1. Binomische Formel

Vorkurs
Mathematik
Vorbereitung auf das Bachelorstudium im
Fachbereich II – IPO und Marketing
WS 2016/2017
19.–23.09.2015
2
Vorkurs Mathematik
 Der Vorkurs findet vor Beginn der Erstsemesterwoche
statt
 Im Kurs werden die Grundlagen der Mathematik
wiederholt
 Ziel des Vorkurses:
• Vorbereitung der Studierenden auf die Module in Mathematik
• Auffrischen der Mathematikkenntnisse
• Schließen von Wissenslücken
3
Chronologischer Aufbau des Vorkurses
 09:00 – 10:30
Vorlesung (E41)
Lecturer: Sergej Kessler
 10:30 – 10:45
Pause
 10:45 – 12:15
Vorlesung (E41)
Lecturer: Sergej Kessler
 12:15 – 13:15
Mittagspause
 13:15 – 16:30
Tutorium
Gruppe 1 (E41):
Tutor: Marcel Griebenow
Gruppe 2 (E15):
Tutor: Serdar Kandan
4
Inhaltlicher Aufbau des Vorkurses
 Grundrechenarten & -regeln
 Bruchrechnen
 Binomische Formeln
 Rechnen mit Potenzen, Wurzeln und Logarithmus
 Summenzeichen
 Folgen und Reihen
 Lineare Gleichungen lösen
 Funktionsbegriff
 Darstellung von Funktionen
5
Inhaltlicher Aufbau des Vorkurses
 Definitions- und Wertemenge
 Lineare Funktionen
 Quadratische Funktionen lösen
 Quadratische Ergänzung, Mitternachtsformel, pq-Formel
 Umkehrfunktion
 Grenzwert
 Betrag / Betragsfunktion
 e und ln-Funktionen
 Ableitung, Integral
6
Online-Mathevorkurs
Alternativ kann der Online-Mathevorkurs besucht werden
7
Online-Mathevorkurs
Auf der Internetseite findet man allgemeine Informationen
zu dem Online-Kurs, sowie
 einen Link zu der Lernplattform
OpenOlat
 eine PDF-Datei mit einer
Anleitung
8
Lerncheck
 Auf der Internetseite „www.hs-lu.de/lerncheck“ kann ein
Fragebogen zur Selbsteinschätzung ihres Lernverhaltens
bearbeitet werden
 Als Ergebnis bekommt man einen Überblick über die
bereits angewendeten Lernstrategien
 Zusätzlich wird auf Aspekte ihres Lernverhaltens
hingewiesen, bei denen noch Verbesserungspotenzial
besteht
9
Feedback
 Auf der Internetseite „pingo.upb.de“ können Fragen an
ein bestimmtes Publikum gestellt werden
 Die Teilnahme erfolgt über ein internetfähiges Gerät
 Vorgehensweise:
• Link „pingo.upb.de“ aufrufen
• Zugangsnummer eingeben (wird von mir zum Schluss jeder
Vorlesung zur Verfügung gestellt)
• Fragen beantworten.
 Ziel:
• Prüfen, bei welchen Themen es noch Wissenslücken gibt.
• Diese werden im Tutorium nochmal behandelt
10
Grundrechenarten
1)
Addition
Beispiel:
Summand + Summand = Summe
2)
Subtraktion
Minuend – Subtrahend = Differenz
3)
6–2=4
Multiplikation
Multiplikand • Multiplikator (Faktoren) = Produkt
4)
6+2=8
6 ∙ 2 = 12
Division
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑑
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟
= Quotient
6
2
=3
11
Allgemeine Rechenregeln
1)
Punkt- vor Strichrechnung
23 + 14 : 2 = 23 + 7 = 30
2)
Von innen nach außen berechnen
5 • (4 – 2) = 5 • 2 = 10
 Bei mehreren Klammern:
(4 – (2 + 3) • 5) = (4 – 5 • 5) = 4 – 25 = -21
3)
Ein Produkt ist dann 0, wenn mindestens ein Faktor 0 ist
eine Klammer 0 setzen (x – 4)(x + 2) = 0  x = 4; x = -2
4)
Die Division durch 0 ist in keinem Fall erlaubt!
0
1
ist erlaubt, aber
1
0
ist strengstens verboten!!!
12
Vorzeichenregeln
• Beim Rechnen beachten:
5– 3 = +5– 3
− 7 + ( − 4) = − 7 − 4 = − 11
+ 8 – ( − 5) = 8 + 5 = 13
5+8− 7−2 =5+8−7+2=8
4 + (+ 3) = 7
• Merke:
1.
2.
3.
4.
5.
Jede Zahl ohne Vorzeichen ist positiv
Plus mal Minus ergibt Minus
Minus mal Minus ergibt Plus
Minus vor der Klammer dreht alle Vorzeichen darin um
Plus mal Plus ergibt Plus
13
Grundregeln der Multiplikation
1)
Kommutativgesetz
a•b=b•a
2)
Assoziativgesetz
(a • b) • c = a • (b • c)
3)
Beispiel: 2 • 3 = 3 • 2 = 6
Beispiel: (2 • 4) • 3 = 8 • 3 = 24 ; 2 • (4 • 3) = 2 • 12 = 24
Distributivgesetz (ausmultiplizieren/ausklammern)
a • (b + c) = a • b + a • c
Beispiel:
2 • (3+4) = 2 • 7 = 14 ; 2 • 3 + 2 • 4 = 6 + 8 = 14
 Folgerung:
(a + b)(c + d) = a(c + d) + b (c + d) = ac + ad + bc + bd
Beispiel:
(2 + 5)(3 + 1) = 2 • 3 + 2 • 1 + 5 • 3 + 5 • 1 = 6 + 2 + 15 + 5 = 28
14
Zahlenmengen
1)
Menge der natürlichen Zahlen ℕ
ℕ = {0, 1, 2, 3, … }
2)
Menge der positiven ganzen Zahlen ℕ*
ℕ* = {1, 2, 3, … }
3)
Menge der ganzen Zahlen ℤ
ℤ = { … , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … }
4)
Menge der rationalen Zahlen ℚ
𝑎
ℚ = {x | 𝑏 mit a  ℤ und b  ℕ* }
5)
Menge der reellen Zahlen ℝ
Zu den reellen Zahlen gehören alle Zahlen, die auf der Zahlengerade
5
liegen. Dazu gehören auch irrationale Zahlen wie π, e, 2, 6 , …
15
Terme mit Variablen zusammenfassen
 Merke:
Immer gleichartige Glieder (Glieder, die die selben Variablen
besitzen) zusammenfassen.
 Beispiel:
10x + 2y + 3z – 5x –5y = x(10 – 5) + y(2 – 5) + 3z = 5x – 3y +3z
 Übung: Aufgabenblatt 1 Teil A
• Nr.1 a-i
• Nr.3
• Nr.4
16
𝑍äℎ𝑙𝑒𝑟
𝑁𝑒𝑛𝑛𝑒𝑟
Bruchrechnen I
1)
𝑎
𝑏
Kehrbruch: Zu jedem Bruch 𝑏 gibt es einen Kehrbruch 𝑎.
𝑎
𝑏
Dabei gilt: 𝑏 • 𝑎 = 1
2)
Erweitern: Zähler und Nenner werden mit derselben Zahl c ≠ 0
multipliziert.
𝑎
𝑏
3)
𝑎•𝑐
= 𝑏•𝑐
2
2•4
8
Beispiel: 3 = 3 • 4 = 12
Kürzen: Zähler und Nenner werden durch dieselbe Zahl c ≠ 0 dividiert.
𝑎•𝑐
𝑏•𝑐
𝑎
=𝑏
Beispiel:
8
12
2•4
= 3•4 =
2
3
17
𝑍äℎ𝑙𝑒𝑟
𝑁𝑒𝑛𝑛𝑒𝑟
Bruchrechnen II
4)
Strichrechnungen:
 Brüche mit gleichem Nenner
𝑎
𝑐
𝑏
±𝑐=
𝑎±𝑏
𝑐
Beispiel:
2
6
1
+6=
2+1
6
3
=6
 Brüche mit unterschiedlichen Nennern
•
Hauptnenner bilden durch Multiplikation der Nenner miteinander
𝑎
𝑐
𝑏
𝑑
± =
𝑎•𝑑
𝑐•𝑑
±
𝑏•𝑐
𝑑•𝑐
=
𝑎𝑑± 𝑏𝑐
𝑐𝑑
Beispiel:
2
3
6
+7=
2•7+6•3
3•7
=
14+18
21
32
= 21
18
Bruchrechnen III
4)
𝑍äℎ𝑙𝑒𝑟
𝑁𝑒𝑛𝑛𝑒𝑟
Strichrechnungen:
• Hauptnenner bilden durch kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)
5
7
Beispiel: 12 + 18
Die Vielfachen von 12 sind: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, …
Die Vielfachen von 18 sind: 18, 36, 54, 72, 90, 108, …
Die gemeinsamen Vielfachen von 12 und 18 sind also 36, 72, 108, …
5
7
5∙3
7∙2
15 − 14
1
−
=
−
=
=
12 18 12 ∙ 3 18 ∙ 2
36
36
•
Hauptnenner bilden durch die Primfaktorzerlegung
5
7
5
7
5∙3
7∙2
15 − 14
1
−
=
−
=
−
=
=
12 18 3 ∙ 2 ∙ 2 3 ∙ 3 ∙ 2 3 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 3 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 2
36
36
19
Bruchrechnen IV
5)

Punktrechnungen:
Multiplikation: „Nenner mal Nenner, Zähler mal Zähler“
𝑎
𝑏

𝑐
𝑎•𝑐
𝑏
• 𝑑 = 𝑏•𝑑
𝑎
𝑏
a•𝑐=1•𝑐=
𝑎•𝑏
𝑐•1
=
𝑎•𝑏
𝑐
Division: Mit dem Kehrbruch multiplizieren
𝑎
𝑏
𝑐
𝑎
𝑑
:𝑑=𝑏•𝑐 =
𝑎•𝑑
𝑏•𝑐
Beispiel:
3 2
:
5 3
3 3
3∙3
9
= 5 ∙ 2 = 5∙2 = 10
20
Bruchrechnen V
6)
Doppelbrüche:
 Können mit einem Kehrbruch aufgelöst werden
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
7)
=
𝑎 𝑐
:
𝑏 𝑑
𝑎
𝑏
𝑑
𝑐
= • =
𝑎𝑑
𝑏𝑐
Beispiel:
2
9
4
3
2 4
2
3
6
1
= 9 : 3 = 9 • 4 = 36 = 6
Aus Differenzen und Summen nicht kürzen!
 Merkspruch: „Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen“
4𝑥 −2𝑥 2
2𝑥 2
=
2𝑥 (2 −𝑥)
2𝑥(𝑥)
ausklammern
=
kürzen
2−𝑥
𝑥
, und nicht
𝟒𝒙 −𝟏
𝟏
!!!
21
Bruchrechnen VI
8)
Gemischte Brüche
Problem: Können als Produkt missverstanden werden!
Lösung: mit dem Nenner erweitern
3
4
3
4
Beispiel: 3 = 3 + =
𝟑•𝟒+𝟑
15
=
𝟒
4
9
≠4
22
Bruchrechnen VII
9)
Unterschiedliche Darstellungen desselben
1
𝑥
= 𝑥 −1
𝑎
𝑏
=𝑎∗𝑏
𝑎
−𝑎
𝑏
−𝑏 =
 Übung: Arbeitsblatt 1 Teil C:
•
Nr. 2 a-c
•
Nr. 3 a-c
•
Nr.4 a-c
•
Nr.5 a-c
1
𝑎
= −𝑏
23
Binomische Formeln I
1. Binomische Formel: (a + b)² = a² + 2ab + b²
(a + b)²
= (a+b)(a+b) = a² + ab + ba + b²
= a² + 2ab + b²
2. Binomische Formel: (a – b) ² = a² - 2ab + b²
(a – b) ²
= (a – b)(a – b) = a² - ab – ba + b²
= a² - 2ab + b²
Klammer auflösen
3. Binomische Formel: (a + b)(a – b) = a² - b²
(a + b)(a – b)
= a² - ab + ba – b²
= a² - b²
Faktorisieren bzw.
Ausklammern
24
Binomische Formeln II
 Übung: Aufgabenblatt 1 Teil B:
•
Nr. 1 a - c, g
•
Nr. 2 a, c, d
•
Nr. 3 a - c
25
Potenzgesetze I
1)
Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert/dividiert, indem man die
Exponenten addiert/subtrahiert und die Basis beibehält:
𝑎𝑛
2)
•
𝑎𝑚
=
𝑎𝑛+𝑚
𝑎𝑛
𝑎𝑚
= 𝑎𝑛 −𝑚
Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert/dividiert, indem
man das Produkt/den Quotient der Basen mit dem gemeinsamen
Exponenten potenziert:
𝑎𝑛
•
𝑏𝑛
= 𝑎•𝑏
𝑛
𝑎𝑛
𝑏𝑛
𝑎
= (𝑏 )𝑛
26
Potenzgesetze II
3)
Eine Potenz wird potenziert, indem man die Exponenten multipliziert
und die Basis beibehält: (𝑎𝑛 )𝑚 = 𝑎 𝑛 •𝑚
4)
Weiter zu beachten (a ≠ 0):
𝑎0 = 1
5)
𝑎−1 =
1
𝑎1
1
𝑎−𝑛 = 𝑎𝑛
Eine negative Basis ist bei geradem Exponenten n positiv, bei ungeradem
Exponenten n negativ:
(−1)𝑛 =
1,
-1,
gerades n
ungerades n
27
Potenzgesetze III
Gibt es bei einem Term keine Übereinstimmung von Basis oder Exponent, lässt sich der
Term nicht vereinfachen!
Potenzen können nur addiert werden, wenn Basis und Exponent übereinstimmen!
28
Potenzgesetze IV
 Übung: Aufgabenblatt 2 Teil A:
•
Nr. 1 a - d, l - n
•
Nr. 2 o - r
29
Wurzeln I
Suche nach der Basis einer Potenz:
𝑥𝑛 = a ⇔ x =
𝑛
𝑎
n= Wurzelexponent
a= Radikand
Die Wurzel ist die nicht-negative Lösung der Gleichung xn = a.
Beispiel:
2
𝑥 2 = 16 ⇒ x =± 16 = ± 4
→ zweideutiger Rechenausdruck
→ zwei Lösungen
30
Wurzeln II
• Für das Rechnen mit Wurzeln gilt:
 Übung: Arbeitsblatt 2 Teil A Nr. 3 a-e
Merke: Wenn keine Zahl
auf der Wurzel steht, ist das
immer die Quadratwurzel
31
Logarithmus
Suche nach dem Exponenten einer Potenz:
𝑎𝑛 = x ⇔ n = log 𝑎 𝑥
Der Logarithmus einer Zahl x zur Basis a ist die Zahl n, mit der man a
potenzieren muss, um x zu erhalten.
Merke:
Dabei gilt: Das Argument x des Logarithmus muss immer positiv sein!
Für jedes a gilt:
log 𝑎 1= 0, da 𝑎0 = 1
log 𝑎 𝑎= 1, da 𝑎1 = a
32
Spezielle Logarithmen
1.
Natürlicher Logarithmus
en = a  n = loge a = ln a
(e ist die eulersche Zahl ≈ 2,718281828)
2.
Dekadischer Logarithmus
10n = a  n = log10 a = lg a
3.
Dualer (binärer) Logarithmus
2n = a  n = log2 a = lb a
33
Umformen zwischen den Logarithmen
 Die Umformung zwischen den Logarithmen erfolgt mit folgender Formel:
 Beispiel:
102 = 100,
2𝑥 = 100,
log 2 100 =
log10 100
log10 2
26,6439 ≈ 100
≈ 6,6439
34
Aufgabe Logarithmus (Praxisbezogen)
Ein Student spart für sein erstes Auto. Er will
dafür 20.000 € ausgeben. Er hat 12.000 € auf
seinem Sparkonto angespart, dort wird das Geld
mit 5,75 % verzinst. Wie lange muss er sparen ?
 Übung: Arbeitsblatt 2 Teil A
•
•
•
Nr.7 a, b, d, e
Nr.8 a-c
Nr.9 a-c
35
Zusammenhang zwischen Potenzen,
Wurzeln, Logarithmus
36
Das Summenzeichen
„Summiere alle Ausdrücke qi auf, wobei der Parameter i alle natürlichen
Zahlen von 0 bis n durchläuft.“
37
Rechnen mit Summen
Summen können in
Summanden aufgeteilt
werden
Beispiel: Arbeitsblatt 2 Teil B Nr.1 a
Zur Übung: Arbeitsblatt 2 Teil B Nr. 1 b,c
Faktoren können vor
die Summe gezogen
werden .
38
Folgen
Eine Folge (genauer: Zahlenfolge) ist eine Auflistung von Zahlen, deren
Reihenfolge festgelegt ist. Die einzelnen Zahlen der Folge nennt man Glieder.
Das erste Glied (d.h. die erste Zahl) der Folge heißt 𝑎1 , das zweite 𝑎2 , ..., das nte Glied heißt 𝑎𝑛 .
 Beispiel:
(1, 7, 4, 21, 16, …), wobei 𝑎1 =1; 𝑎2 =7; 𝑎3 =4; …
 Für einige Folgen kann man die Vorschrift angeben, nach der die einzelnen
Glieder berechnet werden. Für andere Folgen ist das nur schwer möglich
oder unmöglich.
Beispiel: (1, 2, 4, 8, 16, …)
Das zugehörige Bildungsgesetz lautet: 𝑎𝑛 = 2𝑛−1 für n≥ 1
39
Folgen & Reihen
Gegeben sei eine Zahlenfolge (𝑎𝑛 )𝑛𝜀ℕ .
Die Summe der ersten n Folgenglieder wird mit sn bezeichnet: sn =
𝑛
𝑖=0 𝑎𝑖 .
Die
Zahlenfolge (𝑠𝑛 )𝑛𝜀ℕ heißt nun die (endliche) Reihe zu 𝑎𝑛 . Die einzelnen
Folgenglieder der Zahlenfolge (𝑠𝑛 )𝑛𝜀ℕ bestehen also aus Summen über
Folgenglieder der Zahlenfolge (𝑎𝑛 )𝑛𝜀ℕ .
Beispiel:
n
0
1
2
3
4
5
6
…
an
1
2
4
8
16
32
64
…
sn
1
3
7
15
31
63
127
…
40
Geometrische Folge
Bei einer geometrischen Folge ist das Verhältnis zweier benachbarter
Folgenglieder konstant:
𝑎
𝑎
q = 𝑎 5 = 𝑎3
4
2
Das zugehörige Bildungsgesetzt lautet:
𝑎𝑛 = 𝑎 0 • 𝑞 𝑛
 Beispiel:
•2
•2
•2
(3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, 768, 1536, … ) mit q = 2 und n = 9
𝑎2 = 3•22 = 12
𝑎9 = 3•29 = 1536
41
Geometrische Reihe I
Bei einer geometrischen Reihe werden alle Glieder einer geometrischen Folge
addiert:
𝑠𝑛 =𝑎0
𝑛 𝑖
0𝑞
= 𝑎0 •
𝑠𝑛 = 𝑎0 • n + 1
 Beispiel:
•2
•2
𝑞𝑛+1 −1
𝑞 −1
für q ≠ 1
für q = 1
•2
(3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, 768, 1536, … ) mit q = 2 und n = 9
𝑠2 =3•
𝑠9 =3•
22+1 −1
=
2 −1
29+1 −1
=
2 −1
21
3069
42
Geometrische Reihe II
 Fängt die Summe erst bei i = 1 an, so muss das 0. Glied abgezogen
werden:
𝑛
𝑞 𝑛+1 − 1
𝑞 0+1 − 1
𝑞 = 𝑎0 •
−𝑎0 •
𝑞−1
𝑞−1
𝑖
𝑎0
𝑖=1
𝑛
𝑞 𝑛+1 − 1
𝑞 = 𝑎0 •(
−1)
𝑞−1
𝑖
𝑎0
𝑖=1
 Fängt die Summe erst bei i = 2 an, so müssen das 0. Glied und 1. Glied
abgezogen werden:
𝑛
𝑞 𝑛+1 − 1
𝑞1+1 − 1
𝑞 = 𝑎0 •
−𝑎0 •
𝑞−1
𝑞−1
𝑖
𝑎0
𝑖=2
𝑛
𝑞 𝑛+1 − 1 𝑞 2 − 1
𝑞 = 𝑎0 •(
−
)
𝑞−1
𝑞−1
𝑖
𝑎0
𝑖=2
 Übung: Arbeitsblatt 2 Teil B Nr. 2 a-c
43
Lineare Gleichungen lösen I
Beispiel:
1)
10x – 2(5x + 7) = -2 • (2-x)
Auf beiden Seiten Klammern & Brüche auflösen:
10x – 10x – 14 = -4 + 2x
2)
Gleichartige Glieder zusammenfassen:
-14 = -4 + 2x
3)
Addiere/Subtrahiere so, dass alle Variablen auf der linken und
alle absoluten Werte auf der rechten Seite stehen und weiter
zusammengefasst werden können:
-2x = 10
44
Lineare Gleichungen lösen II
4)
Multipliziere/Dividiere so, dass die Variable isoliert wird:
x = -5
Jede auf eine Gleichung angewendete Operation muss auf beide Seiten
der Gleichung angewendet werden!
3 mögliche Fälle:
1. Unendlich viele Lösungen, falls sich 0 = 0 ergibt.
(d.h. Gleichung gilt für alle x 𝜖 ℝ)
2. Nicht lösbar bei Widerspruch – rechte Seite unterscheidet sich von der linken.
3. Eindeutige Lösung mit x =a.
45
Zusammenfassung
Schritte zur Lösung einer linearen Gleichung:
1)
Auf beiden Seiten Klammern & Brüche auflösen.
2)
Gleichartige Glieder zusammenfassen.
3)
Addiere/Subtrahiere so, dass alle Variablen auf der linken und alle
absoluten Werte auf der rechten Seite stehen und weiter zusammengefasst werden können.
4)
Multipliziere/Dividiere so, dass die Variable isoliert wird.
 Übung: Arbeitsblatt 3
• Teil A Nr. 1 a-d, Nr. 2 b,c
• Teil C Nr . 1 a,b
46
Funktionsbegriff
Eine Funktion f(x) ist eine eindeutige Zuordnung der Elemente zweier Mengen.
Dabei wird jedem Element x aus einer Definitionsmenge D genau ein Element
y aus der Wertemenge W zugeordnet.
Apfelpresse:
Der Apfel wird hineingeworfen, die Maschine verarbeitet den Apfel und gibt
Apfelsaft heraus
Übertragung:
x wird in die Funktion eingesetzt und y kommt heraus
 Übung: Arbeitsblatt 3 Teil B Nr.1 a-e
47
Darstellung von Funktionen
Besitzt der Definitionsbereich einer Funktion nur endlich viele Elemente,
kann die Funktion durch eine Wertetabelle festgelegt werden.
Beispiel: D = {1,2,3,4}
Weitere Darstellungen für endliche Definitionsbereiche:
48
Definitions- und Wertemenge
Die Definitionsmenge D enthält alle Zahlen, die für x eingesetzt werden
dürfen.
 Darstellungsmöglichkeiten:
• D=ℝ
Die Definitionsmenge ist die Menge der reellen Zahlen
• D = ℝ\{1}
Die Definitionsmenge ist die Menge der reellen Zahlen ohne „1“
• D = {1, 5, 7, 20}:
Die Definitionsmenge ist die Menge der Zahlen 1, 5, 7, 20
• D = { x | -5 < x < 3}:
Die Definitionsmenge ist die Menge aller x. x muss größer als „-5“ und
kleiner als „3“ sein
49
Definitions- und Wertemenge
 Überlegungen zur Definitionsmenge:
 Beispiel:
f(x) = 49 − 𝑥 2
Die Wertemenge W beinhaltet alle Zahlen, die beim Einsetzen von Zahlen in
x herauskommen (Darstellung von y).
 Übung: Arbeitsblatt 3 Teil D Nr. 1 a-d und Nr. 2 c
50
Lineare Funktionen I
Dies ist eine Zuordnung, bei dem jedem x das
dazugehörige y zugeordnet wird.
Das heißt: Zu jedem beliebigen x-Wert lässt sich der y-Wert ermitteln und
man bekommt einen Punkt(x|y) des Graphen der Funktion.
 Übung: Arbeitsblatt 3 Teil B Nr. 2 a,b
51
Lineare Funktionen II
Lineare Funktionen sind eindeutig festgelegt durch:
1)
Gleichung:
y = ax + b
1)
2 Punkte:
P(x 1|y 1) Q(x 2|y 2)
ax1 + b = y1
ax2 + b = y2
3)
 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten
=> damit stehen a & b fest
Steigung a und einen Punkt P(x 1|y 1):
ax1 + b = y1
 Gleichung nach b umstellen
52
Lineare Funktionen III
1) Schnittpunkte mit den Achsen
 Schnittpunkt mit der y – Achse:
f(x = 0) = y = m•0 + b

y=b
 Schnittpunkt mit der x – Achse („Nullstellen“):
f(x) = 0 = m•x + b

x=-
𝑏
𝑚
2) Schnittpunkt zweier Geraden
𝑓1 (𝑥) = y = 𝑚1 •x + 𝑏1
und
𝑓1 (𝑥) = y = 𝑚2 •x + 𝑏2

x = 𝑚2 − 𝑚1
𝑓1 (𝑥) = 𝑓2 (𝑥)
𝑚1 •x + 𝑏1 = 𝑚2 •x + 𝑏2
𝑏 −𝑏
1
2
 x – Wert in eine Geradengleichung einsetzen und den dazugehörigen
y – Wert berechnen
53
Lineare Funktion: Praxisbeispiel
Für die Herstellung eines Produktes fallen
Materialkosten in Höhe von K¹(x)=1,7x-2 an. Für
eine Werbekampagne ergeben sich zusätzliche
Kosten von K²(x)=0,7x+3.
Bei welcher Stückzahl sind die Materialkosten
gleich den Werbekosten? Geben Sie die Gerade
an, die die Gesamtkosten beschreibt.
 Übung: AB 3 Teil B
• Nr.3 a,c,e
• Nr.7 a
54
Reinquadratische Gleichungen (a≠0)
Die reinquadratische Gleichung geht durch äquivalente Umformungen
über in:
Beispiel: 𝑥 2 - 81 = 0 ⇔ 𝑥 2 = 81 ⇔ x1 = 9; x2 = -9
⇒ 𝑥 2 - 81 ist also null, wenn x entweder 9 oder -9 ist.
⇒Die Lösungsmenge ist also L = −9; 9
-> Übung: AB 4 Teil A
Nr. 1 f,j,q
55
Spezielle Quadratische Gleichungen (a≠0)
Die spezielle quadratische Gleichung geht durch Ausklammern von x über in:
x(ax + b) = 0
Ein Produkt ist null, wenn mindestens ein Faktor null ist!
𝑏
⇒ x1 = 0; x2 = - 𝑎
3
Beispiel: 5𝑥 2 + 3x = 0 ⇔ x(5x+3) = 0 ⇔ x1 = 0; x2 = - 5
-> Übung: AB 4 Teil A
Nr. 1 b,r
56
Allgemein Quadratische Gleichungen
Die allgemein quadratische Gleichung wird durch quadratische Ergänzung gelöst:
Binomische Formel!
57
Die Mitternachtsformel
Hieraus ergibt sich die Mitternachtsformel/Abc-Formel, mit der
allgemein quadratische Gleichungen gelöst werden können:
-> Übung: Ab 4
Teil A Nr. 2 a-c
58
Die pq-Formel
Zur Lösung von
𝑥 2 + px + q = 0
(a=1)
kann auch (alternativ zur abc-Formel) die pq-Formel angewendet werden:
Diese Formel kann immer angewendet werden. Unter Umständen muss
zunächst durch a geteilt werden:
a𝑥 2 + bx + c = 0
-> Übung: AB 4 Teil A Nr. 3 a,b,f,g
59
Die Quadratische Gleichung
Quadratische Gleichungen sind Gleichungen der Form:
ax² + bx + c = d
Die Quadratischen Gleichungen können dann mit Hilfe der
quadratischen Ergänzung, Mitternachtsformel oder pq- Formel
gelöst werden.
->Übung: AB 4 Teil A
Nr. 1 a, c-e, g, h
Nr. 6 a, c
60
Quadratische Funktionen I
61
Quadratische Funktionen II
62
Quadratische Funktionen III
Scheitelform mit Hilfe der quadratischen Ergänzung:
-> Übung: AB 4 Teil A Nr. 4 a-c, i, j
63
Polynom n-ten Grades
Allgemein:
Beispiel:
𝑓(𝑥) = 5𝑥3 + 3𝑥2 + 2𝑥 + 6
64
Nullstellen durch Polynomdivision
Bespiel ( erste Nullstelle erraten):
65
Umkehrfunktion I
Eine Funktion ist umkehrbar, wenn jedem y-Wert nur ein xWert zugeordnet ist. Die Umkehrfunktion wird mit f-1
bezeichnet.
Die Gleichung der Umkehrfunktion von f gewinnt man, indem man die
Gleichung y = f(x) nach x auflöst und die Bezeichnungen y und x vertauscht.
Die Graphen der Funktion y = f(x) und ihrer Umkehrfunktion
y = f-1(x) liegen spiegelbildlich zur Geraden y = x.
66
Umkehrfunktion II
 Zusammenhang Definitions- und Wertemenge:
𝐷𝑓 = 𝑊𝑓−1 und 𝑊𝑓 = 𝐷𝑓−1
 Beispiel:
f x = 2x + 1
mit Df = R, Wf = R
• Nach x auflösen:
y = 2x + 1
y – 1 = 2x
0,5(y – 1) = x
• Neue Funktion:
𝑓 −1 𝑥 = 0,5𝑥 − 0,5
• D und W tauschen:
𝐷𝑓−1 = 𝑅, 𝑊𝑓−1 = 𝑅
67
Umkehrfunktion mit ökonomischen
Funktionen
• Nun betrachten wir ökonomische Funktionen
• Beispiel: 𝑝 𝑥 = 2𝑥 + 1
Dies ist eine Angebotsfunktion (Der Preis p hängt
von der Menge x ab)
Umkehrfunktion bilden :
1) Nach x auflösen: x = 0,5𝑦 − 0,5
2) Neue Funktion: x(p)=0,5𝑝 − 0,5
Hier hängt die Menge x von dem Preis p ab!
Wichtig: Nicht einfach die Variablen vertauschen,
sondern die Abhängigkeiten betrachten!
68
Umkehrfunktion III
-> Übung: AB 5 Teil A
Nr. 1
Nr. 2 a-c
69
Stück-/ Abschnittsweise definierte
Funktionen
Bisher waren die behandelten Funktionen (abgesehen von Definitionslücken)
auf ganz ℝ definiert.
Funktionen können auch nur für ein bestimmtes Intervall definiert sein
oder stück- bzw. abschnittsweise aus verschiedenen Teilfunktionen
zusammengesetzt sein:
70
Gebrochen rationale Funktionen I
• Es ist eine Funktion, bei der sich sowohl im Zähler als auch im Nenner eine
ganzrationale Funktion befindet:
𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + … + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0
𝑍(𝑥)
𝑓 𝑥 =
=
𝑏𝑚 𝑥 𝑚 + 𝑏𝑚−1 𝑥 𝑚−1 + … + 𝑏1 𝑥 + 𝑏0
𝑁(𝑥)
 Arten der gebrochen rationalen Funktionen:
• m <= n: Unecht gebrochen rationale Funktion
• m > n: Echt gebrochen rationale Funktion
 Dort, wo der Nenner Null wird, ist die Funktion nicht definiert
(Definitionslücken)
• Hebbare Definitionslücken
• Polstellen
71
Gebrochen rationale Funktionen II
1) Nullstellen berechnen:
 Um die Nullstellen der Funktion zu bestimmen, muss der Zähler Null
gesetzt und nach x aufgelöst werden:
Z(𝑥0 ) = 0
2) Definitionslücken bestimmen:
 Um die Definitionslücken der Funktion zu bestimmen, muss der Nenn Null
gesetzt und nach x aufgelöst werden:
N(𝑥𝑝 ) = 0
 Prüfen, ob es sich bei der Definitionslücke um eine Polstelle oder eine
hebbare Definitionslücke handelt:
• Polstelle, wenn 𝑥𝑝 ≠ 𝑥0
• Hebbare Definitionslücke, wenn 𝑥𝑝 = 𝑥0
72
Gebrochen rationale Funktionen III
 Beispiel:
𝑥 −1
𝑓 𝑥 = 2
𝑥 +𝑥 −2
(𝑥 − 1)
𝑓 𝑥 =
(𝑥 − 1)(𝑥 + 2)
73
Grenzwert I
Der Grenzwert einer Funktion an einer bestimmten Stelle bezeichnet
denjenigen Wert, dem sich die Funktion in der Umgebung der betrachteten
Stelle annähert.
Interessante Stellen sind:
 Verhalten Richtung ∞
 Verhalten Richtung –∞
 Verhalten an Definitionslücken
 Es soll herausgefunden werden, wo sich waagrechte Asymptoten und
Polstellen befinden.
74
Grenzwert II
1) Verhalten der Funktion für x  ± ∞
 Eine echt gebrochen rationale Funktion (m > n)
nähert sich der x-Achse für x  ± ∞:
lim 𝑓(𝑥)  0
𝑥→±∞
 Beispiel:
𝑥 −1
𝑓 𝑥 = 2
𝑥 +𝑥 −2
𝑥 −1
𝑥→±∞
𝑥→±∞ 𝑥 2 + 𝑥 − 2
1
𝑥 • (1 − 𝑥 )
lim
1
2
𝑥→±∞ 2
𝑥 • (1 + 𝑥 − 2 )
𝑥
(1 + 0)
lim
𝑥→±∞ ∞ • (1 + 0 − 0)
lim 𝑓 𝑥 = lim
75
Grenzwert III
1) Verhalten der Funktion für x  ± ∞
 Eine unecht gebrochen rationale Funktion (m = n)
nähert sich einem endlichen Grenzwert für x  ± ∞:
𝑎
lim 𝑓(𝑥)  𝑏 𝑛
𝑥→±∞
𝑚
 Beispiel:
𝑥2 − 1
𝑓 𝑥 = 2
𝑥 +𝑥 −2
𝑥2 − 1
lim 𝑓 𝑥 = lim 2
𝑥→±∞
𝑥→±∞ 𝑥 + 𝑥 − 2
1
𝑥 2 • (1 − )
𝑥
lim
1
2
𝑥→±∞ 2
𝑥 • (1 + 𝑥 − 2 )
𝑥
(1 + 0)
lim
𝑥→±∞ (1 + 0 − 0)
76
Grenzwert IV
1) Verhalten der Funktion für x  ± ∞
 Der Funktionswert einer unecht gebrochen rationale Funktion (m < n)
geht gegen unendlich für x  ± ∞:
lim 𝑓(𝑥)  ±∞
𝑥→±∞
 Beispiel:
𝑥2 − 1
𝑓 𝑥 =
𝑥 − 2
𝑥2 − 1
lim 𝑓 𝑥 = lim
𝑥→±∞
𝑥→±∞ 𝑥 − 2
1
𝑥 2 • (1 − 2 )
𝑥
lim
2
𝑥→±∞
𝑥 • (1 − 𝑥 )
±∞ • (1 + 0)
lim
𝑥→±∞
(1 − 0)
77
Grenzwert V
1) Verhalten der Funktion für x  𝒙𝒑
 Der Funktionswert einer gebrochen rationale Funktion
geht in der Nähe der Polstelle gegen unendlich für x  ± ∞:
lim 𝑓(𝑥)  ±∞
𝑥→𝑥𝑝 ±
 Beispiel:
𝑥 − 1
𝑓 𝑥 = 2
𝑥 +𝑥 − 2
(−2.0001) − 1
lim −
𝑥→𝑥𝑝 (−2.0001)2 +(−2.0001) − 2
= -10000
(−1.9999) − 1
lim
𝑥→𝑥𝑝 + (−1.9999)2 +(−1.9999) − 2
= +10000
78
Grenzwert VI
Polstelle
Waagrechte Asymptote
 Übung: Arbeitsblatt 5 Teil B Nr. 1 a-d
79
Betrag
Der absolute Betrag einer reellen Zahl x ist definiert durch:
Den absoluten Betrag einer reellen Zahl erhält man also durch Weglassen des
Vorzeichens. Auf der Zahlengerade bedeutet der Betrag den Abstand der
gegebenen Zahl von Null.
Verlauf der Betragsfunktion y = 𝑥 auf ℝ:
80
Die Exponentialfunktion : 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥
 e ist eine Konstante (eulersche Zahl = 2,718281828459…)
 Wichtig: ln(e) = 1
 Eigenschaften:
• e-Funktionen ohne Verschiebung
in y-Richtung besitzen keine
Nullstellen
• e-Funktionen ohne Verschiebung
in y-Richtung und ohne Streckung
bzw. Stauchung gehen durch
den Punkt P (0/1)
• Die negative x-Achse ist die
Waagerechte Asymptote
• Streng monoton steigende
Funktion
• Nur positive Funktionswerte
81
ln-Funktion:
𝑓 𝑥 = ln(𝑥)
 Zur Erinnerung: ln a = log 𝑒 𝑎
 Umkehrfunktion von 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥
 Logarithmusfunktion 𝑓 𝑥 = ln 𝑥
 Eigenschaften:
• ln-Funktionen ohne Verschiebung
in y-Richtung und ohne Streckung
bzw. Stauchung haben eine
Nullstelle bei x = 1: f(1)=0
• Die ln-Funktion hat an der Stelle
e den Funktionswert 1: f(e)=1
• D=𝑅⁺\{0}
82
Ableitungen I
• Ableitung ist die Steigung der Funktion in einem
gegebenen Punkt der Funktion (Die Steigung der
Tangente in dem Punkt).
• Viele Funktionen haben in jedem Punkt eine
unterschiedliche Steigung:
• Allgemein:
𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛 abgeleitet 𝑓‘(𝑥) = 𝑛𝑥 𝑛−1
83
Integral
• Umgangssprachlich, aber nicht korrekt als
„aufleiten“ bezeichnet
• Ergebnis des Integrierens von 𝑓(𝑥) ist die
Stammfunktion 𝐹(𝑥)  𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑭(𝒙)
• Die Stammfunktion abgeleitet 𝐹‘(𝑥) ist die
Ausgangsfunktion 𝑓 𝑥  𝑭′ 𝒙 = 𝒇(𝒙)
• Das Integral wird zur Flächenbestimmung
zwischen der x-Koordinatenachse und dem Graphen
benötigt
• Allgemein:
84
Aufgaben
1.) Welche Zuordnungen sind eindeutig und stellen
somit eine Funktion dar?
x
1
2
3
4
F(x)
1
1
1
1
x
1
2
1
2
F(x)
1
2
4
6
Funktion, da
Eindeutige
Zuordnung:
y=1
Keine
Funktion, da
z.B. dem
Argument
x=1 sowohl
der Wert 1 als
auch 4
zugeordnet
wird
85
Aufgaben
2) Ermitteln Sie für die folgenden Funktionen den
maximalen Definitionsbereich, eine
Wertetabelle und skizzieren den Graphen (ohne
Programm).
f(x) = 0,5x²-1, D=R, Die Funktion ist wegen a=0,5
gestreckt (siehe Folie 50) und um 1 nach unten
verschoben (auf der y-Achse) im Gegensatz zur
Funktion y= x². (siehe Funktion Folie nur mit der
Veränderung des y-Achsenabschnittes P(0/-1)
3) Bestimmen Sie den Definitionsbereich, die Steigung
m und den y-Achsenabschnitt b
f(x) = 3x-5, Steigung m=3, y-Achsenabschnitt=-5, D=R
86
Aufgaben
4) Bestimmen Sie jeweils die Gerade:
a) P(0/6) , m=2/7
2
Lösung: y= x+6
7
b) P(4/5) , Q(5/7)
Lösung: y=2x-3
5) Bestimmen Sie jeweils den Scheitelpunkt mit Hilfe
der quadratischen Ergänzung. Bestimmen
Sie weiterhin die Nullstellen.
f(x) = x²+x-6,25
Lösung: Scheitelpunkt S(-0,5/-6,5)
Nullstellen: x ₁ =-3,05 oder x ₂ =2,05 (gerundet)
87
Aufgaben
6) Bestimmen Sie die Nullstellen:
a) f(x) = x²+3x+2
b) Lösung: x₁=-1 und x₂=-2
b) f(x) = x³+2x²-x-2
Lösung durch Polynomdivision: x₁=-1, x₂=-2 und
x₃=1
7) Bestimmen Sie den maximalen
Definitionsbereich, die Umkehrfunktion und
zeichnen Sie die Graphen in ein Koordinatensystem.
f(x) = (2x-4)/(x-1)
88
Aufgaben
7) Bestimmen Sie den maximalen
Definitionsbereich, die Umkehrfunktion und
zeichnen Sie die Graphen in ein Koordinatensystem.
2𝑥−4
f(x) =
𝑥−1
Lösung: D=R\{1}
2𝑥−4
y=
y(x-1)=2x-4
yx-y=2x-4
𝑥−1
yx-2x=y-4
f⎺¹(x)=
x(y-2)=y-4
𝑦−4
x=
mit
𝑦−2
x=
Df⎺¹(y)=R\{2}
𝑦−4
𝑦−2
89
Aufgaben
8)
Bestimmen Sie folgende Grenzwerte der e-Funktion:
Lösung:
lim 𝑒 𝑥 = +∞
lim 𝑒 𝑥 =0
𝑥→ +∞
𝑥→−∞
𝑥→ +∞
𝑥→ +∞
lim 𝑒 −𝑥 = 0
lim 𝑒 −𝑥 = +∞
90
Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit
und einen guten Start ins Studentenleben!