Vorkurs Mathematik
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Vorkurs Mathematik Anni Schmalz Vorbereitung auf das Bachelorstudium im Fachbereich II – IPO und Marketing HWS 2015/2015 14.–18.09.2015 2 Mathe Online Kurs Hier mit seinem Namen und seiner Normalen email Adresse registrieren Auf Nachfrage biete ich Termine an, an denen ich Probleme bzw. Fragen zu den Aufgaben/Themen des Mathe Online Kurses beantworte. Hierfür bitte anmelden – entweder online über Olat/Mathe Vorkurs/Terminvergabe oder über meine Email Adresse. [email protected] 3 Themenüberblick I • Grundrechenarten & -regeln • Bruchrechnen • Binomische Formeln • Rechnen mit Potenzen, Wurzeln und Logarithmus • Summen- und Produktzeichen • Lineare Gleichungen lösen • Funktionsbegriff • Darstellung von Funktionen • Definitions- und Wertemenge 4 Themenüberblick II • Lineare Funktionen • Quadratische Funktionen lösen • Quadratische Ergänzung • Mitternachtsformel, pq-Formel • Umkehrfunktion • Grenzwert • Betrag / Betragsfunktion • e und ln-Funktionen • Ableitung, Integral 5 Grundrechenarten 1) Beispiel: Addition Summand + Summand = Summe 2) Subtraktion Minuend – Subtrahend = Differenz 3) 6–2=4 Multiplikation Multiplikand • Multiplikator (Faktoren) = Produkt 4) 6+2=8 Division = Quotient 6 · 2 = 12 =3 6 Allgemeine Rechenregeln 1) Punkt- vor Strichrechnung 23 + 14 : 2 = 23 + 7 = 30 2) Von innen nach außen berechnen 5 • (4 – 2) = 5 • 2 = 10 Bei mehreren Klammern: (4 – (2 • 3) • 5) = (4 – 6 • 5) = 4 – 30 = -26 3) Ein Produkt ist dann 0, wenn mindestens ein Faktor 0 ist -> eine Klammer 0 setzen (x – 4)(x + 2) = 0 x = 4; x = -2 4) Die Division durch 0 ist in keinem Fall erlaubt! ist erlaubt, aber ist strengstens verboten!!! 7 Vorzeichenregeln • Beim Rechnen beachten: 5– 3 = +5– 3 +8–(−5) = 8 + 5 = 13 −7 + (−4) = −7 − 4 = −11 4 + (+3) = 7 5+8− 7−2 =5+8−7+2=8 • Merke: 1. 2. 3. 4. Jede Zahl ohne Vorzeichen ist positiv Plus mal Minus ist Minus Minus mal Minus ergibt Plus Minus vor der Klammer dreht alle Vorzeichen darin um 8 Grundregeln der Multiplikation 1) Kommutativgesetz a•b=b•a 2) Assoziativgesetz (a • b) • c = a • (b • c) 3) Beispiel: 2 • 3 = 3 • 2 = 6 Beispiel: (2 • 4) • 3 = 8 • 3 = 24 ; 2 • (4 • 3) = 2 • 12 = 24 Distributivgesetz (ausmultiplizieren/ausklammern) a • (b + c) = a • b + a • c Beispiel: 2 • (3+4) = 2 • 7 = 14 ; 2 • 3 + 2 • 4 = 6 + 8 = 14 Folgerung: (a + b)(c + d) = a(c + d) + b (c + d) = ac + ad + bc + bd Beispiel: (2 + 5)(3 + 1) = 2 • 3 + 2 • 1 + 5 • 3 + 5 • 1 = 6 + 2 + 15 + 5 = 28 9 Terme mit Variablen zusammenfassen Merke: Immer gleichartige Glieder (Glieder, die die selben Variablen besitzen) zusammenfassen Beispiel: 10x + 2y + 3z – 5x –5y = 5x – 3y +3z Übung: Aufgabenblatt 1 Teil A Nr.1 a-i Nr.3 Nr.4 10 ä!"#$ %#&&#$ Bruchrechnen I 1) Dabei gilt: 2) •=1 Erweitern: Zähler und Nenner werden mit derselben Zahl c ≠ 0 multipliziert. 3) Kehrbruch: Zu jedem Bruch gibt es einen Kehrbruch . •( = •( Beispiel: ) •* + = )•* = Kürzen: Zähler und Nenner werden durch dieselbe Zahl c ≠ 0 dividiert. •( •( = Beispiel: + •* = )•* = ) 11 ä!"#$ %#&&#$ Bruchrechnen II 4) Strichrechnungen: Brüche mit gleichem Nenner ( ( ± = ± ( Beispiel: + = - = ) Brüche mit unterschiedlichen Nennern, Hauptnenner bilden durch Multiplikation der Nenner miteinander ( ± = • (• ) ± . •( •( Beispiel: + = = ±( ( •.- •) )•. = *-+ = ) 12 Bruchrechnen II 4) ä!"#$ %#&&#$ Strichrechnungen: Brüche mit unterschiedlichen Nennern, Hauptnenner bilden durch kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) 5 3 5∙5 3 25 + 3 28 + = + = = 2 10 2 ∙ 5 10 10 10 Oder: 1 − . + =? Die Vielfachen von 12 sind: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, … Die Vielfachen von 18 sind: 18, 36, 54, 72, 90, 108, … Die gemeinsamen Vielfachen von 12 und 18 sind also 36, 72, 108, … 5 7 5∙3 7∙2 15 − 14 1 − = − = = 12 18 12 ∙ 3 18 ∙ 2 36 36 kgV kann man über die Primfaktorenzerlegung (=Die Primfaktorzerlegung ist die Darstellung einer natürlichen Zahl n als Produkt aus Primzahlen, die dann als Primfaktoren von n bezeichnet werden) der beiden gegebenen Zahlen bestimmen. Beispiel: ∙ kgV (3.528,3780)= 23 ∙ 33 51 ∙ 72 = 59.920 13 Bruchrechnen III 5) Punktrechnungen: Multiplikation: „Nenner mal Nenner, Zähler mal Zähler“ ( •( • a• ( = • ( = (• = • = • • ( Division: Mit dem Kehrbruch multiplizieren. ( :=•( = • •( Beispiel: ) : 1 ) ) ) )∙) 4 = 1 ∙ = 1∙ = 14 Bruchrechnen IV 6) Doppelbrüche: Können mit einem Kehrbruch aufgelöst werden. 5 6 7 8 7) ( = : = • ( = ( Beispiel: 9 : ; < * 4 ) 4 ) * = : = • = Aus Differenzen und Summen nicht kürzen! Merkspruch: „Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen“ *=>= 9 = 9 = =(>=) >= = =(=) = ausklammern kürzen , und nicht DE>F F !!! ) = 15 Bruchrechnen V 8) Gemischte Brüche Problem: Können als Produkt missverstanden werden! Lösung: mit dem Nenner erweitern ) ) H•D-H Beispiel: 3 =3+ = * * D 1 = * 4 I* 16 Bruchrechnen VI Unterschiedliche Darstellungen desselben: =J > = -> Übung: AB 1 Teil C: Nr. 2 a-c Nr. 3 a-c Nr.4 a-c Nr.5 a-c − =K ∗ > = = > 17 Binomische Formeln 1. Binomische Formel: (a + b)² = a² + 2ab + b² (a + b)² = (a+b)(a+b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b² 2. Binomische Formel: (a – b) ² = a² - 2ab + b² (a – b) ² = (a – b)(a – b) = a² - ab – ba + b² = a² - 2ab + b² 3. Binomische Formel: (a + b)(a – b) = a² - b² (a + b)(a – b) = a² - ab + ba – b² = a² - b² 18 Binomische Formeln -> Übung: Aufgabenblatt 1 Teil B: Nr. 1 a-c, g Nr.2 a, c, d Nr.3 a-c 19 Potenzgesetze I 1) Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert/dividiert, indem man die Exponenten addiert/subtrahiert und die Basis beibehält: K •K 2) M =K -M N O = K>M Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert/dividiert, indem man das Produkt/den Quotient der Basen mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert: K • P = K•P N N =( ) 20 Potenzgesetze II 3) Eine Potenz wird potenziert, indem man die Exponenten multipliziert und die Basis beibehält: (K )M = K•M 4) Weiter zu beachten (a ≠ 0): K = 1K > = Q 5) K> = N Eine negative Basis ist bei geradem Exponenten n positiv, bei ungeradem Exponenten n negativ: (−1) = 1, -1, gerades n ungerades n 21 Zusammenfassung Potenzgesetze -> Übung: AB 2 Teil A Nr. 1 a-d, l-n Nr.2 o-r Gibt es bei einem Term keine Übereinstimmung von Basis oder Exponent, lässt sich der Term nicht vereinfachen! Potenzen können nur addiert werden, wenn Basis und Exponent übereinstimmen! 22 Wurzeln I Suche nach der Basis einer Potenz: J = a ⇔ x = N K n= Wurzelexponent a= Radikand Die Wurzel ist die nicht-negative Lösung der Gleichung xn = a. Beispiel: 9 J = 16 ⇒ x =± 16 = ± 4 → zweideutiger Rechenausdruck → zwei Lösungen 23 Wurzeln II Für das Rechnen mit Wurzeln gilt: Übung: AB 2 Teil A Nr.3 a-e Merke: Wenn keine Zahl auf der Wurzel steht, ist das immer die Quadratwurzel 24 Logarithmus Suche nach dem Exponenten einer Potenz: K = x ⇔ n = log J Der Logarithmus einer Zahl x zur Basis a ist die Zahl n, mit der man a potenzieren muss, um x zu erhalten. Merke: Dabei gilt: Das Argument x des Logarithmus muss immer positiv sein! Für jedes a gilt log 1= 0, da K = 1. 25 Natürlicher Logarithmus Besondere Basis: e (die eulersche Zahl ≈ 2,718281828) 26 Dekadischer Logarithmus / Zehnerlogarithmus Besondere Basis: 10 10n = a n = log10 a = lg a Formel zur Umformen des ZahlenLogarithmus in den Zehnerlogarithmus : Basis a= 10 (kann in den Taschenrechner eingegeben werden) 27 Aufgabe Logarithmus (Praxisbezogen) Ein Student spart für sein erstes Auto. Er will dafür 20.000 € ausgeben. Er hat 12.000 € auf seinem Sparkonto angespart, dort wird das Geld mit 5,75 % verzinst. Wie lange muss er sparen ? -> Übung: AB 2 Teil A Nr.7 a,b & d,e Nr.8 a-c Nr.9 a-c 28 Zusammenhang Potenzen, Wurzeln, Logarithmus 29 Das Summenzeichen „Summiere alle Ausdrücke qi auf, wobei der Parameter i alle natürlichen Zahlen von 0 bis n durchläuft.“ 30 Rechnen mit Summen Summen können in Summanden aufgeteilt werden Beispiel: AB 2 Teil B Nr.1 a Zur Übung AB 2 Teil B Nr. 1 b,c Faktoren können vor die Summe gezogen werden . 31 Folgen Eine Folge (genauer: Zahlenfolge) ist eine Auflistung von Zahlen, deren Reihenfolge festgelegt ist. Die einzelnen Zahlen der Folge nennt man Glieder. Das erste Glied (d.h. die erste Zahl) der Folge heißt K , das zweite K , ..., das n-te Glied heißt K . Beispiel: (1, 7, 4, 21, 16, …), wobei K =1; K =7; K) =4; … Für einige Folgen kann man die Vorschrift angeben, nach der die einzelnen Glieder berechnet werden. Für andere Folgen ist das nur schwer möglich oder unmöglich. Beispiel: (1, 2, 4, 8, 16, …) Das zugehörige Bildungsgesetz lautet: K = 2> für n≥ 1 32 Folgen & Reihen Gegeben sei eine Zahlenfolge (K )Z[ . Die Summe der ersten n Folgenglieder wird mit sn bezeichnet: sn = ∑] K . Die Zahlenfolge (^ )Z[ heißt nun die (endliche) Reihe zu K . Die einzelnen Folgenglieder der Zahlenfolge (^ )Z[ bestehen also aus Summen über Folgenglieder der Zahlenfolge (K )Z[ . Beispiel: n 0 1 2 3 4 5 6 … an 1 2 4 8 16 32 64 … sn 1 3 7 15 31 63 127 … 33 Geometrische Folge / Reihe Eine geometrische Folge ist durch ein Bildungsgesetz der folgenden Form _` = _a • b` . charakterisiert: Beispiel: Für K = 2 und q=3 ergibt sich: K = 2 • 3 = 6 K = 2 • 3 = 2 • 9 = 18 K) = 2 • 3) = 2 • 27 = 54 Für die Summe der ersten n Folgenglieder einer geometrischen Folge ergibt sich: c` = _a • b`dF >F . b>F Die Folge der ^ nennt man geometrische Reihe. Für K = 1 ergibt sich: Wichtig: i=0 muss bei 0 anfangen ∑`e]a be = b`dF >F . b>F … 34 Geometrische Folge / Reihe Beträgt i= 1 muss folgendes gerechnet werden: Bsp 1: ∑`e]F be = b`dF >F . b>F Die Summe fängt erst bei 1 an und deswegen muss i=0 abgezogen werden: ` a-F − F `-F − F `-F − F b b b f be = − = −1 b−F b−F b−F e]F Bsp 2: Fängt die Summer erst bei 2 an: ` `-F − F F-F − F b b f be = − b−F b−F e]g -> Übung: AB 2 Teil B Nr. 2 a-c 35 Lineare Gleichungen lösen I Beispiel: 1) 10x – 2(5x + 7) = -2 • (2-x) Auf beiden Seiten Klammern & Brüche auflösen: 10x – 10x – 14 = -4 + 2x 2) Gleichartige Glieder zusammenfassen: -14 = -4 + 2x 3) Addiere/Subtrahiere so, dass alle Variablen auf der linken und alle absoluten Werte auf der rechten Seite stehen und weiter zusammengefasst werden können: -2x = 10 36 Lineare Gleichungen lösen II 4) Multipliziere/Dividiere so, dass die Variable isoliert wird: x = -5 Jede auf eine Gleichung angewendete Operation muss auf beide Seiten der Gleichung angewendet werden! 3 mögliche Fälle: 1. Unendlich viele Lösungen, falls sich 0 = 0 ergibt. (d.h. Gleichung gilt für alle x hℝ) 2. Nicht lösbar bei Widerspruch – rechte Seite unterscheidet sich von der linken. 3. Eindeutige Lösung mit x =a. 37 Zusammenfassung Schritte zur Lösung einer linearen Gleichung: 1) Auf beiden Seiten Klammern & Brüche auflösen. 2) Gleichartige Glieder zusammenfassen. 3) Addiere/Subtrahiere so, dass alle Variablen auf der linken und alle absoluten Werte auf der rechten Seite stehen und weiter zusammengefasst werden können. 4) Multipliziere/Dividiere so, dass die Variable isoliert wird. -> Übung: AB 3 Teil A Nr. 1 a-d, Nr. 2 b,c Teil C Nr . 1 a,b 38 Funktionsbegriff Eine Funktion f(x) ist eine eindeutige Zuordnung der Elemente zweier Mengen. Dabei wird jedem Element x aus einer Definitionsmenge D genau ein Element y aus der Wertemenge W zugeordnet. Apfelpresse: Der Apfel wird hineingeworfen, die Maschine verarbeitet den Apfel und gibt Apfelsaft heraus Übertragung: x wird in die Funktion eingesetzt und y kommt heraus -> Übung: AB 3 Teil B Nr.1 a-e 39 Darstellung von Funktionen Besitzt der Definitionsbereich einer Funktion nur endlich viele Elemente, kann die Funktion durch eine Wertetabelle festgelegt werden. Beispiel: D = {1,2,3,4} Weitere Darstellungen für endliche Definitionsbereiche: 40 Definitions- und Wertemenge Die Definitionsmenge D enthält alle Zahlen, die für x eingesetzt werden dürfen. Überlegungen zur Definitionsmenge: Beispiel: f(x)= 49 − J² Die Wertemenge W beinhaltet alle Zahlen, die beim Einsetzen von Zahlen in x herauskommen (Darstellung von y). -> Übung: AB 3 Teil D Nr. 1 a-d und Nr. 2 c 41 Lineare Funktionen I Dies ist eine Zuordnung, bei dem jedem x das dazugehörige y zugeordnet wird. Das heißt: Zu jedem beliebigen x-Wert lässt sich der y-Wert ermitteln und man bekommt einen Punkt(x|y) des Graphen der Funktion. -> Übung: AB 3 Teil B Nr. 2 a,b 42 Lineare Funktionen II Lineare Funktionen sind eindeutig festgelegt durch: 1) Gleichung: y = ax + b oder 2) 2 Punkte: P(x 1|y 1) Q(x 2|y 2) ax1 + b = y1 ax2 + b = y2 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten => damit stehen a & b fest oder 3) Steigung a und einen Punkt P(x 1|y 1): ax1 + b = y1 Gleichung nach b umstellen Schnittpunkte mit den Achsen: Schnittpunkte mit der y-Achse: x = 0 Schnittpunkte mit der x-Achse („Nullstellen“): y = 0 ->Übung: AB 3 Teil B Nr.3 a,c,e Nr.7 a Schnittpunkte zweier Geraden: Geraden gleichsetzen und nach x auflösen. Für Schnittpunkt: x-Wert in eine Geradengleichung einsetzen und y-Wert berechnen 43 Lineare Funktion Praxisbeispiel Für die Herstellung eines Produktes fallen Materialkosten in Höhe von K¹(x)=1,7x-2 an. Für eine Werbekampagne ergeben sich zusätzliche Kosten von K²(x)=0,7x+3. Bei welcher Stückzahl sind die Materialkosten gleich den Werbekosten? Geben Sie die Gerade an, die die Gesamtkosten beschreibt. 44 Reinquadratische Gleichungen (a≠0) Die reinquadratische Gleichung geht durch äquivalente Umformungen über in: Beispiel: J - 81 = 0 ⇔ J = 81 ⇔ x1 = 9; x2 = -9 ⇒ J - 81 ist also null, wenn x entweder 9 oder -9 ist. ⇒Die Lösungsmenge ist also L = −9; 9 -> Übung: AB 4 Teil A Nr. 1 f,j,q 45 Spezielle Quadratische Gleichungen (a≠0) Die spezielle quadratische Gleichung geht durch Ausklammern von x über in: x(ax + b) = 0 Ein Produkt ist null, wenn mindestens ein Faktor null ist! ⇒ x1 = 0; x2 = - ) Beispiel: 5J + 3x = 0 ⇔ x(5x+3) = 0 ⇔ x1 = 0; x2 = - 1 -> Übung: AB 4 Teil A Nr. 1 b,r 46 Allgemein Quadratische Gleichungen Die allgemein quadratische Gleichung wird durch quadratische Ergänzung gelöst: Binomische Formel! -> Übung: Ab 4 Teil A Nr. 2 a-c 47 Die Mitternachtsformel Hieraus ergibt sich die Mitternachtsformel/Abc-Formel, mit der allgemein quadratische Gleichungen gelöst werden können: 48 Die pq-Formel Zur Lösung von J + px + q = 0 (a=1) kann auch (alternativ zur abc-Formel) die pq-Formel angewendet werden: Diese Formel kann immer angewendet werden. Unter Umständen muss zunächst durch a geteilt werden: aJ + bx + c = 0 -> Übung: AB 4 Teil A Nr. 3 a,b,f,g 49 Die Quadratische Gleichung Quadratische Gleichungen sind Gleichungen der Form: ax² + bx + c = d Die Quadratischen Gleichungen können dann mit Hilfe der quadratischen Ergänzung, Mitternachtsformel oder pq- Formel gelöst werden. ->Übung: AB 4 Teil A Nr. 1 a, c-e, g, h Nr. 6 a, c 50 Quadratische Funktionen I 51 Quadratische Funktionen II 52 Quadratische Funktionen III Scheitelform mit Hilfe der quadratischen Ergänzung: -> Übung: AB 4 Teil A Nr. 4 a-c, i, j 53 Polynom n-ten Grades Allgemein: Beispiel: m(J) = 5J3 + 3J2 + 2J + 6 54 Nullstellen durch Polynomdivision Bespiel ( erste Nullstelle erraten): 55 Umkehrfunktion I Eine Funktion ist umkehrbar, wenn jedem y-Wert nur ein xWert zugeordnet ist. Die Umkehrfunktion wird mit f-1 bezeichnet. Die Gleichung der Umkehrfunktion von f gewinnt man, indem man die Gleichung y = f(x) nach x auflöst und die Bezeichnungen y und x vertauscht. Die Graphen der Funktion y = f(x) und ihrer Umkehrfunktion y = f-1(x) liegen spiegelbildlich zur Geraden y = x. 56 Umkehrfunktion II • Zusammenhang Definitions- und Wertemenge: no = poqQ undpo = noqQ • Beispiel: t E = gE + F, no = u, po = u 1) Nach x auflösen: w = 2J + 1 → w − 1 = 2J → J = 0,5w − 0,5 2) Neue Funktion: t>F E = a, xE − a, x 3) D und W tauschen: noqQ = u,poqQ = u 57 Umkehrfunktion mit ökonomischen Funktionen • Nun betrachten wir ökonomische Funktionen • Beispiel: y J = 2J + 1 Dies isteineAngebotsfunktion (DerPreisphängt vonderMengexab) Umkehrfunktionbilden: 1) Nach x auflösen: x= 0,5w − 0,5 2) Neue Funktion: x(p)=0,5y − 0,5 Hier hängt die Menge x von dem Preis p ab! Wichtig: Nicht einfach die Variablen vertauschen, sondern die Abhängigkeiten betrachten! 58 Umkehrfunktion III -> Übung: AB 5 Teil A Nr. 1 Nr. 2 a-c 59 Stück-/ Abschnittsweise definierte Funktionen Bisher waren die behandelten Funktionen (abgesehen von Definitionslücken) auf ganz ℝdefiniert. Funktionen können auch nur für ein bestimmtes Intervall definiert sein oder stück- bzw. abschnittsweise aus verschiedenen Teilfunktionen zusammengesetzt sein: 60 Gebrochen-rationale Funktionen • Allgemein: • Definitionsbereich: um die Lücken zu finden, muss der Nenner Null gesetzt werden, denn da wo der Nenner Null ist, existiert die Funktion nicht Definitionslücke • Nullstellen: Zähler Null setzen 61 Grenzwert I Der Grenzwert einer Funktion an einer bestimmten Stelle bezeichnet denjenigen Wert, dem sich die Funktion in der Umgebung der betrachteten Stelle annähert. Interessante Stellen sind: Verhalten Richtung ∞ Verhalten Richtung –∞ Verhalten an Definitionslücken Es soll herausgefunden werden, wo sich waagrechte Asymptoten und Polstellen befinden. 62 Grenzwert II Schreibweise t(E) E→± wie verhält sich die Funktion dort, wo sich x im positiven oder im negativen ∞ annähert? Waagrechte Asymptote (y=…) t(E) sei 0 die Definitionslücke (=Polstelle); wie verhält sich die Funktion dort, wo sich x von links an die Definitionslücke annähert? Vertikale Asymptote (x=0) E→aq t(E) E→ad wie verhält sich die Funktion dort, wo sich x von rechts an die Definitionslücke annähert? Vertikale Asymtote (x=0) 63 Grenzwert III Beispiel: m J = =>* ; => n = u\{1} Polstelle an der Definitionslücke x=1 untersuchen: 2J − 4 limq =∞ =→ J − 1 2J − 4 limd = −∞ =→ J − 1 64 Grenzwert IV (Berechnung waagerechte Asymptote) Beispiel 1: Ist die Potenz des Nenners( n) größer als die Potenz des Zählers ( m) (n>m) Lim 3x−4 =0 dann ist der Grenzwert 0 x→+∞ 2x²−5 Beispiel 2: Ist die Potenz des Nenners gleich die Potenz des Zählers (n=m) Gilt es zu rechnen: Lim 3x²−4 = lim 3x² - 4 = 3 x→+∞ 2x²−5 x→+∞ x² x² 2 Durch die höchste Potenz teilen 2 x² - 5 x² x² Beispiel 3: Ist die Potenz des Nenners kleiner als die Potenz des Zählers (n<m), dann strebt die Funktion für x→+∞ gegen +∞. Generell muss man aber untersuchen, ob die Funktion gegen +∞ oder gegen -∞ strebt (durch Einsetzen von großen (positiven) x- Werten , sowie kleinen (negativen) x-Werten. Lim 3x²−4 = +∞ x→+∞ 2x−5 65 Grenzwert V • Beispiel von Folie 63: die Waagrechte Asymptote lautet hier: 2J − 4 lim =2 =→ J − 1 2J − 4 =2 lim =→> J − 1 Waagrechte Asymptote y=2 66 Grenzwert VI Polstelle Waagrechte Asymptote -> Übung: AB 5 Teil B Nr. 1 a-d 67 Betrag Der absolute Betrag einer reellen Zahl x ist definiert durch: Den absoluten Betrag einer reellen Zahl erhält man also durch Weglassen des Vorzeichens. Auf der Zahlengerade bedeutet der Betrag den Abstand der gegebenen Zahl von Null. Verlauf der Betragsfunktion y = J auf ℝ: 68 Die Exponentialfunktion : m(J) = # = • e ist eine Konstante (eulersche Zahl = 2,718281828459…) • Wichtig: ln(e)=1 • Eigenschaften: -Die e-Funktionen besitzen keine Nullstellen - Alle Funktionen gehen durch Den Punkt P (0/1) - Die negative x-Achse ist die Waagerechte Asymptote - Streng monoton steigend für positive x- Werte. - Nur positive Funktionswerte 69 ln-Funktion • Zur Erinnerung: lna = log K • Umkehrfunktion von m(J) = # = • Logarithmusfunktion m J = ln J Eigenschaften: - Die ln-Funktion hat eine Nullstelle bei 1. f(1)=0 - Die ln-Funktion hat an der Stelle e den Funktionswert 1. f(e)=1 - D=u⁺\{0} 70 Ableitungen I • Ableitung ist die Steigung der Funktion in einem gegebenen Punkt der Funktion (Die Steigung der Tangente in dem Punkt). • Viele Funktionen haben in jedem Punkt eine unterschiedliche Steigung: • Allgemein: m(J) = J&abgeleitet m‘(J) = &J > 71 Integral • Umgangssprachlich, aber nicht korrekt als „aufleiten“ bezeichnet • Ergebnis des Integrierens von m(J)ist die Stammfunktion (J) t E E = (E) • Die Stammfunktion abgeleitet ‘(J)ist die Ausgangsfunktion m J E = t(E) • Das Integral wird zur Flächenbestimmung zwischen der x-Koordinatenachse und dem Graphen benötigt • Allgemein: 72 Aufgaben 1.)WelcheZuordnungensindeindeutigundstellen somiteineFunktiondar? x 1 2 3 4 F(x) 1 1 1 1 x 1 2 1 2 F(x) 1 2 4 6 Funktion, da Eindeutige Zuordnung: y=1 Funktion, da z.B. dem Argument x=1 sowohl der Wert 1 als auch 4 zugeordnet wird 73 Aufgaben 2)ErmittelnSiefürdiefolgendenFunktionenden maximalenDefinitionsbereich,eine WertetabelleundskizzierendenGraphen(ohne Programm). f(x)=0,5x²-1,D=R,DieFunktionistwegena=0,5 gestreckt(sieheFolie50)undum1nachunten verschoben(aufdery-Achse)imGegensatzzur Funktiony=x².(sieheFunktionFolienurmitder Veränderungdesy-AchsenabschnittesP(0/-1) 3)BestimmenSiedenDefinitionsbereich,dieSteigung munddeny-Achsenabschnittb f(x)=3x-5,Steigungm=3,y-Achsenabschnitt=-5,D=R 74 Aufgaben 4)BestimmenSiejeweilsdieGerade: a) P(0/6),m=2/7 Lösung:y= x+6 . b)P(4/5),Q(5/7) Lösung:y=2x-3 5)BestimmenSiejeweilsdenScheitelpunktmitHilfe derquadratischenErgänzung.Bestimmen SieweiterhindieNullstellen. f(x)=x²+x-6,25 Lösung:ScheitelpunktS(-0,5/-6,5) Nullstellen:x₁ =-3,05oderx₂=2,05(gerundet) 75 Aufgaben 6)BestimmenSiedieNullstellen: a) f(x)=x²+3x+2 b) Lösung:x₁=-1undx₂=-2 b)f(x)=x³+2x²-x-2 LösungdurchPolynomdivision: x₁=-1,x₂=-2und x₃=1 7)BestimmenSiedenmaximalen Definitionsbereich,dieUmkehrfunktionund zeichnenSiedieGraphenineinKoordinatensystem. f(x)=(2x-4)/(x-1) 76 Aufgaben 7)BestimmenSiedenmaximalen Definitionsbereich,dieUmkehrfunktionund zeichnenSiedieGraphenineinKoordinatensystem. =>* f(x)= => Lösung:D=R/{1} =>* y= y(x-1)=2x-4yx-y=2x-4 => µ>* yx-2x=y-4x(y-2)=y-4x= µ> µ>* f⎺¹(x)=x= mitDf⎺¹(y)=R\{2} µ> 77 Aufgaben 8) BestimmenSiefolgendeGrenzwertedere-Funktion: Lösung: lim # = = +∞ lim # = =0 =→- =→> =→- =→- lim # >= = 0 lim # >= = +∞ 78 Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit und einen guten Start ins Studentenleben!
