Prof. Dr.- Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 1
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Prof. Dr.- Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 1" 64 1etv3-1 3 Gleichstromkreise 3.1 Begriffe 3.1.1 Netzwerk Der Lernende kann den Begriff Netzwerk definieren und Netzwerkbeispiele aus der Gleich. und Wechselstromtechnik angeben die Begriffe Zweig, Knoten und Masche im Netzwerk definieren den Begriff spannungsbildendes Schaltelement In der elektrischen Energietechnik und in der Nachrichtentechnik bestehen reale Schaltungen oder Stromkreise aus realen Schalelementen, die in einer dem Zweck entsprechenden Art und Weise miteinander elektrisch verbunden sind. Elektrische Schaltungen werden durch Schaltzeichen dargestellt. Um diese Schaltungen einer Berechnung zugänglich zu machen, werden sie durch ideale Schalelemente modelliert. Dieses Modell bezeichnet man als Netzwerk. Leitung Einschalter Schließer Kreuzung ohne Verbindung Ausschalter Öffner leitende Verbindung Umschalter Wechsler lösbare Verbindung Batterie linearer Widerstand Leitwert Spannungsquelle Spule (Spannungsquelle) Kondensator Stromquelle stetig veränderbar (Stromquelle) stetig veränderbarer Widerstand (Stromquelle) Schleifkontakt gerichtete Leitung Diode Widerstand mit Schleifkontakt V nichtlinearer Widerstand A W Abb. 3.1.1 Spannungsmesser Strommesser Leistungsmesser Zusammenstellung wesentlicher Schaltelemente nach DIN 40700 bis 40717 Prof. Dr.- Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 1" 65 1etv3-1 R1 R1 Uq1 L R4 R3 R2 Uq2 R2 C uq2 uq1 R5 Abb. 3.1.2 a) b) Gleichstromnetzwerk Wechselstromnetzwerk Das Netzwerk besteht aus einzelnen Zweigen, die an den Knotenpunkten miteinander verbunden sind und auf diese Weise Maschen bilden. Ein Knotenpunkt ist ein Verzweigungspunkt im Netzwerk, wobei im allgemeinen mindestens drei Verbindungsleitungen zusammenkommen. Knotenpunkte mit zwei Verbindungsleitungen werden für spezielle Fälle definiert. Zwischen zwei Knotenpunkten muss sich immer ein aktives oder passives Schaltelement befinden. Das sind Spannungs- oder Stromquellen, Widerstände, Kondensatoren, Spulen. Befinden sich zwischen zwei oder drei leitenden Verbindungspunkten eines Netzwerkes keine Schaltelemente, müssen diese Verbindungspunkte zu einem Knoten zusammengefasst werden.. Iq K1 Uq1 A R2 Iq R3 R1 Abb. 3.1.3 Netzwerk 1 K1 2 3 Uq2 K2 B Iq K2 Netzwerkstruktur (Graf) Prof. Dr.- Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 1" 66 1etv3-1 Ein Zweig ist die elektrische Verbindung zwischen zwei Knotenpunkten und muss mindest ein aktives oder passives Schaltelement enthalten. K1 R1 Uq1 K1 R5 K2 I5 Uq2 a) Netzwerk a) 4 K3 K3 Abb. 3.1.4 M3 3 2 R4 R3 R2 M2 M1 1 K2 5 b) und Netzwerkstruktur b) mit eingetragenen Maschen Kein Zweig ist demzufolge die widerstandslose Verbindung zwischen zwei Netzwerksschaltpunkten. Diese Schaltpunkte werden zu einem Knotenpunkt zusammengefasst. Eine Masche ist ein in sich geschlossener Umlauf entlang von Zweigen oder Spannungspfeilen. Eine Masche besteht daher immer aus mindestens zwei Zweigen oder einem Zweig und dessen Klemmenspannung 3.1.2 Zählrichtungen Der Lernende kann die Begriffe Richtung (Vorzeichen) sowie Zählrichtung von Spannung und Strom unterscheiden und definieren die für die Netzwerkberechnung notwendigen Spannungs- und Stromzählpfeile in ein Netzwerk eintragen Mit den Richtungen von Strömen und Spannungen wurde das Vorzeichen der Größen festgelegt. Positive Stromrichtung war die Bewegungsrichtung positiver Ladungsträger, positive Spannungsrichtung war die Richtung vom höheren (positiveren) Potenzial zum niedrigern Potenzial. Bei der allgemeinen Untersuchung von Schaltungen und Netzwerken muss man den Wechsel der Strom- bzw. Spannungsrichtung zulassen und eine Betrachtungsweise wählen, die die jeweils zutreffende Stromrichtung als Ergebnis der Rechnung liefert. I I RiG UqG UqB Ra Generator Abb. 3.1.5 RiG RiB Batterie Stromrichtung a) beim Starten UqG RiB UqB Ra Generator b) beim Betrieb Batterie Prof. Dr.- Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 1" 67 1etv3-1 Bei der Netzwerksberechnung wird, wenn mehrere Quellen in einem Netzwerk vorhanden sind, die positive Richtung des Stromes und der Spannung in einem Zweig sich aus der Wirkung aller Quellen ergeben und sich erst als Ergebnis der Berechnung feststellen lassen. Es werden deshalb für alle Zweige Stromrichtungen angenommen (positiv gezählt) und durch Richtungspfeile gekennzeichnet. Da es sich hier nicht um die tatsächlichen Stromrichtungen handelt, sondern um positiv zu zählende Richtungen, werden diese Richtungspfeile des Stromes Zählpfeile genannt. Ergibt die Rechnung einen positiven Wert des Stromes, so fließt der Strom tatsächlich in die Zählpfeilrichtung, wird ein negativer Wert errechnet, fließt er entgegen der positiven Zählrichtung. Es hat also wenig Sinn, sich vor der Berechnung Gedanken zu machen, wie der Strom fließen könnte. In den Aufgaben werden deshalb die Stromzählpfeile nach einheitlichem Muster eingetragen: In waagerecht liegenden Zweigen von links nach rechts, in senkrechten Zweigen von oben nach unten Die Richtungspfeile der Quellen sind die tatsächlichen Richtungen der Quellengrößen und durch die Aufgabenstellung vorgegeben. Durch ihre Richtung werden die Richtungen aller Zweigströme bestimmt. A Uq1 R2 I2 R3 Iq I1 I3 I1 Uq2 R1 R1 I2 Uq1 I5 R2 R5 Uq2 I4 I3 R3 B Abb. 3.1.6 Eintragung der Quellenspannungen-Richtungspfeile und der Stromzählpfeile Beispiel 3.1.01 a) Das Netzwerk ist mit den Zählpfeilen aller Ströme und Spannungen zu versehen b) Alle Knoten des Netzwerks sind zu markieren und zu nummerieren c) Alle Zweige des Netzwerks sind zu markieren und zu nummerieren d) In das Netzwerk sind mögliche Maschen einzutragen R3 R1 U q Iq Rq R2 R4 R4 Prof. Dr.- Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 1" 68 1etv3-1 R1 1 K1 Rq Iq q K2 I1;U1 IRq ;URq Ma Mc I2 ;U2 2 R 2 Uq R3 I3 ;U3 Mb I ;U 4 4 3 R4 K3 3.1.3 Zählpfeilsysteme Der Lernende kann die Begriffe aktiver und Passiver Zweipol definieren Strom- und Spannungszählpfeil nach dem Verbraucherzählpfeilsystem an einem Zweipol antragen den Begriff Erzeugerzählpfeilsystem an einem Zweipol erklären die Begriffe Kettenzählpfeilsystem und symmetrisches Zählpfeilsystem an einem Vierpol erläutern Analog zu den Stromzählpfeilen werden Spannungszählpfeile eingeführt. Spannungsquellen müssen im mit ihrer Polarität bekannt sein. Hier bestimmt die Polarität die Richtung des Spannungspfeils vom höhern zum niedrigeren Potenzial. Für die Spannungsfälle als Ergebnis des Stromes werden Zählpfeile eingeführt. Werden Spannungs- und Stromzählpfeile, die funktionell voneinander abhängen, in einem Netzwerk eingetragen, sind deren Zählpfeile nicht mehr frei wählbar. Die Gleichung zwischen Spannung und Strom bestimmt deren Vorzeichen. u = R ⋅i R>0 u und i haben gleiches Vorzeichen Werden Klemmenpaare (lösbare Verbindungen) in eine Schaltung eingeführt und zwischen diesen Klemmen eine Klemmenspannung definiert und durch einen Zählpfeil richtungsmäßig festgelegt, erhält man für den Strome mehrere ZählpfeilEintragungsmöglichkeiten. Das führt zu Zählpfeilsystemen Hat ein Schaltelement oder ein Netzwerksteil ein Klemmenpaar, spricht man von einem Zweipol oder Eintor. Enthält der Zweipol nur Widerstände ist es ein passiver Zweipol, enthält der Zweipol außerdem Quellen ist es einaktiver Zweipol. Abb. 3.1.7 a) passiver Zweipol a a b b b) aktiver Zweipol Prof. Dr.- Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 1" 69 1etv3-1 Für einen Zweipol gibt es zwei Möglichkeiten der Zuordnung von Spannung und Strom am Klemmenpaar: 1. 2. Spannungs- und Stromzählpfeil haben über dem Zweipol gleiche Richtung und damit gleiches Vorzeichen. p = u⋅i > 0 Leistung wird positiv: Verbraucherzählpfeile Spannungs- und Stromzählpfeil haben über dem Zweipol entgegengesetzte Richtung, entgegengesetztes Vorzeichen. Leistung wird negativ: p = u⋅i < 0 Erzeugerzählpfeile I U Abb. 3.1.8 Zählpfeile von Strom und Spannung nach dem Verbraucher-Zählpfeilsystem I U Abb. 3.1.9 Zählpfeile von Strom und Spannung nach dem Erzeuger-Zählpfeilsystem Ordnet man einem Netzwerk zwei Klemmenpaare zu (im Sinne Eingang; Ausgang) erhält man einen Vierpol oder nach DIN 40124 Zweitor. Für Vierpole sind zwei Zählpfeilsysteme üblich: Kettenzählpfeilsystem: Eingang: Verbraucherzählpfeile, Ausgang: Erzeugerzählpfeile. (Angewendet bei der Beschreibung von Leitungen, Übertragungsgliedern) I1 I2 U1 U2 Abb. 3.1.10 Zählpfeile von Strom und Spannung nach dem Ketten-Zählpfeilsystem Symmetrisches Zählpfeilsystem: Verbraucherzählpfeile auf beiden Seiten. Immer dann, wenn Eingang und Ausgang wechselseitig vertauschbar sind. I1 U1 I2 U2 (Transformator im Netzeinsatz). Es entstehen gleichartige Gleichungssysteme zur Beschreibung. Abb. 3.1.11 Zählpfeile von Strom und Spannung nach dem Ketten-Zählpfeilsystem Prof. Dr.- Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 1" 70 1etv3-1 Beispiel 3.1.02 a) Das Grundschema der elektrischen Energieübertragung durch Zusammenschaltung eines Quellenzweipols, eines Übertragungskanal-Vierpols und eines Verbraucherzweipols darzustellen b) Die Zählpfeile für Spannung und Strom sind für die beiden Zweipole als Verbraucherzählpfeilsystem und für den Vierpol als symmetrisches Zählpfeilsystem einzutragen Quelle IE I1 UE U1 I2 Übertragungsvierpol U2 IB UB Verbraucher Prof. Dr.- Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 1" 71 1etv3-1 3.2 3.2.1 Kirchhoffsche Gesetze Knotensatz Der Lernende kann die Knotensatz gleichungsmäßig und verbal angeben die Vorzeichenvereinbarung für die Knotengleichung angeben den Knotensatz auf Netzwerksknoten anwenden den Knotensatz auf Netzwerksbereiche anwenden In einem abgeschlossenen Raum (Volumen) befindet sich eine endliche Zahl Ladungsträger mit der Gesamtladung Q. Für dieses Volumen gilt der Satz von der Erhaltung der Ladung (Naturgesetz) In einem abgeschlossenen Volumen kann sich eine Ladung nur durch Zufluss oder Abfluss von Ladungen durch die Oberfläche ändern. Ladungen können nicht erzeugt oder vernichtet werden. (3.2.01) dQ dQn dQp = + =0 dt dt dt Bilanzgleichung positiver und negativer Ladungen Q = konst. Schließt man innerhalb des Volumens Speichermöglichkeiten aus (keine Kondensatoren oder Spulen), so müssen über die Oberfläche zugeführte Ladungen unmittelbar wieder über die Oberfläche abfließen. A iz Q=konst. dQ/dt=0 A dQ/dt=-i z+ia ia Abb. 3.2.1 Ladungserhaltungssatz zufließender Konvektionsstrom abfließender Konvektionsstrom dQ z dt dQa ia = dt iz = dQ = 0 = −iz + ia dt (3.2.02) (3.2.03) (3.2.03) Daraus ergibt sich der Knotensatz Die vorzeichenbehaftete Summe aller Ströme, die durch die Hüllfläche eines Volumens fließen ist zu jedem Zeitpunkt gleich Null ∑i µ µ =0 (3.2.04) Vorzeichenvereinbarung: Ströme, deren Zählpfeil aus der Hüllfläche zeigt, werden im Knotensatz mit positivem Vorzeichen summiert. Kirchhoff, deutscher Physiker 1824-1887 Prof. Dr.- Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 1" 72 1etv3-1 Der Knotensatz ist allgemeingültig, er ist nicht auf bestimmte Materialien, Schaltungen oder Baugruppen beschränkt, es sind auch keine Detailkenntnisse der Schaltung innerhalb des Volumens erforderlich. Für Netzwerke oder Schaltungen gilt: 1. An jedem Knoten der Schaltung/Netzwerk ist die algebraische Stromsumme gleich Null. 2. Die algebraische Stromsumme durch jede ein bestimmtes Volumen der Schaltung einhüllende Oberfläche (Hüllfläche) ist Null. IA K1 K1: -IA+I1+I2=0 K2 IB I1 K3: .I2 +IC +I4 = 0 I3 I2 K5 K2: -I1 +IB +I3 = 0 K4: -I4 - I3 - ID = 0 I4 IC K5: -IA +IB +I3 +I2 = 0 ID K4 K3 Abb. 3.2.2 Anwendung des Knotensatz auf Netzwerksknoten und Netzwerksgebiet Beispiel 3.2.01 Für alle Knoten des Netzwerks des Beispiels 3.1.01 sind die Knotengleichungen aufzustellen R3 R1 Uq K2 K1 Iq Rq IRq I1 I2 I3 R2 I4 R4 K3 K1: −Iq + I1 + IRq = 0 K2: −I1 + I2 + I3 = 0 K3: Iq − IRq − I2 − I3 = 0 Prof. Dr.- Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 1" 73 1etv3-1 3.2.2 Maschensatz Der Lernende kann den Maschensatz gleichungsmäßig und verbal angeben den Begriff Masche erklären den Umlaufsinn und die Quellenpfeile und die Spannungszählpfeile in einer Masche eintragen und den Maschensatz anwenden Eine Masche ist ein geschlossener Umlauf im Raum entlang von Spannungspfeilen. Im Netzwerk ist eine Masche ein geschlossener Umlauf entlang einer beliebigen Anzahl von Zweigen. In der Masche sind die Potentiale der Knotenpunkte a, b, c, d bekannt oder einfach messbar. Für die Zweigspannungen gilt: Ucd = ϕc − ϕd R2 Uq1 R1 a I2 I1 b IB R3 I3 Ubc I4 (3.2.05) IC d Uda = ϕd − ϕa Uab + Ubc + Ucd + Uda = 0 IA Uda Uab = ϕA − ϕB Ubc = ϕB − ϕC Uab Uq2 R4 c ID Ucd (3.2.06) Abb. 3.2.3 Ableitung des Maschensatzes mittels der Knotenpotenziale Die Zweigspannungen lassen sich in gleicher Weise aus den im Zweig vorhandenen Spannungen (Quellenspannungen, Spannungsabfälle) ermitteln. Daraus ergibt sich der Maschensatz: Die vorzeichenbehaftete Summe aller Spannungen einer Masche ist Null. ∑ uν = 0 (3.2.07) ν Anwendungen, Richtungsfestlegungen: 1. Jedem spannungsbildenden Element einer Masche muss ein Richtungspfeil zugeordnet werden. Quellen sind durch ihre Polarität richtungsmäßig festgelegt Spannungsabfälle erhalten einen Zählpfeil und im Ergebnis der Berechnung im Spannungswert ein Vorzeichen, das in Verbindung mit dem Zählpfeil die Spannungsrichtung bestimmt. 2. Bei der Summenbildung der Spannungen einer Masche, muss die Masche in einem vorher definierten Umlaufsinn durchlaufen werden. Dieser Umlaufsinn wird durch einen Pfeil in der Masche markiert. Im Sinne einer einheitlichen Behandlung sollte vorzugsweise der Rechtsumlauf angewendet werden. Ein Spannungspfeil in Umlaufrichtung ist bei der Summenbildung eine positive Spannung, ein Spannungspfeil entgegen der Umlaufrichtung ist eine negative Spannung. Prof. Dr.- Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 1" 74 1etv3-1 Energetisch interpretiert sagt der Maschensatz aus, dass ein positiver Ladungsträger beim Herumführen in der Masche in jedem spannungsführenden Element der Masche seine potentielle Energie verändert und die Summe dieser Energieänderungen Null ist. Anwendung des Maschensatzes 1. 2. 3. 4. Spannungspfeile der Quellenspannungen eintragen Zählpfeile der Spannungsabfälle eintragen Maschen entlang von Zweigen und deren Umlaufrichtung festlegen (Ma, Mb, Mc) Maschensätze der Maschen aufstellen R1 R3 U1 U3 Uq1 Ma R2 Mc U2 Ma: -U3 + U1 –Uq1+U4+Uq2-U2 = 0 Mb: U2 – Uq2 – U5 = 0 Mc: -U3 + U1 –Uq1+U4 – U5 = 0 Uq2 U4 R4 U5 Mb R5 Abb. 3.2.4 Anwendung des Maschensatzes auf eine Netzwerkmasche Beispiel 3.2.02 a) R1 Uq1 R3 R2 R4 Uq2 R5 R6 R1 Me Uq1 R6 Ma b) c) Uq3 U1 Das Netzwerk ist mit den Zählpfeilen aller Spannungen zu versehen Im Netzwerk sind möglichst viele Maschen zu markieren und deren Umlaufsinn eunzutragen Für die ausgewählten Maschen sind die Maschengleichungen aufzustellen U2 Mf R2 Mb Md R5 R4 U4 U6 Mc U3 R3 Uq2 U5 Uq3 Ma: Uq1 − U1 + U2 − U4 = 0 Mb: −U2 + U3 − Uq2 − U5 = 0 Mc: U4 + U5 + Uq3 − U6 = 0 Md: U4 − U2 + U3 − Uq2 + Uq3 − U6 = 0 Me: Uq1 − U1 + U2 + U5 + Uq3 − U6 = 0 Mf: Uq1 − U1 + U3 − Uq2 + Uq3 − U6 = 0 Prof. Dr.- Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 1" 75 1etv3-1 3.3 3.3.1 Widerstandsschaltungen Reihenschaltung, Parallelschaltung von Widerständen Der Lernende kann erklären, dass jeder passive Widerstandszweipol durch einen Ersatzwiderstand beschrieben werden kann den Ersatzwiderstand einer Reihenschaltung angeben den Ersatzleitwert einer Parallelschaltung angeben den Ersatzwiderstand der Parallelschaltung zweier Widerstände angeben Energieerhaltungssatz führte zum Knotensatz der Leistungen für abgeschlossenes Volumen ∑P ν =0 W = konst dW =0 dt pzu (3.3.01) pab Abb. 3.3.1 Energieerhaltungssatz Knotensatz der Leistungen Der passive Zweipol wird als abgeschlossenes Volumen betrachtet. Befinden sich im Zweipol n Widerstände, dann gilt unabhängig von deren Zusammenschaltung: P = P1 + P2 + ... + Pn P1 Da an den Klemmen des passiven Zweipols Spannung und Strom definiert sind, kann jeder passive Zweipol durch nur einen Widerstand (Ersatzwiderstand) dargestellt werden. U R= (3.3.03) I U2 P = U ⋅ I = I2 ⋅ R = (3.3.04) R Reihenschaltung n 1 P U Die zugeführte Leistung wird in den n Widerständen des Zweipols umgesetzt. R = ∑ Rν R1 I P U P R Abb. 3.3.3 Ersatzwiderstand eines passiven Zweipols P1 R1 U Rn R2 Abb. 3.3.2 Anwendung des Knotensatzes der Leistung auf einen Widerstandszweipol I (3.3.05) Pn I (3.3.02) Strom durch alle Widerstände gleich I P = P1 + P2 + ... + Pn I2 ⋅ R = I2 ⋅ R1 + I2 ⋅ R2 + ... + I2 ⋅ Rn R = R1 + R2 + ... + Rn P2 P Pn P2 R2 Abb. 3.3.4 Reihenschaltung von n Widerständen Rn Prof. Dr.- Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 1" 76 1etv3-1 Gesamtwiderstand einer Reihenschaltung ist die Summe der Teilwiderstände, dabei ist R > Rν In der Leitwertdarstellung ergibt sich: 1 1 1 1 (3.3.06) = + + ... + Gn G G1 G2 Für zwei in Reihe geschaltete Widerstände ergibt sich: R = R1 + R2 G ⋅G G= 1 2 G1 + G2 (3.3.07) (3.3.08) Beispiel 3.3.01 Die Widerstände R1 = 10Ω , R2 = 20Ω und R3 = 30Ω sind in Reihe geschaltet. Gesamtwiderstand und Gesamtleitwert der Schaltung sind zu bestimmen RG = R1 + R2 + R3 = 10Ω + 20Ω + 30Ω = 60Ω 1 1 1 GG = = = = 16.7mS R1 + R2 + R3 10Ω + 20Ω + 30Ω 60Ω Parallelschaltung Bei Parallelschaltung ist die Spannung über allen Widerständen gleich U P = P1 + P2 + ... + Pn U2 G = U2 G1 + U2 G2 + ... + U2 Gn G = G1 + G2 + .... + Gn I U P P1 G1 P2 Pn G2 Gn n G = ∑ Gν (3.3.09) 1 Gesamtleitwert einer Parallelschaltung von n Teilwiderständen ist die Summe derer Teilleitwerte, dabei ist: G>Gν Abb. 3.3.4 Parallelschaltung von n Widerständen Für zwei parallele Widerstände ergibt sich: R<Rν In Widerstandsdarstellung ergibt sich: 1 1 1 1 = + + ... + R R1 R2 Rn G = G1 + G2 = (3.3.10) R= R1R2 R1 + R2 1 1 1 = + R R1 R2 (3.3.11) (3.3.12) Prof. Dr.- Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 1" 77 1etv3-1 Beispiel 3.3.02 Die Widerstände R1 = 10Ω , R2 = 20Ω und R3 = 30Ω sind parallel geschaltet. Gesamtleitwert und Gesamtwiderstand der Schaltung sind zu bestimmen 1 1 1 1 1 1 + + = + + = 0.183S R1 R2 R3 10Ω 20Ω 30Ω 1 1 RG = = = 5.45Ω 1 1 1 1 1 1 + + + + R1 R2 R3 10Ω 20Ω 30Ω GG = 3.3.2 Gemischte Schaltungen Der Lernende kann Widerstandsnetzwerke durch Anwendung der Reihen- und Parallelschaltbeziehung schrittweise zusammenfassen und den Ersatzwiderstand des Zweipols bestimmen Auch für Kombinationen von Reihen- und Parallelschaltungen muss sich für den passiven Zweipol, da an den Klemmen U und I gegeben sind, ein Gesamtwiderstand U I oder ein Gesamtleitwert G = bilden lassen. R= I U Der Gesamtwiderstand wird dabei schrittweise durch das Zusammenfassen von in Reihe oder parallel geschalteter Widerstände ermittelt. Beispiel 3.3.03 Für das nachstehend gegebene Widerstandsnetzwerk ist der Widerstand zwischen den Anschlussklemmen zu bestimmen R1 = 40 Ω R2 = 12 Ω R3 = 10 Ω R4 = 125 Ω R5 = 72 Ω R6 = 50 Ω R4 R1 R5 R2 R3 I U RA = R2 + R3 = 12 Ω + 10 Ω = 22 Ω RB = R4 || R5 || R6 G B = G4 + G5 + G6 1 1 1 GB = + + = 0.0419S 125Ω 72Ω 50Ω 1 1 RB = = = 23.9Ω GB 0.0419S R6 R1 RB RA I U Prof. Dr.- Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 1" 78 1etv3-1 RC = R1|| RA GC = G1 + GA 1 1 + = 0.0705S 40Ω 22Ω 1 1 RC = = = 14.2Ω GC 0.0705S RC RB GC = I U R R = RC+RB = 14.2 Ω + 23.9 Ω R = 38.1 Ω 3.3.3 I U Stern-Dreieck-Umwandlung Der Lernende kann den Begriff der Gleichwertigkeit von Widerstandsschaltungen mit drei Anschlussklemmen erklären die Gleichungsbedingung der Gleichwertigkeit einer Stern- und einer Dreieckschaltung von Widerständen angeben mit den Umrechnungsgleichungen eine Sternschaltung von Widerständen in eine Dreieckschaltung und umgekehrt durchführen Es gibt Widerstandsschaltungen, bei denen der Gesamtwiderstand des Zweipols nicht durch Anwendung von Reihen- und Parallelschaltungen ermittelt werden kann. Es existiert aber ein messbarer U R= Gesamtwiderstand an den Klemmen I I A R1 R3 R5 U C Zur rechnerischen Bestimmung des Gesamtwiderstandes wird ein Teil der Schaltung herausgelöst und durch eine andere Schaltung ersetzt. Mit der veränderten Schaltung wird die Bestimmung des Gesamtwiderstandes möglich Der herausgelöste Schaltungsteil ist ein „passiver Dreipol“ mit den Klemmen A,B,C. Dieser Dreipol weist zwischen jeweils zwei Klemmen die Widerstände RAB; RBC; RCA auf. Für das verbleibende Netzwerk ist dann die innere Schaltung des Dreipols ohne Bedeutung, wenn an den Klemmen die gleichen Widerstandswerte RAB; RBC; RCA auftreten. R4 R2 B A C B Abb. 3.3.5 Herauslösen einer Schaltung mit drei Anschlussklemmen (Dreipol) aus einem Widerstandsnetzwerk Einfache Innenschaltungen des Dreipols sind: Prof. Dr.- Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 1" 79 1etv3-1 Sternschaltung (T-Schaltung) mit den Widerständen Dreieckschaltung (π-Schaltung) mit den Widerständen: R10; R20; R30 1 R12; R23; R13 A A R12 1 R10 R20 0 2 R13 C R30 2 C R23 3 3 B B Abb. 3.3.6 a) Sternschaltung der Widerstände b) Dreieckschaltung der Widerstände Für die Umwandlung gilt die oben formulierte Bedingung, dass die Klemmenwiderstände RAB; RBC; RCA für beide Schaltungen identisch sind. Sternschaltung RAC = R10 + R20 RBC = R20 + R30 RAB R10 + R30 Dreieckschaltung R12||(R23 + R13) = R12 (R 23 + R13 ) =E R12 + R 23 + R13 R23||(R12 + R13) = R23 (R12 + R13 ) =F R12 + R 23 + R13 R31||(R12 + R23) = R31(R12 + R23 ) =H R12 + R 23 + R13 Tab. 3.3.1 Gleichungsbedingungen für die Umrechnung Sternschaltung-Dreieckschaltung Auflösung nach den Sternwiderständen: +0 =E (G1) R10 + R20 + R30 =F (G2) 0 + R20 (G3) R10 + 0 + R30 =H (G4) = (G3)⋅(-1) + (G2) __________________________________ +0 =E (G1) R10 + R20 + 0 = F - H (G5) = (G1)+ (G4)) (G4) -R10 + R20 __________________________________ (G5) 0 +2R20 + 0 = E + F -H Prof. Dr.- Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 1" 80 1etv3-1 R20 = 2R20 = R12R 23 + R12R 31 + R 23R12 + R 23R 31 − R 31R12 − R 31R 23 R12 + R 23 + R 31 2R20 = 2R12R 23 R12 + R 23 + R 31 R12R 23 R12 + R 23 + R 31 R10 = R12R 31 R12 + R 23 + R 31 R30 = R 31R 23 R12 + R 23 + R 31 Auflösung nach den Dreieckwiderständen: Benutzung der Ergebnisse R10; R20;R30 R10 R31 = R 20 R 23 R 20 R12 = R30 R31 R23 = R12 R30/R10 R10 + R20 = R10 R12 = R30 R 23 R31 = R12 R30/R20 R12 (R 23 + R 31 ) R12 + R 23 + R 31 R 30 R R 30 R 30 + R12 30 + R 20 R10 R 20 R10 = R12 R 30 R 30 R R 1 + 30 + 30 + R12 + R12 R 20 R10 R 20 R10 R12 (R12 R10 + R20 = R12 1 1 1 1 + ) + R 20 R10 R 20 R10 = R12 1 1 1 1 1 1 R 30 ( + + ) + + R 30 R 20 R10 R 30 R 20 R10 R 30 ( R10 + R20 = R12 Übergang zu Leitwerten: 1 1 1 G10 + G20 + = ⋅ G10 G20 G12 G10 + G20 + G30 G10G20 G10 + G20 + G30 G20 G30 G23 = G10 + G20 + G30 G10 G30 G31 = G10 + G20 + G30 G12 = G10 + G20 1 G10 + G20 = ⋅ G12 G10 + G20 + G30 G10G20 R10 ⋅ R20 R30 R ⋅R R23 = R20 + R30 + 20 30 R10 R ⋅R R31 = R30 + R10 + 30 10 R20 R12 = R10 + R20 + Prof. Dr.- Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 1" 81 1etv3-1 Beispiel 3.3.04 Zu berechnen ist der Gesamtwiderstand zwischen den Klemmen! I R1 = 10 Ω R2 = 20 Ω R3 = 40 Ω R4 = 50 Ω R5 = 100 Ω 1 A R1 U R3 R5 0 C R2 3 R4 B R10 = R1 = 10 Ω R20 = R5 = 100 Ω R30 = R2 = 20 Ω R ⋅R R12 = R10 + R20 + 10 20 R30 10Ω ⋅ 100Ω = 160Ω R12 = 10Ω + 100Ω + 20Ω R ⋅R R23 = R20 + R30 + 20 30 R10 100Ω ⋅ 20Ω = 320Ω R 23 = 100Ω + 20Ω + 10Ω R ⋅R R31 = R30 + R10 + 30 10 R20 20Ω ⋅ 10Ω R31 = 20Ω + 10Ω + = 32Ω 100Ω R = R31|| (R12||R3 + R23||R4) R12R3 160Ω ⋅ 40Ω R12IIR 3 = = = 32Ω R12 + R3 160Ω + 40Ω R 23R 4 320Ω ⋅ 50Ω R23IIR 4 = = = 43.24Ω R23 + R 4 320Ω + 50Ω R = R13||(32.0 Ω + 43.24 Ω) = R31||75.24Ω] R= 2 I A 1 R12 R3 R31 U 2 C R4 3 B R23 I 1 A R12 IIR3 R31 U 32Ω ⋅ 75.24Ω = 22.45Ω 32Ω + 75.24Ω 2 C R23 IIR4 3 B Prof. Dr.- Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 1" 82 1etv3-1 3.3.4 Spannungsteilerregel Der Lernende kann die Spannungsteilerregel gleichungsmäßig und verbal angeben nachweisen, dass die Spannungsteilerregel nur auf Widerstände angewendet werden kann, die in Reihe geschaltet sind und vom gleichen Strom durchflossen werden Eine Reihenschaltung von Widerständen wird vom gleichen Strom I durchflossen. Durch den Strom I fällt über jedem Widerstand eine Spannung Uν = I Rν ab. Wegen des gleichen Stromes verhalten sich die Spannungen über den Widerständen wie die zugehörigen Widerstände. Das gilt für den einzelnen Widerstand, aber auch für Gruppen dieser Widerstände und auch für den Gesamtwiderstand. I U1 U2 Un R1 R2 Rn U Abb. 3.3.7 Spannungsteilung an der Reihenschaltung von Widerständen In der Reihenschaltung von Widerständen wird die Spannung geteilt: U1 R1 = U2 R2 Uµ Uν = Rµ Uµ Rν U = Rµ (3.3.15) R1 + R2 + ... + Rn Der Spannungsteiler ist die schaltungstechnische Realisierung der Spannungsteilerregel. Diese Schaltung wird in der Elektronik oft angewendet. Die Widerstände des Spannungsteilers müssen vom gleichen Strom durchflossen werden U = 12 V; R1 = 10 kΩ; R2 = 2 kΩ (leer laufender Spannungsteiler) U20 R2 = U R1 + R 2 R2 2kΩ U20 = U ⋅ = 12 V ⋅ = 2V R1 + R 2 10kΩ + 2kΩ I R1 U1 U R2 Abb. 3.3.8 Leerlaufender Spannungsteiler U20 Prof. Dr.- Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 1" 83 1etv3-1 Wird der Spannungsteiler durch einen Widerstand RB belastet, muss zunächst die Reihenschaltung der vom gleichen Strom durchflossenen Widerstände hergestellt werden. R A = R2IIRB = R2 ⋅ RB R2 + RB RB = 15kΩ R ⋅R 2kΩ ⋅ 15kΩ RA = 2 B = = 1.76kΩ R2 + RB 2kΩ + 15kΩ I R1 U RB U2 R2 Abb. 3.3.9 Belasteter Spannungsteiler U2 RA 1.76kΩ = = = 0.15 U R A + R1 1.76kΩ + 10kΩ U U2 = 2 ⋅ U = 0.15 ⋅ 12V = 1.8V U U1 I R1 U1 U U2 RA Abb. 3.3.10a Ersatzschaltung des belasteten Spannungsteilers Liegt eine Schaltung nach Abb. 3.3.10b vor, wird das gleiche Ergebnis erhalten. In die Anwendung der Spannungsteilerregel werden nur die vom gleichen Strom I1 durchflossenen Widerstände R1 und RA einbezogen. Widerstand R3 hat keinen Einfluss auf die Spannungsteilung. U2 RA 1.76kΩ = = = 0.15 U R A + R1 1.76kΩ + 10kΩ U2 = U2 ⋅ U = 0.15 ⋅ 12V = 1.8V U I I3 I1 R1 U U1 R3 RA U2 Abb. 3.3.10b Ersatzschaltung des belasteten Spannungsteilers Prof. Dr.- Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 1" 84 1etv3-1 Beispiel 3.3.05 Gegeben ist nebenstehender Spannungsteiler. R1 Uq = 30 V; R1 = 10 kΩ; RB = 47 kΩ a) b) Für Leelauf (Schalter S offen) für UB = 12 V ist der Widerstand R2 zu bestimmen Zu bestimmen ist UB bei Belastung (Schalter S geschlossen)! b) a) Uq R1 + R2 R1 = +1 UB0 R2 R2 R1 10kΩ R2 = = = 6.67Ω Uq 30V − 1 −1 12V UB0 = UB Uq UB Uq S Uq R2 UB RB R2 ⋅ RB R2IIRB R 2 + RB = = R ⋅R R1 + R2IIRB R1 + 2 B R2 + RB R2 ⋅ RB = = 0.369 R1 (R2 + RB ) + R2 ⋅ RB UB = 0.369 ⋅ 30V = 11.1V 3.3.5 Stromteilerregel Der Lernende kann die Stromteilerregel gleichungsmäßig und verbal angeben nachweisen, dass die Stromteilerregel nur auf Widerstände angewendet werden kann, die parallel geschaltet sind und über denen die gleiche Spannung anliegt die besondere Form der Stromteilerregel für zwei parallel Widerstände unter Verwendung der Widerstandswerte angeben Über jedem Widerstand einer Parallelschaltung von Widerständen fällt die gleiche Spannung U ab. Durch einen Widerstand der Parallelschaltung fließt der Strom U Iν = = U ⋅ Gν (3.3.16) Rν Wegen der gleichen Spannung U verhalten sich die Ströme wie die zugehörigen Leitwerte. Das gilt für den einzelnen Leitwert aber auch für Gruppen und den Gesamtleitwert. Iµ Iν Gν I1 G1 Gµ = = = I2 G2 Iµ Gµ I G1 + G2 + ... + Gn (3.3.17) In der Parallelschaltung von Widerständen wird der Strom im Verhältnis der Leitwerte geteilt. I I1 I2 G1 G2 In Gn Abb. 3.3.11 Stromteilerschaltung Prof. Dr.- Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 1" 85 1etv3-1 Beispiel 3.3.06 I = 1A R1 = 10Ω R2 = 20Ω R3 = 50Ω U I I 1 Zu berechnen sind die Teilströme I1; I2; I3! G1;R1 I2 I3 G2 ;R2 G3;R3 1 1 1 = 0.1S G2 = = 0.05S G3 = = 0.02S R1 R2 R3 G1 0.1S = = = 0.588 G1 + G2 + G3 0.1S + 0.05S + 0.02S G2 0.05S = = = 0.294 G1 + G2 + G3 0.1S + 0.05S + 0.02S G3 0.02S = = = 0.118 G1 + G2 + G3 0.1S + 0.05S + 0.02S G1 = I1 I I2 I I3 I I1 = 0.588 I = 0.588A I2 = 0.294 I = 0.294A I3 = 0.118 I = 0.118A I = I1 + I2 +I3 = 0.588A + 0.294A + 0.118A = 1.000A Knotensatz: Oft wird die Stromteilerregel auf zwei parallel Widerstände angewandt. I1 G1 R2 = = I2 G2 R1 U 1 R1 1 I1 G1 R2 R1 = = = = 1 1 R2 + R1 R1 + R 2 I G1 + G2 + R1 R2 R1 ⋅ R2 I2 G2 R1 = = I G1 + G2 R1 + R 2 I I1 I2 G 1 R1 G 2 R2 Abb. 3.3.12 Stromteilung bei zwei parallelen Widerständen Für die Anwendung der Stromteilerregel wird nur der Bereich der Schaltung betrachtet, über dem die gleiche Spannung abfällt. Es ist zweckmäßig, den übrigen Teil des Netzwerks abzudecken. Außer den beiden Widerständen dürfen in der Teilung des Gesamtstromes keine weiteren Widerstände enthalten sein!! Prof. Dr.- Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 1" 86 1etv3-1 3.3.6 Berechnung von Widerstandsnetzwerken mit den Teilerregeln Der Lernende kann die Teilerregeln für die Berechnung von Netzwerken mit nur einer Quelle anwenden Widerstandsnetzwerke, die nur eine Quelle enthalten oder mit einer Klemmenspannung versehen sind, lassen sich vollständig mit den Teilerregeln berechnen. a) Berechnung mit der Spannungsteilerregel: In dem Netzwerk sollen die Spannungen U1 und U2 berechnet werden. R1 = 10 Ω R2 = 8 Ω R3 = 2 Ω Uq R2 U2 Uq = 29 V U1 R1 R3 Da nur eine Spannungsquelle gegebenen und deren Polarität bekannt ist, können die Spannungsabfälle über den Widerständen vorzeichenrichtig eingetragen werde. Der Spannungsabfall über R1 zeigt von rechts nach links. R2IIR3 U2 = Uq R1 + R2IIR3 R2IIR3 = R2R3 R 2 + R3 R2R3 R2R3 R 2 + R3 R 2 + R3 R2R3 U2 = = = R1 (R2 + R3 ) + R2R3 R1R2 + R1R3 + R2R3 Uq R + R2R3 1 R 2 + R3 R 2 + R3 R2R3 U2 8Ω ⋅ 2Ω = = = 0.138 Uq R1R2 + R1R3 + R2R3 10Ω ⋅ 8Ω + 10Ω ⋅ 2Ω + 8Ω ⋅ 2Ω U2 = b) U2 ⋅ Uq = 0.138 ⋅ 29V = 4.00V Uq Berechnung mit der Stromteilerregel In dem Netzwerk sollen die Ströme I1, I2 und I3 berechnet werden. R1 = 10 Ω R2 = 8 Ω R3 = 2 Ω Uq I2 R2 I 3 Uq = 29 V I1 R1 I3 G3 R2 8Ω = = = = 0.8 I1 G2 + G3 R2 + R3 8Ω + 2Ω R3 I2 G2 2Ω = = = = 0.2 I1 G2 + G3 R2 + R3 8Ω + 2Ω R3 Prof. Dr.- Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 1" 87 1etv3-1 I1 = I1 = I2 = Uq R1 + R2IIR3 = Uq Uq (R2 + R3 ) Uq (R2 + R3 ) = = RR R1 (R2 + R3 ) + R2R3 R1R2 + R1R3 + R2R3 R1 + 2 3 R 2 + R3 29V ( 8Ω + 2Ω ) 10Ω ⋅ 8Ω + 10Ω ⋅ 2Ω + 8Ω ⋅ 2Ω = 2.5A I2 ⋅ I1 = 0.2 ⋅ 2.5A = 0.5A I1 Beispiel 3.3.07 Zu berechnen sind: R1 = 25 Ω R2 = 50 Ω R3 = 10 Ω R4 = 30 Ω R5 = 20 Ω R6 = 8 Ω R7 = 12 Ω a) b) I3 = I3 ⋅ I1 = 0.8 ⋅ 2.5A = 2.0A I1 U7/U mit der Spannungsteilerregel I7/I mit der Stromteilerregel R1 I U U1 R3 U2 R2 U3 R6 U5 R5 U6 U7 R7 R4 I7 U4 R1 I U U1 R3 U2 R2 U3 R A = (R 6 + R7 ) R5 U5 RA RA = (R6 + R7 )R5 = 10Ω R 6 + R7 + R5 R4 U4 R1 I U U1 RB = (R3 + R A + R 4 ) R 2 U2 RB RB = 25Ω U7 R7 12Ω = = = 0.6 U5 R6 + R7 8Ω + 12Ω U5 RA 10Ω = = = 0.2 U2 R3 + R A + R 4 10Ω + 10Ω + 30Ω U2 RB 25Ω = = = 0.5 U R1 + RB 25Ω + 25Ω U7 U7 U5 U2 = ⋅ ⋅ = 0.6 ⋅ 0.2 ⋅ 0.5 = 0.06 U U5 U2 U Prof. Dr.- Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 1" 88 1etv3-1 b) R1 R3 I U I3 R2 I2 R6 I5 R5 R4 R7 I7 I4 R1 R3 I U I2 I3 R2 R A = (R 6 + R7 ) R5 RA = RA R4 (R6 + R7 )R5 = 10Ω R 6 + R7 + R5 I4 R1 RB = (R3 + R A + R 4 ) R 2 I U RB RB = 25Ω I7 R5 20Ω = 0. 5 = = I3 R5 + R 6 + R7 20Ω + 8Ω + 12Ω I3 R2 50Ω = 0 .5 = = I R 2 + R3 + R A + R 4 50Ω + 10Ω + 10Ω + 30Ω I7 I7 I3 = ⋅ = 0.5 ⋅ 0.5 = 0.25 I I3 I
