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Vorkurs
Mathematik
Anni Schmalz
Vorbereitung auf das Bachelorstudium im
Fachbereich II – IPO und Marketing
HWS 2015/2016
14.–18.09.2015
2
Mathe Online Kurs
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3
Themenüberblick I
• Grundrechenarten & -regeln
• Bruchrechnen
• Binomische Formeln
• Rechnen mit Potenzen, Wurzeln und Logarithmus
• Summen- und Produktzeichen
• Lineare Gleichungen lösen
• Funktionsbegriff
• Darstellung von Funktionen
• Definitions- und Wertemenge
4
Themenüberblick II
• Lineare Funktionen
• Quadratische Funktionen lösen
• Quadratische Ergänzung
• Mitternachtsformel, pq-Formel
• Umkehrfunktion
• Grenzwert
• Betrag / Betragsfunktion
• e und ln-Funktionen
• Ableitung, Integral
5
Grundrechenarten
1)
Beispiel:
Addition
Summand + Summand = Summe
2)
Subtraktion
Minuend – Subtrahend = Differenz
3)
6–2=4
Multiplikation
Multiplikand • Multiplikator (Faktoren) = Produkt
4)
6+2=8
Division
= Quotient
6 · 2 = 12
=3
6
Allgemeine Rechenregeln
1)
Punkt- vor Strichrechnung
23 + 14 : 2 = 23 + 7 = 30
2)
Von innen nach außen berechnen
5 • (4 – 2) = 5 • 2 = 10
Bei mehreren Klammern:
(4 – (2 • 3) • 5) = (4 – 6 • 5) = 4 – 30 = -26
3)
Ein Produkt ist dann 0, wenn mindestens ein Faktor 0 ist
-> eine Klammer 0 setzen (x – 4)(x + 2) = 0
4)
x = 4; x = -2
Die Division durch 0 ist in keinem Fall erlaubt!
ist erlaubt, aber
ist strengstens verboten!!!
7
Vorzeichenregeln
• Beim Rechnen beachten:
5– 3 5– 3
8– 5 8 5 13
7 4 7 4 11
4
3
7
7 2
5 8 7 2 8
5 8
• Merke:
1.
2.
3.
4.
Jede Zahl ohne Vorzeichen ist positiv
Plus mal Minus ist Minus
Minus mal Minus ergibt Plus
Minus vor der Klammer dreht alle Vorzeichen darin um
8
Grundregeln der Multiplikation
1)
Kommutativgesetz
a•b=b•a
2)
Assoziativgesetz
(a • b) • c = a • (b • c)
3)
Beispiel: 2 • 3 = 3 • 2 = 6
Beispiel: (2 • 4) • 3 = 8 • 3 = 24 ; 2 • (4 • 3) = 2 • 12 = 24
Distributivgesetz (ausmultiplizieren/ausklammern)
a • (b + c) = a • b + a • c
Beispiel:
2 • (3+4) = 2 • 7 = 14 ; 2 • 3 + 2 • 4 = 6 + 8 = 14
Folgerung:
(a + b)(c + d) = a(c + d) + b (c + d) = ac + ad + bc + bd
Beispiel:
(2 + 5)(3 + 1) = 2 • 3 + 2 • 1 + 5 • 3 + 5 • 1 = 6 + 2 + 15 + 5 = 28
9
Terme mit Variablen zusammenfassen
Merke:
Immer gleichartige Glieder (Glieder, die die selben
Variablen besitzen) zusammenfassen
Beispiel:
10x + 2y + 3z – 5x –5y = 5x – 3y +3z
Übung: Aufgabenblatt 1 Teil A
Nr.1 a-i
Nr.3
Nr.4
10
ä!"#$
%#&&#$
Bruchrechnen I
1)
Kehrbruch: Zu jedem Bruch gibt es einen Kehrbruch .
Dabei gilt:
2)
Erweitern: Zähler und Nenner werden mit derselben Zahl c ≠ 0 multipliziert.
=
3)
• =1
•(
•(
Beispiel:
•*
= )•* =
)
+
Kürzen: Zähler und Nenner werden durch dieselbe Zahl c ≠ 0 dividiert.
•(
•(
=
Beispiel:
+
•*
= )•* =
)
11
ä!"#$
%#&&#$
Bruchrechnen II
4) Strichrechnungen:
Brüche mit gleichem Nenner
(
,
(
, =
(
Beispiel:
=
-
=
)
Brüche mit unterschiedlichen Nennern, Hauptnenner bilden durch
Multiplikation der Nenner miteinander
(
, =
Beispiel:
•
(•
)
,
.
=
•(
•(
=
•.- •)
)•.
, (
(
=
*- +
=
)
12
ä!"#$
%#&&#$
Bruchrechnen II
4)
Strichrechnungen:
Brüche mit unterschiedlichen Nennern, Hauptnenner bilden durch kleinstes
gemeinsames Vielfaches (kgV)
5
2
Oder:
1
.
+
3
10
5∙5
2∙5
3
10
25 3
10
28
10
=?
Die Vielfachen von 12 sind: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, …
Die Vielfachen von 18 sind: 18, 36, 54, 72, 90, 108, …
Die gemeinsamen Vielfachen von 12 und 18 sind also 36, 72, 108, …
5
12
7
18
5∙3
12 ∙ 3
7∙2
18 ∙ 2
15
36
14
1
36
kgV kann man über die Primfaktorenzerlegung (=Die Primfaktorzerlegung ist die
Darstellung einer natürlichen Zahl n als Produkt aus Primzahlen, die dann als Primfaktoren
von n bezeichnet werden) der beiden gegebenen Zahlen bestimmen. Beispiel:
∙
kgV (3.528,3780)= 23 ∙ 33 51 ∙ 72 = 59.920
13
Bruchrechnen III
5)
Punktrechnungen:
Multiplikation: „Nenner mal Nenner, Zähler mal Zähler“
(
• =
•(
•
•
a• ( = • ( = (• =
•
(
Division: Mit dem Kehrbruch multiplizieren.
(
: = •(=
•
•(
Beispiel:
)
:
1 )
) )
∙
1
)∙)
1∙
4
14
Bruchrechnen IV
6)
Doppelbrüche: Können mit einem Kehrbruch aufgelöst werden.
5
6
7
8
7)
:
(
•
(
(
Beispiel:
9
:
;
<
*
4 )
)
*
= : = • =
4
Aus Differenzen und Summen nicht kürzen!
Merkspruch: „Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen“
*= > = 9
=9
=
>=
= =
ausklammern
>=
=
kürzen
, und nicht
DE >F
F
!!!
)
=
15
Bruchrechnen V
8)
Gemischte Brüche
Problem: Können als Produkt missverstanden werden!
Lösung: mit dem Nenner erweitern
)
Beispiel: 3
*
)
3+*
H•D-H
D
1
*
4
≠*
16
Bruchrechnen VI
Unterschiedliche Darstellungen desselben:
J>
=
K∗
>
-> Übung: AB 1 Teil C:
Nr. 2 a-c
Nr. 3 a-c
Nr.4 a-c
Nr.5 a-c
>
17
Binomische Formeln
1. Binomische Formel: (a + b)² = a² + 2ab + b²
(a + b)²
= (a+b)(a+b) = a² + ab + ba + b²
= a² + 2ab + b²
2. Binomische Formel: (a – b) ² = a² - 2ab + b²
(a – b) ²
= (a – b)(a – b) = a² - ab – ba + b²
= a² - 2ab + b²
3. Binomische Formel: (a + b)(a – b) = a² - b²
(a + b)(a – b)
= a² - ab + ba – b²
= a² - b²
18
Binomische Formeln
-> Übung: Aufgabenblatt 1 Teil B:
Nr. 1 a-c, g
Nr.2 a, c, d
Nr.3 a-c
19
Potenzgesetze I
1)
Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert/dividiert, indem man die
Exponenten addiert/subtrahiert und die Basis beibehält:
K •K
2)
M
K
-M
N
O
=K
>M
Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert/dividiert, indem
man das Produkt/den Quotient der Basen mit dem gemeinsamen
Exponenten potenziert:
K •P
K•P
N
N
=
20
Potenzgesetze II
3)
Eine Potenz wird potenziert, indem man die Exponenten multipliziert
M
und die Basis beibehält: K
4)
•M
Weiter zu beachten (a ≠ 0):
K
5)
K
1K >
Q
K>
N
Eine negative Basis ist bei geradem Exponenten n positiv, bei ungeradem
Exponenten n negativ:
1 =
1,
-1,
gerades n
ungerades n
21
Zusammenfassung Potenzgesetze
-> Übung: AB 2 Teil A
Nr. 1 a-d, l-n
Nr.2 o-r
Gibt es bei einem Term keine Übereinstimmung von Basis oder Exponent, lässt sich der Term nicht
vereinfachen!
Potenzen können nur addiert werden, wenn Basis und Exponent übereinstimmen!
22
Wurzeln I
Suche nach der Basis einer Potenz:
J =a⇔x=
N
K
n= Wurzelexponent
a= Radikand
Die Wurzel ist die nicht-negative Lösung der Gleichung xn = a.
Beispiel:
9
J = 16 ⇒ x =± 16 = ± 4
→ zweideutiger Rechenausdruck
→ zwei Lösungen
23
Wurzeln II
Für das Rechnen mit Wurzeln gilt:
Übung: AB 2 Teil A Nr.3 a-e
Merke: Wenn keine Zahl
auf der Wurzel steht, ist das
immer die Quadratwurzel
24
Logarithmus
Suche nach dem Exponenten einer Potenz:
=x
n=
Der Logarithmus einer Zahl x zur Basis a ist die Zahl n, mit der man a
potenzieren muss, um x zu erhalten.
Merke:
Dabei gilt:
Das Argument x des Logarithmus muss immer positiv sein!
Für jedes a gilt
= 0, da
= 1.
25
Natürlicher Logarithmus
Besondere Basis: e (die eulersche Zahl U 2,718281828)
26
Dekadischer Logarithmus /
Zehnerlogarithmus
Besondere Basis: 10
10n = a
n = log10 a = lg a
Formel zur Umformen des
ZahlenLogarithmus in den
Zehnerlogarithmus :
Basis a= 10
(kann in den
Taschenrechner
eingegeben
werden)
27
Aufgabe Logarithmus (Praxisbezogen)
Ein Student spart für sein erstes Auto. Er will
dafür 20.000 € ausgeben. Er hat 12.000 € auf
seinem Sparkonto angespart, dort wird das Geld
mit 5,75 % verzinst. Wie lange muss er sparen ?
-> Übung: AB 2 Teil A
Nr.7 a,b & d,e
Nr.8 a-c
Nr.9 a-c
28
Zusammenhang Potenzen, Wurzeln,
Logarithmus
29
Das Summenzeichen
„Summiere alle Ausdrücke qi auf, wobei der Parameter i alle natürlichen
Zahlen von 0 bis n durchläuft.“
30
Rechnen mit Summen
Summen können in
Summanden aufgeteilt
werden
Beispiel: AB 2 Teil B Nr.1 a
Zur Übung AB 2 Teil B Nr. 1 b,c
Faktoren können vor
die Summe gezogen
werden .
31
Folgen
Eine Folge (genauer: Zahlenfolge) ist eine Auflistung von Zahlen, deren Reihenfolge
festgelegt ist. Die einzelnen Zahlen der Folge nennt man Glieder. Das erste Glied (d.h.
die erste Zahl) der Folge heißt K , das zweite K , ..., das n-te Glied heißt K .
Beispiel:
(1, 7, 4, 21, 16, …), wobei K =1; K =7; K) =4; …
Für einige Folgen kann man die Vorschrift angeben, nach der die einzelnen
Glieder berechnet werden. Für andere Folgen ist das nur schwer möglich oder
unmöglich.
Beispiel: (1, 2, 4, 8, 16, …)
Das zugehörige Bildungsgesetz lautet: K = 2
>
für nV 1
32
Folgen & Reihen
Gegeben sei eine Zahlenfolge K
WX .
Die Summe der ersten n Folgenglieder wird mit sn bezeichnet: sn = ∑ Z K . Die
Zahlenfolge [
WX
heißt nun die (endliche) Reihe zu K . Die einzelnen
[
Folgenglieder der Zahlenfolge
Folgenglieder der Zahlenfolge K
WX bestehen also aus Summen über
WX .
Beispiel:
n
0
1
2
3
4
5
6
…
an
1
2
4
8
16
32
64
…
sn
1
3
7
15
31
63
127
…
33
Geometrische Folge / Reihe
Eine geometrische Folge ist durch ein Bildungsgesetz der folgenden Form
\] = \^ • _] .
charakterisiert:
Beispiel: Für K = 2 und q=3 ergibt sich:
K =2•3 =6
K = 2 • 3 = 2 • 9 = 18
K) = 2 • 3) = 2 • 27 = 54
Für die Summe der ersten n Folgenglieder einer geometrischen Folge ergibt
sich:
`] = \^ •
_]aF >F
.
_>F
Die Folge der [ nennt man geometrische Reihe.
Für K = 1 ergibt sich:
Wichtig: i=0 muss bei 0 anfangen
∑]bZ^ _b
_]aF >F
.
_>F
…
34
Geometrische Folge / Reihe
Beträgt i= 1 muss folgendes gerechnet werden:
Bsp 1:
∑]bZF _b
_]aF >F
.
_>F
Die Summe fängt erst bei 1 an und deswegen
muss i=0 abgezogen werden:
]
]-F
^-F
]-F
_
F
_
F
_
F
c _b
1
_ F
_ F
_ F
bZF
Bsp 2: Fängt die Summer erst bei 2 an:
]
]-F
F-F
_
F
_
F
b
c_
_ F
_ F
bZd
-> Übung: AB 2 Teil B Nr. 2 a-c
35
Lineare Gleichungen lösen I
Beispiel:
1)
10x – 2(5x + 7) = -2 • (2-x)
Auf beiden Seiten Klammern & Brüche auflösen:
10x – 10x – 14 = -4 + 2x
2)
Gleichartige Glieder zusammenfassen:
-14 = -4 + 2x
3)
Addiere/Subtrahiere so, dass alle Variablen auf der linken und
alle absoluten Werte auf der rechten Seite stehen und weiter
zusammengefasst werden können:
-2x = 10
36
Lineare Gleichungen lösen II
4)
Multipliziere/Dividiere so, dass die Variable isoliert wird:
x = -5
Jede auf eine Gleichung angewendete Operation muss auf beide Seiten
der Gleichung angewendet werden!
3 mögliche Fälle:
1. Unendlich viele Lösungen, falls sich 0 = 0 ergibt.
(d.h. Gleichung gilt für alle x ef)
2. Nicht lösbar bei Widerspruch – rechte Seite unterscheidet sich von der linken.
3. Eindeutige Lösung mit x =a.
37
Zusammenfassung
Schritte zur Lösung einer linearen Gleichung:
1)
Auf beiden Seiten Klammern & Brüche auflösen.
2)
Gleichartige Glieder zusammenfassen.
3)
Addiere/Subtrahiere so, dass alle Variablen auf der linken und alle
absoluten Werte auf der rechten Seite stehen und weiter zusammengefasst werden können.
4)
Multipliziere/Dividiere so, dass die Variable isoliert wird.
-> Übung: AB 3
Teil A Nr. 1 a-d, Nr. 2 b,c
Teil C Nr . 1 a,b
38
Funktionsbegriff
Eine Funktion f(x) ist eine eindeutige Zuordnung der Elemente zweier Mengen. Dabei
wird jedem Element x aus einer Definitionsmenge D genau ein Element y aus der
Wertemenge W zugeordnet.
Apfelpresse:
Der Apfel wird hineingeworfen, die Maschine verarbeitet den Apfel und gibt
Apfelsaft heraus
Übertragung:
x wird in die Funktion eingesetzt und y kommt heraus
-> Übung: AB 3 Teil B Nr.1 a-e
39
Darstellung von Funktionen
Besitzt der Definitionsbereich einer Funktion nur endlich viele Elemente,
kann die Funktion durch eine Wertetabelle festgelegt werden.
Beispiel: D = {1,2,3,4}
Weitere Darstellungen für endliche Definitionsbereiche:
40
Definitions- und Wertemenge
Die Definitionsmenge D enthält alle Zahlen, die für x eingesetzt werden
dürfen.
Überlegungen zur Definitionsmenge:
Beispiel: f(x)= 49
J²
Die Wertemenge W beinhaltet alle Zahlen, die beim Einsetzen von Zahlen in
x herauskommen (Darstellung von y).
-> Übung: AB 3 Teil D Nr. 1 a-d und Nr. 2 c
41
Lineare Funktionen I
Dies ist eine Zuordnung, bei dem jedem x das
dazugehörige y zugeordnet wird.
Das heißt: Zu jedem beliebigen x-Wert lässt sich der y-Wert ermitteln und
man bekommt einen Punkt(x|y) des Graphen der Funktion.
-> Übung: AB 3 Teil B
Nr. 2 a,b
42
Lineare Funktionen II
Lineare Funktionen sind eindeutig festgelegt durch:
1)
Gleichung:
y = ax + b
oder
2)
2 Punkte:
P(x 1|y 1) Q(x 2|y 2)
ax1 + b = y1
ax2 + b = y2
oder
3)
2 Gleichungen mit 2 Unbekannten
=> damit stehen a & b fest
Steigung a und einen Punkt P(x 1|y 1):
ax1 + b = y1
Gleichung nach b umstellen
Schnittpunkte mit den Achsen:
Schnittpunkte mit der y-Achse: x = 0
Schnittpunkte mit der x-Achse („Nullstellen“): y = 0
->Übung: AB 3 Teil B
Nr.3 a,c,e
Nr.7 a
Schnittpunkte zweier Geraden: Geraden gleichsetzen und nach x auflösen. Für Schnittpunkt:
x-Wert in eine Geradengleichung einsetzen und y-Wert berechnen
43
Lineare Funktion Praxisbeispiel
Für die Herstellung eines Produktes fallen
Materialkosten in Höhe von K¹(x)=1,7x-2 an. Für
eine Werbekampagne ergeben sich zusätzliche
Kosten von K²(x)=0,7x+3.
Bei welcher Stückzahl sind die Materialkosten
gleich den Werbekosten? Geben Sie die Gerade
an, die die Gesamtkosten beschreibt.
44
Reinquadratische Gleichungen (a≠0)
Die reinquadratische Gleichung geht durch äquivalente Umformungen
über in:
Beispiel:
- 81 = 0
= 81
x1 = 9; x2 = -9
- 81 ist also null, wenn x entweder 9 oder -9 ist.
Die Lösungsmenge ist also L =
-> Übung: AB 4 Teil A
Nr. 1 f,j,q
45
Spezielle Quadratische Gleichungen (a≠0)
Die spezielle quadratische Gleichung geht durch Ausklammern von x über in:
x(ax + b) = 0
Ein Produkt ist null, wenn mindestens ein Faktor null ist!
⇒ x1 = 0; x2 = )
Beispiel: 5J + 3x = 0 ⇔ x(5x+3) = 0 ⇔ x1 = 0; x2 = - 1
-> Übung: AB 4 Teil A
Nr. 1 b,r
46
Allgemein Quadratische Gleichungen
Die allgemein quadratische Gleichung wird durch quadratische Ergänzung gelöst:
Binomische Formel!
-> Übung: Ab 4
Teil A Nr. 2 a-c
47
Die Mitternachtsformel
Hieraus ergibt sich die Mitternachtsformel/Abc-Formel, mit der
allgemein quadratische Gleichungen gelöst werden können:
48
Die pq-Formel
Zur Lösung von
+ px + q = 0
(a=1)
kann auch (alternativ zur abc-Formel) die pq-Formel angewendet werden:
Diese Formel kann immer angewendet werden. Unter Umständen muss
zunächst durch a geteilt werden:
a
+ bx + c = 0
-> Übung: AB 4 Teil A Nr. 3 a,b,f,g
49
Die Quadratische Gleichung
Quadratische Gleichungen sind Gleichungen der Form:
ax² + bx + c = d
Die Quadratischen Gleichungen können dann mit Hilfe der
quadratischen Ergänzung, Mitternachtsformel oder pq- Formel
gelöst werden.
->Übung: AB 4 Teil A
Nr. 1 a, c-e, g, h
Nr. 6 a, c
50
Quadratische Funktionen I
51
Quadratische Funktionen II
52
Quadratische Funktionen III
Scheitelform mit Hilfe der quadratischen Ergänzung:
-> Übung: AB 4 Teil A Nr. 4 a-c, i, j
53
Polynom n-ten Grades
Allgemein:
Beispiel:
i J 5J3
3J2
2J
6
54
Nullstellen durch Polynomdivision
Bespiel ( erste Nullstelle erraten):
55
Gebrochen-rationale Funktionen
• Allgemein:
• Definitionsbereich: um die Lücken zu finden,
muss der Nenner Null gesetzt werden, denn da
wo der Nenner Null ist, existiert die Funktion
nicht Definitionslücke
• Nullstellen: Zähler Null setzen
56
Umkehrfunktion I
Eine Funktion ist umkehrbar, wenn jedem y-Wert nur ein xWert zugeordnet ist. Die Umkehrfunktion wird mit f-1
bezeichnet.
Die Gleichung der Umkehrfunktion von f gewinnt man, indem man die
Gleichung y = f(x) nach x auflöst und die Bezeichnungen y und x vertauscht.
Die Graphen der Funktion y = f(x) und ihrer Umkehrfunktion
y = f-1(x) liegen spiegelbildlich zur Geraden y = x.
57
Umkehrfunktion II
• Zusammenhang Definitions- und Wertemenge:
jk
• Beispiel: p E
lkmQ undlk
dE
jkmQ
F,
jk q, lk q
1) Nach x auflösen: s 2J 1 →
s 1 2J → J 0,5s 0,5
2) Neue Funktion: p>F E
^, tE ^, t
3) D und W tauschen: jkmQ q,lkmQ q
58
Umkehrfunktion mit ökonomischen
Funktionen
• Nun betrachten wir ökonomische Funktionen
2J 1
• Beispiel: u J
Dies isteineAngebotsfunktion (DerPreisphängt
vonderMengexab)
Umkehrfunktionbilden:
1) Nach x auflösen: x 0,5s 0,5
2) Neue Funktion: x(p)=0,5u 0,5
Hier hängt die Menge x von dem Preis p ab!
Wichtig: Nicht einfach die Variablen vertauschen,
sondern die Abhängigkeiten betrachten!
59
Umkehrfunktion III
-> Übung: AB 5 Teil A
Nr. 1
Nr. 2 a-c
60
Stück-/ Abschnittsweise definierte Funktionen
Bisher waren die behandelten Funktionen (abgesehen von Definitionslücken)
auf ganz
definiert.
Funktionen können auch nur für ein bestimmtes Intervall definiert sein
oder stück- bzw. abschnittsweise aus verschiedenen Teilfunktionen
zusammengesetzt sein:
61
Grenzwert I
Der Grenzwert einer Funktion an einer bestimmten Stelle bezeichnet
denjenigen Wert, dem sich die Funktion in der Umgebung der betrachteten
Stelle annähert.
Interessante Stellen sind:
Verhalten Richtung ∞
Verhalten Richtung –∞
Verhalten an Definitionslücken
Es soll herausgefunden werden, wo sich waagrechte Asymptoten und
Polstellen befinden.
62
Grenzwert II
Schreibweise
‰Š‹ p(E)
E→,Œ
wie verhält sich die Funktion dort, wo sich x im positiven oder im
negativen ∞ annähert?
Waagrechte Asymptote (y=…)
‰Š‹ p(E)
sei 0 die Definitionslücke (=Polstelle); wie verhält sich die Funktion
dort, wo sich x von links an die Definitionslücke annähert?
Vertikale Asymptote (x=0)
E→^m
‰Š‹ p(E)
E→^a
wie verhält sich die Funktion dort, wo sich x von rechts an die
Definitionslücke annähert?
Vertikale Asymtote (x=0)
63
Grenzwert III
Beispiel: i J
=>*
;
=>
j
q\•1•
Polstelle an der Definitionslücke x=1 untersuchen:
2J 4
limm
∞
=→
J 1
2J 4
lima
=→
J 1
∞
64
Grenzwert IV (Berechnung waagerechte
Asymptote)
Beispiel 1: Ist die Potenz des Nenners( n) größer als die Potenz des Zählers ( m)
(n>m)
Lim
x→+∞
3x−4
2x²−5
=0
dann ist der Grenzwert 0
Beispiel 2: Ist die Potenz des Nenners gleich die Potenz des Zählers (n=m)
Gilt es zu rechnen:
Lim
3x²−4
= lim
3x² - 4
= 3
x→+∞
2x²−5
x→+∞
x² x²
2
Durch die höchste
Potenz teilen
2 x² - 5
x²
x²
Beispiel 3: Ist die Potenz des Nenners kleiner als die Potenz des Zählers (n<m),
dann strebt die Funktion für x→+∞ gegen +∞
Lim
3x²−4
= +∞
x→+∞
2x−5
65
Grenzwert V
• Beispiel von Folie 60:
die Waagrechte Asymptote lautet hier:
2J 4
lim
2
=→Œ J
1
2J 4
lim
=→>Œ J
1
Waagrechte Asymptote y=2
2
66
Grenzwert VI
Polstelle
Waagrechte Asymptote
-> Übung: AB 5 Teil B
Nr. 1 a-d
67
Betrag
Der absolute Betrag einer reellen Zahl x ist definiert durch:
Den absoluten Betrag einer reellen Zahl erhält man also durch Weglassen des
Vorzeichens. Auf der Zahlengerade bedeutet der Betrag den Abstand der
gegebenen Zahl von Null.
Verlauf der Betragsfunktion y =
auf :
68
Die Exponentialfunktion :
i J
• e ist eine Konstante (eulersche Zahl =
2,718281828459…)
• Wichtig: ln e
1
• Eigenschaften:
-Die e-Funktionen besitzen
keine Nullstellen
- Alle Funktionen gehen durch
Den Punkt P (0/1)
- Die negative x-Achse ist die
Waagerechte Asymptote
- Streng monoton steigend
für positive x- Werte.
- Nur positive Funktionswerte
#=
69
ln-Funktion
• Zur Erinnerung: lna log K
• Umkehrfunktion von i J # =
• Logarithmusfunktion
i J
ln J
Eigenschaften:
- Die ln-Funktion hat eine
Nullstelle bei 1. f(1)=0
- Die ln-Funktion hat an der Stelle
e den Funktionswert 1. f(e)=1
- D=q⁺\•0•
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Ableitungen I
• Ableitung ist die Steigung der Funktion in einem
gegebenen Punkt der Funktion (Die Steigung der
Tangente in dem Punkt).
• Viele Funktionen haben in jedem Punkt eine
unterschiedliche Steigung:
• Allgemein:
abgeleitet
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Integral
• Umgangssprachlich, aber nicht korrekt als
„aufleiten“ bezeichnet
• Ergebnis des Integrierens von i(J)ist die
Stammfunktion ’(J) “ p E ”E
•(E)
• Die Stammfunktion abgeleitet ’‘(J)ist die
Ausgangsfunktion i J •— E
p(E)
• Das Integral wird zur Flächenbestimmung
zwischen der x-Koordinatenachse und dem Graphen
benötigt
• Allgemein:
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Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit
und einen guten Start ins Studentenleben!