Zusammenfassung Stochastik

Stochastik – Prof. Dr. Björn Schmalfuß, Zusammenfassung von Florian Schoppmann
Das Copyright für die dieser Zusammenfassung zugrunde liegenden Vorlesungsunterlagen (Skripte, Folien, etc.) liegt beim Dozenten.
Darüber hinaus bin ich, Florian Schoppmann, alleiniger Autor dieses Dokuments und der genannte Dozent ist in keiner Weise verantwortlich.
Etwaige Inkorrektheiten sind mit sehr großer Wahrscheinlichkeit erst durch meine Zusammenfassung/Interpretation entstanden.
Zusammenfassung
Stochastik
(Ω, A) heißt in diesem Fall messbarer Raum.
Hinweis: Es gilt jeweils die letzte Festlegung für
Bezeichnungen. Sie werden (insb. am Anfang von
Lemmata und Sätzen) nicht notwendigerweise wiederholt.
Beispiel: Spur-σ-Algebra (oder nur Spur) von A
in Ω0 ⊆ Ω: A0 = A ∩ Ω0 := {A ∩ Ω0 | A ∈ A} ist
wieder σ-Algebra.
Sofern nicht anders angegeben, bezeichne Ω im Folgenden stets eine Grundmenge.
0. Mengentheorie
Definition: Sei (An ) Mengenfolge, An ⊆ Ω.
i) lim supn→∞ An T
= {ωS∈ Ω | ω ∈ An für unend∞
lich viele n} = ∞
i=1 k=i Ak
ii) lim inf n→∞ AnS= {ω
T∞∈ Ω | ω ∈ An für alle
n ≥ n0 (ω)} = ∞
i=1 k=i Ak
iii) Falls lim supn→∞ An = lim inf n→∞ An = A, so
gilt: An → A (Grenzwert)
iv) (An ) heißt monoton wachsend, wenn An ⊆
An+1 , monoton fallend, wenn An ⊇ An+1 .
Lemma: Jede monotone Mengenfolge hat Grenzwert
1. Mengensysteme und Maße
Folgerung: ∅, endliche Vereinigungen, beliebige
Schnitte sind in einer σ-Algebra enthalten.
Satz: Beliebige Schnitte von σ-Algebren ergeben
wieder eine σ-Algebra.
Definition: Sei B ⊆ P(Ω) Mengensystem. Der
Durchschnitt aller σ-Algebren, die B enthalten,
wird als von B erzeugte σ-Algebra bezeichnet. Symbol: σ(B)
Definition: Ein Mengensystem A heißt Algebra,
wenn:
i) Ω ∈ A
ii) A ∈ A ⇒ Ac ∈ A
iii) A, B ∈ A ⇒ A ∪ B ∈ A
Definition: Ein Mengensystem R heißt Ring,
wenn
i) ∅ ∈ R
ii) A, B ∈ R ⇒ A \ B ∈ R
iii) A, B ∈ R ⇒ A ∪ B ∈ R
Folgerung: Ω ∈ R ⇒ ∀A ∈ R : Ac = Ω \ A ∈
R ⇒ R ist Algebra
1.1 Grundlagen
1.2 Funktionen auf Mengensystemen
Motivation: In der Maßtheorie möchte man (möglichst vielen) Teilmengen M des Rn ein Maß
m(M ) ∈ R zuordnen. Dabei sollen folgende Eigenschaften erfüllt werden:
i) Einheitsquader Q = [0, 1]n hat Maß m(Q) = 1
ii) Maß ist σ-additiv,
d. h. für disjunkte Mk ⊆ Rn :
P
∞
m(∪∞
i=1 Mi ) =
i=1 m(Mi )
iii) Das Maß m ist invariant unter Bewegungen
(= Kongruenzabbildungen)
Definition: Sei R Ring, A σ-Algebra.
i) Eine Abbildung µ : R → [0, ∞] heißt Inhalt,
wenn:
(a) µ(∅) = 0
(b) µ ist (endlich) additiv
µ heißt ferner Prämaß, wenn µ σ-additiv für
Mengenfolgen mit Grenzwert in R ist, also:
Für alle A ∈ R, (An ) Folge mit
S∞paarweise disjunkten
Folgengliedern
in R, i=1 Ai = A gilt:
S
P∞
µ( ∞
A
)
=
µ(A
i
i ) = µ(A)
i=1
i=1
ii) Eine Abbildung ν : A → [0, ∞] heißt Maß,
wenn:
(a) ν(∅) = 0
(b) ν ist σ-additiv
Satz: (Hausdorff, 1914): Selbst unter Abschwächung von Forderung (ii) auf endliche Additivität
gibt es kein derartiges Maß auf ganz Rn für n ≥ 3.
Satz: ( Banach-Tarski-Paradoxon“, 1924): Seien
”
A, B ⊆ Rn beschränkte Mengen mit nichtleerem Inneren, n ≥ 3. Dann gibt es disjunkte
A1 , . . . , Ak ∈S
P(Rn ) und Bewegungen
ϕ1 , . . . , ϕ k ∈
Sn
n
n
E mit A = i=1 Ai und B = i=1 ϕi (Ai )
Definition: Ein Mengensystem A heißt σ-Algebra,
wenn:
i) Ω ∈ A
ii) A ∈ A ⇒ Ac ∈ A
S
iii) (An ) Folge auf A ⇒ ∞
n=1 An ∈ A
Definition: Ein Maß µ : A → [0, ∞] heißt:
σ-endlich: Es S
gibt (An ) in A mit µ(Ai ) < ∞, so
dass Ω = ∞
i=1 Ai
endlich: µ(Ω) < ∞
Wahrscheinlichkeitsmaß: µ(Ω) = 1
Lemma: Sei µ Inhalt auf Ring R.
i) Additionssatz: µ(A ∪ B) + µ(A ∩ B) = µ(A) +
µ(B)
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Stochastik – Prof. Dr. Björn Schmalfuß, Zusammenfassung von Florian Schoppmann
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ii) Monotonie: A ⊆ B ⇒ µ(A) ≤ µ(B)
S
P
iii) Subadditivität: µ( ni=1 Ai ) ≤ ni=1 µ(Ai )
(σ-Subadd., falls µ Maß und R σ-Algebra)
Satz: (Stetigkeit des Maßes) Sei ∀A ∈ R : µ(A) <
∞. Dann sind äquivalent:
i) µ ist Prämaß
ii) Für alle Folgen (An ) in R, (An ) wachsend,
An → A ∈ R gilt: limn→∞ µ(An ) = µ(A)
iii) Für alle Folgen (An ) in R, (An ) fallend, An →
A ∈ R gilt: limn→∞ µ(An ) = µ(A)
iv) Für alle Folgen (An ) in R, (An ) fallend, An →
∅ gilt: limn→∞ µ(An ) = µ(∅) = 0
1.3 Das Lebesgue’sche Prämaß
Definition: Die Menge der Intervallvereinigungen
von endlich vielen halboffenen Intervallen in Rd
wird mit Rd bezeichnet.
P
i) µ∗ : P(Ω) → R, µS∗ (Q) := inf{ ∞
n=1 µ(An ) |
(An ) Folge in R, ∞
A
⊇
Q},
ist äußeres
n=1 n
Maß
ii) µ∗ R = µ
Satz: (Eindeutigkeitssatz) Sei µ σ-endliches Prämaß auf einem Ring R. Dann kann µ eindeutig auf
σ(R) fortgesetzt werden.
Definition: Die eindeutige Forsetzung des Elemtarinhaltes auf dem Ring Rd auf σ(Rd ) heißt
Lebesgue-Maß.
Definition: B(Rd )
Borel-σ-Algebra.
=
Bd
:=
σ(Rd ) heißt
Satz: B d wird ebenfalls erzeugt von den offenen,
abgeschlossenen und kompakten Mengen.
Definition: Sei F : R → R monoton wachsende,
rechtsstetige Funktion. Der durch µ : R → [0, ∞],
µ((a, b]) := F (b)−F (a) definierte Inhalt auf R kann
zu einem Maß auf B 1 fortgesetzt werden.
Satz: Rd ist Ring.
Q
Lemma: Der durch (a, b] 7→ di=1 (bi − ai ) induzierte Elementarinhalt λ ist Inhalt auf Rd .
3. Messbare Funktionen
Satz: λ ist sogar Prämaß auf Rd .
Definition: Eine Funktion (Ω1 , F1 ) → (Ω2 , F2 )
heißt (F1 , F2 )-messbar, falls für alle A2 ∈ F2 gilt:
f −1 (A2 ) = ({ω1 ∈ Ω1 | f (ω1 ) ∈ A2 }) ∈ F1 .
2. Fortsetzung von Prämaßen zu Maßen
Satz: (Erzeugersatz) Sei E Erzeuger von F2 , f :
(Ω1 , F1 ) → (Ω2 , F2 ) Abbildung und für alle E ∈ E
gelte: f −1 (E) ∈ F1 . Dann ist f messbar.
Motivation: Gegeben ein Prämaß f mit Definitionsbereich A, wobei A Ring. Es sei A ⊂ B, wobei B
σ-Algebra. Gesucht: Maß f ∗ mit Definitionsbereich
B.
Folgerung: Stetige Abbildungen f : Rd → Rd sind
messbar bzgl. B d .
Definition: Eine Abbildung µ∗ : P(Ω) → R heißt
äußeres Maß, wenn:
i) µ∗ (∅) = 0
ii) µ∗ monoton
iii) µ∗ σ-subadditiv
Satz: Hintereinanderausführungen messbarer Abbildungen sind messbar.
Im Allgemeinen
sind äußere Maße keine Maße.
(
0 wenn A = ∅
Z. B.: A 7→
1 sonst
Satz: Sei f : (Ω, F) → (R, B) Abbildung. Es sind
äquivalent:
i) f ist messbar
ii) Für alle β ∈ R gilt: {f ≤ β} := {ω ∈ Ω |
f (ω) ≤ β} = f −1 ([−∞, β]) ∈ F
Definition: Eine Menge A ∈ P(Ω) heißt
µ∗ -messbar, wenn für alle Q ∈ P(Ω), µ∗ (Q) < ∞
gilt: µ∗ (Q) ≥ µ∗ (Q ∩ A) + µ∗ (Q ∩ Ac )
Lemma: A ∈ P(Ω) ist µ∗ -messbar ⇔ In vorheriger
Definition gilt =“
”
Satz: (Carathéodory, 1914) Sei µ∗ äußeres Maß.
Dann ist Aµ∗ := Mengensystem
der µ∗ -messbaren
∗
Mengen σ-Algebra und µ A ∗ ist Maß auf Aµ∗ .
µ
Satz: (Fortsetzungssatz) Sei µ Prämaß auf einem
Ring R. Dann gilt:
2
3.1 Reellwertige Abbildungen
Satz: Ist g messbare Funktion wie f , so gilt: {f ≤
g}, {f < g}, · · · ∈ F
Satz: Summe und Produkt messbarer Funktionen
ist messbar
Satz: Sei (f i ) Folge von messbaren Funktionen. Dann sind supn∈N fn , inf n∈N fn ,
lim supn∈N fn , lim inf n∈N fn messbar. Ferner ist
f (ω) := limn→∞ fn (ω) (punktweise Grenzwerte)
messbar.
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Darüber hinaus bin ich, Florian Schoppmann, alleiniger Autor dieses Dokuments und der genannte Dozent ist in keiner Weise verantwortlich.
Etwaige Inkorrektheiten sind mit sehr großer Wahrscheinlichkeit erst durch meine Zusammenfassung/Interpretation entstanden.
Definition: Sei f : Ω → R. f + := max(f, 0), f − :=
− min(f, 0). M+ (Ω, F) := Menge (F, R)-messbarer
nicht negativer Funktionen auf Ω mit Werten in R.
Definition: Ein Maßraum heißt vollständig, wenn
jede Teilmenge einer Menge vom Maße 0 zur σAlgebra gehört.
Definition: Eine Abbildung f : (Ω, F) → R heißt
messbare nicht negeative Treppenfunktion,
wenn
P
sie sich darstellen lässt als f (ω) = ni=1 αi 1Ai (ω)
für eine Menge {α1 , . . . , αn } ⊂ R+ und eine endlin
che Folge
Sn(Ai )i=1 mit disjunkten Folgenglieder aus
F und i=1 Ai = Ω. Die Menge messbarer nicht
negativer Treppenfunktionen wird mit T + bezeichnet.
Lemma: Jeder Maßraum kann vervollständigt werden.
Satz: Sei f Abbildung f : (Ω, F) → R. Es ist äquivalent:
i) f ∈ M+
ii) f (ω) = limn→∞ un (ω) für eine Folge (un ) von
wachsenden Funktionen aus T + .
4. Integration messbarer Funktionen
Definition: Sei µ Maß auf (Ω, F). Das Integral
einerPTreppenfunktion f : (Ω, F) → R aus T + ,
fR = ni=1P
αi 1Ai , wird definiert als:
f dµ := ni=1 αi µ(Ai ).
Lemma:
Es gilt:
R
i) R 1A dµ = µ(A)
R
ii) βf dµ = β f dµ für β ∈ R+
iii) RSei f 0 weitereRTreppenfunktion
wie f . Dann:
R
(f + f 0 )µR = f dµR + f 0 dµ
iv) f ≤ f 0 ⇒ f dµ ≤ f dµ.
Definition: Sei f ∈ M+ , µ Maß auf (Ω, F), (un )
Folge von
Treppenfunktionen
in T + , un % f .
R
R
Dann: f dµ := limn→∞ un dµ ∈ [0, ∞].
Lemma:
Sei v R∈ T + , v ≤ limn→∞ un . Dann:
R
vdµ ≤ limn→∞ un dµ.
Folgerung: Die Definition des Integrals ist wohldefiniert (unabhängig der Wahl von un )
Satz: Es gelten die Integraleigenschaften für Treppenfunktionen
in M+ . Dann
RSatz:
R
P∞ (fn ) seiPFunktionenfolge
i=1 fn dµ =
i=1 fn dµ. (∞ zulässig)
Definition: Sei Rµ Maß auf (Ω,RF), f messbare reellw. Funktion, f + dµ < ∞,R f − dµ < R∞. Dann
f + dµ −
f µ-integrierbar und f dµ :=
Rheißt
−
f dµ ∈ R.
Folgerung: f µ-int’bar ⇔ |f | µ-int’bar
Definition: Sei A Eigenschaft bzgl. der Elemente
aus Ω. Dann gilt A fast überall (fast sicher), falls
es ein NA ∈ F gibt mit µ(NA ) = 0 und für alle
ω ∈ NAc gilt A.
5. Lebesgue-Räume
Es sei im Folgenden stets (Ω, F, µ) ein Maßraum.
Definition: RL1 (µ) := Menge der µ-int’baren
Funktionen ( |f |dµ < ∞)
Für p > 1: Lp (µ) := Menge der messbaren Funktionen, für die |f |p µ-int’bar ist.
L∞ (µ) := Menge der µ-fast überall beschränkten
FunktionenR
1/p
Np (f ) :=
|f |p dµ
< ∞ (= kf kp )
Satz: (Hölder-Ungleichung) Seien p, q > 1,
1, f ∈ Lp (µ), g ∈ Lq (µ). Dann:
N1 (f · g) ≤ Np (f ) · Nq (g)
1
p
+ 1q =
Satz: (Minkowski-Ungleichung) Seien f, g ∈ Lp (µ),
p ≥ 1. Dann:
Np (f + g) ≤ Np (f ) + Np (g)
Bemerkungen: Lp (µ), p ≥ 1 und L∞ (µ) sind Vektorräume. N p (·) definiert aber noch keine Norm,
daher:
Definition: N := {f : Ω → R messbar | f =
0 fast überall}
Lp (µ) := Lp (µ)/N (Restklasse bzgl. Addition)
In Worten: Die Elemente von Lp (µ) sind Klassen
von Funktionen, die paarweise fast überall gleich
sind. Folglich kann Np eindeutig auf Lp (µ) erweitert/neu definiert werden.
Lemma: Lp (µ) ist normierter Raum: kF kp =
Np (F )
Bemerkungen: Lp (µ) sind Banach-Räume (also
Vektorräume V über einem Körper mit einer Norm
und einer durch diese Norm induzierten Metrik, bezüglich derer jede Cauchy-Folge aus Elementen von
V gegen ein Element von V konvergiert).
6. Konvergenzarten und -sätze
Definition: Sei (fn : Ω → F) Folge messbarer
Funktionen. (fn ) konvergiert gegen f :
fast überall: Es gibt ein N ∈ F gibt mit µ(N ) = 0
und ∀ω ∈ N c : limn→∞ fn (ω) = f (ω).
dem Maße nach: ∀ε > 0, A ∈ F, µ(A) < ∞:
limn→∞ µ({|fn − f | > ε} ∩ A) = 0. Symbol:
µ limn→∞ fn = f
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Das Copyright für die dieser Zusammenfassung zugrunde liegenden Vorlesungsunterlagen (Skripte, Folien, etc.) liegt beim Dozenten.
Darüber hinaus bin ich, Florian Schoppmann, alleiniger Autor dieses Dokuments und der genannte Dozent ist in keiner Weise verantwortlich.
Etwaige Inkorrektheiten sind mit sehr großer Wahrscheinlichkeit erst durch meine Zusammenfassung/Interpretation entstanden.
im p-ten Mittel: limn→∞ Np (fn − f ) = 0. Symbol:
Lp (µ) limn→∞ fn = f
Lemma: (Chebyshev, Markov) Sei Rp > 0, α > 0,
f ∈ Lp (µ). Dann µ({|f | > α}) ≤ α1p |f |p dµ.
Konvergenzbeziehungen
Satz: (Monotone Konvergenz, Satz von Beppo Levi) Sei (fn )n∈N monoton
wachsende
Folge in M+ .
R
R
Dann gilt limn→∞ fn dµ = limn→∞ fn dµ. (∞ ist
möglich)
Satz: (Lemma von Fatou)
R Sei (fn )n∈N Folge in M+R. Dann gilt
lim inf n→∞ fn dµ ≤
lim inf n→∞ fn dµ.
Satz: (Majorisierte Konvergenz) Sei (fn ) Funktionenfolge, limn→∞
R fn = f f. ü., fn , f int’bar. Ferner
|fn | ≤ g f. ü., gdµ < ∞ für messbare Funktion g.
Dann: R
R
R
limn→∞ R fn dµ = limn→∞ fn dµ = f dµ und
limn→∞ |fn − f |dµ = 0
Satz: Sei f : R → R Riemann-int’bare
R Funktion,
Rb
λ sei Lebegue-Maß. Dann: a f (x)dz = [a,b] f dλ
Satz: (Stetigkeitssatz für Parameter-Integrale) Seien X metrischer Raum, x0 ∈ X, f : X × Ω → R
Abbildung. Ferner:
i) ω 7→ f (x, ω) ∈ L1 (µ) für alle x ∈ X
ii) x 7→ f (x, ω) stetig in x0 für alle ω ∈ Ω
iii) ∃h ∈ L1 (µ) mit |f (x, ω)| ≤ h(ω) für alle ω ∈ Ω,
x ∈ X.
R
Dann gilt: x 7→ f (x, ·)dµ ist stetig in x0 .
Satz:
(Differentiationssatz
für
ParameterIntegrale) Seien I ⊆ X offene Teilmenge eines
metrischen Raums X, f : I × Ω → R Abbildung.
Ferner:
i) ω 7→ f (x, ω) ∈ L1 (µ) für alle x ∈ I
ii) x 7→ f (x, ω) diff’bar auf I mit Ableitung
f 0 (·, ω) für alle ω ∈ Ω
iii) ∃h ∈ L1 (µ) mit |f 0 (x, ω)| ≤ h(ω) für alle ω ∈
Ω, x ∈ I.
R
Dann gilt: g : I → R, g(x) := f (x, ·)dµ ist diff’bar
auf I, ωR 7→ f 0 (x, ω) ∈ L1 (µ) für alle ω ∈ Ω und
g 0 (x) = f (x, ·)dµ.
7. Transformation von Maßen
Definition: Sei T : (Ω, F) → (Ω0 , F 0 ) messbar,
µ : F → R Maß auf F. Dann heißt µT : F 0 → R,
µT := µ ◦ T −1 , Bildmaß von µ unter T . (In der
Vorlesung auch Tµ genannt.)
R
1
0
0
RSatz: Sei f ∈ L (Ω , F , Tµ ). Dann gilt: f dTµ =
f ◦ T dµ
4
Satz: (Transformationssatz) Seien U, V ⊆ Rn offen, ϕ : U → V ein C 1 -Diffeomorphismus. Dann:
i) f : V → R ist λ-int’bar über V ⇔ f ◦ ϕ ·
| det Dϕ|
über U
R ist λ-int’bar
R
ii) −∞ < V f dλ = U f ◦ ϕ · | det Dϕ|dλ < ∞
8. Der Satz von Radon/Nikodym
Satz: SeiR f ∈ M+R, µ Maß. Dann ist υ : F → R,
υ(A) := A f dµ = f 1A dµ ein Maß.
Definition: Es gelte die Gleichung des vorigen Satzes. Dann heißt f Dichte von υ bzgl. µ. Andere
Schreibweise für υ ist f µ, motiviert durch den
folgenden Satz:
Satz: Sei g : Ω → R
R messbare
R und υ-int’bare Abbildung. Dann gilt gdυ = g · f dµ.
Satz: Seien f, g ∈ M+ . Dann gilt: g (f µ) =
(g · f ) µ
Definition: Seien υ, µ Maße. υ heißt µ-absolutstetig, falls jede µ-Nullmenge auch υ-Nullmenge ist.
Symbol: υ µ.
Satz: Folgende Aussagen sind äquivalent, falls υ
endlich ist:
i) υ µ
ii) ∀ε > 0 : ∃δ > 0 : ∀A ∈ F, µ(A) < δ : υ(A) < ε
Satz: (Radon/Nikodym) Seien υ, µ Maße, µ σendlich, υ µ. Dann gibt es ein fast überall eindeutiges f ∈ M+ mit υ = f µ.
Definition: Seien υ, µ Maße. υ heißt singulär bzgl.
µ, wenn es ein N ∈ F gilt mit: υ(N c ) = µ(N ) = 0.
Symbol: υ ⊥ µ.
Satz: (Erster Zerlegungssatz) Seien υ, µ σ-endliche
Maße. Dann gibt es eindeutige υ1 , υ2 mit υ = υ1 +
υ2 und υ1 µ und υ2 ⊥ µ.
Definition: Eine Funktion F : [a, b] → R heißt
absolutstetig, wenn ∀ε > 0 : ∃δ
Pn> 0 : ∀a ≤ α1 <
β
≤
α
<
β
≤
·
·
·
<
β
≤
b,
2
2
n
i=1 (βi − αi ) < δ :
P1 n
i=1 |F (βi ) − F (αi )| < ε.
Satz: (Zweiter Zerlegungssatz) Sei F : R → R
rechtsstetige monoton wachsende Funktion. Dann
lässt sich das Stieltjes Maß µF darstellen als: µF =
µabs + µsing + µ0 . Dabei gilt: µabs λ, µsing ⊥ λ
mit stetiger Stieltjes Funktion und µ0 hat Stieltjes
Funktion, die nur an Sprungstellen wächst.
9. Produktmaße, Satz von Tonelli/Fubini
Definition: Seien (Ωi , Fi ) für i = 1, . . . , n
messbare Räume, Ω = ×ni=1 Ωi . Dann heißt
Stochastik – Prof. Dr. Björn Schmalfuß, Zusammenfassung von Florian Schoppmann
Das Copyright für die dieser Zusammenfassung zugrunde liegenden Vorlesungsunterlagen (Skripte, Folien, etc.) liegt beim Dozenten.
Darüber hinaus bin ich, Florian Schoppmann, alleiniger Autor dieses Dokuments und der genannte Dozent ist in keiner Weise verantwortlich.
Etwaige Inkorrektheiten sind mit sehr großer Wahrscheinlichkeit erst durch meine Zusammenfassung/Interpretation entstanden.
:= σ({×ni=1 Fi | Fi ∈ Fi für i = 1, . . . n})
Produkt-σ-Algebra über Ω.
Nn
i=1 Fi
Lemma: Es seien Fi = σ(Ei ) und es gebe Folgen
(E
Nni,k )k∈N % Ωi inn Ei für i = 1, . . . , n. Dann gilt:
i=1 Fi = σ({×i=1 Ei | Ei ∈ Ei für i = 1, . . . , n})
Satz: Seien (Ωi , Fi , µi ) σ-endliche Maßräume für
i = 1,
N.n. . , n. Dann
Nngibt es genau n ein Maß
µ
i=1 µi auf
i=1 Fi mit µ(×i=1 Ai ) =
Qn=:
µ
(A
)
für
A
∈
F
.
i
i
i Es gilt dann:
i=1 i
i) µ ist durch iterative Integration berechenbar –
Vertauschbarkeit der Integrationsreihenfolge.
ii) µ ist σ-endlich.
Der Einfachheit halber sei im Folgenden n = 2.
Lemma: Sei f : (Ω1 × Ω2 , F1 ⊗ F2 ) → (R, B) messbare Abbildung. Dann sind fω1 : (Ω2 , F2 ) → (R, B),
fω1 (ω2 ) := f (ω1 , ω2 ) und fω2 mit analoger Definition messbar.
Satz: (Tonelli/Fubini) Seien (Ωi , Fi , µi ) σ-endliche
Maßräume für i = 1, 2, (Ω, F, µ) = (Ω1 × Ω2 , F1 ⊗
F2 , µ1 ⊗ µ2 ). Sei f ∈ M+ (Ω, F).
R
i) RDie Abbildungen ω2 7→ fω2 dµ1 und
R ω1 7→
Ferner (*): f dµ =
RRfω1 dµ2 sind messbar.
RR
fω2 dµ1 dµ1 =
fω1 dµ2 dµ1
ii) Sei f int’bar bzgl. µ. Dann: fω1 , fω2 sind µ2 bzw. µ1 -int’bar
für fast alle ω2 Rbzw. ω1 . Ferner
R
sind ω1 7→ fω1 dµ2 und ω2 7→ fω2 dµ1 int’bar
und es gilt (*).
Folgerung: Seien f1 , f2 messbare Abbildungen.
Dann gilt: (f1 µ1 ) ⊗ (f2 µ2 ) = f (µ1 ⊗ µ2 ).
Dabei ist f (x1 , x2 ) = f1 (x1 ) · f2 (x2 ).
10. Einführung in die Wkt’theorie
Definition: Ein Maßraum (Ω, F, P ) heißt
Wkt’raum, wenn P Wkt’maß ist. Ist dies der Fall
und seien ferner (Ω0 , F 0 ) messbarer Raum und
X : Ω → Ω0 eine (F, F 0 )-messbare Abbildung,
dann heißt X Zufallsvariable (ZV).
Definition: Sei X ZV. Das Bildmaß PX = P ◦X −1
heißt Verteilung von X.
+
1
RDefinition: Sei X ∈ M ∩ L (P ) ZV. E X :=
XdP heißt Erwartungswert der ZV X.
Lemma: R(Allgemeine
E(g ◦ X) = gdPX
Transformationsformel)
Definition: Die mittlere quadratische Abweichung
vom Erwartungswert, V(X) = D2 X := p
E(X −
E X)2 ∈ [0, ∞] heißt Varianz der ZV X. V(X)
heißt Streuung.
Satz: Sei X ZV. Eigenschaften der Varianz:
i)
ii)
iii)
iv)
v)
X ∈ L2 (P ) ⇔ V(X) < ∞
V (X) = E(X 2 ) − (E X)2
V(aX + b) = a2 V(X) für a, b ∈ R
(E X)2 ≤ E(X 2 )
P (|X − E X| > α) ≤ V(X)
für α > 0
α2
Definition: Sei p ∈ N, q ≥ 1. Dann heißt:
i) E X p p-tes Moment,
ii) E(X − α)p p-tes α-zentriertes Moment,
iii) E |X|q q-tes absolutes Moment und
iv) E |X − α|q q-tes absolutes α-zentriertes
Moment.
n und VerDefinition: Eine ZV X mit Werten in
PR
∞
teilung PX heißt diskret, wenn PX = i=1 αi δxi für
xi ∈ Rd für unterschiedliche xi und positive αi .
Definition: X heißt stetig, wenn PX = f λ für
eine Abbildung f , die fast überall Dichte von PX
bzgl. des Lebesgue-Maßes λ in Rn ist.
Satz: Sei (Xn ) Folge von ZV, Xn
∼
Bin(n, pn ), limn→∞ npn
=
λ. Dann gilt
limn→∞ Bin(n, pn )({τ }) = Poi(λ)({τ }) für τ ∈ N0 .
Lemma: Sei X ∼ N(µ, σ 2 ). Dann gilt: aX + b ∼
N(aµ + b, |a|2 σ 2 )
Lemma:
Seien
X1 , . . . , X n
unabhängige,
Pn
2
N(µP
ZV.
Dann
gilt:
i , σi )-verteilte
i=1 Xi ∼
P
N ( ni=1 µi , ni=1 σi2 ).
Definition: Sei (Xi )i∈I Folge von (Ωi , Fi )-ZV.
Wenn für jede nicht-leere Indexmenge {i1 , . . . , in }
und jede Wahl von Mengen Fik ∈ Fik , k =
1, . . . , n, gilt, dass P (Xi1 ∈ Fi1 , . . . , Xik ∈ Fik ) =
Q
n
k=1 P (Xik ∈ Fik ), dann heißt die Folge (Xi )
unabhängig.
11. Mehrstufige Zufallsexperimente
Definition: Seien Xi (Ωi , Fi )-ZV. Die Verteilung PX der ZV X := (X1 , . . . , XN
n ), PX (A) :=
n
P ((X1 , . . . , Xn ) ∈ A) für A ∈
i=1 Fi , heißt
gemeinsame Verteilung der ZV Xi .
Definition: Die PXi (A) := P (Xi ∈ Ai ) heißen
Randverteilungen.
Definition: Seien X, Y ∈ L2 (P ) ZV. Dann:
i) CoV(X, Y ) := E[(X − E X)(Y − E Y )] heißt
die Kovarianz von X, Y .
ii) Corr(X, Y ) = %(X, Y ) := √CoV(X,Y )
∈
V(X)·V(Y )
[−1, 1] heißt Korrelationskoeffizient von X, Y .
Satz: Eigenschaften:
i) CoV(X, X) = V(X)
ii) CoV(X, Y ) = E XY − E X · E Y
5
Stochastik – Prof. Dr. Björn Schmalfuß, Zusammenfassung von Florian Schoppmann
Das Copyright für die dieser Zusammenfassung zugrunde liegenden Vorlesungsunterlagen (Skripte, Folien, etc.) liegt beim Dozenten.
Darüber hinaus bin ich, Florian Schoppmann, alleiniger Autor dieses Dokuments und der genannte Dozent ist in keiner Weise verantwortlich.
Etwaige Inkorrektheiten sind mit sehr großer Wahrscheinlichkeit erst durch meine Zusammenfassung/Interpretation entstanden.
iii) CoV(aX +b, cY +d) = ac CoV(X, Y ) für a, b ∈
R
P
P
iv) V( Pni=1 ai Xi ) = ni=1 a2i V (Xi )
+2 1≤i<j≤n ai aj CoV(Xi , Xj )
v) | Corr(X, Y )| = 1 ⇔ Y = aX + b fast überall
Lemma: Seien X1 , . . . ,P
Xn ∈ L2 (P )P
paar. unkorrelierte ZV. Dann gilt V( ni=1 Xi ) = ni=1 V(Xi ).
Satz: Seien X, V ZV. Es ist äquivalent:
i) X, Y unabhängig
ii) FX,Y (x, y) = FX (x) · FY (y)
iii) fX,Y (x, y) = fX (x)fY (y), wenn FX,Y diff’bar
bei (x, y)
Satz: Seien X, Y unkorrelierte normalverteilte ZV.
Dann sind X, Y unabhängig.
Definition: Sei T : (Rn ×Rn , B n ⊗B n ) → (Rn , B n )
messbare Abbildung, T (x, y) = x + y. Seien µ1 , µ2
endliche Maße auf B n . Dann heißt µ1 ∗ µ2 :=
Tµ1 ⊗µ2 = (µ1 ⊗ µ2 ) ◦ T −1 Faltungsprodukt von µ1
und µ2 .
Satz: Seien µ1 , µ2 , µ3 endliche Maße. Dann:
i) µ1 ∗ µ2 = µ2 ∗ µ1
ii) µ1 ∗ (µ2 + µ3 ) = µ1 ∗ µ2 + µ1 ∗ µ3
iii) µ1 ∗ (αµ2 ) = (αµ1 ) ∗ µ2 = α(µ1 ∗ µ2 ) für α ≥ 0
iv) µ1 ∗ (µ2 ∗ µ3 ) = (µ1 ∗ µ2 ) ∗ µ3
Lemma: Seien X, Y unabhängige ZV. Dann gilt:
c
\
\
Pc
X PY = PX+Y = PX ∗ PY
Lemma: Es gilt: X, Y unabhängig ⇔ P[
X,Y (x, y) =
c
Pc
(x)
P
(y)
X
Y
Satz: (Inversionsformel, Eindeutigkeitssatz für
char. Funktionen) Sei X ZV mit Verteilungsfunktion F und char. Funktion Pb. Ferner sei G(x) :=
1
F (x− )). Dann gilt: G(b) − G(a) =
2 (F (x) +
R N e−iax −e−ibx
limN →∞ −N
Pb(x)dx.
2πix
Folgerung: Seien X, Y ZV mit gleicher char. Funktion. Dann gilt: PX = PY .
Satz: Sei die char. Funktion von X (absolut
int’bar). Dann gilt für die Dichte fX (x) =
R −ihx,yi
1
Pc
X (y)dλ(µ)
2π R e
Satz: (Entwicklungssatz) Sei X ZV mit E |X|n <
Pn (ix)k
k
∞. Dann: Pc
X (x) = 1 +
k=1 k! E X + Rn (x).
k
k
Ferner Pc
X (0) = i E X für k ∈ N0 und Rn (x) =
o(|X|n ).
Definition: Sei X := (X1 , . . . , Xn ) zufälliger Vektor, n ≥ 2. Dann heißt E X := (E X1 , . . . , E Xn )
Erwartungsvektor und CoV(X) := (E((Xi −
E Xi )(Xj − E Xj )))i,j=1,...,n Kovarianzmatrix.
Lemma: Seien P1 = f1 λ, P2 = f2 λ, fR1 , f2 ≥ 0.
Dann gilt: P1 ∗ P2 = f λ für f (x) = R f1 (x −
y)f2 (y)dλ(y)
Definition: Ein zufälliger Vektor X heißt normalverteilt, falls er die gemeinsame Dichte fX (x) =
T −1
1 n/2
) (det C)1/2 e−1/2(x−m) C (x−m) ∼ N (m, C)
( 2π
hat, wobei m ∈ Rn und C pos. definitive, symmetrische d × d-Matrix ist.
Lemma: Seien f1 , f2 Wkt’dichten bzgl.
R λ von
ZV X1 , X2 . Dann gilt: FX1 +X2 (z) = R F1 (z −
y)F2 (y)dλ(y)
Satz: Sei X ∼ N (m, C) ZV, m ∈ Rn , C
post. definit, symm. Dann gilt N\
(m, C)(x) =
eihm,xi−1/2·hx,Cxi und m = E X, C = CoV(X).
Satz: Seien P1 ∼ N(µ1 , σ12 ), P2 ∼ N(µ2 , σ22 ). Dann
gilt: P1 ∗ P2 ∼ N(µ1 + µ2 , σ12 + σ22 ).
12. Die charakteristische Funktion
Definition: Sei µ ein endliches Maß auf
(Rn , B n ).
R
Dann heißt µ
b : Rn → R, µ
b(x) := eihx,yi dµ(y)
charakteristische Funktion. Falls P Wkt’verteilung
ist, definiere: PbX (x) = E eihx,Xi .
Satz: Eigenschaften der char. Funktion:
i) Pb(−x) = Pb(x) (konj. kompl.)
ii) X ∼ PX ∼ Pc
X und aX + b ∼ PaX+b ∼
ibX
c
e PX (aX) für X reellwertig
iii) Pb(0) = 1, |Pb(x)| ≤ 1
iv) Pb ist gleichmäßig stetig
v) Pb ist nicht negativ definit
6
12.1 Der Stetigkeitssatz
Definition:
Sei
(Pn )n∈N
Folge
von
n
Wkt’verteilungen und P0 Wkt’vert. auf (R , B n ).
(Pn ) heißt schwach konvergent gegen P0 , wenn für
jede stetige beschränkte
Funktion
f : R → R
R
R
gilt: limn→∞ f dPn
=
f dP0 . Symbole:
w
wlimn→∞ Pn = P0 , Pn −
→ P0 .
Definition: Sei (Xn )n∈N Folge von ZV, X0 ZV mit
Werten in (Rn , B n ). Dann heißt (Xn ) konvergent in
w
Verteilung gegen X0 , wenn PXn −
→ PX0 . Symbole:
L
L limn→∞ Xn = X0 , Xn −
→ X0 .
Satz: Sei (Xn ) Folge von ZV auf (Ω, F, P ). Ist
X0 P -fast sicher konstant, so gilt: L limn→∞ Xn =
X0 ⇔ P limn→∞ Xn = X0 .
Stochastik – Prof. Dr. Björn Schmalfuß, Zusammenfassung von Florian Schoppmann
Das Copyright für die dieser Zusammenfassung zugrunde liegenden Vorlesungsunterlagen (Skripte, Folien, etc.) liegt beim Dozenten.
Darüber hinaus bin ich, Florian Schoppmann, alleiniger Autor dieses Dokuments und der genannte Dozent ist in keiner Weise verantwortlich.
Etwaige Inkorrektheiten sind mit sehr großer Wahrscheinlichkeit erst durch meine Zusammenfassung/Interpretation entstanden.
Satz: Sei (Xn ) Folge von ZV, X0 ZV mit Werten in (R, B). Dann: L limn→∞ Xn = X0 ⇔
limn→∞ FXn (x) = FX0 (x) für alle Stetigkeitspunkte von FX0 .
Vorlesung vom 14.12.
13. Asymptotisches Verhalten von Summen von Zufallsvariablen
13.1 Verallgemeinerung des zentralen
GWS
Definition: Sei X := (Xn )n∈N Folge von unabhängigenP
ZV, Xn ∈ L2 (P ). Setze: ξn := E Xn ,
sn := V ( ni=1 Xn ). Ferner
n Z
1 X
X
Ln (ε) :=
(Xi − ξi )2 dP.
1/2
sn
{|Xi −ξi |≥εsn }
i=1
Dann genügt (Xn ) der Lindeberg-Bedingung, wenn
für jedes ε > 0 gilt: limn→∞ Ln (ε) = 0.
Satz: (Lindeberg, Feller) Lindeberg-Bedingung
gilt
Pn
i=1 (Xi −ξi )
genau dann, wenn L limn→∞
= N (0, 1)
1/2
R1
I := 0 f (x)dx. Dann gilt: limn→∞
E(f (Uk )) = E X = I.
1
n
Pn
i=1 f (Uk )
=
Definition: Lineare Kongruenzmethode zur Erzeugung von U[0, 1]-ZV: xn+1 = (axn + c)modm.
Satz: Seien a, c teilfremd, p | (a − 1), p prim, p | m,
falls 4 | m: 4 | a − 1. Dann gilt: Länge der Periode
ist m.
Satz: Sei F invertierbar (streng monoton wachsend), U ∼ U[0, 1] ZV. Dann hat X = F −1 (U )
Verteilungsfunktion F .
Definition: Sei F : R → R Funktion. Dann heißt
x → inf{z ∈ R | F (z) ≥ x} die verallgemeinerte
Inverse von F . Dabei seien inf R = −∞, inf ∅ =
+∞.
Box-Muller-Verfahren
15. Zuverlässigkeitstheorie
Definition: Sei T ZV, die eine Lebensdauer darstellt. Dann heißt R(t) := P (T > t)
Überlebensfunktion und λ(t) = limh&0 h−1 P (t <
T ≤ t + h | T > t) Ausfallrate von T .
sn
und limn→∞ maxj≤n
V (Xj )
V (Sn )
= 0.
16. Aktien und Optionen
Definition: (Xn ) genügt der Lyapunov-Bedingung, wenn
lim
n→∞
1
n Z
X
1+δ/2
sn
i=1
|Xi − ξi |2+δ dP = 0
für ein δ > 0.
13.2 Das Gesetz vom iterierten Logarithmus
Satz: Sei (Xn )n∈N FolgePvon iid-ZV, µ := E X,
σ 2 := V(Xn ) < ∞, Sn = ni=1 Xi . Dann gilt:
1/2
Sn
n
lim supn→∞ 2σ2 ln(ln(n))
n − µ = 1 und
1/2
Sn
n
lim inf n→∞ 2σ2 ln(ln(n))
n − µ = −1
E(exX1 )
Satz: Seien E X1 = 0, M (x) :=
endlich,
α > 0, P (X1 , > 0) > 0. Ferner sei:
ψ(a) := − ln(inf ε>0 {eαt M (t)}) > 0. Dann gilt:
limn→∞ P (Sn > na)1/n = e−ψ(α) .
14. Simulation und Zufallsgeneratoren
Satz: Sei (Uk )k∈N Folge von unabh., U(0, 1)-vert.
ZV. Sei f : [0, 1] → [0, 1] int’bare Funktion,
Vorlesung vom 13.1., Black-Scholes-Formel
17. Einführung in die Statistik
Definition: Allgemeines statistisches Modell:
(X, F, Pθ , θ ∈ Θ), wobei X Stichprobenraum, F
σ-Algebra auf X, {Pθ | θ ∈ Θ} Familie von
Wkt’maßen auf F und
N Θ Parametermenge. Ein Modell der Form (E n , ni=1 E,×ni=1 Qθ , θ ∈ Θ) heißt
n-fach Modell.
Definition: Sei X := (X1 , . . . , Xn ) ∈ E n iid
ein Zufallsvektor. Ferner sei Tn : E n → Θ eine Abbildung. Dann nennt man die Zufallsvariable
Tn (X1 , . . . , Xn ) eine Schätzung und die Abbildungen (Tn )n∈N Schätzer.
Definition: Ein Schätzer heißt konsistent, falls
P
θ
Tn −→
θ für n → ∞.
Definition: Ein Schätzer heißt erwartungstreu,
wenn E Tn (X1 , . . . , Xn ) = θ gilt.
Vorlesung vom 20.1.
Definition: Ein Schätzer T heißt bester Schätzer
für alle erwartungstreuen Schätzer, falls Vθ (T ) ≤
Vθ (S) für alle anderen erwartungstreuen Schätzer
S und für alle θ ∈ Θ.
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Stochastik – Prof. Dr. Björn Schmalfuß, Zusammenfassung von Florian Schoppmann
Das Copyright für die dieser Zusammenfassung zugrunde liegenden Vorlesungsunterlagen (Skripte, Folien, etc.) liegt beim Dozenten.
Darüber hinaus bin ich, Florian Schoppmann, alleiniger Autor dieses Dokuments und der genannte Dozent ist in keiner Weise verantwortlich.
Etwaige Inkorrektheiten sind mit sehr großer Wahrscheinlichkeit erst durch meine Zusammenfassung/Interpretation entstanden.
Definition: Seien (X, F, Pθ , θ ∈ Θ) statistisches
Modell, τ : Θ → R Kenngröße zu dem zu ermittelnden Parameter τ , 0 < α < 1. Dann heißt eine
Abbildung C : X → P(R) Konfidenzbereich zu Intervallwkt. a, wenn gilt inf θ∈Θ Pθ ({x ∈ X | τ (θ) ∈
C(x)}) ≥ 1 − α.
Satz: Seien X1 , . . . , Xn ∼ N (m, v) unabhängig,
1 Pn
X = (X1 , . . . , Xn ). Ferner V (X) := n−1
i=1 (Xi −
(X)
M (X))2 . Dann gilt (n−1)·V
ist χ2 -verteilt mit
v
n − 1 Freiheitsgeraden.
P
Satz: Es gilt ferner: M (X) = n1 ni=1 Xi und V (X)
(X)−m √
sind unabhängig und Tm (X) := M
n ist
V (X)1/2
Student-verteilt mit n − 1 Freiheitsgraden.
17.1 Statistische Tests
Definition: Sei H0 Hypothese. Ein Fehler erster
Art (α-Fehler) tritt auf, wenn nach Schätzer H0 abgelehnt wird, obwohl H0 zutrifft. Ein Fehler zweiter
Art tritt auf, wenn H0 angenommen wird, obwohl
H0 nicht zutrifft.
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