Unterrichtsentwurf

Unterrichtsentwurf
zum neunten Unterrichtsbesuch
Modul „Diagnostizieren, fördern, beurteilen“
von
Dr. Alexander Best
Zweites Hauptsemester
Schwerpunkt
Diagnose und Förderung
Seminarleitung:
Fachleiter:
Beratender Fachleiter
Schulleiter:
Portfolio-Betreuerin:
Klasse:
Thema der Stunde:
Thema der Unterrichtsreihe:
Datum:
Uhrzeit:
Ort:
Schule:
7c
Förderorientierte Diagnostik am Beispiel von
Selbstdiagnosebögen
Rationale Zahlen
1. Situation der Klasse
Die Klasse 7c wird von mir seit Anfang des Schuljahres mit vier Wochenstunden im Fach
Mathematik unterrichtet. Der Raum E11 ist mit einer Tafel ausgerüstet. Optional steht ein
Overheadprojektor auf dem gleichen Stockwerk zur Verfügung.
Die Klasse besteht aus 29 Schülern1, die sich in 16 Mädchen und 13 Jungen aufteilen. Zum
Schuljahresanfang wurde die Klasse mit Beginn der zweiten Fremdsprache neu zusammengesetzt. Die überwiegende Mehrheit der Lerngruppe ist mir aus dem letzten Schuljahr
aufgrund einer Klassenfahrt und von Hospitationen her bekannt. Die Schüler weisen insgesamt
ein gutes Sozialverhalten auf und sind mir gegenüber positiv eingestellt. Das Arbeitsverhalten im
Unterricht ist größtenteils gut und die Klasse arbeitet über weite Strecken konzentriert mit.
Jedoch konnte ich gerade in den letzten Wochen eine phasenweise Unruhe feststellen. Die
Gründe hierfür liegen u. a. in der späten Lage der meisten Mathematikstunden am Vormittag und
der pubertären Entwicklungsstufe der Klasse. Darüber hinaus weisen drei Schüler ein verstärktes
pubertäres Verhalten auf, das sich vor allem bei einem Jungen durch unaufgeforderte Kommentare im Unterricht äußert. Dieser fiel mir in seinem Verhalten bereits bei einer Klassenfahrt
im letzten Jahr auf. Als Maßnahmen wurde die Sitzordnung durch die Klassenlehrerin verändert
und Einzelgespräche mit dem Schüler geführt.
Die Mitarbeit und Beteiligung der Klasse möchte ich als gut bezeichnen. Lediglich sechs Schüler
sind oft sehr zurückhaltend, sodass ich versuche, diese durch Gruppenarbeiten oder direkte
Aufforderungen stärker am Unterricht zu beteiligen. Das Leistungsniveau der Klasse schätze ich
aufgrund der mündlichen Mitarbeit als überdurchschnittlich ein. Dieses entspricht auch meinem
Eindruck aus den formativen Lernkontrollen, die ich zur Leistungsdiagnose im Abstand von etwa
zwei Wochen schreiben lasse. Unter Berücksichtigung der mündlichen und schriftlichen
Leistungen fielen drei Schüler durch ein sehr gutes fachliches Niveau auf. Aber auch die große
Mehrheit der Schüler zeigt ein gutes bis befriedigendes Leistungsniveau. Lediglich sieben Schüler
haben Schwierigkeiten, dem Unterrichtsgeschehen zu folgen und kompensieren ihre Defizite
durch Nachhilfe. In persönlichen Gesprächen konnte ich feststellen, dass drei dieser
Jugendlichen aufgrund ihrer Defizite ein sehr schwach ausgeprägtes Selbstvertrauen hinsichtlich
ihrer mathematischen Fähigkeiten aufweisen.
Im bisherigen Unterricht habe ich bereits verschiedene Sozialformen erprobt. Hierbei zeigte sich,
dass Partner- und Gruppenarbeiten möglich und auch sehr beliebt bei den Schülern sind. Das
Arbeitsverhalten während dieser Phasen zeichnete sich durch ein überwiegend konzentriertes
und zielgerichtetes Arbeiten aus. Bei den leistungsschwachen Schülern sind besonders die
Mädchen sehr engagiert und bemüht.
In Hinblick auf die förderorientierte Diagnostik hat die Lerngruppe bisher noch keine Erfahrungen
mit entsprechenden Verfahren gemacht, obwohl ich eine derartige Diagnostik gerade für die
leistungsschwächeren Schüler auch hinsichtlich ihres mangelnden fachlichen Selbstvertrauens
für angebracht halte.
1 aus Gründen der verbesserten Lesbarkeit und Schreibökonomie werden Schüler und Schülerinnen im weiteren
Verlauf des Textes als „Schüler“ bezeichnet.
1
2. Sachanalyse des Themas
Die Menge der natürlichen Zahlen 1, 2 ,3, .. wird mit ! bezeichnet. Die natürlichen Zahlen sind
bezüglich der Addition und der Multiplikation abgeschlossen, d. h., die Summe und das Produkt
zweier natürlicher Zahlen sind wieder natürliche Zahlen2. Eine Subtraktion kann aber auch in den
Bereich der negativen ganzen Zahlen z. B. -1, -2, -3, … führen. Die natürlichen und die negativen
ganzen Zahlen werden zusammen mit der Zahl Null zu der Menge der ganzen Zahlen
zusammengefasst ( " ). Der Quotient zweier ganzer Zahlen ist entweder wieder eine ganze Zahl
(z. B. 15 : 5 = 3) oder ein Bruch (z. B. 15 : 7 =
15
7
! 2 17 ). Ganze Zahlen und Brüche sind in der
Menge der rationalen Zahlen ( # ) zusammengefasst und können graphisch am Zahlenstrahl
visualisiert werden.
Betrag und Gegenzahl
1)
"
a für 0 # a
Der Betrag einer rationalen Zahl a wird mit a dargestellt, wobei gilt: a ! $ a für a % 0
Geometrisch bedeutet der Betrag einer Zahl deren Abstand von 0 auf dem Zahlenstrahl3.
2)
Die Gegenzahl b einer rationalen Zahl a ergibt sich durch b=-a. Geometrisch betrachtet
liegen auf dem Zahlenstrahl jede Zahl und ihre Gegenzahl achsensymmetrisch zur 04.
Rechenoperationen
1)
Die Addition zweier rationaler Zahlen a+b=c kann man am Zahlenstrahl veranschaulichen. Ist
b positiv, so erreicht man c auf dem Zahlenstrahl, indem man von a um b nach rechts geht.
Im Fall einer negativen Zahl geht man um deren Betrag nach links.
Um eine rationalen Zahl zu subtrahieren, wandelt man die Subtraktion in eine entsprechende
Addition um. Dabei entspricht die Subtraktion einer rationalen Zahl der Addition ihrer
Gegenzahl5 z. B. (+3)-(+7)=(+3)+(-7).
2)
Bei der Multiplikation und Division rationaler Zahlen multipliziert bzw. dividiert man zunächst
die Beträge der entsprechenden Zahlen. Das Ergebnis ist positiv, falls beide Zahlen das
gleiche Vorzeichen besitzen. Bei unterschiedlichen Vorzeichen wird das Ergebnis negativ.
Gesetzmäßigkeiten für die Vereinfachung von Termen mit rationalen Zahlen
1)
Verschmelzungsregel: Ist a eine rationale Zahl, dann gilt: +(-a)=-a; –(+a)=-a und -(-a)=a.
2)
Klammerregel: Die Klammerregel stellt eine Erweiterung der Verschmelzungsregel dar. Sind
a, b, c rationale Zahlen, dann gilt: a+(b+c)=a+b+c; a+(b-c)=a+b-c; a-(b+c)=a-b-c;
a-(b-c)=a-b+c.
3)
Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz): Bei einer Addition bzw. Subtraktion der rationalen
Zahlen a und b gilt: a+b=b+a, a-b=-b+a, -a+b=b-a und –a-b=-b-a.
Bei einer Multiplikation der rationalen Zahlen a und b gilt: a & b ! b & a .
2
Microsoft Encarta Enzyklopädie 2004 – Microsoft Corporation - 2004
Vgl. Schmid (1996), S. 112.
4 Vgl. ebd., S. 108.
5 Vgl. ebd. S. 117.
3
2
4)
Distributivgesetz: Für die rationalen Zahlen a, b und c gilt: a & (b ' c) ! a & b ' a & c . Die
Überführung des Terms a & (b ' c) in den Term a & b ' a & c wird als ausmultiplizieren bzw. in
der umgekehrten Richtung als ausklammern bezeichnet.
Grundregeln für Terme
Bei der Berechnung von Termen gilt die Vorrangregel6:
1)
Klammern werden zuerst berechnet. Bei geschachtelten Klammern wird mit der innersten
Klammer begonnen.
2)
Punktrechnungen werden vor Strichrechnungen ausgeführt.
3)
Falls nur Punkt oder Strichrechnung und keine Klammern vorkommen, so wird von links
nach rechts gerechnet.
3. Didaktische Überlegungen
Didaktische Analyse der Unterrichtseinheit
Der Themenbereich „rationale Zahlen“ ist im hessischen Lernplan Mathematik7 für den gymnasialen Bildungsgang explizit als verbindlicher Inhalt der Jahrgangsstufe 7 ausgewiesen. Eine
Begründung für die Behandlung des Themas ist u. a. die hohe Anwendungsrelevanz, wie sie auch
im Lehrplan gefordert wird8. So ergeben sich vielfältige Möglichkeiten, das Auftreten rationaler
Zahlen im Alltag der Schüler zu thematisieren wie z. B. bei Höhenangaben, Kontoständen und
Wasserständen. Diese Zusammenhänge können auch dazu genutzt werden, mit Schülern die
mathematische Beschreibung von Alltagszusammenhängen durch rationale Zahlen zu üben9.
Perspektivisch betrachtet zeichnen sich die Inhalte dieser Unterrichtsreihe durch ihren
fundamentalen Charakter für die algebraischen Themen der weiteren Jahrgangsstufen aus. So
wird z. B. im Lehrplan explizit auf die Propädeutik der Klammerregel und der Vorrangregel für die
Termumformungen der Klasse 8 verwiesen10.
Die Unterrichtseinheit beinhaltet mit der Erweiterung des Zahlenbereichs einen wesentlichen
Inhalt der Mathematik, der nochmals in der 9. Klasse und unter Umständen in der Oberstufe
aufgegriffen wird. Die Erweiterung der Zahlbereichs auf die rationalen Zahlen ist elementar für die
Mathematik, weil hierbei die mathematische Notwendigkeit einer Zahlenbereichserweiterung
relativ intuitiv für die Schüler begründet werden kann. Diese ergibt sich durch die Forderung, die
Subtraktion der positiven Zahlen uneingeschränkte ausführen zu können. Der Vorteil dieser
Zahlenbereichserweiterung liegt vor allem darin, dass die auftretenden negativen Zahlen den
Schülern bereits aus vielen Alltagssituationen bekannt sind. Im Gegensatz dazu steht die Zahlenbereichserweiterung (reellen Zahlen) in der 9. Klasse, die erfahrungsgemäß auf grundlegende
6
Vgl. Baum et al. (2006), S. 121.
Vgl. Hessisches Kultusministerium (2005), S. 20.
8 Vgl. ebd. S. 2.
7
9 Dies entspricht der Forderung des Lehrplans, dass der sichere Umgang mit der mathematischen Sprache und
mathematischen Modellen von herausgehobener Bedeutung für die Entwicklung und Festigung der mathematischen
Qualifikationen der Schüler ist. Vgl. ebd. S. 2.
10
Vgl. ebd. S. 20 und S. 24.
3
Verständnisschwierigkeiten stößt und deren Notwendigkeit für viele Schüler nicht intuitiv
verstehbar ist.
Im Lehrplan wird Mathematik als Geistesschulung u. a. durch die Vermittlung kognitiver
Strategien verstanden11. In diesem Sinne bieten sich vielfältige Möglichkeiten zur Thematisierung
von Heuristiken an. Ein Beispiel ist die Regel zur Subtraktion rationaler Zahlen. Diese kann durch
die Übertragung (Analogien bilden12) der bereits bekannten Regeln für die Addition der rationalen
Zahlen abgeleitet werden13. Ein weiteres Beispiel ergibt sich bei der Regel für die Multiplikation
einer positiven und negativen Zahl, die sich durch Anwendung des Permanenzprinzips14,15 durch
die Schüler herleiten lässt.
Stellung der Stunde in der Unterrichtseinheit rationalen Zahlen
Die Unterrichtsstunde steht am Abschluss der Unterrichtseinheit „rationale Zahlen“. Im
bisherigen Unterrichtsverlauf wurden folgende Inhalte behandelt:
! Rationale Zahlen im Alltag.
! Darstellung rationaler Zahlen am Zahlenstrahl und in Diagrammen.
! Erweiterung des Koordinatensystems/Darstellung und Bewegung von Figuren.
! Zahl / Gegenzahl und deren geometrische Bedeutung am Zahlenstrahl.
! Der Betrag rationaler Zahlen und dessen geometrische Bedeutung am Zahlenstrahl.
! Regeln zur Addition und Subtraktion rationaler Zahlen.
! Regeln zur Termumformung (Verschmelzungsregel, Kommutativgesetz für die Addition
und Subtraktion rationaler Zahlen, Klammerregel).
! Regeln zur Multiplikation und Division rationaler Zahlen.
! Das Distributivgesetz/Ausklammern und Ausmultiplizieren.
! Aufstellen von Termen und deren Berechnung (Vorrangregel).
! Lösen einfacher Gleichungen mit einer Unbekannten.
! Strukturierung von Unterrichtsinhalten mithilfe von Mind-Maps.
Heutige Stunde: Förderorientierte Diagnostik am Beispiel von Selbstdiagnosebögen.
Planung für den weiteren Verlauf: Partnerdiagnose und Klassenarbeit.
Didaktische Überlegungen zur Unterrichtsstunde hinsichtlich der Anwendung des
förderorientierten Diagnoseverfahrens
Die Unterrichtseinheit rationale Zahlen wurde vor den Herbstferien abgeschlossen. Aufgrund der
zweiwöchigen Pause und des relativ großen Stoffumfanges besteht für die Schüler die Notwendigkeit, die Inhalte der Lerneinheit nochmals konzentriert zu wiederholen und zu vertiefen. Im
hessischen Lernplan Mathematik für den gymnasialen Bildungsgang wird „intelligentes Üben und
11
Vgl. Hessisches Kultusministerium (2005), S. 2.
12
Vgl. Leuders (2006), S. 134.
Die Subtraktion einer rationalen Zahl entspricht der Addition ihrer Gegenzahl.
14 Die Heuristik wäre in diesem Fall „Muster suchen“. Vgl. Leuders (2006), S. 134.
15Die Regel für die Berechnung von ( (5) & ( $2) kann mithilfe der Permanenzreihe ( (5) & ( (3) ! 15 , ( (5) & ( (2) ! 10 ,
( (5) & ( (1) ! 5 , ( (5) & 0 ! 0 hergeleitet werden. Führt man diese Reihe weiter, so ergibt sich für ( (5) & ( $1) ! $5 und
( (5) & ( $2) ! $10 .
13
4
Wiederholen“ für den Mathematikunterricht gefordert, damit bei den Schülern „ein geordnetes
Raster mathematischer Begriffe, Fakten und Verfahren entsteht“16. Zudem soll der Unterricht „die
Fähigkeit der Schülerinnen und Schüler und ihre aktive Auseinandersetzung mit den Inhalten
sowie ihre […] Selbständigkeit fördern und stärken“17. Diese Forderungen begründen im Wesentlichen die Thematisierung des Selbstdiagnoseverfahrens in dieser Stunde. Ein intelligentes Üben
setzt voraus, dass nicht alle Themeninhalte gleichwertig geübt werden, sondern die Inhalte differenziert und nach individuellen Schwerpunkten zeitökonomisch wiederholt und vertieft werden. Zu
diesem Zweck ist es unerlässlich, den Lernstand der Schüler zu diagnostizieren, um fachliche
Defizite aber auch vorhandene Stärken festzustellen. In einem zweiten Schritt soll dann die
Förderung stattfinden, bei der individuelle Defizite selbstständig und eigenverantwortlich mit
geeigneten Hilfsmitteln kompensiert werden. Die Vermittlung eines derartigen Vorgehens besitzt
eine große Zukunftsrelevanz für die Schüler, da die individuelle Hilfestellung bei der
Strukturierung ihres Lernprozesses ein nachhaltiges Lernen ermöglicht. Diese Nachhaltigkeit ist
gerade im Hinblick auf mathematische Inhalte wichtig, da diese in Form einen Spiralcurriculums
immer wieder aufgegriffen und vertieft werden. Dies trifft insbesondere für das Thema der
rationalen Zahlen zu, da dieses als Grundlage für alle weiteren Jahrgangsstufen benötigt wird
(z. B. Klammerregel und das Distributivgesetz bei Termumformungen) 18.
Die Vermittlung von Handlungsstrategien durch förderorientierte Diagnoseverfahren besitzt aber
auch in Hinblick auf die berufliche Zukunft eine hohe Relevanz für die Schüler. So können viele
Anforderungen der modernen Arbeitswelt nur durch zielgerichtete Handlungsstrategien
zeitökonomisch bewältigt werden. Das Selbstdiagnoseverfahren steht exemplarisch für eine
derartige Handlungsstrategie, da dessen Anwendung eine zeitökonomische Rekapitulation des
relativ großen Stoffumfangs zum Thema rationale Zahlen ermöglicht. Darüber hinaus tragen
förderorientierte Diagnoseverfahren dazu bei, die von der Arbeitswelt geforderten Schlüsselqualifikationen (z. B. Selbstständigkeit, Initiative, Eigenverantwortlichkeit) zu trainieren. Dieses
spiegelt sich zum Beispiel in der Tatsache wider, dass „Schülerinnen und Schüler lernen, den
eigenen Übungs- und Förderbedarf eigenverantwortlich in den Blick zu nehmen“19.
Lehr- und Lernziele20
Die heutige Stunde soll dazu beitragen, dass die Schüler …
Fachliche Lehr- und Lernziele21
1)
… rationale Zahlen auf dem Zahlenstrahl und in Diagrammen ablesen bzw. eintragen
können.
2)
… Koordinaten mit rationale Zahlen in einem erweiterten Koordinatensystem eintragen bzw.
ablesen können.
16
Hessisches Kultusministerium (2005), S. 4.
Ebd., S. 3.
18 Vgl. ebd. S. 20 und S. 24
19 Landesinstitut für Schule / Qualitätsagentur (2006), S. 71
20 Eine Kategorisierung in Minimal- und Maximallernziele wurde hier nicht vorgenommen, da diese aufgrund des
binnendifferenzierten Ansatzes erst nach Abschluss des Diagnoseverfahrens und der Fördermaßnahmen (Umfang etwa
4 Schulstunden) erreicht sein sollten.
21 Aufgrund des individuellen Vorgehens der Schüler und der Stellung der Unterrichtsstunde zu Beginn des Diagnoseverfahrens ist nicht zu erwarten, dass alle fachlichen Lehr- und Lernziele am Ende der Stunde erreicht werden.
17
5
3)
… Kongruenzabbildungen mit Punkten in einem erweiterten Koordinatensystem ausführen
können, indem sie z. B. vorgegebene Figuren achsenspiegeln bzw. die Koordinaten der dabei
entstehenden Bildpunkte ohne Zeichnung berechnen.
4)
… wissen, wie die rationalen Zahlen auf dem Zahlenstrahl angeordnet sind, indem sie diese
der Größe nach anordnen bzw. die größer-kleiner-Relation korrekt anwenden.
5)
… den Begriff der Gegenzahl kennen, indem sie diese zu einer vorgegebenen rationalen Zahl
nennen können.
6)
… den Begriff des Betrags einer rationalen Zahl kennen, indem sie diesen für eine
vorgegebene rationale Zahl bestimmen und Beträge in Terme korrekt berechnen.
7)
… die Zahlenbereiche der natürlichen, ganzen und rationale Zahlen kennen, indem sie
vorgegebene Zahlen als Element der jeweiligen Menge korrekt zuordnen können.
8)
… die Regeln für die Grundrechenarten (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division)
kennen, indem sie diese auf rationale Zahlen korrekt anwenden.
9)
… das Kommutativgesetz, die Verschmelzungsregel, die Klammerregel und das Distributivgesetz (Ausklammern und Ausmultiplizieren) kennen und anwenden können.
10) … Terme für deren Berechnung geschickt vereinfachen können, indem sie die Anwendbarkeit von Regeln (z. B. Kommutativgesetz oder Klammerregel) erkennen und diese
zielgerichtet zur Vereinfachung anwenden.
11) … Vorrangregeln bei der Berechnung von Termen kennen und anwenden können, indem sie
Terme korrekt nach diesen Regeln berechnen.
12) … auf der Grundlage von Termbeschreibungen die entsprechenden Terme aufstellen können.
13) … wissen, wie einfache Gleichungen mit einer Unbekannten gelöst werden, indem sie den
Wert der Unbekannten berechnen.
Methodische Lehr- und Lernziele
14) … die Selbstdiagnose zur Einschätzung und Kompensation fachlicher Defizite anwenden
können, indem sie die Diagnose durchführen und Aufgaben nach ihrem individuellen
Förderbedarf bearbeiten.
15) … die Eigenverantwortlichkeit für ihren Lernfortschritt erkennen, indem sie die Selbstdiagnose selbstständig und eigenverantwortlich durchführen.
16) … lernen, ihren Lernprozess zu strukturieren, indem sie vorrangig die Aufgaben bearbeiten,
die ihren individuellen fachlichen Defiziten entsprechen.
Affektive Lehr- und Lernziele
17) … aufgrund des binnendifferenzierten Angebots eine erhöhte Lernmotivation aufweisen,
indem sie die Selbstdiagnose und die Aufgaben konzentriert bearbeiten.
Soziale Lehr- und Lernziele
18) … Teamfähigkeit und Kommunikationsfähigkeit üben, indem sie Verständnisprobleme in
einer Gruppe zu verbalisieren bzw. Mitschüler bei Problemen unterstützen.
Didaktisches Zentrum
Im didaktischen Zentrum der heutigen Stunde stehen die individuelle Diagnose fachlicher
Defizite/Stärken zum Thema „rationale Zahlen“ und darauf aufbauende Fördermaßnahmen.
Ausblick
In den nachfolgenden Stunden wird nach der Übungsphase eine Partnerdiagnose und die
schriftliche Leistungsüberprüfung stattfinden.
6
4. Methodische Überlegungen
Methodische Vorüberlegungen zur Durchführung des Selbstdiagnoseverfahrens
Im Hinblick auf die anstehende Klassenarbeit habe ich mich für eine förderorientierte Diagnose
entschieden, die ich in dieser Stunde mit einer Selbstdiagnose beginne. Nach der Einschätzung
des individuellen Förderbedarfs wird dann eine binnendifferenzierte und diagnosebezogene
Übungsphase stattfinden, in der die Schüler selbstständig ihre fachlichen Defizite kompensieren
sollen. Eine Alternative zu der Selbstdiagnose wäre eine kontinuierliche Diagnose22 (z. B.
Leistungsdiagnosen in Form von Kurztests) durch den Lehrer gewesen. Ich habe mich jedoch aus
zwei Gründe für eine Diagnose durch die Schüler entschieden:
1) Es gibt die pädagogische Position, dass „nur die Schülerinnen und Schüler (…) über
etliche Komponenten ihres Lernhandelns Bescheid wissen“23. Gerade in Hinblick auf die
Förderung der schwächeren Schüler in der Klasse erschien mir eine Selbstdiagnose durch
die Schüler angebracht.
2) Es existieren bereits positive Erfahrungen mit dem Selbstdiagnoseverfahren. So berichtet
z. B. Rosel Reiff von diesem Verfahren, „dass sich Schüler motiviert und selbständig mit
den Aufgaben auseinandersetzten“24. Gerade in Hinblick auf die Entwicklungsstufe
Lerngruppe schien mir dieses Verfahren für die konzentrierte Wiederholung des Stoffes
als besonders geeignet
3) Die Reflexion der eigenen fachlichen Stärken und Defizite fördert die Kompetenz der
Schüler, Handlungsstrategien für das eigene Lernen zu entwickeln.
Eine Alternative zu der anschließenden Fördermaßnahme hätte in einer Übungsphase bestanden,
in der alle Lernenden die Aufgaben undifferenzierten bearbeiten. Der Vorteil der diagnosebasierten und individuellen Auswahl der Aufgaben ermöglicht jedoch ein zeitökonomischeres und
strategischeres Vorgehen in Hinblick auf die nahende Klassenarbeit.
Bei der Konzeption des Diagnosebogens und des Aufgabenmaterials habe ich versucht, folgende
Anforderungen des „Landesinstituts für Schule/Qualitätsagentur“ zu berücksichtigen25:
1) Fokus auf die einzuschätzende Kompetenz: Bei den Fragen bzw. Aufgaben wurde
versucht, Überschneidungen mit mehrerer Kompetenzen/Lehrzielen zu vermeiden26.
2) Ergebnisorientierung: Die Schüler können ihren Lernfortschritt mithilfe des Lösungsblattes individuell nachvollziehen.
3) Unterschiede in den Niveaustufen: Der Schwierigkeitsgrad nimmt bei den meisten
Aufgaben mit jeder weiteren Teilaufgaben zu.
Ablauf der Stunde
Als Einstieg in die Stunde werde ich der Klasse eine Overheadfolie zeigen, auf der das in der
letzten Stunde erarbeitete Mind-Map mit den Themen der Unterrichtseinheit darstellt ist. Dabei
werde ich die Schüler fragen, welche Strategie ihrer Meinung nach sinnvoll wäre, effizient für die
22
Es gibt Positionen, die eine kontinuierliche Diagnose einer punktuellen Diagnose vorziehen (vgl. Leuders, S. 303).
Winter (2006), S. 23 f.
24 Vgl. Reiff (2006), S. 68 ff.
25 Vgl. Landesinstitut für Schule / Qualitätsagentur (2006), S. 72.
23
26
Vgl. Selbstdiagnosebogen im Anhang mit den jeweils zugeordneten Lehr- und Lernzielen.
7
Klassenarbeit zu üben. Je nach Reaktion werde ich z. B. die Strategie des undifferenzierten
Übens (also jedes Themengebiet wird mit gleichem Aufwand gelernt) ansprechen. Die Schüler
sollen in dieser Phase erarbeiten, dass die individuelle Diagnose von Stärken und Schwächen
eine sehr sinnvolle Strategie für die effiziente Vorbereitung auf die Klassenarbeit ist. Mit diesem
Vorgehen erhoffe ich mir eine erhöhte Einsicht und Motivation für die Durchführung des
Selbstdiagnoseverfahrens. Im Anschluss an das Plenumsgespräch werde ich den Schüler die
grundlegende Idee der Selbstdiagnose und den Aufbau des Diagnosebogens erklären. Dabei
werde ich nochmals betonen, dass keine Benotung des Selbstdiagnosebogens erfolgen wird. Mit
dieser Anmerkung möchte ich gewährleisten, dass eine ehrliche Einschätzung der eigenen
Stärken und Defizite durch die Schüler erfolgt.
In der Erarbeitungsphase werden die Selbstdiagnosebögen in Einzelarbeit bearbeitet. Danach
werde ich die Durchführung der Übungsphase erläutern, die in Dreier- bzw. Vierergruppen
stattfinden wird. Falls eine Aufgabe nicht gelöst werden kann, stehen den Lernenden drei
Alternativen zur Verfügung:
1) Am Lehrertisch liegen Lösungsblätter zu den Aufgaben, die jedoch nur dort eingesehen
werden dürfen. Mit dieser Maßnahme möchte ich verhindern, dass die Lösungsblätter in
den Gruppen zirkulieren und für die generelle Lösung der Aufgaben verwendet werden.
2) Versteht ein Schüler die Aufgabe trotz Lösungshinweis nicht, dann soll er einem
Gruppenmitglied um Hilfe bitten und sein Problem erläutern. Mit diesem Vorgehen
möchte ich erreichen, dass die Schüler Probleme verbalisieren lernen. Die Gruppenmitglieder erhalten gleichzeitig die Möglichkeit, von den Fehlern anderer zu lernen.
3) Sollte die Aufgabe der Gruppe allgemeine Probleme bereiten, dann soll diese meine Hilfe
anfordern.
Insgesamt erhoffe ich mir von diesem Vorgehen, dass ich meinen Betreuungsschwerpunkt auf
schwerwiegendere Verständnisprobleme legen kann.
5. Literatur
Athen, Bruhn (Hrsg.) (1993): „Lexikon der Schulmathematik“ - Köln – Aulis-Verlag.
Baum, Manfred, Dornieden, Detlef, Harborth, Heiko, Reinelt, Günther, Schönbach, Ulrich
(2006): „Lambacher Schweizer 6 – Ausgabe Niedersachsen“ – Klett-Verlag – Stuttgart.
Hessisches Kultusministerium (Hrsg.) (2005): „Lehrplan Mathematik - Gymnasialer
Bildungsgang“ - Wiesbaden.
Landesinstitut für Schule/Qualitätsagentur (2006): „Kompetenzorientierte Diagnose“ –
SINUS-Transfer – Klett-Verlag – Stuttgart.
Leuders, Timo (Hrsg.) (2003): „Mathematik Didaktik“ – Cornelsen Scriptor – Berlin.
Microsoft (2004): „Encarta 2004“ – Microsoft Corporation – Seattle (USA).
Reiff, Rosel – „Selbst- und Partnerdiagnose im Mathematikunterricht“ in: Friedrich
Jahreshefte 2006 – S.68 – 72.
Schmid, August, Weidig, Ingo (1996): „Lambacher Schweizer 7 – Ausgabe Hessen“ – Klett
Verlag – Stuttgart.
Winter, Felix (2006):“Diagnose im Dienst des Lernens“ in: Friedrich Jahreshefte 2006 –
S. 22 – 25.
8
6. Geplanter Unterrichtsverlauf
Phase
Wiederholung/
Einstieg
Erarbeitung 1
Auswertung 1
Erarbeitung 2
Auswertung 2
Hausaufgabe
Inhalt
L legt eine OHF mit dem Mind-Map zum Thema „rationale Zahlen“ aus der vorangegangenen Stunde
auf.
L fragt: „Warum hilft ein Mind-Map bei der Vorbereitung auf die Klassenarbeit?“
S erklären z. B., dass ein Mind-Map bei der Strukturierung des Stoffes hilft.
L fragt: „Wie bereitet ihr euch jetzt auf die vielen Themen vor?“
S nennen Strategien. L gibt ggf. Impulse: „Ein Schüler kommt auf die Idee, zu jedem Thema fünf
Aufgaben zu rechnen. Dafür wird er sicher sehr lange brauchen.“ oder „Gebt diesem Schüler doch mal
Tipps für seine Vorbereitung “. Je nach Reaktion der Schüler werden weitere Impulse oder Fragen
folgen.
S erklären, dass es keinen Sinn macht, alle Themen mit gleicher Priorität zu lernen. Eine gezielte
Auswahl von Themen z. B. nach der Relevanz des Themas oder dem jeweiligen Beherrschungsgrad
können vorteilhaft sein.
L erklärt, dass es eine Methode für die effiziente Vorbereitung auf Klassenarbeiten gibt und stellt den
Diagnosebogen vor.
L teilt den Diagnosebogen aus und erklärt, dass dieser Selbstdiagnosebogen nicht benotet wird.
S füllen den Selbstdiagnosebogen aus.
L zeigt S das Aufgabenblatt und stellt die Frage: „Welches Vorgehen ist nun bei der Bearbeitung der
Aufgaben sinnvoll?“
S antworten z. B. dass vor allem die Aufgabentypen geübt werden sollten, bei denen sie die Kategorie
„relativ unsicher“ bzw. „sehr unsicher“ angekreuzt haben.
L gibt weiteren Impuls:“ Wenn ich also überall „ziemlich sicher“ oder „sehr sicher“ angekreuzt habe,
dann brauche ich keine Aufgaben mehr rechen“.
S erklären, dass auch diese Aufgaben – wenn auch im geringeren Umfang – zur eigenen Kontrolle
geübt werden sollten.
L fordert die Schüler auf, Dreier- und Vierergruppen zu bilden und erklärt das Vorgehen bei
auftauchenden Problemen mit Aufgaben. Dabei verweist L auf das Lösungsblatt auf dem Lehrerpult.
S formieren sich in Gruppen und L teilt das Aufgabenblatt aus.
S bearbeiten das Aufgabenblatt.
S überprüfen ihre Lösungen durch Vergleich in den Gruppen oder mithilfe des Lösungsblatts.
Die Schüler sollen etwa 30 Minuten für die Bearbeitung weiterer Aufgaben aufwenden.
Sozialform
LSG/SSG
Medien
OHP
LV
EA
AB
LSG
AB
EA/PA/GA
EA
EA
AB
AB
AB
Abkürzungen: G: Gespräch, GA: Gruppenarbeit, PA: Partnerarbeit, EA: Einzelarbeit, L: Lehrer, S: Schüler, OHF: Overheadfolie, AB: Arbeitsblatt, V: Vortrag
Selbstdiagnose
Thema „Rationale Zahlen“
Wie sicher fühlst du dich mit folgenden Situationen?
Ich kann rationale Zahlen in Diagrammen und auf
Zahlenstrahlen darstellen und ablesen.
Ich kann die Koordinaten eines Punktes in einem
erweiterten Koordinatensystem ablesen bzw. vorgegebene Koordinaten wie (-2/3,5) darin eintragen.
Achsenspiegelungen, Punktspiegelungen und Verschiebungen von Punkten im Koordinatensystem
bereiten mir keine Probleme.
Rationale Zahlen wie z. B. 0,11; -3; $ 72 kann ich der
Größe nach anordnen.
Die Angabe der nächst kleineren oder nächst
größeren ganzen Zahl von -9,7 bereitet mir keine
Probleme.
Name:___________________________________
sehr
sicher
relativ
sicher
unsicher
Lernziel 1
Lernziel 2
Lernziel 3
Lernziel 4
Lernziel 4
sehr
unsicher
Aufgaben des
Arbeitsblattes
Diagramme: Nr. 1
Zahlenstrahl: Nr. 2, 3
Ablesen: Nr. 4
Eintragen: Nr. 5
Nr. 5, 6
Nr. 7, 8, 9
Nr. 10
Ich weiß, was die Begriffe Gegenzahl und Betrag einer
Zahl bedeuteten und kann diese anwenden.
Lernzeil 5, 6
Nr. 11, 12
Das Rechnen mit Beträgen ist kein Problem für mich
z. B. 2 $ $11 ( $7 .
Lernziel 6
Nr. 13
Ich kann beliebige Zahlen den Zahlbereichen ! , "
und # zuordnen.
Lernziel 7
Addition und Subtraktion
Die Addition und Subtraktion rationaler Zahlen gelingt
mir fehlerfrei. Dies gilt auch für Aufgaben mit Brüchen
Lernziel 8
und Dezimalzahlen z. B. $11, 21 ( 174 .
Ich kenne die Verschmelzungsregel und kann diese
z. B. auch bei (-3) - (-7) anwenden.
Lernziel 9
Nr. 14, 15
Nr. 16
Textaufgaben
Nr. 22, 23
Nr. 17
Ich kenne die Klammerregel und kann diese z. B.
auch bei 7– (-3+9) anwenden.
Lernziel 9
Nr. 18
Ich kenne die Vertauschungsregel und kann diese
auch anwenden.
Lernziel 9
Nr. 19
Ich kann die Verschmelzungs-, die Klammer- und die
Lernziel 10
Vertauschungsregel. für die geschickte Berechnung
von Termen einsetzen.
Multiplikation und Division
Die Multiplikation und Division rationaler Zahlen
gelingt mir fehlerfrei. Dies gilt auch für Aufgaben mit
Lernziel 8
Brüchen und Dezimalzahlen
Ich kenne das Distributivgesetz und kann dieses
anwenden. Ausklammern und Ausmultiplizieren
Lernziel 9
bereiten mir dabei keine Schwierigkeiten.
Aufstellen und Berechnen von Termen
Ich kenne die Regeln, die ich beim Ausrechnen von
2
2
Termen wie z. B. $5 ( 2 & 3 beachten muss.
Lernziel 11
Nr. 20, 21
Nr. 25, 26
Ausmultipl.: Nr. 27
Ausklammern: Nr. 28
Gemischt: Nr. 29
Nr. 31
Ich kann Terme aufstellen. Beispiel: Multipliziere die
Summe von -9 und 11 mit der Differenz der beiden
Zahlen.
Lernziel 12
Nr. 32
Gleichungen mit der Unbekannten x wie z. B.
x $ ($34) ! 18 kann ich lösen
Lernziel 13
Nr. 24, 30
Vorbereitung auf die Klassenarbeit
Thema: Rationale Zahlen
Name: ……………………………………………………
I) Darstellung rationaler Zahlen
1) Die Tabelle zeigt die Umsätze eines Unternehmens in den letzten 5 Jahren. Stelle diese Werte
in einem Diagramm mit geeignetem Maßstab dar.
Jahr
Umsatz in Mio. Euro
2001
76
2002
52
2003
-11
2004
-29
2005
13
2) Zeichne eine Zahlengerade, bei der das Teilstück zwischen -2 und +2 eine Länge von 16 cm
hat und trage die Zahlen ein
6
a) $ 14 ; $ 83 ; $ 55 ; 16
; $1, 83
b) -0,125; 0,5; $ 58 ;-0,625; 04 ; 1 43
3) Den Buchstaben auf den Zahlengeraden ist je eine Bruchzahl zugeordnet. Gib diese als
vollständig gekürzten Bruch an.
B
-2
E
F
D
C
A
H
0
0
G
1
2
4) Wie lauten die Koordinaten der Punkte A bis F der nebenstehenden
Figur (Haus des Nikolaus)?
5) Zeichne die Punkte A (-2,5/-1,5), B (0/3) und C ( 52 / $1 12 ) in ein
Koordinatensystem ein. Verbinde die Punkte miteinander und spiegele die
Figur an der x-Achse. Wie lauten die Koordinaten der Bildpunkte?
6) Beantworte ohne Zeichnung. Welche Koordinaten hat der Bildpunkt vom
Punkt P(2/82), wenn er
a) an der x-Achse gespiegelt wird.
b) an der y-Achse gespiegelt wird.
c) am Ursprung gespiegelt wird.
d) um 3 Einheiten nach links und 2 Einheiten nach oben verschoben wird.
II) Ordnen rationaler Zahlen
7) Setze das richtige Zeichen (< oder >) ein.
b) $ 12 ____ $ 14
a) 98 ____ -193
c) $4 23 ____ $4 12
d) $ 78 _____ $0,88
8) Ordne die Zahlen nach ihrer Größe. Beginne mit der kleinsten Zahl
a) -1,1; 0; -0,1; -1; -0,05; 0,05
b) -2; 3 18 ; 0; 3,25, -1,9
1
c) 0,11; -3; $ 72 ; 10
; -0,12; $ 19
9) Füge zwischen die angegebenen Zahlen drei weitere Zahlen ein, sodass die Abstände jeweils
gleich groß sind
a) -4 … 0
b) -1 … 0
c) -1 … 1
d) -10 … 1
10) Notiere zuerst die nächst kleinere und dann die nächst größere ganze Zahl
a) $9 13
b)
1
4
1
c) $ 16
d) -99,98
e) $ 111
53
III) Gegenzahl, Beträge und Zahlenbereiche
11) Beträge und Gegenzahl.
1
a) Wie lauten die Beträge der folgenden Zahlen: -0,11; 72 ; 0; $ 10
;-3; 3 14 ?
b) Welche Zahl in a) hat die größte und welche Zahl hat die kleinste Gegenzahl?
12) Peter und Klaus spielen ein Spiel, bei dem jeder Mitspieler eine beliebige rationale Zahl
nennt. Dabei gewinnt immer der Spieler, dessen Gegenzahl größer ist. Peter behauptet nach
einer Weile, dass das Spiel auf Dauer langweilig ist, da immer der Spieler gewinnt, der als Zweiter
seine Zahl nennt. Wie kommt Peter zu dieser Behauptung?
13) Berechne
a) 9 $ $11
b) 9,4 $ 51
5
c)
2
3
: $2 49
d) 2 $ $11 ( $7
14) Gib bei jeder Zahl an, ob Sie zu den Zahlenbereichen der natürlichen Zahlen (N), der ganzen
Zahlen (Z) oder der rationalen Zahlen (Q) gehört. Notiere dabei die passenden Symbole.
a) 7: _______
b) -7:________
c) 0:________
d)
68
17
:_______
e)
333331
3
:______
15) Welche Aussage ist wahr, welche ist falsch?
a) Addiert man zwei natürliche Zahlen, so erhält man immer eine natürliche Zahl.
b) Subtrahiert man zwei natürliche Zahlen so erhält man immer eine natürliche Zahl.
c) Addiert man zwei rationale Zahlen, die keine natürlichen Zahlen sind, so erhält man nie eine
natürliche Zahl.
IV) Addition und Subtraktion rationaler Zahlen
16) Berechne
a) $1 ( 15
e) $3,21 $ 8,847
b) 2,5 $ 6,9
5
f) 11
6 $2 8
c) $3 ( 7 $ 11 ( 13
g) $11,21 ( 17
4
d) $11,5 ( 43
h) $ 19 ( 0,2
17) Schreibe den Term ohne Klammern und berechne diesen.
a) ($3) $ ((5)
b) 7 $ ($11)
c) $6,4 ( ($ 13
5 )
3
1
2
e) 9 $ ((1,8)
f) ($ 5 ) $ (( 5 ) ( ($ 14 ) $ ($ 43 )
d) $14,163 ( ((11,72)
18) Schreibe den Term ohne Klammern und berechne diesen.
a) 17 ( (3 $ 11)
b) 128 ( ($111 ( 12)
c) 23 $ (33 ( 21)
d) $ 65 $ ((1 13 )
1
f) $5 $ ($3 $ 9)
g) $ 25
( (1,04 $ 0,4) $ ($0,6 $ 102 )
e) 19 $ (11 $ 13)
19) Wende das Vertauschungsgesetz geschickt an:
1
$ 16
a) 192 $ 329 ( 8
b) 23 $ 14
7
c) 0,3 $ 19 ( 10
d) 0,375 $ 73 ( 58
20) Rechne geschickt und wende dabei die Klammerregel oder das Vertauschungsgesetz an. Gib
an, welche Rechenregel du jeweils verwendet hast.
8
7
$ ( 177 $ 22
)
a) $17 ( 268 $ 83 b) 24,5 $ 23,2 $ 6,8 c) $2,71 ( (14,928 $ 1,29) d) 11
21) Bei den Berechnungen der beiden Terme ist jeweils ein Fehler unterlaufen. Finde und
korrigiere den Fehler. Erläutere, welcher Fehler begangen wurde.
a) $2,71 ( (14,9 $ 1,71)
! $2,71 ( 14,9 $ 1,71
! $2,71 ( 1,71 $ 14,9
! $1 $ 14,9 ! $15,9
b) $2,1 ( 65 ( 1,9 $ 0,8
! 65 $ 2,1 ( 1,9 $ 0,8
! 65 $ (2,1 ( 1,9 $ 0,8)
! 65 $ 3,2 ! 1,2 $ 3,2 ! $2
22) 100 g Buttermilch enthalten 3,3 g Eiweiß, 4,0 g Kohlenhydrate, 0,7 g Mineralstoffe und 0,5 g
Fett. Der Rest ist Wasser. Stelle einen Term zur Berechnung der Wassermenge auf und rechne.
23) Ein Fahrradfahrer fährt vom See Genezareth über Nazareth zum Toten Meer. Der See
Genezareth liegt auf einer geographischen Höhe von 210 m unter dem Meeresspiegel. Um die
höher liegende Stadt Nazareth zu erreichen, muss der Radfahrer 510 Höhenmeter überwinden.
Dagegen liegt das Tote Meer 704 m tiefer als die Stadt Nazareth. Auf welcher geographischen
Höhe befindet sich der Fahrradfahrer, wenn er das Tote Meer erreicht?
24) Welche Zahl kann für x passend eingesetzt werden?
a) x $ ($34) ! 18
b) x $ 8,5 ! 11,2
c) 3,3 $ x ! 4,7
V) Multiplikation und Division rationaler Zahlen
25) Berechne
a) ($3) & ((7)
f) ($3) : 67
b) ($ 23 ) & ($ 19
8 )
3
2
g) (( 7 ) : ($ 28 )
c) ($ 52 ) & ($1,25)
h) ($1,1375) : 0,125
d) ($ 23 )3
e) ($84) : ($12)
13
i) ($1,04):($15)
26) Überschlage zunächst und überprüfe dann durch eine schriftliche Rechnung
a) ($7) & 27,86
b) 2,81 & ($1,1)
c) ($24,05) : ($3,25)
27) Multipliziere aus und berechne
a) 12 & (5 $ 30)
b) 7 & ( 32 ( 14 )
e) ($5) & ($3 ( 7)
f) ($4) & ( 83 $ 87 )
c) 3 & (2 $ 5 ( 3)
3
) & ($200)
g) (0,005 $ 200
d) ($2 ( 7) & 3
5
)
h) 12 & ($ 16 ( 43 $ 12
28) Klammere aus und berechne
a) 12 & 3 ( 12 & 0,5
b) 3 & 7 $ 11 & 3
c) 4,21 & 6,4 ( 4,21 & 3,6
e) 3,9 & 1,7 $ 5,3 & 3,9 ( 3,9 & 0,6
d) ($7) & 0,5 $ 0,5 & ($11)
29) Berechne die Terme möglichst geschickt. Entscheide, welches Vorgehen jeweils vorteilhafter
ist: 1) Den Term direkt zu berechnen oder 2) Ausklammern oder 3) Ausmultiplizieren.
9
3
7
b) 11 & ( 13
( 134 )
c) 9 & ( 18
$ 45
)
a) 3,2 & 54 $ 3,2 & 14
3 7
3 3
3
5
1
d) 4 & 5 ( 5 & 4
e) 11 & ( 4 $ 2 $ 4 )
f) 4,3 & 2,7 $ 1,3 & 4,3 ( 1,6 & 4,3
30) Welche Zahl kann für x passend eingesetzt werden?
b) x : ($25) ! 3
c) 4,2 & x ! 21
a) x & ($25) ! 15
d)
3
4
: x ! $ 89
VI) Rechenregeln für Terme
31) Berechne folgende Terme
a) 76 ( 53 & 12
b) ( 76 ( 53 ) & 12
f) $72
g) $52 ( 2 & 32
$ 43 : 32 ( 1
h) ($1,4)2 & ($5)
c)
8
3
3
d) (0,25 $ 0,75) & ($ 13
4 )( 8
e) ($7)2
i) $ 23 & 33
j) ($3 & 5)2 & 15
32) Schreibe als Term und berechne
a) Addiere 12 zu der Summe von $3 14 und 32
b) Subtrahiere die Differenz der Zahlen 17,4 und 3,9 von 4,6
c) Subtrahiere das Produkt der Zahlen -3 und 7 von der Zahl 12.
d) Subtrahiere die Differenz der Zahlen 19,3 und 5,1 von deren Summe
e) Multipliziere die Summe der Zahlen 12 und 23 mit -12.
f) Multipliziere das Produkt von -12 und -4 mit der Summe von -31 und 28.
g) Dividiere die Summe von 54 und -29 durch -75.
Lösungen
I) Darstellung rationaler Zahlen
Aufgabe 1: Ein geeigneter Maßstab für das
Diagramm ist 1 cm für 10 Mio €.
Umsatz des Unternehmens
II) Ordnen rationaler Zahlen
80
Umsatz in Mio €
Aufgabe 6:
a) (2/-82)
b) (2/82)
c) (-2/-82) d) (-1/84)
Anmerkung: Der Ursprung hat die Koordinaten (0/0)
Aufgabe 7:
a) 98 > -193; b) $ 12 < $ 14 ; c) $4 23 < $4 12 ;
d) $ 78 > $0,88 (denn $ 78 =-0,875)
60
40
20
-20
Aufgabe 8:
a) -1,1; -1; -0,1; -0,05; 0; 0,05
b) -2; -1,9; 0; 3 18 ; 3,25
( 3 18 ! 3,125 )
-40
c) $ 72 ; -3; -0,12; $ 19 ; 0,11;
0
2001
2002
2003
2004
Aufgabe 2:
2005
1
10
( $ 19 ! 0,1 )
Aufgabe 9:
a) -3, -2, -1 (Abstand der Zahlen je 1)
b) $ 43 , $ 12 , $ 14 (Abstand der Zahlen je 14 )
c) $ 12 , 0, 12 (Abstand der Zahlen je 12 )
d) $7 14 , $4 12 , - $1 43 (Abstand der Zahlen je
11
4
)
Aufgabe 10:
a) Nächst kleinere: -10; nächst größere: -9
b) 0; 1
c) -1; 0
d) -100; -99
e) -3; -2
Aufgabe 3:
A=-1
B= $1 23
C= $ 12
D= 16
E= 14
F= $ 18
G=1
H= 78
Aufgabe 4:
A (-3/-2)
B (-3/4)
C (3/4)
D (3/-2)
E (0/1)
F (0/7,5)
Aufgabe 5:
A’ (-2,5/1,5)
B’ (0/-3)
C’ (2,5/1,5)
III) Gegenzahl, Beträge und Zahlenbereiche
Aufgabe 11:
1
a) Die Beträge lauten: 0,11; 72 ; 0; 10
; 3; 3 14 ?
b) Die größte Gegenzahl besitzt die Zahl -3
(Gegenzahl ist 3). Die kleinste Gegenzahl besitzt die
Zahl 3 14 (Gegenzahl $3 14 ).
Aufgabe 12:
Der zweite Spieler muss jeweils eine kleinere Zahl
nennen als der erste Spieler. Mit dieser Strategie
gewinnt er jede Runde. Beispiel: Wählt der erste
Spieler -13 und der zweite Spieler -14, dann gewinnt
der zweite Spieler, da 14 (Gegenzahl von -14) größer
ist als 13 (Gegenzahl von -13).
Diese Strategie klappt bei allen Zahlen. Finde hierfür
eine Begründung (Tipp: Wo liegt die Gegenzahl einer
Zahl auf dem Zahlenstrahl?)
Aufgabe 13:
a) 9 $ $11 ! 9 $ ((11) ! 9 $ 11 ! $2
b) 9,4 $ 51
5 ! 9,4 $ 10,2 ! $0,8 ! 0,8
c)
2
3
: $2 49 !
2
3
3
2 22
2 9
: $ 22
9 ! 3 : 9 ! 3 & 22 ! 11
d) 2 $ $11 ( $7 ! 2 $ $11 ( ((7) ! 2 $ $11 ( 7
! 2 $ $4 ! 2 $ ((4) ! 2 $ 4 ! $2
Aufgabe 14:
a) 7: ! , " , # b) -7: " , # c) 0: ! , " , #
68
68
: ! , " , # (da 17
=4)
d) 17
333331
e) 3 : # (da 333331 nicht durch 3 teilbar ist!)
Aufgabe 15:
a) Die Aussage ist richtig.
b) Diese Aussage gilt nur, wenn die zweite Zahl
kleiner ist als die erste. Ist die zweite Zahl jedoch
größer, erhält man eine negative Zahl und damit
keine natürliche Zahl z. B. 2-3=-1.
c) Diese Aussage ist falsch. Beispiel: 1,5+0,5=2
Aufgabe 20:
a) $17 ( 268 $ 83 ! $17 $ 83 ( 268
! $100 ( 268 ! 168 (Vertauschungsgesetz)
b) 24,5 $ 23,2 $ 6,8 ! 24,5 $ (23,2 ( 6,8)
! 24,5 $ 30 ! $5,5 (Klammerregel)
oder
24,5 $ 23,2 $ 6,8 ! $23,2 $ 6,8 ( 24,5
! $30 ( 24,5 ! $5,5 (Vertauschungsgesetz)
c) $2,71 ( (14,928 $ 1,29)
(Klammerregel)
! $2,71 ( 14,928 $ 1,29 (Vertauschungsgesetz)
! $2,71 $ 1,29 ( 14,928
! $4 ( 14,928 ! 10,928
IV) Addition und Subtraktion rationaler Zahlen
Aufgabe 16:
a) $1 ( 15 ! 14
b) 2,5 $ 6,9 ! $4,4
c) $3 ( 7 $ 11 ( 13 ! 6
d) $11,5 ( 43 ! $11,5 ( 0,75 ! $10,75
e) $3,21 $ 8,847 ! $12,057
5
63
19
44
f) 11
6 $ 2 8 ! 24 $ 24 ! $ 24
g) $11,21 ( 17
4 ! $11,21 ( 4,25 ! $6,96
18
1
2
4
h) $ 9 ( 0,2 ! $ 19 ( 10
! $ 10
90 ( 90 ! 45
Aufgabe 17:
a) +
b) 7 $ ($11) ! 7 ( 11 ! 18
13
c) $6,4 ( ($ 13
5 ) ! $6,4 $ 5 ! $6,4 $ 2,6 ! $9
d) $14,163 ( ((11,72)
! $14,163 ( 11,72 ! 2,443
18
1
1
1
9 $ ((1,8) ! 9 $ 1,8 ! 9 $ 10
162
152
76
31
! 10
90 $ 90 ! $ 90 ! $ 45 ! $1 45
f) ($ 52 ) $ (( 53 ) ( ($ 14 ) $ ($ 43 ) ! $ 52 $ 53 $ 14 ( 43 ! $ 12
e)
Aufgabe 18:
a) 17 ( (3 $ 11) ! 17 ( 3 $ 11 ! 9
b) 128 ( ($111 ( 12) ! 128 $ 111 ( 12 ! 29
c) 23 $ (33 ( 21) ! 23 $ 33 $ 21 ! $10 $ 21 ! $31
d) $ 56 $ ((1 13 ) ! $ 56 $ 1 13 ! $ 65 $ 43 ! $ 65 $ 68 ! $2 16
e) 19 $ (11 $ 13) ! 19 $ 11 ( 13 ! 21
f) $5 $ ($3 $ 9) ! $5 ( 3 ( 9 ! 7
1
( (1,04 $ 0,4) $ ($0,6 $ 102 )
g) $ 25
1
! $ 25
( 1,04 $ 0,4 ( 0,6 ( 102
! $0,04 ( 1,04 $ 0,4 ( 0,6 ( 0,2 ! 1,4
Aufgabe 19:
a) 192 $ 329 ( 8 ! 192 ( 8 $ 329 ! 200 $ 329 ! $129
1
1
1
1
$ 16 ! 23 $ 16 $ 14
! 64 $ 16 $ 14
! 12 $ 14
! 73
b) 23 $ 14
7
! 0,3 ( 107 $ 19 ! 0,3 ( 0,7 $ 19 ! 1 $ 19 ! 98
c) 0,3 $ 19 ( 10
d) 0,375 $ 73 ( 58 ! 0,375 ( 58 $ 73 ! 83 ( 58 $ 73 ! 1 $ 73 ! 74
d)
8
8
$ ( 177 $ 22
) ! 117 $ 177 ( 22
(Klammerregel)
8
7
7
! 11 ( 22 $ 17 (Vertauschungsegel)
8
10
7
7
! 14
22 ( 22 $ 17 ! 1 $ 17 ! 17
7
11
Aufgabe 21:
a) Der Fehler wurde bei der Anwendung des
Vertauschungsgesetzes begangen. Dabei wurde
vergessen, die Vorzeichen beim Vertauschen
mitzunehmen (-1.71 und +14,9)
$2,71 ( (14,9 $ 1,71) (Klammerregel richtig!)
! $2,71 ( 14,9 $ 1,71
!$2,71$1,71(14,9 (Korrektur Vertauschungsregel!!)
! 10,48
b) Der Fehler wurde bei der Anwendung der
Klammerregel begangen. Da beim Setzen der
Klammer eine Minusklammer entsteht, müssen die
Vorzeichen in der Klammer umgedreht werden!!)
$2,1 ( 65 ( 1,9 $ 0,8 (Vertauschungsgesetz richtig!)
! 65 $ 2,1 ( 1,9 $ 0,8
! 65 $ (2,1 $ 1,9 ( 0,8) (Korrektur Klammerregel!!!)
! 65 $1 ! 15
Aufgabe 22:
100 g $ (3,3 g ( 4,0 g ( 0,7 g ( 0,5 g ) ! 91,5 g
Aufgabe 23:
$210m ( 510m $ 704 m ! $404 m
Antwort: Der Radfahrer befindet sich auf einer Höhe
von 404 m unter dem Meeresspiegel.
Aufgabe 24:
a) x $ ($34) ! 18
x ( 34 ! 18
x ! 18 $ 34
x ! $16
b) x $ 8,5 ! 11,2
x ! 11,2 ( 8,5
x ! 19,7
c) 3,3 $ x ! 4,7
x ! 3,3 $ 4,7
x ! $1,4
V) Multiplikation und Division rationaler Zahlen
7
7
1
9 & ( 183 $ 45
) ! 9 & 183 $ 9 & 45
! 23 $ 57 ! 10
Aufgabe 25:
a) ($3) & ((7) ! $21
19
7
b) ($ 23 ) & ($ 19
8 ) ! 12 ! 1 12
c) ($ 52 ) & ($1,25) ! ($ 52 ) & ($ 45 ) !
d) 43 & 57 ( 53 & 43 (Sowohl direktes Berechnen als auch
ausklammern vorteilhaft!)
3
4
1
2
d) ($ ) ! ($ ) & ($ ) & ($ ) ! $
!$
e) ($84) : ($12) ! 7
f ) ($3) : 67 ! ($ 13 ) : 67 ! ($ 13 ) & 67 $ 13&&67 ! $ 72 ! $3 12
3
8
2
) ! (( 72 ) & ($ 283 ) ! $ 27&28
g) (( 72 ) : ($ 28
&3 ! $ 3 ! $2 3
h) ($1,1375) : 0,125 ! $9,1
26
15
26&15
6
1
i) ($1,04) : ($ 13
15 ) ! ($ 25 ) & ($ 13 ) ! 25&13 ! 5 ! 1 5
2 3
3
2
3
2
3
2
3
2&2&2
3&3&3
8
27
Aufgabe 26:
Üb: Überschlag
a) Üb: ($7) & 28 ! $196 ; ($7) & 27,86 ! $195,02
b) Üb: 3 & ($1) ! $3 ; 2,81 & ($1,1) ! $3,091
c)Üb: ($24) : ($3) ) 8 ; ($24,05) : ($3,25) ! 7,4
Aufgabe 27:
a) 12 & (5 $ 30) ! 12 & 5 $ 12 & 30 ! $300
49
7
42
7
1
b) 7 & ( 32 ( 14 ) ! 7 & 23 ( 7 & 14 ! 21
2 ( 4 ! 4 ( 4 ! 4 ! 12 4
c) 3 & (2 $ 5 ( 3) ! 3 & 2 $ 3 & 5 ( 3 & 3 ! 6 $ 15 ( 9 ! 0
d) ($2 ( 7) & 3 ! ($2) & 3 ( 7 & 3 ! $6 ( 21 ! 15
e) ($5) & ($3 ( 7) ! ($5) & ($3) ( ($5) & 7
! 15 ( ($35) ! 15 $ 35 ! $20
f) ($4) & ( 83 $ 87 ) ! ($4) & 83 $ ($4) & 87 ! $ 48&3 $ ($ 48&7 )
28
16
! $ 12
8 ( 8 ! 8 !2
3
3
) & ($200) ! 0,005 & ($200) $ 200
& ($200)
g) (0,005 $ 200
200&3
! $1 $ ($ 200 ) ! $1 $ ($3) ! $1 ( 3 ! 2
5
) ! 12& ($ 16 ) ( 12& 43 $12& 125
h) 12& ($ 16 ( 43 $ 12
! $2 ( 9 $ 5 ! 2
Aufgabe 28:
a) 12 & 3 ( 12 & 0,5 ! 12 & (3 ( 0,5) ! 12 & 3,5 ! 42
b) 3 & 7 $ 11 & 3 ! 3 & (7 $ 11) ! 3 & ($4) ! $12
c) 4, 21 & 6, 4 ( 4, 21 & 3, 6 ! 4, 21 & (6, 4 ( 3, 6)
! 4,21 & 10 ! 42,1
d) ( $7) & 0,5 $ 0,5 & ( $11) ! 0,5 & *($7) $ ( $11) +
! 0,5 & ($7 ( 11) ! 0,5 & 4 ! 2
e) 3,9 & 1,7 $ 5,3 & 3,9 ( 3,9 & 0,6
! 3,9 & (1,7 $ 5,3 ( 0,6) ! 3,9 & ($3) ! $11,7
Aufgabe 29:
a) 3,2 & 54 $ 3,2 & 14 (Berechnung der beiden Produkte
sehr aufwändig. Daher 3,2 ausklammern!)
3,2 & 54 $ 3,2 & 14 ! 3,2 & ( 45 $ 14 ) ! 3,2 & 1 ! 3,2
9
b) 11 & ( 13
( 134 ) (Berechnung der Klammer ergibt 1)
11 & ( 139 ( 134 ) ! 11 & 13
13 ! 11
3
7
c) 9 & ( 18 $ 45 ) (Nenner der Brüche sind Vielfache
von 9. Daher ausmultiplizieren!)
& 57 ( 53 & 43 ! 43 & ( 57 ( 53 ) ! 43 & 2 !
3
2
e) 11 & ( 43 $ 52 $ 14 ) (direkte Berechnung der Klammer
vorteilhaft, da Differenz 2 ergibt).
11 & ( 43 $ 52 $ 14 ) ! 11 & ($2) ! $22
f) 4,3 & 2,7 $ 1,3 & 4,3 ( 1,6 & 4,3 (Ausklammern
vorteilhaft, da die Klammer 3 ergibt)
4,3 & 2,7 $ 1,3 & 4,3 ( 1,6 & 4,3 ! 4,3 & (2,7 $ 1,3 ( 1,6)
! 4,3 & 3 ! 12,9
Aufgabe 30:
a) x & ($25) ! 15
b) x : ($25) ! 3
x ! 15 : ($25)
3
x ! $ 15
25 ! $ 5
x ! 3 & ($25)
x ! $75
c) 4,2 & x ! 21
x ! 21 : 4,2
x !5
d)
: x ! $ 89
x ! 43 : ($ 98 )
x ! 43 & ($ 89 ) ! $ 23
3
4
VI) Rechenregeln für Terme
Aufgabe 31:
a) 76 ( 53 & 12 ! 76 ( 65 ! 2
5
1
17 1
17
b) ( 76 ( 53 ) & 12 ! ( 76 ( 10
6 ) & 2 ! 6 & 2 ! 12 ! 1 12
c) 83 $ 43 : 32 ( 1 ! 83 $ 43 & 23 ( 1
! 2 23 $ 2 ( 1 ! 1 23
3
13
3
d) (0,25 $ 0,75) & ($ 13
4 ) ( 8 ! ($0,5) & ($ 4 ) ( 8
! ($ 12 ) & ($ 134 ) ( 83 ! 138 ( 83 ! 168 ! 2
e) ($7)2 ! ($7) & ($7) ! 49
f) $72 ! $7 & 7 ! $49
g) $52 ( 2 & 32 ! $25 ( 2 & 9 ! $25 ( 18 ! $7
h) ($1,4)2 & ($5) ! ($1,4) & ($1,4) & ($5) ! $9,8
i) $ 23 & 33 ! $ 23 & 3 & 3 & 3 ! $18
j) ($3 & 5)2 & 15 ! ($15) & ($15) & 15 ! 225 & 15 ! 45
Aufgabe 32:
a) ($3 14 ( 32 ) ( 12 ! $2 14
b) 4,6 $ (17,4 $ 3,9) ! 4,6 $ 17,4 ( 4,9 ! $8,9
c) 12 $ ($3) & 7 ! 12 $ ($21) ! 12 ( 21 ! 33
d) (19,3 ( 5,1) $ (19,3 $ 5,1)
! 19,3 ( 5,1 $ 19,3 ( 5,1 ! 10,2
e) ( 12 ( 23 ) & ($12) ! ( 63 ( 64 ) & ($12) ! 67 & ($12) ! $14
f) ($12) & ($4) & (($31) ( 28) ! ($12) & ($4) & ($3)
! 48 & ($3) ! $144
g) (54 ( ($29)) : ($75) ! (54 $ 29) : ($75)
1
! 25 : ($75) ! $25
75 ! $ 3