Nachklausur zur Ingenieurmathematik

Universität Augsburg
Prof. Dr. Andreas Rathgeber
Professur für Wirtschaftsinformatik
insbes. Finanz- und Informationsmanagement
am Institut für Materials Ressource Management
Nachklausur zur Ingenieurmathematik
im Wintersemester 13/14
8 LP Ingenieursinformatik Bachelor
Hilfsmittel: Nichtprogrammierbarer Taschenrechner, 2 DIN A4 Seiten Formelsammlung
1 Jakobimatrix (20 Minuten)
Berechnen Sie für folgende Funktionen jeweils die Jakobimatrix:
1. g : R3 → R, x2 ≤ x3 ,
3
g(x) = ex1 + (x3 − x2 ) 2 , an der Stelle x0 = (0, 0, 1)T
2. h : R → R3 ,
h(x) = (sin(x) + cos(x), −sin(x) − cos(x), x3 )T für x0 =
π
2
3. Geben Sie die Tangentenebene der Funktion: f : R2 → R2 ,
(
f (x) =
√
)
√ 2x1 + sin(x1 + x2 )
2x2 + cos(x1 − x2 ) − 1
an der Stelle x0 = (0, 0)T an.
2 Taylorreihen und Integrale (17 Minuten)
Gegeben ist die Funktion :
f (x) =
sin x
cos x
1. Bestimmen Sie die erste und zweite Ableitung dieser Funktion!
2. Entwicklen Sie das Taylorpolynom zweiten Grades T n (x) an der Stelle x0 = 0!
Falls Sie zu keiner Lösung kamen, könen Sie ersatzweise das FALSCHE Polynom
3x2 + 2x + 5.
3. Wie hoch ist das bestimmte Integral des Taylorpolynoms T n (x) zwischen der Stelle 0 und der
Stelle 1?
1
Prof. Dr. Andreas Rathgeber
1. April 2014
4. Wie hoch ist das bestimmte Integral der Funktion f (x) zwischen der Stelle −1 und der Stelle 1?
5. Wie hoch ist das bestimmte Integral der Funktion f (x) zwischen der Stelle 0 und der Stelle 1?
(Hinweis cos(1) = 0.54)
6. Wie stark ist die Abweichung zwischen dem Integral des Taylorpolynoms T n (x) und dem der
Funktion f (X)?
Zeichen Sie zur Erläuterung der Abweichung beide Funktion T n (x) und f (X) in ein geeignetes
Diagramm ein?
3 Oberächenintegrale (23 min)
Gegegeben ist ein Quader mit einer Kantenlängen (Breite 2, Höhe 3 und Länge(Tiefe) 2,5 cm). Die
linke vordere untere Ecke des Quaders sitzt in einem Koordinatensystem.
1. Zeichnen Sie diesen Quader in ein Koordinatensystem [−1, 3] × [−1, 3] × [−1, 3] als Teilmenge des
R3 ein.
2. Bestimmen Sie die Oberäche des Quaders?
Ferner existiert ein elektrische Feld, dessen Fluss durch folgende Funktion


x2 − 2x + 1
F⃗ =  y 2 − 4y + 4 
z 2 − 2z + 1
festgelegt wurde.
3. Wie hoch ist die Divergenz dieses Flusses?
Falls Sie bei dieser Aufgabe zu keinen Ergenis kamen können Sie ersatzweise die FALSCHE
Divergenz von
2x + 3y + 2z − 4
benutzen.
4. An welcher Stelle ist der Fluss minimal? Wie hoch ist dann der Fluss?
Zeichnen Sie schemtisch Beispielvektoren für den Fluss in die Graphik ein (nur schematisch, nicht
rechnen)!
5. Bestimmen Sie die Flächennormale für die Fläche die Frontäche des Quaders mit y=0.
Falls Sie bei dieser Aufgabe zu keinen Ergenis kamen können Sie ersatzweise den FALSCHEN
Vektor (0, 5, 0) benutzen.
6. Wie hoch ist der Fluss durch diese Fläche?
2
Prof. Dr. Andreas Rathgeber
1. April 2014
7. Wie hoch ist der Gesamtuss durch die Quaderoberäche? Was bedeutet, dies für die Lage von
eventuellen Senken und Quellen?
Zusatzhinweis:
s
⃗ F⃗ dA mit N
⃗ Normalvektor, F⃗ dem Flussvektor
Der Fluss durch eine Oberäche errechnet sich zu: N
A
und dA dem Oberächenelement.
Für den Gesamtuss durch eine geschlossene Oberäche gilt nach dem Gausschen Integralsatz
{
⃗ F⃗ dA =
N
A
y
div(F⃗ )dxdydz
V
.
4 Laplace-Experimente (12 min)
1. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beim Würfeln mit einem gewöhnlichen Würfel eine
ungerade Zahl auftritt.
2. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beim gleichzeitigen Würfeln mit zwei verschiedenen
Würfeln zweimal die Zahl 6 auftritt. Wie verhält sich die Wahrscheinlichkeit für das selbe Ereignis,
wenn man zweimal mit dem gleichen Würfel würfelt?
3. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beim Roulette fünf Mal hintereinander die Farbe rot
auftritt.
4. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beim Roulette fünf Mal hintereinander nicht die Farbe
rot auftritt.
5 Erwartungswert und Varianz (18 min)
Sie würfeln wiederholt mit einem Würfel. Wenn Sie eine sechs würfeln erhalten Sie 1 Euro; ansonsten
nichts.
1. Wie ist der Erwartungswert dieses Spiel? Wie hoch dessen Varianz?
2. Wie hoch ist Erwartungswert einer Folge von diesen Spielen, wenn Sie es 6 mal durchführem?
Wie hoch ist dann die Varianz?
3. Gibt es eine nichtnegative Zufallsvariable X (d.h. (P (X ≥ 0) = 1)) mit den Eigenschaften
1
E(X) ≤ 1000
und V ar(X) ≥ 1000 (Hinweis: Ein Beispiel für eine Zufallsvariable mit zwei möglichen Realisierungen ist ausreichend)?
3