Ubungen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung

Institut für Informatik II
der Universität Bonn
Ch. Strelen / W. Sandmann
Römerstraße 164
53117 Bonn
11. Mai 2000
Übungen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung
Blatt 5, Besprechung: Donnerstag, 18. Mai 2000, 13.30 Uhr, Hörsaal D
A generating function is useful because it’s a single quantity that represents an entire infinite
sequence. We can often solve problems by first setting up one or more generating functions,
then by fooling around with those functions until we know a lot about them, and finally by
looking again at the coefficients. With a little bit of luck, we’ll know enough about the function
to understand what we need to know about its coefficients.
The nicest thing about pgf ’s1 ist that they usually simplify the computation of means and
variances.
The second-nicest thing about pgf ’s is that they are comparatively simple functions of z, in
many important cases.
The third-nicest thing about pgf ’s is that the product of pgf ’s corresponds to the sum of
independent random variables.
(Graham, Knuth, Patashnik: Concrete Mathematics.)
Aufgabe 24
Sei X : Ω → IN eine Zufallsvariable auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, pot(Ω), P ).
a) Zeigen Sie für den Erwartungswert von X
E[X] =
∞
X
P {X ≥ k}.
k=1
b) Für x ∈ IN sei px := P {X ≥ x + 1|X ≥ x}. Berechnen Sie die Verteilung und den Erwartungswert
von X. Welche Verteilung ergibt sich für konstante px = p ∈ (0, 1)?
Anmerkung: X kann als eine Lebenszeit und die px als sukzessive Überlebenswahrscheinlichkeiten
interpretiert werden.
Aufgabe 25
a) Ein Spieler setzt beim Roulette in jeder Runde an einem Tisch auf das erste Dutzend und an einem
anderen Tisch auf die ungeraden Zahlen und zwar solange, bis er zum ersten Mal mit einem der
beiden Einsätze gewonnen hat. Berechnen Sie (unter Vernachlässigung der Null) die Wahrscheinlichkeiten pk , daß der Spieler k Runden spielt (k ∈ IN+ ).
b) Berechnen Sie nun die Wahrscheinlichkeiten pk für den Fall, daß der Spieler solange am ersten Tisch
auf die geraden Zahlen und am zweiten Tisch auf die ungeraden Zahlen setzt, bis er mit beiden
Einsätzen wenigstens je einmal gewonnen hat.
1
pgf: probabilty generating function
Aufgabe 26
Sei X eine diskrete Zufallsvariable mit erzeugender Funktion GX . Zeigen Sie
(i)
P {X ≤ k} ≤
GX (z)
zk
für 0 < z ≤ 1,
(ii)
P {X ≥ k} ≤
GX (z)
zk
für z ≥ 1.
Aufgabe 27
Geben Sie zunächst für die Augenzahl A eines Wurfs mit dem Würfel aus Aufgabe 19 die erzeugende
Funktion GA und die Ableitungen G0A und G00A an. Berechnen Sie dann (ohne die einzelnen Koeffizienten
auszurechnen) aus GA die erzeugende Funktion GS der Augensumme S zweier aufeinanderfolgender
Würfe, und bestimmen Sie damit den Erwartungswert und die Varianz von S.
Aufgabe 28
Über die Rauchgewohnheiten des Mathematikers Stefan Banach erzählt man sich folgende Anekdote.
Zu Beginn steckte er zwei Streichholzschachteln mit je N Streichhölzern in die linke bzw. rechte Hosentasche. Wenn er eine Zigarre rauchen wollte, wählte er mit einer Wahrscheinlichkeit von je 12 eine der
beiden Streichholzschachteln aus, bis er zum ersten Mal eine leere Schachtel vorfand.
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten ur , daß bei diesem Verfahren in der anderen Schachtel genau
r Streichhölzer übrig sind (0 ≤ r ≤ N ), wenn man zum ersten Mal eine leere Schachtel auswählt.
b)∗ Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz der Anzahl übriggebliebener Streichhölzer.
Aufgabe 29∗
Um der ewigen Langeweile in der Hölle zu entgehen, besucht der Teufel als Mensch verkleidet gelegentlich
die Spielhöllen von Las Vegas. Eines Tages schlüpfte er in die Rolle eines hageren Ölmillionärs aus Fort
Worth.
Kleine Wette gefällig?“ fragte er einen Mann, der neben dem Roulette–Tisch stand.
”
Hängt von der Wette ab.“
”
Natürlich“, sagte der Teufel. Ich stelle mir folgendes vor. Wählen Sie irgendeine Schwarz–Rot–
”
”
Dreierkombination, sagen wir rot–rot–schwarz oder schwarz–rot–schwarz — wie Sie wollen. Ich suche
mir eine andere Kombination aus. Wir einigen uns, wann wir anfangen, dann beobachten wir die Kugel
und schauen, welche Folge zuerst auftaucht. Ist es ihre, gewinnen Sie, ist es meine, gewinne ich. Zeros
zählen nicht. Ich wette 5 gegen 4 Dollar, und bei jeder Runde dürfen Sie ihre Kombination zuerst wählen.“
Bei jeder Drehung des Rades ist die Wahrscheinlichkeit für rot 21 und für schwarz auch 12 “, überlegte der
”
Mann. Für jede Dreierfolge ist die Wahrscheinlichkeit gleich 21 · 12 · 12 = 18 . Also sind alle Kombinationen
”
gleichwahrscheinlich. Keiner von uns hat einen Vorteil.“
Genau“, entgegnete lächelnd der Teufel. Aber ich biete ihnen ja eine ungleiche Wette an!“
”
”
Klingt wie ein höllisch guter Vorschlag“, sagte der Mann.
”
Wer ist durch die Wette begünstigt, der Mann oder der Teufel? Macht es einen Unterschied, welche
Kombination der Mann jeweils wählt?