Stochastik Klausur vom 17.02.2011 Aufgabe 1 (3+1.5+1.5=6 Punkte

UNIVERSITÄT KOBLENZ LANDAU
INSTITUT FÜR MATHEMATIK
Dr. Dominik Faas
Stochastik
Wintersemester 2010/2011
Klausur vom 17.02.2011
Aufgabe 1
(3+1.5+1.5=6 Punkte)
Bei einer Umfrage wurden 60 Hotelbesucher nach ihrer Zufriedenheit befragt. Es ergab
sich das folgende Kreisdiagramm.
nicht zufrieden
sehr zufrieden
teilweise zufrieden
zufrieden
(a) Nach welchem Skalenniveau ist das Merkmal ’Zufriedenheit der Besucher’ vergleichbar? Begründen Sie kurz Ihre Antwort. (Dazu genügt es die Eigenschaften des betreffenden
Skalenniveaus zu nennen.)
(b) Wieviele der befragten Besucher waren ’sehr zufrieden’ ?
(c) 11 Besucher waren ’nicht zufrieden’. Wie groß ist der Winkel des entsprechenden
Sektors im Kreisdiagramm?
Aufgabe 2
(6 Punkte)
Ein Merkmal X wird durch das folgende Stamm-Blatt-Diagramm beschrieben. Dabei fehlen einige Zahlen.
2 57
3 ????8
4 0?
Es ist bekannt, dass der Median X0.5 = 33, der (einzige) Modalwert Xmod = 31, die
Spannweite S(X) = 20 und der arithmetische Mittelwert X = 34 ist. Geben Sie das
vollständige Stamm-Blatt-Diagramm an.
Aufgabe 3
(7+6=13 Punkte)
Ein sechseitiger Würfel zeigt die Zahlen 1, . . . , 6. Ein vierseitiger Würfel zeigt die Zahlen
2, 4, 6, 8. Beide Würfel werden geworfen.
(a) Geben Sie eine Ergebnismenge Ω an, mit der dieses Zufallsexperiment als LaplaceExperiment beschrieben werden kann.
Beschreiben Sie die Ereignisse
A:
Der sechsseitige Würfel zeigt eine kleinere Zahl als der vierseitige.
B:
Mindestens ein Würfel zeigt eine 4.
als Teilmenge von Ω und bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten von A und B sowie
die bedingte Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A.
(b) Die Zufallsvariable Z beschreibt die Summe der gewürfelten Zahlen. Bestimmen Sie
Erwartungswert und Varianz von Z. Begründen Sie Ihre Antwort.
Hinweis: Sie können benutzen, dass für die Zufallsvariable Z1 , die die Zahl des sechsseitigen
Würfels beschreibt, gilt: E(Z1 ) = 27 , V (Z1 ) = 35
12 .
Aufgabe 4
(3+3+2=8 Punkte)
Drei Maschinen produzieren Bauteile. Sie haben folgende Produktionsanteile und folgende
Ausschussquoten:
Maschine
Produktionsanteil
Ausschussquote
1
10%
7%
2
30%
3%
3
60%
4%
(a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig aus der gesamten Produktion ausgewähltes Bauteil zum Ausschuss gehört.
(b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufälliges zum Ausschuss gehörendes
Bauteil von Maschine 2 produziert wurde.
(c) Für welche Zahl k ∈ {1, 2, 3} sind die beiden Ereignisse
’Bauteil gehört zum Ausschuss’
und
’Bauteil wurde von Maschine k produziert’
stochastisch unabhängig? Begründen Sie Ihre Antwort.
Aufgabe 5
(2+3+3=8 Punkte)
In einem Kartenspiel mit 32 Karten befinden sich jeweils 8 Karten in den Spielfarben
Kreuz, Pik, Herz und Karo. Ein Spieler erhält daraus zufällig 5 Karten. Bestimmen Sie
die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Spieler
(a) genau 2 Kreuz-Karten erhält.
(b) genau 2 Kreuz-Karten und genau zwei Pik-Karten erhält.
(c) von jeder der 4 Farben mindestens eine Karte erhält.
Als Antwort genügt jeweils ein Term, der Binomialkoeffizienten beinhaltet. (Sie müssen die
Werte also nicht weiter ausrechnen.)
Aufgabe 6
(2+2+3=7 Punkte)
(a) Begründen Sie, dass die Funktion
(
f : R → R, f (t) =
t+1
2
0
, falls t ∈ [−1, 1]
, sonst
eine Dichtefunktion ist.
(b) Wir betrachten nun eine Zufallsvariable Z mit Dichte f . Bestimmen Sie:
(i) die Wahrscheinlichkeit P 0 ≤ Z ≤ 12
(ii) den Erwartungswert von Z
Aufgabe 7
(6 Punkte)
Zeigen Sie (mit den Rechenregeln für Erwartungswert und Varianz von Zufallsvariablen), dass
für jede Zufallsvariable Z und jede Zahl c ∈ R gilt:
E (Z − c)2 = V (Z) + (E(Z) − c)2
Aufgabe 8
(6 Punkte)
Gegeben seien eine Zahl a > 0 und unabhängige Zufallsvariablen Zj (j ∈ N∗ ), die alle
identisch verteilt mit Erwartungswert µ = E(Zj ) und Standardabweichung σ = σ(Zj )
sind. Weiter sei:
1
Mn = · (Z1 + Z2 + . . . + Zn ) (n ∈ N∗ )
n
Wogegen konvergieren die Wahrscheinlichkeiten
P (µ − a ≤ Mn ≤ µ)
für n → ∞ ? Begründen Sie Ihre Antwort.
Hinweis: Sie können die Aufgabe lösen, indem Sie Erwartungswert und Standardabweichung von
Mn angeben (oder bestimmen) und dann die angegebenen Wahrscheinlichkeiten näherungsweise
mit der Normalverteilung berechnen.
Lösungen
Aufgabe 1
(a) Ordinalskaliert: Merkmalsausprägungen können in natürlicher Weise geordnet werden.
Unterschiede zwischen den Merkmalsausprägungen sind nicht vergleichbar.
(b) Der Winkel zum entsprechenden Sektor beträgt 90◦ . Folglich waren
Besucher ’sehr zufrieden’.
(c) Der Winkel zum Sektor ’nicht zufrieden’ beträgt
11
60
90◦
360◦
· 60 = 15
· 360◦ = 66◦ .
Aufgabe 2
2 57
3 11368
4 05
X0.5 = 33 ⇒ Wert 33 kommt vor (als fünfter Wert)
Xmod = 31 ⇒ Wert 31 kommt zweimal vor
S(X) = 20 ⇒ größter Wert − 25 = 20
⇒
größter Wert = 45
X = 34 ⇒ (25 + 27 + 31 + 31 + 33 + fehlender Wert + 38 + 40 + 45) : 9 = 34
⇒ fehlender Wert = 36
Aufgabe 3
(a)
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} × {2, 4, 6, 8}
wobei (i, j) bedeutet, dass der sechseitige Würfel die Zahl i und der vierseitige die
Zahl j zeigt.
Es gilt |Ω| = 6 · 4 = 24. Weiter ist:
• A = {(1, 2), (1, 4), (2, 4), (3, 4), (1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (1, 8), (2, 8), (3, 8), (4, 8), (5, 8), (6, 8)}
15
Damit ist |A| = 15 und folglich P (A) = |A|
|Ω| = 24 = 0.625.
• B = {(1, 4), (2, 4), (3, 4), (4, 4), (5, 4), (6, 4), (4, 2), (4, 6), (4, 8)}
9
Damit ist |B| = 9 und folglich P (B) = |B|
|Ω| = 24 = 0.375.
• A ∩ B = {(1, 4), (2, 4), (3, 4), (4, 6), (4, 8)}
Damit ist |A ∩ B| = 5 und folglich P (A ∩ B) =
P (A ∩ B)
P (B|A) =
=
P (A)
|A∩B|
|Ω|
5
24 15
24
=
=
5
24 .
1
3
Es folgt
(b) Z2 beschreibe die Zahl des vierseitigen Würfels. Die möglichen Werte von Z2 sind
2, 4, 6, 8 und haben alle die Wahrscheinlichkeit 14 . Damit ist
1
1
1
1
·2+ ·4+ ·6+ ·8=5
4
4
4
4
E(Z2 ) =
und
1
1
1
1
· (2 − 5)2 + · (4 − 5)2 + · (6 − 5)2 + · (8 − 5)2 = 5
4
4
4
4
Es gilt Z = Z1 + Z2 . Damit folgt
V (Z2 ) =
7
17
+5 =
2
2
E(Z) = E(Z1 ) + E(Z2 ) =
und V (Z) = V (Z1 ) + V (Z2 ) =
35
95
+5 =
12
12
(für die Varianz beachte man zusätzlich, dass Z1 und Z2 unabhängig sind)
Aufgabe 4
Wir betrachten die Ereignisse
A : Bauteil gehört zum Ausschuss
und
Mk : Bauteil wurde von Maschine k hergestellt
(a) Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit:
P (A) = P (M1 )·P (A|M1 )+P (M2 )·P (A|M2 )+P (M3 )·P (A|M3 ) = 0.1·0.07+0.3·0.03+0.6·0.04 = 0.04
(b) Satz von Bayes:
P (M2 |A) =
P (M2 ) · P (A|M2 )
0.3 · 0.03
=
= 0.225
P (A)
0.04
(c) Wegen P (A) = 0.04 = P (A|M3 ) sind A und M3 unabhängig.
Aufgabe 5
(a)
8
2
24
3
·
32
5
(b)
8
2
24
3
·
32
5
8
2
·
16
1
·
·
·
8
1
=
24
3
8
2
(c)
8
2
4·
·
8
1
8
1
·
32
5
8
16
2 · 1
32
5
Aufgabe 6
(a) Es gilt f (t) ≥ 0 für alle t ∈ R und es ist
Z∞
Z1
f (t)dt =
−∞
(b)
−1
1
t+1
1
1
dt =
(t + 1)2
= · 22 − 0 = 1
2
4
4
−1
(i)
1
Z2
1
2
2
1
1
1
3
5
1
t+1
2
=
− · 12 =
dt =
(t + 1)
= ·
P 0≤Z≤
2
2
4
4
2
4
16
0
0
(ii)
Z∞
E(Z) =
Z1
t·f (t)dt =
−∞
−1
t+1
1 1
1
1 3 1 2 1
1 1
t·
− − +
=
dt =
t + ·t
=
+
2
6
4
6 4
6 4
3
−1
Aufgabe 7
E (Z − c)2
= E ((Z − E(Z)) + (E(Z) − c))2
= E (Z − E(Z))2 + 2(Z − E(Z)) · (E(Z) − c) + (E(Z) − c)2
= E (Z − E(Z))2 + 2(E(Z) − E(Z)) · (E(Z) − c) + (E(Z) − c)2
= V (Z) + (E(Z) − c)2
Aufgabe 8
Wir wissen, dass E (Mn ) = µ und σ(Mn ) = √σn ist. Für große n ist Mn nach dem Zentralen
Grenzwertsatz folglich annähernd so verteilt wie eine Normalverteilung mit Erwartungswert µ und Standardabweichung √σn . Folglich gilt für große n
P (µ − a ≤ Mn ≤ µ) ≈ Φ
denn es ist Φ(0) =
1
2
µ−µ
√σ
n
!
−Φ
√
und wegen − n ·
a
σ
µ−a−µ
√σ
n
!
√ a
n→∞ 1
= Φ(0) − Φ − n ·
−→
σ
2
√
−→ −∞ folgt Φ − n · σa −→ 0