Kapitel 3

ETWR – Teil B
Entscheidungen unter Risiko
Marcel Lichters, Stephan Schosser
Entscheidungen unter Risiko
Ziele
•  Bisher
•  Beschreibung sicherer Entscheidungen
•  Ableitung von Wahrscheinlichkeiten
•  Ziel dieses Kapitels
•  Kombination beider vorangegangener Kapitel
•  Motivation
•  Theorie
Bei Entscheidungen unter Risiko wird praktische Relevanz...
... dieser Vorlesung sehr deutlich (leider)
•  Ökonomische Entscheidungen
Entscheidungen hängen oft von Risiko ab
(Risiko zu Sterben, Risiko günstige Nachfrage, ...)
WS14/15
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
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Marcel Lichters, Stephan Schosser
Entscheidungen unter Risiko
Agenda
•  Einführung
•  Entscheidungen unter Sicherheit
•  Generierung von Wahrscheinlichkeiten
•  Entscheidungen unter Risiko
•  Erwartungswert
•  Erwartungsnutzentheorie
•  Risikopräferenzen
•  Bestimmung der Nutzenfunktion
•  Ermittlung der optimalen Alternative
•  Nutzentheorie und Risiko
•  Mehrere Ziele
•  Empirische Beobachtungen
•  Zeitpräferenzen bei sicheren Erwartungen
•  Deskriptive Aspekte des Entscheidens
•  Naive Entscheidungsregeln und Heuristiken
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Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
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Marcel Lichters, Stephan Schosser
Entscheidungen unter Risiko
Darstellung riskanter Entscheidungen
•  Begriffsbestimmung
•  „Lotterie“: Kombination von Ausgängen und Eintrittwahrscheinlichkeiten
•  Riskante Alternative: Lotterie, die Entscheider wählen kann
•  Darstellung als Vektor: (a1, p1; ...; an, pn)
•  ai: Ausgang i – wiedergegeben als Auszahlung, Nutzenwert, ...
•  pi: Eintrittwahrscheinlichkeit des Ausgangs i
•  Darstellung als Baum
p
a1
a2
1
p2
...
pn
an
•  Darstellung als Matrix
Alternative 1
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p1
p2
...
pn
a1
a2
...
an
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
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Marcel Lichters, Stephan Schosser
Entscheidungen unter Risiko
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Darstellung riskanter Entscheidungen - Beispiel
•  Entscheidungsproblem aus Kapitel 1 (Fahrt zur Uni, Matrixdarstellung)
Konsequenz
Fahrtdauer
Regen (p1 = 20%) Sonne (p2 = 50%) Schnee (p3 = 30%)
Alternative Rad
11 Minuten
15 Minuten
20 Minuten
•  Vektordarstellung
(11 Minuten, 0.20; 15 Minuten, 0.50; 20 Minuten, 0.30; ...)
•  Baumdarstellung
p1 = 0.1
p2 = 0.3
a1 = 11 Minuten
a2 = 15 Minuten
p3 = 0.6
a3 = 20 Minuten
•  Hinweise
•  Ein Attribut (Fahrtdauer) betrachtet: mehrere Attribute möglich!
•  Anzahl Ausgänge ist endlich (3): unendlich viele möglich!
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Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Marcel Lichters, Stephan Schosser
Entscheidungen unter Risiko
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Entscheidung über riskante Alternativen
•  Entscheidungen bisher
•  Ableitung von Wertfunktionen zur Abbildung der Präferenzen ...
... basierend auf Einzelwertfunktionen
•  Beispiel: v(Bus) ≻ v(Fahrrad), weil vFahrzeit(Bus) ≻ vFahrzeit(Fahrrad)
•  Entscheidungen jetzt
Attributausprägung (im Beispiel: Fahrzeit in Minuten) abhängig von Zufall
•  Herausforderungen
•  Additives Modell (siehe Kapitel 1) nicht mehr einsetzbar
•  Wahrscheinlichkeiten unterschiedlich bewertet (siehe Kapitel 2)
•  Menschliches Verhalten nicht konsistent (gemäß empirischer Studien)
•  Kurz: Erwarten sie keine „Eierlegende Wollmilchsau“
Wir werden schon glücklich sein, wenn wir einen Teil von Entscheidungen...
... in einem festen Szenario für ein paar Entscheider verstehen können.
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Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Marcel Lichters, Stephan Schosser
Entscheidungen unter Risiko
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Sei X eine diskrete Zufallsvariable mit Wahrscheinlichkeitsfunktion fx(x) und
Träger Tx. Der Erwartungswert E(X) ist definiert durch:
E(X) =
∑
x f X (x)
{x|x∈TX }
•  Idee
•  Bewertung aller Attributausprägungen mittels Erwartungswert (E(ai))
•  Anwendung von Wertfunktion auf Erwartungswert (v(E(ai)))
•  Wahl der Alternative mit höchstem Wert der Wertfunktion (maxai v(E(ai)))
•  Beispiel
Fahrtdauer
Alternative
pRegen = 20% pSonne = 50% pSchnee = 30%
E(Fahrtdauer)
11 Minuten
15 Minuten
17 Minuten
14.5 Minuten
Bus 15 Minuten
15 Minuten
15 Minuten
15.0 Minuten
Rad
Entscheidung: Fahrt mit dem Rad
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Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Wdh. Teil A
Bewertung von Alternativen mittels Erwartungswert
•  Definition: Erwartungswert diskreter Zufallsvariablen
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Entscheidungen unter Risiko
St. Petersburg Paradoxon – DAS Standardbeispiel
•  Das Spiel
•  Münze wird wiederholt geworfen
•  Erscheint Zahl: Auszahlung 2n Euro (mit n ist Anzahl der Würfe)
•  Erscheint Kopf: Spiel geht weiter
•  Ihre Entscheidung
Wie viel zahlen Sie um das Spiel zu spielen?
•  Spiel als Baum
pZahl = 0.5
2€
pKopf = 0.5
Zahl
Kopf
4€
Zahl
Kopf
•  Was würden Sie bezahlen?
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Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
8€
...
8
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Entscheidungen unter Risiko
St. Petersburg Paradoxon – Erwartungswert
•  Das Spiel
pZahl = 0.5
pKopf = 0.5
2€
Zahl
4€
Kopf
Zahl
Kopf
8€
...
•  Naive Mathematische Lösung: Erwartungswert
E(St. Petersburg Spiel) = 0.5 · 2 + 0.52 · 22 + 0.53 · 23 + 0.54 · 24 + ...
E(St. Petersburg Spiel) = 1 +
1 +
1 +
1 + ...
E(St. Petersburg Spiel) = ∞
•  Problem
Sie werden (so gut wie) niemanden finden, der mehr als 20 € zahlt!
⇒ Erwartungswert zur Bewertung riskanter Alternativen unzuverlässig
•  Bis heute existiert kein Modell, dass ...
... diesen Effekt für alle glaubwürdig erklärt
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Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
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Entscheidungen unter Risiko
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Agenda
•  Einführung
•  Entscheidungen unter Sicherheit
•  Generierung von Wahrscheinlichkeiten
•  Entscheidungen unter Risiko
•  Erwartungswert
•  Erwartungsnutzentheorie
•  Risikopräferenzen
•  Bestimmung der Nutzenfunktion
•  Ermittlung der optimalen Alternative
•  Nutzentheorie und Risiko
•  Mehrere Ziele
•  Empirische Beobachtungen
•  Zeitpräferenzen bei sicheren Erwartungen
•  Deskriptive Aspekte des Entscheidens
•  Naive Entscheidungsregeln und Heuristiken
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Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
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Entscheidungen unter Risiko
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Nutzenfunktion
•  Definition (Nutzenfunktion)
Eine Funktion u deren Erwartungswert („Erwartungsnutzen“) die transitiven,
vollständigen, stetigen und unabhängigen Präferenzen eines Entscheiders
abbildet heißt Nutzenfunktion.
•  Transitivität (vgl. Wertfunktion)
Für alle Kombinationen von Lotterien a, b und c mit a ≻ b und b ≻ c folgt a ≻ c.
•  Vollständigkeit (vgl. Wertfunktion)
Für alle Paare von Lotterien a und b gilt a ≻ b.
•  Stetigkeit
Sind Lotterien a, b und c mit a ≻ b ≻ c gegeben, dann existiert eine
Wahrscheinlichkeit p bei der b ∼ p · a + (1 – p) · c
•  Unabhängigkeit
Gilt für zwei Lotterien a ≽ b, so muss auch für alle Lotterien c und alle
Wahrscheinlichkeiten p gelten, dass p · a + (1 – p) · c ≽ p · b + (1 – p) · c.
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Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
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Entscheidungen unter Risiko
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Annahmen – Stetigkeit
•  Definition (Stetigkeit)
Sind Lotterien a, b und c mit a ≻ b ≻ c gegeben, dann existiert eine
Wahrscheinlichkeit p bei der b ∼ p · a + (1 – p) · c
•  Lotterie 0.5 · a + 0.5· c mit a = (100 €, 0.8; 0 €, 0.2) und c = (200 €, 1)
0.5
0.5
1.0
0.2
200 €
0€
0.8
100 €
formal
äquivalent
zu
0.5
0.1
200 €
0.4
100 €
•  Verletzung der Stetigkeit
•  Lotterien
•  a = (1000 €, 0.8; 0 €, 0.2)
•  b = ( 100 €, 0.8; 0 €, 0.2)
•  c = ( Tod, 0.8; 0 €, 0.2)
•  Finden Sie ein p, so dass gilt b ∼ p · a + (1 – p) · c?
Also, ich nicht!
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Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
0€
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Entscheidungen unter Risiko
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Annahmen – Unabhängigkeit
•  Definition (Unabhängigkeit)
Gilt für zwei Lotterien a ≽ b, so muss auch für alle Lotterien c und alle
Wahrscheinlichkeiten p gelten, dass p · a + (1 – p) · c ≽ p · a + (1 – p) · c.
•  Lotterien: a = (1000 €, 0.8; 0 €, 0.2), b = (
0.2
0.2
0€
a≽b
0.8
1000 €
0.8
100 €, 0.8; 0 €, 0.2) und c = (200 €, 1)
0€
1.0
c
200 €
100 €
⇒
0.5
1.0
0.2
0.5
200 €
0€
0.5
1.0
0.2
a‘ ≽ b‘
0.5
1000 €
0.8
0.8
•  Verletzung der Unabhängigkeit
•  a = (iPhone 6, 0.8; 0, 0.2), b = (Galaxy S 5, 0.8; 0, 0.2) und c = (nicht übertragbarer iTunes Gutschein über 10000 €, 1)
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Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
200 €
0€
100 €
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Entscheidungen unter Risiko
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Nutzenfunktion vs. Wertfunktion
•  Hinweis
Literatur: Definition von Wertfunktion und Nutzenfunktion quasi wortgleich
•  Unterschiede der Konzepte
•  Betrachtungsgegenstand
•  Wertfunktion definiert auf sicheren Ergebnisse...
•  ... Nutzenfunktion definiert auf riskanten Ergebnissen
•  Voraussetzungen
•  Wertfunktion: Vollständigkeit, Transitivität der Präferenzen
•  Nutzenfunktion: Vollständigkeit, Transitivität, Stetigkeit, Unabhängigkeit
•  Folglich: Nutzenfunktion deutlich restriktiver
•  Aber: In der Literatur ist...
•  Trennung nicht immer konsistent...
•  ... Konzepte werden äquivalent benutzt...
•  ... Voraussetzungen selten geprüft
•  Nur Benennung mit u und v ist konsistent!
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Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
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Entscheidungen unter Risiko
85
Erwartungsnutzen
•  Definition (Erwartungsnutzen)
Der erwartete Nutzen einer riskanten Alternative a ist definiert als
n
EU(a) = ∑ pi ⋅ u(ai )
i=1
•  Unterschied zum bisherigen Vorgehen:
n
v(E(X)) = v(∑ pi ⋅ ai )
i=1
Anwendung der Nutzen-/Wertfunktion auf Attributwert, ...
... nicht mehr auf Erwartungswert des Attributs
•  Beispiel
Fahrtdauer
pRegen=0.2
v(aRegen)
pSonne=0.5
v(aSonne)
pSchnee=0.3
v(aSchnee)
EU(a)
Rad
11 Min.
1.0
15 Min.
0.6
17 Min.
0.0
0.50
Bus
15 Min.
0.6
15 Min.
0.6
15 Min.
0.6
0.60
Entscheidung: Fahrt mit dem Bus
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Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
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Entscheidungen unter Risiko
85
Nicht in der Vorlesung behandelt
Dreieck-Ergebnis-Diagramm
•  Lotterie a = (p1, x1; p2, x2; p3, x3) mit x1 ≺ x2 ≺ x3
•  Darstellung für Erwartungsnutzentheorie
(p1=0, p3=1)
p1=0.1, p2=0.2, p3=0.7
Indifferenzkurven
(p1=0, p3=0)
(p1=1, p3=0)
•  Warum stimmt das Diagramm?
•  Angabe von p2: nicht nötig, da gilt p2 = 1 – p1 – p3
•  Stärke Präferenz: Da x1 ≺ x2 ≺ x3 gilt Alternative (0, x1; 0, x2; 1, x3) am Besten
•  Fehlt noch: Form der Indifferenzkurven (Gerade, identische Steigung)
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Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
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Entscheidungen unter Risiko
85
Nicht in der Vorlesung behandelt
Dreieck-Ergebnis-Diagramm – Form Indifferenzkurven
•  Es gilt (aus der Definition)
n
EU(a) = ∑ pi ⋅ u(ai )
i=1
•  Für drei Lotterien: EU(a) = p1 · u(a1) + p2 · u(a2) + p3 · u(a3)
•  Weiterhin gegeben:
•  „Indifferenzkurve“: EU(a) ist konstant
•  p2 definiert durch p1 und p3, da gilt p2 = 1 – p1 – p3
•  Damit gilt: EU(a) = p1 · u(a1) + (1 – p1 – p3) · u(a2) + p3 · u(a3)
•  EU(a) = p1 · (u(a1) – u(a2)) + p3 · (u(a3) – u(a2)) + u(a2) [Durch Ausmultipl.]
• 
p3 =
EU(a) − u(a2 ) u(a2 ) − u(a1 )
+
p1
u(a3 ) − u(a2 ) u(a3 ) − u(a2 )
Achsenabschnitt
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Steigung
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
[Durch Umstellen]
Marcel Lichters, Stephan Schosser
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Entscheidungen unter Risiko
85
St. Petersburg Paradoxon – Erwartungsnutzen
•  Das Spiel
pZahl = 0.5
pKopf = 0.5
2€
Zahl
4€
Kopf
Zahl
Kopf
8€
...
•  Sei Nutzenfunktion u(x) = ln(x)
EU(St. Petersburg Spiel) = 0.5 · ln(2) + 0.52 · ln(22) + 0.53 · ln(23) + 0.54 · ln(24) + ...
E(S t. Petersburg Spiel) = ln(2)· [0.5+ 0.52 · 2
+ 0.53 · 3
+ 0.54 · 4
+ ...]
• 
• 
n
nq n+2 − (n +1)q n+1 + q
Für geometrische Reihe gilt: ∑ q k =
(q −1)2
k=0
% n(1 / 2)n+2 − (n +1)(1 / 2)n+1 +1 / 2 (
1/ 2
= ln(2)
= 2 ln(2) = ln(4) ≈ 1.39
'
*
EU(St. Petersburg Spiel) = ln(2)⋅ lim
2
n→∞
(1 / 2 −1)
(−1 / 2)2
&
)
k
•  Geht man vom Erwartungsnutzen und Nutzenfunktion u(x) = ln(x) aus, ....
... so ist „Wert“ des St. Petersburg Spiels nur 1.39 (und damit „realistisch“)
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Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
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Entscheidungen unter Risiko
85
Subjektiver Erwartungsnutzen
•  Erkenntnisse aus der „Generierung von Wahrscheinlichkeiten“ (Kapitel 2)
•  Wahrscheinlichkeiten sind nicht „per se“ gegeben
(wie in der Erwartungsnutzentheorie angenommen)
•  Wahrscheinlichkeiten sind „subjektiv“
(d.h. jeder Entscheider bewertet Wahrscheinlichkeiten anders)
•  Idee: Berücksichtigung subjektiver Wahrscheinlichkeiten
•  Definition (subjektiver Erwartungsnutzen)
Der subjektive, erwartete Nutzen einer riskanten Alternative a ist definiert als
SEU(a) = ∑ p(s)⋅ u(a(s))
s∈S
•  Entscheider wählt folglich zwischen Alternativen a...
... die vom Zustand der Natur s ∈ S sind und...
... zu Attributausprägungen a(s) führen, dabei...
... berücksichtigt er seine subjektive Einschätzung er seine ...
... „persönliche Glaubwürdigkeit“ des Eintretens der Zustände
WS14/15
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Marcel Lichters, Stephan Schosser
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Entscheidungen unter Risiko
85
Subjektiver Erwartungsnutzen – Unabhängigkeit
•  Definition (Unabhängigkeit der subjektiven Erwartungsnutzentheorie)
Seien a, b, a‘ und b‘ Alternativen und sei S‘ eine Teilmenge der Zustände S
und a(s) = a‘(s) sowie b(s) = b‘(s) für s ∈ S‘ und a(s) = b(s) sowie a‘(s) = b‘(s)
für s ∈ S\S‘, so gilt a ≻ b genau dann, wenn a‘ ≻ b‘.
•  Sprechend
Haben zwei Alternativen für bestimmte Umweltzustände identische
Konsequenzen, so dürfen die Umweltzustände keinen Einfluss auf die
Präferenzen über die beiden Alternativen haben.
•  Beispiel
Würfelwurf
1
2
3
4
5
6
a
B
B
B
B
B
B
b
B
B
B
B
B
A
a‘
A
A
A
A
A
B
b‘
A
A
A
A
A
A
WS14/15
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
a≻b
⇔
a‘ ≻ b‘
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Entscheidungen unter Risiko
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Agenda
•  Einführung
•  Entscheidungen unter Sicherheit
•  Generierung von Wahrscheinlichkeiten
•  Entscheidungen unter Risiko
•  Erwartungswert
•  Erwartungsnutzentheorie
•  Risikopräferenzen
•  Bestimmung der Nutzenfunktion
•  Ermittlung der optimalen Alternative
•  Nutzentheorie und Risiko
•  Mehrere Ziele
•  Empirische Beobachtungen
•  Zeitpräferenzen bei sicheren Erwartungen
•  Deskriptive Aspekte des Entscheidens
•  Naive Entscheidungsregeln und Heuristiken
WS14/15
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
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Entscheidungen unter Risiko
85
Sicherheitsäquivalent
•  Definition (Sicherheitsäquivalent)
Das Sicherheitsäquivalent ist die sichere Konsequenz bei welcher der
Entscheider indifferent zwischen SÄ(a) und der zu beurteilenden Lotterie a ist.
Es gilt
u(SÄ(a)) = EU(a)
•  Beispiel: St. Petersburg Paradoxon
•  Gegeben das die Nutzenfunktion u(x) = ln(x)
•  So gilt für EU(St. Petersburg Spiel) = 1.39
•  Damit gilt u(SÄ(a)) = 1.39...
•  ... und das Sicherheitsäquivalent: SÄ(a) = e1.39 = 4.01 €
•  Interpretation 1: Entscheider ist indifferent zwischen
•  Spielen des St. Petersburg Spiels und...
•  Dem Erhalt (der „sicheren Auszahlung“) von 4.01 €
•  Interpretation 2: Entscheider wäre bereit
•  (die „sichere Auszahlung“) 4.01 € zu opfern um...
•  das St. Petersburg Spiel zu spielen
•  Sicherheitsäquivalent ist nicht immer gegeben. Beispiele?
WS14/15
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
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23
Entscheidungen unter Risiko
85
Krümmung der Nutzenfunktion
•  Unterschiedliche Formen der Nutzenfunktion
Lineare Nutzenfunktion
Konvkave Nutzenfunktion
Konvexe Nutzenfunktion
1.00
Nutzen u(x)
0.75
0.50
Nennen Sie
Beispiele!
0.25
0.00
0
2
4
6
Auszahlung x
•  Spannende Frage
8
10
Erlaubt Nutzenfunktion Rückschlüsse auf grundlegendes Risikoverhalten?
WS14/15
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Marcel Lichters, Stephan Schosser
24
Entscheidungen unter Risiko
85
Krümmung der Nutzenfunktion – Risikoprämie
•  Bisher (am Beispiel der Lotterie: a = (0.5, 100 €; 0.5, 10 €))
•  Erwartungswert: E(a) = 0.5 · 100 € + 0.5 · 10 € = 55 €
•  Erwartungsnutzen: EU(a) = 0.5 · ln(100) + 0.5 · ln(10) = 3.45 mit u(x)=ln(x)
•  Sicherheitsäquivalent: SÄ(a) = u-1(EU(a)) = 31.62 €
•  Wir wissen damit:
•  Mit welcher Auszahlung aus der Lotterie ein Mathematiker...
... rechnen würde (Erwartungswert: 55.00 €)
•  Welchen Betrag der Entscheider für das Spielen der Lotterie...
... zahlen würde (Sicherheitsäquivalent: 31.62 €)
•  Definition (Risikoprämie)
Für die Risikoprämie RP(a) einer Alternative a gilt
RP(a) = E (a) – SÄ(a)
•  Im Beispiel:
•  RP(a) = E(a) – SÄ(a) = 55.00 € - 31.62 € = 23.38 €
•  D.h. der Entscheider würde 23.38 € für das Spielen der Lotterie...
... weniger zahlen als der Erwartungswert der Lotterie ist
⇒ Der Entscheider scheut also das Risiko!
WS14/15
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Klar?
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25
Entscheidungen unter Risiko
85
Krümmung der Nutzenfunktion – Risikoeinstellung
•  Zurück zur Visualisierung
Lineare Nutzenfunktion
Konvkave Nutzenfunktion
Konvexe Nutzenfunktion
Nutzen u(x)
1.00
0.75
0.50
0.25
SÄlin(a) = E(a) SÄkvex (a)
0.00
0
2 SÄkkav(a) 4
6
Auszahlung x
8
10
•  Implikationen der Form der Nutzenfunktion
•  Lineare Nutzenfunktion: RP(a) = E (a) – SÄ(a) = 0 (risikoneutral)
•  Konkave Nutzenfunktion: RP(a) = E (a) – SÄ(a) > 0 (risikoavers)
•  Konvexe Nutzenfunktion: RP(a) = E (a) – SÄ(a) < 0 (risikofreudig)
WS14/15
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
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Entscheidungen unter Risiko
85
Risikoeinstellung – Beispiele
•  Billige iPhone Apps (bei mir < 10 €): RP(a) = E (a) – SÄ(a) = 0 (risikoneutral)
•  Bereitschaft das Risiko einzugehen, ...
... eine unbrauchbare App zu kaufen ...
... wenn erwarteter Nutzen gleich dem Preis
•  Meiste Entscheidungen: RP(a) = E (a) – SÄ(a) > 0 (risikoavers)
•  St. Petersburg Spiel (siehe vorangegangen Folien)
•  Lotto: RP(a) = E (a) – SÄ(a) < 0 (risikofreudig)
•  Erwartungswert: ca. 0.38 €
•  Sicherheitsäquivalent: 0.75 € (so viel kostet aktuell ein Feld)
2+S
3
3+S
4
4+S
5
5+S
6
6+S
Wahrscheinlichkeit
1.32%
1.59%
0.18%
0.087%
0.0097%
0.0017%
0.00018%
0.0000064%
0.000000072%
Auszahlung (23.08.14)
5.00 €
8.20 €
13.4€
32.50 €
116.40 €
2603.8€
7539.80 €
867085.30 €
9145230.60 €
WS14/15
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
27
Entscheidungen unter Risiko
85
Risikopräferenzen im Dreieck-Ergebnis-Diagramm
) − u(a )
•  Lotterie a = (p1, x1; p2, x2; p3, x3) •  Interessant: Steigung: u(a
u(a ) − u(a )
mit x1 ≺ x2 ≺ x3
•  Annahme:
(p1=0, p3=1)
3
2
2
1
u(a1) und u(a3) sind konstant
•  Erhöhung (Senkung) von u(a2)... Indifferenzkurven
(p1=0, p3=0)
... dann höhere (kleinere) Steigung
u(a3)
(p1=1, p3=0)
•  Indifferenzkurven (formal)
p3 =
EU(a) − u(a2 ) u(a2 ) − u(a1 )
+
p1
u(a3 ) − u(a2 ) u(a3 ) − u(a2 )
WS14/15
Nutzen u(x)
Nicht in der Vorlesung behandelt
Marcel Lichters, Stephan Schosser
risikoaverser
u(a2)
risikofreudiger
u(a1)
0.00
0 a1
a2
5
Auszahlung x
a3
10
•  Je steiler die Indifferenzkurve, ...
... umso risikoaverser Entscheider
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Marcel Lichters, Stephan Schosser
28
Entscheidungen unter Risiko
85
Arrow-Pratt Maß
•  Bisher
•  Entscheider unterscheiden sich in ihrer Risikoeinstellung
•  Risikoeinstellung spiegelt sich in Form der Nutzenkurve wieder
•  Idee
•  Ermittlung einer Kennzahl zur Abbildung der Risikoeinstellung
•  Abbildung über eine Funktion
•  Motivation für Darstellung als Funktion
1.00
Nutzen u(x)
0.75
0.50
0.25
0.00
0
2
4
6
Konsum von Bier
WS14/15
8
10
Bierkonsum
•  Initial geringer Nutzen
(schmeckt übel, unlustig)
•  Phase hoher Steigung
(schmeckt gut, alles lustig)
•  Final geringer Nutzen
(Übelkeit, Kopfschmerzen)
⇒ Steigung kann sich ändern!
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Marcel Lichters, Stephan Schosser
29
Entscheidungen unter Risiko
85
Arrow-Pratt Maß – Formal
•  Definition (Arrow-Pratt Maß)
Die Risikoeinstellung eines Entscheiders lässt sich über folgende Funktion
abbilden:
r(x) = −
u''(x)
u'(x)
•  Definition (Relative Risikoeinstellung)
Die relative Risikoeinstellung ist
r * (x) = −
u''(x)
⋅x
u'(x)
•  Voraussetzungen für die Anwendung
•  Nutzenfunktion 2x differenzierbar
•  1. Ableitung ist ungleich 0
•  Wichtige Kernaussagen mit Bezug auf Geldbeträge
•  Grenznutzen ist positiv
•  Grenznutzen nimmt mit steigenden Beträgen ab
•  Nicht steigende absolute Risikoaversion
WS14/15
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Marcel Lichters, Stephan Schosser
30
Entscheidungen unter Risiko
85
Arrow-Pratt Maß – Eigenschaften
•  Arrow-Pratt Maß: r(x) = − u''(x)
u'(x)
•  Steigende Nutzenfunktion
•  u‘(x) > 0
•  Risikoaversion: r(x) > 0, da u‘‘(x) < 0 (rechtsgekrümmt)
•  Risikofreude: r(x) < 0, da u‘‘(x) > 0 (linksgekrümmt)
•  Fallende Nutzenfunktion
•  u‘(x) < 0
•  Risikoaversion: r(x) < 0, da u‘‘(x) > 0 (linksgekrümmt)
•  Risikofreude: r(x) > 0, da u‘‘(x) < 0 (rechtsgekrümmt)
•  Sind fallende Nutzenfunktionen relevant?
•  Fallende Nutzenfunktionen in steigende kodierbar
•  Zur Erhöhung der Verständlichkeit steigende wünschenswert
•  Risikoeinstellung von Entscheidern auch heute hippes Forschungsthema
WS14/15
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Marcel Lichters, Stephan Schosser
31
Entscheidungen unter Risiko
85
Typische Nutzenfunktionen
•  Bisher
•  Bedeutung der Nutzenfunktion für Verständnis Entscheidungsverhalten
•  Forderung nach stetiger, differenzierbarer Nutzenfunktion
•  Idee (konkrete Umsetzung in diesem Kapitel weiter hinten)
•  Ermittlung einiger Punkte der Nutzenfunktion
•  Schätzung der gesamten Nutzenfunktion durch Näherung an diese Punkte
(Bsp.: Minimierung der Abweichungsquadrate)
•  Voraussetzung hierfür: Allgemeine Form für Nutzenfunktion
•  Standardform für Funktionen
•  Lineare Funktion:
f(x) = α + β x
•  Quadratische Funktion: f(x) = α + β x + γ x2
•  Exponentielle Funktion: f(x) = α + β eγx
•  Logarithmische Funktion: f(x) = α + β log(x)
•  Welche Art der Funktion ist für Nutzenfunktionen geeignet?
WS14/15
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Marcel Lichters, Stephan Schosser
32
Entscheidungen unter Risiko
85
Typische Nutzenfunktionen – Linear
•  Form der Nutzenfunktion: u(x) = α + β x
•  Steigung:
u‘(x) = β
•  Krümmungsverhalten: u‘‘(x) = 0
0
r(x) = − = 0
•  Arrow-Prat Maß:
ß
•  Art der abgebildeten Entscheider
•  Steigung:
positiv, wenn β > 0
•  Risikoeinstellung: nie risikoavers
•  Praktische Anwendbarkeit
•  Entsprechende Entscheider sind unwahrscheinlich, ...
... da Risikoaversion nicht abbildbar
•  Dennoch theoretisch sehr relevant, ...
... da Abbildung des risikoneutralen Entscheiders
•  Dient als „Benchmark“ für andere funktionale Formen
WS14/15
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Klar?
Marcel Lichters, Stephan Schosser
33
Entscheidungen unter Risiko
85
Typische Nutzenfunktionen – Quadratisch
•  Form der Nutzenfunktion: u(x) = α + β x + γ x2
•  Steigung:
u‘(x) = β + 2γx
•  Krümmungsverhalten: u‘‘(x) = 2γ
2γ
r(x) = −
•  Arrow-Prat Maß:
ß + 2γ x
•  Art der abgebildeten Entscheider
•  Steigung:
positiv, wenn β + 2γx > 0 (typische Annahme: β>0, γ<0)
•  Risikoeinstellung: risikoavers, wenn r(x) = 2γ < 0 ⇒ ß + 2γ x > 0 ⇒ x > −
ß + 2γ x
unwahrscheinlich, ...
... da Risikoaversion steigt, wenn x steigt
•  Sollte nicht zur Abbildung menschlichen Verhaltens genutzt werden
WS14/15
1.00
Nutzen u(x)
•  Praktische Anwendbarkeit
•  Entsprechende Entscheider sind ß
2γ
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
0.75
0.50
0.25
0.00
0
2
4
6
Auszahlung x
8
10
Marcel Lichters, Stephan Schosser
34
Entscheidungen unter Risiko
85
Typische Nutzenfunktionen – Exponentiell
•  Form der Nutzenfunktion: u(x) = α + β eγx
•  Steigung:
u‘(x) = γβ eγx
•  Krümmungsverhalten: u‘‘(x) = γ2β eγx
γ βe
•  Arrow-Prat Maß:
r(x) = −
= −γ
2
γx
γβ eγ x
•  Art der abgebildeten Entscheider
•  Risikoeinstellung: risikoavers, wenn γ < 0 (sogar konstant!)
•  Steigung:
positiv, wenn γβ eγx > 0 (typische Annahme: β < 0)
•  Praktische Anwendbarkeit
•  Entsprechende Entscheider sind 1.00
Nutzen u(x)
möglich, ...
... da Risikoaversion konstant, wenn x steigt
•  Kann zur Modellierung von Verhalten
genutzt werden
0.75
0.50
0.25
0.00
0
2
4
6
Auszahlung x
WS14/15
Klar?
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
8
10
Marcel Lichters, Stephan Schosser
35
Entscheidungen unter Risiko
85
Typische Nutzenfunktionen – Logarithmisch
•  Form der Nutzenfunktion: u(x) = α + β log(x)
•  Steigung:
u‘(x) = β / x
•  Krümmungsverhalten: u‘‘(x) = -β / x2
βx 1
x
r(x) =
= ⇒ r * (x) = = 1
•  Arrow-Prat Maß:
β x2
x
x
•  Art der abgebildeten Entscheider
•  Risikoeinstellung: risikoavers, wenn x > 0 (konstantes r*(x)!)
•  Steigung:
positiv, wenn β / x > 0 ⇒ x > 0
•  Praktische Anwendbarkeit
•  Entsprechende Entscheider sind 1.00
Nutzen u(x)
möglich, ...
... da relative Risikoaversion konstant
•  Kann zur Modellierung von Verhalten
genutzt werden
0.75
0.50
0.25
0.00
0
2
4
6
Auszahlung x
WS14/15
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
8
10
Marcel Lichters, Stephan Schosser
36
Entscheidungen unter Risiko
85
Typische Nutzenfunktionen – Prospekt Theorie (Exkurs)
•  Form der Nutzenfunktion: u(x) = xα
•  Steigung:
u‘(x) = α xα-1
•  Krümmungsverhalten: u‘‘(x) = α (α - 1) xα-2
(α −1)α x
α −1
•  Arrow-Prat Maß:
r(x) = −
=−
α −2
α xα −1
x
•  Art der abgebildeten Entscheider
•  Risikoeinstellung: risikoavers, wenn x > 0 und α – 1 < 0 ⇒ α < 1
•  Steigung:
positiv, wenn α xα-1 > 0 ⇒ x > 0 und α > 0
•  Praktische Anwendbarkeit
•  Entsprechende Entscheider sind 1.00
Nutzen u(x)
möglich, ...
... da relative Risikoaversion konstant
•  Ist aktuell populäre Form der Nutzenfunktion
(Prospekt Theorie)
0.75
0.50
0.25
0.00
0
2
4
6
Auszahlung x
WS14/15
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
8
10
Marcel Lichters, Stephan Schosser
37
Entscheidungen unter Risiko
85
Agenda
•  Einführung
•  Entscheidungen unter Sicherheit
•  Generierung von Wahrscheinlichkeiten
•  Entscheidungen unter Risiko
•  Erwartungswert
•  Erwartungsnutzentheorie
•  Risikopräferenzen
•  Bestimmung der Nutzenfunktion
•  Ermittlung der optimalen Alternative
•  Nutzentheorie und Risiko
•  Mehrere Ziele
•  Empirische Beobachtungen
•  Zeitpräferenzen bei sicheren Erwartungen
•  Deskriptive Aspekte des Entscheidens
•  Naive Entscheidungsregeln und Heuristiken
WS14/15
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Marcel Lichters, Stephan Schosser
38
Entscheidungen unter Risiko
85
Bestimmung der Nutzenfunktion
•  Bisher
•  Stetige Nutzenfunktion für verschiedene Aufgaben nötig
(z.B. Bestimmung des Arrow-Pratt Maß)
•  Abfrage aller (unendlich vieler) Nutzenwerte nicht möglich
•  Allgemeine Formen von Nutzenfunktionen gegeben
(exponentiel, logarithmisch, Prospect Theorie)
•  Jetzt
•  Vorstellung verschiedener Methoden zur Bestimmung der Nutzenfunktion
•  Diskussion zweier Aspekte pro Methode
•  Theoretische Methodik
•  Praktische Anwendbarkeit
•  Nutzen des Vorgehens (vgl. Kapitel 2)
•  Theorie oft inkompatibel mit tatsächlichen Entscheidungen
•  Erhebungsmethode beeinflusst Ergebnis
WS14/15
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Marcel Lichters, Stephan Schosser
39
Entscheidungen unter Risiko
85
Basisreferenzlotterie
•  Idee
Beschreibung der Lotterie mit bestem und schlechtesten Ergebnis
xmax
p
∼
1- p
SÄ*
xmin
Basisreferenzlotterie
•  Mathematische Implikation
•  Normierung (wie bisher): u(xmax) = 1 und u(xmin) = 0
•  EU(Basisreferenzlotterie) = p u(xmax) = (1-p) u(xmin) = p = u(SÄ*)
•  Definition (Basisreferenzlotterie)
Die Basisreferenzlotterie sei die Lotterie BRL bei der die bestmögliche
Auszahlung xmax mit Wahrscheinlichkeit p und die schlechtmöglichste xmin mit
(1-p) auftritt. Für diese Lotterie gilt
EU(BRL) = p = u(SÄ*)
WS14/15
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Marcel Lichters, Stephan Schosser
40
Entscheidungen unter Risiko
85
Ableitung Nutzenfunktion (Erwartungsnutzentheorie)
•  Allgemeines Vorgehen
•  Betrachtung der Basisreferenzlotterie (EU(BRL) = p = u(SÄ*))
•  Visualisierung von u(xmin) und u(xmax)
•  Ermittlung von SÄ* oder u(SÄ*) [Details später]
•  Bestimmung weiterer Datenpunkte (analog SÄ*)
•  Interpolation der gesamten Nutzenfunktion
•  Illustration
1.00
Nutzen u(x)
0.75
0.50
0.25
0.00
0
WS14/15
2
4
6
Auszahlung x
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
8
10
Welches Vorgehen
bei nicht monotonen
Nutzenfunktionen?
Marcel Lichters, Stephan Schosser
41
Entscheidungen unter Risiko
85
Mittelwertkettungsmethode
•  Idee
Bestimmen der Sicherheitsäquivalente für p = 0.5
(analog Halbierungsmethode: Wahl von SÄ auf Basis vorangegangener SÄ)
•  Schrittweises Vorgehen
•  Visualisierung von u(xmin) und u(xmax)
•  Entscheider nennt SÄ* für Lotterie (xmin, 0.5; xmax, 0.5)
•  Entscheider nennt SÄ für (xmin, 0.5; SÄ*, 0.5); (SÄ*, 0.5; xmax, 0.5)
•  Fortführen des obigen Vorgehens bis ausreichen Datenpunkte vorhanden
•  Interpolation der gesamten Nutzenfunktion
•  Illustration
xmax
0.5
0.5
∼
0.5
xmin
1. Schritt
WS14/15
SÄ*
0.5
∼
SÄ*
0.5
xmax
∼
x0.25
xmin
2. Schritt
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
0.5
SÄ*
3. Schritt
x0.75
Marcel Lichters, Stephan Schosser
42
Entscheidungen unter Risiko
85
Mittelwertkettungsmethode – Beispiel I
•  Beispiel
Erwartetes Einkommen
•  Schritt 1
xmin
10.000 €
xmax
55.000 €
Visualisierung von u(xmin) und u(xmax)
1.00
Nutzen u(x)
0.75
0.50
0.25
0.00
10000
20000
30000
40000
Auszahlung x
WS14/15
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
50000
Marcel Lichters, Stephan Schosser
43
Entscheidungen unter Risiko
85
Mittelwertkettungsmethode – Beispiel I
•  Beispiel
Erwartetes Einkommen
•  Schritt 2
xmin
10.000 €
xmax
55.000 €
Entscheider nennt SÄ* für Lotterie (10.000, 0.5; 55.000, 0.5) [hier: 22.000]
1.00
Nutzen u(x)
0.75
0.50
0.25
0.00
10000
20000
30000
40000
Auszahlung x
WS14/15
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
50000
Marcel Lichters, Stephan Schosser
44
Entscheidungen unter Risiko
85
Mittelwertkettungsmethode – Beispiel I
•  Beispiel
Erwartetes Einkommen
•  Schritt 3
xmin
10.000 €
xmax
55.000 €
Fortführen des obigen Vorgehens bis ausreichen Datenpunkte vorhanden
1.00
Nutzen u(x)
0.75
0.50
0.25
0.00
10000
20000
30000
40000
Auszahlung x
WS14/15
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
50000
Marcel Lichters, Stephan Schosser
45
Entscheidungen unter Risiko
85
Mittelwertkettungsmethode – Beispiel I
•  Beispiel
Erwartetes Einkommen
•  Schritt 4
xmin
10.000 €
xmax
55.000 €
Interpolation der gesamten Nutzenfunktion
1.00
Nutzen u(x)
0.75
0.50
0.25
0.00
10000
20000
30000
40000
Auszahlung x
WS14/15
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
50000
Marcel Lichters, Stephan Schosser
46
Entscheidungen unter Risiko
85
Mittelwertkettungsmethode – Diskussion
•  Hinweis: Interpolation
•  Im vorliegenden Fall Interpolation mit logarithmischer Nutzenfunktion
•  Interpolation auch linear, ... usw. möglich
•  Vorteil: Art der genutzten Lotterien
•  Bisher: Verarbeitung Wahrscheinlichkeiten für Entscheider schwierig
•  Hier: Ausschließlich Abfrage „einfacher“ 50% / 50% Lotterien
•  Vorteil: Einfache Konsistenzprüfung
•  Bei Inkonsistenzen Normierung von xmin und xmax auf andere Werte
•  Erhebung dieser neuen Lotterien (0.5, xmin; 0.5, xmax)
•  Nachteil: Potentielle Fehlerfortpflanzung
•  In spätere Lotterien gehen Sicherheitsäquivalente voriger Lotterien ein
•  Inkonsistente Angaben am Anfang können sich potenzieren
WS14/15
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Marcel Lichters, Stephan Schosser
47
Entscheidungen unter Risiko
85
Fraktilmethode
•  Idee
Bestimmen der Sicherheitsäquivalente für verschiedene p
(anders als Mittelwertverkettungsmethode: xmin und xmax bleiben unverändert)
•  Schrittweises Vorgehen
•  Visualisierung von u(xmin) und u(xmax)
•  Entscheider nennt SÄ für Lotterie (xmin, 0.8; xmax, 0.2)
•  Entscheider nennt SÄ für (xmin, 0.6; xmax, 0.4); (xmin, 0.4; xmax, 0.6); ...
•  Fortführen des obigen Vorgehens bis ausreichen Datenpunkte vorhanden
•  Interpolation der gesamten Nutzenfunktion
•  Illustration
xmax
0.8
0.6
∼
0.2
xmin
1. Schritt
WS14/15
xmax
0.4
∼
x0.8
0.4
xmax
∼
x0.6
xmin
2. Schritt
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
0.6
xmin
3. Schritt
x0.4
Marcel Lichters, Stephan Schosser
48
Entscheidungen unter Risiko
85
Fraktilmethode – Beispiel I
•  Beispiel
Erwartetes Einkommen
•  Schritt 1
xmin
10.000 €
xmax
55.000 €
Visualisierung von u(xmin) und u(xmax)
1.00
Nutzen u(x)
0.75
0.50
0.25
0.00
10000
20000
30000
40000
Auszahlung x
WS14/15
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
50000
Marcel Lichters, Stephan Schosser
49
Entscheidungen unter Risiko
85
Fraktilmethode – Beispiel II
•  Beispiel
Erwartetes Einkommen
•  Schritt 2
xmin
10.000 €
xmax
55.000 €
Entscheider nennt SÄ für Lotterie (xmin, 0.8; xmax, 0.2)
1.00
Nutzen u(x)
0.75
0.50
0.25
0.00
10000
20000
30000
40000
Auszahlung x
WS14/15
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
50000
Marcel Lichters, Stephan Schosser
50
Entscheidungen unter Risiko
85
Fraktilmethode – Beispiel III
•  Beispiel
Erwartetes Einkommen
•  Schritt 3
xmin
10.000 €
xmax
55.000 €
Entscheider nennt SÄ für (xmin, 0.6; xmax, 0.4); (xmin, 0.4; xmax, 0.6); ...
1.00
Nutzen u(x)
0.75
0.50
0.25
0.00
10000
20000
30000
40000
Auszahlung x
WS14/15
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
50000
Marcel Lichters, Stephan Schosser
51
Entscheidungen unter Risiko
85
Fraktilmethode – Beispiel IV
•  Beispiel
Erwartetes Einkommen
•  Schritt 4
xmin
10.000 €
xmax
55.000 €
Interpolation der gesamten Nutzenfunktion
1.00
Nutzen u(x)
0.75
0.50
0.25
0.00
10000
20000
30000
40000
Auszahlung x
WS14/15
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
50000
Marcel Lichters, Stephan Schosser
52
Entscheidungen unter Risiko
85
Fraktilmethode – Diskussion
•  Hinweis: Wahl der „Stützstellen“
•  Die Wahrscheinlichkeiten p werden über Intervall [0; 1] gleichverteilt
•  Anzahl der Stützstellen damit zu Beginn der Erhebung bekannt
•  Erfahrener Befrager kann auch p frei wählen
•  Konsistenzprüfung
•  Einfachstes Vorgehen: Mittelwerte zwischen erhobenen Punkten
•  Beispiel: x0.4 und x0.6 bekannt, dann Abfrage von x0.5
•  Vorteil: Konsequenzen unverändert
•  xmin und xmax bleiben während gesamter Abfrage unverändert
•  Nur Wahrscheinlichkeiten ändern sich
•  Vorteil: Keine Fehlerfortpflanzung
•  In spätere Lotterien gehen keine Ergebnisse voriger Abfragen ein
•  Inkonsistente Angaben am Anfang können sich nicht potenzieren
•  Nachteil: Komplexe Lotterien
•  Wahrscheinlichkeit p wird variiert
•  Potentielle Schwierigkeit bei Bewertung für Entscheider (Kapitel 2!)
WS14/15
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Marcel Lichters, Stephan Schosser
53
Entscheidungen unter Risiko
85
Methode variabler Wahrscheinlichkeiten
•  Idee
Bestimmen von p für gegebene SÄ, xmin und xmax
(gehört zu Klasse der Wahrscheinlichkeitsäquivalent-Methoden)
•  Schrittweises Vorgehen
•  Visualisierung von u(xmin) und u(xmax)
•  Entscheider nennt p für (xmin, p; xmax, (1-p)) ∼ SÄ1 = xmin + 0.5 (xmax – xmin)
•  Fortführen des obigen Vorgehens bis ausreichen Datenpunkte vorhanden
•  Interpolation der gesamten Nutzenfunktion
•  Illustration
p0.5
1-p0.5
∼
xmax
p0.5
xmin
1-p0.25
xmin+0.5(xmax–xmin)
1. Schritt
WS14/15
∼
p0.75
xmax
xmin
xmin+0.25(xmax–xmin)
2. Schritt
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
1-p0.75
∼
xmax
xmin
xmin+0.75(xmax–xmin)
3. Schritt
Marcel Lichters, Stephan Schosser
54
Entscheidungen unter Risiko
85
Methode variabler Wahrscheinlichkeiten – Beispiel I
•  Beispiel
Erwartetes Einkommen
•  Schritt 1
xmin
10.000 €
xmax
55.000 €
Visualisierung von u(xmin) und u(xmax)
1.00
Nutzen u(x)
0.75
0.50
0.25
0.00
10000
20000
30000
40000
Auszahlung x
WS14/15
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
50000
Marcel Lichters, Stephan Schosser
55
Entscheidungen unter Risiko
85
Methode variabler Wahrscheinlichkeiten – Beispiel II
•  Beispiel
Erwartetes Einkommen
•  Schritt 2
xmin
10.000 €
xmax
55.000 €
Entscheider nennt p für (xmin, p; xmax, (1-p)) ∼ SÄ1 = xmin + 0.5 (xmax – xmin)
1.00
Nutzen u(x)
0.75
0.50
0.25
0.00
10000
20000
30000
40000
Auszahlung x
WS14/15
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
50000
Marcel Lichters, Stephan Schosser
56
Entscheidungen unter Risiko
85
Methode variabler Wahrscheinlichkeiten – Beispiel III
•  Beispiel
Erwartetes Einkommen
•  Schritt 3
xmin
10.000 €
xmax
55.000 €
Fortführen des obigen Vorgehens bis ausreichen Datenpunkte vorhanden
1.00
Nutzen u(x)
0.75
0.50
0.25
0.00
10000
20000
30000
40000
Auszahlung x
WS14/15
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
50000
Marcel Lichters, Stephan Schosser
57
Entscheidungen unter Risiko
85
Methode variabler Wahrscheinlichkeiten – Beispiel IV
•  Beispiel
Erwartetes Einkommen
•  Schritt 4
xmin
10.000 €
xmax
55.000 €
Interpolation der gesamten Nutzenfunktion
1.00
Nutzen u(x)
0.75
0.50
0.25
0.00
10000
20000
30000
40000
Auszahlung x
WS14/15
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
50000
Marcel Lichters, Stephan Schosser
58
Entscheidungen unter Risiko
85
Methode variabler Wahrscheinlichkeiten – Diskussion
•  Hinweis: Wahl der „Stützstellen“
•  Die abgefragten Sicherheitsäquivalente können beliebig gewählt werden
•  Anzahl der Sicherheitsäquivalente bis Nutzenfunktion interpolierbar
•  Konsistenzprüfung
•  Hier: Essentiell wichtig, da Abfrage als schwer wahrgenommen
•  Einsatz der bisherigen Abfragetechniken mögliche
•  Vorteil: Für nicht-kontinuierliche Daten möglich
•  Sollte x nicht-kontinuierlich sein, ...
•  Kann als SÄ beliebiger zulässiger Wert gewählt werden
•  Vorteil: Keine Fehlerfortpflanzung
•  In spätere Lotterien gehen keine Ergebnisse voriger Abfragen ein
•  Inkonsistente Angaben am Anfang können sich nicht potenzieren
•  Nachteil: Komplexe Lotterien
•  Angabe von „Indifferenzwahrscheinlichkeiten“ als schwer wahrgenommen
•  Variation der Lotterien schwierig
WS14/15
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Marcel Lichters, Stephan Schosser
59
Entscheidungen unter Risiko
85
Agenda
•  Einführung
•  Entscheidungen unter Sicherheit
•  Generierung von Wahrscheinlichkeiten
•  Entscheidungen unter Risiko
•  Erwartungswert
•  Erwartungsnutzentheorie
•  Risikopräferenzen
•  Bestimmung der Nutzenfunktion
•  Ermittlung der optimalen Alternative
•  Nutzentheorie und Risiko
•  Mehrere Ziele
•  Empirische Beobachtungen
•  Zeitpräferenzen bei sicheren Erwartungen
•  Deskriptive Aspekte des Entscheidens
•  Naive Entscheidungsregeln und Heuristiken
WS14/15
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Marcel Lichters, Stephan Schosser
60
Entscheidungen unter Risiko
85
Identifikation der optimalen Alternative
•  Bisher
•  Definition des Erwartungsnutzens: EU(a) = ∑ p ⋅ u(a )
•  Methoden zur Ableitung der Nutzenfunktion
•  Jetzt
n
i=1
i
i
Vorgehen zur Ableitung der Nutzenfunktion
•  Entscheidungssituation
Konsequenz
Alternative
p1
p2
p3
E(a)
a
a1
a2
a3
p1a1+p2a2+p2a3
b
b1
b2
b3
p1b1+p2b2+p2b3
•  Entscheidungsmatrix
Konsequenz
Alternative
WS14/15
p1
p2
p3
EU(a)
a
u(a1)
u(a2)
u(a3)
p1u(a1)+p2u(a2)+p2u(a3)
b
u(b1)
u(b2)
u(b3)
p1u(b1)+p2u(b2)+p2u(b3)
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Marcel Lichters, Stephan Schosser
61
Entscheidungen unter Risiko
85
Identifikation der optimalen Alternative – Beispiel
•  Entscheidungssituation
Fahrtdauer
Alternative
pRegen = 20% pSonne = 50% pSchnee = 30%
E(Fahrtdauer)
Rad
11 Minuten
15 Minuten
20 Minuten
14.5 Minuten
Bus
15 Minuten
15 Minuten
15 Minuten
15.0 Minuten
Auto 17 Minuten
10 Minuten
20 Minuten
14.4 Minuten
•  Wertfunktion: 1.71 – 0.578 e0.02x
Warum ist Exponent hier positiv?
•  Entscheidungsmatrix
pRegen = 20% pSonne = 50% pSchnee = 30%
Alternative
Rad
0.99
0.93
0.84
0.913
Bus
0.93
0.93
0.93
0.926
Auto
0.89
1.00
0.84
0.932
•  Entscheidung: Fahrt mit dem Auto
WS14/15
EU(Fahrtdauer)
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Marcel Lichters, Stephan Schosser
62
Entscheidungen unter Risiko
85
Visualisierung von Entscheidungssituationen
•  Problem
•  Oft beeinflusst Entscheidung künftige Entscheidungen
•  Darstellung als Baum möglich
•  Beispiel
Liegen b
leiben
0.50
18.8 Minuten
0.50
10.0 Minuten
0.50
14.6 Minuten
0.50
15.0 Minuten
0.0 Minuten
•  Im Folgenden
Bestimmung von optimalen Alternativen für „Entscheidungsbäume“
WS14/15
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Marcel Lichters, Stephan Schosser
63
Entscheidungen unter Risiko
85
Roll-Back-Verfahren
•  Vorgehen
•  Bewertung der Konsequenzen mittels Nutzenfunktion
•  Rückwärtstraversion durch die Entscheidungspunkte
•  Ermittlung des Erwartungsnutzen für alle Handlungsalternativen
•  Streichen aller nicht maximalen Handlungsalternativen
•  Ergebnis der Rückwärtstraversion: Optimale Handlungsalternative
•  Beispiel
≙ 0.93
≙ 0.92
Liegen b
leiben
0.50
18.8 Minuten ≙ 0.86
0.50
10.0 Minuten ≙ 1.00
0.50
14.6 Minuten ≙ 0.90
0.50
15.0 Minuten ≙ 0.93
0.0 Minuten ≙ 1.50
WS14/15
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Marcel Lichters, Stephan Schosser
64
Entscheidungen unter Risiko
85
Roll-Back-Verfahren – Beispiel
•  Entscheidung über Ölbohrung
≙ 0.641
≙ 0.764
Bohren mit Test
≙ 0.668
Wertfunktion
1.00
-30
≙ 0.641
0.85
270
≙ 0.995
≙ 0.846 0.15
≙ 0.641 1.00
-130
≙ 0.000
-30
≙ 0.641
0.10
270
≙ 0.995
0.90
-130
≙ 0.000
0.55
300
≙ 1.000
0.45
-100
≙ 0.263
0
≙ 0.738
0.6
0.4
≙ 0.100
•  Es wird getestet und dann entschieden
WS14/15
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Marcel Lichters, Stephan Schosser
65
Entscheidungen unter Risiko
85
Roll-Back-Verfahren – Anmerkungen
•  Vorteile
•  Schnell
Die Entscheidung lässt sich mit wenigen Berechnungen bestimmen
•  Verständlich
Die Vorgehensweise lässt sich einfach erklären / verstehen
•  Nachteile
•  Nur optimale Alternative wird identifiziert
•  Keine Ordnung der übrigen Alternativen
•  Vergleich bester mit zweitbester Alternative nicht möglich
•  Eingeschränkte Anwendbarkeit
•  Kein Einsatz, wenn wenn Wahrscheinlichkeiten nicht multiplizierbar
(Reduction of compound lotteries axiom)
•  Kein Einsatz, wenn Äste nicht vernachlässigbar
(Unabhängigkeitsaxiom)
WS14/15
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Marcel Lichters, Stephan Schosser
66
Entscheidungen unter Risiko
85
Agenda
•  Einführung
•  Entscheidungen unter Sicherheit
•  Generierung von Wahrscheinlichkeiten
•  Entscheidungen unter Risiko
•  Erwartungswert
•  Erwartungsnutzentheorie
•  Risikopräferenzen
•  Bestimmung der Nutzenfunktion
•  Ermittlung der optimalen Alternative
•  Nutzentheorie und Risiko
•  Mehrere Ziele
•  Empirische Beobachtungen
•  Zeitpräferenzen bei sicheren Erwartungen
•  Deskriptive Aspekte des Entscheidens
•  Naive Entscheidungsregeln und Heuristiken
WS14/15
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Marcel Lichters, Stephan Schosser
67
Entscheidungen unter Risiko
85
Aussagekraft der Nutzenfunktion
1.00
Nutzen u(x)
0.75
0.50
0.25
0.00
10000
20000
30000
40000
Auszahlung x
50000
60000
•  Was sagt uns diese Funktion über die Risikopräferenzen des Entscheiders?
WS14/15
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Marcel Lichters, Stephan Schosser
68
Entscheidungen unter Risiko
85
Aussagekraft der Nutzenfunktion – Beispiel
•  Richtig: Erst mal nichts!
•  Krümmung als Konsequenz der Risikopräferenzen möglich, ...
... aber auch als Konsequenz der Wertfunktion
(„intrinsisch risikoneutral“)
•  Abfrage der Wertfunktion (2. Fall)
•  (0 Orangen → 4 Orangen) ∼ (4 Orangen → 8 Orangen)
•  Wertfunktion und Risikofunktion nicht identisch
(„intrinsisch risikoavers“)
WS14/15
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
u(x)
75%
50%
25%
0%
0
2
4
6
8
Anzahl Orangen
v(x)
100%
75%
50%
25%
0%
0
2
4
6
8
Anzahl Orangen
100%
v(x)
•  Präferenzen über Orangen
•  Abfrage der Nutzenfunktion ergibt
•  (0 Orangen, 0.5; 8 Orangen, 0.5) ∼ (2 Orangen, 1.0)
•  SÄ = 2 < E(x) = 4 (risikoavers)
•  Illustration des Entscheiders (rechts)
•  Abfrage der Wertfunktion (1. Fall)
•  (0 Orangen → 2 Orangen) ∼ (2 Orangen → 8 Orangen)
•  Wertfunktion und Risikofunktion sind identisch
•  Relativ zur Wertfunktion risikoneutral
100%
75%
50%
25%
0%
0
2
4
6
Anzahl Orangen
8
Marcel Lichters, Stephan Schosser
69
Entscheidungen unter Risiko
85
Agenda
•  Einführung
•  Entscheidungen unter Sicherheit
•  Generierung von Wahrscheinlichkeiten
•  Entscheidungen unter Risiko
•  Erwartungswert
•  Erwartungsnutzentheorie
•  Risikopräferenzen
•  Bestimmung der Nutzenfunktion
•  Ermittlung der optimalen Alternative
•  Nutzentheorie und Risiko
•  Mehrere Ziele
•  Empirische Beobachtungen
•  Zeitpräferenzen bei sicheren Erwartungen
•  Deskriptive Aspekte des Entscheidens
•  Naive Entscheidungsregeln und Heuristiken
WS14/15
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Marcel Lichters, Stephan Schosser
70
Entscheidungen unter Risiko
85
Additives Modell – Motivation
•  Bisher
•  Multiattributive Wertfunktion (siehe Kapitel 1)
Wertfunktion berücksichtigt mehrere Attribute
•  Nutzenfunktion für ein Ziel (dieses Kapitel)
Nutzenfunktion wird für ein Attribut ermittelt
•  Jetzt
Kombination beider Ansätze um...
... In Nutzenfunktion mehrere Attribute abbilden zu können
•  Notation
•  Sichere Alternative ai = (ai1, ..., ain) mit Attributwert aij für Attribut Xj
•  Unsichere Alternative a = [p1, (a11, ..., a1m); ...; pn, (an1, ..., anm)] = [p1, a1; ...; pn, an]
•  Notation (in Worten)
•  Alternative a führt mit Wahrscheinlichkeit pi zum Ereignis i und damit zur
Konsequenz (ai1, ..., aim). Dabei ist aij der Attributwert des Attributs Xj bei
der Wahl der Alternative a und Eintritt von Ereignis i.
WS14/15
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Marcel Lichters, Stephan Schosser
71
Entscheidungen unter Risiko
85
Additives Modell – Vorteile
•  Ziel:
Wird Alternative a gegenüber b vorgezogen, dann sollte der Erwartungsnutzen von a größer als der Erwartungsnutzen von b sein, d.h. es soll gelten:
a ≽ b ⇔ EU(a) > EU(b)
•  Wünschenswert (Nutzenfunktion im Sinne des Dekompositionsprinzips)
Additive Nutzenfunktion
u(ai) = Σmj=1 kj · uj(aij) mit kj > 0 und Σ kj = 1
•  Vorteil einer Nutzenfunktion im Sinne des Dekompositionsprinzips
•  Erwartungswert über Addition (formal) bestimmbar
EU(a) = Σni=1 pi u(ai) = Σni=1 pi [Σmj=1 kj · uj(aij)] bzw.
= Σmj=1 kj [Σni=1 pi · uj(aij)] = Σmj=1 EU(ai)
•  Erwartungswert über bisherige Methoden empirisch ermittelbar
•  Eindimensionale Nutzenfunktion uj(aij) (vgl. Beginn des Kapitels)
•  Gewichtungsfaktoren kj über Trade-off Verfahren (vgl. Kapitel 2)
WS14/15
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Marcel Lichters, Stephan Schosser
72
Entscheidungen unter Risiko
85
Randwahrscheinlichkeiten – Diskrete Zufallsvariable
•  Münzwurf (3x wiederholt) (forts.)
•  Zufallsvariable X:
Anzahl Z bei den ersten beiden Würfen
•  Zufallsvariable Y:
•  Wahrscheinlichkeitstabelle
Y
X
0
1
2
0
1/8
1/8
0
1
1/8
1/4
1/8
1/4 = P ( X = 0)
1/2 = P ( X = 1)
2
0
1/8
1/8
1/4 = P ( X = 2 )
1/4
1/2
1/4
= P (Y = 0 ) = P (Y = 1) = P (Y = 2 )
•  Randwahrscheinlichkeiten lassen sich über Zeilen- bzw. Spaltensummen der
Wahrscheinlichkeitstabellen ermitteln
WS14/15
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Wiederholung Teil A
Anzahl Z bei den letzten beiden Würfen
Marcel Lichters, Stephan Schosser
73
Entscheidungen unter Risiko
85
Additives Modell – Voraussetzungen I
•  Definition (Additive Nutzenunabhängigkeit)
Die Attributmenge X1, ..., Xm heißt additiv nutzenunabhängig, falls die
Präferenzen über Lotterien nur von den Verteilungen der Ausprägungen der
einzelnen Attribute abhängen, nicht jedoch von Verteilungen von
Attributkombinationen.
•  Beispiel: Winterurlaub
Sonne
Zugspitze
Harz
ja
nein
ja
nein
Top Wetter
1
0
1
0
1/2
Flop Wetter
0
1
0
1
1/2
Top Wetter
1
0
0
1
1/2
Flop Wetter
0
1
1
0
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
Was ist besser (Zugspitze oder Harz)?
WS14/15
Schnee
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Additives Modell – Beispiel
•  Winterurlaub
Zugspitze
Harz
Marcel Lichters, Stephan Schosser
74
Entscheidungen unter Risiko
85
Sonne
Schnee
ja
nein
ja
nein
Top Wetter
1
0
1
0
1/2
Flop Wetter
0
1
0
1
1/2
Top Wetter
1
0
0
1
1/2
Flop Wetter
0
1
1
0
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
•  Additives Modell
•  EU(Zugspitze) = 0.5 · [0.5 uso(1) + 0.5 uso(0) + 0.5 usc(1) + 0.5 usc(0)] +
0.5 · [0.5 uso(0) + 0.5 uso(1) + 0.5 usc(0) + 0.5 usc(1)]
= 0.5 uso(1) + 0.5 uso(0) + 0.5 usc(1) + 0.5 usc(0)
•  EU(Harz) = 0.5 · [0.5 uso(1) + 0.5 uso(0) + 0.5 usc(1) + 0.5 usc(0)] +
0.5 · [0.5 uso(1) + 0.5 uso(0) + 0.5 usc(1) + 0.5 usc(0)]
= 0.5 uso(1) + 0.5 uso(0) + 0.5 usc(1) + 0.5 usc(0)
•  EU(Zugspitze) = EU(Harz)
Ist das intuitiv?
WS14/15
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Marcel Lichters, Stephan Schosser
75
Entscheidungen unter Risiko
85
Additives Modell – Voraussetzungen II
•  Problem: Komplementäre Attributbeziehungen
•  Additives Modell nicht anwendbar...
... bei Attributen die bei bestimmten Attributwerten höheren Nutzen...
... bewirken als alleine
•  Beispiele
•  Winterurlaub
Ski bei Sonne ist besser als Wandern bei Sonne + Ski ohne Sonne
•  Schuhkauf
Passendes Paar Schuhe ist besser als passender linker / rechter Schuh
•  Problem: Substitutive Attributbeziehungen
•  Additives Modell nicht anwendbar...
... bei Attributen die bei bestimmten Attributwerten andere kompensieren
•  Beispiel:
•  Winterurlaub
Schnee: Ski (und Wetter egal) + Sonne: Wandern (und Schnee unnötig)
•  Getränke
Ist der Wein aus, saufen wir eben Bier!
WS14/15
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Marcel Lichters, Stephan Schosser
76
Entscheidungen unter Risiko
85
Additives Modell – Voraussetzungen III
•  Problem: Intrinsische, multiattributive Risikoaversion (-freude)
•  Risikofreude: Alles riskieren, ... um das meiste rauszuholen
•  Risikoaversion: Schlechtes Ergebnis sollte noch akzeptabel sein
•  Unterschied zu bisher
Nutzen der Attribute kann unabhängig sein
•  Nutzen von Sonne unabhängig von Schnee (immer schönes Wetter)
•  Nutzen von Schnee unabhängig von Sonne (immer Skifahren möglich)
Sonne
Zugspitze
Harz
Schnee
ja
nein
ja
nein
Top Wetter
1
0
1
0
1/2
Flop Wetter
0
1
0
1
1/2
Top Wetter
1
0
0
1
1/2
Flop Wetter
0
1
1
0
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
•  Zugspitze ≺ Harz: Risikoaversion | Harz ≺ Zugspitze: Risikofreude
WS14/15
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Marcel Lichters, Stephan Schosser
77
Entscheidungen unter Risiko
85
Additives Modell – Prüfen der Voraussetzungen
•  Konstruktion von Lotterien (analog Beispiel)
•  Für Alternativen bester und schlechtester Ausgang gleich wahrscheinlich
•  Alternative 1: Bester und schlechtester Ausgang tritt gemeinsam auf
•  Alternative 2: Bester und schlechtester Ausgang treten abwechselnd auf
•  Prüfung auf Indifferenz zwischen den Alternativen
•  Bei weitestgehend Indifferenz: Additives Modell anwendbar
•  Bei mangelnder Indifferenz: Keine Anwendung des additiven Modells
•  Additives Modell ist einfach ⇒ Notfalls versuchen Voraussetzung herzustellen
•  Komplementäre oder substitutive Attributbeziehungen
•  Umdefinieren der Ziele
•  Beispiel: „Zuverlässigkeit“ und „Servicequalität“ (Substitute)
Umwandlung in Ziel „Reparaturkosten“
•  Intrinsische, multiattributive Risikoaversion (-freude)
•  Herstellen der Voraussetzungen schwierig
⇒ Anwendung alternatives Modell
WS14/15
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Marcel Lichters, Stephan Schosser
78
Entscheidungen unter Risiko
85
Agenda
•  Einführung
•  Entscheidungen unter Sicherheit
•  Generierung von Wahrscheinlichkeiten
•  Entscheidungen unter Risiko
•  Erwartungswert
•  Erwartungsnutzentheorie
•  Risikopräferenzen
•  Bestimmung der Nutzenfunktion
•  Ermittlung der optimalen Alternative
•  Nutzentheorie und Risiko
•  Mehrere Ziele
•  Empirische Beobachtungen
•  Zeitpräferenzen bei sicheren Erwartungen
•  Deskriptive Aspekte des Entscheidens
•  Naive Entscheidungsregeln und Heuristiken
WS14/15
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Marcel Lichters, Stephan Schosser
79
Entscheidungen unter Risiko
85
Ellsberg-Paradoxon I
•  Experiment (Ellsberg, 1961)
•  Urne enthält 30 rote Bälle und...
... 60 schwarze oder gelbe Bälle
•  Verhältnis schwarzer zu gelben Bällen unbekannt
•  Zwei Entscheidungssituationen
Alternative
Beschreibung
a
Gewinn falls roter Ball gezogen
b
Gewinn falls schwarzer Ball gezogen
Alternative
Beschreibung
a'
Gewinn falls roter oder gelber Ball gezogen
b'
Gewinn falls schwarzer oder gelber Ball gezogen
•  Typisches Ergebnis
•  1. Entscheidung a ≻ b
•  2. Entscheidung b‘ ≻ a‘
WS14/15
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Marcel Lichters, Stephan Schosser
80
Entscheidungen unter Risiko
85
Ellsberg-Paradoxon II
•  Verletzung des „Sure Thing Principle“
•  Unterschied zwischen a, b und a‘, b‘:
a‘ und b‘ treten auch dann ein wenn Kugel gelb
⇒ Präferenz sollte identisch sein
•  Illustration
1
2
Gewinnwkt.
a (a‘)
Gewinnwkt.
b (b‘)
„sicherer“
Gewinn
pa
pb
-
pa + pc
pb + pc
-
pa
pb
pc
Situationen sind mit Ausnahme der „sicheren“ Auszahlung gleich
⇒ Präferenz sollte identisch sein
•  Erklärungsansätze
•  Ambiguitätsaversion: Entscheider favorisieren hohe Glaubwürdigkeit
•  Weiterer Risikofaktor: Nichtwissen der Wkt. als zusätzliches Risiko
WS14/15
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Marcel Lichters, Stephan Schosser
81
Entscheidungen unter Risiko
85
Allais – Paradoxon I
•  Wahl zwischen je zwei Lotterien (visualisiert als Baum)
a
1.00
(3.000)
(4.000)
0.2
(0)
b
E(a) = 3.000
0.25
0.8
E(b) = 3.200
(3.000)
0.2
(4.000)
0.8
(0)
b‘
a'
0.75
(0)
E(a‘) = 750
•  Entscheider wählen meist
•  Situation 1: a ≻ b
•  Situation 2: b‘ ≻ a‘
E(b‘) = 800
•  Aber:
•  1.0 : 0.8 = 5 : 4 = 0.25 : 0.20 (Verhältnis der Gewinnwkt. Identisch)
•  Übergang von 100% auf 80% stärker gewichtet als 25% zu 20%
WS14/15
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Marcel Lichters, Stephan Schosser
82
Entscheidungen unter Risiko
85
Allais – Paradoxon II
•  Wahl zwischen je zwei Lotterien (Allais, 1953)
Situation 1
Wahl A
100%, 1 Mio
Entspricht:
Wahl B
10%, 5 Mio
1%, 0 Mio 89%, 1 Mio
11%, 1 Mio 89%, 1 Mio 10%, 5 Mio
1%, 0 Mio 89%, 1 Mio
Situation 2
Wahl A‘
Wahl B‘
11%, 1 Mio 89%, 0 Mio 10%, 5 Mio 90%, 0 Mio
•  Vorhersage Erwartungsnutzentheorie (wg. Unabhängigkeit)
•  Situation 2 unterscheidet sich von Situation 1 durch hinzufügen von ...
... 1 Mio mit Wahrscheinlichkeit 89%
•  Wer A ≻ B wählt sollte damit auch A‘ ≻ B‘ wählen
•  Typisches Ergebnis
•  Situation 1: A ≻ B
•  Situation 2: B‘ ≻ A‘
WS14/15
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Nicht in der Vorlesung behandelt
Marcel Lichters, Stephan Schosser
83
Entscheidungen unter Risiko
85
Isolationsprinzip – Noch etwas deutlicher...
•  Wahl zwischen je zwei identischen Lotterien in unterschiedlicher Darstellung
•  Normale Lotterie
Situation 1
Wahl A
25%, 3.000
Wahl B
75%, 0 20%, 4.000
80%, 0
•  Darstellung als Baum, ...
... wobei Teilnehmer entscheidet vor Zug der Natur, wobei
A‘
(3.000)
0.8
(4.000)
0,25
B‘
0.2
(0)
0,75
(0)
Situation 2
Wahl A‘
100%, 3.000
Wahl B‘
80%, 4.000
20%, 0
Entspricht
25%, 3.000
75%, 0 20%, 4.000 80%, 0
•  Typisches Ergebnis: B ≻ A (65% der Teiln.) und A‘ ≻ B‘ (78% der Teiln.)
WS14/15
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Marcel Lichters, Stephan Schosser
84
Entscheidungen unter Risiko
85
Indifferenzkurven sind Parallelen, da...
•  Angabe von p2: nicht nötig, da gilt p2 = 1 – p1 – p3
•  Stärke Präferenz: Da x1 ≺ x2 ≺ x3 gilt Alternative (0, x1; 0, x2; 1, x3) am Besten
•  Fehlt noch: Form der Indifferenzkurven (Gerade, identische Steigung
(p1=0, p3=1)
p1=0.1, p2=0.2, p3=0.7
Indifferenzkurven
(p1=0, p3=0)
WS14/15
(p1=1, p3=0)
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Wiederholung vorn
Nicht in der Vorlesung behandelt
Dreieck-Ergebnis-Diagramm
•  Bisherige Darstellung
Marcel Lichters, Stephan Schosser
85
Entscheidungen unter Risiko
85
Nicht in der Vorlesung behandelt
Dreieck-Ergebnis-Diagramm
•  Darstellung unter Berücksichtigung des Allais-Paradoxons
Indifferenzkurven bilden Fächer, da...
•  Geraden: a ∼ b ⇒ a ∼ p · a + (1-p) · b ∼ b
•  Fächer: Abstände nahe 0 und 1 werden größer
(p1=0, p3=1)
Indifferenzkurven
(p1=0, p3=0)
WS14/15
(p1=1, p3=0)
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B