Zusammenfassung Physik I

Stefan Rickli
Zusammenfassung Physik I
8
Jerome Faist, FS14
1 Inhaltsverzeichnis
Jerome Faist, FS14 ..................................................................1
http://blogs.ethz.ch/ricklis
Thermodynamik ............................................................... 11
8.1
Formen der Zustandsgleichung .............................. 11
8.2
kinetische Gastheorie ............................................. 11
8.3
Wärme und erster Hauptsatz der Thermodynamik 12
2
Spannung und Dehnung .....................................................2
8.3.1
Wärmekapazitäten von Gasen ........................... 12
3
Flüssigkeiten .......................................................................2
8.3.2
Erster Hauptsatz der Thermodynamik: .............. 12
8.3.3
Prozesse ............................................................. 12
4
3.1
stehende Flüssigkeiten .............................................2
3.2
Fluiddynamik.............................................................3
3.3
viskose Strömung ......................................................3
Schwingungen ....................................................................4
4.1
4.1.1
ungedämpfte Schwingung ........................................4
5
Entropie .................................................................. 13
8.6
Wärme- / Kältemaschine, Wärmepumpe............... 13
9
Mechanik allgemein ......................................................... 15
9.1
Planare Bewegungen .............................................. 15
9.1.1
Impuls................................................................. 15
5.1
Grundlagen ...............................................................5
9.1.2
Kraft.................................................................... 15
5.2
gedämpfte Oszillatoren ............................................5
9.1.3
Trägheitskraft ..................................................... 15
9.2
Drehbewegungen ................................................... 15
5.2.1
überdämpfter Oszillator .......................................5
5.2.2
kritisch bedämpfter Oszillator ..............................6
9.2.1
Winkel ................................................................ 15
5.2.3
schwach bedämpfter Oszillator ............................6
9.2.2
Drehimpuls ≅ Impuls, Energie .......................... 15
Erzwungene Schwingungen und Resonanz ...............6
9.2.3
Drehmoment ≅ Kraft ......................................... 15
Ausbreitung von Wellen .....................................................7
9.2.4
Trägheitsmoment ≅ Masse................................ 15
9.2.5
weitere Kräfte .................................................... 15
6.1
7
8.5
Gedämpfte Schwingungen .................................................5
5.3
6
Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik und Entropie
13
APPENDIX ............................................................................ 15
Grundlagen ...........................................................4
4.1.2 Beispiele für ungedämpfte harmonische
Schwingsysteme .................................................................5
8.4
Grundlagen ...............................................................7
9.3
Objekte ................................................................... 16
6.1.1
Wellentypen .........................................................7
6.1.2
Grössen:................................................................7
9.3.1
Drehmoment eines verdrehten Vollkörpers ...... 16
6.2
Phasengeschwindigkeiten (in verschiedenen
Medien) ..................................................................................8
9.3.2
Feder .................................................................. 16
6.3
Wellenimpedanz .......................................................8
6.4
Energiebetrachtungen ..............................................8
6.5
Wellenausbreitung an Hindernissen .........................9
6.6
Wellenausbreitung: Huygens und Fermat ................9
Überlagerung & stehende Wellen ......................................9
7.1
7.1.1
10
Energieformen ............................................................ 16
Koordinaten SORGFÄLTIG wählen!
Feder- und Reibungskraftrichtung entsprechend anpassen
Überlagerung von Wellen .........................................9
Doppler-Effekt ......................................................9
7.2
Interferenz ..............................................................10
7.3
Stehende Wellen.....................................................10
7.3.1
allgemein ............................................................10
7.3.2
beidseitig eingespannt .......................................10
7.3.3
einseitig eingespannt..........................................10
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Dieser Zusammenfassung liegt die handschriftliche Version von
Aldo Tobler zugrunde. Ergänzungen und Korrekturen durch
Stefan Rickli.
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Stefan Rickli
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Volumenänderung bei Zug- oder Druckbelastung
2 Spannung und Dehnung
Δ𝑉 ≅ 2𝑑ℓΔ𝑑 + 𝑑 2 Δℓ
Dehnung (relative Längenänderung)
Δℓ
𝜀=
,
ℓ
und damit:
Δ𝑉 Δ𝑉
Δ𝑑 Δℓ Δℓ
= 2 =2
+
=
(1 − 2𝜇)
𝑉
𝑑 ℓ
𝑑
ℓ
ℓ
[𝜀] = 1
, das heisst 𝜇 ≤ 0.5, damit Δ𝑉 ⁄𝑉 ≥ 0
Spannung (dem Druck p entgegengesetzt)
𝜎=
𝐹𝑁
,
𝐴
[𝜎] =
Kompressionsmodul:
N
= Pa
m2
𝐾=−
Δ𝑝
,
ΔV⁄V
[𝐾] =
N
= Pa
m2
Kompressibilität:
(grosser Wert: gut komprimierbar: hohe relative Volumenänderung auf einen kleinen Druckunterschied)
𝜅=
1
Δ𝑉 ⁄𝑉 3(1 − 2𝜇)
=−
=
𝐾
Δ𝑝
𝐸
3 Flüssigkeiten
Hook’sches Gesetz:
Bis zur Proportionalitätsgrenze findet man einen linearen Zusammenhang zwischen Spannung und Dehnung (𝜎 ∝ 𝜀)
Elastizitätsmodul E (Young’s Modulus):
𝐸=
𝜎 𝐹𝑁 ⁄𝐴
=
,
𝜀 Δℓ⁄ℓ
[𝐸] =
3.1 stehende Flüssigkeiten
Dichte:
𝜚=
𝑚
kg
, [𝜚] = 3
𝑉
m
relative Dichte:
N
= Pa
m2
𝜚𝑟𝑒𝑙 =
𝜚
, [𝜚𝑟𝑒𝑙 ] = 1
𝜚𝑤
(materialabhängige Konstante)
Druck:
Querkontraktion (Dickeabnahme):
𝑝=
Δ𝑑
Δℓ
= −𝜇
𝑑
ℓ
andere Einheiten:
μ: Poissonsche Zahl (𝜇 ≤ 0.5!)
1bar = 1000 mbar = 105 Pa
1atm = 1.01325 bar
Scherspannung 𝜏:
Verhältnis Scherkraft 𝐹𝑡 tangential zur Fläche A
𝜏=
𝐹𝑡
,
𝐴
[𝜏] =
𝐹
N
, [𝑝] = 2 = Pa
𝐴
m
N
= Pa
m2
Gravitationskraft einer Wassersäule
𝐹𝐺 = ϱ𝑔Δ𝑉 = 𝜚𝑔𝐴Δℎ
Druckdifferenz oben/unten:
𝑝𝑢 = 𝑝𝑜 + 𝜚𝑔Δℎ
Scherung:
𝛾=
Δ𝑥
= tan 𝜃
ℓ
Für Zylinder: Δ𝑥 = 𝑟𝜃
θ: Scherwinkel, Δx: Verschiebung, ℓ: Höhe
Schubmodul / Torsionsmodul G:
G=
𝜏
𝐹𝑇 ⁄𝐴
𝐹𝑇 ⁄𝐴
=
=
,
𝛾 Δ𝑥 ∕ ℓ tan 𝜃
[𝐺] =
N
= Pa
m2
Beziehung zwischen den Grössen:
Pascal’sches Prinzip (Spezialfall Bernoulli):
Die Druckänderung einer in einem Behältnis eingeschlossenen
Flüssigkeit teilt sich unverändert auf jeden Punkt innerhalb der
Flüssigkeit und den Wänden des Behältnisses auf.
Hydrostatisches Paradoxon:
- der Wasserspiegel in allen kommunizierenden Röhren
ist gleich hoch.
- der Druck hängt nur von der Wasserhöhe ab, nicht
von der Form des Gefässes.
𝐸 = 2𝐺(1 + 𝜇)
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Gesetz von Boyle-Mariotte:
𝑝
= const
𝜚
𝑝𝑉 = const
Stefan Rickli
Gesetz von Torricelli:
Austrittsgeschwindigkeit
einer Flüssigkeit in Höhe
Δh ab Flüssigkeitsspiegel
bei konstanter Temperatur.
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𝑣 = √2𝑔Δℎ
Archimedisches Prinzip:
Ein Körper, der ganz oder teilweise in eine Flüssigkeit eintaucht, erfährt eine Auftriebskraft, deren Betrag gleich der Gewichtskraft der durch den Körper verdrängten Flüssigkeitsmenge ist.
Archimedisches Prinzip:
𝐹𝐴 = 𝑝1 𝐴 − 𝑝0 𝐴 = 𝜚𝐹 𝑔 Δℎ𝐴
⏟ = 𝑔⏟
(𝜚𝐹 Δℎ𝐴)
V𝐾
⏟ Masse
Gewichtskraft
Bernoulli zur Herleitung:
𝑝1 = 𝑝2 , 𝑣1 𝐴1 = 𝑣2 𝐴2 ⇒
𝑣1 = vernachlässigbar
Achtung! Obiges v nicht direkt für
Durchfluss verwenden, sondern:
Venturi-Rohr:
𝐼 = 𝜋𝑟22 𝑣 =
FA: Auftriebskraft der verdrängten Flüssigkeit,
ϱF: Dichte der Flüssigkeit, VK: Körpervolumen
𝜋𝑟12
2
⋅ √2𝑔Δℎ
Venturi-Effekt:
Wenn die Strömungsgeschwindigkeit einer Flüssigkeit zunimmt, geht der Druck zurück.
Folgerungen:
(𝑎) 𝜚𝐾 > 𝜚𝐹 ⇒ 𝐾ö𝑟𝑝𝑒𝑟 sinkt
(𝑏) 𝜚𝐾 < 𝜚𝐹 ⇒ 𝐾ö𝑟𝑝𝑒𝑟 schwimmt
(𝑐) 𝜚𝐾 = 𝜚𝐹 ⇒ 𝐾ö𝑟𝑝𝑒𝑟 schwebt
Hydraulische Hebebühne:
𝑝1 =
𝐹1
𝐹2
= 𝑝2 =
𝐴1
𝐴2
⇔
𝐹2 = 𝐹1
𝐴2
𝐴1
𝑣2 > 𝑣1 ⇒ 𝑝2 < 𝑝1
Barometrische Höhenformel:
𝑝 = 𝑝0 ⋅ exp (− (
𝜚0 𝑔ℎ
))
𝑝0
Bernoulli-Gleichung:
1
𝑝1 Δ𝑉 + ⏟
𝜚𝑔Δ𝑉ℎ1 + 𝜚𝑣12 Δ𝑉 =
⏟
⏟
2
Duckenergie
pot. Energie
kin. Energie
1
𝑝2 Δ𝑉 + 𝜚𝑔Δ𝑉ℎ2 + 𝜚𝑣22 Δ𝑉
2
3.2 Fluiddynamik
Menge Flüssigkeit, die in der Zeit Δ t den Querschnitt A durchfliesst:
i.d.R. atm. Druck
1
𝑝 + 𝜚𝑔ℎ + 𝜚𝑣 2 = const. an jeⅆem Punkt
2
⇒
Δ𝑉 = 𝐴𝑣Δ𝑡
 die Summe der Grössen an jedem Punkt entlang einer
Stromlinie ist konstant.
Volumenstrom:
𝐼𝑉 = 𝐴𝑣 =
ⅆ𝑉
,
ⅆ𝑡
[𝐼𝑉 ] =
m3
s
Kontinuitätsgleichung:
Verknüpft die zeitliche Änderung der zu einer Erhaltungsgrösse
gehörigen Dichte ϱ mit der räumlichen Änderung ihrer Stromdichte. (Wiki)
Der Volumenstrom durch verschiedene Querschnitte ist konstant:
Δ𝑉1 = Δ𝑉2
⇔
Dynamische Reibungskräfte:
1
𝐹𝑅 = 𝐶𝑅 𝜚𝑣 2 𝐴
2
CR: Reibungskoeffizient
Dynamischer Auftrieb:
1
𝐹𝐴 = 𝐶𝐴 𝜚𝑣 2 𝐴
2
𝐹𝐴 = Δ𝑝𝐴
𝑣1 𝐴1 = 𝑣2 𝐴2 = const.
Annahme: Flüssigkeit ist inkompressibel
3.3 viskose Strömung
Durchflussmasse:
Viskose Reibungskraft:
𝐼𝑚 = 𝜚𝑣𝐴 =
ⅆ𝑚
,
ⅆ𝑡
[𝐼𝑚 ] =
kg
s
𝐹𝑅 = 𝜂
𝑣𝐴
𝑑
, allg.: 𝐹 = η
∂v
∂z
𝐴, [𝐹𝑅 ] = Pa s
η: Zähigkeit / Viskosität, v: Geschwindigkeit der Platte,
A: Fläche der Platte, d: Plattenabstand
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Hagen-Poiseuille-Strömung:
Die Geschwindigkeit der zähen Flüssigkeit ist abhängig vom
Rand. (parabolisches Geschwindigkeitsgefälle)
Δ𝑝 2
(𝑅 − 𝑟 2 )
𝑣(𝑟) =
4𝜂𝐿
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4 Schwingungen
4.1 ungedämpfte Schwingung
4.1.1 Grundlagen
Federkraft in harmonischer Schwingung: Hook’sches Gesetz:
Gesetz von Hagen-Poiseuille:
𝐹𝑥 = −𝑘𝐹 𝑥
𝜋𝛥𝑝𝑅4
𝐼𝑉 =
8𝜂ℓ
Reynoldszahl:
Gibt Aussage über Turbulenzverhalten einer Strömung
2𝑟𝜚𝑣
Re =
𝜂
Re = {
≥ ~2000 - 3000
< 2000
turbulent
laminar
Bedingungen für eine harmonische Schwingung:
Ein Körper führt eine harmonische Schwingung aus, wenn
seine Beschleunigung zu seiner Auslenkung aus der Ruhelage
und stets zu dieser hin gerichtet ist.
Irgendein System, welches sich in einem stabilen Gleichgewicht
befindet, lässt sich durch die Gleichung eines harmonischen
Oszillators beschreiben!
Bewegungs-DGL eines harmonischen Oszillators:
𝑥̈ +
𝑘𝐹
𝑥 = 0 ⇔ 𝑥̈ + 𝜔2 𝑥 = 0
𝑚
DGL für Drehbewegungen:
𝐼𝜑̈ + 𝐷𝜑 = 0 ⇔ 𝜑̈ +
𝐷
𝜑 = 0 ⇔ 𝜑̈ + 𝜔2 𝜑 = 0
𝐼
I: Trägheitsmoment, D: Direktionsmoment
D bei einer Torsionsbewegung: 𝐷 =
G: Schubmodul
𝜋𝐺𝑟 4
2ℓ
Schwingungsperiode und Frequenz:
𝑓=
1
,
𝑇
𝑇=
2𝜋
𝜔0
Ort-Zeit-Funktion der harmonischen Schwingung:
𝑥(𝑡) = 𝐴 cos(𝜔𝑡 + 𝜑)
A: Amplitude, ϕ: Phasenkonstante, ω: Kreisfrequenz
Umrechnungen:
𝜋
cos(𝜔𝑡 + 𝜑) = sin (𝜔𝑡 + 𝜑 + )
2
𝜑 = 2𝑘𝜋
⇒ 𝑥(𝑡) = 𝑥(𝑡 + 𝜑)
𝜑 = (2𝑘 + 1)𝜋 ⇒ 𝑥(𝑡) = −𝑥(𝑡 + 𝜑)
Geschwindigkeit-Zeit-Funktion:
𝑣𝑥 (𝑡) =
𝜕𝑥(𝑡)
= −𝜔𝐴 sin(𝜔𝑡 + 𝜑)
𝜕𝑡
Beschleunigungsgesetz:
𝑎𝑥 (𝑡) =
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𝜕 2 𝑥(𝑡)
= −𝜔2 𝑥(𝑡)
𝜕𝑡 2
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Kreisfrequenz für einen Federschwinger:
5 Gedämpfte Schwingungen
𝑘𝐹
𝜔=√
𝑚
5.1 Grundlagen
Bei einer gedämpften Schwingung nimmt die Energie im System mit der Zeit ab.
daraus folgt:
Frequenz und Schingungsdauer einer harmonischen Schwingung sind unabhängig von der Amplitude.
Reibungskraft:
Potenzielle Energie der harmonischen Schwingung:
b: Viskosität des Mediums
1
1
𝐸pot = 𝑘𝐹 𝑥 2 = 𝑘𝐹 𝐴2 cos 2 (𝜔𝑡 + 𝜑)
2
2
𝐹𝑅 = −𝑏𝑣 = −𝑏𝑥̇ (𝑡)
Bei Reibungserscheinungen die
x-Koordinate am besten in
FR-Richtung wählen.
Kinetische Energie der harmonischen Schwingung:
Bewegungs-DGL:
1
1
1
𝐸kin = 𝑚𝑣𝑥2 = 𝑚𝑥̇ 2 = 𝑘𝐹 𝐴2 sin2 (𝜔𝑡 + 𝜑)
2
2
2
𝑚𝑥̈ = ⏟
−𝑘𝐹𝑥 𝑥 (0) −𝑏𝑥̇
⏟ ⇔ 𝑥̈ +
allgemeiner:
Mechanische Gesamtenergie:
𝑥̈ + 𝛾𝑥̇ + 𝑚𝜔02 𝑥 = 0
𝐸mech = 𝐸kin + 𝐸pot
=1
𝐸mech
1
(sin2 (𝜔𝑡 + 𝛿) + cos 2 (𝜔𝑡 + 𝛿))
= 𝐴2 𝑘𝐹 ⏞
2
1
1
= 𝑘𝐹 𝐴2 = 𝑚𝜔2 𝐴2
2
2
Die mechanische Gesamtenergie der harmonischen Schwingung ist proportional zum Amplitudenquadrat.
4.1.2 Beispiele für ungedämpfte harmonische Schwingsysteme
Mathematisches Pendel (Punktmasse):
𝜑(𝑡) = 𝜑0 cos(𝜔𝑡 + 𝜑) ,
Reibung
Feder
𝑏
𝑘𝐹
𝑥̇ + 𝑥 (0) = 0
𝑚
𝑚
ℓ
s mg
Achtung: gilt nur für kleine Winkel!
ϕ0: Amplitude, Anfangszustand
𝑚
𝑘𝐹
und 𝜔0 = √
𝑚
.
𝑏
𝑘
𝑚
𝑚
𝜆2 + ( ) 𝜆1 + ( 𝐹) 𝜆⏟0 = 0 ⇒ 𝜆 = −
=1
𝑏
2𝑚
± √(
𝑏
2𝑚
2
) − 𝜔02
Für die Ortsfunktion ergeben sich dadurch 3 Fälle:
𝑏
2𝑚
𝑏
2𝑚
> 𝜔0 ⇒ Überdämpftes System
= 𝜔0 ⇒ kritisch bedämpftes System
< 𝜔0 ⇒ schwach bedämpftes System
𝑠 =𝑙⋅𝜑
5.2 gedämpfte Oszillatoren
 Schwingungsdauer und Frequenz sind beim mathematischen Pendel unabhängig von der Masse.
5.2.1 überdämpfter Oszillator
Voraussetzung:
𝑏
2𝑚
> 𝜔0 , der Wurzelterm wird reell und damit
𝑏
𝑏 2
(−2𝑚+√(2𝑚) −𝜔02 )𝑡
Physikalisches Pendel:
𝜑(𝑡) = 𝜑0 cos(𝜔𝑡 + 𝜑) ,
𝑏
𝜏
DGL mit konstanten Koeffizienten - Ansatz:
𝑥(𝑡) = 𝐴e𝜆𝑡 , 𝜆 ∈ ℂ
2𝑚
𝑏
𝑔
𝜔=√
ℓ
1
mit 𝛾 = =
gilt 𝑥(𝑡) = 𝐴e
𝜔=√
𝑚𝑔ℓ
𝐼
Achtung: gilt nur für kleine Winkel!
ϕ0: Amplitude, Anfangszustand, I: Trägheitsmoment (bezogen
vom Schwerpunkt des aufgehängten Objekts zur Aufhängung),
ℓ: Abstand von der Aufhängung zum Massenmittelpunkt
+ 𝐵e
𝑏 √ 𝑏 2
+ ( ) −𝜔02 )𝑡
2𝑚
2𝑚
−(
.
Es kommt zu keiner Schwingung. Der Oszillator kehrt mit exponentieller Abnahme der Auslenkung einfach in die Ruhelage zurück.
Das mathematische Pendel ist ein Spezialfall des physikalischen
Pendels, wenn 𝐼 = 𝑚ℓ2 und 𝑑 = ℓ (Punktmasse).
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5.2.2 kritisch bedämpfter Oszillator
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Physikalische Interpretation Q-Faktor:
2𝜋
gesamte gespeicherte Energie
𝑏
𝑄 = |Δ𝐸
= 2𝜋 ⋅
Voraussetzung
= 𝜔0 , der Wurzelterm wird gleich null (die
|
Energieverlust
pro Schwingungsperioⅆe
⏟
2𝑚
( 𝑚𝑒𝑐ℎ )𝑇
𝑏
𝐸𝑚𝑒𝑐ℎ
𝑏
NS doppelt) und damit gilt 𝑥(𝑡) = ⏟
𝐴e−2𝑚𝑡 + 𝐵𝑡e−2𝑚𝑡 .
für
2-fache NS
Hier kommt es ebenfalls zu keiner Schwingung, aber die Rückstellzeit ist minimal. Würde die Dämpfung noch kleiner, käme
es zu einer Schwingung.
𝑏𝑘 = 2𝑚𝜔0 ⇒ 𝜏𝑘 =
𝑚
1
=
𝑏𝑘 2𝜔0
|Δ𝐸𝑚𝑒𝑐ℎ |
𝐸𝑚𝑒𝑐ℎ
NuS-Erklärung
≪1
Der Q-Faktor gibt die Zahl der Schwingungen an, nach denen
(in Abwesenheit einer äußeren Kraft) die Amplitude auf 𝑒 −𝜋 ≅
4% des Anfangswerts abgeklungen ist.
Energie im System:
1
𝐸𝑚𝑒𝑐ℎ,0 = 𝑚𝜔02 𝐴20 ,
2
Index k: kritisch
5.2.3 schwach bedämpfter Oszillator
𝑥(𝑡) =
𝑡
𝐴0 e−2𝜏
′
cos(ω 𝑡 + 𝜑)
𝑇 ′ : Quasi-Periode, 𝜔0 = √
Antreibende Kraft:
𝐹(𝑡) = 𝐹0 cos(Ωt)
2
𝑏
2𝜋
) ⇒ 𝑇′ = ′
2𝑚𝜔0
ω
Ist die Frequenz Ω der treibenden Kraft näherungsweise gleich
der Eigenfrequenz des Systems, wird das angetriebene System
mit einer relativ grossen Amplitude schwingen. (Ω = 𝜔0 )
𝑘𝐹
𝑚
Bandbreite:
𝜔′ sinkt mit steigender Dämpfung
für eine sehr schwache Dämpfung gilt:
(
B = Δω =
𝑏
) ≪ 1 ⇒ 𝜔′ = 𝜔0
2𝑚𝜔0
𝜔0
𝑄
inhomogene DGL:
𝑚𝑥̈ = ⏟
−𝑘𝐹 𝑥 −𝑏𝑥̇
⏟ ⏟
+𝐹0 cos(Ω𝑡)
Abnahme der Amplitude:
⇒ 𝑥̈ +
𝐴(𝑡) =
𝑡≠0
5.3 Erzwungene Schwingungen und Resonanz
mit einer Quasi-Kreisfrequenz 𝜔′ :
ω′ = 𝜔0 √1 − (
𝑡
𝐸𝑚𝑒𝑐ℎ,𝑡>0 = 𝐸𝑚𝑒𝑐ℎ,0 ⋅ 𝑒 −𝜏 ,
𝑏
Voraussetzung:
< 𝜔0
2𝑚
Der Wurzelterm wird imaginär und damit die Bewegungsgleichung:
𝑡=0
𝑡
𝐴0 𝑒 −2𝜏
mit 𝛾 =
𝑏
𝑚
Feder Reibung
𝑏
𝑘𝐹
äussere Kraft
𝐹0
𝑚
𝑚
𝐹0
𝑥̇ +
𝑥=
⇒ 𝑥̈ + 𝛾𝑥̇ +
=
𝑚
𝜔02 𝑥
𝑚
𝑐𝑜𝑠(𝛺𝑡)
cos(Ω𝑡)
𝑘𝑓
und 𝜔0 = √
𝑚
homogene Lösung: nach entsprechend langer Zeit kann der
homogene Teil der Lösung wegen dessen exponenzieller Abnahme vernachlässigt werden. ⇒ Einschwingvorgang
Zeitkonstante / Zerfallszeit:
𝜏=
𝑚
𝑏
𝛾=
𝑏
2𝑚
𝜏=
partikuläre Lösung: stationäre Lösung nach Einschwingen
1
2𝛾
Ortsfunktion des erzwungenen Oszillators:
b: Reibungskoeffizient
𝑥(𝑡) = 𝐴 cos(Ω𝑡 + 𝜑)
𝑡
Die Energie zerfällt mit der Zerfallskonstante τ, da 𝐸~𝑒 −𝜏 .
Ω: Kreisfrequenz der treibenden Kraft
Gütefaktor:
Amplitude:
𝑄 = 𝜔0 𝜏
Q hoch: langsamer Abfall der Schwingung
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𝐴=
𝐹0
√𝑚2 (𝜔02
− Ω2 )2 + 𝑏 2 Ω2
=
𝐹0
1
2
𝑚 √(𝜔0 − Ω2 )2 + 𝛾 2 Ω2
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Phase:
tan 𝜑 = −
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Schallwellen:
Können mittels einer Druck- und Auslenkungswelle beschrieben werden.
1. Auslenkungswelle:
𝜉(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝜉 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)
2. Druckwelle:
𝑝(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑝 sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)
𝑏Ω
𝑚(𝜔02 − Ω2 )
Grenzfälle:
Ω ≪ 𝜔0 ⇒ 𝐴 ≅
𝐹0
𝑘
,
𝜑≅0
6.1.2 Grössen:
 Die Masse „folgt“ der antreibenden Kraft.
Ω ≫ 𝜔0 ⇒ 𝐴 ≅
𝐹0 1
𝑚Ω
2,
𝜑 ≅ −𝜋
 Die Auslenkung geht gegen null während die Phase
gegen -180° geht. Die Masse hat somit keine Zeit, der
antreibenden Kraft zu folgen.
Ω = 𝜔0 ⇒ 𝐴 =
𝐹0
𝑘
𝑄,
𝜑≅−
𝜋
2
[A] = m
A: Amplitude
Phasengeschwindigkeit:
Ausbreitungsgeschwindigkeit gleicher Phasen. Kann für verschiedene Frequenzen unterschiedlich sein.
Mehr dazu: suche nach Stichwort „dispersives Medium“.
𝑣 = 𝜆𝑓,
m
s
λ: Wellenlänge, f: Frequenz
Wellenzahl:
 Im Vergleich mit Ω ≅ 0 ist die Auslenkung um einen
Faktor Q vergrössert.
6 Ausbreitung von Wellen
[𝑣] =
𝑘=
2𝜋
𝜆
Kreisfrequenz:
6.1 Grundlagen
Definition Welle:
Die Erscheinung der Ausbreitung eines Schwingungszustandes
im Raum, bei dem eine Energieübertragung, nicht aber ein
Massentransport stattfindet.
Kennzeichen einer Welle:
Teilchen führen Schwingungen an Ort aus, während sich infolge Kopplung mit benachbarten Teilchen der Bewegungszustand (die Schwingungsenergie) mit konstanter, endlicher Geschwindigkeit vom Erregerzentrum wegbewegt.
Harmonische Wellen (Gleichung):
𝑓(𝑥, 𝑡) = 𝐴 sin(𝑘𝑥 ∓ 𝜔𝑡 + 𝛿)
- : fortschreitende Welle, + : rückläufige Welle


Die harmonische Welle ist ein zeitlich und räumlich
periodischer Vorgang.
Gleiche Schwingungszustände wiederholen sich in
Ausbreitungsrichtung periodisch in bestimmten Abständen, der Wellenlänge λ.
𝜔 = 𝑘𝑣 = 2𝜋𝑓,
[𝜔] =
raⅆ
s
Transversale Geschwindigkeit:
𝑣𝑓 =
𝜕𝑓
= −𝜔𝐴 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)
𝜕𝑡
Transversale Beschleunigung:
𝑎𝑓 =
𝜕2𝑓
= −𝜔2 𝐴 sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)
𝜕𝑡 2
eindimensionale Wellengleichung:
𝜕2𝑓
1 𝜕2𝑓
′′
=
𝑓
=
𝜕𝑥 2
𝑣 2 𝜕𝑡 2
In festen Stoffen können sich aufgrund ihrer Gestaltelastizität
sowohl reine Transversalwellen als auch aufgrund ihrer Volumenelastizität reine Longitudinalwellen ausbreiten.
6.1.1 Wellentypen
a) Transversalwellen
schwingen senkrecht zur
Ausbreitungsrichtung.
b) Longitudinalwellen
schwingen parallel zur
Ausbreitungsrichtung.
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Stefan Rickli
6.2 Phasengeschwindigkeiten (in verschiedenen Medien)
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6.4 Energiebetrachtungen
Leistung:
Seilwellen / Saiten:
𝑣=√
𝑃 = 𝐹𝑣 = −𝜎(𝑥, 𝑡)𝐴
|𝐹𝑠 |
𝜎
=√
𝜇
𝜚
𝑃 = 𝜇𝑣𝜔2 𝐴2 cos2 (𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) ??
[𝜇] = kg m−1
[𝜎] = N m−2
[𝜚] = kg m−3
μ: Längendichte
σ: Spannung
ϱ: Dichte
μ: Längendichte
mittlere Leistung:
1
⟨𝑃⟩ = 𝜇𝑣𝜔2 𝐴2
2
Longitudinalwellen elastischen Medien (z.B. Stäbe):
𝑣=√
μ: Längendichte des Mediums
𝐸
𝜚
Energie:
E: Elastizitätsmodul (Young’s Modulus)
[𝐸] = N m
−2
⟨𝐸⟩ = ⟨𝑃⟩Δ𝑥, Δ𝑥 = 𝑣Δ𝑡
1
⇒ ⟨𝐸⟩ = 𝜇𝜔2 𝐴2 Δ𝑥
2
Longitudinalwellen in dicken Stäben:
𝑣=√
4
𝐾+ 𝐺
3
𝜚
Intensität:
𝐼=
[𝐾] = N m−2
[𝐺] = N m−2
K: Kompressionsmodul
G: Schubmodul
𝑃
,
𝐴
W
m2
[𝐼] =
P: Leistung,
A: Fläche:
 normalerweise eine Kugelfläche 𝐴 = 4𝜋𝑟 2
𝑝
 für Quellenwelle: 𝐼 =
2 ??
Transversalwellen in Stäben:
𝑣=√
𝜕𝑓
𝜕𝑡
𝐺
𝜚
4𝜋𝑟
Intensität bei ebenen Wellen (zeitlicher Mittelwert):
[𝐺] = N m−2
G: Schubmodul
1
𝐼 ̅ = 𝜚𝑣𝜔2 𝐴20
2
Schallwellen in Flüssigkeiten und Gasen:
𝑣=√
ϱ: Dichte, v: Geschwindigkeit,
ω: Kreisfrequenz, A0: Amplitude
𝐾𝑆
𝛾𝑅𝑇
=√
𝜚
⏟𝑀
𝑣
nur Gase
κT :
𝜅𝑇 =
κS: Kompressibilität von Gasen:
𝜅𝑆 =
1
𝑝
1
𝛾𝑝
KT: isothermes Kompressionsmodul
KS: Kompressionsmodul für adiabatische Zustandsänderung
(Kompressionswärme kann nicht abfliessen)
[𝑇] = 𝐾
T: absolute Temperatur
{𝑇} = {𝑇𝐶 } + 273.15
Umrechnung:
J
R: universelle Gaskonstante
𝑅 = 8.314
mol K
M: molare Masse
γ: Adiabatenkoeffizient (für Luft: 𝛾 = 1.2, Tabelle in 8.3.1)
Daran denken, dass mit erweitert werden kann und dann das
𝑣
obere 𝑣 2 mit der quadrierten Mediumgeschwindigkeit
𝐾
(z.B. 𝑣 2 = ) ersetzt werden kann.
𝜚
Energiedichte (Herleitung Skript):
𝑈=
𝐼̅ 1 2 2
= 𝜚𝜔 𝐴0
𝑣 2
Es zeigt sich (Herleitung in Skript), dass
̅𝑘𝑖𝑛 + 𝑈
̅𝑝𝑜𝑡 mit 𝑈
̅𝑘𝑖𝑛 = 𝑈
̅𝑝𝑜𝑡 = 1 𝜚𝜔2 𝐴20
𝑈=𝑈
4
Intensität einer Welle via Impedanz (d’Alembert-Gleichung):
6.3 Wellenimpedanz
1
𝐼 = 𝑍𝜔2 𝐴2
2
Akustische Impedanz:
ET
Akustik
⏞
Spannung ⏞
Druckⅆifferenz
𝑍=
=
Strom
Geschwinⅆigkeit
𝐾
𝑍 = 𝑣𝜚 = ,
𝑣
kg
Ns
[𝑍] = 2 = 3
m s m
K: Kompressionsmodul
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Schallpegel:
𝐼
𝐼ⅆB = (10ⅆB) log10 ( ) ,
𝐼0
[𝐼ⅆB ] = ⅆB
W
Referenzschallintensität: 𝐼0 = 10−12 2 (Hörschwelle bei 0dB)
m
Schmerzgrenze: 𝐼 = 120 ⅆB
8 / 21
Zusammenfassung Physik I
Stefan Rickli
6.5 Wellenausbreitung an Hindernissen
Faktoren für die Berechnung der Amplitude der reflektierten
und der durchgelassenen Welle:
Transmittivität:
Z1
Z2
𝐴𝑡
2𝑍1
𝑡=
=
𝐴𝑖 𝑍1 + 𝑍2
Ai: Eingangsamplitude,
At: Amplitude der
durchgelassenen Welle
𝑍2 < 𝑍1 : Reflexionskoeffizient positiv
Z1
Brechungsgetz (Snellius):
𝑐1
𝑐2
𝜆1 = , 𝜆2 =
𝑓
𝑓
sin 𝛼 𝑐1 𝑛2 𝜆1
= =
=
sin 𝛽 𝑐2 𝑛1 𝜆2
7 Überlagerung & stehende Wellen
Ar: Amplitude der reflektierten
Welle
𝑍2 > 𝑍1 : Reflexionskoeffizient positiv
⇒ es wird keine Welle reflektiert, falls beide Impedanzen
gleich sind.
Faktoren für die Berechnung der Intensität der reflektierten
und der durchgelassenen Welle:
Transmittivität:
7.1 Überlagerung von Wellen
Superpositionsprinzip:
Wenn zwei oder mehr Wellen sich überlagern, ergibt sich die
resultierende Welle als algebraische Summe der einzelnen Auslenkungen.
Gleichung zweier Wellen gleicher Frequenz und Amplitude,
aber unterschiedlichem Abstand bzw. Phase:
𝜉1 (𝑥, 𝑡) + 𝜉2 (𝑥, 𝑡) = 𝐴 sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) + 𝐴 sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝛿)
𝛿
𝛿
𝜉1+2 (𝑥, 𝑡) = 2𝐴 cos ( ) sin (𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + )
⏟ 2
2
𝐼𝑡
4𝑍1 𝑍2
=
𝐼𝑖 (𝑍1 + 𝑍2 )2
Ampl.moⅆ
i: Input, t: transmittiert
ξ: Auslenkung, δ: Phasendifferenz 𝛿 = 𝜑1 − 𝜑2
Reflektivität:
𝑅=
Huygens: „In jedem Punkt einer Wellenfront sitzt ein Streuzentrum, von dem wieder eine Kugelwelle ausgeht“
Fermat: „Eine Welle läuft zwischen zwei Punkten immer so,
dass sie möglichst wenig Zeit braucht.“
𝐴𝑟 𝑍1 − 𝑍2
=
𝐴𝑖 𝑍1 + 𝑍2
𝑇=
6.6 Wellenausbreitung: Huygens und Fermat
Z2
Reflektivität:
𝑟=
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𝐼𝑟
𝑍1 − 𝑍2
=(
)
𝐼𝑖
𝑍1 + 𝑍2
Schwebung zweier Wellen mit unterschiedlicher Frequenz:
𝜔1 − 𝜔2
𝜔1 + 𝜔2
𝜉 = 𝜉1 + 𝜉2 = 2𝐴0 cos (
𝑡) sin (
𝑡)
2
2
2
𝜉1+2 (𝑥, 𝑡) = 2𝐴0 cos (2𝜋
i: Input, r: reflektriert
Intensität der durchgelassenen Welle:
 1 Wechsel des Mediums (Z1 → Z2):
𝐼𝑡 = 𝐼𝑖 ⋅ 𝑇
 2 Wechsel des Mediums (Z1 → Z2 → Z1):
𝐼𝑡 = 𝐼𝑓 ⋅ 𝑇 2
 neue Welle schwingt mit Durchschnittsfrequenz 𝑓 ̅
 Schwebungsfrequenz ist Δ𝑓 = |𝑓1 − 𝑓2 |
 Hüllkurvenfrequenz ist Δ𝑓 ⁄2
Zusammenhang zwischen Phasendifferenz und Gangunterschied:
𝛿
Δ𝑥
=
2𝜋
𝜆
Spezialfälle:
𝑍1 = 𝑍2 ⇒ 𝑅 = 0, 𝑇 = 1
𝑍2 ≫ 𝑍1 ⇒ 𝑅 → 1, 𝑇 → 0
7.1.1 Doppler-Effekt
Es gilt Energieerhaltung, d.h.:
𝐼𝑖 = 𝐼𝑟 + 𝐼𝑡
⇔
𝐼𝑟 𝐼𝑡
1= +
𝐼𝑖 𝐼𝑖
Δ𝑓
𝑡) sin(2𝜋𝑓 ̅𝑡)
2
⇔
1=𝑅+𝑇
Quelle und Empfänger nähern sich: Frequenz steigt
Quelle und Empfänger entfernen sich: Frequenz sinkt
𝑓𝐸 = 𝑓𝑄 ⋅
𝑣𝑐 ± 𝑣𝐸
𝑣𝑐 ∓ 𝑣𝑄
fQ: Frequenz der ausgesandten Welle,
m
vc: Schallgeschwindigkeit
𝑣𝑐 = 343 @ 20°C
s
vE: Empfängergeschwindigkeit, vQ: Quellengeschwindigkeit
Konvention: vE und vQ zeigen zueinander
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Zusammenfassung Physik I
Stefan Rickli
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7.2 Interferenz
7.3.3 einseitig eingespannt
Phasendifferenz (Länge):
Δφ = 2π
Δℓ
λ
Interferenzmaxima bei
Δℓ = 𝑛𝜆,
𝑛∈ℤ
Interferenzminima bei
(siehe auch Rezepte 12.9)
Δℓ = (𝑛 + ) 𝜆,
1
2
𝑛∈ℤ
1. Harmonische
3. Harmonische
5. Harmonische
 Es gibt in solchen Systemen keine geradzahligen Harmonischen.
Bedingung für stehende Wellen:
Phasendifferenz (Zeit):
Δ𝜑 = 2𝜋
Δ𝑡
𝑇
ℓ=𝑛
Konstruktive Interferenz bei Δ𝜑 = 𝑛𝜋,
Destruktive Interferenz bei Δ𝜑 = 𝑛𝜋,
𝑛 = 0,2,4, …
𝑛 = 1,3,5, …
𝑛 = 1,3,5, …
Resonanzfrequenzen:
𝑓𝑛 = 𝑛
7.3 Stehende Wellen
𝜆𝑛
,
4
𝑣
= 𝑛𝑓1 ,
4ℓ
𝑛 = 1,3,5, …
n: n-te Harmonische, v: Wellengeschwindigkeit
7.3.1 allgemein
Funktion einer stehenden Welle:
𝑦𝑛 (𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑛 sin(𝑘𝑛 𝑥) cos(𝜔𝑛 𝑡)
Resultierende Amplitude zweier gleicher Wellen, z.B. stehende
Wellen:
𝛿
𝐴 = 2𝑦0 cos ( )
2
y0: Amplitude einzelner Wellen, δ: Phasenunterschied
Notwendige Bedingungen für stehende Wellen auf einer Saite:
1. Jeder Punkt auf der Saite bleibt entweder in Ruhe oder schwingt in einer einfachen harmonischen Bewegung. (Die in Ruhe befindlichen Punkte sind die Knoten)
2. Die Bewegungungen von zwei beliebigen Punkten,
welche keine Knoten sind, auf der Saite sind entweder
in Phase oder um 180° phasenverschoben.
allgemeine Wellenfunktion für schwingende Saiten:
𝑓(𝑥, 𝑡) = ∑ 𝐴𝑛 sin(𝑘𝑛 𝑥) cos(𝜔𝑛 𝑡 + 𝛿𝑛 )
7.3.2 beidseitig eingespannt
𝑛
1. Harmonische
2. Harmonische
3. Harmonische
Bedingung für stehende Wellen:
ℓ=𝑛
𝜆𝑛
,
2
𝑛∈ℤ
Resonanzfrequenzen:
𝑓𝑛 = 𝑛
𝑣
= 𝑛𝑓1 ,
2ℓ
𝑛∈ℤ
n: n-te Harmonische, v: Wellengeschwindigkeit
Umformungen:
𝑘𝑛 =
𝜔𝑛 2𝜋
2𝜋𝑣
=
⇔ 𝜔𝑛 =
= 𝑘𝑛 𝑣
𝑣
𝜆𝑛
𝜆𝑛
2ℓ 2𝜋
𝜆𝑛 =
=
𝑛
𝑘𝑛
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Zusammenfassung Physik I
8 Thermodynamik
Zustandsgrösse
U innere Energie
V Volumen
n Anzahl Mol eines Gases
p Druck
T Temperatur
S Entropie
Austauschgrösse
Q Wärme
W Arbeit
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Korrekte Anwendung von Zustandsgleichungen bei Zustandsänderungen:
𝑝 𝑉
𝑝 𝑉
falsch:
richtig: Δ𝑛 = 𝑛2 − 𝑛1 = 2 2 − 1 1
Δ𝑝V
𝑅𝑇
𝑅𝑇
Δ𝑛 =
𝑅𝑇
8.2 kinetische Gastheorie
Nullter Hauptsatz der Thermodynamik:
Befinden sich zwei Körper in thermischem Gleichgewicht mit
einem dritten, so stehen sie auch untereinander in thermischem Gleichgewicht.
Temperaturskala der absoluten Tempertatur:
𝑇=
𝑝
⋅ 273.16 K
𝑝3
p: Druck im zu messenden System
p3: Druck des Thermometers (Tripelpunkt H2O)
Definition des idealen Gases:
Das ideale Gas ist ein Gas, dessen Verhalten vollständig und
uneingeschränkt durch die Gastheorie beschrieben wird.
Freiheitsgrad f eines Moleküls / Atoms:
# Atome
Bsp. für Gase dieses Typs
1
Argon
Helium
2
Stickstoff N2
Sauerstoff O2
Kohlenmonoxid CO
>3
Ammoniak NH3
Kohlendioxid CO2
Wasser H2O
8.1 Formen der Zustandsgleichung
Translation: 3
 f=3
Translation: 3
Rotation: 2
 f=5
Translation: 3
Rotation: 3
 f=6
Adiabatische Konstante:
𝛾=
𝑐𝑝
2
=1+
⇔
𝑐𝑉
𝑓
𝑓=
2
𝛾−1
f: Freiheitsgrad
# Atome
Freiheitsgrad
1
3
2
5
>2
6
Umrechnung Grad Celsius → Kelvin:
𝑇𝐶
𝑇𝐾 = + 273.15 K
°C
Freiheitsgrad
cV
cp
γ
3
𝑅
2
5
𝑅
2
5
𝑅
2
7
𝑅
2
3𝑅
4𝑅
5
3
7
5
4
3
allgemeine Zustandsgleichung für das ideale Gas:
𝑝𝑉 = 𝑛𝑅𝑇 = 𝑁𝑘𝐵 𝑇,
𝑁 = 𝑛 ⋅ 𝑛𝐴
p: Druck
V: Volumen
n: Anzahl mol des Gases
J
R: universelle Gaskonstante
𝑅 = 8.314
= 𝑛𝐴 ⋅ 𝑘𝐵
mol K
T: Temperatur
N: Anzahl Moleküle
nA: Avogadro-Zahl
𝑛𝐴 = 6.022 ⋅ 1023 ⁄ mol
J
kB: Boltzmann-Konstante
𝑘𝐵 = 1.381 ⋅ 10−23
K
(wandelt Temperaturskala in Energie um)
Zustandsgleichung bei bestimmten Konstanten:
Konstante Menge (n = const):
𝑝1 𝑉1 𝑝2 𝑉2
=
= 𝑛𝑅 = const.
𝑇1
𝑇2
Konstante Menge und Temperatur (n = const., T = const.):
Gesetz von Boyle-Mariotte
𝑝1 𝑉1 = 𝑝2 𝑉2 = 𝑛𝑅𝑇 = const.
Reversibler adiabatischer Prozess:
𝑝𝑉 𝛾 = const
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Molekulare Deutung der Temperatur:
Die absolute Temperatur T ist ein Mass für die mittlere kinetische Energie der Teilchen im idealen Gas.
Mittlere kinetische Energie eines Gasteilchens:
1
𝑓
⟨𝐸𝑘𝑖𝑛 ⟩ = 𝑚⟨𝑣 2 ⟩ = 𝑘𝐵 𝑇
2
2
Innere Energie von n Mol eines Gases:
𝑈 = 𝑁 ⋅ ⟨𝐸𝑘𝑖𝑛 ⟩ =
𝑓
𝑓
𝑁𝑘 𝑇 = 𝑛𝑅𝑇
2 𝐵
2
mit 𝑁 = 𝑛 ⋅ 𝑛𝐴
Die Innere Energie hängt nur von der Temperatur und nicht
von Druck oder Volumen ab!
quadratisch gemittelte Geschwindigkeit vRMS:
𝑣𝑅𝑀𝑆 = √⟨𝑣 2 ⟩ = √
𝑓𝑘𝐵 𝑇
𝑓𝑅𝑇
=√
𝑚
𝑀
M: molare Masse, 𝑀 = 𝑚 ⋅ 𝑛𝐴
m: Masse eines Teilchens
11 / 21
𝑉
1
𝑉2 1
∫𝑉
𝐶𝑉
−𝑅
𝑑𝑇 =
𝑇
1
𝑇2 1
∫𝑇
Volumen- bei
Temperaturänderung:
𝑑𝑉
= −𝑅
𝑑𝑇
𝐶𝑝
𝑉1
𝑉
2
𝑝2
𝑇
𝑝1
𝛾
𝑉
1
= (𝑉2 )
𝑝2
𝑝1
𝛾−1
𝑉
= ( 2)
𝑇
𝛾
𝛾−1
= (𝑇1 )
𝛾−1
𝑊=
𝑝2 𝑉2 −𝑝1 𝑉1
𝑊 = 𝑛𝑐𝑉 Δ𝑇
1
𝑉
𝑑𝑉
𝑄=0
𝑄 = −𝑊
𝑄 = 𝑛𝑐𝑣 Δ𝑇
𝑊 = −𝑛𝑅𝑇 ln (𝑉2 )
kein
Wärmeaustausch mit Umgebung
Wärmekapazitäten:
Adiabaten-DGL:
Q = nc𝑝 Δ𝑇
Adiabatengleichungen
p = const.:
adiabatisch
,
T = const.
Q = ncv Δ𝑇
isotherm
aufgenommene Wärme:
isochor
kg
8.3.1 Wärmekapazitäten von Gasen
V = const.:
V = const.
J
p = const.
[𝜆(𝑆,𝐷) ] =
isobar
m: geschmolzene / verdampfte Masse,
λS: spezifische Schmelzwärme
λD: spezifische Verdampfungswärme
Eigenheit
𝑄 = 𝑚𝜆𝐷
(verdampfen)
Prozesstyp
𝑄 = 𝑚𝜆𝑆
(schmelzen)
𝑇2
latente Wärme (Schmelz- / Verdampfvorgang):
𝑇1
J
kg K
𝛥𝑈 = 𝑊
[𝑐] =
innere
Energie
Q: zugeführte Wärme,
c: spezifische Wärmekapazität
𝛥𝑈 = 0
[𝑄] = J
𝑄 = 𝑚𝑐Δ𝑇,
𝑊=0
für Temperaturänderung zugeführte Wärmemenge:
𝛥𝑈 = 𝑄
zugeführte
Volumenarbeit
8.3 Wärme und erster Hauptsatz der Thermodynamik
𝑄 = 𝑛𝑐𝑝 Δ𝑇
2
1
pro Teilchen bzw 𝑅𝑇 pro Mol
2
 Folgerung auf Geschwindigkeit eines Teilchens:
⟨𝑣𝑥2 ⟩ = ⟨𝑣𝑦2 ⟩ = ⟨𝑣𝑧2 ⟩
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Δ𝑈 = 𝑊 + 𝑄 𝑊 = −𝑝(𝑉2 − 𝑉1 )
zugeführte
Wärme
Zusammenfassung Physik I
Stefan Rickli
Gleichverteilungsgesetz:
8.3.3 Prozesse
Wenn sich eine Substanz im Gleichgewicht befindet, dann ent1
fällt auf jeden Freiheitsgrad im Mittel eine Energie von 𝑘𝐵 𝑇
Anmerkung zu isothermem Prozess:
𝑉 𝑛𝑅𝑇
𝑓
𝑐𝑣 = ⋅ 𝑅
2
Es gilt 𝑊 = − ∫𝑉 2
1
𝑐𝑝 = 𝑐𝑣 + 𝑅
cV: Wärmekapazität bei konstantem Volumen
cP: Wärmekapazität bei konstantem Druck
[𝑐𝑃,𝑉 ] =
𝑉
𝑉
𝑑𝑉 = −𝑛𝑅𝑇 ln ( 2)
𝑉1
isotherme Kompression: W > 0, Ausdehnung: W < 0
J
mol K
Volumenarbeit ist die Fläche unter einem Kurvenstück im pVDiagramm. ⇒ isochore Zustandsänderung hat Arbeit = 0
Kreisprozess (Stirling):
8.3.2 Erster Hauptsatz der Thermodynamik:
𝑇1 > 𝑇2
Δ𝑈 = 𝑊 + 𝑄
Die innere Energie eines Systems ändert sich mit dem Masse
wie Wärme zu- bzw. abgeführt wird oder / und wie Arbeit am
bzw. vom System verrichtet wird.
ΔU: Veränderung der inneren Energie des Systems
𝑊 > 0 ⇒ Umgebung leistet Arbeit, pumpt Energie ins System
𝑊 < 0 ⇒ System / Gas gibt Arbeit ab
𝑄 > 0 ⇒ zugeführte Wärme
𝑄 < 0 ⇒ abgeführte Wärme
Dem Gas zugeführte Volumenarbeit:
Gesamt 𝛥𝑈 = 0
Uhrzeigersinn:
Gegenuhrzeigersinn:
1.
𝑉2
𝑊 = − ∫ 𝑝 𝑑𝑉
𝑉1
V1: Anfangsvolumen, V2: Endvolumen
W und Q sind wegabhängig. ΔU ist aber wegunabhängig!
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2.
3.
4.
System leistet Arbeit
Umgebung leistet Arbeit
Isotherme Ausdehnung auf hoher Temperatur:
Gas verrichtet Arbeit Wab ⇒ Wärmezufluss Qzu
Isochore Abkühlung:
keine Arbeit, nur Wärmeabfluss 𝑄𝑇1→𝑇2
Isotherme Kompression auf tiefer Temperatur:
Gas nimmt Arbeit Wzu auf ⇒ Wärmeabfluss Qab
Isochore Erwärmung:
keine Arbeit, nur Wärmezufluss 𝑄𝑇2→𝑇1
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Zusammenfassung Physik I
Stefan Rickli
Gültigkeit:
immer
Thomson:
Kein System kann Energie in Form von Wärme einem einzelnen Reservoir ent𝛥𝑈 = 𝑄 + 𝑊
nehmen und sie vollständig in Arbeit umsetzen, ohne dass gleichzeitig zusätzliΔ𝑈 = 𝑇 ⋅ Δ𝑆 − 𝑝 ⋅ Δ𝑉
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8.4 Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik und Entropie
che Veränderungen im System oder in dessen Umgebung eintreten.
Clausius:
Ein Prozess, bei dem letztlich nichts anderes geschieht als der Übergang von
Wärmeenergie von einem kälteren auf einen wärmeren Gegenstand, ist unmöglich.
Wärmekraftmaschine:
Es ist unmöglich, eine zyklisch arbeitende Wärmekraftmaschine zu konstruieren, die keinen anderen Effekt bewirkt, als Wärme aus einem einzigen Reservoir zu entnehmen und eine äquivalente Menge an Arbeit zu verrichten.
8.5 Entropie
Definition der Entropie-Änderung:
𝑄𝑟𝑒𝑣
Δ𝑆 =
𝑇
8.6 Wärme- / Kältemaschine, Wärmepumpe
Wirkungsgrad einer Wärmekraftmaschine:
𝜂𝑊𝐴𝑀 =
|𝑊𝑛𝑢𝑡𝑧 |
|𝑄𝑎𝑏 |
=1−
|𝑄𝑧𝑢 |
𝑄𝑧𝑢
Bei einem reversiblen Prozess ist die Entropieänderung des
Universums gleich null.
Bei einem irreversiblen Prozess nimmt die Entropie des Universums zu.
Es gibt keinen Prozess, durch den die Entropie des Universums abnimmt!
b)

zu
Wnutz: gewonnene Arbeit, *
Qzu: Wärme von warmem
Reservoir, (chem. Reakt.)
Qab: Wärme von kaltem
Reservoir
*siehe unten, auf Vorzeichen
achten!
Thermodynamische Temperatur:
z.B. bei Wärmeaustausch: 𝑄 = 𝑚𝑐Δ𝑇
a)
nur für reversible Prozesse
𝑄 = 𝑇 ⋅ Δ𝑆
𝑊 = −𝑝 ⋅ Δ𝑉
WAM
nutz
ab
𝑇𝑘 |𝑄𝑘 |
=
𝑇𝑤
𝑄𝑤
Carnot-Maschine:
Entropieänderung bei idealen Gasen:
𝑉2
𝑇2
Δ𝑆 = 𝑆2 − 𝑆1 = 𝑛𝑅 ln ( ) + 𝑛𝑐𝑉 ln ( )
𝑉1
𝑇1
Wnutz
Entropieänderung bei verschiedenen Prozessen:
Prozess
Entropieänderung
𝑉
isotherm
Δ𝑆 = 𝑛𝑅 ln ( 2)
isobar
𝑉1
𝑇2
Δ𝑆 = 𝑛𝑐𝑝 ln ( )
𝑇1
𝑇2
isochor
Δ𝑆 = 𝑛𝑐𝑣 ln ( )
adiabatisch
Wärmeleitung
Δ𝑆 = 0 i.d.R. *
𝑇1
Δ𝑆 =
|𝑄|
𝑇𝑘
−
Wärmeleitung:
𝑇𝑤
|𝑄|
Q
𝑇𝑤
unelastischer
𝑚𝑔ℎ
𝑇𝑘
Δ𝑆 =
𝑇
Stoss
*: es gibt sowohl isentrope als auch nicht isentrope adiabatische Zustandsänderungen
Statistische Definition der Entropie:
𝑆 = 𝑘𝐵 ln(Ω)
Ω: Anzahl von Mikrozuständen für einen Makrozustand
n Moleküle links (n1) und rechts (n2) verteilt:
(𝑛 +𝑛 )!
Ω(𝑛1 , 𝑛2 ) = 1 2
𝑛1 !𝑛2 !
Δ𝑆 = 𝑘𝐵 ln (
Ω𝐵
)
Ω𝐴
Entropie und Verfügbarkeit der Energie:
Durch einen irreversiblen Prozess wird die Energiemenge TΔS
entwertet, ist also nicht mehr als Arbeit nutzbar. Dabei ist T die
Absolute Temperatur des kältesten vorhandenen Reservoirs:
Carnot-Prinzip:
Zwischen zwei gegebenen Wärmereservoiren hat die reversibel
arbeitende Wärmekraftmaschine den höchstmöglichen Wirkungsgrad
Die Schritte des Carnot-Kreisprozesses:
1. Reversible isotherme Aufnahme von Wärme aus einem wärmeren Reservoir
2. Reversible adiabatische Expansion, bei der die tiefere
Temperatur erreicht wird
3. Reversible isotherme Abgabe von Wärme an ein kälteres Reservoir
4. Reversible adiabatische Kompression, wieder zurück
in den Anfangszustand
Carnot-Wirkungsgrad:
vom System gewonnene Arbeit
𝜂max = 1 −
𝑇𝑘
𝑇𝑤
=
⏞
∑
𝑊
∑
𝑄
⏟
>0
𝑊𝑒𝑛𝑡 = 𝑇 ⋅ Δ𝑆
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Stefan Rickli
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Wirkungsgrad Kältemaschine (KM) und Wärmepumpe (WP):
𝑄𝑎𝑏
𝑊
𝑄𝑧𝑢
=
𝑊
𝑄𝑎𝑏
𝜂𝑊𝑃 =
𝜂𝐾𝑀
W
KM/WP
𝑄𝑧𝑢
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Zusammenfassung Physik I
Stefan Rickli
APPENDIX
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Bei einer Torsion:
𝑀 = −𝐷𝜑
9 Mechanik allgemein
D: Direktionsmoment (siehe 9.3.1) / Federkonstante
G: Schubmodul (siehe S.2)
9.1 Planare Bewegungen
9.1.1 Impuls
𝑝⃗ = 𝑚𝑣⃗
[𝑝] = N s
9.1.2 Kraft
9.2.4 Trägheitsmoment ≅ Masse
Massenträgheitsmoment, Inertialmoment, Moment of inertia;
ⅆ𝑝⃗
𝐹⃗ = ma⃗⃗ =
= 𝑝⃗̇
ⅆ𝑡
9.1.3 Trägheitskraft
kg m
[𝐹] = N = 2
s
D’Alembertsche Trägheitskraft:
𝐹 = 𝑚𝑎 ⇔ 𝐹 − 𝑚𝑎 = 0
⇒ 𝐹 − 𝐹𝑇 = 0
9.2 Drehbewegungen
Widerstand eines starren Körpers gegenüber einer Änderung
seiner Rotationsbewegung um eine gegebene Achse.
⃗⃗⃗ = 𝐼𝜔
𝑀
⃗⃗̇
[𝐼] = kg m2
vergl. 𝐹⃗ = 𝑚𝑎⃗
Allgemeine Definition:
9.2.1 Winkel
𝑑𝜔
𝑑𝜑
𝛼=
= 𝜔̇ , 𝜔 =
= 𝜑̇
𝑑𝑡
𝑑𝑡
ϕ: Drehwinkel, ω: Winkelgeschwindigkeit,
α: Winkelbeschleunigung
9.2.2 Drehimpuls ≅ Impuls, Energie
Angular Momentum; Drall, Impulsmoment, Schwung der
Drehung
𝑉
𝑟⃗⊥ : der zur Rotationsachse 𝜔
⃗⃗ (Winkelgeschwindigkeit) senkrechte Anteil von 𝑟⃗ (also quasi Abstand zur Achse).
𝜌(𝑟⃗): ortsabhängige Dichte. Bei konstanter Dichte kann diese
auch vor das Integral gezogen werden.
Einige Trägheitsmomente:
Dünner Stab, Drehachse in der Mitte: 𝐼 =
1
1
𝑚ℓ2
12
2
Dünner Stab, Drehachse am Ende: 𝐼 = 𝑚ℓ
Drehimpuls eines Massepunktes:
𝐿⃗⃗ = 𝑟⃗ × 𝑝⃗
𝐼 = ∫ 𝑟⃗⊥2 𝜌(𝑟⃗) 𝑑𝑉
3
[𝐿] = N m s
𝑟⃗: Ortsvektor des Massepunktes
p: Impuls des Massepunktes 𝑝⃗ = 𝑚𝑣⃗
L ist in trivialen Fällen parallel zu Drehachse.
1
Massiver Zylinder, Drehachse längs: 𝐼 = 𝑚𝑟 2
2
2
Vollkugel: 𝐼 ≅ 𝑚𝑟 2
5
2
Hohlkugel mit Wandstärke 𝑑 ≪ 𝑟 : 𝐼 = 𝑚𝑟 2
3
Bezugsachsenwechsel: Satz von Steiner:
Rotation eines starren Körpers um eine Symmetrieachse:
𝐿⃗⃗ = 𝐼𝜔
⃗⃗ = 𝐼𝜑
⃗⃗̇
I: Trägheitsmoment des st. Körpers
ω: Kreisfrequenz der Drehung
𝐼2 = 𝐼1 + 𝑚𝑑 2
wobei d den Abstand der neuen zur alten parallelen, Bezugsachse bezeichnet.
9.2.5 weitere Kräfte
Massepunktwechsel:
Zentripetalkraft (zeigt nach innen):
𝐿⃗⃗′ = 𝐿⃗⃗ + 𝑎⃗ × 𝑝⃗
𝐹𝑧 = 𝑚𝑎𝑧 =
𝑎⃗: Vektor vom alten zum neuen Massepunkt
𝑝⃗: Impuls des neuen Massepunkts
𝑚𝑣 2
𝑟
Gravitationskraft
9.2.3 Drehmoment ≅ Kraft
𝐹𝐺 = 𝐺
Torque;
Änderungsrate des Drehimpulses
ⅆ𝐿⃗⃗
⃗⃗⃗ = r⃗ × 𝐹⃗ =
𝑀
= 𝐿⃗⃗̇
ⅆ𝑡
G: Gravitationskonstante
𝑚1 𝑚2
𝑟2
6.673 ⋅ 10−11
m3
kg s 2
[𝑀] = N m
L: Drehimpuls
Bei Drehung um eine feste Achse:
⃗⃗⃗ = 𝐿⃗⃗̇ = 𝐼𝜔
𝑀
⃗⃗̇ = 𝐼𝛼⃗
𝜔
⃗⃗̇ = 𝛼⃗ = Winkelbeschleunigung
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Zusammenfassung Physik I
Stefan Rickli
9.3 Objekte
12 Rezepte
9.3.1 Drehmoment eines verdrehten Vollkörpers
Tipps PVK
1. Einheiten aufschreiben (SI)
2. gegebene Grösse am Anfang auflisten,
richtig indexieren
3. Zahlen erst am Schluss einsetzen
4. Achsen bei Diagrammen beschriften (mit Einheit!)
𝜋 𝜃𝐺𝑅4
𝑀=
2 𝐿
allgemein evtl. mit Hohlraum:
𝑀 = 2𝜋
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𝐺𝜃 𝑅 3
∫ 𝜌 𝑑𝜌
𝐿 𝑟
12.1 Moment auf Hohlzylinder (Torsion)
G: Schubmodul, θ: Drehwinkel,
L: Länge, R/ρ: Radius
𝑟2
𝑟1
9.3.2 Feder
𝐹𝐹 = − (
0
𝜃
ℓ
r: Radien des Zylinders, θ: Scherwinkel, ℓ: Länge
𝛾(𝑟) = 𝑟
𝐸𝐴
) ⋅ Δℓ = −𝑘𝑥
ℓ
FF = -FN
FF
Vorzeichen je nach Koordinaten!
12.2 Hook’sches Gesetz im Raum
Konstanten:
FN
𝐸𝐴 𝐹
𝑘=
= ,
ℓ
ℓ
2𝜋
𝑀 = ∫ ∫ 𝐺𝛾(𝑟)𝑟 2 𝑑𝑟 𝑑𝜑
𝐹𝑦
Δ𝐿𝑥
𝐹𝑥
𝐹𝑧
=
−𝜇(
+
)
𝐿𝑥
𝐴𝑥 𝐸
𝐴𝑦 𝐸 𝐴𝑧 𝐸
𝑥 = Δℓ
Konvention: Kraft zeigt immer zu Feder hin.
Ersatzfederkonstante bei mehreren Federn:
Parallelschaltung:
Permutation x,y,z
A: Fläche, F: Elastizitätsmodul
12.3 Kraft auf Wand wegen Druck
1.
𝑘tot = ∑ 𝑘𝑖
Fläche auf infinitessimal kleine Stücke aufteilen:
𝑖
2.
Serienschaltung:
1
1
=∑
𝑘tot
𝑘𝑖
3.
𝑖
𝑑𝐴 = 𝑓(𝑧) 𝑑𝑧
Gleichung für den Druck in Bezug auf die Höhe aufstellen p(z).
𝑑𝐹 = 𝑝(𝑧) 𝑑𝐴
𝑛
𝐹 = ∫𝐴 𝑝(𝑧) 𝑑𝐴 = ∫0 𝑝(𝑧)𝑓(𝑧) 𝑑𝑧
12.4 Flüssigkeiten
Potenzielle Energie einer Feder
1.
2.
1
𝐸𝑝𝑜𝑡 = 𝑘𝑥 2
2
Bernoulli oder Poiseuille-Gleichung aufstellen.
Kontinutitätsgleichungen aufstellen.
12.5 Viskosität
Röhre mit Länge L und Fläche 𝐴 = 𝜋𝑟 2
10 Energieformen
potenzielle Energie
1.
𝐸𝑝𝑜𝑡 = 𝑚𝑔ℎ
Druckabnahme:
Δ𝑝 =
2.
Kontinuitätsgleichung:
3.
𝐼𝑉 = 𝐴𝑣
Druck ist Kraft pro Fläche:
kinetische Energie
1
𝐸𝑘𝑖𝑛 = 𝑚𝑣 2
2
11 Diverses
𝜚𝜂𝐿
⋅𝐼
𝜋𝑟 4 𝑉
𝐹𝑉
𝜚𝜂𝐿
= Δ𝑝 = 4 ⋅ 𝐴𝑣
𝐴
𝜋𝑟
𝜚𝜂𝐿 2
𝜚𝜂𝐿
⇒ 𝐹𝑉 = 4 ⋅ 𝐴 𝑣 = 4 ⋅ 𝜋 2 𝑟 4 𝑣
𝜋𝑟
𝜋𝑟
𝐹𝑉 = 𝜋𝜚𝜂𝐿𝑣
Kleinwinkelapproximation:
cos 𝑥 ≈ 1
sin 𝑥 ≈ tan
⏟𝑥
≈𝑥
𝑑
gut für
𝑑𝑥
für kleine Winkel x.
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Zusammenfassung Physik I
Stefan Rickli
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12.10 Geschwindigkeit im Orbit
12.6 Schwingungen
1.
2.
3.
4.
5.
6.
1.
Bewegungsgleichungen aufstellen und in die Form
bringen:
𝑏
𝑥̈ + 𝑥̇ + 𝜔2 𝑥 = 𝑓(𝑥)
𝑚
homogene und partikuläre Lösung finden.
b und Ω direkt von der Gleichung ablesen.
für eine U-Röhre:
𝐹𝑤 = (𝑔) (2𝑧(𝑡)) (𝐴) (𝜚)
g: Gravitationsbeschleunigung, A: Fläche, ϱ: Dichte
z(t): Änderung der Höhe nach Zeit
für ein Pendel:
Geschwindigkeit: 𝑣 = ℓ𝜃̇
Beschleunigung: 𝑎 = ℓ𝜃̈
Beim Amplitudenabfall muss man auf das Quadrat
aufpassen:
𝑡
2 −𝜏
mit Quadrat: 𝐴(𝑡)2 = 𝐴0 𝑒
ohne Quadrat: 𝐴(𝑡) = 𝐴0 𝑒 −𝛾𝑡
Zentripetalkraft gleich stark wie Gravitationskraft
𝑚𝑣 2 𝑀𝑚𝑔
𝑀𝑔
= 2 ⇒ 𝑣=√
𝑟
𝑟
𝑟
2.
Geschwindigkeitsänderung für Zu- oder Abnahme der
Orbithöhe r:
⇒ Energieerhaltungssatz:
𝐸𝑘𝑖𝑛 + 𝐸𝑝𝑜𝑡 = const
1
𝑀𝑚𝑔
𝑚𝑣 2 −
= const
2
𝑟
⇒ Potenzielle Energie hat negatives Vorzeichen.
12.11 Thermodynamik
1.
Arbeit bei einem adiabatischen Prozess:
𝑉
𝑉
𝑊 = ∫𝑉 2 𝑝 𝑑𝑉 = 𝑐 ∫𝑉 2 𝑣 −𝛾 𝑑𝑉
=
1
1−𝛾
1−𝛾
𝑐𝑉2 −𝑐𝑉1
1−𝛾
1
=
𝑝2 𝑉2 −𝑃1 𝑉1
1−𝛾
=
𝛾
𝛾
(𝑝1 𝑉1 = 𝑝2 𝑉2 = const)
𝑛𝑅(𝑇1 −𝑇2 )
1−𝛾
= 𝑛𝑐𝑉 (𝑇1 − 𝑇2 )
12.7 Wellen
1.
Gleichungsformen:
𝑦 = 𝐴 sin(𝑘(𝑥 − 𝑣𝑡)) = 𝐴 sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)
12.8 Umrechnung Auslenkungswelle zu Druckwelle
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Volumenänderung
𝜎
Δℓ
𝐴Δℓ
Δ𝑉
=−
=−
=−
𝐸
ℓ
𝐴Δℓ
𝑉
Koordinatenableitung
𝜀(𝑥 + Δ𝑥) − 𝜀(𝑥) 𝜎
=
Δ𝑥
𝐸
𝑑𝜀 𝜎
⇒
=
𝑑𝑥 𝐸
sei 𝜀(𝑥, 𝑡) = 𝐴 sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)
⇒ 𝜎(𝑥, 𝑡) = 𝐸𝐴 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)
Druckänderung im Gas:
Δ𝑉
Δ𝑝 = −𝑘 mit 𝑘 = 𝛾𝑝
𝑉
𝑑𝜀
⇒ Δ𝑝 = −𝛾𝑝
= −𝛾𝑝𝐴 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)
𝑑𝑥
Anfangsdruck / Amplitude:
Δ𝑝0 = 𝛾𝑝𝐴𝑘
𝛾𝑝
𝑣=√
𝜚







⇒ 𝛾𝑝 = 𝜚𝑣 2
⇒ Δ𝑝0 = 𝜚𝑣 2 𝐴
7.
13 to do
𝜔
𝑉
= 𝜚𝑣𝐴𝜔
Auslenkungswellenamplitude: 𝐴 =
Δ𝑃0
𝜚𝑣𝜔
12.9 Interferenz
Gangunterschied:
Δ𝑟 = √ℓ2 + 𝑑 2 − ℓ
Konstruktive Interferenz (Amax):
Δ𝑟 = 𝑘𝜆,
𝑘∈ℤ
Destruktive Interferenz (Amin):
1
Δ𝑟 = (𝑘 + ) 𝜆,
2
𝑘∈ℤ
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Formelsammlung Physik I
Stefan Rickli
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Lineare DGL mit konstanten Koeffizienten1
𝑎𝑛 𝑦 (𝑛) (𝑥) + 𝑎𝑛−1 𝑦 (𝑛−1) (𝑥) + ⋯ + 𝑎0 𝑦 (0) (𝑥) = 𝑓(𝑥), 𝑎 ∈ ℝ


Homogen, falls 𝑓(𝑥) = 0
Inhomogen, falls 𝑓(𝑥) ≠ 0
Allgemeine Lösung:
Addition aus homogener und partikulärer Lösung:
𝑦(𝑥) = 𝑦𝐻 (𝑥) + 𝑦𝑃 (𝑥)
1) Lösung der homogenen DGL:
a. Charakteristisches Polynom aufstellen
𝑎𝑛 𝜆𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝜆𝑛−1 + ⋯ + 𝑎0 𝜆⏟0 = 0
=1
b. Eigenwerte 𝜆1 , 𝜆2 , … , 𝜆𝑛 bestimmen: Nullstellen des Polynoms finden
c. Aufstellen der Funktionsgleichung 𝑦𝐻 (𝑥)
1.
𝜆 1-fache reelle oder komplexe NS (bei mehreren reellen EW: Werte voneinander verschieden)
𝑦𝐻 (𝑥) = 𝐴𝑒 𝜆𝑥
2.
𝜆 m-fache reelle/komplexe NS, z.B. (𝜆 − 1)𝑚 = 0
𝑦𝐻 (𝑥) = (𝐴1 + 𝐴2 𝑥 + ⋯ + 𝐴𝑚 𝑥 𝑚−1 )𝑒 𝜆𝑥
3.
𝜆 1-fache komplex konjugierte NS, d.h. 𝜆 = 𝑎 ± 𝑏ⅈ
𝑦𝐻 (𝑥) = 𝐴𝑒 𝑎𝑥 cos(𝑏𝑥) + 𝐵𝑒 𝑎𝑥 sin(𝑏𝑥)
4.
𝜆 m-fache komplex konjugierte NS
𝑦𝐻 (𝑥) = (𝐴1 + 𝐴2 𝑥 + ⋯ + 𝐴𝑚 𝑥 𝑚−1 )𝑒 𝑎𝑥 cos(𝑏𝑥) + (𝐵1 + 𝐵2 𝑥 + ⋯ + 𝐵𝑚 𝑥 𝑚−1 )𝑒 𝑎𝑥 sin(𝑏𝑥)
5.
Superposition: Kombination aus 1 – 5
2) Lösung der inhomogenen DGL:
a. Ansatz wählen in Abhängigkeit von f(x)
1.
Polynom n-ten Grads: 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥 𝑛
𝑦𝑃 (𝑥) = (𝐴𝑛 𝑥 𝑛 + 𝐴𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝐴0 )𝑥 𝑡
𝑡 ist Anzahl von 𝜆, welche im charakteristischen Polynom = 0 sind (also 𝜆𝑡 (𝜆 − ⋯))
2.
Cosinus / Sinus:
𝑦𝑃 (𝑥) = 𝐴 ⋅ cos(𝜔𝑥) + 𝐵 ⋅ sin(𝜔𝑥)
𝜔 ist die gleiche Konstante wie bei 𝑓(𝑥)
3.
Exponentialfunktion:
𝑦𝑃 (𝑥) = 𝐴𝑥 𝑡 𝑒 𝑎𝑥
a ist gleiche Konstante wie bei 𝑓(𝑥).
𝑡 ist Anzahl von 𝜆 = 𝑎 im charakteristischen Polynom.
4.
Superposition: Kombination aus 1-3 (selten)
Exponent x entspricht μ im gelben Rechenbuch.
b. Diesen Ansatz für 𝑦𝑃 (𝑥) ohne 𝑦𝐻 (𝑥) in DGL einsetzen (n Ableitungen für Grad n berechnen) und
c. Koeffizienten von 𝑦𝑃 (𝑥) durch Koeffizientenvergleich bestimmen.
d. 𝑦(𝑥) = 𝑦𝐻 (𝑥) + 𝑦𝑃 (𝑥)
Geometrische Formelsammlung
2D
Dreieck
Diagonale
Flächeninhalt
1
𝐴 = 𝑎ℎ𝑎
2
Quadrat
𝑑 = √2𝑎
Kreis
𝐴 = 𝑎2
𝐴 = 𝜋𝑟 2
𝑢 = 2𝜋𝑟
𝑏 = 𝜑𝑟
Umfang
Bogenlänge
3D
Diagonale
Mantelfläche
Oberfläche
Volumen
Variablen
Würfel
Quader
𝑑 = √3𝑎
𝑑 = √𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑏 2
𝑆 = 6𝑎2
𝑉 = 𝑎3
𝑆 = (𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐)
𝑉 = 𝑎𝑏𝑐
gerader
Zylinder
gerader
Kreiskegel
𝑀 = 2𝜋𝑟ℎ
𝑆 = 2𝜋𝑟(𝑟 + ℎ)
𝑉 = 𝜋𝑟 2 ℎ
𝑀 = 𝜋𝑟𝑚
𝑆 = 𝜋𝑟(𝑟 + 𝑚)
1
𝑉 = 𝜋𝑟 2 ℎ
3
Kugel
𝑆 = 4𝜋𝑟 2
4
𝑉 = 𝜋𝑟 3
m: Mantellinie
von unterem
Rand bis Spitze
3
Ellipsoid
4
𝑉 = 𝜋𝑎𝑏𝑐
3
a, b, c: Ausdehnung in jede
primäre Rotationsachse
Torus
𝑆 = 4𝜋 2 𝑎𝑟 2
𝑉 = 2𝜋𝑎𝑟 2
a: Radius bis
zum Zentrum
des Ringes
r: Radius des
Ringes selbst
1
GRB S.47, Blatter 3.6 S.243-263, Vorlesung 27.2.14-1a, Serie 2 Vorb. 4.3.14-1b
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Formelsammlung Physik I
Stefan Rickli
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Trigonometrische Funktionen
Definitionen
𝑒 𝑖𝑥 = cos 𝑥 + ⅈ sin 𝑥
sin 𝑥 =
cos 𝑥 =
𝑒 ⅈ𝑥 −𝑒 −ⅈ𝑥
2𝑖
𝑒 ⅈ𝑥 +𝑒 −ⅈ𝑥
(−1)𝑛
𝑥3
(−1)𝑛
3!
𝑥4
2𝑛+1
= ∑∞
=𝑥−
𝑛=0 (2𝑛+1)! 𝑥
2𝑛
= ∑∞
=1−
𝑛=0 (2𝑛)! 𝑥
2
𝑥2
+
2!
+
4!
𝑥5
−
5!
𝑥6
−
6!
𝑥7
7!
±⋯
sin(𝑥 + ⅈ𝑦) = sin 𝑥 cosh 𝑦 + ⅈ cos 𝑥 sinh 𝑦
cos(𝑥 + ⅈ𝑦) = cos 𝑥 cosh 𝑦 + ⅈ sin 𝑥 sinh 𝑦
±⋯
Gegenseitige Darstellung
tan 𝑥 =
sin 𝑥
sec 𝑥 =
cos 𝑥
2
1
cos 𝑥
, csc 𝑥 = cosec 𝑥 =
1
sin 𝑥
, cot 𝑥 =
1
tan 𝑥
=
cos 𝑥
sin 𝑥
2
sin 𝑥 + cos 𝑥 = 1
1 + tan2 𝑥 = cos2 𝑥 = sec 2 𝑥
1
sec 2 𝑥 − tan2 𝑥 = 1
1
1 + cot 2 𝑥 = sin2 𝑥 = csc 2 𝑥
csc 2 𝑥 − cot 2 𝑥 = 1
Sinussatz
𝑎
Additionstheoreme
sin 𝛼
sin(𝑥 ± 𝑦) = sin 𝑥 cos 𝑦 ± cos 𝑥 sin 𝑦
cos(𝑥 ± 𝑦) = cos 𝑥 cos 𝑦 ∓ sin 𝑥 sin 𝑦
tan 𝑥±tan 𝑦
sin(𝑥±𝑦)
tan(𝑥 ± 𝑦) = 1∓tan 𝑥 tan 𝑦 = cos(𝑥±𝑦)
arctan(𝑥 ± 𝑦) =
arctan 𝑥 arctan 𝑦∓1
arctan 𝑥±arctan 𝑦
=
2 sin 𝑥 sin 𝑦 = cos(𝑥 − 𝑦) − cos(𝑥 + 𝑦)
2 cos 𝑥 cos 𝑦 = cos(𝑥 − 𝑦) + cos(𝑥 + 𝑦)
cos(𝑥±𝑦)
sin(𝑥±𝑦)
2 sin 𝑥 cos 𝑦 = sin(𝑥 − 𝑦) + sin(𝑥 + 𝑦)
=
𝑏
sin 𝛽
=
𝑐
sin 𝛾
=
𝑎𝑏𝑐
2𝐴
= 2𝑟
α: Winkel gegenüber von a
Cosinussatz
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 2𝑎𝑏 cos 𝛾
γ: Winkel zwischen a und b
Summe zweier trigonometrischer Funktionen
sin 𝑥 + sin 𝑦 = 2 sin
sin 𝑥 − sin 𝑦 = 2 sin
𝑥+𝑦
2
𝑥−𝑦
2
cos
cos
𝑥−𝑦
cos 𝑥 + cos 𝑦 = 2 cos
2
𝑥+𝑦
cos 𝑥 − cos 𝑦 = 2 sin
2
𝑥+𝑦
2
𝑦+𝑥
2
cos
sin
𝑥−𝑦
2
𝑦−𝑥
2
Symmetrien
tan(−𝑥) = − tan 𝑥
arctan(−𝑥) = − arctan 𝑥
sin(−𝑥) = − sin 𝑥
cos(−𝑥) = + cos 𝑥
sec(−𝑥) = + sec 𝑥
csc(−𝑥) = − csc 𝑥
Umrechnung in andere trigonometrische Funktionen
sin(arccos 𝑥) = cos(arcsin 𝑥) = √1 − 𝑥 2
𝑥
sin(arctan 𝑥) =
2
cos(arctan 𝑥) =
tan(arcsin 𝑥) =
tan(arccos 𝑥) =
√1+𝑥
1
√1+𝑥 2
𝑥
√1−𝑥 2
√1−𝑥 2
𝑥
Doppelwinkel
2 tan 𝑥
sin(2𝑥) = 2 sin 𝑥 cos 𝑥 = 1+tan2 𝑥
1−tan2 𝑥
cos(2𝑥) = cos 2 𝑥 − sin2 𝑥 = 1 − 2 sin2 𝑥 = 2 cos 2 𝑥 − 1 = 1+tan2 𝑥
cos(2𝑥) cos(𝑥) + sin(2𝑥) sin(𝑥) = cos(𝑥)
2 tan 𝑥
2
tan(2𝑥) = 1−tan2 𝑥 = arctan 𝑥−tan 𝑥
arctan(2𝑥) =
arctan2 𝑥−1
2 arctan 𝑥
=
arctan 𝑥−tan 𝑥
2
Quadrat von trigonometrischen Funktionen
1
sin2 𝑥 = 2 (1 − cos(2𝑥))
1
cos 2 𝑥 = 2 (1 + cos(2𝑥))
1−cos(2𝑥)
tan2 𝑥 = 1+cos(2𝑥)
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Formelsammlung Physik I
Stefan Rickli
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Hyperbolische Funktionen
Definitionen
sinh(𝑥) =
cosh(𝑥) =
𝑒 𝑥 −𝑒 −𝑥
2
𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥
2
sinh 𝑥
1
2𝑛+1
= ∑∞
=𝑥+
𝑛=0 (2𝑛+1)! 𝑥
1
2𝑛
= ∑∞
=1+
𝑛=0 (2𝑛)! 𝑥
𝑥2
2!
𝑥3
+
3!
𝑥4
4!
+
𝑥5
+
5!
𝑥6
6!
+
𝑥7
7!
+ ⋯, ℝ → ℝ
± ⋯ , ℝ → [1, ∞)
𝑒 𝑥 −𝑒 −𝑥
tanh 𝑥 = cosh 𝑥 = 𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥 , ℝ → (−1,1)
arsinh 𝑥 = ln(𝑥 + √𝑥 2 + 1) , ℝ → ℝ
arcosh 𝑥 = ln(𝑥 + √𝑥 2 − 1) , [1, ∞) → ℝ+
0
1
1+𝑥
artanh 𝑥 = 2 ln 1−𝑥 , ℝ → (−1,1)
Gegenseitige Darstellung
cosh2 𝑥 − sinh2 𝑥 = 1
arsinh 𝑥 = sgn 𝑥 arcosh(√𝑥 2 + 1)
arcosh 𝑥 = arsinh (√|𝑥|2 − 1) , (𝑥 > 1)
sin(ⅈ𝑧) = ⅈ sinh 𝑧 ⇔ sinh(ⅈ𝑧) = ⅈ sin 𝑧
cos(ⅈ𝑧) = cosh 𝑧 ⇔ cosh(ⅈ𝑧) = cos 𝑧
Additionstheoreme
sinh(𝑥 ± 𝑦) = sinh 𝑥 cosh 𝑦 ± cosh 𝑥 sinh 𝑦
cosh(𝑥 ± 𝑦) = cosh 𝑥 cosh 𝑦 ± sinh 𝑥 sinh 𝑦
tanh 𝑥±tanh 𝑦
tanh(𝑥 ± 𝑦) = 1±tanh 𝑥 tanh 𝑦
Symmetrien
sinh(−𝑥) = − sinh 𝑥
cosh(−𝑥) = cosh 𝑥
1 diverse nützliche Facts
1.1.1 Werte irrationaler Zahlen
𝜋 ≅ 3.14159 …
𝑒 ≅ 2.71828 …
√2 ≅ 1.41421 …
√3 ≅ 1.73205 …
√5 ≅ 2.23607 …
1.1.2 Wichtige Winkel
α
0°
0
30°
𝜋
tan 𝛼
0
1⁄√3
6
45°
𝜋
1
4
60°
𝜋
√3
3
90°
𝜋
(∞)
2
120°
2𝜋
−√3
3
135°
−1
3𝜋
4
150°
5𝜋
−1⁄√3
6
180°
𝜋
0
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Formelsammlung Physik I
Stefan Rickli
14 Bemerkungen (V3.1)
15 Ressourcen zu „Word und Formeleditor“
Notation
Gelbe Markierungen bezeichnen i.d.R. Abschnitte, welche eine Überarbeitung nötig haben, weitere Infos von den markierten Quellen nötig hätten oder unklar sind.
Disclaimer
Meine Formelsammlungen entstehen und wachsen meist über eine längere Zeit. Es besteht immer ein gewisses Risiko, dass sich
einige Fehler über zig Iterationen versteckt gehalten haben. Ich freue mich deshalb über jegliche (Fehler-) Verbesserungen, Anmerkungen, Lob, Dank oder auch Kritik.
Meine Zusammenfassungen werden fortlaufend korrigiert und aktualisiert veröffentlicht.
Weiterverarbeitung:
Weil ich es nicht ausstehen kann, dass ständig das Rad neu erfunden werden muss, habe ich das Originaldokument mit veröffentlicht
mit der Einladung, sich hier für die eigene Formelsammlung zu bedienen. Ihr könnt diese Zusammenfassung also gerne weiterverarbeiten und / oder auch in überarbeiteter Form veröffentlichen.
Haltet jedoch die Herkunft der kopierten/übernommenen Teile so gut wie möglich nachvollziehbar, falls ihr weiter veröffentlicht.
Obiges gilt auch für alle anderen Formelsammlungen von mir, welche diesen Bemerkungstext (noch) nicht enthalten.
Quellenangaben:
Aus Platz- und Zeitgründen (blame the 'Prüfungsstress') fehlen natürlich praktisch jegliche Quellenangaben (worüber ich auch schon
ab und zu fluchen musste). Ich versuche jedoch in diesem Abschnitt die Arbeiten zu referenzieren, von denen ich wissentlich kopiert
habe:
Wesentliche Bestandteile:
allgemeines
Grossteil der Zfsg
aus dem Skript "Physik I" von Prof. Jérôme Faist
Abschrift und Überarbeitung der handgeschriebenen Zfsg von Aldo Tobler
Revisionsverlauf:
1.0
Sept. 2014
http://blogs.ethz.ch/ricklis
erste Veröffentlichung
To Do:

Zuletzt gespeichert: 02.01.2017, 20:01, Version 71
Stefan Rickli
Es gibt ein paar Ressourcen, welche mir sehr geholfen haben, den Formeleditor in Word zu meistern:
Microsoft Word formula editor: https://support.office.com/en-us/article/Linear-format-equations-and-Math-AutoCorrect-in-Word-2e00618d-b1fd-49d8-8cb4-8d17f25754f8?ui=en-US&rs=en-US&ad=US
Unicode Nearly Plain-Text Encoding of Mathematics: http://www.unicode.org/notes/tn28/
o
das ist der Standard, an den sich der Editor (fast vollständig) hält. Ist sehr gut beschrieben und dokumentiert. Ausnahme sind Umrahmungen, welche nicht die ganze Funktionalität erhalten haben.
Die Zeichenübersicht des Editors selber: wenn man mit der Maus über ein Zeichen fährt, zeigt es einem den TastaturShortcut an, den man eingeben kann
Nice to know:
Alt + Shift + 0
erstellt eine neue Formel
(durch einen Bug in Office 2016 muss dieser Shortcut neu manuell definiert werden, Stand Mai 2016)
der Leerschlag ist euer Freund! Er veranlasst den Formeleditor, die Syntax bis zum aktuellen Punkt zu überprüfen und
das Zeug fixfertig bis zu dem Punkt, wo ihr seid, darzustellen (ausser es gibt noch offene Klammern).
o
verhält sich der Editor mal komisch, liegt es zu 95% daran, dass etwas in der Syntax nicht stimmt. Hier hilft
ab und an mal, sich die Formel im linearen Modus anzuschauen, wo alles bis auf Sonderzeichen wieder
auseinander genommen wird. Das einzige, mit dem der Editor Mühe hat, sind grosse Eq-Arrays und mehrzeiliges Zeug.
Wenn die Formel auf einer eigenen Zeile steht, veranlasst ein Leerschlag ausserhalb nach der Formel (also AUSSERHALB
des Formeleditorfelds) den Editor, die Formel im Inline-Modus darzustellen (Formel braucht weniger Platz)
o
siehe Tabellen in dieser ZF, dort habe ich das konsequent benutzt. Löscht mal das Leerzeichen nach einer
Formel, das ein Integral enthält 
benutzt die Backslash (\) Befehle! Wenn man sich die beiden Dokumente oben ausdruckt und zur Referenz hält, geht es
nicht lange, bis man alles mit der Tastatur machen kann und nie absetzen muss, um was mit der Maus zu machen
\ensp und \emsp können helfen, um grössere, gewollte Abstände zu realisieren
\\eqarray ordnet mit jedem & einmal links und dann wieder rechts an
bastelt euch eure eigenen Shortcuts
o
zum Beispiel

\La für ⇐

\Ra für ⇒

\Lra für ⇔

oder \to für ein →

oder eine leere 4x4 Matrix als \4x4 mit (■(&&&@&&&@&&&@&&&)) und einem Leerschlag
am Ende (damit der Ausdruck gleich aufgebaut wird)

etc
o
dazu einfach das entsprechende Zeichen in die Zwischenablage kopieren und im Formeleditor unter
„Formeloptionen“ (in den Tools als kleiner Pfeil unten rechts zu finden) und „Math. Autokorrektur“ einfügen und den entsprechenden Backslashbefehl definieren
o
manchmal ist es sinnvoll, noch eigene Funktionsnamen zu definieren, welche der Editor erkennen soll,
wenn man sie häufig benutzt. Z.B. Imag()

ansonsten Leerschlag funktionsname\funcapply Leerschlag
die mathematische Autokorrektur ist manchmal auch ausserhalb des Formeleditors nützlich. Ich hab das in den Optionen auch aktiviert
Wenn Word langsam wird wegen vielen anzuzeigenden Formeln, hilft
o
1. die Entwurfsansicht (anstatt Seitenlayout). Wenn man sich damit abfindet, dass dann ab und zu das Layout (noch) nicht dargestellt oder updated wird (nicht beirren lassen), kann man gut die kritischen Abschnitte bearbeiten. Achtung: Bilder werden NICHT angezeigt, sondern einfach mit einem Leerschlag repräsentiert!
o
2. reinzoomen, bis weniger Formeln sichtbar sind.
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