 2 bei ω 2 > ω 1 ). Die Differenz ω 2 − ω 1 gibt an, wie schnell sich ∆ ϕ ändert: Bei ∆ ϕ = π sind die Zeiger gerade entgegengesetzt, schwächen sich also maximal ab. Bei ∆ ϕ = 2π sind die Zeiger wieder „in Phase“, verstärken sich also maximal. Fragen wir nach der Zeit T, in der ∆ ϕ = 2π ist: 2π = (ω 2 − ω 1 )T 2π Die Winkelfrequenz ω = T der Schwebung ist also: ω = ω 2 − ω 1 . 4) Gedämpfte Schwingung Wenn wir die Reibung nicht vernachlässigen, verändert das schwingende System gegenüber der harmonischen Schwingung sein Verhalten: • die Amplitude wird immer kleiner, da die Reibung dem System Energie entzieht. • bei (konstanter) Gleitreibung nimmt die Amplitude linear ab • bei Luftreibung, die von der Geschwindigkeit abhängt, wird die Abnahme immer geringer, eine exponentielle Abnahme der Amplitude • außerdem verringert sich die Frequenz, da die Reibung die Bewegung abbremst. Aufhebung der Dämpfung Führen wir dem System genau die Energie zu, die bei der Reibung verloren geht, so können wir die Dämpfung aufheben. Bsp.: Beim Schaukeln führen wir in jeder Periode eine Gewichtsverlagerung durch und halten so die Amplitude konstant. Wenn wir also in derselben Frequenz, in der die Schwingung stattfindet, periodisch Energie zuführen können wir eine harmonische Schwingung aufrecht erhalten. Diese Frequenz nennen wir Eigenfrequenz ω 0 der Schwingung. Bsp.: Beim Federpendel ist die Eigenfrequenz: ω 0 = D m , beim Fadenpendel gilt: ω 0 = g . l 5) Erzwungene Schwingung – Resonanz (kein Pflichtstoff) Wenn wir die Energiezufuhr mit einer anderen Frequenz ω durchführen, so zwingen wir dem schwingenden System eine äußere Frequenz auf: eine erzwungene Schwingung. Aus Experimenten erkennen wir: • Nach einem Einschwingvorgang stellt sich eine Schwingung mit der (äußeren) Frequenz ω ein. • Wenn wir die äußere Frequenz erhöhen, so nimmt die Amplitude der Schwingung zu. • Bei ω = ω 0 ergibt sich eine Schwingung mit maximaler Amplitude. Es herrscht Resonanz. www.rudolf-web.de Version 2.1 vom 24/02/2012 Seite 13 Kursstufe Physik – Abiturvorbereitung • Ist die Reibung gering, so kommt es nun zur Resonanzkatastrophe, die Amplitude wächst immer weiter, so dass sich Schäden ergeben. Bsp.: Der Wind schaukelt eine Brücke auf, bis sie bricht. • Steigern wir die Frequenz weiter, nimmt die Amplitude wieder ab. Dies können wir in der Resonanzkurve darstellen: die Amplitude wird gegen die äußere Frequenz aufgetragen. Resonanzfall ω = ω 0 : Bei der Eigenfrequenz ω 0 (bzw. wg. Dämpfung etwas darunter) tritt Resonanz auf, d. h. das schwingende System wird durch die äußere Kraft immer stärker aufgeschaukelt, d. h. ihm wird immer mehr Energie zugeführt, bis die Energiezufuhr gerade so groß wie die Dämpfung ist. Damit erkennen wir: a) Je größer die Dämpfung, desto kleiner ist die maximale Amplitude im Resonanzfall. b) Im Resonanzfall sind äußere Kraft und Geschwindigkeit in Phase, ∆ ϕ = 0 , d. h. sie zeigen immer in dieselbe Richtung, ständig wird dem System durch die äußere Kraft (Erreger) Energie zugeführt. Äußere Kraft und Auslenkung sind deshalb um ∆ ϕ = π2 phasenverschoben. Außerhalb der Resonanz: Kraft und Geschwindigkeit sind nicht in Phase (also Kraft und Auslenkung: ∆ ϕ ≠ π 2 ), also zeigen sie nicht immer in die gleiche Richtung, also wird dem System auch teilweise Energie entzogen. Die Amplitude bleibt deshalb gering. Zwischen äußerer Kraft und Auslenkung besteht folgende Phasenbeziehung. • • • ω < ω 0 :∆ ϕ = ω = ω 0 :∆ϕ = 0 π 2 ω > ω 0 :∆ϕ = π VI) zum Kapitel EM-Schwingungen: 1) Energieerhaltung bei der elektromagnetischen Schwingung (Autor: Dirk Tröndle, Abitur 2008) Tipp: Vergleiche mit dem Nachweis beim vertikalen Federpendel! Welche Energiearten sind beim LC-Schwingkreis zu berücksichtigen? Magnetische Energie mit der Formel Wmag = 1 2 LI 2 Elektrische Energie mit der Formel Wel = 1 CU 2 2 www.dieterheidorn.de/Physik/LK_AG/SchwingungenWellen/K2_ElmagSchwingungen/K2_ElmagSchwingungen.html Der Energieerhaltungssatz besagt, dass die Gesamtenergie konstant sein muss (also: unabhängig von der Zeit). Zu zeigen: WGes = Wel + Wmag = const. Es gelten folgende Gleichungen: sin 2 ( x ) + cos 2 ( x ) = 1 Q( t ) = C ⋅ U ( t ) • Allgemein gilt: • • Am Kondensator gilt stets: Es gilt folgende Schwingungsgleichung: Für die Ladung Q: www.rudolf-web.de Q( t ) = Q ⋅ sin ( ω ⋅ t + ϕ ) mit ω = 1 LC Version 2.1 vom 24/02/2012 Seite 14 Kursstufe Physik – Abiturvorbereitung • = Q ⇒ I ( t ) = Q ⋅ sin ( ω ⋅ t + ϕ ( • Für die Stromstärke I: Wegen I • Für die magnetische Energie in der Spule ergibt sich dann: )) = Q ⋅ ω ⋅ cos( ω ⋅ t + ϕ ) 1 2 LI 2 1 = L ⋅ Q 2 ⋅ ω 2 ⋅ cos 2 ( ω ⋅ t + ϕ ) 2 1 1 = L ⋅ Q2 ⋅ ⋅ cos 2 ( ω ⋅ t + ϕ ) 2 LC 1 1 = Q 2 ⋅ ⋅ cos 2 ( ω ⋅ t + ϕ ) 2 C Wmag = • Für die elektrische Energie im Kondensator ergibt sich: 1 CU 2 2 Q2 1 = C⋅ 2 2 C 1 1 = Q 2 ⋅ ⋅ sin 2 ( ω ⋅ t + ϕ 2 C Wel = • ) Dies setzt man dann in die Formel für die Gesamtenergie ein: 1 2 1 1 1 Q ⋅ ⋅ cos 2 ( ω ⋅ t + ϕ ) + Q 2 ⋅ ⋅ sin 2 ( ω ⋅ t + ϕ 2 C 2 C 1 2 1 = Q ⋅ ⋅ cos 2 ( ω ⋅ t + ϕ ) + sin 2 ( ω ⋅ t + ϕ ) 2 C 1 2 1 = Q ⋅ 2 C WGes = ( Dies ist unabhängig von der Zeit - ) ) q.e.d.! 2) Energie-Erhaltung – andere Variante Tipp: Vergleiche mit dem Nachweis beim vertikalen Federpendel! Es ist zu zeigen: Die Gesamtenergie ist konstant, also unabhängig von der Zeit: Wges = Wmagn + Wel = const. Es gelten folgende Gleichungen: In der Schalter-Stellung 1 gilt: UC(0) = Û = U0 Allgemein gilt: sin2(x) + cos2(x) = 1 (Nachweis über Additionstheoreme - überprüfe für verschiedene Werte mit dem Taschenrechner) 1 LC LC In Schalterstellung 2 haben wir die Anfangsbedingung (bei t = 0): maximale Aufladung von C Es gilt die Thomsonsche Schwingungsformel: Damit ergeben sich folgende Schwingungen: Für die magnetische Energie in der Spule ergibt sich dann: ω = 1 ⇒ ω 2 = UC(t) = Û cos(ω t) Q(t) = C UC(t) = - C Û cos(ω t) I(t) = Q'(t) = - C Û ω sin(ω t) Wmag = ½ L I(t)2 = ½ L C2 Û2 ω2 sin2(ω t) = ½ L C2 Û 2 1 LC sin2(ω t) = ½ C Û2 sin2(ω t) www.rudolf-web.de Version 2.1 vom 24/02/2012 Seite 15 Kursstufe Physik – Abiturvorbereitung Für die elektrische Energie im Kondenstor ergibt sich: Dies setzt man in die Formel für die Gesamtenergie ein: Dies ist unabhängig von der Zeit - Wel = ½ C UC(t)2 = ½ C Û2 cos2(ω t) Wges = ½ C Û2 sin2(ω t) + ½ C Û2 cos2(ω t) = ½ C Û2 ( sin2(ω t) + cos2(ω t) ) = ½ C Û2 qed.! Zusatz: Falls wir noch den Widerstand berücksichtigen müssen, ergibt sich eine gedämpfte Schwingung, bei der die Gesamtenergie wegen PVerlust = R I2(t) ständig abnimmt. 3) Hochfrequente Schwingungen - Hertz-Dipol (kein Pflichtstoff) Erzwungene Schwingungen - Resonanz Da sich elektromagnetische Schwingungen und mechanische Schwingungen in den Phänomenen gleichen, blicken wir zuerst auf das anschaulichere System zurück: Bei den mechanischen Schwingungen hatten wir folgende Beobachtung gemacht: Wenn wir die Energiezufuhr mit einer anderen Frequenz ω als der Eigenzufuhr durchführen, so zwingen wir dem schwingenden System eine äußere Frequenz auf: eine erzwungene Schwingung. Aus Experimenten erkennen wir: • Nach einem Einschwingvorgang stellt sich eine Schwingung mit der (äußeren) Frequenz ω ein. • Wenn wir die äußere Frequenz erhöhen, so nimmt die Amplitude der Schwingung zu. • Bei ω = ω 0 (bzw. wegen der Dämpfung etwas darunter) ergibt sich eine Schwingung mit maximaler Amplitude. Es herrscht Resonanz. • Ist die Reibung gering, so kommt es nun zur Resonanzkatastrophe, die Amplitude wächst immer weiter, so dass sich Schäden ergeben. Bsp.: Der Wind schaukelt eine Brücke auf, bis sie bricht. • Steigern wir die Frequenz weiter, nimmt die Amplitude wieder ab. Dies können wir in der Resonanzkurve darstellen: die Amplitude wird gegen die äußere Frequenz aufgetragen. Bei elektromagnetischen Schwingungen gilt ebenso diese Resonanzkurve: Bei der Eigenfrequenz sind die Amplituden von Ladung / Strom / Spannung / Energie am größten. Versuchsaufbau zu erzwungenen Schwingungen Ein Sinusgenerator erzeugt in einer Spule ein sinusförmiges B-Feld, was in der Spule im Schwingkreis eine sinusförmige Wechselspannung induziert: also dort eine Schwingung induziert (induktive Kopplung über das Magnetfeld). 1 Bei der Resonanzfrequenz f = schwingt der Schwingkreis optimal. 2π LC Hochfrequenter Schwingkreis Um die Resonanzfrequenz zu erhöhen, müssen Kapazität C = ε 0 werden: und Induktivität L = µ 0 n l2 A deutlich verringert • L = 630 H ; C = 40µ F ⇒ f = 1Hz • L = 630mH ; C = 40nF ⇒ f = 1kHz • L = 630 µ H ; C = 40 pF ⇒ f = 1MHz Stufen(1) weise Verkleinerung von C und L C L A d 4 Wind. www.rudolf-web.de (2) (3) (4) (5) Kapazität: zwischen A: Fläche der Spitzen den Drähten d: groß d: Drahtlänge 1 Windung 1 Windung < 1 Windung <<1 Windung Version 2.1 vom 24/02/2012 Seite 16 Kursstufe Physik – Abiturvorbereitung Der „extreme“ Schwingkreis besteht somit nur noch aus einem geraden Drahtstück: der Hertz-Dipol! (nach Heinrich Hertz, Ende des 19. Jhdt., Karlsruhe) Der Hertz-Dipol Experiment: Ein Hertz-Dipol (veränderliche Länge) mit einem Lämpchen in der Mitte wird in die Nähe eines Hochfrequenzgenerators gebracht. Wird die Länge verstellt, so gibt es eine Einstellung, bei der das Lämpchen maximale Helligkeit zeigt: Resonanz - ein Schwingkreis! Deutung: An den Spitzen des Dipols entstehen im Wechsel Plusund Minuspole. Dies führt zu einem Strom, der ein Magnetfeld erzeugt. Die Restinduktivität hält den Strom auch nach dem Ladungsausgleich aufrecht, bis die Spitzen entgegengesetzt geladen sind . Und dann geht es umgekehrt weiter ... t=0 t = T/4 t = T/2 t = 3T/4 Q (Ladungsverteilung am Hertz-Dipol) • An den Spitzen sind die Ladungskonzentrationen somit zu den entsprechenden Zeitpunkten t = 0, T/2, T, ... maximal. Dort ist somit auch das E-Feld maximal. Zur gleichen Zeit ist Richtung Stabmitte ein geringeres E-Feld. Zu diesen Zeitpunkten fließt kein Strom, und somit gibt es auch kein B-Feld. Ladung Q E-Feld Strom I B-Feld • In der Stabmitte ist die Stromstärke zu den Zeitpunkten t = T/4, 3T/4, ... maximal. Dort ist somit auch das ringförmige B-Feld maximal. Weiter außen ist das B-Feld schwächer. Zu diesem Zeitpunkt ist die Ladung ausgeglichen und es gibt somit kein E-Feld Ladung Q Strom I Wenn wir uns nur auf die Felder beschränken, lässt sich sagen: • t = 0: E-Feld maximal, B-Feld = 0; E-Feld B-Feld • 0 < t < T/4: E-Feld treibt die Ladungen an, der Strom steigt: B-Feld steigt ( B > 0 ) . Ein veränderliches B-Feld induziert ein elektrisches Wirbelfeld, das seiner Ursache - den immer stärker nach unten fließenden Elektronen - entgegenwirkt und so den Anstieg abbremst • t = T/4: E-Feld = 0 (da Ladungsausgleich); B-Feld maximal (da Strom maximal). • T/4 < t < T/2: Ohne E-Feld sinkt die Stromstärke und somit das B-Feld ( B < 0 ), wodurch ein elektrisches Wirbelfeld erzeugt wird, dass seiner Ursache - dem Rückgang des Stroms entgegenwirkt und so die Elektronen weiter nach unten treibt: das E-Feld steigt wieder. • ... und dann wieder rückwärts ... und dann immer weiter … 4) Zur Geschichte der elektromagnetischen Wellen 1840: Faraday vermutet „Schwingungen der Feldlinien in Wellenform“ Der Engländer Michael Faraday studierte die Wechselwirkungen zwischen elektrischen Ladungen und Magneten und entdeckte dabei die elektromagnetische Induktion Von Faraday stammte auch die Vorstellung eines elektrischen Feldes, mit dem man die Wechselwirkung zwischen geladenen Körpern, die sich nicht berühren, besser verstehen kann. Bereits Faraday sprach von "Schwingungen der Feldlinien in Wellenform“. 1856: Maxwell gelingt die mathematische Formulierung: die 4 Maxwell-Gleichungen James Clark Maxwell leitete auf theoretischem Weg Beziehungen zwischen sich verändernden elektrischen und magnetischen Feldern her. Daraus ließ sich ableiten, dass es möglich sein müsste, Energie durch elektromagnetische Wellen in den Raum hinaus abzustrahlen. 1886: Hertz weist diese em. Wellen experimentell mit einer Funkenstrecke („Rundfunk“) nach Elektromagnetische Wellen wurden zum ersten mal 1880 von Heinrich Hertz experimentell nachgewiesen. Er wies nach, dass sich em. Wellen ähnlich wie Lichtwellen verhalten, z. B. reflektiert und gebrochen werden. 1895: Marconi übermittelt drahtlos die ersten Nachrichten 1925: Drahtlose Bildübertragung 1964: Erster Fernsehsatellit 1998/99: Digitales Fernsehen / Digitaler Rundfunk www.rudolf-web.de Version 2.1 vom 24/02/2012 Seite 17 Kursstufe Physik – Abiturvorbereitung 5) Das elektromagnetische Spektrum Das elektromagnetische Spektrum beschreibt die verschiedenen Arten elektromagnetischer Wellen geordnet nach der Wellenlänge. © Horst Frank, Wikimedia Commons An einem Ende des Spektrums sind Radiowellen, deren Wellenlänge von wenigen Zentimetern bis zu vielen Kilometern reichen. Am anderen Ende des Spektrums sind die sehr kurzwelligen und damit energiereichen Gammastrahlen, deren Wellenlänge bis in atomare Größenordnungen reicht. Die Umrechnung von der Wellenlänge in eine Frequenz erfolgt mit der einfachen Formel f = c λ (Hinweis: Laut Quantenmechanik kann Licht auch als Ansammlung von Teilchen beschrieben werden, den Photonen, deren Energie gemäß der Formel W = hf von der jeweiligen Frequenz abhängt. Hierbei ist h das plancksche Wirkungsquantum.) 6) Lichtgeschwindigkeit Wegen der Bewegung der Erde muss das Fernrohr leicht gekippt werden, damit der Lichtstrahl die Objektiv-Mitte an Punkt 1 und das Okular an Punkt 2 trifft (obiger Text / drei Bilder dieser Seite aus Wikipedia) Die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Licht wurde in den letzten 400 Jahren immer exakter bestimmt: Galileo Galilei (Italien, ca. 1600) untersuchte die endliche Lichtgeschwindigkeit, indem er auf einem Berg eine Laterne öffnete, auf einem zweiten Berg von einem Gehilfen die zweite Laterne öffnen ließ, wenn dort das Licht von der ersten ankam und so auf dem ersten Berg eine Zeitverzögerung feststellen wollte - er scheiterte, da er die für die Messung notwendigen präzisen Zeitmesser bzw. großen Entfernungen nicht zur Verfügung hatte. Ole Roemer (Dänemark, 1675) machte sich die großen Entfernungen in der Astronomie zunutze, um durch die Veränderung der Umlaufdauer eines Jupitermondes die Lichtgeschwindigkeit zu ungefähr Aus den Beobachtungen konnte er die Geschwindigkeit zu 214.000 – 300.000 km/s bestimmen. Diese immense Geschwindigkeit stieß bei seinen Zeitgenossen auf vollständiges Unverständnis. www.rudolf-web.de Version 2.1 vom 24/02/2012 Seite 18 Kursstufe Physik – Abiturvorbereitung James Bradley (England, 1728) entdeckte die Aberration des Lichtes - die Fixsterne führen im Lauf eines Jahres eine kleine elliptische Bewegung durch (vgl. Regentropfen und fahrendes Auto), auf Grund derer er den Wert der Lichtgeschwindigkeit auf ungefähr 295.000 km/s bestimmte, was weniger als 2 Prozent vom heute gültigen Wert abweicht! Hippolyte Fizeau (Frankreich, 1849) konnte mithilfe eines sich schnell drehenden Zahnrades sehr kurze Zeiten messen, in denen das Licht durch eine Lücke auf einen in 9 km entfernten Spiegel fällt, dort reflektiert wird und durch die nächste Lücke des Zahnrades wieder eintritt. Fizeau kam damals auf einen um 5 % zu großen Wert. Jean Foucault (Frankreich, 1849) nutze den Zusammenhang zwischen Ablenkwinkel und Lichtgeschwindigkeit, um mithilfe eines schnell drehenden Spiegels den Wert von c bestimmen zu können. Foucault veröffentlichte den Wert mit 298.000 Kilometern pro Sekunde. Heute ist die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum die am genauesten experimentell bestimmte Naturkonstante: c = 2,99792458 ⋅ 108 m / s 7) Dispersion - ausführlicher Die Dispersion wird als Änderung der Brechzahl n in Abhängigkeit von der Wellenlänge λ (oder der Frequenz) n = n (λ ) . definiert: Deswegen ist beispielsweise unter anderem die Phasengeschwindigkeit von kurzwelligem blauem Licht in Glas niedriger als die von langwelligerem rotem Licht. Die Dispersion bewirkt bei der Brechung von weißem Licht an einem Prisma eine stärkere Ablenkung der kurzwelligen Anteile und damit die Zerlegung in Dieses Bild und die Texte der Kapitel „Kohärenz“ und „Dispersion“ aus Spektralfarben. Wikipedia Wächst die Brechzahl mit abnehmender Wellenlänge, so spricht man von normaler Dispersion (der Phasengeschwindigkeit). Dieses Verhalten beobachtet man für die meisten transparenten Stoffe im sichtbaren Bereich. Nimmt die Brechzahl mit steigender Wellenlänge zu, so liegt anomale Dispersion vor. Dieser Effekt tritt unter anderem in Wellenlängenbereichen mit starker Absorption auf. Praktische Bedeutung der Dispersion Licht kann durch ein Prisma in ein Farbspektrum zerlegt werden. Objekte haben bei der Betrachtung durch eine Linse farbige Ränder (chromatische Aberration) Lichtimpulse werden bei der optischen Datenübertragung in Glasfasern durch die Dispersion der Gruppengeschwindigkeit "verschmiert": Je kürzer der Lichtimpuls, desto breiter ist sein Frequenzspektrum und desto drastischer die Formänderung durch Dispersionseffekte (siehe Dispersion (Glasfaser)). 8) Kohärenz - ausführlicher Kohärenz (von lat. cohaerere = zusammenhängen) bezeichnet die Eigenschaft einer Welle, über einen größeren räumlichen und/oder zeitlichen Bereich hinweg eine definierte Phasenbeziehung aufzuweisen, d.h. Δφ = φ2 − φ1. www.rudolf-web.de Version 2.1 vom 24/02/2012 Seite 19 Kursstufe Physik – Abiturvorbereitung Kohärenz ist Voraussetzung für alle Interferenzphänomene. Sie ist z.B. bei von Lasern erzeugtem Licht besonders ausgeprägt. Perfekte Kohärenz, wie sie etwa durch eine ebene monochromatische Welle beschrieben wird, kommt in der Natur nicht vor und kann auch nicht künstlich erzeugt werden. Andererseits ist ein Wellenfeld auch nie völlig inkohärent. Der Zwischenzustand wird als Teilkohärenz bezeichnet, und seine Charakterisierung ist deutlich vielseitiger als diejenige der beiden Grenzfälle. Die folgenden Beschreibungen beziehen sich auf die Kohärenz des Lichtes. Sie gelten aber analog auch für andere Wellen, z.B. Schallwellen. Man unterscheidet zwischen räumlicher und zeitlicher Kohärenz Die zeitliche Kohärenz ist direkt verbunden mit der Frequenzbandbreite der Schwingung. An einem festen Punkt im Raum ändert sich die Phase von annähernd monochromatischem Licht (d.h. Licht einer Frequenz z. B. von einem Laser) über viele Schwingungsperioden hinweg wie eine gleichmäßige Schwingung. Nach der Kohärenzzeit jedoch ändert sich die Phase gegenüber dieser gedachten Schwingung. Die Kohärenzzeit liegt bei thermisch erzeugtem weißen Licht etwa bei 3·10-15 Sekunden, bei Niederdruck-Gasentladungslampen bei größenordnungsmäßig 10-9 Sekunden und bei Laserlicht bei bis zu 0,1 Sekunden. Der Weg, den das Licht während der Kohärenzzeit zurücklegt, wird Kohärenzlänge genannt. Die räumliche Kohärenz beschreibt die Phasenbeziehung zwischen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung getrennten Raumbereichen und hat mit der Kohärenzlänge nichts zu tun. Sie hängt nicht nur von der Beschaffenheit der Lichtquelle ab, sondern auch vom Abstand zur Lichtquelle: Je weiter von der Lichtquelle entfernt die räumliche Kohärenz gemessen wird, desto größer ist sie. Im Grenzfall einer unendlich weit entfernten Lichtquelle erscheint diese punktförmig und die Wellen eben und damit räumlich perfekt kohärent. 9) Mikrowellen - Reflexion an bewegter Metallplatte Lässt man die Mikrowellen an einer Metallplatte reflektieren, bilden sich stehende Wellen. Bewegt sich diese Metallplatte mit der Geschwindigkeit v, so stellt man an einem festen Ort abwechselnd Minima und Maxima fest. Erklärung: An einem festen Ort befindet sich ein Bauch der stehenden Welle (konstruktive Interferenz, schwingen in Phase). • Bewegt sich nun die Metallplatte um den Weg 1 4 λ weiter, so hat die reflektiere Welle einen um 1 2 λ weiteren Weg zurückzulegen, die Phasenverschiebung ist also um π größer geworden, d.h. die reflektierte Welle schwingt in Gegenphase: destruktive Interferenz: Knoten. • Hat die Metallplatte den Weg 1 2 λ zurückgelegt, ist wieder ein Bauch zu registrieren. • Bewegt sich die Metallplatte mit der nλ Geschwindigkeit v = , so werden an 1s einem festen Ort 2nλ Knoten / Bäuche registriert. Huygens-Prinzip: Reflexion • • • • • • Strahl 1 – 3 bezeichnen die Ausbreitungsrichtung der EM-Welle Senkrecht dazu steht die Wellenfront (z. B. AB) Zum Zeitpunkt t = 0 trifft die Wellenfront (Strahl 1) bei A auf die Reflexionsfläche Huygens: von dort geht eine Elementarwelle aus Etwas später trifft Strahl 2 auf die Reflexionsfläche Elementarwelle Zum Zeitpunkt t trifft Strahl 3 auf die Reflexionsfläche Elementarwelle Huygens: Die Einhüllende dieser Elementarwellen stellt die neue Wellenfront dar: Dies ist hier die Tangente an die Kreise vom Punkt C aus: CD www.rudolf-web.de Version 2.1 vom 24/02/2012 Seite 20 Kursstufe Physik – Abiturvorbereitung • • • • • • • • • Senkrecht auf der Tangente CD steht der Radius der von A ausgehenden Elementarwelle: r = AD In der Zeit t hat Strahl 3 den Weg von B nach C zurückgelegt: BC = c t In der Zeit t hat die von A ausgehende Elementarwelle denselben Weg (=Radius): AD =c t zurückgelegt. Betrachten wir Dreiecke ABC: Der Winkel W1 beträgt 90° (Wellenfront ┴ Strahl) Für den Winkel W3 gilt: sin(W3) = BC/AC = c t / AC In Dreieck ADC gilt: Der Winkel W2 beträgt 90° (Tangente/ Wellenfront ┴ Radius / Strahl) Für den Winkel W4 gilt: sin(W4) = AD/AC = c t / AC Damit sind die Winkel W3 und W4 gleich groß: W3 = W4 Der Winkel W3 lässt sich mit dem Einfallslot zu 90° ergänzen, der Winkel W5 lässt sich bis AB zu 90° ergänzen: Damit ist W3 = W5 Der Winkel W4 lässt sich mit dem Einfallslot zu 90° ergänzen, der Winkel W6 lässt sich bis AB zu 90° ergänzen: Damit ist W4 = W6 Damit erhalten wir: Einfallswinkel (W5) und Ausfallswinkel (W6) sind gleich groß! Huygens-Prinzip: Brechung • • • • • • • • • • • • • • Im oberen Teil breitet sich die EM-Welle mit c1 = c/n1 aus. Unter der Trennfläche breitet sich die EMWelle mit c2 = c/n2 aus. Strahl 1 – 3 bezeichnen die Ausbreitungsrichtung der EM-Welle Senkrecht dazu steht die Wellenfront (z. B. AB) Zum Zeitpunkt t = 0 trifft die Wellenfront (Strahl 1) bei A auf die Trennfläche Huygens: von dort geht eine Elementarwelle aus (wir betrachten nur den Teil unterhalb der Trennfläche – oberhalb ergibt sich wieder eine Reflexion) Etwas später trifft Strahl 2 auf die Reflexionsfläche Elementarwelle Zum Zeitpunkt t trifft Strahl 3 auf die Reflexionsfläche Elementarwelle Huygens: Die Einhüllende dieser Elementarwellen stellt die neue Wellenfront dar: Dies ist hier die Tangente an die Kreise vom Punkt C aus: CD Senkrecht auf der Tangente CD steht der Radius der von A ausgehenden Elementarwelle r = AD In der Zeit t hat Strahl 3 den Weg von B nach C zurückgelegt: BC = c1 t In der Zeit t legt die von A ausgehende Elementarwelle den Weg (=Radius) AD =c2 t zurück. Betrachten wir das Dreieck ABC: Der Winkel W1 beträgt 90° (Wellenfront ┴ Strahl) Für den Winkel W3 gilt: sin(W3) = BC/AC = c1 t / AC In Dreieck ADC gilt: Der Winkel W2 beträgt 90° (Tangente/ Wellenfront ┴ Radius / Strahl) Für den Winkel W4 gilt: sin(W4) = AD/AC = c2 t / AC Damit gilt für die Winkel W3 und W4: sin(W 3) = sin(W 4) • c1t AC c2t AC = c1t c1 = = c2 t c 2 c n1 c n2 = n2 n1 Der Winkel W3 lässt sich mit dem Einfallslot zu 90° ergänzen, der Winkel W5 lässt sich bis AB zu 90° ergänzen: Damit ist W3 = W5 www.rudolf-web.de Version 2.1 vom 24/02/2012 Seite 21 Kursstufe Physik – Abiturvorbereitung • Der Winkel W4 lässt sich mit dem Einfallslot zu 90° ergänzen, der Winkel W6 lässt sich bis AB zu 90° ergänzen: Damit ist W4 = W6 • Damit gilt für den Einfallswinkel (W5 = α) und Brechungswinkel (W6 = β): n sin(α ) c1 = = 2 sin( β ) c2 n1 Beispiel 1: α = 30°; n1 = 1 (Luft); n2 = 1,5 (Wasser) β = 19,47° Beim Übergang ins „optisch dichtere“ Medium findet eine Brechung zum Lot hin statt! Beispiel 2: α = 30°; n1 = 1,5; n2 = 1 β = 48,59° Beim Übergang ins „optisch dünnere“ Medium findet eine Brechung vom Lot weg statt! Beispiel 3: α = 70°; n1 = 1,5; n2 = 1 β = -Bei großen Winkel findet kein Übergang ins „optisch dichtere“ Medium statt: Totalreflexion! Grenzwinkel αG der Totalreflexion in diesem Fall (n1 = 1,5; n2 = 1): β = 90° αG = 41,81° VII) zum Kapitel Interferenz: 1) Intensitäten am Gitter und am Einzelspalt – ausführliche Berechnung Die beobachtbaren Interferenzen am Einzelspalt spielen auch bei Gitter / Doppelspalt eine Rolle, wenn wir die Idealisierung aufgeben, dass die Spalt punktförmig sind. Deshalb berechnen wir die konkrete Intensitätsverteilung. a) Energie und Bestrahlungsstärke in der elektromagnetischen Welle: Die elektrischen und magnetischen Felder einer em. Welle transportieren Energie. Wir wissen nämlich: Die Energie im elektrischen Feld eines Plattenkondensators beträgt: A Wel = 12 CU 2 = 12 ε 0ε r E 2 d 2 = 12 ε 0ε r E 2V , d W also steckt im E-Feld die Energiedichte ρ el = el = 12 ε 0ε r E 2 . V Da die Energie einer elektromagnetischen Welle nicht nur im E-Feld steckt sondern ebensoviel Energie im B-Feld, beinhaltet die em. Welle die Energiedichte: ρ = 2 ρ el = ε 0ε r E 2 . In einem Volumen ∆ V = ∆ A∆ x steckt die Energie ∆ W = ρ ∆ V = ε 0ε r E 2 ∆ A∆ x . Trifft die em. Welle nun (senkrecht) auf eine Wand (mit der Geschwindigkeit c), so erhält die Wand die Leistung ∆W ∆x P= = ε 0ε r E 2 ∆ A = ε 0ε r E 2 ∆ A ⋅ c . ∆t ∆t P = ε 0ε r E 2 c . Auf die Fläche ∆ A an der Wand bezogen, ergibt sich somit die Bestrahlungsstärke S = ∆A Diese ist eine zeitlich veränderliche Größe, da sich die elektrische Feldstärke mit der Zeit sinusförmig ändert. Im 1 ˆ E (wie beim Zusammenhang von Effektivspannung und zeitlichen Mittel ist die elektrische Feldstärke E = 2 Spannungsamplitude). Damit ergibt sich: 2 • Mittlere Energiedichte der em. Welle: ρ = 12 ε 0ε r Ê • Mittlere Bestrahlungsstärke (bei senkrechtem Einfall): S = P = ∆A 1 ε ε Eˆ 2 c 2 0 r Folgerung: Beim Interferenzmuster eines Doppelspaltes ergibt sich also folgende Energieverteilung: • im Maximum: bei konstruktiver Interferenz werden die Amplituden addiert ( 2 Ê ), also dort ist die vierfache Energiemenge. • im Minimum: bei destruktiver Interferenz, also Auslöschung, ist dort keine Energie mehr. • damit ist im Mittel die Energiemenge genau die doppelte eines Einzelspaltes: EES!!! b) Intensitätsverteilung beim Gitter (noch idealisiert: winzige Spalte) Wir untersuchen die Bestrahlungsstärke in Abhängigkeit vom Gangunterschied δ bzw. der Phasenverschiebung ϕ . Haben zwei benachbarte Spalten den Gangunterschied δ bzw. die Phasenverschiebung ϕ , so ergibt sich für die n Spalten rechtsstehendes Zeigerdiagramm, in dem alle Zeiger die Länge Ê haben und gegeneinander um ϕ phasenverschoben sind. Im oberen Bild erhält man für konstruktive Interferenz die maximale Feldstärke in den Maxima stets durch Eˆ Re s,Max = nEˆ . www.rudolf-web.de Version 2.1 vom 24/02/2012 Seite 22 Kursstufe Physik – Abiturvorbereitung Im unteren Bild ergänzt man den regelmäßigen Polygonzug durch gleichschenklige Dreiecke mit Schenkellänge r, bei denen der Winkel am Mittelpunkt ebenfalls ϕ ist. Halbiert man nun dieses gleichschenklige Dreieck, so erhält man: 1 Eˆ ϕ ϕ sin 2 = 2 ⇒ Eˆ = 2r sin 2 . r Auch für die resultierende Feldstärke aus n Vektoren, also im gleichschenkligen Dreieck mit dem Winkel n ϕ gilt: 1 Eˆ Re s nϕ . nϕ sin 2 = 2 ⇒ Eˆ Re s = 2r sin r 2 () () ( ) Eˆ Re s Betrachten wir das Verhältnis zur Feldstärke in den Maxima: Eˆ Re s,Max = ( ) () ϕ Eˆ Re s sin n 2 = . ϕ nEˆ n sin 2 ( ) () 2 sin n ϕ 2 Für die Bestrahlungsstärke (Intensität) ergibt sich dann: = = S Max n sin ϕ 2 Für ein Gitter mit n Spalten ergibt sich folgender Zusammenhang zwischen Phasenverschiebung und Intensität • Für δ = kλ bzw. ϕ = 2kπ , k = 0,1,2,... gilt: S G = S Max (Maxima gleich hell) 2 1 ε ε Eˆ c 2 0 r Re s 2 1 ε ε Eˆ c 2 0 r Re s , Max S • Sonst: S G ( ) () sin n ϕ 2 = S Max ϕ n sin 2 2 Bem.: Dies kann auch umformuliert werden durch: δ ϕ 2π = ⇒ ϕ = δ und weiter durch: λ 2π λ δ 2π sin α = ⇒ δ = g sin α ⇒ ϕ = g sin α g λ Damit lautet die Abhängigkeit vom Ablenkwinkel α : π sin n g sin α λ S G = S Max π n sin g sin α λ 2 Abbildung 1 mit n = 3 c) Intensitätsverteilung am Einzelspalt der Breite l Der Einzelspalt kann als Gitter aufgefasst werden mit sehr vielen Spalten. δ 2π ⇒ δ = l sin α ⇒ φ R = l sin α ) der Aus der Phasendifferenz φ R (mit sin α = l λ φ Randstrahlen ergibt sich dann die Phasendifferenz benachbarter Strahlen ϕ = R n ϕ ϕ ϕ Da die Anzahl n der Spalten sehr groß ist, ist sehr klein, also gilt: sin = . 2 2 Die Intensität ergibt sich durch: ( ) () sin n ϕ 2 S = S Max ϕ n sin 2 2 ( ) sin n ϕ 2 = S Max ϕ n 2 2 sin φ R 2 = S max φ R 2 2 Beim Einzelspalt der Breite l ist unter dem Winkel α die Intensität S E Bem.: Die Minima liegen bei sin α = sin( kπ ) = 0 !! kλ , denn dann steht im Zähler: l ( sin π l sin α λ = S Max π l sin α λ ) 2 zu sehen. d) Zurück zum Gitter mit Gitterkonstanten g und Spaltbreite l www.rudolf-web.de Version 2.1 vom 24/02/2012 Abbildung 2 mit d = 0,01 mm, λ=500Seite nm 23 Kursstufe Physik – Abiturvorbereitung Jede einzelne Gitteröffnung ist als Einzelspalt zu betrachten. Nur die Wellenzüge, die ein einzelner Spalt durchlässt, können im Gitter interferieren. Die Maxima beim Gitter haben also gerade die Intensität, die von den Einzelspalten durchgelassen wird: ( ) 2 sin π l sin α λ . die Hauptmaxima beim Gitter haben also die Intensität S G ,Max = S E = S Max π l sin α λ Die Helligkeit der Hauptmaxima des Gitters nehmen vom Maximum nullter Ordnung aus ab, da beim Einzelspalt die Intensität abfällt. kλ , g k'λ sin α = l g kλ k' λ = ⇒ k = k' g l l sin α = Fällt ein Hauptmaximum des Gitters, also mit einem Minimum des Einzelspaltes, also zusammen: so ist dieses Hauptmaximum nicht sichtbar. („n Einzelspalte - alle mit Intensität Null – interferieren konstruktiv: 0 n = 0 keine Intensität) Bsp.: Bei einem Gitter mit g = 3l gilt: das 3. Hauptmaximum beim Gitter fällt ins erste Minimum beim Einzelspalt: (also fällt ebenso das 6. und 9. Hauptmaximum aus). kλ k'λ g = ⇒ k = k ' = 3k ' g l l Abbildung 3 mit n = 3 und g = 3l Insgesamt muss von einer Überlagerung von Einzelspalt und Gitter gesprochen werden: Die Kurve des Einzelspalts ist die Einhüllende der Gitterfunktion: SG ( sin π l sin α λ = S Max π l sin α λ ) 2 sin (n πλ n sin ( π λ ) ) g sin α g sin α 2 Abbildung 4 mit g = 3l 2) Interferenzplättchen -auch schräger Einfall Es handelt sich um folgende Situation: Ein Lichtstrahl wird an an jeder Grenzschicht zum Teil reflektiert und durchgelassen. An einem "festen Ende" (beim Übergang ins optisch dichtere Medium) erfolgt bei der Reflexion ein Phasensprung um π. Der an der oberen Grenzfläche reflektierte "grüne" Strahl und der oben zuerst durchgelassene, unten reflektierte und oben wieder durchgelassene "violette" Strahl interferieren. Dabei müssen die Gangunterschiede berücksichtigt werden. www.rudolf-web.de Version 2.1 vom 24/02/2012 Seite 24 Kursstufe Physik – Abiturvorbereitung Gegeben seien folgende Daten: Dicke des Plättchens von d (hier 400 nm), Brechungszahl n (hier 1,5), Wellenlänge λ (hier 633 nm) und Einfallswinkel α (hier 30°). Weg 2 im Plättchen am „blauen“ Strahl: • sin(α) / sin(β) = n (hier β = 19,47°). • Damit gilt für den "Hinweg" x: cos(β) = d/x (hier: x = 424,26 nm), • für "Hin- und Rückweg": 2x (hier 848,5 nm), • also unter Berücksichtigung der Brechungszahl ergibt sich der optische Weg: δ2 = 2 n x = 2 n d /cos(β) (hier: 1273 nm). Weg 1 am reflektierten „grünen“ Strahl: δ1 = b sin(α) (wenn b die Hypothenuse an der Grenzschicht ist). Diese lässt sich mit Hilfe der Dreiecke im Medium berechnen: ½b = d tan(β) , also b = 2d tan(β) (hier: 282,8 nm) damit gilt: δ1 = b sin(α) = 2d tan(β) sin(α) (hier: 141 nm). Hinzu kommt für den oberen Strahl noch der Phasensprung um einen halbe Wellenlänge. Die beiden Gangunterschiede müssen subtrahiert werden: δ = δ2 - (δ1+ ½λ) (hier 1132 nm). Wenn δ = (k + ½) λ gilt, dann löschen sich die beiden Strahlen aus. (In unserem Fall mit λ= 633 nm: δ = 2,3 λ, also keine vollständige Auslöschung!) 3) Polarisation - ausführlicher Bsp. 1: Ist die zweite Folie um den Winkel α gedreht, so ergibt sich (Lichtrichtung ins Blatt hinein): erste Folie läßt polarisiertes Licht mit der elektrischen Feldkomponente E 1 , aufspaltbar in eine parallele Komponente Ep und vertikale Ev durch.(Ein Hertzsches Gitter lässt nur Komponenten senkrecht zur Gitterrichtung durch, da es in dieser Richtung nicht schwingen kann). Zwischen E1 und Ev ist somit auch der Winkel α , es gilt also: Ev = E1 cos α Damit gilt für die Intensität: S ~ Ev 2 = E12 cos 2 α Bsp. 2: Ist die 2. Folie um 90° gegenüber der ersten gedreht, herrscht Dunkelheit. Bringen wir aber eine dritte Folie zwischen die beiden, gegenüber der ersten um α gedreht, so gelangt wieder ein Teil des Lichtes durch. Damit dreht also die Folie (3) die Polarisationsrichtung. Durch Folie (3) gelangt E3 = E1 cos α . Die Folie (2) ist um 90° - α weiter gedreht, lässt also E2 = E3 cos( 90° − α ) = E1 cos α ⋅ cos( 90° − α ) durch. Für die Intensität gilt : S ~ E12 cos 2 α ⋅ cos 2 ( 90° − α ) Das Gesetz von Brewster Versuch: Unpolarisiertes Licht wird an einem Glaskörper teilweise an der Oberfläche reflektiert und teilweise gebrochen. Betrachten wir das reflektierte Licht durch eine Polarisationsfolie, so gibt es einen Einfallswinkel, unter dem das reflektierte Licht vollständig polarisiert ist. Qualitative Erklärung: Das einfallende Licht ist unpolarisiert, wir können es also in Komponenten Ep und Ev zur Einfallsebene aufspalten. Im Glas regen diese E-FeldVektoren die Elektronen zum Schwingen an, wir haben also kleine schwingende Hertzsche Dipole - die Ursache der reflektierten Welle. Ein Hertzscher Dipol strahlt aber längs seiner Achse nicht. Steht also die reflektierte Welle senkrecht auf dem gebrochenen Strahl, kann die Komponente Ep nicht in Richtung der reflektierten Welle abstrahlen, diese hat also nur die Polarisationsrichtung von Ev. sin α = n Quantitative Erklärung: Es gilt: 180° = α + 90° + β ⇒ β = 90° − α und sin β sin α sin α ⇒ = = tan α = n . Damit ergibt sich das sin ( 90° − α ) cos α Gesetz von Brewster: Beim Einfallswinkel α mit tan α = n ist der reflektierte Strahl vollständig polarisiert. www.rudolf-web.de Version 2.1 vom 24/02/2012 Seite 25 Kursstufe Physik – Abiturvorbereitung Bsp.: Bei Glas mit n = 1,5 ist bei einem Einfallswinkel von 56° der reflektierte Strahl vollständig polarisiert. Bem.: Auch gestreutes Licht ist teilweise polarisiert. Unter 90° gestreutes Licht ist vollständig polarisiert. Bestätigung durch den Versuch: Licht wird an Wasser-Milch-Emulsion gestreut. 90° zur Einfallsrichtung gestreutes Licht ist durch einen Analysator vollständig auslöschbar. Anwendung in Natur und Technik: 1. Fotoapparate mit Polarisationsfiltern können störende Reflexe abschwächen. 2. Fischreiher haben Augen mit Polarisationsfilter und können so Fische unter Wasser besser erkennen. 3. Bienen orientieren sich an der Polarisationsrichtung des blauen - an den Luftmolekülen gestreuten und somit polarisierten - Himmelslichts. 4. Der Zuckergehalt im Blut oder Urin ist wichtig zur Diagnose und Kontrolle der Diabetes. Er wird mit einem Saccharimeter bestimmt, zwei gekreuzten Polarisationsfiltern, zwischen denen die Flüssigkeit eingefüllt wird. Die Zuckermoleküle drehen die Polarisationsrichtung - in Abhängigkeit von der Zuckerkonzentration. 4) zu „Weitere Interferenzexperimente“ Aufgabe: Gegeben ist ein Interferenzplättchen der Dicke d = 400 nm mit der Brechungszahl n = 1,3. Das Laserlicht mit λ = 400 nm fällt unter dem Einfallswinkel von 20° auf das Interferenzplättchen, wo es teilweise reflektiert und teilweise eindringt – und zum Teil wieder an der Unterseite reflektiert ... Skizziere die Wege zweier Lichtwellen, die interferieren. Berechne den optischen Weg im Plättchen („Hin- und Rückweg“). Berechne den Gangunterschied – und überlege, was geschieht. Zeige, dass unter dem Einfallswinkel α = 56° Auslöschung zu beobachten ist? Lösung: 1. Interferenzplättchen mit Dicke d = 400 nm, n = 1,3. Laserlicht mit λ = 400 nm, α = 20°: optischen Weg im Plättchen („Hin- und Rückweg“) Nun gilt das Brechungsgesetz: sin(α) / sin(β) = n à β = 15,25° Für den „Hinweg“ gilt: cos(β) = d/x à x = 414,6 nm „Hinweg“ x à „optischer Hin- und Rückweg“: δ2 = 2nx = 1078 nm Weg des ersten Strahls bis zur Wellenfront: sin(α) = δ2 / b (mit b: Abstand der beiden Strahlen auf der Oberseite des Plättchen) Und für b/2 gilt im Plättchen: tan(β ) = (b/2)/d à b = 2d tan(β) = 218 nm à δ1 = b sin(α) = 75 nm Dazu kommt für den ersten Strahl noch ein Phasensprung von λ/2 Gangunterschied: δ = δ2 – δ1 + λ /2= 1200 nm (oder auch δ = δ2 – δ1 - λ /2= 800 nm) Dies entspricht gerade 3 λ (oder 2 λ), somit interferieren die Strahlen konstruktiv. Auslöschung für α = 56° à β = 39,6° à x = 519 nm à δ2=1350 nm; b = 662 nm à δ1 = 549 nm à δ = 1350 nm – 549 nm + 200 nm = 1001 nm = 2,5 λ à Auslöschung www.rudolf-web.de Version 2.1 vom 24/02/2012 Seite 26 Kursstufe Physik – Abiturvorbereitung 5) Interferenz bei Röntgenstrahlen - Bragg-Reflexion Erzeugung: Elektronen werden durch eine Spannung (bei unserem Apparat im Bereich 30 kV) beschleunigt und prallen auf eine schräggestellte Metall-Anode (bei uns aus Kupfer). Dabei entsteht Röntgenstrahlung, die X-Rays. Die Elektronen regen beim Aufprall die Metallelektronen zu heftigen Schwingungen an, so dass wie beim Hertzschen Dipol elektromagnetische Wellen (sehr hoher Frequenz) abgestrahlt werden. (Deutung in der Quantenphysik: Die Elektronen schlagen aus den Schalen der Metallatome Elektronen heraus. Die Löcher in den Schalen werden durch andere Elektronen aus höheren Schalen aufgefüllt, wobei Röntgenstrahlung mit einer elementspezifischen Energie entsteht (charakteristische Röntgenstrahlung) Bild aus Wikipedia Untersuchung der Welleneigenschaft durch Interferenz an Kristallstrukturen, die wir als sehr feine Reflexionsgitter verwenden - in der Größenordnung der Wellenlänge. Kristallstruktur: Wir verwenden einen NaCl-Kristall, indem die Nachbaratome regelmäßig in einem kubischen Gitter angeordnet sind (also auf den Ecken von Würfeln) sitzen (vgl. DB. S. 262). Die Kantenlänge dieser Würfelstruktur beträgt ca. d = 0,3 nm (hier Sicht von oben). Bragg-Reflexion: Gelangt von links Röntgenstrahlung auf das Gitter, so wird es von den einzelnen Atomen reflektiert. Dabei interferieren die an der ersten Ebene reflektierten Wellen mit denen an der zweiten, dritten ... Ebene. Bei einem Ebenenabstand d und einem (Glanz-)Winkel θ zur Ebene (Achtung: nicht der Winkelα zur Normalen!) beträgt der Gangunterschied zweier an benachbarten Ebenen reflektierten Wellen: δ = 2d sin(θ). Damit interferieren die Wellen konstruktiv bei δ = k λ, mit k = 1, 2 ... (k = 0 kommt nicht vor!) Bild aus Wikipedia Bragg-Bedingung für konstruktive Interferenz: k λ = 2d sin(θ) mit k = 1, 2, ... (mit dem Ebenenabstand d) Für die Messungen wird ein Röntgenstrahl auf einen Einkristall fokussiert, woran er reflektiert wird. Damit kann man das Röntgenspektrum (vor allem das diskrete) aufnehmen (siehe Programm gitter.exe): Man fährt mit dem "Arm", auf dem das Zählrohr (Geiger-Müller) montiert ist, die verschiedenen Winkel ab, so dass man die Maxima und Minima der Interferenz bestimmen kann. Daraus kann man bei bekanntem d die Wellenlängen der "Peaks" bestimmen (diese tauchen einmal für k = 1, einmal für k = 2 ... auf). Debey-Scherrer-Verfahren: Dies ist ein zweites Verfahren: Dabei verwendet man nicht einen (großen) Kristall und fährt die einzelnen Winkel ab sondern Kristallpulver, also viele (kleine) Kristalle, so dass alle Winkel gleichzeitig eingestellt sind. Auf einem Fluoreszenzschirm lässt sich dann ein (kreisförmiges) Interferenzmuster betrachten. Aus dem Radius R und dem Abstand L (Schirm - Kristall) kann man den Winkel θ bestimmen: tan(2θ) = R/L (hier wird 2θ − in der Skizze steht 2α - gemessen, da der Winkel zum einfallenden Strahl bestimmt wird) und daraus mit der Bragg-Bedingung die Wellenlänge oder den Gitterabstand. VIII) Zur Quantenphysik 1) Aufgaben zum Photoeffekt Einstieg: Hallwachs-Experiment Eine geladene Zinkplatte wird mit Licht bestrahlt: Manchmal wird die Platte entladen. 1.) Notieren Sie die Versuchsergebnisse für folgende 4 Fälle: Positiv geladene Platte Negativ geladene Platte Lampe 1: UV- Licht Nichts Wird entladen! Lampe 2: Rotlicht Nichts nichts 2.) Was geschieht ihrer Meinung nach, wenn die Zinkplatte entladen wird. Durch das UV-Licht werden Elektronen aus der Zinkplatte herausgeschlagen www.rudolf-web.de Version 2.1 vom 24/02/2012 Seite 27 Kursstufe Physik – Abiturvorbereitung 3.) Versuchen Sie diese Beobachtungen im Wellenmodell zu beschreiben. Berücksichtigen Sie auch den EnergieAspekt. Die Energie des Lichtes bringt die Austrittsarbeit für die Elektronen auf. Dabei ist es aber merkwürdig, dass das rote Licht – unabhängig von der Intensität und damit Energiemenge – keine Elektronen herausschlägt. Das Experiment ist also im Wellenmodell nicht zu erklären! 4.) Versuchen Sie, diese Beobachtungen mit anderen Modellen zu beschreiben! Teilchenmodell: Lichtteilchen prallen auf das Elektronen und durch den Stoß werden die Elektronen herausgeschlagen. Strahlenmodell: ? Messungen zum Photoeffekt: Um das Zusammenwirken von Licht und Materie genauer zu bestimmen, untersuchen wir den Photoeffekt quantitativ: Wir messen die Energie der Elektronen, die sich vom Metall ablösen. 5.) Formulieren Sie Ihre Erwartungen – ausgehend vom Wellenmodell – wie sich die Energie und die Anzahl der herausgeschlagenen Elektronen verändert in Abhängigkeit von der Intensität und der Farbe (Frequenz) des Lichtes: Bei größerer Intensität: Die Elektronen haben mehr kinetische Energie (entspricht der Gegenspannung) Bei höherer Frequenz: Keine Auswirkungen 6.) Notieren Sie die Beobachtungen: Bei größerer Intensität: Die kinetische Energie der Elektronen ändert sich nicht – allerdings werden mehr Elektronen herausgeschlagen Bei höherer Frequenz: Die kinetische Energie der Elektronen wird größer 7.) Vergleichen Sie diese Beobachtungen mit den Vorhersagen im Wellenmodell. Die Vorhersagen stimmen nicht! 8.) Ziehen Sie Konsequenzen: Das Wellenmodell erklärt dieses Experiment nicht! 9.) Wie hängen die Energie des Lichtes, die kinetische Energie des Elektrons und die Bindungsenergie des Elektrons im Atom (besser: Austrittsarbeit) zusammen: WLicht = Waustritt + Wkin 10.) Wie hängt die Gegenspannung im Experiment mit der kinetischen Energie des Elektrons zusammen? Die Gegenspannung wird soweit erhöht, bis sie der kinetischen Energie der Elektronen entspricht – dann kommen keine Elektronen mehr an der Anode an: Wkin = e U 11.) Wie lautet der Zusammenhang zwischen Wellenlänge und Frequenz des Lichtes im Wellenmodell? c = λ f 12.) Notieren Sie die Messwerte des Experiments und tragen sie diese graphisch auf! Ugegen in V 0,2 0,48 0,51 0,555 0,76 λ in nm 665 635 590 560 480 Wkin in eV 0,2 0,48 0,51 0,555 0,76 f = c/λ in 1014 4,5 4,7 5,1 5,4 6,3 Hz 13.) Geben Sie eine Formel für den Zusammenhang zwischen Wkin und f an: lineare Funktion: Wkin = m f + b 14.) Welche Bedeutung haben der yAchsenabschnitt und die Steigung im Schaubild? Der y-Achsenabschnitt entspricht gerade der Austrittsarbeit, die ja nicht von der Frequenz des Lichts abhängt sondern lediglich vom Atom. Die Steigung gibt die Abhängigkeit der Energie des Lichtes von der Frequenz an. Diese Steigung erhält einen neuen Namen: h Wkin = h f – WA Es gilt WLicht = h f 15.) In einem Experiment mit einer Kaliumplatte könnten wir folgende Werte erhalten. Berechnen Sie die Werte für f, zeichnen Sie das Schaubild für Wkin (f) und bestimmen Sie die Konstanten in der obigen Formel. λ (in nm) 280 250 200 www.rudolf-web.de Version 2.1 vom 24/02/2012 Seite 28 Kursstufe Physik – Abiturvorbereitung Wkin (in 10-19 J) 0,27 1,1 3,1 14 f (in 10 Hz) 10,7 12,0 15,0 Mit dem GTR lässt sich diese Aufgabe einfach lösen: X-Werte (also f) als Liste L1 und y-Werte (also W kin) als Liste L2 eingeben über [STAT] [1:EDIT] (bitte inkl. Exponenten!) Nun wird eine Lineare Regression durchgeführt über [STAT] [CALC] [4: LinReg(ax+b)] Wir erhalten die Steigung und den y-Achsenabschnitt: a = h ≈ 6,6 .10 -34 Js und b = - WA ≈ - 6,8 .10 -19 J (mit den Werten aus dem Experiment in 12. kommt h mit ca. 30% Abweichung heraus) 16.) Interpretieren Sie diesen Zusammenhang in einem Modell des Lichtes. Die Energie des Lichtes ist in Energiepaketen oder -quanten, sogenannten Photonen, aufgeteilt. Die Energie dieses Quanten ist abhängig von der Frequenz: Wphoton = h f. Trifft ein Photon auf ein Elektron, so gibt es zwei Möglichkeiten: Die Frequenz ist nicht groß genug und damit auch die Energie des Quants, um das Elektron herauszuschlagen, dann geschieht nichts – oder die Energie reicht, dann gibt das wird die Energieportion vom Elektron aufgenommen und dieses wird aus dem Atom herausgeschlagen. 17.) Wie verändern sich die Wkin(f)-Schaubilder bei unterschiedlichem Kathodenmaterial? Die Schaubilder sind parallel. Die verschiedenen Kathodenmaterialien führen zu unterschiedlichen Austrittsarbeiten, die Steigung h bleibt aber gleich. 18.) Erläutern Sie, inwiefern h eine universelle Naturkonstante ist! Es ist eine Konstante – ihr Wert verändert sich nicht. Sie ist universell – sie hat im ganz Universum denselben Wert. Sie ist eine Naturkonstante – sie hängt nicht von anderen Größen ab sondern muss experimentell bestimmt werden. 19.) Für das Metall Natrium beträgt die Ablöseenergie 3,65 ⋅ 10-19 J. Lösen Sie die folgenden Aufgaben zeichnerisch oder rechnerisch: a) Wie groß ist die (maximale) Bewegungsenergie, die ein Elektron bei Einstrahlung von UV-Licht der Wellenlänge λ = 300 nm auf eine Natriumschicht erhalten kann? WPhoton = h f = h c/λ = 6,63 .10 -34 Js 3,00 .108 m/s / (300 .10 -9 m) ≈ 6,63 .10 -19 J Wkin = Wphoton – WA ≈ 2,98 .10 -19J b) Bei welcher Wellenlänge werden gerade noch Elektronen von der Natriumschicht abgelöst? Welche Frequenz hat dieses Licht? In welcher Farbe erscheint uns dieses Licht? Bei der Grenzwellenlänge gilt: Wkin = 0 bzw. Wphoton = WA Also: h fgr = WA fgr = WA / h ≈ 5,50 .1014Hz Somit: λ = c / f ≈ 545 m ergibt grün (s. a. http://de.wikipedia.org/wiki/Farben ) c) Welche maximale Geschwindigkeit haben Elektronen, wenn man das sichtbare Spektrum (ohne UV!) auf die NatriumSchicht strahlt? Das sichtbare Spektrum reicht von 400nm bis 800nm. Die Lichtquanten bei 400 nm sind am energiereichsten: WPhoton = h f = h c/λ = 5,0 .10 -19 J Die maximale kinetische Energie der Elektronen: Wkin = Wphoton – WA ≈ 1,3 .10 -19J Die maximale Geschwindigkeit ergibt sich aus: Wkin = ½ me v² v =√(2Wkin/me) ≈ 540 km/s © Penarc, Wikimedia Commons 2) Aufgabe zur Röntgenbremsstrahlung Bsp.: Minimaler Winkel: 9,0°; Kristallebenen-Abstand d = 200 pm; U = 20 kV Mit der Braggbedingung k λ = 2d sin(α) (mit k=1) ergibt sich die Wellenlänge λmin = 62,6 nm. Mit c = λ f ergibt sich die zugehörige (maximale) Frequenz im Röntgenspektrum: f max = 4,8 .1018 Hz Daraus ergibt sich über h = e U/fmax der Wert von h ≈ 6,7 .10-34 Js 3) Grundsätzliches zu Modellen in der Physik - ausführlicher • Physik bietet Modelle, die die Wirklichkeit beschreiben. www.rudolf-web.de Version 2.1 vom 24/02/2012 Seite 29 Kursstufe Physik – Abiturvorbereitung • • • • • • • • • • • • Die auf dieser Alltagserfahrung basierenden Konzepte, auf die wir uns täglich verlassen, sind in der Welt der Quantenphänomene unbrauchbar. „Eine Theorie hat man erst verstanden, wenn man das Problem verstanden hat, zu dessen Lösung sie entworfen wurde, und versteht, inwiefern sie das Problem besser löst als ihre Konkurrenten, d.h. den Naturphänomenen adäquater ist, zu deren Verständnis sie ersonnen wurde.“ (K. Popper) „Eine Theorie ist um so eindrucksvoller, je größer die Einfachheit ihrer Prämissen ist, je verschiedenartigere Dinge sie miteinander in Beziehung bringt und je umfangreicher ihr Anwendungsbereich ist.“ (A. Einstein) Modell: Nachbildung der Wirklichkeit, nicht die Wirklichkeit selbst Physik-Modell: Beinhaltet Gesetze, deren Aussagen überprüfbar sind. Bsp.: Wellenmodell für Licht Interferenz ist erklärbar Gutes Modell: wenige Prämissen, vielfältige Vorhersagen Bsp.: 4 Maxwell-Gleichungen alle Phänomene der Elektrodynamik Newtons Kräfte-Modell: Aus den Kräften und den Anfangsbedingungen kann die Bewegung vorhergesagt werden: s0 v0 F=m⋅a a(t) s(t) v(t) integrieren integrieren Je abstrakter ein Modell ist, desto mathematischer ist es. Bsp.: Nicht abstrakt: Modell der magnet. Feldlinien - abstrakt: Modell der EM-Wellen Modell beinhaltet: a) klare Begriffe: z. B. Stromstärke, Elementarwellen, ... wird genau definiert b) eindeutige Rechenvorschriften: Formeln für I, Wellenfunktion, ... c) Interpretationen der Formeln, Begriffe: einfach bei I, Begriffe bilden Phänomene beobachten Experimente ja schwieriger bei Wellenfunktion entwerfen Neue Modelle entstehen, wenn Phänomene beschreiben o durch Nachdenken ein einfacheres Modell Vorhersagen deduzieren gefunden wurde. analysieren zutreffend? nein ja induzieren o neue Beobachtungen im alten Modell nicht mehr erklärt werden können. „Gesetze“ formulieren Grenzen der Modellbildung: o Physik-Modelle beschreiben nur den berechnen, interpretieren Teil der Wirklichkeit, der messbar und in Formeln darstellbar ist. vorhersagen o Physik-Modell erklären nicht kausal: Warum ist das so? ??? o Es gibt kein „wahres Modell“ - nur „beobachtungsnahe Modelle“. falsch: „Licht ist eine EM-Welle“; richtig: „Die Experimente mit Licht lassen sich im Wellenmodell gut erklären“ Auch die Quantenphysik zeigt uns: Es gibt keine Realität an sich, es gibt nur, was wir beobachten. Wir treten einer Sache immer als Subjekt gegenüber. Damit sind die einzige eigentliche Wirklichkeit unsere Bilder von der Natur, unsere Modelle in ihrer Vielgestaltigkeit, ihrer Wandelbarkeit, mit ihren unterschiedlichen mathematischen Grundlagen, ihren kühnen Hypothesen – eine faszinierende und menschliche Wirklichkeit. Wir entwerfen ein Bild von der Wirklichkeit und prüfen es auf seine Zuverlässigkeit! Grundfragen: „Was will die Physikerin / der Physiker?“ führt zur Motivation der Methoden, nach denen in „Was tut sie / er dafür?“ gefragt wird. „Wann ist ein Modell wahr?“ ist eine provozierende Frage, die besser durch die Frage „Wann ist ein Modell gut?“ ersetzt wird, welche nach den Modellkriterien fragt. „Wozu dient ein Modell?“ fragt noch einmal nach Methodik und Motivation der Physik. „Gibt es zu den gleichen Phänomenen alternative Modelle?“ betont, dass es „das richtige Modell“ nicht gibt. 4) Weitere Quantenphänomene Comptoneffekt Phänomen: Röntgenlicht wird bei Streuung „weicher“, d. h. die Frequenz wird geringer. www.rudolf-web.de Version 2.1 vom 24/02/2012 Seite 30 Kursstufe Physik – Abiturvorbereitung Erklärung im Photonenbild: Photonen werden an Elektronen gestreut. Dabei geben sie einen Teil ihrer Energie an die Elektronen ab. Paarbildung Phänomen: Aus dem „Nichts“ entstehen Elektronen und Positronen (Antiteilchen des Elektrons mit gleicher Masse aber entgegengesetzter Ladung) und bewegen sich in entgegengesetzter Richtung – sichtbar gemacht mithilfe einer Blasenkammer. Erklärung im Photonenbild: Die Energie eines Photons hat sich in die Masse zweier Elektronen umgewandelt: Energieerhaltungsatz: WPh = 2me c + Wkin . 2 Das Photon muss dabei mindestens die Energie 2me c ≈ 1,02MeV besitzen. 2 http://i.onmeda.de/paarbildung.gif Der Ladungserhaltungssatz ist gewährleistet (vorher 0, hinterher +e-e=0). Der Impulserhaltungssatz fordert noch einen weiteren Stoßpartner, z. B. ein Bleiatom o. ä., der Vorgang geschieht also nicht im Vakuum. Paarvernichtung Phänomen: Teilchen und Antiteilchen zerstrahlen in zwei Photonen. Erklärung im Photonenbild: Die Energie der Teilchen hat sich in die Energie zweier Photonen umgewandelt ... http://www.zwjena.de/kkimages/wwpaarvernichtung.jpg Damit entsteht ein tiefgründiges Paradoxon: Licht verhält sich manchmal wie eine Welle und manchmal wie ein Teilchen: Dies ist der sogenannte Welle-Teilchen-Dualismus Ein Auflösung dieses Paradoxons ergibt sich mit der Einführung des Begriffes "Quantenobjekt" und der Betrachtung von "Wahrscheinlichkeitsamplituden Ψ" (diese hängen von den möglichen Wegen ab - analog zu den Gangunterschieden), die interferieren und deren Quadrat |Ψ|2 die Wahrscheinlichkeit für das Auftreffen z. B. auf einem Schirm angibt. 5) Elektronenbeugungsröhre – mit Bragg-Reflexion Für die Bragg-Reflexion (für k=1) gilt: λ = 2d ⋅ sin α ⇒ sin(α ) = λ . 2d Dies führt auf dem Schirm (Abstand L zur Grafitfolie) zum R Interferenzring mir Radius R mit, wobei gilt: tan(2α ) = . L Für kleine Winkel gilt dann: R λ λ tan(2α ) ≈ 2α ≈ 2 sin(α ) ⇒ ≈ 2 ⇒ R≈ L. L 2d d Die Abhängigkeit zwischen R und UB stellt sich so dar: h⋅ L R≈ d 2meU B Aufgaben aus Dorn-Bader S.255/A1: Elektronen (mit 10 keV) - Einkristall mit d = 210 pm: Gesucht sind die Glanzwinkel: h kλ kh λ = und α k = sin − 1 ( ) ⇒ α k = sin − 1 ( ) 2d 2mWel 2mWel ⋅ 2 ⋅ d α 1 = 1,7° ; α 2 = 3,3° ; α 3 = 5,0° ; α 4 = 6,7° ; α 5 = 8,3° ... S. 257/A2 Abhängigkeit zwischen dem Radius R der Beugungsringe und der Beschleunigungsspannung: 1 Herleitung s. o. (Teil A, 3): Aus den Formeln ergibt sich auch: R ~ . UB Wird U verdoppelt, verringert sich R um den Faktor 2. 6) Ausbreitungsgeschwindigkeit bei „Materie-Wellen“ Quelle: http://www.wmi.badw.de/teaching/Lecturenotes/Physik3/Gross_Physik_III_Kap_12.pdf : Lecture Notes of Prof. Gross to the Lectures "Physics 3" (WS 2001/2002 and WS 2002/2003) Es gelten folgende Formeln für die Wellen-Kenngrößen Wellenlänge und Frequenz: λ= h p und f= E h Die Verwendung der Wellen-Formel c=λ⋅ f ist dagegen problematisch, da nicht klar ist, was c sein soll: • Bei Lichtquanten ist c die Lichtgeschwindigkeit, dort gibt es kein Problem www.rudolf-web.de Version 2.1 vom 24/02/2012 Seite 31 Kursstufe Physik – Abiturvorbereitung • Bei Elektronen und anderen „Teilchen“ ist c nicht die Lichtgeschwindigkeit Unter obiger Quelle gibt es dazu eine gute Zusammenfassung (s.u.). • Dabei werden zwei Geschwindigkeiten, die Phasen- und die Gruppengeschwindigkeit betrachtet und nur für die Phasengeschwindigkeit gilt v phase =λ⋅f • • • Für Photonen gilt: c=v Phase =vGruppe , die Unterscheidung also hinfällig (c ist die Lichtgeschwindigkeit). Für relativistische Quanten mit einer Ruhemasse (also keine Photonen, aber z. B. sehr schnelle Elektronen) : ◦ v gruppe =v teilchen - also die klassische Geschwindigkeit des Elektrons z. B. aus ◦ v phase = c2 v teilchen - und da 1 E= m v 2 2 v teilchen <c , ist v phase >c Für nichtrelativistische Quanten ( v teilchen ≪ c ) gilt dagegen: v teilchen =v gruppe =2 v phase Abbildung 2: http://www.wmi.badw.de/teaching/Lecturenotes/Physik3/Gross_Physik_III_Kap_12.pdf - S. 470 Kurz-Zusammnenfassung für's Abi: c=λ⋅ f bei Elektronen o.ä. nicht verwenden!!! IX) zur Atomphysik 1) Historisches zur Atomphysik – Zusätzliche Modelle „Die alten Griechen“ Vorsokratiker (ca. 500 v. C.) dachten über den Aufbau der Welt nach. Empedokles formulierte, dass alles aus den 4 Elementen Feuer, Erde, Wasser, und Luft zusammengesetzt sei. Für Demokrit (ca. 400 v. C.) ist die Materie ist aus unteilbaren Bauteilen aufgebaut, den Atomen (atomós = unteilbar). Sie sind unzerstörbar, undurchdringlich und alle von gleicher Art, aber unterschiedlicher Form und Größe und können sich unterschiedlich anordnen, und erzeugen so die Verschiedenheit in der Welt. Aristoteles (ca. 350 v. C.) widersprach Demokrit und behauptete, dass Atome immer weiter teilbar seien. www.rudolf-web.de Version 2.1 vom 24/02/2012 Seite 32 Kursstufe Physik – Abiturvorbereitung „Naturforscher der Neuzeit“ John Dalton (um 1800, England) ist der Begründer der modernen Atomvorstellung. Atom sind für ihn kleine, neutrale und elastische Kugeln. Er formulierte zwei Gesetze: Atome eines Elementes haben dasselbe Atomgewicht, Atome verschiedener Elemente haben verschiedenes Atomgewicht. Sein Atommodell konnte viele chemische Gesetze erklären, z. B. dass das Gesamtgewicht bei chemischen Reaktionen konstant bleibt. Noch heute ist Daltons Modell geeignet zur Erklärung der kinetischen Gastheorie. Henri Becquerel, Marie Curie (beide Frankreich, kurz vor 1900) entdeckten Alpha-, Beta- und Gammastrahlen. Bei Alphastrahlung wandeln sich die Atome eines Elements, z. B. Po 210 in eine anderes Element, z. B. Pb 206 um und „schleudern“ Heliumkerne aus dem Atom. Unzerstörbarkeit und Unteilbarkeit waren wohl keine atomaren Eigenschaften. Damit begann die Suche nach der inneren Struktur der Atome. J. J. Thomson (um 1900, England) untersuchte subatomare Strukturen und entwickelte das „Rosinenkuchenmodell“: Das Atom besteht aus einer Wolke kontinuierlich verteilter positiver Ladung - gespickt mit Elektronen Ernst Rutherford (1911, England) beschießt Atome mit α-Strahlen und entdeckt dabei, dass Atome (ca. 100 pm Durchmesser) fast leer sind, einen winziger Kern (ca. 0,01 pm, 10.000 mal weniger) mit positiver Ladung besitzen und von einer negativen Elektronenwolke (Elektronen bewegen sich um den Kern) umgeben sind. Das Rutherfordsche Atommodell hat einen großen Nachteil: Es ist nach den Regeln der (klassischen) Physik unmöglich stabil, da die Elektronen bei ihrer Bewegung wie ein Hertzscher Dipol Energie abstrahlen müssen und somit innerhalb eines Sekundenbruchteils in den Kern fallen. Balmer (Gymnasiallehrer in Basel, 1884) untersuchte die Spektrallinien des Wasserstoffs im sichtbaren Bereich und 1 1 fand durch probieren, dass sie folgendem Gesetz gehorchen: f B = f R 2 − 2 . ( 2 n ) Mit f R = 3,3 ⋅ 1015 Hz , der Rydberg-Frequenz (Schweden), entsprechen sie der Energieformel: W B = hf B = 13,6eV ( 1 22 − 1 n2 ) Analog entdeckten Lyman im UV-Bereich Spektrallinien, die dem Gesetz W L = hf L = 13,6eV ( Paschen im IR-Bereich Spektrallinien mit W P = hf P = 13,6eV 1 32 − 1 n2 ) ( 1 12 − 1 n2 ) gehorchen und Niels Bohr (1913, Dänemark) entwickelte auf der Basis der Rutherfordschen Erkenntnisse ein neuartiges Atommodell, das „Planetenmodell“, bei dem die Elektronen den Kern umkreisen wie die Planeten die Sonne, wobei die Coulombkraft die Gravitationskraft ersetzt. Er ergänzte sein Modell durch folgende Postulate („Polizeigesetze“) - (s. a. Das Bohrsche Modell (Applet Fendt): • Es sind nur bestimmte (=diskrete) Bahnen erlaubt, durch die Hauptquantenzahl n = 1, 2, 3 ... bezeichnet: h • Es muss gelten: Bahnumfang = n * Wellenlänge Elektron: 2π r = nλ ⇔ 2π r = n mv (*) (nur dann sind die Wellenzüge geschlossen und interferieren nicht weg) 2 • Fz = FL ⇔ m vr = 4π1ε 0 Über ( m 1r n 2πhrm • )2 = 1 Ze 2 4π ε 0 r 2 folgt mit (*) ⇔ m 1r n 2 h2 4π 2 r 2 m 2 h ⇔ v= n h 2π r = n mv 2π rm = 4π1ε 0 Ze 2 r2 ⇔ 1 r 2 = π Ze 2m ε 0h 1 n2 ⇔ r= ε 0h2 π Ze 2 m n2 Für Z = 1 (Wasserstoff) ergibt sich der Bohrsche Radius r1 = 53 pm und rn= n² . r1 Jeder Bahn mit Quantenzahl n entspricht ein Energieniveau: W(n) = Wkin + Wpot Beim Wasserstoffatom: W(n) = (-) 13,6 eV / n² 2 W pot = − 4πe ε 0 W kin = 1 2 1 r mv 2 = 2 2 = − 4πe ε π e m2 0 ε 0h 1 2 m h2 1 4π 2 m 2 r 2 W ges = W pot + Wkin = − • • Ze 2 r2 1 n2 = = − 1 e4m 1 4 ε 0 2h2 n2 1 h 2 π 2e4 m2 1 2 4π 2 m ε 0 2 h 4 n 2 1 e 4m 1 4 ε 0 2h 2 n2 + 1 e4m 1 8 ε 02h2 n2 = − = 1 e 4m 1 8 ε 0 2h 2 n2 1 e 4m 1 8 ε 0 2h 2 n2 = − 13,6eV 1 n2 Auf diesen Bahnen strahlen die Elektronen keine Energie ab. Es sind Übergänge zwischen diesen diskreten Bahnen möglich o Der Übergang „nach außen“ (z. B. von n = 1 nach n = 3) erfordert Energiezufuhr: ΔW=W(n)-W(m). Die Energie kann durch die Einstrahlung von Licht erfolgen (dabei kann man beim Licht Absorptionsspektren beobachten, gewisse Wellenlängen fehlen im Spektrum) o Der Übergang „nach innen“ (z. B. von n = 3 nach n = 1) erfolgt unter Abgabe von Energie, die in Form 1 1 von Licht freigesetzt wird: ∆ W = 13,6eV 2 − 2 = hf ( n m ) Dabei können wir Emissionsspektren beobachten (einzelne Wellenlängen). www.rudolf-web.de Version 2.1 vom 24/02/2012 Seite 33 Kursstufe Physik – Abiturvorbereitung Bohr konnte mit seinem Modell die Absorptions- und Emissionsspektren des Wasserstoffs erklären. Die Lyman-, Balmer- und Paschen-Formeln sind Sonderfälle für Übergänge nach n=1, n=2 bzw. n=3. Bei anderen Atomen stimmen die berechneten Werte nicht mit den Spektren überein. James Franck und Gustav Hertz (1914) wiesen in Stoßversuchen, bei denen Elektronen auf Quecksilber-Atome prallen und dabei die Elektronen im Quecksilber durch Energieportionen von exakt 4,9 eV anregen, experimentell die quantisierte Energieaufnahme und –abgabe im Atom nach: • Die Elektronen im Atom besitzen scharfe und diskrete Energieniveaus, • die sie unter Abgabe bzw. Aufnahme von Energie in Quantensprüngen wechseln können. Erwin Schrödinger (Deutschland, 1925) fand eine Berechnungsvorschrift für die Wellenfunktionen. So wie sich die Bewegungen der Körper in der klassischen Mechanik mit den Newtonschen Gesetzen berechnen lassen, so kann man in der Quantenmechanik über die Schrödinger-Gleichung , einer Differentialgleichung, die Wellenfunktion Ψ(x,t) und damit die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten |Ψ(x,t)|² berechnen. 2 Die eindimensionale, zeitunabhängige Schrödingergleichung: Ψ ' ' ( x) = − 8πh 2m (W − W pot ( x))ψ ( x) Um aus der Schrödingergleichung die Wellenfunktion Ψ(x) zu bestimmen, müssen wie die physikalische Situation analysieren: Welche Kräfte wirken? Wie groß ist die potentielle Energie W pot (x) ? W pot (x) wird in die Schrödingergleichung eingesetzt. Für verschiedene Werte der Gesamtenergie W löst man nun die Differentialgleichung (exakt oder über Näherungsverfahren). Dabei sind jeweils spezielle Randbedingungen (z. B. beim linearen Potentialtopf Ψ ( x = L) = 0; Ψ ( x = 0) = 0 ) zu berücksichtigen. 2) Verschiedene Lösungen der Schrödingergleichung Beispiel 1: Der lineare, unendlich tiefe, eindimensionale Potentialtopf: W pot ( x) = 0 für 0 ≤ x ≤ L; sonst : W pot ( x) = ∞ - eingesperrte Elektronen haben keine Fluchtchance. Eine Ψ-Welle nach rechts wird am Rand reflektiert und wird zu einer Ψ-Welle nach links usw. Diese Ψ-Wellen interferieren. Unter der Randbedingung, dass |Ψ(x)|² = 0 außerhalb des Potentialtopfes bzw. sich dort Knoten von Ψ(x) befinden, ergeben sich – analog zur eingespannten Saite – für L = n λ2 stehende Ψ-Wellen, stationäre Zustände Ψn. Dazu gehören scharfe, diskrete Energieniveaus – abhängig von der Quantenzahl n: W (n) = W pot + Wkin = 0 + 1 mv 2 2 = 2 1 p 2 m = 1 h2 2 mλ 2 = h2 8mL2 n 2 (n = 1, 2, 3, ...) Der Grundzustand, n = 1, entspricht der Lokalisationsenergie der UBR in einem Käfig der Größe L. Anwendungen z. B. bei Farbmolekülen: Bei einem Potentialtopf der Größe L = 1,2 nm führt ein Sprung von n = 5 nach n = 4 zur Aussendung eines Photons mit ∆ W = h2 8mL2 (5 2 − 4 2 ) , was Licht der Wellenlänge λ = 523nm , Farbe grün, entspricht. Beispiel 2: Der lineare, endlich tiefe, eindimensionale Potentialtopf: W pot ( x) = 0 für 0 ≤ x ≤ L; am Rand ein dünner Potentialwall der Breite b mit W pot ( x) = 5eV . Mit einem Simulationsprogramm können wir für verschiedene Werte der Gesamtenergie W die Lösungen Ψ(x) der Schrödinger-Gleichung bestimmen (z. B. von J. Küblbeck: Schrödingers Schlange). Unter der Randbedingung, dass |Ψ(x)|² möglichst klein außerhalb des Potentialtopfes, ergeben sich wieder scharfe, diskrete Energieniveaus. Die Antreffwahrscheinlichkeit |Ψ(x)|² außerhalb des Potentialtopfes ist auch für Energien unter 5eV nicht Null. Eine Ψ-Welle nach rechts wird auch bei Energien kleiner als 5eV am Rand nur teilweise reflektiert, ein anderer Teil geht durch: Die Ψ-Welle tunnelt durch den Potentialwall, nach dem Wall läuft sie als fortschreitende Welle weiter (Tunneleffekt). Anwendung 1: Das Rastertunnelmikroskop macht sich den Tunneleffekt zunutze. Ein sehr dünne Nadelspitze – ein Atom an der Spitze - tastet die zu untersuchende Oberfläche ab und misst den Tunnelstrom, die Anzahl der tunnelnden Elektronen, was ein Maß für den Abstand zur Oberfläche ist. So lässt sich die atomare Struktur der Oberfläche sichtbar machen. Anwendung 2: Beim Alpha-Zerfall tunneln Heliumkerne aus dem Kern der Alpha-Strahler. www.rudolf-web.de Version 2.1 vom 24/02/2012 Seite 34 Kursstufe Physik – Abiturvorbereitung Beispiel 3: Das harmonische, eindimensionale Potentialtopf: Zu einer Rückstellkraft F = Dx gehört das „harmonische“ Potential W pot ( x) = 1 2 Dx 2 . Mit einem Simulationsprogramm können wir für verschiedene Werte der Gesamtenergie W die Lösungen Ψ(x) der Schrödinger-Gleichung bestimmen. Nur für diskrete Werte W (n) = k (n + 12 ) (k hängt von D ab, n = 0, 1, 2, 3, ...) geht |Ψ(x)|² für größere x gegen Null. Die Energiestufen haben alle denselben Abstand. Anwendung: Bei schwingenden Atomen in Molekülen und Festkörpern. Beispiel 4: Das Coulombpotential 2 2 Zur Coulombkraft F = 4π1ε Ze gehört das Coulomb-Potential W pot (r ) = − 4π1ε Zer . 2 0 r 0 Mit einem Simulationsprogramm können wir bei Z=1, dem Wasserstoffatom, für verschiedene Werte der Gesamtenergie W die Lösungen der Schrödinger-Gleichung bestimmen. 1 Nur für diskrete Werte W (n) = − 13,6eV 2 geht |Ψ(x)|² für größere x gegen Null. n Bei n = 1 ist das Maximum der Aufenthaltswahrscheinlichkeit gerade beim Bohrschen Radius. Anwendung 1: Damit sind die Ergebnisse von Balmer, Lyman, Paschen und Bohr quantenphysikalisch erklärt. Anwendung 2: Elektronen, die sich außerhalb dieses Potentials befinden, haben nichtquantisierte Energie, sie sind frei, alle Energiemenge W>0 sind möglich. Quantensprünge in ein gebundenes Energieniveau erzeugen das kontinuierliche Spektrum, wie es z. B. beim Sonnenlicht vorliegt. Anwendung 3: Für schwere Atome, Z >>1, sind die Energiestufen deutlich größer. Wenn man bei ihnen durch Elektronenbeschuss Elektronen aus der K-Schale herausschießt, so fallen Elektronen aus der L- oder M-Schale zurück in die K-Schale. Dabei senden sie Photonen im Röntgenbereich aus: die zwei Linien im charakteristischen Röntgenspektrum, z. B. bei Kupfer λ 1 = 139 pm; λ 2 = 154 pm Nun könnt Ihr Euch getrost aufs Physik-Abitur freuen – und auch auf's Physik-Studium Abbildung 3: Das Physik-Studium findet wachsenden Zuspruch. Im 2010 gab es in der Summe aller grundständigen Studiengänge 8.557 Anfänger und damit fast 13 Prozent mehr als im vergangenen Jahr. Während die Zahl der Erstsemester im Fachstudium um moderate vier Prozent zunahm, verzeichnet das Lehramtsstudium ein Rekordergebnis: Hier lag die Zuwachsrate bei 47 Prozent, die Anzahl der Studienanfänger ist mit 2.242 die höchste der vergangenen 15 Jahre. Derweil stieg die Zahl der Absolventen mit Diplom- oder Master-Abschluss um nahezu neun Prozent auf 3.030. … Gestiegen ist auch die Gesamtzahl der Physik-Studierenden auf nunmehr 33.413. „Dass das Physik-Studium Zuspruch findet, können wir nur begrüßen“, sagt Gerd Ulrich Nienhaus, KFPSprecher und im Vorstand der DPG für Nachwuchsfragen verantwortlich. „Denn der Arbeitsmarkt hat nach wie vor großen Bedarf an Fachkräften mit physikalischer Expertise. Wir gehen von rund 5.000 offenen Stellen aus. Diesem Angebot stehen zurzeit etwa 3.000 Absolventen gegenüber.“ Quelle: http://www.dpg-physik.de/presse/pressemit/2010/dpg-pm-2010-24.html www.rudolf-web.de Version 2.1 vom 24/02/2012 Seite 35
