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matheⓈkript D
STOCHASTIK
WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG
STATISTIK
PFLICHT- und WAHLTEIL
ÜBUNGEN
12. – 13. Klasse
© Jens Möller
STOCHASTIK
ÜBUNGEN ZUM PFLICHTTEIL
[entnommen aus Stark-Verlag ABI 2013]
ACHTUNG
Der Pflichtteil muss ohne TR und ohne Formelsammlung bewältigt werden,
d.h. insbesondere elementare Bruchrechenregeln müssen beherrscht werden.
P1
In einem Behälter befinden sich zwei rote und vier schwarze Kugeln.
a)
Es werden nacheinander zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben beide Kugeln die gleiche Farbe?
b)
Es werden nun nacheinander zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Berechnen Sie
die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine der beiden Kugeln rot ist.
P2
Mit einem idealen Würfel wird zweimal gewürfelt.
a)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine 6 fällt?
b)
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Augenzahl beim zweiten Wurf größer als beim
ersten?
P3
In einer Urne liegen zwei rote und drei blaue Kugeln. Es werden nacheinander zwei
Kugeln wie folgt gezogen:
Ist die erste Kugel rot, wird sie in die Urne zurückgelegt. Ist die erste Kugel blau, so
wird sie nicht zurückgelegt.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse:
A:
,,Die zweite Kugel ist rot."
B:
,,Die zweite Kugel ist blau."
C:
,,Die zwei Kugeln haben verschiedene Farben."
P4
Das nebenstehende Glücksrad wird dreimal gedreht.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse:
5
10
A:
,,Es erscheint immer die Zahl 10.“
B:
,,Genau zweimal erscheint eine ungerade Zahl."
C:
,,Die Summe der Zahlen ist höchstens 20."
P5
Ein Tennismatch besteht aus maximal 3 Sätzen. Das Match gewinnt der Spieler, der
15
zuerst zwei Sätze für sich entscheidet. Erfahrungsgemäß gewinnt Felix gegen Max zwei
von drei Sätzen.
a)
Mit welcher Wahrscheinlichkeit dauert das Match nur zwei Sätze?
b)
Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann Max das Match für sich entscheiden?
-1-
P6
In einer Klasse von 25 Schülern soll für einen Wettbewerb eine Mannschaft von 5
Schülern gebildet werden. Da man sich nicht einigen kann, wird die Zusammensetzung
der Mannschaft per Los bestimmt. In einer Lostrommel befinden sich 5 Gewinnlose und
20 Nieten. Der Reihe nach zieht jeder ein Los, ohne es zunächst zu öffnen. Felix zieht
zuerst, Max als Zweiter.
a)
Wer hat die größere Chance, in die Mannschaft zu kommen?
b)
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist mindestens einer der beiden in der Mannschaft?
P7
Bei einer Tombola verkauft eine Klasse 40 Lose. Unter diesen Losen sind 2 Hauptgewinne, 13 Kleingewinne und der Rest Nieten. Felix ist der erste Käufer und zieht nacheinander zwei Lose.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse:
A:
,,Felix erhält eine Niete und einen Kleingewinn.“
B:
,,Das zweite von Felix gezogene Los ist ein Hauptgewinn.“
C:
,,Felix zieht höchstens einen Kleingewinn.“
P8
In einer Klinik soll die Wirksamkeit eines neuen Medikaments getestet werden. Das
Medikament wird in Packungen zu je 10 Tabletten an Patienten abgegeben. Man weiß,
dass bei vielen Patienten auch Placebos (das sind Tabletten ohne Wirkstoff die gleiche
Wirkung haben wie die echten Tabletten. Daher wird in jeder Packung eine Tablette
durch ein Placebo ersetzt.
a)
Ein Patient entnimmt aus einer Packung nacheinander zwei Tabletten.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse:
b)
A:
,,Nur die erste Tablette enthält das Medikament.“
B:
,,Beide Tabletten enthalten das Medikament.“
C:
,,Eine der beiden Tabletten ist das Placebo.“
Eine weitere Packung ist äußerlich identisch mit den anderen, enthält aber zwei Placebos. Ein Patient bekommt beide Packungen. Er wählt eine der Packungen aus und entnimmt ihr eine Tablette.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthält diese Tablette das Medikament?
-2-
P9
In einer Schachtel liegen vier Tischtennisbälle, drei davon sind gelb und einer weiß.
a)
Man zieht zweimal nacheinander mit Zurücklegen einen Ball aus der Schachtel.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben die Bälle verschiedene Farben?
b)
Max und Felix einigen sich auf folgendes Spiel:
Sie ziehen ohne Zurücklegen abwechselnd jeweils einen Ball aus der Schachtel.
Wer zuerst den weißen Ball zieht, hat gewonnen.
Beide überlegen, ob es geschickt ist, den ersten Zug zu machen.
P10 Ein Glücksrad ist mit den Beschriftungen A, B und C wie abgebildet versehen. Die Mittelpunktswinkel der entsprechenden Kreisausschnitte haben die Weiten 90°, 120° und
150°. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass man bei drei Drehungen
A
- die Buchstaben in der Reihenfolge A B C,
- mindestens einmal den Buchstaben B,
B
C
- die Buchstabenfolge A B erhält?
P11 Ein Tetraeder und ein Würfel werden gleichzeitig geworfen. Anders als beim Würfel
gilt beim Tetraeder die Zahl als geworfen, die unten liegt.
Die Seiten sind mit Zahlen wie in den Netzen abgebildet beschriftet.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse:
A:
,,Man würfelt zwei ungerade Zahlen."
B:
,,Man erhält mindestens eine ungerade Zahl."
C:
,,Die Summe der Zahlen beträgt 6."
D:
,,Die Zahl auf dem Tetraeder ist kleiner als die auf dem Würfel."
TETRAEDER
WÜRFEL
1
4
2
1
3
3
4
2
4
-3-
2
P12 Das abgebildete Glücksrad wird zweimal gedreht. Mit welcher Wahrscheinlichkeit treten dabei nur gleiche Ziffern auf?
Beschreiben Sie, wie man das einmalige Drehen
1
des Glücksrades mithilfe einer idealen Münze
simulieren könnte.
2
P13 Ein Glücksrad hat zwei Sektoren, beschriftet mit den Buchstaben G und N. Die Wahrscheinlichkeit für den Buchstaben G bei einer Drehung ist p.
Das Glücksrad wird zweimal gedreht.
a)
Bestimmen Sie für p 
1
die Wahrscheinlichkeiten
4
N
der Ereignisse:
b)
A:
,,Es erscheinen verschiedene Buchstaben."
B:
,,Mindestens einmal erscheint der Buchstabe G."
G
Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einmal der
Buchstabe N erscheint, ist 0,64. Wie groß ist dann p?
P14 Für den Erwartungswert einer Zufallsvariablen X findet man die Formel
E ( X )  x1  P  X  x1   x2  P  X  x2   . . . .  xn  P  X  xn  .
Erklären Sie die einzelnen Elemente dieser Formel.
Welche Aussage macht der Erwartungswert?
Erläutern Sie den Erwartungswert an einem Beispiel
unter Verwendung des abgebildeten Glücksrades.
-10 €
2€
4€
P15 Felix will auf einem Fest ein Spiel mit einem Glücksrad anbieten, bei dem das Rad
einmal gedreht wird. Um seinen Gewinn zu kalkulieren, führt er folgende Rechnung
durch:
1
1
1
1
3 €   1 €   2 €   1 €   0, 50 €
4
3
6
4
Wie könnte das Glücksrad aussehen?
Nennen Sie eine mögliche Gewinnregel für die Spieler des Spiels, wenn Felix einen festen Einsatz pro Spiel verlangen will.
-4-
P16 Die Zufallsvariable X nimmt die Werte 0, 2, 6 und 10 an.
Ihr Erwartungswert ist E  X  
23
.
6
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariable X ist durch die folgende Tabelle
gegeben:
xi
0 2 6 10
P  X  xi  a
1
3
1
4
b
Bestimmen Sie die Werte für a und b.
P17 In einem Behälter liegen eine rote und vier schwarze Kugeln.
Man nimmt so lange ohne Zurücklegen eine Kugel aus dem Behälter, bis die rote Kugel
gezogen wird.
a)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man höchstens dreimal ziehen muss?
b)
Mit wie vielen Ziehungen muss man durchschnittlich rechnen, bis die rote Kugel gezogen wird? [schwer]
P18 Zwei ideale Würfel werden gleichzeitig geworfen.
a)
b)
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse:
A:
,,Genau ein Würfel zeigt eine 6.“
B:
,,Die Augenzahlen unterscheiden sich um 4.“
Felix schlägt Max folgendes Spiel vor:
unterscheiden sich die Augenzahlen der beiden Würfel um 4 oder 5, so bekommt Max
den Unterschied in Spielchips ausgezahlt. In allen anderen Fällen muss er einen Spielchip an Felix zahlen.
Ist das Spiel fair?
P19 Bei einem Glücksspiel wird eine ideale Münze geworfen. Liegt nach einem Wurf Wappen oben, so endet das Spiel. Andernfalls wird die Münze wiederum geworfen, jedoch
höchstens dreimal.
Als Gewinn erhält man:
1 € bei Wappen im ersten Wurf;
2 € bei Wappen im zweiten Wurf;
4 € bei Wappen im dritten Wurf.
Der Einsatz bei dem Spiel beträgt 1,50 €. Ist das Spiel fair?
-5-
P20 Eine Fahrkarte in der Straßenbahn kostet 2 €. Wird ein Schwarzfahrer kontrolliert, so
muss er ein erhöhtes Beförderungsentgelt von 50 € zahlen.
a)
Lohnt sich Schwarzfahren auf Dauer, wenn 10% der Fahrgäste kontrolliert werden?
b)
Wie viel Prozent der Fahrgäste müssten mindestens kontrolliert werden, damit ein
Schwarzfahrer auf Dauer kein Geld spart?
P21 Einem Kartenspiel entnimmt man aus jeder der Farben Kreuz, Pik, Herz und Karo die
Karten mit den Werten 7, 8, 9 und 10. Mit den entnommenen Karten wird folgendes
Spiel gespielt:
Die Karten werden gemischt und ein Spieler zieht zufällig drei Karten. Sind die Karten
von gleicher Farbe (Kreuz, Pik, Herz, Karo), erhält er 15 €. Haben die Karten den gleichen Wert, erhält er a €. In allen anderen Fällen muss er 1 € zahlen.
Für welchen Wert für a ist das Spiel fair?
P22
a)
Begründen Sie, dass der abgebildete Graph keine Wahrscheinlichkeitsverteilung darstellen kann.
b)
In einer Urne liegen 40 Kugeln. Zehn davon
sind rot. Aus der Urne werden nacheinander
acht Kugeln gezogen. Die Zufallsvariable X
beschreibt die Anzahl der roten Kugeln
unter den acht gezogenen Kugeln.
Ist X binomialverteilt, wenn die Ziehung
(1) mit Zurücklegen erfolgt?
(2) ohne Zurücklegen erfolgt? Begründen Sie Ihre Antwort.
P23 Eine Urne enthält drei schwarze Kugeln, zwei rote Kugeln und eine grüne Kugel.
a)
Es werden nacheinander ohne Zurücklegen zwei Kugeln aus der Urne gezogen.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse:
b)
A:
,,Beide Kugeln haben verschiedene Farben."
B:
,,Die zweite Kugel ist schwarz oder grün."
Aus der Urne werden nacheinander vier Kugeln mit Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau eine rote Kugel dabei ist?
-6-
P24 Ein Reißnagel wird mehrfach geworfen. Dabei fällt er erfahrungsgemäß in 60% der
Würfe auf den Kopf, ansonsten auf die Seite.
Geben Sie Ereignisse A, B, C und D an, für deren Wahrscheinlichkeiten gilt:
 30 
P  A      0, 6 20  0, 4 10
 20 
 10 
 10 
P  B      0, 6 0  0, 4 10     0, 6 1  0, 4 9
0
1
8
P  C      0, 6 7  0, 4  0, 6 8
7 
 25 
P  D      0, 6 15  0, 4 10
 10 
P25 Ein idealer Würfel wird zehnmal geworfen.
a)
Wählen Sie die beiden Terme aus, welche die Wahrscheinlichkeit beschreiben, dass
dabei genau viermal eine Sechs auftritt. Begründen Sie Ihre Entscheidung.
 10   1 
(1)     
 4  6 
4
5
 
6 
6
 10   1   5 
(4 )        
 6  6  6 
6
b)
4
1
( 2)  
6 
4
5
 
6 
 10   1 
( 3) 1      
 6  6 
6
 10   5   1 
(5)        
 6  6  6 
6
4
6
5
 
6 
 10   5   1 
(6 )        
 4  6  6 
4
4
6
Geben Sie einen Term an, der die Wahrscheinlichkeit beschreibt, dass im 10. Wurf die
vierte Sechs geworfen wird.
P26 Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit n = 10 und p = 0,3.
a)
Welches der beiden Histogramme zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X?
Begründen Sie Ihre Entscheidung.
Wie verändert sich das Histogramm, wenn p zunimmt?
b)
Bestimmen Sie anhand der korrekten Abbildung näherungsweise die Wahrscheinlichkeiten P  3  X  6  und P  X  4  .
-7-
P27 Der Graph zeigt die Verteilung einer B n ; p  verteilten Zufallsvariable X
mit n = 6 und 0 < p < 1. Es gilt P  X  0   P  X  1 .
a)
Bestimmen Sie näherungsweise P  X  2  .
b)
Zeigen Sie mithilfe der Formel von Bernoulli, dass
1
für die Trefferwahrscheinlichkeit gilt p  .
7
6 
Hinweis :    1;
0 
6 
 6
 1
P28 Gummibärchen werden in den Farben Rot und Gelb produziert und in Packungen zu 20
Stück ausgeliefert.
Die binomialverteilte Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der gelben Gummibärchen in einer Packung. Ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung ist durch das Histogramm
unten gegeben. Der Erwartungswert von X ist eine ganze Zahl.
0,2
0,18
0,16
0,14
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
0
P ( X = k)
k
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
a)
Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind 8 oder 9 gelbe Gummibärchen in einer Packung?
b)
Bestimmen Sie den Parameter p der Binomialverteilung mithilfe des Histogramms.
Von welchem Mischungsverhältnis kann man bei den Farben der Gummibärchen ausgehen?
P29 Ein Medikament heilt eine Krankheit mit der Wahrscheinlichkeit 0,6.
Im Rahmen einer Erprobung des Medikaments an Patienten, die an dieser Krankheit
leiden, findet sich die folgende Rechnung:
P  X  1  0, 98
1   0, 4   0, 98
n
Erläutern Sie diese Rechnung.
n4
-8-
LÖSUNGEN
Lösg-P1
Es befinden sich 6 Kugeln in der Urne.
2 2 4 4 4  16 20 5
   


6 6 6 6
36
36 9
a)
P  zwei gleiche Farben   P  r r   P  s s  
b)
P  mindestens 1 rote Kugel   P  r r   P  r s   P  s r 

2 1 2 4 4 2 2  8  8 18 3
     


6 5 6 5 6 5
30
30 5
oder mit dem Gegenereignis rechnen
4 3
12 18 3
P  mindestens 1 rote Kugel   1  P  s s   1    1 


6 5
30 30 5
Lösg-P2
a)
5 5
25 36  25 11
P  mindestens eine 6   1  P  keine 6   1    1 


6 6
36
36
36
b)
P  zweite Zahl übertrifft die erste   P  1 und  1  P  2 und  2   .....  P  5 und  5 
1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 5  4  3  2  1 15 5
         


6 6 6 6 6 6 6 6 6 6
36
36 12
Lösg-P3
Es befinden sich 5 Kugeln in der Urne.
A
P  zweite Kugel ist rot   P  r r   P  b r  
2 2 3 2 4
6 16  30 46
    



 0, 46  46%
5 5 5 4 25 20
100
100
B
P  zweite Kugel ist blau   P  r b   P  b b  
2 3 3 2 6
6 24  30 54
    



 0, 54  54%
5 5 5 4 25 20
100
100
C
P  zweite verschiedene Kugeln   P  r b   P  b r  
2 3 3 2 6
6 24  30 54
    



 0, 54  54%
5 5 5 4 25 20
100
100
-9-
Lösg-P4
1 1 1 1
  
2 2 2 8
A
P  10 , 10 , 10  
B
P  genau zweimal ungerade  
P  g ; u ; u   P u ; g ; u   P u ; u ; g  
(wobei g = 10 und u = 5 oder 15 bedeutet)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 3
        
2 2 2 2 2 2 2 2 2 8
C
P  Summe höchstens 20  
P  5 und 5 und 5   P  10 und 5 und 5   P  5 und 10 und 5   P  5 und 5 und 10  
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 16 7
           



4 4 4 2 4 4 4 2 4 4 4 2 64 32
64
64
Lösg-P5
2 2 1 1 4 1 5
   

3 3 3 3
9
9
a)
P  nur 2 Sätze   P  F F   P  M M  
b)
P  Max gewinnt   P  M M   P  M F M   P  F M M  
1 1 1 2 1 2 1 1 322 7
       

3 3 3 3 3 3 3 3
27
27
Lösg-P6
a)
P  Felix  
5 1
  20%
25 5
P  Felix , Max  
5 4 20 5 20  100 120 10 1
  



  20%
25 24 25 24
25  24
600 50 5
Die Chancen sind gleich groß.
b)
Mit dem Gegenereignis rechnen:
P  mindestens einer   1  P  keiner   1 
20 19
19 11

 1

25 24
30 30
- 10 -
Lösg-P7
A
P  Niete und Kleingewinn   P  N K   P  K N  
25 13 13 25 5
5 10 5
  




40 39 40 39 24 24 24 12
B
P  zweites Los ist Hauptgewinn   P  N H   P  K H   P  H H  
25 2 13 2
2 1 50  26  2
78
2
1
    




40 39 40 39 40 39
40  39
40  39 40 20
C
Mit dem Gegenereignis rechnen:
P  höchstens ein Kleingewinn   1  P  K K   1 
13 12
1
9
  1

 90%
40 39
10 10
Lösg-P8
a)
b)
P  A 
9 1 1
 
 10%
10 9 10
P  B 
9 8 8
 
 80%
10 9 10
P C  
9 1 1 9 9  9 18 2 1
   


  20%
10 9 10 9
90
90 10 5
1 9 1 8 9  8 17
P  erst Packung , dann Tablette nehmen      

 85%
2 10 2 10
20
20
Lösg-P9
3 1 1 3 33 3
   

4 4 4 4
16
8
a)
P  verschiedene Farben   P  g w   P  w g  
b)
P  Spiel   P  w   P  g , w  P  g , g , w   P  g , g , g , w  
1 3 1 3 2 1 3 2 1 1 1 1 1 1
             1
4 4 3 4 3 2 4 3 2 1 4 4 4 4
P  1. Spieler   P  w   P  g , g , w  
1 1 1
 
4 4 2
P  2. Spieler   P  g , w   P  g , g , g , w  
1 1 1
 
4 4 2
Es ist egal, wer beginnt, da die Gewinnchancen gleich groß sind.
- 11 -
BAUMDIAGRAMM zu P9
3
1
4
4
g
w
2
1
3
3
g
w
1
1
2
2
g
w
1. Stufe
2. Stufe
3. Stufe
1
1
w
4. Stufe
A
Lösg-P10
P  A, B, C  
1 1 5
5
  
4 3 12 144
B
C


2 2 2
8 19
P  mindestens einmal B   1  P B, B, B  1     1 

3 3 3
27 27
P  A, B, beliebig   P  beliebig , A, B  
1 1
1 1 11 2 1
  1  1  


4 3
4 3 12 12 6
Lösg-P11
P  A   P  ungerade , ungerade  
TETRAEDER
1 2 1
 
2 6 6
4
P  B   P  mindestens eine ungerade  
3
1
2
1 4
1 2
1  P  g, g   1    1  
2 6
3 3
P  C   P  Summe gleich 6  
WÜRFEL
P  2  4   P  3  3  P  4  2  
1
2
1 2 1 1 1 2 2 1 2 5
     

4 6 4 6 4 6
24
24
3
2
4
4
P  D   P Tetraderzahl  Würfelzahl  
P  1  ...  P  2  ...  P  3  ... 
1 5 1 3 1 2 5  3  2 10 5
     


4 6 4 6 4 6
24
24 12
- 12 -
Lösg-P12
P  nur gleiche Ziffern   P  1, 1  P  2, 2   v
1
1 1 3 3 10 5
   

4 4 4 4 16 8
2
Simulation durch zweimaliges Werfen einer Münze
P  Zahl  
1
2
P Wappen  
1
2
P  Z , Z   P  Z ,W   P W , Z   P W ,W  
PZ, Z  
1
 P  1
4
1 1 1
 
2 2 4
P  mindestens einmal Wappen werfen  
3
 P  2
4
Lösg-P13
a)
N
P  A  P  verschiedene Buchstaben  
P  N , G   P  G, N  
G
3 1 1 3 6 3
   

4 4 4 4 16 8
3 3
9
7
P  B   P  mindestens einmal G   1  P  N , N   1    1 

4 4
16 16
b)
P  C   P  mindestens einmal N   1  P  G, G   1  p  p  0, 64
1  p  p  0, 64 
p 2  0, 36 
p  0, 6
-10 €
Lösg-P14
2€
ERWARTUNGSWERT
E ( X )  x1  P  X  x1   x2  P  X  x2   . . . .  xn  P  X  xn 
4€
Bedeutung der Formel:
= die möglichen Werte der Zufallsvariablen X
xi


P X  x i = die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten
EX 
= Erwartungswert, dieser gibt an, welcher Wert durchschnittlich bei einer großen
Zahl von Experimenten für die Zufallsvariable X zu erwarten ist.
- 13 -
BEISPIEL
Das Glücksrad wird einmal gedreht. Zeigt der Zeiger auf einen positiven Geldbetrag, so wird
dieser dem Spieler ausgezahlt, ansonsten muss er 10 € zahlen. Der Sektor für -10 € auf dem
Glücksrad ist ein Viertelkreis. Die beiden anderen Sektoren sind gleich groß. Die Zufallsvariable X, die den Gewinn des Spielers beschreibt, hat daher die folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung:
2 € 4 € 10 €
xi

P X  xi

3
8
3
8
1
4
ERWARTUNGSWERT
3
3
1 6 12 10 6  12  20
2

    0, 25 €
E ( X )  2 €   4 €   10 €    
8
8
4 8 8 4
8
8
Wird dieses Spiel sehr häufig gespielt, so muss der Spieler mit einem mittleren Verlust von
0,25 € pro Spiel rechnen.
Lösg-P15
GLÜCKSRAD
1
1
1
1
E  X   3 €   1 €   2 €   1 €   0, 50 €
4
3
6
4
-2 €
1
1
1
1
 90
 120
 60
 90 Summe  360
4
3
6
4
1€
-1 €
3€
MÖGLICHE GEWINNREGEL
Felix will im Durchschnitt 0,50 € pro Spiel verdie-
Ereignisse
Gewinne
nen. Bei 12 Spielen würde der Gewinn im Durch-
1. Sektor
Felix zahlt 1 €
schnitt 6 € betragen. Auf das Glücksrad übertragen
2. Sektor
Felix bekommt 3 €
ergibt
3. Sektor
Felix bekommt 1 €
4. Sektor
Felix zahlt 2 €
Ereignisse
Gewinne
das
einen
Gewinn
von
3  3 €  4 1 €  2  2 €  3 1 €  9  4  4  3  6 €
Felix könnte zum Beispiel pro Spiel 3 € verlangen,
1. Sektor
Spieler bekommt 4 €
dann bekäme der Spieler jeweils folgende Gewinne
2. Sektor
Spieler bekommt 0 €
ausgezahlt:
3. Sektor
Spieler bekommt 2 €
4. Sektor
Spieler bekommt 5 €
- 14 -
Lösg-P16
E ( X )  x1  P  X  x1   x2  P  X  x2   . . . .  xn  P  X  xn 
| Werte einsetzen
1
1
23
2 6
23
E ( X )  0  a  2   6   10  b 

  10  b 
3
4
6
3 4
6
10  b 
23 2 6 46  8  18 20
  

6 3 4
12
12
 b
2 1

12 6
1 1
1 1 1 12  4  3  2 3 1
a    b  1  a  1   


3 4
3 4 6
12
12 4
Lösg-P17
a)
P  höchstens 3  mal ziehen, bis rot kommt  
P  r   P  s, r   P  s, s, r  
4
1
5
5
s
1 4 1 4 3 1 1 1 1 3
        
5 5 4 5 4 3 5 5 5 5
r
3
1
4
4
s
r
2
1
3
3
s
r
1. Stufe
2. Stufe
3. Stufe
1
2
r
4. Stufe
b)
FRAGE
Mit wie vielen Ziehungen muss man durchschnittlich rechnen, bis die rote Kugel
gezogen wird?
x i = Anz. der Ziehungen,
bis rot kommt
P X  xi 
1
2
3
4
5
1
5
4 1 1
 
5 4 5
4 3 1 1
  
5 4 3 5
4 3 2 1 1
   
5 4 3 2 5
4 3 2 1 1 1
    
5 4 3 2 1 5
ERWARTUNGSWERT
1
1
1
1
1 1  2  3  4  5 15

 3  mal Ziehen
E( X )  1  2   3   4   5  
5
5
5
5
5
5
5
Durchschnittlich muss man mit 3 Ziehungen rechnen, bis die rote Kugel gezogen wird.
- 15 -
Lösg-P18
a)
1 5 5 1 10 5
   

6 6 6 6 36 18
P  genau eine 6   P  6 , andere Zahl   P  andere Zahl , 6  
P  Differenz  4   P  1; 5   P  2; 6   P  5; 1  P  6 ; 2  
1 1 1 1 1 1 1 1 4 1
       

6 6 6 6 6 6 6 6 36 9
b)
P  Differenz  4  
1
9
siehe oben
P  Differenz  5   P  1; 6   P  6 ; 1 
1 1 1 1 2
1
   

6 6 6 6 36 18
AnzahlderWürfe
3
sonst
1€ 2€ 4€
12€
1
2
1
2
1
4
1
8
1
4  21 1

8
8
ERWARTUNGSWERT
1
1
5 8  5  15
2
1
E( X )  4   5   1 


9
18
6
18
18
9
d .h. Max verliert auf Dauer.
Da der Erwartungswert nicht Null ist, ist das Spiel nicht fair.
Lösg-P19
MÜNZWURF
P W  
1
2
1 1 1
PZ W    
2 2 4
PZ Z W  
1 1 1 1
  
2 2 2 8
1 1 1 1
PZ Z Z     
2 2 2 8
TABELLE
Ereignisse
W
ZW
Z ZW
ZZZ
Wahrschlichkeiten
1
2
1
4
1
8
1
8
Gewinne
1€
2€
4€
0€
- 16 -
ERWARTUNGSWERT
1
1
1
1 444
E( X )  1  2   4   0  
 1, 50 € Gewinn pro Spiel
2
4
8
8
8
Da der Einsatz pro Spiel genau 1,50 € beträgt, ist das Spiel also fair.
Lösg-P20
a)
Schwarzfahren ist wie ein Glücksspiel mit einem gewissen Erwartungswert.
E ( X )  50 €  0, 1  0 €  0, 9  5, 00 € Kosten pro Schwarzfahrt
Da das Ticket nur 2 € kostet, ist es auf lange Sicht günstiger zu bezahlen.
b)
E ( X )  50 €  p  0 €  (1  p)  2 €  50 p  2 
p
1
 4%
25
Es müssen mindestens 4%der Fahrgäste kontrolliert werden, damit ein Schwarzfahrer auf
Dauer kein Geld spart.
Lösg-P21
Kreuz, Pik, Herz und Karo, 7, 8, 9 und 10 sind insgesamt 16 Karten,
4 Karten von jeder Farbe (Kreuz, Pik, Herz, Karo), 4 Karten von jedem Wert.
P  gleiche Farbe   4 
4 3 2
4 4 32
1
1


 

16 15 14 16  15  14 5  7 35
P  gleicher Wert   4 
4 3 2
4 4 32
1
1


 

16 15 14 16  15  14 5  7 35
E ( X )  15 € 
1
1
33 15  a  33
 a 1 € 
 0   18  a  0  a  18 €
35
35
35
35
Für a = 18 € ist das Spiel fair?
Lösg-P22
a)
Bei einer Wahrscheinlichkeitsverteilung muss die
Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten gleich 1
sein. Addiert man die Funktionswerte aus dem Histogramm, so erhält man
0, 20  0, 16  0, 20  0, 24  0, 24  1, 04  1
- 17 -
b)
In einer Urne liegen 40 Kugeln. Zehn davon sind rot. Aus der Urne werden nacheinander acht
Kugeln gezogen. Die Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der roten Kugeln unter den acht
gezogenen Kugeln.
BERNOULLIKETTE
1.
Ein Zufallsversuch mit nur zwei Ausgängen (Erfolg und Misserfolg) heißt
Bernoulli-Experiment.
Die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg nennt man die Erfolgswahrscheinlichkeit p.
Für die Misserfolgs-Wahrscheinlichkeit q gilt dann q = 1 - p.
2.
Wird ein Bernoulli-Experiment n-fach wiederholt, ohne dass sich dabei p und q verändern, so spricht man von einer Bernoulli-Kette der Länge n.
BINOMIALVERTEILUNG
Ist eine Bernoulli-Kette der Länge n und der Erfolgswahrscheinlichkeit p gegeben, so kann
zu jeder Trefferzahl deren Wahrscheinlichkeit P(Z = k) berechnet werden. Die Zuordnung, die
jeder möglichen Trefferzahl k (k = 0; 1; 2; …; n) ihre Wahrscheinlichkeit zuordnet, heißt Binomialverteilung mit den Parametern n und p. Die Zufallsvariable nennt man dann binomialverteilt.
(1) Ist X binomialverteilt, wenn die Ziehung mit Zurücklegen erfolgt?
Es handelt sich um ein Zufallsexperiment mit nur zwei Ausgängen (rot oder nicht rot), außerdem ändert sich p bei Wiederholung des Experimentes nicht, weil die Kugel jedes Mal zurück
gelegt wird. Somit liegt eine Bernoulli-Kette mit einer binomialverteilten Zufallsvariabel X
vor.
(2) Ist X binomialverteilt, wenn die Ziehung ohne Zurücklegen erfolgt?
Da sich p bei Wiederholung des Experimentes ändert, ist eine wichtige Bedingungen für eine
Bernoulli-Kette nicht erfüllt. Also ist X nicht binomialverteilt.
- 18 -
Lösg-P23
a)
P  A  P  verschiedene Farben   P  r g   P  r s   P  g r   P  g s   P  s r   P  s g  
2 1 2 3 1 2 1 3 3 2 3 1 2  6  2  3  6  3 22 11
           


6 5 6 5 6 5 6 5 6 5 6 5
30
30 15
P  B   P  2. Kugel ist sw oder gr   P  nicht sw, sw   P  sw, sw   P  nicht gr , gr  
3 3 3 2 5 1 9  6  5 20 2
     


6 5 6 5 6 5
30
30 3
b)
Aus der Urne werden nacheinander vier Kugeln mit Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau eine rote Kugel dabei ist?
WAHRSCHEINLICHKEITEN BEI BERNOULLIKETTEN
Die Wahrscheinlichkeit, dass sich bei n Durchführungen eines Bernoulli-Experiments genau
k-mal ein Treffer ergibt (Trefferwahrscheinlichkeit p), ist gegeben durch
n
n k
P  X  k      p k  1  p 
k 
Dabei beschreibt die Zufallsvariable X die Anzahl der Treffer.
4  2 
P  X  1 rote Kugel       
 1  6 
1
 4  4  1 
     
 6   1  3 
3
1
3
 2  4  1  8 32
  

3  27 81
3
Lösg-P24
 30 
P  A      0, 6 20  0, 4 10
 20 
Bei 30 Würfen fällt der Reißnagel genau 20 - mal auf den Kopf .
 10 
 10 
P  B      0, 6 0  0, 4 10     0, 6 1  0, 4 9
0
1
Bei 10 Würfen fällt der Reißnagel höchstens einmal auf den Kopf .
8
8
P  C      0, 6 7  0, 4 1     0, 6 8  0, 4 0
7 
8
Bei 8 Würfen fällt der Reißnagel mindestens 7 - mal auf den Kopf .
- 19 -
 25 
P  D      0, 6 15  0, 4 10
 10 
Bei 25 Würfen fällt der Reißnagel genau 10 - mal auf die Seite.
Lösg-P25
a)
Ein idealer Würfel wird zehnmal geworfen.
 10   1 
(1)     
 4  6 
4
 10   5 
(5 )     
 6  6 
6
5
 
6 
6
1
 
6 
Bei 10 Würfen fällt die Sechs genau 4 - mal.
4
Bei 10 Würfen fällt genau 6 - mal keine Sechs, also 4 - mal die Sechs.
b)
Geben Sie einen Term an, der die Wahrscheinlichkeit beschreibt, dass im 10. Wurf die vierte
Sechs geworfen wird.
Wahrscheinlichkeit, dass in 9 Würfen genau 3 Sechsen geworfen worden sind:
9  1   5 
P  X  3         
3  6   6 
3
6
Dann kommt der 10. Wurf dazu, der die 4. Sechs sein soll:
9  1 
P  der 10. Wurf ist die 4. Sechs       
3  6 
3
 5  1 9  1 
      
 6  6 3  6 
6
4
6
5
  .
6 
Lösg-P26
a)
ERWARTUNGSWERT BEI BERNOULLI-EXPERIMENTEN
Für den Erwartungswert bei einem n-stufigen Bernoulli-Experiment mit Trefferwahrscheinlichkeit p gilt:
EX     n p
Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit n = 10 und p = 0,3.
Somit ergibt sich
E  X   n  p  10  03  3
- 20 -
Da E (X) ganzzahlig ist, hat die Wahrscheinlichkeitsverteilung bei X = 3 ihr Maximum, d.h. im Histogramm muss P (X = 3) maximal sein. Das abgebildete Histogramm erfüllt diese Bedingung.
FRAGE
Wie verändert sich das Histogramm, wenn p zunimmt?
Wenn p zunimmt, nimmt auch der Erwartungswert zu,
also verschiebt sich das Maximum nach rechts (Beispiel).
b)
Bestimmen Sie anhand der korrekten Abbildung näherungsweise die folgenden Wahrscheinlichkeiten:
P  3  X  6   P  X  4   P  X  5   0, 2  0, 1  0, 3 Werte im Histogramm ablesen
P  X  4   1  P  X  4   1  0, 2  0, 8
Werte im Histogramm ablesen
Lösg-P27
Der Graph zeigt die Verteilung einer
B n ; p  verteilten Zufallsvariable X
mit n = 6 und 0 < p < 1. Es gilt P  X  0   P  X  1 .
a)
P  X  2   1  P  X  1  1  P  X  0   P  X  1  1  0, 4  0, 4  0, 2 .
b)
n
nk
P  X  k      p k  1  p 
k 
Bernoulli-Formel
P  X  0   P  X  1
Die ersten beiden Balken sind gleich lang.
6  0
6  1
6
5
5
   p  1  p      p  1  p  | : 1  p 
0 
 1
1  p   6 p

p
1
7
- 21 -
6 
setze    1 und
0 
6 
 6
 1
Lösg-P28
a)
Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind 8 oder 9 gelbe Gummibärchen in einer Packung?
P  X  8   P  X  9   0, 18  0, 16  0, 34  34% Werte dem Histogramm entnehmen
b)
Da der Erwartungswert von X ganzzahlig ist, kann er dem Histogramm entnommen werden.
Es gilt E (X) = 8, weil die Verteilung dort ein Maximum hat.
Außerdem gilt bei Bernoulli-Experimenten die vereinfachte Formel
E  X   n  p  8  20  p 
p
8 2
  0, 4  40% gelbe Gummibärchen .
20 5
MISCHUNGSVERHÄLTNIS
Da der Anteil der gelben Gummibärchen 0,4 beträgt, muss der Anteil der roten 0,6 sein. Das
Mischverhältnis ergibt sich also mit 0, 4 : 0, 6  4 : 6  2 : 3
Lösg-P29
Die Wahrscheinlichkeit für Heilung beträgt p = 0,6.
P  X  1  0, 98
1   0, 4   0, 98
n
RECHNUNG ERLÄUTERN
n4
P  X  1  0, 98
bedeutet, dass mindestens 1 Patient mit 98% Wahrscheinlichkeit geheilt wird.
der Term  0, 4  gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass von n Patienten
n
1   0, 4   0, 98
n
keiner geheilt wird. Also gibt der Term 1   0, 4  die Wahrscheinn
lichkeit an, dass mindestens einer geheilt wird.
n4
heißt, dass mindestens 5 Patienten geheilt werden müssen, damit mit
einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 98% mindestens ein Patient
durch das Medikament geheilt wird.
- 22 -
STOCHASTIK
WAHLTEIL-AUFGABEN
Ein GTR ist zugelassen.
- 23 -
W1
In einer Schachtel liegen fünf weiße Kugeln und eine schwarze Kugel.
Aus der Schachtel wird wiederholt eine Kugel zufällig gezogen. Ist die gezogene Kugel
schwarz, wird sie in die Schachtel zurückgelegt. Ist sie weiß, wird an ihrer Stelle eine
schwarze Kugel in die Schachtel gelegt.
a)
Aus der Schachtel wird dreimal gezogen.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse:
A:
,,Genau eine Kugel ist schwarz.“
B:
,,Mindestens eine Kugel ist schwarz.“
b)
Wie oft muss man mindestens ziehen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als
99,9% mindestens eine weiße Kugel zu erhalten?
Lösg-W1
a)
P  A  P  s w w  P  w s w  P  w w s  
 
P  B   1  P B  1  P  w w w  1 
1 5 4 5 2 4 5 4 3 5
        
6 6 6 6 6 6 6 6 6 9
5 4 3 13
  
6 6 6 18
Gegenereignis B : alle Kugeln sind weiß.
b)
 
1
P C   1  P C  1   
6 
n
Gegenereignis C : alle Kugeln sind schwarz.
n
1
1     0, 999
6 
n
1
   0 , 001 | ln ...
6 
ln 0, 001
1
 3, 855 
n  ln    ln 0, 001  n 
1
6 
ln  
6 
- 24 -
n  4  mal ziehen
W2
In einer Urne befinden sich zwei rote und eine bestimmte Anzahl schwarzer Kugeln. Es
werden zwei Kugeln mit einem Griff gezogen.
a)
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist mindestens eine der Kugeln schwarz, wenn die Urne drei schwarze Kugeln enthält?
b)
Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln rot sind, beträgt nun 1/36.
Wie viele schwarze Kugeln sind in der Urne?
Lösg-W2
a)
r
2 rote und 3 schwarze Kugeln, insgesamt 5 Kugeln
r
P  A  P  s r   P  r s   P  s s  
3 2 2 3 3 2 6 6 6 9
     

5 4 5 4 5 4
20
10
2 1 20  2 9
alternativ : P  A   1  P  r r   1   

5 4
20
10
b)
r
2 rote und n schwarze Kugeln, insgesamt n + 2 Kugeln
r
P  B  P r r  
2
1
1


n  2 n  1 36
 72   n  2    n  1  n  7
W3
In einer Urne befinden sich fünf rote und eine bestimmte Anzahl schwarzer Kugeln.
Insgesamt passen höchstens 50 Kugeln in die Urne. Aus der Urne werden nacheinander
zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.
a)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugeln verschiedene Farben haben, wenn
in der Urne zwei schwarze Kugeln sind?
b)
Wie groß muss die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne sein, damit die Wahrscheinlichkeit, zwei verschiedene Farben zu ziehen, maximal ist?
Lösg-W3
a)
r
r
r
r
r
5 rote und 2 schwarze Kugeln, insgesamt 7 Kugeln
P  zwei verschiedene   P  s r   P  r s  
b)
r
r
r
r
r
P  B  P  s r   P r s 
2 5 5 2 10  10 10
   

7 6 7 6
42
21
5 rote und n schwarze Kugeln, insgesamt n + 5 Kugeln
n
5
5
n
10 n




n  5 n  4 n  5 n  4 ( n  5)  ( n  4 )
- 25 -
P  B  soll maximal werden.  setze
f ( x) 
10 x
( x  5)  ( x  4 )
Die Funktion in den GTR eingeben und dann das Maximum bestimmen.
Man erhält aus dem Schaubild und aus der Tabelle die ganzzahligen Werte für n.
nmax  4 oder 5
W4
Ein Großhändler bezieht von zwei Herstellern A und B Energiesparlampen, die äußerlich nicht zu unterscheiden sind. Erfahrungsgemäß sind 9,6% der Lampen von Hersteller A und 4,6% der Lampen von Hersteller B defekt.
a)
Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind in einer Packung mit 10 Lampen von Hersteller A
alle intakt?
b)
Bei einer Inventur stellt der Großhändler fest, dass 6% aller Lampen defekt sind. Berechnen sie die Anteile der Hersteller A und B an den gelieferten Lampen. (schwer)
Lösg-W4
a)
P  alle Lampen von A sind intakt   (1  0, 096 )10  0, 3645  36 , 45 %
b)
Anteil von Hersteller A : x
in %
Anteil von Hersteller B : 1  x in %
Durchschnitt : x  0, 096  (1  x )  0, 046  1  0, 06
0, 096 x  0, 046  x  0, 060  0, 046  0, 050 x  0, 014  x  0, 28  28%
Ergebnis: Hersteller A hat 28% und Hersteller B 72% der Lampen geliefert.
W5
Die Seiten eines Tetraeders und eines Würfels sind wie abgebildet mit Zahlen beschriftet. Beide werden gleichzeitig geworfen. Dabei gilt bei dem Tetraeder die Zahl als geworfen, die unten liegt.
a)
Begründen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse
A:
,,Die Summe der Zahlen ist 5" und
- 26 -
B:
,,Die Summe der Zahlen ist 3" jeweils 1/4 beträgt.
b)
Bei einem Glücksspiel werden das Tetraeder und der Würfel gleichzeitig geworfen. Ein
Spieler zahlt einen bestimmten Betrag als Einsatz ein. Ist die Augensumme gerade, erhält er seinen Einsatz zurück. Ist die Augensumme gleich 5, bekommt er 3 € ausgezahlt.
In allen anderen Fällen ist sein Einsatz verloren. Wie hoch sollte der Einsatz sein, damit
er auf lange Sicht weder Verlust noch Gewinn macht?
WÜRFEL
TETRAEDER
1
1
2
2
1
3
2
3
2
3
Lösg-W5
a)
Summe 5  2  3
P  Summe  5  
2 3 1
 
4 6 4
q.e.d .
Summe 3  1  2 oder 2  1
P  Summe  3  
b)
2 2 2 1 42 1
   

4 6 4 6
24
4
q.e.d .
ERWARTUNGSWERT
Augensummen  1  1  2 ; 1  2  3 ; 1  3  4 ; 2  1  3 ; 2  2  4 ; 2  3  5
Augensumme gerade drei
fünf
xi
a
0.  € 3.  €
P  X  xi 
0, 50
0, 25 0, 25
Das Spiel soll fair sein.
E ( X )  0, 50  a  0, 25  0 €  0, 25  3 €  0  0, 5 a   0,75 
a  1, 50 €
Ergebnis: Mit einem Einsatz von 1,50 Euro pro Spiel, macht ein Spieler auf lange
Sicht weder Verlust noch Gewinn.
- 27 -
W6
Eine Firma stellt Energiesparlampen her. Die Herstellungskosten für eine Lampe betragen 3,50 €. Sie wird für 5,20 € an den Einzelhandel verkauft. Erfahrungsgemäß sind
8,5% der Lampen defekt. Defekte Lampen werden vom Einzelhandel stets entdeckt. Sie
werden von der Firma zurückgenommen und der Kaufpreis wird erstattet. Für jede zurückgenommene Lampe entstehen der Firma zusätzliche Kosten in Höhe von 1,20 €.
Wie hoch ist der durchschnittliche Gewinn pro Lampe für die Firma?
Um den Gewinn zu steigern, will die Firma vor der Auslieferung der Lampen ein Testverfahren durchführen. Dabei werden alle intakten und 90% aller defekten Lampen als
solche erkannt. Die als defekt erkannten Lampen werden dann ohne weitere Kosten entsorgt. Wie teuer darf der Test einer Lampe sein, damit sich das Testverfahren für die
Firma lohnt? (sehr schwer)
Lösg-W6
GEWINNERWARTUNG
E ( X )  5, 20 €  3, 50 €  0, 085  (5, 20 €  1, 20 €)  1, 156 €
Gewinne bzw. Verluste
5, 20  3, 50  1, 70 €
mögliche Fälle
Lampe intakt
 3, 50 €
Lampe defekt und Defekt wird erkannt
Lampe defekt und Defekt wird nicht erkannt
3, 50  1, 20   4,70 €
intakt
BAUMDIAGRAMM
0,915
Defekt erkannt
Lampe
0,9
0,085
defekt
0,1
nicht erkannt
NEUE GEWINNERWARTUNG
E (Y )  0, 915  1,70 €  0, 085  0, 9  (3, 50 €)  0, 085  0, 1  ( 4,70 €)  1, 2478 €
DIFFERENZ
E Y   E  X   1, 248 €  1, 156 €  0, 09 €
ERGEBNIS
Der Test darf höchsten 0,09 € pro Lampe kosten, damit er sich lohnt.
- 28 -
W7
Bei einem Glücksspiel wird ein idealer Würfel dreimal geworfen.
Man erhält
für eine Sechs
1 €,
für zwei Sechsen
5 €,
für drei Sechsen
10 € ausgezahlt.
In allen anderen Fällen wird nichts ausgezahlt.
Welchen Einsatz muss der Betreiber des Glücksspiels mindestens verlangen, damit er
auf lange Sicht keinen Verlust macht?
Lösg-W7
GEWINNERWARTUNG
Ereignis keine Sechs eine Sechs
xi
0.  €
1.  €
P  X  xi 
0, 5787
0, 34722
zwei Sechsen drei Sechsen
5.  €
10.  €
0, 06944
0, 00463
Die Werte für die einzelnen Wahrscheinlichkeiten kann man dem GTR entnehmen. Zunächst
muss man die Funktion Y = binompdf (3 , 1/6 , X) im Editor definieren, anschließend zeigt
die dazugehörige Tabelle die gesuchten Werte.
E  X   x1  P  X  x1   x2  P  X  x2   x3  P  X  x3   x4  P  X  x4 
E  X   0, 5787  0 €  0, 34722  1 €  0, 06944  5 €  0, 00463  10 €  0, 74 €
ERGEBNIS
Der Betreiber des Glücksspiels muss mindestens 0,74 Euro pro Spiel verlangen, damit er auf
lange Sicht keinen Verlust macht?
- 29 -
W8
Bei dem abgebildeten Glücksrad erhält man bei einer Drehung die Zahl 1 mit der Wahrscheinlichkeit 0,25 und die Zahl 2 mit der Wahrscheinlichkeit p.
a)
1
Das Glücksrad wird dreimal gedreht.
Man betrachtet das Ereignis:
A:
2
3
,,Es erscheinen drei verschiedene Zahlen."
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit von A für p = 0,3.
Für welchen Wert von p ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A am größten?
Wie groß sind in diesem Fall die Mittelpunktswinkel der drei Sektoren auf dem Glücksrad?
b)
Felix und Max vereinbaren folgendes Spiel: (kompliziert)
Felix setzt einen Euro ein. Dann dreht Max das Rad. Erscheint eine 2, so nimmt Max
den Euro an sich und das Spiel ist beendet. Andernfalls legt Max zwei Euro dazu und
Felix dreht das Rad. Bei einer 2 bekommt Felix den Gesamtbetrag von drei Euro. Ansonsten teilen sich beide diesen Betrag und das Spiel ist beendet.
Wie groß muss die Wahrscheinlichkeit p für die Zahl 2 sein, damit das Spiel möglichst
fair ist?
Lösg-W8
a)
P  A  P  1, 2, 3   P  1, 3, 2   P  2, 1, 3   P  2, 3, 1  P  3, 2, 1  P  3, 1, 2 
Beachte: Alle Teilereignisse sind gleich wahrscheinlich
 mal 6 .
P  A   0, 25  0, 3  0, 45  6  0, 2025  20, 25%
MAXIMALE WAHRSCHEINLICHKEIT (p gesucht)
P  1  0, 25
P 2  p
P  3   1  0, 25  p  0, 75  p
P  A   0, 25  p   0,75  p   6  1, 5  p   0, 75  p 
Setze Y  1,5  x   0, 75  x  und suche das Maximum 
MITTELPUNKTSWINKEL
25%  90 und 37,5% 
360  90
 135
2
- 30 -
p  0,375  37,5%
b)
GEWINNERWARTUNG
BAUMDIGRAMM
Felix verliert
1 Euro
p
Felix zahlt
1 Euro
1-p
2
2 Felix gewinnt
2 Euro
Max zahlt
2 Euro
p
keine 2
1-p
keine 2
Felix gewinnt
0,50 Euro
TABELLE
Ereignis
Gewinn für Felix xi
P  X  xi 
eine 2, Ende keine 2, dann 2 keine 2, keine 2
1.00 €
2.00 €
0.50 €
p
1  p   p
1  p   1  p 
FORMEL
E ( X )  1, 00 €  p  2, 00 €   1  p   p  0, 50 €   1  p 
2
FAIRES SPIEL
E  X   0   1  p  2   1  p   x  0, 5   1  p   0 
2
FORMELEDITOR
p  0, 5774  57 , 74%
CALC-zero (Nullstelle)
- 31 -
W9
Ein Medikament heilt eine bestimmte Krankheit mit einer Wahrscheinlichkeit von 85%.
Eine Gruppe von 100 erkrankten Patienten erhält das Medikament. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden
- höchstens 80,
- mindestens 40 und höchstens 90,
- mindestens 85 Patienten dieser Gruppe geheilt?
* Wie groß darf eine Gruppe höchstens sein, damit mit mindestens 50 % Wahrscheinlichkeit alle Patienten der Gruppe geheilt werden? (*schwierig)
Lösg-W9
höchstens 80
0
80
0 ≤ X ≤ 80
P  X  80   0,1065  10, 7%
mindestens 40 und höchstens 90 (mache eine Skizze)
0
0
90
39
40 ≤ X ≤ 90
P  40  X  90   P  X  90   P  X  39   0,9449  94,5%
mindestens 85 (mache eine Skizze)
0
0
84
100
85 ≤ X
P  85  X   1  P  X  84   0,5683  56,8%
Wie groß darf eine Gruppe höchstens sein, damit mit mindestens 50 % Wahrscheinlichkeit
alle Patienten der Gruppe geheilt werden?
Definiere im Editor:
Y  binompdf  X , 0.85, X   0,5  Tabelle  n  4
- 32 -
W10
Eine Firma stellt Speicherchips her, die mit der Wahrscheinlichkeit p intakt sind.
a)
Man geht nach Erfahrungswerten von p = 0,95 aus.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthält eine Packung mit 50 Chips mehr als einen defekten Speicherchip?
b)
Nach einer Optimierung der Produktion versichert die Firma, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 60% in einer Packung mit 50 Chips alle intakt sind. Wie
groß ist p dann mindestens?
Lösg-W10
a)
p  intakt   0,95 
p  defekt   0, 05
P  X  1  1  P  X  1  0, 721  72,1%
Wahrscheinlichkeit für mehr als 1 defekten Chip.
b)
p  intakt   p
Definiere im Editor:
Y  binompdf  50 , x , 50   0, 6  Tabelle
p  0,99  99% Wahrscheinlichkeit für mehr
als 60% intakte Chips.
W11
Ein Glücksrad hat die Felder G und N. Das Feld G erN
scheint mit der Wahrscheinlichkeit 0,6 und das Feld N mit
der Wahrscheinlichkeit 0,4. Bei einem Spiel wird das
G
Glücksrad fünfmal gedreht. Man gewinnt, wenn dabei
mindestens viermal G erscheint.
a)
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit p, dass man bei diesem Spiel gewinnt.
b)
Max spielt dieses Spiel 20-mal. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt er dabei mindestens 6 Spiele?
c)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er beim 20. Spiel zum sechsten Mal gewinnt?
- 33 -
Lösg-W11
a)
p  0, 6
P  X  4   1  P  X  3   0, 33696  33, 7%
b)
p  0,337 wird übernommen
P  X  6   1  P  X  5   0, 7146  71, 5%
c)
p  0, 337
siehe oben
Ereignis Y: von 19 Spielen genau 5 zu gewinnen:
P Y  5   0, 1602
und danach noch das 20. Spiel gewinnen:
P Y  5   0,337  0, 054  5, 4%
W12
Ein Betrieb produziert für ein großes Unternehmen elektronische Bauteile. Die Ausschussquote beträgt dabei erfahrungsgemäß 15%.
Jeweils 20 Bauteile werden ohne Überprüfung in eine Schachtel gepackt und ausgeliefert. Die Herstellungskosten pro Schachtel beitragen 55 €.
a)
Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind in einer Schachtel
- weniger als 16,
- mindestens 18 einwandfreie Bauteile?
b)
Dem Unternehmen werden für jede gelieferte Schachtel 120 € berechnet. Allerdings
werden die Bauteile im Unternehmen überprüft. Ist in einer Schachtel höchstens ein
Bauteil defekt, so zahlt das Unternehmen den vollen Preis. Bei zwei bis vier defekten
Bauteilen in einer Schachtel zahlt es nur 50% des Preises. Bei mehr als vier defekten
Bauteilen wird die Schachtel nicht bezahlt.
Macht der Herstellerbetrieb bei dieser Vereinbarung noch Gewinn?
- 34 -
Lösg-W12
P  X  16   P  X  15   0, 17015  17 %
a)
mindestens 18 (mache eine Skizze)
0
0
17
20
18 ≤ X
P  X  18   1  P  X  17   0, 40489  40,5%
b)
p  15% defekt

p  0,15
WAHRSCHEINLICHKEITEN
höchstens 1 Bauteil defekt:
P  X  1  0,1756
2 bis 4 Bauteile defekt:
P  2  X  4   P  X  4   P  X  1  0, 6543
mehr als 4 defekte Bauteile
P  X  4   1  P  X  4   0,1702
(mit GTR)
TABELLE
defekte Teile
0 1
2 4
 4
xi
120.  € 60.  € 0.  €
P  X  x1 
0,1756 0, 6543 0,1702
GEWINNERWARTUNG
E  X   120 €  0,1756  60 €  0, 6543  0 €  0,1702  60,33 €
Herstellungskosten : 55 € 
Gewinn : 60,33  55  5,33 € pro Schachtel
W13
Bei einer großen Produktionsserie von Speicherchips beträgt der Ausschussanteil 10%.
Chips dieser Serie werden ungeprüft in Packungen zu je 100 Stück verkauft. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind in einer Packung höchstens 10 defekte Chips?
Der Kaufpreis für einen Großabnehmer beträgt pro Packung 800 €. Mit dem Abnehmer
wird vereinbart, dass eine Packung zurückgegeben und der Kaufpreis erstattet wird,
wenn mehr als k defekte Chips in der Packung sind. Für eine solche Rücknahme entstehen der Herstellerfirma Kosten in Höhe von 250 €.
Welchen Wert muss k mindestens haben, damit der durchschnittliche Erlös pro Packung
mindestens 700 € beträgt?
- 35 -
Lösg-W13
p  10% defekt 
höchstens 10
p  0,1
0
10
0 ≤ X ≤ 10
P  X  10   0,1065  10, 7%
TABELLE
defekte Teile höchstens k mehr als k
xi
250.  €
800.  €
P  X  x1 
P  X  k  1 P  X  k 
GEWINNERWARTUNG
800  P  X  k   250  1  P  X  k    700
800  P  X  k   250  250  P  X  k   700
1050  P  X  k   950 |:1050
P  X  k   0,90476
Funktion in Editor  Tabelle 
k  14
W14 [HYPOTHESENTEST]
Eine Firma produziert und verkauft im großen Umfang T-Shirts in den FarbenSchwarz, Weiß und Rot. Erfahrungsgemäß sind 40% der verkauften T-Shirts schwarz,
35% weiß und 25% rot.
a)
Es werden drei T-Shirts nacheinander verkauft.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse:
A:
,,Die drei T-Shirts haben verschiedene Farben."
B:
,,Mindestens eines der drei T-Shirts ist weiß oder rot."
b)
Der Geschäftsführer der Firma hat den Verdacht, dass das Kaufinteresse an schwarzen
T-Shirts nachgelassen hat. Zur Überprüfung seiner Vermutung kontrolliert er die nächsten 200 verkauften T-Shirts und stellt fest, dass davon12 schwarz sind.
Spricht dies bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens 5% für die Vermutung
des Geschäftsführers?
- 36 -
Lösg-W14
a)
Ereignis A : Alle T  shirts haben verschiedene Farben.
P  A   P  s, w, r   P  s, r , w   P  w, s, r   P  w, r , s   P  r , w, s   P  r , s, w 
Beachte: Alle Teilereignisse sind gleich wahrscheinlich
 mal 6 .
P  A   0, 40  0, 35  0 , 25  6  0 , 21  21 %
Ereignis B : Mindestens eines der drei T - Shirts ist weiß oder rot.
P  B   1  P  s , s , s   1  0 , 40 3  0 , 936  93, 6 %
3
b)
HYPOTHESENTEST (linksseitig)
H 0 : p  0, 4 ( Nullhypothese)
H 1 : p  0, 4 (Gegenhypothese)
Kontrolle für :
n  200
schwarze T  shirts :
Ablehnung bei :
p  0, 4
k  ??
Irrtumswahrscheinlichkeit :   0, 05
Ablehnungsbereich
P  X  k   0, 05
k ist gesucht.
Da die Wahrscheinlichkeit kleiner als 0,4 angenommen wird, macht man einen linksseitigen
Test. Im Editor des GTR wird die kumulierte Binominalverteilung (binomcdf) eingegeben
und dann die dazugehörige Tabelle aufgerufen. Dort sucht man in der Y-Spalte den ersten
Wert, der unter 5 % liegt.
Ablehnungsbereich für H 0 0 ; 68  , d.h. H1 wird akzeptiert.
Annahmebereich für H 0 69 ; 200  , d.h. H1 wird abgelehnt.
ERGEBNIS
Da 72 nicht im Ablehnungsbereich liegt, kann man
nicht auf ein nachlassendes Kaufinteresse schließen.
- 37 -
W15 [HYPOTHESENTEST]
Der Bekanntheitsgrad einer Sonnencreme in der Bevölkerung liegt bei 35%. Die Geschäftsleitung der Herstellerfirma verspricht ihrer Werbeabteilung eine Bonuszahlung,
wenn sie es schafft, innerhalb eines Jahres den Bekanntheitsgrad der Creme zu steigern.
Nach Ablauf des Jahres werden 100 Personen befragt.
Entwickeln Sie eine Entscheidungsregel für die Vergabe der Bonuszahlung bei einer
Irrtumswahrscheinlichkeit (Signifikanzniveau) von höchstens 5%.
Lösg-W15
HYPOTHESENTEST (rechtsseitig)
H 0 : p  0, 35 ( Nullhypothese)
H 1 : p  0, 35 (Gegenhypothese)
befragte Personen :
Bekanntheitsgrad :
Ablehnung bei :
Irrtumswahrscheinlichkeit :
n  100
p  0,35
k  ??
  0, 05
Ablehnungsbereich
P  X  k   0, 05  1  P  X  k  1  0, 05
k ist gesucht.
Da die Wahrscheinlichkeit größer als 0,35 angenommen wird, macht man einen rechtsseitigen Test. Im Editor des GTR wird die kumulierte Binominalverteilung (binomcdf) eingegeben und dann die dazugehörige Tabelle aufgerufen. Dort sucht man in der Y-Spalte den ersten Wert, der unter 5% liegt.
Ablehnungsbereich für H 0  44 ; 100  , d.h. H1 wird akzeptiert.
Annahmebereich für H 0 0 ; 43 , d.h. H1 wird abgelehnt.
ENTSCHEIDUNGSREGEL
Wenn bei 100 Befragten mindestens 44 Personen das
Produkt kennen, sollte ein Bonus gezahlt werden.
- 38 -
W16 [HYPOTHESENTEST]
a)
Bei einer größeren Gemeinde steht die Entscheidung für eine Umgehungsstraße an. Der
Gemeinderat geht davon aus, dass höchstens 45% der erwachsenen Einwohner der Gemeinde für das Projekt sind. Eine Bürgerinitiative für die Umgehungsstraße bezweifelt
dies und führt eine Umfrage unter 200 erwachsenen Einwohnern durch. Dabei sprechen
sich 110 der befragten Bürger für das Projekt aus.
Kann damit die Annahme des Gemeinderats abgelehnt werden, wenn die Irrtumswahrscheinlichkeit höchstens 5% betragen soll?
b)
Die Bürgerinitiative führt vor einem Einkaufszentrum eine Unterschriftenaktion durch.
Wie hoch muss der Anteil p der Befürworter der Umgehungsstraße mindestens sein,
damit sich unter 5 zufällig ausgewählten Kunden mit einer Wahrscheinlichkeit von
mindestens 99% wenigstens ein Befürworter befindet?
Lösg-W16
a)
HYPOTHESENTEST (rechtsseitig)
H 0 : p  0, 45 ( Nullhypothese)
H 1 : p  0, 45 (Gegenhypothese)
befragte Personen :
Zustimmungsgrad :
Ablehnung bei :
Irrtumswahrscheinlichkeit :
n  200
p  0, 45
k  ??
  0, 05
Ablehnungsbereich
P  X  k   0, 05  1  P  X  k  1  0, 05
k ist gesucht.
Ablehnungsbereich für H 0 102 ; 200  , d.h. H1 wird akzeptiert.
Annahmebereich für H 0 0 ; 101 , d.h. H1 wird abgelehnt.
ERGEBNIS
Bei 110 Befürwortern beträgt die
Zustimmung deutlich mehr als 45%.
- 39 -
b)
MINDESTENS 1 BEFÜRWORTER
n5 ,
p  ?? , k  1 ,   0,99
P  X  1  0,99  1  P  X  0   0,99
TBLSET mit :
Tbl  0.001 und TblStart  beliebig
Aus der 1. Spalte erhält man: p  60, 2 %
W17
Eine Firma produziert Akkus, für die eine bestimmte Lebensdauer angegeben wird. Erfahrungsgemäß fällt ein Akku mit der Wahrscheinlichkeit p vorzeitig aus.
a)
Wie groß darf p höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens
90% höchstens 10 von 100 Akkus vorzeitig ausfallen?
b)
Von Kundenseite wird der Verdacht geäußert, dass die Wahrscheinlichkeit für einen
vorzeitigen Ausfall größer als 0,07 ist. Daher wird die Hypothese H 0 : p  0, 07 mit einer Stichprobe von 200 Akkus überprüft. Wenn davon mehr als 20 Akkus vorzeitig ausfallen, wird die Hypothese abgelehnt. Wie groß ist die Irrtumswahrscheinlichkeit?
Lösg W17
a)
P  X  10   0,90 n  100
Wahrscheinlichkeit p gesucht.
Funktion im Editor eingeben
TBLSET mit :
Tbl  0.001 und TblStart  0, 05
Tabelle durchsuchen
ERGEBNIS:
p darf höchstens 7,2 % betragen.
- 40 -
b)
HYPOTHESENTEST (rechtsseitig)
H 0 : p  0, 07 ( Nullhypothese)
H 1 : p  0, 07 (Gegenhypothese)
geprüfte Akkus :
n  200
Fehlerquote :
p  0, 07
defekte Akkus :
k  20
Irrtumswahrscheinlichkeit :   ??
P  X  20   1  P  X  20   0, 0418  4, 2 %
ERGEBNIS
Die Irrtumswahrscheinlichkeit bei Ablehnung der Nullhypothese (d.h. bei Annahme der Gegenhypothese) beträgt 4,2%.
W18
Zwei Maschinen M1 und M2, stellen die gleiche Sorte Schrauben her. Erfahrungsgemäß
sind 1% der von Maschine M1 produzierten Schrauben fehlerhaft. Bei Maschine M2
sind es 5%.
a)
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse:
A:
,,Von 100 Schrauben aus der Maschine M1 sind höchstens zwei fehlerhaft.“
B:
,,Von 200 Schrauben aus der Maschine M2 sind mehr als 180, aber höchstens 190
einwandfrei."
b)
Die Schrauben werden in Beutel zu jeweils 500 Stück verpackt und mit einem Aufkleber versehen, auf dem die Maschine vermerkt ist, die sie produziert hat. Gelegentlich
fallen diese Aufkleber beim Transport der Beutel ab. In diesem Fall werden einem solchen Beutel 50 Schrauben entnommen und überprüft. Bei höchstens einer fehlerhaften
Schraube wird der Beutel der Maschine M1, ansonsten der Maschine M2 zugeordnet.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird dabei ein Beutel mit Schrauben, die von der Maschine M1 produziert wurden, falsch zugeordnet?
- 41 -
Lösg-W18
a)
Maschine 1
geprüfte Schrauben : n  100
Fehlerquote :
p  0, 01
defekte Schrauben : k  2
Ereignis A : Von 100 Schrauben sind höchsten 2 fehlerhaft.
P  A   P  X  2   0, 9206  92, 06 %
Maschine 2
geprüfte Schrauben : n  200
Fehlerquote :
p  0, 05
defekte Schrauben : 10  X  19 oder 9  X  19
Ereignis B : Von 200 Schrauben sind mindestens 10,
aber höchstens 19 defekt.
P  B   P  10  X  19   P  X  19   P  X  9   54, 36 %
b)
Maschine 1
geprüfte Schrauben :
Fehlerquote :
defekte Schrauben :
n  50
p  0, 01
k 1
P  X  1  0,91056  91, 06 % für richtige Zuordnung.
ERGEBNIS
Mit 91,6% Wahrscheinlichkeit wird der Beutel richtig zugeordnet,
die Wahrscheinlichkeit für falsche Zuordnung beträgt also 8,94 %.
- 42 -
W19
Bei einem Glücksrad beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Hauptgewinn bei einer
Drehung 10%.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass man bei 10 Drehungen des Rades
A:
genau einen Hauptgewinn,
B:
mindestens zwei Hauptgewinne erhält.
Wie oft muss das Glücksrad mindestens gedreht werden, damit man mit mindestens
80% Wahrscheinlichkeit zwei oder mehr Hauptgewinne erhält?
Lösg-W19
bekannt :
n  10 ,
Typ :
einzeln
p  0,1 , k  1
Ereignis A : genau ein Hauptgewinn
P  A   P  X  1  0, 3874  38, 74 %
bekannt :
n  10 ,
Typ :
kumuliert
p  0,1 , k  1
Ereignis B : mindestens zwei Hauptgewinne
P  B   P  X  1  1  P  X  1  0, 2639  26 , 39 %
bekannt :
n  ?? ,
Typ :
kumuliert
p  0,1 , k  1 ,   0,8
Ereignis C : zwei oder mehr Hauptgewinne
P  C   P  X  1  1  P  X  1  0, 8  Tabelle
ERGEBNIS
n  29
Man muss das Glücksrad mindestens 29-mal drehen,
damit das Ereignis C mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% eintritt.
- 43 -
W20
Bei einer Fluggesellschaft ist aus langjähriger Erfahrung bekannt, dass ein Kunde mit
einer Wahrscheinlichkeit von 5% seinen gebuchten Flug nicht antritt.
a)
Die Fluggesellschaft setzt für eine bestimmte Strecke eine kleine Maschine mit 70 Sitzplätzen ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei 70 Buchungen tatsächlich alle
Sitzplätze belegt sind?
Die Fluggesellschaft überbucht die Maschine und verkauft 72 Flugtickets. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit kann dies dazu führen, dass nicht alle Passagiere mitfliegen können?
b)
Eine größere Maschine der Fluggesellschaft hat 300 Sitzplätze. Wie viele Tickets darf
die Gesellschaft maximal verkaufen, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 300
Personen den Flug antreten wollen, weniger als 3% betragen soll?
Lösg-W20
a)
bekannt :
n  70 ,
Typ :
einzeln
p  0, 95 , k  70
Ereignis A : genau 70 Plätze belegt
P  A   P  X  70   0, 02758  2, 8 %
bekannt :
n  72 ,
Typ :
kumuliert
p  0, 95 , k  70
Ereignis B : überbelegt um ein oder zwei Plätze
P  B   1  P  X  70   0, 1192  11, 9 %
Mit 11,9% Wahrscheinlichkeit können nicht alle Passagiere mitfliegen.
b)
bekannt :
n  300  x ,
Typ :
kumuliert
p  0,95 , k  300 ,   0, 03
Ereignis C : überbelegt um x Plätze
P  C   1  P  X  300   0 , 03  Tabelle 
- 44 -
n  309
W21
Für Kühlaggregate werden Pumpen verwendet, die das Kühlmittel transportieren. Eine
Pumpe fällt in einem bestimmten Zeitraum mit der Wahrscheinlichkeit p aus.
Das Kühlaggregat A besitzt nur eine Pumpe, das Aggregat B vier Pumpen. Die Pumpen
in B arbeiten unabhängig voneinander und es darf höchstens eine Pumpe ausfallen, damit das Kühlaggregat B noch funktioniert.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt das Kühlaggregat B aus, wenn p = 0,1 gilt?

Stellen Sie die Ausfallwahrscheinlichkeit von B als Funktion von p graphisch dar.

Für welche Werte von p ist die Ausfallwahrscheinlichkeit von Aggregat B geringer als
die von Aggregat A?
Lösg-W21
KUEHLAGGREGAT B
bekannt :
n4 ,
p  0,1 , k  1
Typ :
kumuliert
Ereignis :
mehr als eine Pumpe fällt aus
P  X  1  1  P  X  1  0, 0523  5, 23 %
bekannt :
n4 ,
Typ :
kumuliert
Ereignis :
mehr als eine Pumpe fällt aus
Editor :
p  ?? , k  1
Y1  P  X  1  1  P  X  1
 GRAPH
KUEHLAGGREGAT A
bekannt :
n 1 ,
Typ :
einzeln
Ereignis :
die Pumpe A fällt aus
Editor :
Y2  P  X  1
ERGEBNIS
p  ?? , k  1
 GRAPH
Für p < 23,2 % ist die Ausfallwahrscheinlichkeit von B geringer als von A.
- 45 -
W22
Bei einer Lotterie werden Lose verkauft, auf denen jeweils eine von einem Computer
zufällig erzeugte sechsstellige Zahl aufgedruckt ist. Jede dieser Zahlen besteht nur aus
den Ziffern 0 und 1, die mit den Wahrscheinlichkeiten 0,75 bzw. 0,25 erzeugt werden.
Jedes Los, bei dem die aufgedruckte Zahl mehr als dreimal die Ziffer 1 enthält, ist ein
Gewinnlos.
a)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, ein Gewinnlos zu erhalten?
b)
Für Gewinnlose gilt der folgende Auszahlungsplan:
Anzahl der Ziffern 1
auf dem Gewinnlos
4
5
6
5 € 50 € 500 €
Auszahlumg
Die Lotteriegesellschaft will pro Los durchschnittlich mindestens 0,50 € verdienen.
Wie muss dazu der Preis für ein Los kalkuliert werden?
Lösg-W22
a)
GEWINNLOS
bekannt :
n6 ,
Typ :
kumuliert
p  0, 25 , k  3
Ereignis A : Gewinn bei mehr als drei Einsen
P  A  P  X  3  1  P  X  3  0, 037597  3, 76 %
b)
AUSZAHLUNGSWERT
P ( X  4)  0, 032958... und
P ( X  5)  0, 0043945... und
P ( X  6)  0, 000244...
E ( X )  5 €  P  X  4   50 €  P  X  5   500 €  P  X  6   0,5065 €  0,51 €
KALKULATION
Langfristig müssen pro Los durchschnittlich 0,51 € ausgezahlt werden. Da der Gewinn pro
verkauftem Los mindestens 0,50 € betragen soll, muss ein Los mehr als 1 Euro kosten.
- 46 -
W23
In einer Prüfung muss ein Kandidat 60 Fragen beantworten. Zu jeder Frage werden 5
Antworten angeboten, von denen nur eine richtig ist. Es darf jeweils nur eine Antwort
angekreuzt werden.
a)
Zum Bestehen der Prüfung müssen mehr als l5 Fragen richtig beantwortet werden. Ein
ahnungsloser Prüfling kreuzt bei jeder Frage zufällig eine Antwort an. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit besteht er die Prüfung?
b)
Die zum Bestehen notwendige Anzahl richtiger Antworten soll neu festgelegt werden.
Bei zufälligem Ankreuzen der Antworten soll die Wahrscheinlichkeit für ein Bestehen
der Prüfung höchstens 3% betragen. Wie viele richtige Antworten müssen dazu mindestens verlangt werden?
Lösg-W23
a)
SIGNIFIKANZ BESTIMMEN
bekannt :
n  60 ,
p  1 / 5 , k  15
Typ :
kumuliert
Ereignis A :
Prüfung per Zufall bestanden
P  X  15   1  P  X  15  0,1306  13,1 %
b)
SIGNIFIKANZ ABSENKEN
p  1 / 5 , k  ?? ,   0, 03
bekannt :
n  60 ,
Typ :
kumuliert
Ereignis B :
Prüfung per Zufall bestanden
P  X  k   1  P  X  k  1  0, 03 
k  19
- 47 -
W24
Eine Firma produziert elektrische Rasierapparate. Erfahrungsgemäß sind 6% der produzierten Apparate defekt. Um die defekten Rasierapparate vor dem Verkauf auszusondern, werden alle Geräte überprüft. Bei dieser Überprüfung kommt es bei den defekten
Geräten mit der Wahrscheinlichkeit 0,09 und bei den intakten Geräten mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,01 zu einer Fehlentscheidung. Alle bei der Überprüfung als intakt
deklarierten Geräte werden zum Verkauf freigegeben.
a)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es bei der Kontrolle eines Rasierapparats zu
einer Fehlentscheidung kommt?
b)
Bei wie vielen von 10 000 produzierten Rasierapparaten kann man mit einer Verkaufsfreigabe rechnen?
*Mit welcher Wahrscheinlichkeit weicht die Anzahl der tatsächlich freigegebenen Apparate um höchstens 25 davon ab? *(schwierig)
ausgesondert
Lösg-W24
a)
defekt
0,91
0,09
0,06
verkauft
0,94
verkauft
BAUMDIAGRAMM
0,99
intakt
0,01
ausgesondert
FEHELENTSCHEIDUNGEN
P  A  P  defekt / verkauft   P  intakt / ausgesondert 
P ( A)  0, 06  0, 09  0,94  0, 01  0, 0148  1,5 %
b)
VERKAUFSFREIGABE
P ( B )  0, 06  0, 09  0,94  0,99  0,936  93, 6 %. 
9360 Rasierapp. werden freigegeben.
ABWEICHUNG (ist sowohl nach unten als auch nach oben möglich)
P  C   P  9360  25  X  9360  25  P  9335  X  9385 
P  C   P  X  9385   P  X  9334   0, 7025  70 %
- 48 -
W25
Ein Hersteller von Fliesen hat erfahrungsgemäß 10% Ausschuss.
Ein Großabnehmer einigt sich mit dem Hersteller auf folgende Abnahmeregel:
Eine Sendung geht sofort zurück, wenn in einer Stichprobe von 20 Fliesen mehr als 4
Fliesen beschädigt sind. Sind 3 oder 4 Fliesen beschädigt, so wird die zweite Stichprobe
vom Umfang 50 entnommen. Sind in dieser mehr als 5 Fliesen beschädigt, wird die
Sendung endgültig zurückgegeben.
a)
Mit welcher Wahrscheinlichkeit muss der Hersteller mit einer Rücksendung der Fliesen
rechnen?
b)
Der Hersteller will das Risiko einer Rücknahme senken. Dazu soll die Regel bei der
zweiten Stichprobe bezüglich der Anzahl der beschädigten Fliesen abgeändert werden.
Wie muss die Änderung aussehen, damit die Wahrscheinlichkeit für eine Rücksendung
unter 6% liegt?
RÜCKGABE
mehr als 4
beschädigt
Lösg-W25
a)
3 oder 4
beschädigt
mehr als 5
beschädigt
RÜCKGABE
sonst
RÜCKSENDUNG
ANNAHME
P  A  P  X  4   P  3  X  4   P Y  5 
P  X  4   1  P  X  4   0, 0432
(binomcdf(20 , 0.1 , 4)
P  3  X  4   P  X  4   P  X  2   0, 2799
P Y  5   1  P Y  5   0,3839
(binomcdf(50 , 0.1 , 5)
P  A  P  X  4   P  3  X  4   P Y  5   0,1506  15 %
b)
P  B   P  X  4   P  3  X  4   P Y  k   0, 06
Folgende Funktion im Editor eingeben:
0, 0432  0, 2799  1  P Y  k    0, 06 
ERGEBNIS
k 8
bei der zweiten Stichprobe werden,
mehr als 8 defekte Fliesen gefordert.
- 49 -
FORMELSAMMLUNG
DEFINITON DER WAHRSCHEINLICHKEIT (klassisch)
Anzahl der günstigen Fälle g

Anzahl er möglichen Fälle m
P  Wahrscheinlichkeit
E  Ereignis
PE 
Gilt nur bei gleichwahrscheinlichen Ereignissen,
für sogenannte Laplace - Experimente.
ELEMENTARE REGELN
0  PE  1
P  E   0 unmögliches Ereignis
P  E   1 sicheres Ereignis
P  A und B   P  A   P  B 
für unabhängige Ereignisse
P  A oder B   P  A   P  B 
für Ereignisse die nicht gleichzeitig auftreten können
P  A oder B   P  A   P  B   P  A und B  bei Überschneidungen
P  A   P  nicht A   1
Gegenereignis von A = A
 
P A  1  P  A
BAUMDIAGRAMME / PFADREGELN
Regel 1: Entlang eines Pfades werden die Wahrscheinlichkeiten multipliziert.
Regel 2: Quer zu den Pfaden werden die Wahrscheinlichkeiten addiert.
Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist immer gleich 1.
Wahrscheinlichkeiten
multiplizieren
Wahrscheinlichkeiten
addieren
- 50 -
BERNOULLI-KETTEN
DEFINITION
1. Ein Zufallsversuch mit nur zwei Ausgängen  Erfolg und Misserfolg  heißt
Bernoulli - Experiment .
Die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg nennt man die Erfolgswahrscheinlichkeit p.
Für die Misserfolgs - Wahrscheinlichkeit q gilt dann q  1  p  .
2. Wird ein Bernoulli - Experiment n - fach wiederholt , ohne dass sich dabei p und q verän 
dern, so spricht man von einer Bernoulli - Kette der Länge n.
Bernoulli  Kette :
n
nk
P  X  k      p k  1  p 
k 
Bernoulli  Kette :
n
nk
P  X  k      p k  1  p 
k 
n Experimente mit genau k Treffern
 mit GTR binom p df  n, p, k 
n Experimente mit kumuliert k Treffern
 mit GTR binom c df  n, p, k 
ÜBERSICHT
ERWARTUNGSWERT
EX 
xi
 x1  P  X  x1   x2  P  X  x2   ............  xn  P  X  xn 
 Einzelgewinne bzw. Verluste
P  X  xi   Einzelwahrscheinlichkeiten [ mit GTR binom p df ]
- 51 -
TABELLE ZUR BERECHNUNG VON ERWARTUNGSWERTEN
Beispiel : 3  mal würfeln
Ereignisse keine Sechs eine Sechs
xi
P  X  xi 
0.  €
0, 5787
1.  €
0, 34722
zwei Sechsen drei Sechsen
5.  €
0, 06944
10.  €
0, 00463
E  X   0, 5787  0 €  0, 34722  1 €  0, 06944  5 €  0, 00463  10 €  0, 74 €
ERWARTUNGSWERT bei Bernoulli  Experimenten
E  X   n  p    Mittelwert  Histogramm  Mitte
EIGENSCHAFTEN VON HISTOGRAMMEN
1.
Mit zunehmendem n werden die Histogramme flacher und breiter.
Die Summe der Flächeninhalte bleibt immer gleich 1.
Mit zunehmendem n nähern sich die Histogramme immer mehr einer Glockenform an.
2.
Sie werden immer achsensymmetrischer.
3.
Die Stelle der maximalen Wahrscheinlichkeit liegt beim Erwartungswert μ.
4.
Für p = 0,5 ergibt sich ein achsensymmetrisches Histogramm. Es liegt mittig.
5.
Für p → 0 werden die Histogramme etwas asymmetrischer und liegen links.
6.
Für p → 1 werden die Histogramme etwas asymmetrischer und liegen rechts.
7.
Die Histogramme für die Wahrscheinlichkeiten p und (1 - p) liegen spiegelbildlich
(rechts-links) zueinander.
HYPOTHESENTESTS
linksseitig
H 0 : p   ( Nullhypothese)
H 1 : p   (Gegenhypothese)
TEST : P  X  k   
 so wie die Spitze zeigt , also linksseitig
GTR : binom c df  n, p, k  , Editor und Tabelle
rechtsseitig
H 0 : p   ( Nullhypothese)
H 1 : p   (Gegenhypothese)
 so wie die Spitze zeigt , also rechtsseitig
TEST : P  X  k   

1 P X  k  
GTR : 1  binom c df  n, p, k  , Editor und Tabelle
- 52 -