6. Trigonometrische Funktionen

Inhalte
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Grundlagen
Potenzen, Wurzeln, Logarithmen
Summenzeichen, Produktzeichen
Fakultät, Binomialkoeffizient
Elementare Funktionen
Trigonometrische Funktionen
Lösen von Gleichungen
Vektorrechnung
Matrizen
Differentialrechnung
Brückenkurs Mathematik
6. Trigonometrische
Funktionen
_________________________________________________________
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6.4 Trigonometrie
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6.1 Sinus und Cosinus
Berechnungen am
rechtwinkligen Dreieck
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cos  
AK
H
sin  
GK
H
tan  
sin 
cos 
cos  
Fx
F
sin  
Fy
tan  
Fx
Fy
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6.1 Sinus und Cosinus
F
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6.1 Sinus und Cosinus
Am Einheitskreis sind die
sin  und
Werte von
cos  sofort abzulesen:
Umrechnung von Winkel in Bogenmaß
GK a
 a
H
1
AK b
cos  
 b
H
1
sin  
cos 
a
sin 

b
Trigonometrischer Pythagoras
sin 2   cos 2   1
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1
6.1 Sinus und Cosinus
6.1 Sinus und Cosinus
Definition:
Die Funktionsdarstellung der Sinusfunktion
Eine Funktion f : R R heißt p-periodisch, wenn für
alle x  R gilt:
f ( t )  A sin(  t   )
Definitionsbereich: D=R
Bildbereich: f(D)=[-1,1]
Nullstellen sin: x0  k   , k  Z
Nullstellen cos: x0  k   
k Z

2
,
Dabei ist p eine Konstante. Sie wird Periode der
Funktion f genannt.
Die Funktionen sin x und cos x sind 2 -periodisch.
Periode: 2
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6.1 Sinus und Cosinus
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6.1 Tangens und Cotangens
Additionstheoreme:
cos 

sin 
Am Einheitskreis
sind die Werte von
sin  und cos 
sofort abzulesen:
sin  
AK
H

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6.1 Tangens und Cotangens
6.1 Tangens und Cotangens
Der Tangens berechnet sich
aus der Formel:
Die Werte für tan  und
cot 
sind abzulesen
am Einheitskreis.
cot 
tan x 
GK GK

AK
1
AK AK
cot  

GK
1
tan  

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tan 
mit der Umkehrfunktion:
cos 

sin x
cos x
arctan x  x
sin 
wobei x    arctan x
denn
1
2

sin(45)
 2
 1
1
cos(45)
2
2
1
2
sin 135
tan 135 
 2
 1
cos135  1 2
2
tan( 45) 
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2
6.3 Schwingungen
Definition:
6.3 Schwingungen
Berechnung:
Sei A  0 ,   0 ,   R . Eine Funktion f : R R mit
f ( t )  A sin(  t   )
Periode: p 
2

Startpunkt einer Periode x 0 
heißt Schwingung.
Die Schwingung wird charakterisiert durch ihre
Amplitude A, Kreisfrequenz
 und den
Phasenwinkel  .


Die Amplitude liefert den Bildbereich f(D)=[-A,A]
Gebräuchlich ist der Gebrauch der Variable t für die
Zeit.
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6.3 Schwingungen
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