Mathematik II

TechnischeUniversität Ilmenau
Institut für Mathematik
PD Dr. J. Knobloch
SS 2011
FZT, MB, MTR, OTR, LA
Mathematik II
Übungsserie 11 (14.6. - 18.6.2011)
Gewöhnliche Differentialgleichungen
1. Richtungsf eld einer Dif f erentialgleichung (Ü2, 24.2 bc)
Man skizziere in der xy-Ebene für die folgenden Differentialgleichungen einige Kurven, in deren Punkten durch die Differentialgleichung jeweils der gleiche Anstieg y ′
vorgeschrieben wird. D.h., man skizziere einige Isoklinen und versehe sie mit zugehörigen Richtungselementen.
Weiterhin sind alle Lösungen zu bestimmen und einige in das skizzierte Richtungsfeld
einzutragen.
1
y
b) y ′ = , x = 0.
a) y ′ = , y = 0 ;
y
x
2. Orthogonale T rajektorien
Als orthogonale Trajektorien der Kurvenschar F (x, y, C) = 0 werden die Kurven bezeichnet, die die Kurven der gegebenen Schar unter einem rechten Winkel schneiden.
Differenziert man die Gleichung F (x, y, C) = 0 nach x und eliminiert C aus der entstandenen und der gegebenen Gleichung, so erhält man eine Differentialgleichung der
1
gegebenen Kurvenschar. Aus dieser entsteht nach Ersetzung von y ′ durch − ′ eine
y
Differentialgleichung der orthogonalen Trajektorien.
Man bestimme zur Parabelschar y 2 = −2 (x + C) die orthogonalen Trajektorien und
skizziere in einem Koordinatensystem beide Kurvenscharen.
3. Kurvenscharen mit zwei P arametern
Eine Kurvenschar enthält zwei Parameter C, D. Differenziert man die Schargleichung
zweimal nach x und eliminiert C, D aus den insgesamt drei Gleichungen, so erhält man
eine Differentialgleichung 2. Ordnung. Wie lautet diese Differentialgleichung für die
folgenden Kurvenscharen?
a) y = ex (Cx + D) ,
b) y = C sin (x + D) .
Gewöhnliche Differentialgleichungen 1. Ordnung
4. T rennung der V ariablen
Man löse mit der Methode der Trennung der Variablen die Differentialgleichungen:
·
a) y ′ = −2xy ;
b) x = exp (t − x) ;
c) y ′ = ex−y − ex ;
y2
b − y a, b = const
2
y = 0,
d) y ′ = − 2 , x =
0; e) y ′ =
,
; f) y ′ =
,
.
2
a = 0
±2
x
a
y (x − 4) x =
5. Integration durch Substitution
a) Für eine Differentialgleichung y ′ = f (ax + by + c), b = 0 ist v(x) = ax + by(x) + c
eine naheliegende Substitution.
Mit v′ = a + by ′ ist v ′ = a + bf (v) eine trennbare Differentialgleichung.
Man löse die Differentialgleichung y ′ = (2x + y − 3)2 − 4x − 2y + 5.
b) Ist eine Differentialgleichung mit einer Funktion f in der Form
y
′
y =f
, x = 0
x
(∗)
y
(ggf. nach
x
Umformungen) auftreten, so heißt die Differentialgleichung Ähnlichkeitsdif f erentialgleichung.
y (x)
Mit der Substitution v(x) =
, x = 0 und folglich f (v) = y ′ = (xv)′ = v + xv′
x
erhält man aus (∗) die trennbare Differentialgleichung
1
v ′ = (f (v) − v) , x = 0.
x
xy + y 2
b1 ) Man löse die Differentialgleichung y ′ =
, x = 0.
x2
√
y − x2 + y 2
′
b2 ) Man bestimme für x > 0 die Lösungen der Differentialgleichung y =
.
x
gegeben, in der also auf der rechten Seite x und y nur in der Kombination
6. Anf angswertaufgaben
Man löse folgende Anfangswertprobleme:
sin x
a) y ′ =
, y = 0, y (0) = −1 ;
y
y 2 + xy
c) y ′ =
, x = 0, y (1) = 1.
x2
b) y ′ = x2 y 3 ,
y (0) = 1;
7. V ariation der Konstanten
Man bestimme die Lösung der folgenden linearen Differentialgleichungen unter Verwendung der Methode der Variation der Konstanten:
a) y ′ = y + x
2
b) y ′ = xe−x − 2xy
c) y ′ = y + cos x
8. Spezielle Ansätze f ür yp
Man löse die folgenden linearen Differentialgleichungen. Dabei bestimme man eine
partielle Lösung durch einen Ansatz, der der Inhomogenität angepasst ist (”Ansatz
vom Typ der rechten Seite in ay ′ + by = g(x) mit unbestimmten Koeffizienten”).
·
a) y ′ = −2y + 2x2 − 4 ,
b) x = 2x + (3 − t) et − 2 cos t .
2