Ü - Brueckenkurs2011

Hochschule Niederrhein
Brückenkurs Mathematik
Fachbereich 05
September 2011
Hubert Massin M.A.
HSN FB 05 Brückenkurs Mathematik 2011
Hinweise:
Alle Graphen sind mit dem Programm GeoGebra erstellt. Das Programm ist kostenlos
erhältlich unter
http://www.geogebra.org
Hilfreich können (auch alte) Mathematikschulbücher der Schuljahre 9 und 10 sein.
Der Studienkreis (www.nachhilfe.de) hat einen Mathe Helfer veröffentlicht.
Regeln und Begriffe Teil 1: Zahlen und Größen
Regeln und Begriffe Teil 2: Terme, Gleichungen und Funktionen
Ü steht für Übungsphase in Einzel- oder Partnerarbeit
Online Übungen finden Sie unter:
www.realmath.de
http://www.matheprisma.uni-wuppertal.de/
Das Foto auf der Titelseite zeigt die Müngstener Brücke.
Das Foto auf Seite 40 zeigt zwei Brücken an der Mündung der Sauer in die Mosel.
Alle Fotos ohne Quellenangabe sind eigene Fotos.
Kontakt:
Hubert Massin, [email protected]
http://mathekiste.wordpress.com/
Stand: 10.08.2011
1
HSN FB 05 Brückenkurs Mathematik 2011
Inhaltsverzeichnis
Zahlen - ein Problem?................................................................................................................. 4
Bruchrechnen.............................................................................................................................. 5
Rechengesetze ............................................................................................................................ 7
„Vorfahrtsregeln“....................................................................................................................7
„Dreisatz“....................................................................................................................................9
Direkte Proportionalität (proportionale Zuordnung).............................................................. 9
Indirekte Proportionalität (Antiproportionalität).................................................................. 11
Zusammengesetzter „Dreisatz“............................................................................................ 12
Prozentrechnung ist auch Dreisatz............................................................................................ 14
Einfache Zinsrechnung............................................................................................................. 15
Rechnen mit Einheiten.............................................................................................................. 16
Rechnen mit großen und kleinen Zahlen ................................................................................. 18
Algebra......................................................................................................................................19
Koordinatensystem....................................................................................................................20
Exkurs indizierte Variable.................................................................................................... 21
Lineare Gleichungen und Äquivalenzumformungen................................................................ 22
Allgemeine Geradengleichung..................................................................................................24
Lineare Gleichungssysteme...................................................................................................... 27
Formelumstellungen..................................................................................................................28
Verhältnisgleichungen............................................................................................................... 29
Mischungsaufgaben (nach Skript 2008 von Herrn Elsenbroich).............................................. 29
Quadratische Gleichungen........................................................................................................ 32
Satz von Pythagoras.................................................................................................................. 35
Potenzen.................................................................................................................................... 36
Wurzeln..................................................................................................................................... 37
Teil 2:
Funktionen................................................................................................................................ 40
Umkehrfunktion................................................................................................................... 40
Exponentialfunktion............................................................................................................. 42
Rechnen mit Logarithmen.........................................................................................................44
Logarithmengesetze..............................................................................................................45
Die Zahl e............................................................................................................................. 46
Aufgaben zur Stöchiometrie..................................................................................................... 47
pH-Wert als Anwendung...................................................................................................... 48
Bruchgleichungen..................................................................................................................... 49
Wurzelgleichungen....................................................................................................................50
Trigonometrie............................................................................................................................51
Dreiecksberechnung............................................................................................................. 51
Polarkoordinaten.................................................................................................................. 53
Sinusfunktion........................................................................................................................54
Beschreibende Statistik............................................................................................................. 58
Daten und Kenngrößen.........................................................................................................58
Kombinatorik............................................................................................................................ 61
Urnenmodell......................................................................................................................... 61
2
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Wahrscheinlichkeitsrechnung................................................................................................... 62
Mehrstufige Zufallsversuche................................................................................................ 63
Bernoulli-Kette..................................................................................................................... 64
Wiederholungen........................................................................................................................ 65
Lösungen................................................................................................................................... 69
3
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Zahlen - ein Problem?
1*1 =
11*11 =
111*111 =
1111*1111 =
Zahlenmengen
Natürliche Zahlen
Ganze Zahlen
Rationale Zahlen
ℕ = {1,2,3,4,5,6, ....}
ℤ = { ... ; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; ...}
ℚ = {alle Brüche}
Jede rationale Zahl lässt sich als Bruch oder auch als abrechende bzw. periodische
Dezimalzahl schreiben.
7
=0,4375
16
1
=0,3333333...=0, ̄
3
3
Darstellung am Zahlenstrahl
Unter dem Betrag einer Zahl versteht man den Abstand zur Null. Der Betrag ist immer positiv.
| -3 | = 3;
| +2 | = 2;
|0|=0
Es gibt darüber hinaus auch Zahlen, die nicht periodisch und nicht abbrechend sind:
die irrationalen Zahlen.
Beispiele: Kreiszahl π = 3,141... oder 0,123456789101112...
Alle Zahlen bilden die Menge der reellen Zahlen ℝ .
4
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Quelle: http://lmath.wikispaces.com/Zahlen+und+Maße
Zehnersystem ist ein Stellenwertsystem
...
106
105
Hunderttausender
104
Zehntausender
103
102
Tausender
Hunderter
101
Zehner
100
Einer
10-1
10-2
Zehntel
Hundertstel
...
Wissenschaftliche Notation der Zahlen:
Sehr große und sehr kleine Zahlen schreibt man mit einer Zehnerpotenz, wie der
Taschenrechner.
12 345 678 = 1,2345678 * 107 (heisst übersetzt: verschiebe das Komma um 7 Stellen nach
rechts.)
0,1234567891 = 123,4567891 * 10-3 (heisst übersetzt: verschiebe das Komma um 3 Stellen
nach links.)
Link: http://de.wikipedia.org/wiki/Wissenschaftliche_Notation
Bruchrechnen
p
mit p , q∈ℤ und q ≠ 0
q
Merke:
Zähler
Nenner
Erweitern und Kürzen:
Man erweitert einen Bruch mit einer Zahl ≠ 0, indem man Zähler und Nenner mit der Zahl
multipliziert.
3 3⋅4 12
= =
7 7⋅4 28
5
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Man kürzt einen Bruch durch eine Zahl ≠ 0, indem man Zähler und Nenner durch die Zahl
dividiert.
12 12 : 4 3
=
=
28 28 : 4 7
Addition und Subtraktion von Brüchen:
Man addiert gleichnamige Brüche, indem man die Zähler addiert und den Nenner beibehält.
6 7 6+7 13
+ =
=
14 14 14 14
Sind die Nenner verschieden, muss man die Brüche erst gleichnamig machen.
3 1 6
7 6+7 13
+ = + =
=
7 2 14 14 14 14
Multiplikation und Division von Brüchen:
Man multipliziert einen Bruch mit einer ganzen Zahl, indem man den Zähler mit der Zahl
multipliziert.
3
3⋅4 12 5
⋅4= = =1
7
7
7
7
Man dividiert einen Bruch durch eine ganze Zahl, indem man den Nenner mit der Zahl
multipliziert.
3
3
3
3 1
3
: 4=
=
oder ( )⋅( )=
7
7⋅4 28
7 4 28
Man multipliziert zwei Brüche miteinander, indem man Zähler mal Zähler und Nenner mal
Nenner rechnet.
3 5 3⋅5 15 5
( )⋅( )= = =
7 6 7⋅6 42 14
6
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Man dividiert einen Bruch durch einen anderen Bruch, indem man den ersten Bruch mit dem
Kehrwert des zweiten Bruches multipliziert.
3 2 3 3 9
: = ⋅ =
7 3 7 2 14
Gemischte Zahlen
4
4 21 4 25
3 =3+ = + =
7
7 7 7 7
Umwandlung von Brüchen und Dezimalzahlen: auf dem TR gibt es eine Taste!
Mit Rechnung:
3
375 3
=3: 8=0,375 oder zurück: 0,375=
=
8
1000 8
Rechengesetze
Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz)
a,b,c sind rationale Zahlen
a⋅b =b⋅a
a+b=b+a
Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz)
( a⋅b)⋅c=a⋅( b⋅c )
(a + b) + c = a + (b + c)
Distributivgesetz (Verteilungsgesetz)
a⋅(b+c )=a⋅b+a⋅c
„Vorfahrtsregeln“
•
Klammern zuerst
•
Punkt- vor Strichrechnung
•
Potenzen vor Punktrechnung
7
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Ü
ohne TR
a)
2 3 3 1
⋅4 − ⋅1
3 7 7 3
b)
1 1
5 − ⋅3
2 2
c)
100,4−0,4: 0,2
d)
3
( )
7
5
( )
6
mit TR
e)
24,5 * 0,5 + 0,5 *13,8 =
f)
7,5 - ( 100,3 *0,02 ) : 0,5 =
g)
8,7 + 1,3 * ( 24,25 -1,52 ) =
h)
1 3 9
( + + )∗9 3
3 9 27
Weitere Übungen
i)
3 4
( + )
7 5
5
( )
7
j)
3
4
(2 −1 )
7
5
3 1
( + )
5 4
k)
(2 – 0,25 + 4 * 28)3
l)
(7 * (47 – 17)) : 15
m)
43 * 123 + 37 * 43
n)
1024 * (222 – 345 + 789) * 3 * 0 * 512
8
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„Dreisatz“
Direkte Proportionalität (proportionale Zuordnung)
3 Tafeln Schokolade kosten 2,70 €.
Wie viel kosten 5 Tafeln?
500 g Käse kosten 8,00 €.
Wie viel kosten 200 g?
Zusammenhang
Menge → Preis
Stückzahl → Verpackung
Arbeitszeit → Lohn
Fahrstrecke → Benzinverbrauch
oder Schluss von der Einheit auf ein Vielfaches und umgekehrt
Beispiel: Dreisatz in einer Tabelle
5kg Spargel
kosten
14 €
1kg Spargel
kostet
14 € : 5 = 2,80 €
3kg Spargel
kosten
2,80 € * 3 = 8,40 €
Menge in g
100
200
250
500
750
1000
2000
5000
Preis in €
1,68
3,36
4,20
8,40
12,60
16,80
33,60
84,00
Quotient Preis/Menge
0,0168
0,0168
0,0168
0,0168
0,0168
0,0168
0,0168
0,0168
Zuordnungstabelle zwischen zwei Größen
Der Quotient Preis/Menge ist immer gleich und heisst Proportionalitätsfaktor k.
Damit kann man die Zuordnungsvorschrift bestimmen:
Menge in g → Preis in € = k * Menge
Bsp.:
Man tippt auf einer elektronischen Waage den Kilopreis ein (16,8). Die Waage „berechnet“
dann nach der Formel:
Preis (x) = 16,8 * x.
9
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0,123 kg kosten 16,8 * 0,123 = 2,07 € oder
123 g kosten 0,0168 *123 = 2,07 €
Eine eindeutige Zuordnung zwischen den Elementen zweier Mengen nennt man Funktion.
Schreibweise: f: x → y = f(x)
(gelesen: x wird y zugeordnet; y gleich f von x)
Darstellung im Koordinatensystem
f(x) = 0,8 x
Bsp.: Werbung im Radio kostet pro Sendeminute 200 € in der Zeit von 8 bis 12 Uhr, in der
Zeit von 12 bis 18 Uhr 350 €.
Grafische Darstellung der Zuordnungen:
f(x) = 200 * x
und
g(x) = 350 * x
mit x = Sendeminuten
Was kosten 1,25 Sendeminuten?
Wie viel Sendezeit erhält man für 600 €?
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Indirekte Proportionalität (Antiproportionalität)
Zwei Größen stehen im umgekehrten Verhältnis zueinander. Dem Doppelten einer Größe
entspricht die Hälfte der anderen Größe. Dem Dreifachen einer Größe entspricht ein Drittel
der anderen Größe und umgekehrt.
Bsp.: Maschinenzahl → Arbeitszeit (bei gleichbleibender Arbeit)
Länge eines Rechteckes → Breite eines Rechteckes (bei gleicher Fläche)
Stückzahl → Stückpreis (bei gleichbleibender Kaufsumme)
Beispiel: umgekehrter Dreisatz in einer Tabelle
5 Arbeiter benötigen Fliesenverlegung in einem Neubau 10 Tage. Wie lange brauchen 3
Arbeiter?
5 Arbeiter
benötigen
8 Tage
1 Arbeiter
benötigt
8 * 5 = 40 Tage
3 Arbeiter
benötigen
40 : 3 =13,3 Tage
Arbeiterzahl
Arbeitstage
Produkt
1
2
3
4
5
6
10
30
15
10
7,5
6
5
3
30
30
30
30
30
30
30
Tabelle:
Das Produkt zweier zugeordneter Werte bleibt immer gleich. Die zugehörige
30
Funktionsvorschrift zur Bestimmung der Werte heisst: f(x) =
.
x
Der Graph in einem Koordinatensystem:
11
HSN FB 05 Brückenkurs Mathematik 2011
Aufgabe:
Zu einem Rechteck mit der Fläche 60 cm² soll
zu der Länge x die zugehörige Breite
bestimmt werden. Die Vorschrift lautet f(x) =
60
.
x
Hier ist die Berechnung für jede positive Zahl
x möglich und den Graphen nennt man
Hyperbel.
Zusammengesetzter „Dreisatz“
Aufgabe:
Beim Bau einer Strasse muss Erde abgefahren werden. Wenn die Baufirma 3 LKW einsetzt,
die täglich 9 Fuhren fahren, so rechnet man mit 18 Arbeitstagen. In welcher Zeit schaffen es 5
LKW bei 8 Fuhren täglich?
3 LKW
9 Fuhren
18 Tage
5 LKW
8 Fuhren
X Tage
3 LKW
9 Fuhren
18 Tage
1 LKW
9 Fuhren
18 * 3 = 54 Tage
5 LKW
9 Fuhren
54 : 5 = 10,8 Tage
5 LKW
9 Fuhren
10,8 Tage
5 LKW
1 Fuhre
10,8 * 9 = 97,2 Tage
5 LKW
8 Fuhren
97,2 : 8 = 12,15 Tage
Das Beispiel zeigt die Vorgehensweise, die Aufgabe in zwei „Dreisätzen“ schrittweise zu
lösen. Eine dritte Größe (im ersten Dreisatz die Anzahl der Fuhren, im zweiten Dreisatz die
Anzahl der LKW) bleibt dabei unverändert.
12
HSN FB 05 Brückenkurs Mathematik 2011
Ü
1) Eine Wandfläche von 130 m² soll gestrichen werden. Für die ersten 50 m² werden 15 L
Farbe verbraucht.
2) Welcher Zuordnungstyp liegt vor?
x
1
2
3
4
5
y
5
9
13
17
21
x
1
2
3
4
5
y
60
30
20
15
12
3) Vergleiche!
Sahnebonbons 250 g zu 6,75 €
Karamellbonbons 200 g zu 5,10 €
Schokoladenbonbons 400 g zu 9,20 €
4) In USA werden Geschwindigkeiten in mph angegeben. 88 km/h sind 55 mph. Ergänze
die Tabelle.
km/h
0
30
50
70
100
120
mph
5) Aus einem Tank können 150 Pakete mit 0,25 L gefüllt werden. Wie viele Packungen
mit 0,3 L könnte man füllen?
6) Ein Kreuzfahrtschiff mit 540 Personen an Bord hat einen Lebensmittelvorrat für 18
Tage eingelagert. Nach 7 Tagen werden noch 100 Personen an Bord genommen.
7) Im Messebau brauchen 4 Techniker mit täglich 8 Stunden Arbeitszeit 5 Tage zur
Fertigstellung der Bauten.
a) Die Arbeit soll in 4 Tagen mit gleicher Personenzahl fertig sein.
b) Die Arbeit soll in 4 Tagen bei gleicher Arbeitszeit erledigt werden.
8) Die Beleuchtung einer Halle mit 18 Lampen kostet bei täglich 4 Stunden Brennzeit in
6 Tagen 10,50 €. In einem Monat brennen die Lampen an 16 Tagen 5 Stunden täglich.
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HSN FB 05 Brückenkurs Mathematik 2011
Prozentrechnung ist auch Dreisatz
Aufgabe: Von 120 Teilnehmer sind 25 männlich. Berechnen Sie die Anteile in Prozent.
120 Teilnehmer
sind
100 %
1 TN
ist
100 : 120 %
25 TN
sind
(100:120) * 25 % = 20,833.. %
Die bezogene Gesamtheit entspricht immer 100%, wird auch G Grundwert genannt.
Die bezogene Teilmenge entspricht p %, wird auch ProzentWert genannt. Die Zahl p wird
Prozentsatz genannt.
Die Beziehung lässt sich in einer Verhältnisgleichung ausdrücken:
Teil
p
=
=p%
Ganzen 100
oder
W
p
=
G 100
Vertiefung der Prozentrechnung
„Fuhr vor einigen Jahren noch jeder zehnte Autofahrer zu schnell, so ist es mittlerweile heute
´nur noch´ jeder fünfte. Doch auch fünf Prozent sind zu viele, und so wird weiterhin
kontrolliert, und die Schnellfahrer haben zu zahlen.“
(Quelle: Die etwas andere Aufgabe, Seelze 1998, zitiert nach Der Spiegel 41/1991, S.352)
Schnell-Übungen:
2% von 5000 sind …
2,5 von 125 sind …
18 ist 5% von …
940 ist 1 % von …
12 % von 550 sind ...
35 von 350 sind ...
vermehrter Grundwert und verminderter Grundwert:
Ein Auto wird zum Nettopreis von 8900 Euro angeboten. Dazu werden 19% MWST addiert.
Nach einem Jahr hat das Auto 25% seines Wertes verloren.
Endpreis = 8900 * 1,19 = 8900 *(1 + 0,19) = 10591
Neuer Grundwert ist 10951, es bleibt ein Restwert von 75%.
10951 * 0,75 = 8213,25
Ein Rabatt von 30% und ein anschließender Aufschlag von 30% oder auch umgekehrt führen
nicht zum Ausgangspreis zurück.
Bsp.: Ausgangspreis 100 €
30 % Rabatt ergibt 100 * 0,7= 70 dazu 30 % Aufschlag ergibt 70 *1,3 = 91
oder
30% Aufschlag ergibt 100 *1,3 =130 dann 30% Rabatt ergibt 130 * 0,7 = 91
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HSN FB 05 Brückenkurs Mathematik 2011
Promillerechnung
Wählt man als Bezugszahl 1000, so werden die Anteile in ‰ angegeben.
3 ‰ von 2400 sind 2400 * 0,003 = 7,2
oder 3% von 2400 sind 72, dann sind 3 ‰ von 2400 also 7,2.
3 ‰ sind 0,3 %
Einfache Zinsrechnung
Zinsen werden mit dem Zinssatz auf das Grundkapital pro Jahr errechnet.
Analogie zur Prozentrechnung:
Grundwert G
– Ausgangskapital K
Prozentsatz p
– Zinssatz p
Prozentwert W
– Zinsen Z
– Neu: Zeit t (in Jahren)
W=
G⋅p
100
Z=
K⋅p⋅t
100
Die Zeit kann auch in Monaten oder Tagen (1 Jahr = 360 Tg) angegeben werden.
Ü
a) Ergänzen Sie folgende Tabelle:
1)
Kapital K
9500 €
Zinssatz p%
2)
4%
Zinsen Z
684 €
275 €
Zeit t
1 Jahr
6 Monate
3)
25000 €
3,5%
2 Jahre
4)
5)
10000 €
2%
840 €
100 €
100 Tage
5 Monate
b) Vergleichen Sie Zins und Zinseszins (die Zinsen werden dem Konto gutgeschrieben und
jährlich mit verzinst).
K = 10000 € , p% = 3%, Laufzeit 5 Jahre
Welches Endkapital erhält man jeweils?
c) aus Wikipedia:
Alfred Nobel legte fest, dass sein Vermögen von Treuhändern in „sichere Wertpapiere“
angelegt werden sowie der Zinsertrag zu fünf gleichen Teilen auf die Nobelpreise verteilt
werden soll. (…) Die Statuten der Nobelstiftung legen weiterhin fest, dass mindestens 60
Prozent der Erträge als Preis ausgeteilt werden müssen. Heute liegt das Vermögen der
15
HSN FB 05 Brückenkurs Mathematik 2011
Nobelstiftung deutlich über Nobels Vermögen. Ende 2009 betrug es 3,1 Milliarden Kronen
(…). Seit 2001 beträgt das Preisgeld 10 Millionen Schwedische Kronen je Kategorie. Der
Wirtschaftspreis ist immer genauso hoch dotiert.
Zu welchem Zinssatz wird das Vermögen mindestens verzinst?
d) Ein Girokonto wird um 987 € für 24 Tage überzogen. Der Zinssatz für den
Überziehungskredit beträgt 9,8%.
e) Der Mensch besteht im Durchschnitt zu ca. 65% aus Wasser, zu 20% aus Eiweiß, zu 10%
aus Fett und zu 4% aus Mineralstoffen und zu 1% aus Kohlenhydraten. Berechnen Sie die
Anteile für ein Gewicht von 72 kg.
Rechnen mit Einheiten
Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Vorsätze_für_Maßeinheiten
Eine physikalische Größe wird als Produkt aus Maßzahl und Maßeinheit gesehen.
Bsp.: v=50
km
h
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Ü
Umrechnungen:
a) 1 m = x dm = y cm = z mm
b) 1 m² = x dm2 = y cm² = z mm²
c) 1 m³ = x dm3 = y cm³ = z mm³
d)
Erklären sie die Waage!
DEKAGRAMM →
e)
0,125 L = x cm³
300 µm = x cm
105 mm² = x m²
7 mm³ = x µm3
123 dm3 = x mm³
10 km² = x m²
0,1 t = x g
1 g = x mg
10 g = x µg
5 Mg = x kg
10-5 kg = x mg
0,0001 Gg = x kg
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Rechnen mit großen und kleinen Zahlen
Ü
1) DIN A4 Papier hat die Maße 201 mm x 297 mm. Die Dicke ist 100 µm. 1 m² wiegt
80g.
Wie viel wiegt ein DIN A4 Blatt? Wie groß ist dasVolumen eines Blattes in cm³.
2) Ein Seil wird um den Äquator (40000 km) gelegt und dann um 1 m verlängert.
Wenn das verlängerte Seil mit einem gleichmäßigen Abstand um den Äquator gelegt
wird, kann dann eine Maus hindurch kriechen? :-)
3) Das Licht legt in einer Sekunde 300000 km zurück. Die Entfernung Sonne – Erde
beträgt im Durchschnitt 149,6 * 106 km.
4)
Die Andromeda Galaxie ist 2,5 Mio
Lichtjahre von der Erde entfernt.
Ein Lichtjahr ist die Strecke, die das
Licht in einem Jahr zurücklegt.
Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Andromedagalaxie
5) Ein kegelförmiges Cocktailglas wird mit einem Drink gefüllt und soll 8 Euro
kosten. Der Barkeeper füllt das Glas zur Hälfte.
6) Aus einem undichten Wasserhahn tropft pro Sekunde ein Tropfen Wasser 2,3 * 10-1
cm³. Wie viel m³ Wasser gehen in eine Jahr verloren?
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HSN FB 05 Brückenkurs Mathematik 2011
Algebra
Klammerregeln
Bsp.: 4 – (3 – 5) =
4 – (-3 – 5) =
4 + (3 – 5) =
4 + (3 + 5) =
Ein Minuszeichen vor einer Klammer bedeutet:
multipliziere die Terme in der Klammer mit (-1), siehe D-Gesetz.
„+“ - Klammern kann man ignorieren.
In Formeln werden Buchstaben als Platzhalter für Zahlen gesetzt, man spricht von Variablen.
Umfang eines Rechteckes U = 2 * a + 2 * b
Rechenausdrücke mit Zahlen und Variablen heissen Terme.
T = x + 7y mit x=10 und y=1
T = 6a2b3 + a4 mit a=1 und b=0,1
T = 3x ( 4y – 7)2 mit x=0 und y=100
ergibt den Wert: T=10 + 7*1 = 17
ergibt den Wert: T=6*1*0,001 +1= 1,006
ergibt den Wert: T=3*0*(4*100-7)2= 0
K- Gesetz a + b = b + a, a * b = b * a
A- Gesetz (a + b) + c = a + (b + c), (a * b) * c = a * (b * c)
sind schon bei den rationalen Zahlen erwähnt. Sie gelten auch für algebraische Ausdrücke.
Insbesondere wird das Distributivgesetz in zwei Varianten bei der Umformung von Termen
gebraucht.
3x⋅(2y −1)=6xy−3x
von links nach rechts ist die übliche Sprechweise: „Klammer auflösen“,
von rechts nach links: „Faktorisieren“.
Ü
1)
2(4x + 3y)
2)
(3k + 2m - n) 4a
3)
0,25xy -0,5x + 1,75 xz
4)
6ab + 18ac - 9b
5)
(x + 3) (y - 4)
6)
2(a + b) (3x - 4y)
19
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Ein Sonderfall sind die Binomischen Formeln.
(a + b)2 = (a + b) * (a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2
kurz: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(Bildquelle: Wikipedia http://de.wikipedia.org/wiki/Binomische_Formel)
zweite Binomische Formel:
dritte Binomische Formel:
Rechenvorteile:
(a – b)2 = a2 - 2ab + b2
(a + b) (a – b) = a2 - b2
312 = (30 + 1)2 = 302 + 2*30*1 + 12 = 900 + 60 + 1 = 961
13 * 17 = (15 – 2) (15 + 2) = 225 – 4 = 221
Koordinatensystem
Eintragung von zugeordneten Werten x → y in Punkten mit den Koordinaten P(x/y).
Die x-Achse ist immer die waagerechte Achse (Abszisse), die y-Achse heisst Ordinate.
a) Tragen Sie folgende Punkte ein: P(5 / -3); Q(-5 / 3); R(-3 /-5); S(1,5 / 3)
b) Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte A – D!
20
HSN FB 05 Brückenkurs Mathematik 2011
Exkurs indizierte Variable
Da die Anzahl der Buchstaben für Variable begrenzt ist, nummeriert man ein Variable mit
einem Index.
x 1=2
Beispiel:
x 2 =3
x 3 =5
x 4 =7
x 5 =11
x 6=13
x 7 =17
x 8 =19
x 1 +x 2 +x 3 = 2 + 3 + 5
Diesen Term kann man mit einem Summenzeichen schreiben:
i =3
∑ xi =
i =1
Beispiele:
x 1 +x 2 +x 3
k =25
∑k ;
k =20
5
∑ ( 2n−1) ;
n=1
20
∑ (n 2)
n=10
21
HSN FB 05 Brückenkurs Mathematik 2011
Lineare Gleichungen und Äquivalenzumformungen
Aufg.: Ein „Würfelpaket“ wird mit 3m Schnur verschnürt, wovon man 20cm für den Knoten
verbraucht. Wie groß ist die Seitenlänge des Würfels?
X bezeichnet die Seitenlänge des Würfels in cm. Die Schnur umspannt den Würfel auf 8
Seiten. Dann ergibt sich die Gleichung 8x + 20 = 300
Löse die Gleichung nach x auf. Dabei ist die Modellvorstellung, dass das Gleichheitszeichen
für eine Waage steht. Die Gleichheit soll erhalten bleiben, in dem man auf beiden Seiten der
Waage die gleichen Operationen durchführt. Das Ziel ist x alleine auf einer Seite stehen zu
haben.
8x +20
8x +20 – 20
8x
8x : 8
1x
=
=
=
=
=
300
300 -20
280
280 : 8
35
Die Waage sollte nicht so reagieren!
Probe: 8 * 35 + 20 ergibt 300
Bsp: Ergänzen Sie die Äquivalenzumformugen
5x + 1
=
2x + 7
Nicht alle Gleichungen lassen sich mit dem Waagemodell veranschaulichen. Daher ist es
wichtig die Umformungen exakt durchzuführen, so dass die Lösung nicht verfälscht wird.
Zwei Gleichungen mit der gleichen Lösung heißen äquivalente Gleichungen. Mit
Äquivalenzumformungen kann man Gleichungen schrittweise umformen, so dass man die
Lösung ablesen kann.
Äquivalenzumformungen sind:
Addieren oder Subtrahieren des gleichen Terms auf beiden Seiten der Gleichung.
Multiplizieren beider Seiten der Gleichung mit der gleichen Zahl ≠ 0.
Dividieren beider Seiten der Gleichung durch eine Zahl ≠ 0.
22
HSN FB 05 Brückenkurs Mathematik 2011
Ü
1) 2(x + 4) = x + 1 – 3x
2) 2x – (5 – 5x) = 10
3) (x + 4)2 = x2 + 16
4) 3(x + 4) = 3( x – 5)
5) (x – 9)2 = x2 -18x + 81
b) Textaufgaben
1) Addiert man 7 zum Fünffachen einer Zahl, erhält man 77.
2) Welche drei aufeinander folgenden natürlichen Zahlen haben die Summe 81?
3) Bei einem Fisch nimmt der Kopf ein Drittel seines Gewichtes, der Schwanz ein Viertel
und der Rest wiegt 5 kg.
4) Drei Brüder sind zusammen 78 Jahre alt. Die zwei Jüngeren sind Zwillinge und 6
Jahre jünger als der Älteste.
5) Die eine Seite eines Rechteckes ist 2,5 m länger als die andere Seite. Der Umfang des
Rechteckes beträgt 25 m.
6) Drei Teilhaber stellen das Stammkapital einer Firma mit 55000 €, 90000 € und 120000
€. Wie ist der Gewinn eines Jahres von 30000 € aufzuteilen?
23
HSN FB 05 Brückenkurs Mathematik 2011
Allgemeine Geradengleichung
Die Schnuraufgabe auf Seite 20 kann man auch durch Probieren verschiedener Seitenlängen
lösen. Man erhält eine Wertetabelle für x = Seitenlänge des Würfels in cm und y =
Schnurlänge in cm.
x
5
y=8x+20 60
10
15
20
25
30
35
40
100
140
180
220
260
300
340
Diese Zuordnung, die auch für alle Zwischenwerte gilt, lässt sich in ein Koordinatensystem
eintragen.
Jede Gerade im Koordinatensystem ist ein lineare Funktion mit zwei Merkmalen: dem
Achsenabschnitt auf der y-Achse (0/b) und der Steigung m.
f(x) = y = mx + b
Für m>0 ist die Gerade steigend.
Für m<0 ist die Gerade fallend.
Für m=0 ist die Gerade parallel zur x-Achse.
24
HSN FB 05 Brückenkurs Mathematik 2011
Ü
a) Zeichne in ein Koordinatensystem (LE auf x und y-Achse = 1cm)
die Geradengleichungen ein:
y=x
y = 2x
y = 0,5x
y = -x + 3
y=x+2
y = x – 1,5
y = -0,4x
y = -x - 1
y = 0,5x + 1
y = 0,5x - 3
y = 0x + 1
b) Geben Sie drei Geradengleichungen an mit m>0 und dem Achsenschnittpunkt (0/2).
25
HSN FB 05 Brückenkurs Mathematik 2011
c) Wie lautet die Geradengleichung der Geraden durch die Punkte A=(0/-2) und B=(2/0)?
ci) Ebenso durch A=(-5/0) und B=(0/-1)
cii) Ebenso durch A=(-2/0) und B=(0/5)
26
HSN FB 05 Brückenkurs Mathematik 2011
Lineare Gleichungssysteme
Aufgabe: 3 Brötchen und 4 Croissants kosten 5,20 €, 4 Brötchen und 2 Croissants kosten 3,60
€.
x= Preis für ein Brötchen in €, y = Preis für ein Croissant in €
3x + 4y = 5,2 und 4x + 2y = 3,6
a) zeichnerische Lösung
Umstellen in eine Geradengleichung:
−3
5,2
−4
3,6
x+
y=
x+
und y=
4
4
2
2
b) Einsetzungsverfahren
3x + 4y = 5,2 und 4x + 2y = 3,6
Löse eine Gleichung nach einer Variablen auf und setze den Term in die andere Gleichung
ein.
y= -2x + 1,8 eingesetzt in
y= -2x + 1,8 und
y= -2x + 1,8 und
y= -2x + 1,8 und
3x + 4 ( -2x + 1,8) = 5,2 ergibt
3x -8x + 7,2 = 5,2
-5x = -2
x= 0,4
y= -2* 0,4 + 1,8 und x= 0,4
ergibt die Lösung y= 1 und x= 0,4.
27
HSN FB 05 Brückenkurs Mathematik 2011
Ü
1) 3x + 2y = 13 und 2x + 4y = 14
2) Löse!
(Farbige Dosen haben gleich viele Hölzer.)
Formelumstellungen
Mit den Äquivalenzumformungen hat man die Möglichkeit Formeln nach jeder Variablen
umzustellen.
Bsp.:
W
p
W⋅100
=
nach G aufgelöst: W⋅100= p⋅G ergibt im nächsten Schritt G =
G 100
p
Ü Lösen Sie nach allen Variablen auf.
Umfang eines Rechteckes:
Zylindervolumen:
Zinsformel:
U = 2 a +2 b
1
V = π r2 h
3
K pt
Z=
100
28
HSN FB 05 Brückenkurs Mathematik 2011
Verhältnisgleichungen
a c
=
b d
Wenn drei Variable bekannt sind, kann man die vierte Unbekannte berechnen.
haben die Form
Bsp. Wie groß müsste der Riese sein, der diese Eistüte hält?
Angenommen, eine Person von 180 cm Größe hält eine Eiswaffel von 15cm in der Hand,
ergibt sich für x= gesuchte Größe (des Riesen) mit der Eiswaffel von ca. 90 cm folgende
x 180
=
Gleichung:
Die Verhältnisse links und rechts sind gleich.
90 15
180⋅90
Durch Umformung erhält man: x=
, also ist x= 1080 cm = 10,8 m.
15
→ Siehe auch Bruchgleichungen
Mischungsaufgaben (nach Skript 2008 von Herrn Elsenbroich)
Es gibt zwei Grundtypen von Mischungsaufgaben:
1. Es werden (zwei oder mehr) Sorten mit unterschiedlichen Ausgangspreisen gemischt und
man erhält eine Mischung, deren Preis sich aus dem Verhältnis der Ausgangssorten ergibt.
2. Es werden Legierungen unterschiedlichen Feingehaltes zu einer neuen Legierung
zusammengeschmolzen; bzw. Lösungen unterschiedlicher Konzentration zu einer neuen
Lösung zusammen gemischt.
Beide Typen lassen sich am einfachsten in Tabellenform lösen, wobei man die nicht bekannte
Größe mit x bezeichnet.
Beispiel zu Typ 1:
Ein Teehändler mischt 4 kg einer Teesorte A zum Preis von 34,50 € pro kg mit 2,5 kg einer
Teesorte B zum Preis von 42,00 € pro kg. Wie teuer ist die Mischung pro kg?
29
HSN FB 05 Brückenkurs Mathematik 2011
Sorte A
Sorte B
Mischung
Menge in kg
4
2,5
6,5
Gesamtpreis der
Menge in €
4 * 34,5
2,5 * 42
6,5 * x
Aus der letzten Zeile ergibt sich dann die Gleichung, die zu lösen ist. Dabei bedeutet das
„Zusammenschütten“ die Addition der beiden Gesamtpreise der Ausgangsmengen und dies
„ist gleich“ dem Gesamtpreis der Mischung.
4*34,50 + 2,5*42,00 = 6,5*x
x = 37,38
Der Preis der Mischung beträgt demnach 37,38 € pro kg.
Beispiel zu Typ 2:
Feingehalt 700 bedeutet bei Silber, dass die Legierung aus 70% Silber und 30% Kupfer (statt
Kupfer kann auch Nickel oder Zinn verwendet werden) besteht. Ein Silberbarren vom
Feingehalt 980 soll mit einem Barren vom Feingehalt 600 zusammengeschmolzen werden, so
dass 5 kg einer Silberlegierung vom Feingehalt 750 sich ergibt. Wie viel kg jeder Sorte muss
man nehmen?
Lösung: Die Menge der „Sorte 980“ bezeichnen wir als x; dann ergibt sich für die Menge der
„Sorte 600“ ( 5 – x ), da insgesamt die „Sorte 750“ 5 kg ergeben soll.
Sorte 980
Sorte 600
Mischung Sorte 750
Menge in kg
x
5-x
5
Menge reines Silber
in kg
(980:1000) x
(600:1000)*(5-x)
(750:1000)* 5
Entsprechend ergibt sich aus der letzten Zeile die Gleichung, die zu lösen ist:
0,98x + 0,6(5–x) = 0,75*5
x = 1,97
Folglich benötigt man 1,97 kg der „Sorte 980“ und 3,03 kg der „Sorte 600“.
Man kann auch von folgendem Ansatz ausgehen: 980x +600(5–x)=750*5
Beispiel zu Typ 2:
Wie viel Gramm Wasser muss man zu 100 g einer 3,5%-igen Zuckerlösung zusetzen, damit
eine 2%-ige Zuckerlösung entsteht? Achtung: Wasser ist 0 %-ig!!
Menge in g
Menge reinen Zuckers
in g
3,5%-ige Lösung
100
100 * 0,035
0%-ige Lösung
x
0*x
2%-ige Mischung
100 + x
(100 + x) * 0,02
30
HSN FB 05 Brückenkurs Mathematik 2011
Aus der letzten Zeile ergibt sich:
100*0,035 = (100+x)*0,02
x = 75
Also müssen 75 g Wasser zugefügt werden.
Übungsbeispiele zur Mischungsrechnung (von Herrn Elsenbroich)
1.
Ein Teehändler will eine Teemischung mit einem Preis von 36,40 € pro kg herstellen. Er
benutzt dafür Tee zu 30,60 € pro kg und eine andere Sorte zu 48,00 € pro kg. Wie viel kg
muss er von der teuren Sorte nehmen, um sie mit 4kg der billigeren Sorte zu mischen?
2.
Ein Teehändler will eine Teemischung mit einem Preis von 36,40 € pro kg herstellen. Er
benutzt dafür Tee zu 30,60 € pro kg und eine andere Sorte zu 48,00 € pro kg. Wie viel kg
muss er von den einzelnen Sorte nehmen, um 4kg der Mischung herzustellen?
3.
Es werden 40 l Wasser von 180 C mit 9 l Wasser von 950 C zusammengeschüttet. Welche
Temperatur hat das Badewasser? Wie viel Wasser von 950 C muss man noch hinzufügen, um
die Badetemperatur von 370 C zu erhalten? (Wärmeaustausch mit der Umgebung ist zu
vernachlässigen.)
4.
Feingehalt 750 bedeutet bei Silber, dass es sich um eine Legierung aus 75% Silber und
25% Kupfer (statt Kupfer wird auch Nickel oder Zinn verwendet) handelt.
a.
Es sollen 220g einer Silberlegierung vom Feingehalt 750 aus Silber mit einem
Feingehalt von 900 und Silber mit Feingehalt 625 hergestellt werden. Wie viel g werden
jeweils benötigt?
b.
Aus 220g Silber vom Feingehalt 900 soll durch Zugabe von Silber mit Feingehalt 625
Silber vom Feingehalt 750 hergestellt werden. Wie viel Silber vom Feingehalt 625 muss man
dazu geben?
c.
Aus 220 g Silber vom Feingehalt 625 sollen 400 g Silber vom Feingehalt 750 hergestellt
werden. Welchen Feingehalt muss die zugefügte Silberlegierung haben?
5.
In einer Metallgießerei soll aus 250 kg Messing mit einem Kupfergehalt von 48% durch
Zusatz von Zink Messing mit einem Kupfergehalt von 40% hergestellt werden. Wie viel Zink
braucht man?
6.
30 % ige Essigsäure soll so mit Wasser verdünnt werden, dass 4 Liter 5 % ige
Essigsäure entsteht. Wie viel Wasser und wie viel Essigsäure benötigt man?
7.
In welchem Verhältnis muss man eine 10% ige Salzlösung und eine 45% ige Salzlösung
miteinander mischen, um eine 20% ige Lösung zu erhalten?
8.
270 g einer 0,13% igen Salzlösung sollen auf eine 0,5% ige Lösung konzentriert
werden. Wie viel g Lösungsmittel sind ab zu destillieren?
31
HSN FB 05 Brückenkurs Mathematik 2011
Quadratische Gleichungen
Bremsweg: Für den Führerschein muss man die Faustformel zur Berechnung des Bremsweges
v 2
kennen: Weg s=( ) in Meter. Dies ergibt die Wertetabelle:
10
Geschwindigkeit v 10 20 30 40 50 60
(in km/h)
Weg s (in m)
1
4
9
16 25 36
In ein Koordinatensystem übertragen ergibt sich der folgende Graph:
Funktionen mit der Funktionsgleichung f(x) = a x2 + b x + c (mit a ≠ 0 und a ,b ,c∈ℝ )
nennt man quadratische Funktionen, ihr Graph ist eine Parabel.
f(x) = 1 x2 heisst Normalparabel.
32
HSN FB 05 Brückenkurs Mathematik 2011
Die Koeffizienten in der Gleichung f(x) = a x2 + b x + c (mit a ≠ 0 und
bestimmen die Lage der Parabel im Koordinatensystem.
a ,b ,c ∈ℝ )
Die Gleichung der Form
f(x) = d (x – e) 2 + f
heisst Scheitelpunktsform, da der
Scheitelpunkt der Parabel S=(e / f) direkt
ablesbar ist.
Die Schnittpunkte eines Funktionsgraphen mit der x-Achse heissen Nullstellen. Um diese
besonderen Punkte rechnerisch zu bestimmen, muss man eine quadratische Gleichung lösen.
33
HSN FB 05 Brückenkurs Mathematik 2011
Setze y = x2 - 2x - 3 = 0 da der y-Wert der Schnittpunkte 0 ist.
x2 - 2x - 3 = 0
x2 - 2x + 1 – 1 - 3 = 0
x2 - 2x + 1
=4
2
(x – 1)
=4
daraus folgt x-1 = 2 oder x-1 = -2
also x = 3
oder x= -1
Ergänze zur binomischen Formel
Hieraus kann man für die quadratische Gleichung 1x 2 + px + q = 0 die p-q-Formel ableiten:
1x2 + px + q = 0
Ergänze zur binomischen Formel
1x2 + px + (p/2)2 - (p/2)2 + q = 0
(x + p/2)2
also ist
somit
√
p
p 2
x+ =+ ( ) −q oder
2
2
√
p
p 2
x=− + ( ) −q oder
2
2
= (p/2)2 - q
√
p
p 2
x+ =− ( ) −q
2
2
√
p
p 2
x=− − ( ) −q
2
2
Neue Taschenrechner können solche Gleichungen auf Tasteneingabe lösen!
Ü
a) x2 + 4x – 5 = 0
b) x2 - 9 = 0
c) x2 + 100 = 0
d) x2 – 4x + 16 = 0
e) ( x + 10 )( x + 2 ) = 0
f) x2 + 7 x = 0
34
HSN FB 05 Brückenkurs Mathematik 2011
Satz von Pythagoras
In einem rechtwinkligen Dreieck gilt:
Das Quadrat über der Hypotenuse hat den
gleichen Flächeninhalt wie die Summe der
beiden Kathetenquadrate.
a2 + b2 = c2
Wenn zwei Seitenlängen bekannt sind, so
lässt sich die dritte berechnen.
c2 = 32 + 42
c=5
Quelle: http://www.geogebra.org/de/wiki/index.php/Pythagoras
Ü
1) Von einem Rechteck ist die längere Seite doppelt so lang wie die kürzere Seite. Die
Diagonale misst 10 cm.
2) Bestimme die Höhe in einem gleichseitigen Dreieck mit der Seite 5 cm.
3) Wie lang ist die Raumdiagonale in einem Würfel von 1 cm Kantenlänge?
35
HSN FB 05 Brückenkurs Mathematik 2011
Potenzen
Produkte aus gleichen Faktoren schreibt man kürzer als Potenzen.
3 * 3 * 3 * 3 * 3 = 35
a∗a∗a∗a∗...∗a =a n
⏟
a ist die Basis, n der Exponent
n Faktoren
a1 = a
Was ist größer? 53 oder 35;
211 oder 112;
104 oder 410
Rechnen mit Potenzen
34 * 32 = 3*3*3*3 * 3*3 = 36 = 34 + 2
Potenzen mit gleichen Basen werden multipliziert, in dem man die Exponenten addiert.
an * am = an + m (für a>0)
Potenzen mit gleichen Basen werden dividiert, in dem man die Exponenten subtrahiert.
an : am = an - m (für a>0)
73 : 73 = 73 – 3 = 70 führt zu der Formel: a0 = 1 für alle a≠0.
Eine Aufgabe wie 73 : 75 = 73 – 5 = 7-2 = 1 : 72 führt zu der Erklärung von negativen
Exponenten .
1
a −n= n (für n ∈ ℕ )
a
Bsp.: 0,0005 = 0,0005 * 10-1 = 0,5 * 10-3 = 5 * 10-4 = 5 : (10000)
4
4
4⋅10−3 = 3 =
=0,004
10 1000
Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert.
( a n ) m =a n⋅m
Bsp.: (23) 4 = 23*4 = 212
Potenzen mit gleichen Exponenten können in Produkten und Quotienten zusammengefasst
werden.
am * bm = (a * b)m
am : bm = (a : b)m
36
HSN FB 05 Brückenkurs Mathematik 2011
Ü
Vereinfache!
1) 1,2 * 10-4 + 3,6 * 10-4
2) (4,5 * 10-4) : (1,5 * 109)
3) b-2b-3
4) (x4 y-5)0
5) (a3b+1):(a2b)
6) 3x5 * (-6x-4)
7)(a6 b-9) : (b6 a7)
8) (x2 y3 z-4)3
Wurzeln
Eine Umkehrung des Potenzierens ist das Wurzelziehen.
Bsp.: Es ist die Zahl gesucht, deren Quadrat 625 ist; gesucht ist die Basis a mit a 2 = 625.
Die positive Zahl a mit a2 = 625 heisst Quadratwurzel von 625, geschrieben a= √ 625=25
Achtung: Die Gleichung x2 = 625 hat zwei Lösungen x = +25 und x = -25.
Für das Rechnen mit Wurzeln sind die Wurzelgesetze analog zu den Potenzgesetzen zu
formulieren:
am * bm = ( a * b)m
am : bm = ( a : b)m
Wurzeln mit gleichem „Wurzelexponenten“ fasst man bei der Multiplikation zusammen.
√ a⋅√ b=√ a⋅b (für a und b ≥ 0)
√
√ a = a (für a≥0 und b>0)
√b b
ebenso bei der Division:
Bsp.:
√ 12⋅√3=√ (12⋅3)= √ 36=6
√
√
√ 7 = ( 7 )= ( 1 )=0,2
175
25
√ 175
allgemeiner Zusammenhang:
Definition der „n-ten Wurzel.
n
x= √ a ist die positive Lösung der Gleichung
Bsp.:
x n =a mit a≥0.
4
x= √81 x = 3
37
HSN FB 05 Brückenkurs Mathematik 2011
10
x= √ 1024 x = 2
In Termen vermeidet man Wurzeln im Nenner. Durch eine entsprechende Erweiterung des
Bruches formt man den Term um.
Bsp.:
1
1 2
2
= √ =√
2
√2 √2 √2
Vereinfachung eines Wurzelterms ist durch teilweises Wurzelziehen möglich.
Bsp.: a)
b)
√ 52=√ 4⋅13=2 √ 13
√ 720 x 5 y 2= √ 16⋅45 x 4 x y 2=4 x 2 y √ 45x
Ü
1) 3 √ 5+7 √ 5
2) (3 √ 5)⋅(7 √ 5)
3)
√ 9+√ 16
4)
√3 (a 4)2
5)
a
√a
6)
a
√ a3
7)
(a−b)
√ a+ √ b
8)
√(245 a 3 b6)
→ siehe auch Wurzelgleichungen
38
Hochschule Niederrhein
Brückenkurs Mathematik
Fachbereich 05
Teil 2
HSN FB 05 Brückenkurs Mathematik 2011
Funktionen
Umkehrfunktion
Im ersten Teil ist der Begriff der Funktion bereits eingeführt worden.
Eine eindeutige Zuordnung zwischen den Elementen zweier Mengen nennt man Funktion.
Schreibweise: f: x → y = f(x)
(gelesen f von x)
Die Funktion kann als Wertetabelle, Menge von Wertepaaren, Graph oder Vorschrift
vorliegen.
An dem Beispiel der Kosten für eine Werbeminute im Rundfunk wurde zu der Ausgangsfrage
auch die Umkehrung untersucht.
Was kosten 1,25 Sendeminuten? Umkehrung: Wie viel Sendezeit erhält man für 600 €?
Umkehrung heisst hier: jedem y wird ein x zugeordnet.
Heisst die Funktionsvorschrift f(x) = 0,5x + 1,
gehören die Punkte A= (0/1) B(1/1,5) C=(2/2) D=(3/2,5) E=(4/3) usw. zur Funktion.
Umkehrung heisst im einfachen Sinn: die x und y Koordinaten werden vertauscht.
Also müssen die Punkte M=(1/0) N=(1,5/1) P=(2/2) R=(2,5/3) S=(3/4) usw. zur UmkehrFunktion gehören.
Man ermittelt rechnerisch die Gleichung der Umkehrfunktion wie folgt:
Ausgangsgleichung
Vertausche x und y
Löse nach y auf
y
= 0,5 x + 1
x
= 0,5 y + 1
x – 1 = 0,5 y
(x-1) * 2
= 0,5 y *2
2x – 2
=y
Durch das Vertauschen kann man beide Graphen in ein Koordinatensystem zeichnen.
Darstellung im Koordinatensystem von f(x) =
0,5x + 1
und g(x) = 2x – 2.
Man erkennt einen geometrischen
Zusammenhang mit der Geraden y = x.
40
HSN FB 05 Brückenkurs Mathematik 2011
Graph der Funktion und der Graph der Umkehrfunktion sind an der Winkelhalbierenden y=x
gespiegelt.
Umkehrung der Parabel: Wurzelfunktion
Der Versuch die Normalparabel y=x2 an der
Winkelhalbierenden zu spiegeln, führt zu
einem Graphen, der kein Abbild einer
Funktion ist.
Warum?
Zu jedem x-Wert zeigt die senkrechte Linie
zwei y-Werte an. Die Zuordnung ist also
nicht eindeutig, daher ist diese „Umkehrung“
keine Funktion.
Wenn man den Definitionsbereich der xWerte einschränkt, hier auf alle x>0, dann
erhält man eine eindeutige Zuordnung:
die Funktion y= √ x mit x>0.
Ü
1) Bestimmen Sie die Umkehrfunktion zu y = - 0,5 x + 1
2) Geben Sie eine Umkehrfunktion zu f(x) = x2 + 1 an. Zeichnen Sie dazu den Graphen
von f und den Graph der Umkehrfunktion.
41
HSN FB 05 Brückenkurs Mathematik 2011
Exponentialfunktion
1. Bsp.: Eine Seerosenart bedeckt genau 1 m² Wasserfläche eines Sees.
Jede Woche verdoppelt sich die Fläche, die die Seerosen bedecken (bei idealen
Wachstumsbedingungen). Wie lange würde es dauern bis der kleine Kaarster See mit 6 ha
zugewachsen ist?
Zeit in
Wochen
0
1
2
3
4
5
6
Fläche in
m²
1
2
4
8
16
32
64
Die Grafik zeigt die Punkte auf einer steil ansteigenden Kurve der Funktion f(x) = 2 x .
2. Bsp.: Ein Kapital von 10000 € wird jährlich mit Zinseszins zu 5 % verzinst. Auf wie viel
Euro ist das Guthaben nach 20 Jahren angewachsen? Wann hat sich das Startkapital
verdoppelt?
Z1 = 10000 * 1,05
Z2 = Z1 * 1,05
Z3 = Z2 * 1,05
…
Z20 = Z19 * 1,05 = (Z18 * 1,05) * 1,05 = ….....= 10000 * 1,0520
Auch dieser Term hat die Form a * bx
Bei der Frage „Wann hat sich das Startkapital verdoppelt“ wird nach dem Exponenten der
Gleichung 20000 = 10000 * 1,05x gesucht.
3. Bsp.: Koffein wird im Blut stündlich um ca. 15% abgebaut. Eine Tasse Espresso enthält 50
mg Koffein. Wie viel mg sind nach 6 Stunden noch vorhanden?
42
HSN FB 05 Brückenkurs Mathematik 2011
Der „Wachstumsfaktor“ ist hier kleiner 1: 85%=0,85.
Die Funktionsvorschrift lautet y = 50 * 0,85x .
Exponentielles Wachstum
Die Funktionsgleichung für exponentielles Wachstum lautet y= a * b x (mit b >0).
Die Basis b heisst Wachstumsfaktor.
Die Beispiele zeigen ein exponentielles Wachstum für b>1,
eine exponentielle Abnahme für 0<b<1.
Aufg. Von einem Medikament weiss man, dass der Abbau im Körper exponentiell verläuft.
Fünf Stunden nach der Einnahme betrug die Konzentration im Blut 4,2 mg/l, nach 8 Stunden
2,9 mg/l. Wie viel mg wurden eingenommen?
Aus dem Text erhält man zwei Wertepaare: (5/ 4,2) und (8/ 2,9) für eine Gleichung y = a*b x .
a*b5 = 4,2 und a*b8 = 2,9
dividiert man die beiden Gleichungen a*b 8 : a*b5 = 2,9 : 4,2
erhält man b3 = 0,69
dann ist √3 0,69≈0,88
Damit ist die weitere Variable a zu ermitteln: 4,2 = a * 0,88 5 .
a= 4,2 : 0,885 = 7,96
Also ist eine Dosis von 7,96 mg/l eingenommen worden.
Ü
Eine Fabrikationsanlage kostet neu 400000 €. Nach jedem Jahr werden 10% des aktuellen
Wertes abgeschrieben.
Welchen Wert hat die Anlage nach 10 Jahren?
Nach wie viel Jahren beträgt der Wert noch 50000 €?
43
HSN FB 05 Brückenkurs Mathematik 2011
Die Umkehrung der Exponentialfunktion y= 2x lässt sich graphisch durch Spiegelung des
Graphen an der Winkelhalbierenden y=x eindeutig zeichnen.
Die Umkehrfunktion heisst Logarithmusfunktion von x zur Basis 2. Diese Funktion ist nur für
positive x-Werte definiert. Die y-Werte sind für 0<x<1 negativ, für x>1 positiv.
Der Gleichung 20 = 1 entspricht die Umkehrung log2 1 = 0.
Rechnen mit Logarithmen
Bei Potenzen wie 252 = 625 kann man nach der Basis fragen:
Wie heisst die Zahl, deren Quadrat 625 ergibt? Die Antwort führte zum Begriff der Wurzel.
Ebenso kann man nach dem Exponenten fragen.
Wie heisst der Exponent, der zur Basis 25 das Ergebnis 625 ergibt?
Wie heisst der Exponent zur Basis 10 mit 10x = 1000?
Wie heisst der Exponent zur Basis 5 mit 5 x = 625?
Wie heisst der Exponent zur Basis 2 mit 2 x = 1024?
Es gilt:
10x = 1000
<=> x = 3 denn 10 * 10 * 10 = 1000
5x = 625
<=> x = 4
2x = 1024
<=> x = 10
Der gesuchte Exponent der Potenz bx wird mathematisch Logarithmus zur Basis b genannt.
Geschrieben: log10 1000 = 3
log5 625 = 4
log2 1024 = 10
<=> 103 = 1000
<=> 54 = 625
<=> 210 = 1024
44
HSN FB 05 Brückenkurs Mathematik 2011
Logarithmengesetze
Zu jeder exponentiellen Gleichung gibt es eine logarithmische Gleichung:
25 = 32
<=> log2 32 = 5
Basiszahl kann im Prinzip jede positive reelle Zahl sein.
Üblich ist die Verwendung von Logarithmen zur Basis 10, eigene Abkürzung lg (x)
von Logarithmen zur Basis 2, eigene Abkürzung ld (x)
von Logarithmen zur Basis e, eigene Abkürzung ln (x).
TR bieten meist zwei Tasten an LOG (=lg) und LN.
Mit der Formel log b a=
Bsp.: 81 = 3x
log a
kann man jeden Logarithmus berechnen.
log b
<=> log3 81 = x
<=> log3 81 =
log 81
=4
log 3
Die Rechengesetze lassen sich in Analogie zu Potenzgesetzen formulieren.
an * am = an + m (für a>0)
<
>
log (u * v) = log u + log v
an : am = an - m (für a>0)
<
>
log (u : v) = log u – log v
( a n ) m =a n⋅m (für a>0)
<
>
log (ur ) = r * log u
Ü
1)
2)
a) lg (1000)
b) lg 0,000001
c) 10 lg 1
d) log4 512
e) lg 500 – lg 5
f) ld (16) + ld (256)
g) logb 4 = 2
h) logb 1 = 0
i) logb 17 = 1
Löse nach x auf!
a) 3(5x – 1) = 8
b) 3(x – 1) = 120
45
HSN FB 05 Brückenkurs Mathematik 2011
Die Zahl e
Die Eulersche Zahl e=2,718281828... ist die Basis einer Exponentialfunktion und einer
Logarithmusfunktion, die in Wachstumsprozessen in der Natur bedeutsam ist.
( )
1 n
einsetzt.
n
Der TR hat eine Taste für en, der Logarithmus zur Basis e nennt man den natürlichen
Logarithmus.
Man erhält einen Näherungswert für e, in dem man große Zahlen für n in
1+
Ein Umrechnung zwischen f(t) = a*bt und f(t) = a*ekt ist immer möglich.
Bsp.: a) f(t) = 10 * 0,75t
0,75 = ek
=>
k = ln 0,75 = - 0,2876820725
b) f(t) = 3 * e0,5t
=>
e0,5 = 1,648721271
e0,5 = 10t => t = lg 1,648721271 = 0,2171472
Ü
1) Bringen Sie die Funktion f(t) = a*bt auf die Form f(t) = a*ekt oder umgekehrt.
a) f(t) = 5 * 1,1t
b) f(t) = 100 * e0,75t
2) Licht verliert pro 1m Tiefe im Wasser ca. 60% seiner Intensität.
a) Durch welche Exponentialfunktion wir die Resthelligkeit in % beschrieben?
b) In welcher Tiefe beträgt die Lichtintensität nur noch 1%?
c) Wie viel Licht erhalten Pflanzen in 5 m Tiefe?
3) In einer Bakterienkultur werden 3 Stunden nach dem Aufguss ca. 900 , nach
weiteren 3 Stunden 25000 Bakterien gezählt. Bestimmen Sie eine
Exponentialfunktion, f(t) = a bt , die das Wachstum modelliert.
4) 1976 lebten auf der Erde ca. 4 Mrd. Menschen. Das Bevölkerungswachstum betrug
damals 1,9% jährlich.
a) Wie viel Menschen müssten dann 2011 leben?
b) Im Jahre 2011 leben ca. 7 Mrd. Menschen auf der Erde. Berechnen Sie das
durchschnittliche Wachstum von 1976 bis 2011.
5) Das Element Uran 234 zerfällt mit einer Halbwertszeit von 2,44 * 10 5 Jahre.
a) Wie viel Prozent der ursprünglichen Menge sind noch nach 1000 Jahren vorhanden?
b) Nach welcher Zeit sind noch 10% der ursprünglichen Menge vorhanden?
46
HSN FB 05 Brückenkurs Mathematik 2011
Aufgaben zur Stöchiometrie
In der Chemie wird in der quantitativen Analytik geklärt wie viel Stoff einer Substanz
vorhanden ist. Mögliche Größen sind das Volumen (V), die Masse (m) oder die Teilchenzahl
(N). Jedes Element hat eine Atommasse (m A). Die Atommasseneinheit (u) eines Atoms findet
man in einer Tabelle des Periodensystems.
H
C
O
Na
S
Cl
1
12
16
23
32
35
Die Umrechnung von Atommassen in Gramm ermöglicht die Avogardo-Konstante:
1 g = 6,022 * 1023 u
m
Die Teilchenzahl N lässt sich bestimmen durch N =
mA
Bsp.: Die Anzahl von Atomen in 20 g Kohlenstoff berechnet sich
m 20 g 20⋅6,022⋅10 23 u
N= =
=
≈10 24
m A 12 u
12u
Nimmt man als Stoffportion immer die Atommasse in Gramm, so erhält man immer die
gleiche Anzahl Teilchen N.
Daher definiert man die Stoffportion, die 6,022*10 23 Teilchen enthält, als Stoffmenge n = 1
mol.
Unter molare Masse M versteht man den Quotienten aus Masse m und der Stoffmenge n.
m(H2O) = 2* mA(H) + mA(O) = 2*1 u + 16 u= 18 u
=>
M(H2O) = 18
g
mol
Bsp.: Wie viel Teilchen sind in 1 Liter Wasser?
n(H2O) =
=>
1000 g
n⋅6,022⋅10 23
g = 55,5 mol N(H2O) =
18
mol
mol
55,5 mol⋅6,022⋅10 23
= 333,333 * 1023 Moleküle in 1 Liter Wasser.
mol
m( H 2 O)
=
M ( H 2 O)
N(H2O) =
Ü
Stoff X
S
M(X) [g/mol]
m(X) [g]
n(x) [mol]
10
3 * 1022
O2
NaCl
N(X)
0,2
47
HSN FB 05 Brückenkurs Mathematik 2011
pH-Wert als Anwendung
Der pH-Wert ist ein Maß für die saure oder alkalische Reaktion einer wässrigen Lösung. Der
pH-Wert ist eine dimensionslose Zahl (ohne Maßeinheit). Er ist der negative dekadische
Logarithmus (= „Zehnerlogarithmus“) der Oxonium-Ionen (H3O+)-Konzentration:
pH = - lg c(H3O+)
c ist die Stoffmengenkonzentration
c=
n
in mol/L
V
pH=7 ist eine neutrale Flüssigkeit, pH < 7 bedeutet saure Flüssigkeit, pH > 7 bedeutet
basische Flüssigkeit.
1. Bsp.:
Gegeben H3O+ Ionenkonzentration 5 * 10-8 mol/L , gesucht pH-Wert.
pH = - lg ( 5 * 10-8 ) = 7,3
2. Bsp.:
Gegeben pH = 3,5, gesucht H3O+ Ionenkonzentration
10(-3,5) = 3,16 * 10-4 =>
H3O+ Ionenkonzentration = 3,16 * 10-4 mol/L
Ü
1. Berechne folgende pH-Werte:
0,1 mol/L HCl
0,003 mol/L NaOH
2. Welche H3O+Ionenkonzentration haben folgende Lösungen?
Salzsäure mit dem pH - Wert 3,8
Blut mit dem pH - Wert 7,4.
3.
Stoff X
c(X) [mol*L-1]
pH
HCl
HCl
HNO3
0,1
n(X) [mol]
V [L]
1
1
2
3
0,1
48
HSN FB 05 Brückenkurs Mathematik 2011
Bruchgleichungen
Bsp.: Für optische Sammellinsen gilt die Formel 1/g + 1/b = 1/f. Bestimme für die
Sammellinse mit der Brennweite f=5cm die Gegenstandsentfernung g, bei der die
Bildentfernung 4-mal so groß ist.
1 1 1
+ = . Gleichungen mit Variablen im Nenner nennt
g 4g 5
man Bruchgleichungen. Ein Lösungsweg ist die Gleichung mit dem Hauptnenner auf beiden
Seiten zu multiplizieren.
1 1 1
+ = | * 4g
g 4g 5
4g 4g 4g
+ =
g 4g 5
4g
4+1=
=> g = 25/4
5
Dies führt zur Gleichung:
1
1
=
ergibt bei der Multiplikation mit dem Hauptnenner x(x-1) die
x−1 x ( x−1)
Lösung x=1. Dieser Wert erfüllt aber nicht die Gleichung, da die Brüche für x=1 nicht
definiert sind.
Daher ist die Probe bei Bruchgleichungen immer durchzuführen.
Bsp.:
Bsp:
5
5
2
=
+
HN ist 3(x+2)(2x-3)
x+2 3x+6 2x−3
5⋅3( x+2)( 2x−3) 5⋅3( x+2)(2x−3) 2⋅3( x+2)(2x −3)
=
+
x+2
3x+6
2x−3
5⋅3 (2x −3)=5⋅(2x −3)+2⋅3( x+2)
30x – 45
= 10x – 15 + 6x + 12
14x
= 42
x
=3
Probe:
5
5
2
5 2
=
+
ergibt 1= + und somit 1 = 1
3+2 3⋅3+6 2⋅3−3
15 3
Ü
1)
2)
4
=2
x+5
1
1
+
=0
x x+1
3)
4)
1
1
7
+
=
3+x x +4 (3+x )( x+4)
3
2
=
x+1 x +2
49
HSN FB 05 Brückenkurs Mathematik 2011
Wurzelgleichungen
√ x −3=8 oder
5 √ x+3=√ x+27 sind Beispiele für Wurzelgleichungen. Man versucht
die Wurzel durch Quadrieren beider Seiten der Gleichungen zu beseitigen. Dadurch können
auch hier Lösungen hinzukommen. Man muss abschließend die Probe an der
Ausgangsgleichung durchführen.
1. Bsp.:
√ x −3=8 | quadrieren beider Seiten
2
( √ x−3) =82
x-3
x
2. Bsp.:
=
=
64
67 Probe:
√ 67−3=8 => 8 = 8
5 √ x+3= √ x+27 | quadrieren beider Seiten
2
2
(5 √ x+3) =( √ x+27)
25 ( x + 3)
=
x + 27
25 x + 75
=
x + 27
24 x
=
- 48
x
=
-2
Probe: 5 √(−2)+3= √(−2)+27
linke Seite: 5 √ 1 = 5
rechte Seite: √ 25 = 5
Ü
1)
√ 2x+3=1
2)
√ 5x−2=2 √ x
3)
√ x 2+4=x+2
4)
4 √ x−1= √ x −61
5)
√ x +2=1+√ x
50
HSN FB 05 Brückenkurs Mathematik 2011
Trigonometrie
Dreiecksberechnung
Wenn Dreiecke gleiche Winkel haben, so sind die Seitenverhältnisse zweier Seiten immer
gleich. Dies kann man zur Dreiecksberechnung nutzen, wenn zwei Größen bekannt sind.
Berechnen Sie für beide Dreiecke a:b; c:b; a:c; c:a; b:a, b:c
Die Seiten, die den rechten Winkel einschließen, nennt man Katheten; die gegenüberliegende
Seite zum rechten Winkel nennt man Hypotenuse.
Am Beispiel des Winkels α wird das Verhältnis der Gegenkathete von α zur Hypotenuse mit
Sinus α bezeichnet.
sin α =
Gegenkathete
Hypotenuse
cos α =
Ankathete
Hypotenuse
tan α =
Gegenkathete
Ankathete
Berechne die restlichen Seiten und Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks mit γ = 90°, α = 25°
und c= 7 cm.
51
HSN FB 05 Brückenkurs Mathematik 2011
Winkel β = 90° - 25° = 65°
sin α =
Gegenkathete
=
Hypotenuse
cos α =
Ankathete
=
Hypotenuse
Ü
a a
=
c 7
b b
=
c 7
<=> a = 7 * sin α = 7 * sin 25° = 2,95
<=> b = 7 * cos α = 7 * cos 25° = 6,34
Berechne ebenso:
1) γ = 90°; a = 4 cm; b = 6 cm
2) γ = 90°; b = 10 m; β = 45°
3)β = 90°; b = 25 cm; c= 13 cm
Zu allen Aufgaben sind Skizzen sinnvoll!
4) Ein Gebäude wirft einen 18,5 m langen Schatten. Vom Schattenrand wird die
Oberkante des Gebäudes unter einem Winkel von 36° angepeilt.
5) Eine Treppenstufe von 70 cm soll durch eine Rampe überbrückt werden. Wie lang
muss die Rampe sein, wenn der Steigungswinkel höchstens 5° betragen soll?
6) Die Spitze eines 40 m hohen Leuchtturmes wird von einem Schiff unter einem
Winkel von 4° angepeilt.
Wie groß ist der Peilungswinkel, wenn das Schiff doppelt so weit entfernt ist?
52
HSN FB 05 Brückenkurs Mathematik 2011
Polarkoordinaten
Ein Punkt A im Koordinatensystem kann
auch durch die Angabe eines Winkels (zur xAchse) und durch die Streckenlänge zum
Ursprung eindeutig festgelegt werden.
Für die Umwandlung der Koordinaten von
A = (x / y) kann man die Dreiecksberechnung
nutzen.
x = r * cos α
y = r * sin α
Also A=(r * cos α / r * sin α)
Diese Koordinaten eines Punktes nennt man
Polarkoordinaten.
Besonders einfach wird dann die Darstellung, wenn r = 1 Längeneinheit ist. Man spricht dann
von Punkten auf dem Einheitskreis.
Zu einem Winkel im Mittelpunkt des Einheitskreises ist ein Punkt auf dem Einheitskreis
eindeutig festgelegt und damit seine Koordinaten.
Zu α = 45° gilt also
A=(cos 45° / sin 45°) = (0,7071 / 0,7071)
Zu α = 60° gilt
B=(cos 60° / sin 60°) = (0,5 / 0,8660)
Eine weitere eindeutige Zuordnung ist das Bogenmaß eines Punktes am Einheitskreis. Der
Vorteil ist, dass damit eine Streckenlänge angegeben wird, die den Winkel ersetzen kann.
Damit können x und y-Werte wie üblich in ein Koordinatensystem gezeichnet werden.
Mit der Verhältnisgleichung
berechnen.
Bogen
Winkel
=
Umfang des Kreises 360 °
b
α
=
2πr 360°
lässt sich das Bogenmaß
53
HSN FB 05 Brückenkurs Mathematik 2011
45°⋅2π
=
360 °
Zu α = 45° gehört das Bogenmaß
b=
Winkel
0°
45°
90°
135°
Bogenmaß
0
π
4
π
2
3π
4
π
=0,785
4
180°
π
270°
3π
2
360°
2π
Sinusfunktion
An der Bewegung einer Gondel am Riesenrad
lässt sich die Zuordnung Zeit → Höhe
darstellen.
Zu gewissen Umlaufzeiten befindet sich die
Gondel auf gleichen Höhen.
Die Zuordnung Zeit → Höhe kann man
ersetzen durch die Zuordnung
Quelle: http://commons.wikimedia.org
Winkel (zum Mittelpunkt des Riesenrads) →
Höhe der Gondel.
Man erhält folgenden Graphen.
54
HSN FB 05 Brückenkurs Mathematik 2011
y
Einheitskreis r = 1
1
-π
π
π/6
2π
x
sin(0,9948) = 0,8387
y
Einheitskreis r = 1
1
-π
π
π/6
2π
x
sin(2,094) = 0,866
y
Einheitskreis r = 1
1
-π
π
π/6
2π
x
sin(3,665) = -0,5
55
HSN FB 05 Brückenkurs Mathematik 2011
Merkmale der Sinusfunktion:
Periodenlänge
2π
Amplitude
ist die maximale
Höhe des
„Wellenbergs“ oder
des „Wellentals“.
Phasenverschiebung
y=sin x wird in
Richtung der xAchse verschoben
y=sin (x +
π
),
2
Verschiebung um
π
nach links
2
ergibt den Graphen
von y=cos x.
56
HSN FB 05 Brückenkurs Mathematik 2011
Ü
Zeichnen Sie zu der Sinusfunktion die Graphen von
a) y = 0,5 sin x
b) y = 3 sin x
c) y = sin ( x – π )
*d) y = 2 sin (x – π )
57
HSN FB 05 Brückenkurs Mathematik 2011
Beschreibende Statistik
Daten und Kenngrößen
Von 120 Studierende kommen 8 zu Fuß, mit dem Fahrrad 35, mit dem Bus 15, mit der Bahn
10 und 52 mit dem Auto zur Hochschule.
n = 120
Absolute Haüfigkeit
Relative Häufigkeit
in Prozent
Zu Fuß
8
8/120 =1/15 = 0,067
6,7 %
Fahrrad
35
35/120 = 7/24 = 0,292
29,2 %
Bus/ Bahn
25
25/120 = 5/24 = 0,208
20,8 %
Auto
52 52/120 = 13/30 = 0,433
43,3 %
absolute Häufigkeit
Gesamtzahl
Relative Häufigkeit =
Eine übliche grafische Darstellung ist das Balkendiagramm oder das Kreisdiagramm. Beim
360°
=3,6 ° .
Kreisdiagramm entspricht 1 % einem Winkel von
100
Zur Beschreibung von erhobenen Daten zieht man bestimmte Kenngrößen heran.
Beispiel: Bei einer Qualitätsprüfung reichen Bäcker „Lecker“ und Bäcker „Krümel“ jeweils
10 Brötchen ein (eins geht verloren). (in Gramm)
Lecker
Krümel
51,4
51,2
50,4
50,2
48,4
49,2
50,7
49,6
50,9
49,5
50,9
49,4
51,2
48,0
46,6
50,6
49,5
50,3
51,0
g
Ein Kennzeichen sind die Mittelwerte: das arithmetische Mittel (Durchschnitt) und der
Median (Zentralwert).
52
52
50
50
48
48
46
46
44
44
Krümel
Lecker
Das arithmetische Mittel ist die Summer aller Werte dividiert durch die Anzahl der Werte,
hier für „Lecker“: (50,1+49,9+48,4+50,7+50,9+50,9+51,2+46,6+49,5):9=50,0
1
̄x = ⋅
n
9
∑ xk
k=1
58
HSN FB 05 Brückenkurs Mathematik 2011
Der Median ist der mittlere Wert einer geordneten Liste. Oberhalb und unterhalb des Medians
liegen gleich viele Zahlen der Liste. Wenn es eine gerade Anzahl von Werten sind, nimmt man
den Mittelwert der beiden mittleren Zahlen einer sortierten Liste. Der Median ist gegenüber
Ausreißern „stabiler“ als das arithmetische Mittel.
Weitere Kenngrößen sind das Maximum und das Minimum einer Liste. Die Differenz
zwischen Maximum und Minimum heisst Spannweite.
Ein besonderes Diagramm, welches viele Informationen einer Datenmenge zusammenfasst,
ist das Boxplot.
Quelle: Wikipedia
Der Median der unteren Datenhälfte heisst: unteres Quartil.
Der Median der oberen Datenhälfte heisst: oberes Quartil.
In der Box (Quartilabstand) liegen 50% aller Daten, wenn man die Ausreißer nicht beachtet.
Der Quartilabstand gibt eine Streuung der Daten an. Je kürzer die Box ist, desto weniger
streuen die Daten um den Median.
Für die Bäcker „Lecker“ und „Krümel“ ergeben sich folgende Boxplots:
Lecker
Krümel
Erstellt mit http://www.alcula.com/calculators/statistics/box-plot/
59
HSN FB 05 Brückenkurs Mathematik 2011
Ü
Erstellen Sie ein Boxplot!
a) 3, 5, 7, 8, 12, 12, 15
b) 8, 9, 11, 13, 14, 18, 21, 24
c) 7, 7, 8, 10, 11, 12, 12, 13, 16, 29
Weiter wichtige Kenngrößen sind die Streuungsmaße: Man kann die mittlere quadratische
Abweichung vom Mittelwert berechnen.
n
1
2
Varianz V x= ⋅∑ ( x k − ̄x )
n k =1
Die Wurzel aus der Varianz heisst empirische Standardabweichung sx . s x= √ V x
Nach einer groben Faustregel weichen standardmäßig ca. 68% aller Daten um höchstens eine
Standardabweichung vom Mittelwert ab.
Im Intervall [ ̄x −s x ; ̄x +s x ] liegen also ca. 68% aller Daten.
Lecker
x
51,4
50,4
48,4
50,7
50,9
50,9
51,2
46,6
49,5
Mittelwert xm
50,00
(x – xm)
(x – xm)^2
1,4
1,96
0,4
0,16
-1,6
2,56
0,7
0,49
0,9
0,81
0,9
0,81
1,2
1,44
-3,4
11,56
-0,5
0,25
Summe=
Anzahl=
V=
s=
20,04
9
2,23
1,49
Beispiel: Bäcker „Lecker“
D.h. ca. 68% aller Werte liegen von 48,51 bis 51,49.
Ü Berechnen Sie entsprechend die Kenngrößen für Bäcker „Krümel“.
60
HSN FB 05 Brückenkurs Mathematik 2011
Kombinatorik
Die Kombinatorik beschäftigt sich mit Zählverfahren. Auf wie viel Arten kann man n Objekte
anordnen. Dabei unterscheidet man Anordnungen mit und ohne Wiederholungen.
Beispiel: Ein Gold- und ein Silberring können mit drei verschiedenen Schmucksteinen
verziert werden. Es gibt 2 * 3 = 6 verschiedene Ringe.
Beispiel: Zahlenschloss mit drei Rädern am Koffer lässt sich mit 10 * 10 * 10 = 1000
Einstellungen sichern.
Wie viele Sitzordnungen gibt es an einem Tisch für 6 Personen?
6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720
Die Zahl der Anordnungen nennt man auch Anzahl der Permutationen. In der Mathematik
vereinbart man eine Abkürzung n!= n * (n-1) * (n-2) * ...* 3 * 2 * 1
n! heisst n-Fakultät. Der TR hat eine entsprechende Funktion.
Vergleichen Sie: 102 mit 210 mit 10! Welches größte n! berechnet der TR?
Ü
1) Auf wie viele Arten können 5 Speisen nacheinander verzehrt werden?
2) Auf wie viele Arten parken 4 Autos auf 10 Stellplätzen?
3) In einer Eisdiele gibt es 20 verschiedene Eissorten. Wie viele verschiedene Eisbecher
mit 4 verschiedenen Eiskugeln gibt es?
Urnenmodell
Ein Modell für die Simulation zur Berechnung der Möglichkeiten ist das Ziehen von Kugeln
aus einer Urne mit oder ohne Zurücklegen.
Aus einer Urne mit 5 nummerierten Kugeln zieht man 2 Kugeln mit einem Griff. Es ergeben
sich 5*4 Ziehungen, aber es kommt nicht auf die Reihenfolge an.
Also (5*4) : 2 = 10 Möglichkeiten.
Aus einer Urne mit 5 nummerierten Kugeln zieht man 3 Kugeln mit einem Griff. Es ergeben
sich 5*4*3 Ziehungen, aber es kommt nicht auf die Reihenfolge an.
Also (5*4*3) : (3*2*1) = 10 Möglichkeiten.
Aus einer Urne mit 5 nummerierten Kugeln zieht man 4 Kugeln mit einem Griff. Es ergeben
sich 5*4*3*2 Ziehungen, aber es kommt nicht auf die Reihenfolge an.
Also (5*4*3*2) : (4*3*2*1) = 5 Möglichkeiten.
Für k Ziehungen aus n Objekten ohne Berücksichtigung der Reihenfolge (Ziehen mit einem
n⋅(n−1)⋅...⋅(n−k +1)
Griff) erhält man die Rechnung
.
k!
61
HSN FB 05 Brückenkurs Mathematik 2011
Diesen Term kann man erweitern und umschreiben:
n⋅(n−1)⋅...⋅(n−k +1)⋅(n−k )⋅...⋅3⋅2⋅1
=
k !⋅(n−k )⋅...⋅3⋅2⋅1
Ü
n!
=
k !⋅( n−k )!
( nk)
lies: n über k
Berechnen Sie per Hand:
6
10
10
,
,
4
2
8
() ( ) ( )
Der TR hat die Taste nCr.
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Bei einem Zufallsexperiment kann es verschiedene Ausgänge geben. Die relative Häufigkeit
ist ein gute Annäherung für die Wahrscheinlichkeit p (p von probability), mit der ein
bestimmtes Ereignis (E) eintritt. Die Wahrscheinlichkeiten werden mit einer Zahl zwischen 0
und 1 angegeben.
Ist p(E) = 0, so sagt man, es ist ein unmögliches Ereignis, es tritt nie ein.
Ist p(E) = 1, so ist E ein sicheres Ereignis, was immer eintritt.
Beispiele, bei denen man die Wahrscheinlichkeit nicht kennt: Wurf einer
Streichholzschachtel: es gibt drei verschiedene Lagen: flache Seite, schmale Seite,
Reibefläche.
Wurf eines Kronkorkens, Wurf einer Heftzwecke? Schätzen Sie!
Bei einem idealen Würfel, bei einer idealen Münze, bei einem Glücksrad oder bei
Urnenziehungen kann man die theoretische Wahrscheinlichkeit berechnen. Sind alle
Ereignisse gleichwahrscheinlich, so bestimmt man p eines Ereignisses mit:
p=
Anzahl der günstigen Fälle
(Laplace-Wahrscheinlichkeit)
Anzahl aller möglichen Fälle
Würfeln: Ereignis E = Zahl ist größer 5,
p ( E )=
2
6
Wurf mit 2 Würfeln: Ereignis E = Pasch
Was ist richtig?
a)
p ( E )=
6
21
b)
p ( E )=
1
2
c)
p ( E )=
1
3
d)
p ( E )=
6
36
62
HSN FB 05 Brückenkurs Mathematik 2011
Mehrstufige Zufallsversuche
Bei dem Spiel „Stein, Papier, Schere“ wählt Spieler A alle drei Möglichkeiten, Spieler B nur
Stein und Schere.
Stein
Stein
Schere
Schere
Papier
Spieler A
Spieler B
Wie viele verschiedene Ergebnisse gibt es?
Welche Pfade zeigen Spieler A gewinnt?
Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt Spieler A?
An den einzelnen Abschnitten notiert man die Wahrscheinlichkeiten.
Produktregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist das Produkt der WK entlang eines
Pfades.
P( Stein, Schere) =
1 1 1
⋅ =
3 2 6
Quelle: Formelsammlung ZP 10 NRW
63
HSN FB 05 Brückenkurs Mathematik 2011
Bernoulli-Kette
Ein Zufallsversuch mit nur zwei möglichen Ausgängen (Gewinn und Niete) heisst BernoulliVersuch. GewinnWK = p, VerlustWK = 1 – p = q
Beispiel Glücksrad mit p = 0,25. Das Glücksrad wird 10x gedreht. Wir groß ist die
Wahrscheinlichkeit genau 3x das Gewinnfeld zu treffen?
Mit der Formel
()
B ( X =k )= n ⋅p k⋅q (n−k ) lässt sich die Wahrscheinlichkeit berechnen.
k
( )
B ( X =3)= 10 ⋅0,253⋅0,757 = 120 * 0,015625 * 0,1334838867 = 0,2502822876
3
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X (= Treffer) heisst Binomialverteilung.
Das klassische Geburtstagsproblem
Ist es „günstig“ darauf zu wetten, dass unter 23 Personen mindestens zwei am gleichen Tag
Geburtstag haben?
E= (alle haben an verschiedenen Tagen Geburtstag) = 365* 364 * 363 *...* 343
G= (alle möglichen Tage des Geburtstages) = 365 23
P(mindestens 2 von 23 Personen haben am gleichen Tag Geburtstag) = 1 -
E
= 0,5073
G
Das Lotto Spiel „6 aus 49“
Wie groß ist die WK auf einen Hauptgewinn (6 Richtige)?
P=
1 1 1 1 1 1
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= 1 : 10 068 347 520
49 48 47 46 45 44
Da es für den Gewinn egal ist, in welcher Reihenfolge die Zahlen gezogen werden, hat man 6!
720
1
=
Möglichkeiten. Also ist die WK p(6 Richtige aus 49) =
10 068 347520 13983816
Roulette
Wie groß ist die WK, dass beim Roulette 11mal hintereinander „rot“ kommt?
Es ist 10mal hintereinander beim Roulette „rot“ gekommen. Wie groß ist nun die WK, das
beim nächsten Spiel wieder die Kugel auf „rot“ fällt?
64
HSN FB 05 Brückenkurs Mathematik 2011
Wiederholungen
1) Vereinfachen Sie die Terme:
a) (a – 9) * 2
b) (7 – 5b) * 2 +2b
c) (2x + 3y) (0,25a – 0,6b)
d) (7a + 6b)2
e) (17 – xy) (xy + 17)
f) 28xy + 70x3y2 – 49x2y
2) Potenzen und Wurzeln
a) (x4y-6z2)3
b)
√(16+9)
c) x5 = 243
1 3 9
3) a) ( + + )∗16 3
4 8 16
b)
25
2
+1
36
3
7 3
3 −
12 4
4) Berechnen Sie x!
a)
4(3x+6) = 4x +8
b)
1/3 x + 3/4 = -1/4 x + 23/12
c)
x2 + 6x +8 =0
d)
x(6x – 72 ) = 0
5) Zeichnen Sie die Geraden zu y=-0,25x+1
y=x+2
y=-2x+6
6) Zeichnen Sie den Graphen zu f(x)= (x-1)2 +2
7) Auf einer Verpackung steht: „480 g, 20% mehr Inhalt!“.
8) Eine Wassermelone wiegt 10 kg. Die Melone hat einen Wasseranteil von 99%. In einer
Woche mit großer Hitze sinkt der Wasseranteil auf 98%. Wie viel wiegt die Melone
nach der Woche?
9) Eine Henne braucht zum Ausbrüten von 3 Eiern 18 Tage. Wie lange braucht sie, um 5
Eier auszubrüten?
10) 6 Abfüllmaschinen liefern in 4 Tagen 2400000 Verpackungen. Eine Maschine fällt aus,
wie viele Verpackungen liefern die restlichen Maschinen in 5 Tagen?
11) K = 10000, p = 4% ,Wie groß ist das Kapital nach 7 Jahren mit Zinseszinsen?
12) Ein Kapital von 5500 € wird mit 3% verzinst. Nach wie viel Jahren hat sich das
Kapital verdoppelt?
13) Die Höhe des Bierschaums in einem Glas kann durch die Gleichung H(t) = 10 * 0,85 t
angegeben werden (t in Minuten, H in cm). Wie viel beträgt die Abnahme pro Minute
65
HSN FB 05 Brückenkurs Mathematik 2011
in %? Berechne die Bierschaumhöhe nach 10 Minuten.
14) Von einer Exponentialfunktion f(t) = a* e kt kennt man die Wertepaare A(0/20),
B(2/80). Bestimme die Vorschrift.
15) Koffein wird im Körper stündlich mit 20% abgebaut. Eine Tasse Kaffee hat ca. 100
mg Koffein. Wie lange dauert es, bis weniger als 1 mg Koffein im Blut ist?
16) Eine 7,5 m lange Leiter berührt die Hauswand bei einer Höhe von 7,2 m. Berechnen
Sie den Neigungswinkel der Leiter.
17) In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse 1 cm lang, eine Kathete 0,45 cm
Berechne die dritte Seite und alle Winkel.
18) Ein Straßenschild zeigt 13% Steigung an. Berechnen Sie den Steigungswinkel der
Strasse.
19) Zeichnen Sie die Funktion y=2x und ihre Umkehrfunktion.
20) Beschreiben sie die Merkmale des Funktionsgraphen mit f(x) = 2 sin (x-π) im
Vergleich zur Sinusfunktion.
21) Durch Eindampfen einer 18% igen Salzlösung sollen 500 g einer 25% igen Salzlösung
hergestellt werden. Wie viel Gramm der Ausgangslösung muss man nehmen?
22) Wie viel Gramm Zucker muss man zu einer 5% igen Zuckerlösung, von der man 100 g
hat, zusetzen, damit man eine 7,5% ige Lösung erhält?
23) Es werden zusammengeschmolzen: 5 kg Silber vom Feingehalt 900 mit 2 kg Silber
vom Feingehalt 850 und 1 kg Kupfer. Welchen Feingehalt hat die Legierung?
24) Chuck your luck ist ein Würfelspiel. Man würfelt dreimal hintereinander. Man
gewinnt bei 1x Sechs, oder 2x Sechs oder 3x Sechs. Wie hoch sind die
Gewinnchancen?
25) Bei einer Preiserhebung eines Marktforschungsinstituts in 10 Geschäften wurden
folgende Preise für eine Tafel Schokolade notiert (in €):
0,79 0,99 0,89 1,29 1,05 1,09 0,69 0,79 0,89 0,99
Ermitteln Sie die Kenngrößen und zeichnen Sie ein Boxplot.
66
HSN FB 05 Brückenkurs Mathematik 2011
Stichwortverzeichnis
Abszisse.................................................................................................................................... 20
Achsenabschnitt........................................................................................................................ 24
Amplitude..................................................................................................................................56
Antiproportionalität...................................................................................................................11
Äquivalenzumformungen..........................................................................................................22
arithmetische Mittel.................................................................................................................. 58
Assoziativgesetz..........................................................................................................................7
Balkendiagramm....................................................................................................................... 58
Basis.......................................................................................................................................... 36
Bernoulli-Versuch..................................................................................................................... 64
Betrag.......................................................................................................................................... 4
Binomialverteilung....................................................................................................................64
Binomischen Formeln............................................................................................................... 20
Bogenmaß................................................................................................................................. 53
Boxplot......................................................................................................................................59
Bruchgleichungen..................................................................................................................... 49
Dezimalzahl................................................................................................................................ 4
Distributivgesetz................................................................................................................... 7, 19
Dreisatz....................................................................................................................................... 9
Einheitskreis..............................................................................................................................53
Einsetzungsverfahren................................................................................................................ 27
Eulersche Zahl...........................................................................................................................46
Exponent............................................................................................................................. 36, 44
Exponentielles Wachstum......................................................................................................... 43
Faktorisieren..............................................................................................................................19
Funktion.............................................................................................................................. 10, 40
GeoGebra.................................................................................................................................... 1
Geradengleichung..................................................................................................................... 24
Größe.........................................................................................................................................16
Grundwert................................................................................................................................. 14
Hauptnenner.............................................................................................................................. 49
Hyperbel....................................................................................................................................12
Hypotenuse..........................................................................................................................35, 51
indizierte Variable..................................................................................................................... 21
Kathete...................................................................................................................................... 51
Kathetenquadrate...................................................................................................................... 35
Klammerregeln..........................................................................................................................19
Koeffizienten.............................................................................................................................33
Kommutativgesetz...................................................................................................................... 7
Koordinatensystem..............................................................................................................10, 20
Kreisdiagramm..........................................................................................................................58
Kreiszahl..................................................................................................................................... 4
Laplace-Wahrscheinlichkeit...................................................................................................... 62
Logarithmus.............................................................................................................................. 44
Logarithmusfunktion.................................................................................................................44
Maßeinheit................................................................................................................................ 16
67
HSN FB 05 Brückenkurs Mathematik 2011
Maßzahl.....................................................................................................................................16
Median...................................................................................................................................... 59
Mischungsaufgaben.................................................................................................................. 29
n-Fakultät.................................................................................................................................. 61
Normalparabel.....................................................................................................................32, 41
Notation.......................................................................................................................................5
Nullstellen................................................................................................................................. 33
Ordinate.....................................................................................................................................20
p-q-Formel................................................................................................................................ 34
Parabel.......................................................................................................................................32
Periodenlänge............................................................................................................................56
Phasenverschiebung.................................................................................................................. 56
Potenzgesetze............................................................................................................................ 45
Probe......................................................................................................................................... 49
Promillerechnung...................................................................................................................... 15
Proportionalität............................................................................................................................9
Prozentsatz................................................................................................................................ 14
ProzentWert...............................................................................................................................14
Pythagoras................................................................................................................................. 35
Quartil....................................................................................................................................... 59
rationale Zahl.............................................................................................................................. 4
Relative Häufigkeit................................................................................................................... 58
Scheitelpunkt.............................................................................................................................33
Scheitelpunktsform................................................................................................................... 33
Sinusfunktion............................................................................................................................ 56
Spannweite................................................................................................................................ 59
Standardabweichung................................................................................................................. 60
Steigung.................................................................................................................................... 24
Stellenwertsystem....................................................................................................................... 5
Streuungsmaß............................................................................................................................60
Summenzeichen........................................................................................................................ 21
Terme.........................................................................................................................................19
Umkehrung................................................................................................................................40
Urne...........................................................................................................................................61
Varianz...................................................................................................................................... 60
Verhältnisgleichungen............................................................................................................... 29
Wachstumsfaktor.......................................................................................................................43
Winkelhalbierenden.................................................................................................................. 41
Wurzelfunktion..........................................................................................................................41
Wurzelgleichungen....................................................................................................................50
Zahlenmengen............................................................................................................................. 4
Zahlenstrahl.................................................................................................................................4
Zehnerpotenz...............................................................................................................................5
Zehnersystem.............................................................................................................................. 5
Zuordnung........................................................................................................................... 10, 40
68
HSN FB 05 Brückenkurs Mathematik 2011
Lösungen
S. 8
a) 2 + 8/21
b) 4
c) 98,4
d) 18/35
h) 729
i) 1,72 j) 88/119
e) 19,15
k) 1079256261
f) 3,488
g) 37,3
l) 14
m) 6880
n) 0
S. 13
1) 39 L
2a) nicht prop., da (0/1)
3) 100 g kosten 2,70€
2,55€
2b) antiproportional
2,30€
4) 100 km/h entsprechen 62,5 mph
5) 125 Pakete zu 0,3 L
6) für 640 Personen reicht der Vorrat 9,28 Tage
7a) 10 Std.
7b) 5 Techniker
8) 35 €
S. 15
a1) 7,2%
a2) 13750€
a3) 1750€
a4)151200€
a5) 2,4%
b) Zinsen (einfach) in 5 Jahren 1500 €, Zinseszins 1592,74 €
c) 60 Mio Kr Preisgeld sind 60%, 100% sind 100 Mio Kr.
100/3100 = 0,032 also mind. 3,2% Zinssatz
d) 6,44 €
e) 46,8 14,4 7,2 2,88 0,72 in kg
S. 17
d) Gewicht in Dekagramm: 10 Gramm-Einheiten (in Österreich und Ungarn noch
gebräuchlich)
e)
125 cm³
0,03 cm
0,1 m²
0,007 µm
123000000 mm³
10000000 m²
100000 g
1000 mg
10000000 µg
5000 kg
10 mg
1000 kg
S. 18
1) 59697 mm² wiegen 4,77 g, Volumen ist 5969,7 mm³.
2) Erdradius = 6366,1977 km, verlängerter Erdradius 6366,1978 km
3) 149,6*106 : 300000 = 498,66 sec ≈ 8,3 min
4) in einem Jahr legt das Licht 300000km 1*60*60*24*365 = 9,22752 *1012 km
in 2,5 Mio Lichtjahre => 2,30688 * 1019 km
69
HSN FB 05 Brückenkurs Mathematik 2011
5) V= (1/3) π r3 , Vhalb = (1/3) π (r/2)3 , also kostet das halbe Glas 1€.
6) 7,25 m³, welche Kosten für ein Jahr!
S. 19
1) 8x + 6y
2) 12ak – 8am - 4an
3) 0,25x ( y – 2 + 7z)
4) 6a (b + 3c) - 9b
5) xy -4x + 3y – 12
6) (2a + 2b)(3x – 4y) = 6ax - 8ay + 6bx - 8by
S. 23
1) x= -7/4
2) x= 15/7
4) nicht lösbar
5) für alle x gültig
3) x=0
Textaufgaben
1) x= 14
2) x=26
3) x=12
4) x=24
5) x=5
6) 1 Gewinnanteil für 1000€ = 30/265
S. 25/26
f: y= -2x+4
g: y=2x-1
h: y=0,2x-3
b) y=2x+2
y=0,1x+2
y=100x+2
c) y=x-2
y= -0,2x+2
y=2,5x+5
a) Grafen:
70
HSN FB 05 Brückenkurs Mathematik 2011
S. 28
1) x= 3 und y= 2
2) x= 4 und y= 3
S. 31 Mischungsrechnung
1)
Sorte A
Sorte B
Mischung
4
x
4+x
48
36,4
Sorte A
Sorte B
Mischung
x
4-x
4
48
36,4
Sorte A
Sorte B
Mischung
40
9
49
95
x
Sorte A
Sorte B
Mischung
Menge in L
49
x
49+x
Temperatur in °
32,1
95
37
Menge in kg
Preis der Menge in € 30,6
30,6*4 + 48x = (4+x) *36,4 => x = 2
2)
Menge in kg
Preis der Menge in € 30,6
30,6*x + (4-x)*48 = 4*36,4 => x= 2,67
3)
Menge in L
Temperatur in °
18
40*18 + 9*95 =49*x => x= 32,14
71
HSN FB 05 Brückenkurs Mathematik 2011
49*32,1 + x*95 = 49*37 + x*37 => x= 4,15
4)a)
Menge in g
Sorte A
Sorte B
Mischung
x
220-x
220
900
750
Sorte A
Sorte B
Mischung
220
x
220+x
Feingehalt
625
625x + (220-x)*900 = 220*750 => x=120
b)
Menge in g
Feingehalt
900
625
220*900 + 625x = 220*750 + 750x => x=264
750
c)
Menge in g
Sorte A
Sorte B
Mischung
220
180
400
x
750
Sorte A
Sorte B
Mischung
250
x
250+x
0
40
Sorte A
Sorte B
Mischung
4-x
x
4
0
5
Sorte A
Sorte B
Mischung
x
1-x
1
45
20
Feingehalt
625
220*625 + 180x = 400*750 => x= 902,7
5)
Menge in kg
Kupfergehalt
48
250*48 + 0x = 250*40 + 40x => x= 50
6)
Menge in L
Säure in %
30
(4-x)*30 + 0x = 4*5 => x= 10/3
7)
Menge
Lösung in %
10
10x + (1-x)45 = 20 => x=5/7 also 5:2
8)
72
HSN FB 05 Brückenkurs Mathematik 2011
Menge in g
Sorte A
Sorte B
Mischung
270
x
270-x
Lösung in %
0,13
0
270*0,13 = 270*0,5 – 0,5x => x= 199,8 Rest ..
0,5
S. 34
a) x=1 oder x=-5
b) x=3 oder x=-3
c) nicht lösbar
d) nicht lösbar
e) x=-10 oder x=-2
f) x=0 oder x=-7
S. 35
1) 102 = (2x)2 + x2
=> x = 4,47
2) h2 + 2,52 = 52
=> h= 4,33
3) d2 = 12 + 12 => e2 = 12 + d2
=> e= √¯3
S. 37
1) 0,00048
2) 3*10-13
3) b-5
4) 1
5) ab+1
6) -18x
7) a-1b-15
8) x6y9z-12
1) 10√¯5
2) 105
3) 7
4) a2 * 3√¯a2
5) √¯a
6) (√¯a3) : a2
7) √¯a - √¯b
8) 7ab3√¯5a
S. 38
S. 41
73
HSN FB 05 Brückenkurs Mathematik 2011
S. 43
f(10) = 400000 * 0,910 ≈ 139471
50000 = 400000 * 0,9x => x= 19,7
S. 45
1a) 3
b) -6
c) 1
g) b=2
h) b>0
i) b=17
2a) x= 0,5785
d) 5
e) 2
f) 12
b) x= 5,3577
S. 46
1a) f(t) = 5*e0,0953t
b) f(t) = 100* 2,117t
2a) f(x) = 1*0,6x
b) x=9,01
c) 7%
3) f(3) = 900, f(6)=25000, f(t)= 32,4 * 3,02t
4a) f(35) = 4*1,01935 = 7,7
b) b35 = 7/4, => 35√¯1,75 = 1,01611 also 1,6%
5a) f(0) = 1, f(244000)= 0,5, f(488000)= 0,25 usw.
f(t)=a*bt , a=1, 0,5 = b244000 , => b= 0,9999971 => f(1000) = 1*0,99999711000 =0,997 also
99,7%
b) 0,1= 0,9999971t => t= 793993 (!)
74
HSN FB 05 Brückenkurs Mathematik 2011
S. 47
Stoff X
M(X) [g/mol]
m(X) [g]
n(x) [mol]
N(X)
S
32
10
0,625
1,875 * 1023
O2
32
1,6
0,05
3 * 1022
NaCl
58
11,6
0,2
1,2 * 1023
S. 48
1) 0,1 mol/L HCl
2,522
2)
=> - lg 0,1 = 1
0,003 mol/L NaOH
Salzsäure mit dem pH - Wert 3,8
=> 10(-3,8) = 0,000158
Blut mit dem pH - Wert 7,4.
=> 10(-7,4) = 3,98 * 10-8
=> - lg 0,003 =
3)
Stoff X
c(X) [mol*L-1]
pH
n(X) [mol]
V [L]
HCl
1
0
1
1
HCl
0,1
1
2
20
HNO3
0,001
3
0,0001
0,1
S. 49
1) x= -3
2) x= -0,5
3) x=0
4) x= -4
2) x=2
3) x=0
4) n.l.
S. 50
1) x= -1
5) x=0,25
S. 52
1) tan α = 4/6, α = 33,7°, β = 56,3°, sin 33,7° = 4/c => c= 7,2
2) sin 45° = 10 / c => c = 14,14
3) cos α = 13/25 => α = 58,7°, β = 31,3°
4) tan 36° = x/18,5 => x= 13,44
5) sin 5° = 70/x => x=803
6) tan 4° = 40/x => x= 572;
tan α = 40/1144 => α = 2,0025°
75
HSN FB 05 Brückenkurs Mathematik 2011
S. 57
Sinusfunktionen
S. 60 Tabellenkalkulationsprogramm
S. 61
1) 5!= 120
2) 10*9*8*7=5040
TR: 10 [nPr] 4
3) (20*19*18*17) : 4! = 4845
S. 65/66 Klausurvorbereitung
76