2. Übung - TU Darmstadt/Mathematik

A
Fachbereich Mathematik
Prof. Dr. J. Lehn
B. Niese
A. Rößler
B. Walther
SS 2004
TECHNISCHE
UNIVERSITÄT
DARMSTADT
5./6.05.2004
Einführung in die Statistik
für WInf, LaB, CE etc.
2. Übung
Gruppenübungen
Aufgabe G4
Ein Skatspiel besteht aus 32 Karten, vier davon heißen Buben. Nach dem Mischen der Karten erhalten die drei Spieler (Alex, Bodo und Carl) jeweils zehn Karten. Die verbleibenden
zwei Karten bilden den sogenannten Skat. Berechnen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit der
folgenden Ereignisse:
A: Mindestens ein Bube befindet sich im Skat.
B: Carl hat genau einen Buben.
C: Ein Spieler hat genau drei Buben.
D: Jeder Spieler besitzt mindestens einen Buben.
E: Alex hat genau einen Buben unter der Bedingung, dass Carl genau einen Buben hat.
Aufgabe G5
Wird ein Patient darauf untersucht, ob er eine bestimmte Krankheit hat, so gibt es zwei
Möglichkeiten, eine falsche Diagnose zu stellen: Man spricht von einem Fehler 1. Art,
wenn bei einem erkrankten Patienten die Krankheit nicht erkannt wird (falsch-negativBefund), bzw. von einem Fehler 2. Art, wenn ein gesunder Patient für krank befunden
wird (falsch-positiv-Befund). Für eine bestimmte Untersuchungsmethode sei bekannt, dass
mit Wahrscheinlichkeit 0.06 ein Fehler 1. Art, und mit Wahrscheinlichkeit 0.03 ein Fehler
2. Art auftritt. Da es sich um eine relativ seltene Krankheit handelt, geht man außerdem
davon aus, dass eine zu untersuchende Person mit Wahrscheinlichkeit 0.05 erkrankt ist.
a) Zeichnen Sie ein Baumdiagramm für diese Situation.
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird eine zufällig ausgewählte Person für krank erklärt?
c) Wie groß ist die (bedingte) Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Person tatsächlich
erkrankt ist, wenn sie für krank erklärt wurde?
Aufgabe G6
Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und A, B ∈ A mit P (B) > 0. Welche der folgenden Aussagen sind dann korrekt? Korrigieren Sie gegebenenfalls die Formeln oder geben
Sie zusätzliche Voraussetzungen an, unter denen die Aussage richtig ist.
a) P (A|B) + P (AC |B) = P (B)
b) P (A|B) + P (A|B C ) = P (A)
c) Aus A ∩ B = ∅ folgt A und B sind unabhängig“
”
d) A und B sind unabhängig“ ist gleichwertig zu P (A|B) = P (A)
”
e) A und B sind unabhängig“ ist gleichwertig zu |A ∩ B|/|B| = |A|/|Ω|
”
Hausübungen
Abgabe am 13./14. Mai
Aufgabe H7
a) Zehn Personen verabschieden sich voneinander mit Händedruck. Jede Person geht
alleine nach Hause. Wie oft werden Hände gedrückt?
b) Zehn Ehepaare verabschieden sich voneinander mit Händedruck und gehen paarweise
nach Hause. Wie oft werden Hände gedrückt?
c) Wie viele Möglichkeiten gibt es, ein fünfköpfiges Gremium aus Mathematikern, Informatikern oder Wirtschaftswissenschaftlern zusammenzustellen, wenn lediglich diese
Wissenschaftler als Mitglieder in Frage kommen, aber keine der drei Fachrichtungen
notwendig vertreten sein muss? (Auf die Reihenfolge kommt es hierbei nicht an.)
Aufgabe H8
Zwei unterscheidbare Würfel werden gleichzeitig geworfen. Geben Sie zunächst einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ) an und untersuchen Sie die folgenden Ereignisse
auf paarweise und vollständige Unabhängigkeit.
A: Der zweite Würfel zeigt eine vier.
B: Die Augensumme der beiden Würfel ist durch vier teilbar.
C: Beide Würfel zeigen die gleiche Augenzahl.
Aufgabe H9
Ein abgestürztes Flugzeug wird in einem von zwei Bezirken vermutet, wobei es sich mit
Wahrscheinlichkeit 0.8 (bzw. 0.2) in Bezirk A (bzw. Bezirk B) befindet. Für die Suche
des Flugzeugs stehen zehn Hubschrauber zur Verfügung, wovon jeder in einem der beiden
Bezirke eingesetzt werden kann. Jeder Hubschrauber spürt das sich im Suchgebiet befindende Flugzeug mit Wahrscheinlichkeit 0.2 auf, und die Suche eines Hubschraubers findet
unabhängig von den anderen statt.
a) Gehen Sie davon aus, dass sich das Flugzeug in Bezirk A befindet und in diesem Gebiet
vier Hubschrauber eingesetzt werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
das Flugzeug gefunden wird? Bestimmen Sie die gesuchte Wahrscheinlichkeit sowohl
auf direktem Weg als auch über das Gegenereignis.
b) Wie sollten die zehn Hubschrauber auf die beiden Bezirke verteilt werden, damit die
Wahrscheinlichkeit, das Flugzeug zu finden, maximal ist?
Hinweis: Lösen Sie dafür zunächst Teilaufgabe a) über das Gegenereignis für k Hubschrauber (k ∈ {0, 1, 2, . . . , 10}), die in Bezirk A für die Suche eingesetzt werden.
Aufgabe H10
Heiner spielt folgendes Spiel: Zunächst wählt er zufällig einen von zwei gut gemischten
Kartenstapeln aus. Den Stapel Nr. 1, der aus 32 Karten, darunter vier Asse, besteht,
wählt er mit Wahrscheinlichkeit 1/3. Der Stapel Nr. 2 besteht aus 52 Karten, darunter
ebenfalls vier Asse. Aus dem gewählten Stapel zieht er dann zufällig fünf Karten ohne
Zurücklegen.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Heiner mindestens zwei Asse zieht,
unter der Bedingung, dass er Stapel Nr. 1 wählt?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Heiner mindestens zwei Asse zieht,
unter der Bedingung, dass er Stapel Nr. 2 wählt?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Heiner mindestens zwei Asse zieht?
d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Heiner Stapel Nr. 1 wählt, unter der
Bedingung, dass er mindestens zwei Asse zieht?
Aufgabe H11
a) Bei einer Lotterie beträgt die Wahrscheinlichkeit für eine Niete bei jedem Zug 0.7.
Die Zufallsvariable X beschreibe die Anzahl an Nieten beim Ziehen von zehn Losen. Bestimmen Sie die die Wahrscheinlichkeit für mindestens acht Nieten sowie den
Erwartungswert und die Varianz von X.
b) Bei einer bestimmten Internetseite lässt sich die Anzahl der Abfragen, die innerhalb einer Minute registriert werden, durch eine Poisson-verteilte Zufallsvariable angemessen
beschreiben. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.1 wird dabei innerhalb einer Minute
keine Abfrage registriert. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es mehr als
drei Abfragen innerhalb einer Minute gibt.
Aufgabe H12
Beim Roulette tritt in einem Spiel eine der Zahlen 0, 1, 2, . . . , 36 auf, wobei jede Zahl
gleichwahrscheinlich ist. Setzt man auf die Kolonne {1, 2, . . . , 12} und tritt dann eine dieser
Zahlen auf, erhält man den dreifachen Einsatz zurück (Reingewinn: doppelter Einsatz).
Anderenfalls verliert man seinen Einsatz.
a) Bestimmen Sie die Verteilung und den Erwartungswert des Reingewinns, falls man nur
ein einziges Spiel absolviert und dafür 1 EUR einsetzt.
Dagobert spielt eine Serie von Spielen nach der sogenannten Verdoppelungsstrategie: Er
setzt immer auf die Kolonne {1, 2, . . . , 12}, und zwar beginnt er mit dem Einsatz von
1 EUR. Im Falle eines Gewinns kassiert er den Reingewinn und hört auf. Ansonsten verdoppelt er beim nächsten Spiel seinen Einsatz. Diese Taktik verfolgt er so lange, bis er
einmal gewinnt. Nehmen Sie an, dass es keinen Höchsteinsatz gibt und Dagobert über
beliebig viel Geld verfügt.
b) Die Zufallsvariable Y beschreibe die Anzahl der Spiele, die Dagobert macht. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit P (Y > 2) und den Erwartungswert von Y .
c) Zeigen Sie für die Verdoppelungsstrategie, dass der Reingewinn genau 2i−1 + 1 EUR
beträgt, wenn Dagobert im i-ten Spiel das erste Mal gewinnt (i = 1, 2, . . .). Was folgt
daraus für den Erwartungswert des Reingewinns in einer ganzen Serie?