Lösungen Standardaufgaben Stochastik

Grundkurs Stochastik
02.04.2007
Lösungen Standardaufgaben 1
Lösungen Standardaufgaben Stochastik
1. Ein fairer Würfel wird zweimal geworfen. Berechne ohne Hilfe einer Tabelle die Wahrscheinlichkeit
des Ereignisses E : Der eine oder der andere Würfel zeigt eine gerade Augenzahl
a) P(1.W gerade oder 2.W gerade) = P(1.W gerade) + P(2.W gerade)
− P(1.W gerade und 2.Würfel gerade) =
18 18 9
27
+ − =
= 0.75
36 36 36 36
2. Aufgrund von Befragungen weiss man, dass 70% aller 15jährigen gerne Sport treiben.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet man unter 100 zufällig ausgewählten Jugendlichen dieses
Alters
• genau 70, die gerne Sport treiben ?
– Anders gesagt: 30 die nicht gerne Sport treiben.
– p = 0.3; P(X = 30) = P(X ≤ 30) − P(X ≤ 29) = 0.549 − 0.462 = 0.087
• weniger als 75, die gerne Sport treiben ?
– anders gesagt: 25 oder mehr, die nicht gerne Sport treiben.
– p = 0.3; P(X ≥ 26) = 1 − P(X ≤ 25) = 1 − 0.163 = 0.837
• mindestens 60, aber höchstens 71 Sportbegeisterte ?
– anders gesagt: mindestens 29, aber höchstens 40 nicht Sportbegeisterte.
– p = 0.3; P(29 ≤ X ≤ 40) = P(X ≤ 40) − P(X ≤ 28) = 0.987 − 0.377 = 0.610
b) Bei der Beliebtheit von Schulfächern sind keine ehrlichen Antworten zu erwarten. Deshalb bietet man folgende Befragungsmethode an: Der Befragte darf vor der Antwort verdeckt würfeln.
Falls Augenzahl 6 fällt, soll die Antwort auf jeden Fall JA heissen. Falls Augenzahl 1 oder 2
gewürfelt wird, muss NEIN angegeben werden. Bei den übrigen Augenzahlen muss wahrheitsgetreu geantwortet werden.
• Stelle den Befragungsvorgang als 2stufigen Zufallsversuch dar.
b
1/3
1/2
1,2
1/6
3,4,5
NEIN
JA
6
NEIN
JA
• Angenommen, es mögen tatsächlich 21% das Fach Physik. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem zufällig ausgewählten Testbogen beim Fach Physik JA steht ?
– Der Baum kann nun genauer gezeichnet werden:
b
1/3
1/2
1,2
1/6
3,4,5
6
0.21 0.79
NEIN
JA
NEIN
JA
– P(JA) = 0.5 · 0.21 + 1/6 = 0.27
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Lösungen Standardaufgaben 2
• Angenommen, bei 35% der Bögen wurde bei Mathematik mit JA geantwortet. Bei wieviel
Prozent der der Jugendlichen ist Mathematik tatsächlich beliebt ?
b
1/3
1/2
1,2
1/6
3,4,5
x
NEIN
6
1-x
NEIN
JA
JA
• 0.5x + 1/6 = 0.35 ⇒ x = 0.37 ⇒ Bei 37% der Schüler
3. Bei einem Multiple-Choice-Test werden 50 Aufgaben mit jeweils 4 Antworten zur Auswahl gestellt
(Von den Antworten ist jeweils nur eine richtig). Die Fragen befassen sich mit einem begrenzten
Stoffbereich. Wir gehen davon aus, dass der Schüler bei Kenntnis eine Frage richtig beantwortet.
a) Ein Schüler hat einen Kenntnisstand von 70%. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird er bei 50
Fragen mehr als 33 Fragen richtig beantworten ?
• Anders gesagt: Weniger als 17 falsch beantworten.
• p = 0.3: P(X ≤ 16) = 0.684
b) Ein Schüler hat keine Vorkenntnisse über das Prüfungsgebiet des Tests. Er rät die richtigen
Antworten mit einer Ratewahrscheinlichkeit von jeweils 1/4. Mit welcher Wahrscheinlichkeit
wird der Schüler mindestens die Hälfte von 20 Fragen richtig beantworten ?
• 2 mögliche Ergebnisse: richtige Antwort p = 0.25 oder falsche Antwort, also binomialverteilt.
• P(X ≥ 10) = 1 − P(X ≤ 9) = 1 − 0.986 = 0.014
4. In den Medien wird verstärkt über den Konsum von Videofilmen bei Jugendlichen berichtet. 60%
der Jugendlichen einer bestimmten sozialen Schicht gehören zu den regelmässigen Videokonsumenten, allerdings geben dies nur 70% von ihnen zu. Unter denen, die nicht regelmässig Videofilme
anschauen, behaupten jedoch 40% von sich, dies zu tun.
a) Stelle die Informationen mit einem Baumdiagramm dar.
b
0.6
V
KV
0.7 0.3
0.6 0.4
E
b)
0.4
NE
E
NE
• Welcher Anteil behauptet von sich, regelmässig Videofilme zu betrachten ? → 0.6 · 0.7 +
0.4 · 0.4 = 0.58
• Welcher Anteil macht eine falsche Angabe bei der Befragung ? → 0.6 ·0.3 + 0.4 ·0.4 = 0.34
c) Eine Videothek leiht von Freitag zu Montag verbilligt Videofilme aus. 12% der ausleihenden
Jugendlichen (bis 21 Jahre) nehmen nur einen Film mit, 37% zwei Filme, 46% drei Filme und
der Rest sogar 4 Filme. Berechne den durchschnittlichen Videokonsum pro Wochenende.
• X: Anzahl Filme pro Wochenende. X kann die Werte 1,2,3 und 4 annehmen.
• 0.12 · 1 + 0.37 · 2 + 0.46 · 3 + 0.05 · 4 = 2.44 Filme.
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Lösungen Standardaufgaben 3
d) Aufgrund der Preisgestaltung verdient die Videothek bei der Ausleihe einer Kassette 2.40 DM,
bei zwei Kassetten 2.20 DM, bei drei Kassetten 2 DMund bei vier Kassetten 1.80 DM(jeweils pro
Kassette). Berechne den durchschnittlichen Gewinn pro Kunde und pro ausgeliehener Kassette.
• X :mögliche Gewinne, X kann die Werte 2.40,4.40,6 und 7.20 annehmen.
• E(X) = 0.12 · 2.40 + 0.37 · 4.40 + 0.46 · 6 + 0.05 · 7.20 = 5.04 Fr
5. Ein Glücksrad enthält 5 gleich grosse Sektoren mit den Ziffern 1,2,3,4,5.
a) Das Rad wird 3 mal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis
i) Alle Nummern sind verschieden.
• P(alle Nummern verschieden) =
5·4·3
53
=
60
125
= 0.48.
ii) Mindestens zweimal bleibt das Glücksrad auf einer geraden Nummer stehen.
• Binomialverteilung: Gerade (P=0.4) oder ungerade (P=0.6).
• P(mind. 2 mal gerade) = 3 · 0.42 · 0.6 + 0.43 = 0.352
b) Beim Summenspiel wird das Rad 2 mal gedreht. Man erhält 1 DM ausgezahlt, wenn die Summe
der beiden Nummern 5,6 oder 7 ist, 2 DM für Summe 8 oder 9, 3 DM für Summe 10, in den
anderen Fällen nichts. Welchen Einsatz muss das Spiel haben, damit es für den Betreiber auf
lange Sicht gewinnbringend ist?
•
Summe 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Fälle 1
2 3 4 5 4 3 2 1
• Wir können nun die Tabelle mit den Gewinnwahrscheinlichkeiten aufstellen:
Gewinn
Fälle
Wahrsch.
1
13
13/25
2
5
5/25
3
1
1/25
• E(X) = 1 · 0.52 + 2 · 0.2 + 0.04 = 0.96 ⇒ Der Einsatz muss mind. 0.97 DM betragen, in der
Praxis 1 DM.
6. Ein Hersteller von Kaubonbons legt in jedes 5.Päckchen einen Gutschein für den kostenlosen Bezug
eines weiteren Päckchens mit diesen Kaubonbons.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird man beim Kauf von 100 Päckchen mehr als 25 Gutscheine
erhalten ?
• p = 0.2; P(X > 25) = 1 − P(X ≤ 25) = 1 − 0.913 = 0.087
b) Jemand kauft nun ein Päckchen. Stelle dieses Situation mit einem Baumdiagramm dar. Beachte,
dass in diesem Päckchen ein Gutschein sein kann und man dann sofort ein neues Päckchen erhält. Nimm an, dass in dieser Aufgabe jemand nach 5 Gutscheinen kein weiteres Päckchen mehr
nimmt.
KG
b
0.8
KG
0.2
G
0.8
0.2
KG
G
0.8
0.2
G
0.8
0.2
KG
G
0.8
0.2
KG
G
c) Wir definieren die Zufallsgrösse Y :Anzahl Gutscheine (Wieder max. 5 Gutscheine,s.(b)). Bestimme den Erwartungswert von Y .
• E(Y ) = 0 · 0.8 + 1 · 0.2 · 0.8 + 2 · 0.22 · 0.8 + 3 · 0.23 · 0.8 + 4 · 0.24 · 0.8 + 5 · 0.25 ≈ 0.25